Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio"

Transkriptio

1 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio Korjattu tehtävän 865 ratkaisua Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi 6.

2 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett Olkoon kstt paraabelin piste A (, ) Koska piste A on paraabelilla A=, + +. =. = + +, piste Pisteiden A ja B sekä A ja C kautta kulkevien suorien kulmakertoimet: A B + + kab = = = =, k AC A B ( 7) A C + + = = 4 A C = + + ± 4 ( ) = = ( ) 4 ± 6 = = tai = 4 ( + )( 4) = = = Kumpikaan suorista AB ja AC ei voi olla pstsuora, joten suorat AB ja AC ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos k k = ( ) = AB AC + = + + = ( + ) = + = =, 4 kelpaa Kun =, niin = ( ) + ( ) + = + =. Vastaus (, )

3 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 54 Päivitett Origon, etäiss suorasta a + ( a ) = on a + ( a ) d = d = a + ( a ) a + b + c = a + ( a ) Koska vakio on positiivinen, niin etäiss d on suurin, kun a + b positiivinen jakaja a + ( a ) on pienin. Jakaja on pienin, kun juurrettava a + a = a + a a+ = a a+ on pienin. Koska juurrettavan kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, niin juurrettava saa pienimmän arvonsa, kun a on sama kuin huipun -koordinaatti. Lasketaan huipun -koordinaatti a. b a = = = a Suoran etäiss origosta on suurin, kun a =. Kstn suoran htälö on a + ( a ) = a = + = 4= Vastaus 4 = 85 Valitaan -koordinaatisto niin, että kivi lähtee origosta. Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = a = a( )( 7) = a( 7) = = 7 Paraabeli kulkee pisteen ( 48;,5 ) kautta, joten saadaan htälö vakion a ratkaisemiseksi.,5 = a 48 ( 48 7),5 = 5a,5 a = = 5 56

4 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 55 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siis = ( 7). 56 Paraabelin nollakohdat ovat = ja = 7, joten paraabelin huipun -koordinaatti on 86 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on cm = = = 6 Paraabelin huipun -koordinaatti on siten = = = 5,875 Vastaus Kivi kä 5 metrin korkeudella. Paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = a = a( + )( ) = = Paraabeli kulkee pisteen (,6 ) kautta, joten saadaan htälö a:n ratkaisemiseksi. 6= a( + )( ) 6= 9a 6 a = = 9

5 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 56 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siten = ( + )( ) 87 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Lasketaan aukon korkeus, kun =. h = ( + )( ), < 4 Juusto ei siis mahdu aukosta. Paraabelin htälö huippumuodossa on = a( 5) (, ) ( 5,) = a = Koska (, ) on paraabelin piste, saadaan = a( 5) a = 5 a = 45 Paraabelin htälö on siten = ( 5). 45

6 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 57 Päivitett 9..7 Kiven ratakärän tangentti ilmoittaa kiven hetkellisen suunnan. Lähtösuuntaa edustaa origon kautta kulkeva suora = k. Tangentilla = k ja paraabelilla = ( 5) on vain 45 ksi hteinen piste. Yhteiset pisteet saadaan htälöparin avulla. () = k Sijoitetaan htälöön ( ). = ( 5) 45 k = ( 5) ( ) 45k 45 = k 45 = ( 45k 6) = ( + 45k 6) = = tai + 45k 6 = = tai = 6 45k 6 45k = tai = Koska ratkaisuja saa olla vain ksi, sen on oltava =. Saadaan htälö 6 45k = 6 45k = 6 4 k = = 45 Tangentin (suoran) suuntakulma α saadaan htälöstä 4 tanα = k k = 4 tanα = α = 5,... 5, Vastaus 5,

7 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 58 Päivitett Valitaan koordinaatisto oheisen kuvion mukaisesti, ksikkönä on metri. Heittokulma on htä suuri kuin paraabelin pisteeseen (, ) piirretn tangentin suuntakulma α. Ratkaistaan tangentin kulmakerroin k ja sitten suuntakulma α ( tanα = k ). Tangentin htälö on Koska paraabeli kulkee pisteiden (, ) ja ( 5,5 ) kautta, saadaan htälöpari h= a( ) 5 h = a( 5 ) () h= 9a 5 h = 4a () + h= 9a 5 h= 4a = 5a a = Sijoitetaan htälöön (). 5 h = h = 5 7 h = 5 = k = k = k+ Paraabelin htälö on h= a = a

8 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 59 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siten 7 = ( ) ( ) 5 7= = = + 8+ :5 8 = Tangentilla ja paraabelilla on vain ksi hteinen piste. () = k+ Sijoitetaan htälöön ( ). 8 = k + = k = Koska ratkaisuja saa olla vain ksi, sen on oltava =. Saadaan htälö 8 5k = 8 5k = 5k = 8 8 k = 5 Suuntakulma saadaan htälöstä 8 tanα = k k = 5 8 tanα = 5 α = 74, k 8= ( + 5k 8) = = tai + 5k 8 = 8 5k = tai = Vastaus 74,5

9 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett Olkoon (mk) kahvin kilohinnan korotus. Tällöin kahvin kilohinta on 5 + (mk) ja kahvia mdään kuukaudessa 5 5 (kg). Kauppiaan voitto kahvikilosta on ( 5 + ) = + (mk). Kauppiaan voitto (mk) kuukaudessa on = ( + ) ( 5 5) = = 5 + +, Kauppiaan voittoa kuvaa siis alaspäin aukeavan paraabelin kaari. Paraabelin huipun -koordinaatti on b = = = 6,67 a ( 5) 84 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Valitaan koordinaatiston -akseli pitkin vedenpintaa ja -akseli tukipilarin oikeaan reunaan. Paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = a = a( )( ) = a( ) = = Paraabelin piste on (, ), joten saadaan htälö Kauppiaan voitto on suurin, kun = 6,67 (mk), jolloin kahvin kilohinta on 5 + = 56,67 markkaa. Vastaus mk 6,67 kg = a ( ) : = a ( 7) a = 7

10 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett 9..7 Paraabelin htälö on siten = ( ) 7 84 Piirretään mallikuva, jossa ksikkönä on metri. Sillan suurin alikulkukorkeus on h = ( ) = = 5, Vastaus 5,8 m (pörists alaspäin!) Määritetään paraabelien AGD ja BCE htälöt ja paraabelien leikkauspiste D = (, ). Pallon lhin etäiss hiekkakuopan reunasta vaakasuunnassa mitattuna on 9. Paraabelin AGD htälö on = 5 = a( )( ) = 8 = a( + 5)( 8) Paraabeli AGD kulkee pisteen G = (, 4) kautta, joten 4= a ( + 5)( 8) 4= a 5 ( 8) 4 a = = 5 ( 8) Paraabelin AGD htälö on = ( + 5)( 8).

11 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett 9..7 Paraabelin BCE htälö on = a = a( + 9)( 9) = 9 = 9 Paraabelin BCE piste on ( ;,8), joten,8 = a ( + 9) ( 9),8 8 a = = = 8 8 Paraabelin BCE htälö on = ( + 9)( 9). Paraabelien leikkauspisteen D -koordinaatti: ( + 9)( 9) = ( + 5)( 8) 8 = = = 4 ± 4 4 ( 48) = 4 ± 56 = > = = 8, Pallon lhin etäiss hiekkakuopan reunasta vaakasuunnassa mitattuna on 9 = 9 8,8... =,776...,77 ( m) () = ( + 5)( 8) = ( + 9)( 9 ) Sijoitetaan htälöön (). ( + 9)( 9) = ( + 5)( 8) Vastaus 77 cm

12 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitett Paraabelin = eli = huippu on b = = = = a = =,. Huippu on Piirretään mallikuva. Ymprä sivuaa paraabelia origossa, joten mprän säde on a.,a ja säde a, joten sen htälö on Ymprän keskipiste on + ( a) = a + ( a) = a Paraabelin ja mprän hteiset pisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. = ( ) + ( a) = a + = + + a = a + a = a + a+ a = a + a= ( + a) = = tai + a= = tai = a Kun =, niin + = = =,. Yhteinen piste on siis origo Kun = a, niin + ( a ) = = ( a ) = ± ( a )

13 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 64 Päivitett 9..7 Koska hteisiä pisteitä ei saa olla kuin origo (, ), niin joko ) a = = a = a = eli eli eli eli a = = a = a = a = tai ) Siis ( a ) < :( > ) a < a < : ( > ) a < a. Vakion a suurin arvo on siis. 84 = p pq + 5 4p + 4pq Valitaan käräparvesta kaksi kärää ja määritetään niiden leikkauspisteet. Nämä leikkauspisteet ovat ainoat mahdolliset pisteet, joiden kautta kaikki kärät kulkevat. Tutkitaan lopuksi minkä leikkauspisteen kautta kaikki kärät kulkevat. Jos p = ja q =, niin = 5. Jos p = ja q =, niin = eli = +. Leikkauspisteet: () = 5 Sijoitetaan htälöön ( ). = + 5= + = 4 = ± Siis leikkauspisteet ovat (,5 ) ja (,5). ) Kun = ja = 5, niin käräparven Vastaus = p pq+ 5 4p+ 4pq vasen puoli on 5 ja oikea puoli on p ( ) pq ( ) + 5 4p + 4pq = 4p + 4pq + 5 4p + 4pq = 8pq + 5

14 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 65 Päivitett 9..7 Piste (,5) ei toteuta käräparven htälöä kaikilla vakioiden p ja q arvoilla (esimerkiksi, kun p = ja q = ). Kaikki kärät eivät siis kulje pisteen (,5) kautta. ) Kun = ja = 5, niin käräparven = p pq+ 5 4p+ 4pq vasen puoli on 5 ja oikea puoli on p pq + 5 4p + 4pq = 4p 4pq + 5 4p + 4pq = 5 Piste (,5 ) toteuttaa käräparven htälön kaikilla vakioiden p ja q arvoilla. Kaikki kärät siis kulkevat pisteen (,5 ) kautta. Vastaus (,5 ) 844 Leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () = Sijoitetaan htälöön ( ). + = + = ( ) ( ) + = ( ) ( ) + = = tai + = ( ) = tai ( ) = = tai = tai ( ) = = tai = tai = = = tai = tai = Vastaus (, ), (, ) ja (, )

15 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 66 Päivitett Valitaan paraabeliparvesta a = a+ a, a R, kaksi (mielivaltaista) paraabelia ja ratkaistaan näiden leikkauspisteet. Valitaan esimerkiksi a = : = a = : ( ) = + Paraabelit a = a+ a, a R, ovat löspäin aukeavia, joten niiden akselit ovat pstsuoria (-akselin suuntaisia). Tällöin pisteen (,4 ) kautta kulkeva suora on paraabelin tangentti, jos ja vain jos tangentilla ja paraabelilla on vain ksi leikkauspiste ja tangentti ei ole pstsuora eli sillä on kulmakerroin. Näiden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () = Sijoitetaan htälöön ( ). = + = + = = = = 4 Siis ainoa leikkauspiste näille kahdelle paraabeliparven paraabelille on (, 4 ). Tämän on samalla oltava kaikkien paraabeliparven paraabelien hteinen piste. Osoitetaan, että tämä saatu hteinen piste toteuttaa paraabeliparven htälöön. Sijoittamalla = saadaan a () = a + a = 4 a+ a = 4, 4 on kaikkien paraabelien hteinen piste. joten piste Tangentin htälö on 4= k = k = k k + 4 Tangentin ja paraabelin = a+ a leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () = k k + 4 = a + a Sijoitetaan htälöön (). a+ a = k k + 4 a k+ a+ k 4= ( a+ k) + a+ k 4=

16 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 67 Päivitett 9..7 Toisen asteen htälöllä on ratkaisuja, jos ja vain jos diskriminantti on nolla. [ ( a+ k) ] 4 ( a+ k 4) = ( a+ k) 4 ( a+ k 4) = a + ak + k 8a 8k + 6= k + a 8 k + a 8a+ 6= k + ( a 4) k + ( a 4) = [ k + ( a 4) ] = ( k + a 4) = k + a 4= k = 4 a D = D = b 4ac 846 Pstsuoria tangentteja ei ole, koska paraabelin akseli on pstsuora. Pisteiden O ja A kautta kulkevan suoran kulmakerroin on Vastaus Yhteinen piste on (, 4 ). Tangentin kulmakerroin on 4 a. k OA, = = Tällöin tangentin kulmakerroin on k, = k = OA

17 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 68 Päivitett 9..7 Tangentin htälö on = = = + + = +, on mprän + = piste, joten + = Sisältää mös tapauksen, + = jossa =, jolloin =. Tangentti on =. Tangentilla ja paraabelilla on täsmälleen ksi hteinen piste. + = = + Sijoitetaan htälöön (). ( ) + + = + + = + + = vain ksi ratkaisu 4 = D = D = b 4ac + = = =, joten = = 4± 4 4 ( 5) = ( 5) 4± 6 = + =, joten = tai = 5 4 =± tai =± 5 6 =± tai = 5 Yhteiset tangentit ovat siis 6 = eli 6 5 = = eli = = eli = Vastaus 6 5= = = =±

18 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 69 Päivitett a) = 4 = a + b+ c, a Paraabeli on vasemmalle aukeava, sillä a = <. Paraabelin huippu: b = = = 4 a ( ) = = 4 = 4 4,. Huippu on Paraabelin akseli on =. b) = = 4 6 :( ) = = a + b+ c, a Paraabeli aukeaa oikealle, sillä a = >. Paraabelin huippu: b = = = = a = + + 5= = + 5= + 5= = 8 7 Huippu on, 8 4. Paraabelin akseli on =. 4 c) = + = a, a Paraabeli aukeaa oikealle, koska a = >. Paraabelin huippu: Paraabelin nollakohdat ovat = ja =, joten huipun -koordinaatti on + + = = = Huipun -koordinaatti on = + = = + Huippu on (,) ja akseli on =.

19 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett = 4 + = a, a d) Paraabeli aukeaa vasemmalle, koska a = 4 <. Paraabelin huippu on ( 5, ) ja akseli =. b) = 4 + = 4 + = a, a Paraabeli aukeaa vasemmalle, koska a = <. Paraabelin nollakohdat ovat = 4 ja =, joten huipun -koordinaatti on + 4+ = = = 848 a) = = a + b + c, a Paraabeli aukeaa oikealle, koska a = >. Paraabelin huippu: b 6 = = = = 6+ 7 a = 6 + 7= 4 4,. Huippu on Huipun -koordinaatti on = 4 + = 4 + = ( 7) 7= 47 Huippu on ( 47, ) Paraabelin akseli on =. Paraabelin akseli on =.

20 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 c) 5= 4 + = a, a Paraabeli aukeaa alaspäin, koska a = 4 <. Paraabelin huippu on (, 5). Paraabelin akseli on =. d) = 4 = a, a Paraabeli aukeaa oikealle, koska a = 4 >., ja akseli =. Paraabelin huippu on 849 a) = 4+ = a + b+ c, a oikealle aukeava paraabeli, koska a = >. b 4 huippu: = = = = 4+ a = 4 + =, nollakohdat: lisäpisteitä: huippu 4+ = 4± 4 4 = 4± = = tai = = 4+,,,, 4,4

21 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 b) = = a + b+ c, a vasemmalle aukeava paraabeli, koska a = <. b huippu: = = = = a = = huippu (, ) nollakohdat: = lisäpisteitä: = = = + = a, a c) oikealle aukeava paraabeli, koska a = >. nollakohdat: = ja = + + = + =, huippu: = = = = ( + )( ) huippu = (, ),,, ( ),

22 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitett 9..7 d) 5= 4 + = a, a Paraabeli aukeaa vasemmalle, sillä a = 4 <. Huippu on ( 5,). Lisäpisteitä: = 5 4 +, (,), 85 Paraabelin = a( a) htälö on huippumuodossa ( = a, a ), joten kerroin a ja paraabelin huippu on (,a ). Paraabelin piste (, ) toteuttaa paraabelin htälön, joten = a( a) a( a) = tulon nollasääntö a = tai ( a) = a = tai a = a = tai a = a ei kelpaa kelpaa Paraabelin huippu on siten (, a ) = (, ). Vastaus (, )

23 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 74 Päivitett Paraabeli = + voidaan piirtää graafisella laskimella, sillä htälö on ratkaistu muuttujan suhteen. Ratkaistaan mös paraabelista = muuttuja. = = toisen asteen htälön ratkaisukaava a =, b=, c= ± ( ) 4 ( ) = ± 6+ 4 ± 4 ( 4+ ) ± 4+ = = = = ± 4 Paraabeli muodostuu siis käristä = + 4 ja = 4 85 a) Ylöspäin aukeavan paraabelin htälö huippumuodossa on = a( ), (, ) (,) = a a > = = a Paraabeli kulkee pisteen 8= a a = a > kelpaa Paraabelin htälö on siis,8 kautta, joten =. b) Oikealle aukeavan paraabelin htälö huippumuodossa on = a, =, = a,8 kautta, joten = a 8 a = = a > 64 kelpaa Paraabelin htälö on siis =. Paraabeli kulkee pisteen Vastaus a) = b) =

24 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 75 Päivitett Sivulle aukeavan paraabelin htälö nollakohtamuodossa on = = a( )( ), a = = a + Paraabeli kulkee pisteen (,8 ) kautta, joten = a ( 8+ ) ( 8 ) = a 9 5 a = 45 Paraabelin htälö on siten = ( + )( ) 45 Huipun -koordinaatti on + + = = = Huipun -koordinaatti on = + = = = Vastaus 4, Piirretään mallikuva. Koska paraabelin pisteillä ( 5,8 ) ja (,8 ) on sama -koordinaatti on paraabeli lös- tai alaspäin aukeava. Paraabelin htälö perusmuodossa on siten = a + b+ c, a Paraabeli kulkee pisteiden ( 5,8 ), (,8 ) ja ( 7, 4) kautta, joten saadaan htälörhmä = a 5 b 5 c = + + 8= a + b + c 4 a 7 b 7 c

25 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 76 Päivitett 9..7 c = 8 5a 5 b Sijoitetaan htälöihin ( ) ja ( ). 69a+ b+ c= 8 ( ) 49a+ 7b+ c= 4 Tapa Piirretään mallikuva. 69a+ b+ 8 5a 5b= 8 49a + 7b+ 8 5a 5b= 4 44a+ 8b= 4a+ b= ( 4) b= 8 a Sijoitetaan htälöön ( 5 ). ( 5) 4a+ b= 4 + ( 8a) = 4a 6a = a = a = Sijoitetaan htälöön ( 4 ). b = 8 Yhtälön () mukaan c = ( 8) c = 7 Paraabelin htälö on siten = Paraabelin smmetria-akseli on = = 9, joten huipun -koordinaatti on = 9. Paraabelin htälö huippumuodossa on = a 9, a Paraabeli kulkee pisteiden ( 5,8 ) ja ( 7, 4) kautta, joten saadaan htälöpari 8 = a a( 7 9) ( ) =

26 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 77 Päivitett = 6a = 4a = a a = 855 Piirretään mallikuva. Sijoitetaan a = htälöön 8 = 6a. Saadaan htälö 8 = 6 = 8 Paraabelin htälö on siten = a( 9) a = ja = 8 ( 8) = ( 9) + 8 = ( 9) paraabelin htälö huippumuodossa + 8= 8+ 8 = 8+ 7 paraabelin htälö perusmuodossa Janan AB keskipiste on A + B A + B C =, =, =,4 Koska jana AB on pstsuora, niin paraabelin akseli on = 4 ja,4. paraabelin huippu on -akselilla pisteessä Vastaus = 8+ 7 Oikealle aukeavan paraabelin htälö huippumuodossa on, (, ) (,4) = a a > = = a 4 ( 4) = a

27 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 78 Päivitett 9..7 Paraabeli kulkee pisteen (, ) kautta, joten = a( 4) a = a > kelpaa Paraabelin htälö on siis = ( 4) huippumuoto = ( 8+ 6) = 4+ 8 perusmuoto 856 Paraabelin ja suoran hteiset pisteet eli jänteen päätepisteet: Sijoitetaan htälöön ( ). = + = + = = ± ( ) 4 ( ) ± = = = tai = = = tai = Siis jänteen päätepisteet ovat (, ) ja (, ). = 4 = 4+ 8 Vastaus Jänteen pituus on [ ] ( ) + ( ) = 9+ 9 = 9 = Vastaus

28 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 79 Päivitett Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. () + = = Sijoitetaan htälöön ( ). 4 + = 4 ( ) = = = tai = = tai = = tai =± = = tai = Yhteiset pisteet ovat (, ), (, ) ja (, ). 858 Paraabeli + = eli = aukeaa oikealle, joten sen akseli on vaakasuora (-akselin suuntainen). 4 Suora + 4= eli = + ei ole vaakasuora, joten se sivuaa paraabelia täsmälleen silloin, kun suoralla ja paraabelilla on vain ksi hteinen piste. Todistetaan, että hteisiä pisteitä on vain ksi. Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla htälöpari. 4 () = + = 4 = ( ) + = = ( ) = = = = = =,. Yhteinen piste on Sijoitetaan htälöön (). Yhteisiä pisteitä on siis vain ksi, joten suora sivuaa paraabelia.

29 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett Paraabeli = eli = aukeaa oikealle >, joten tangentti ei voi olla akselin suuntainen. Tangentin kulmakerroin ei siis voi olla nolla. Paraabelin = huippu: b = = = = a = = Siis huippu on (, ). koska (, ) (,), ei huipun kautta kulkeva pstsuora tangentti = kelpaa ( = on ainut pstsuora tangentti). Olkoon tangentin kulmakerroin k ( ). Tangentin htälö on (, ) (, ) = k = ( ) = k( ), k + = k = k k Tangentilla ja paraabelilla on vain ksi hteinen piste. () = k k = Sijoitetaan htälöön (). = k k = k 4k 4 k 4k 4= Toisen asteen htälöllä ( k ) on vain ksi ratkaisu, jos ja vain jos D =. D = k ( k ) = 4+ 6k + 6k = :4 4k + 4k + = ( k + ) = k + = k = = k k Tangentin htälö on =.

30 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett Paraabeli = + a on vasemmalle aukeava. Paraabelin ja -akselin leikkauskohdat ( = ) : = + a a = ( a) = = tai = a Saadaan kolme eri tilannetta riippuen a:n arvoista: 86 Paraabeli = eli = aukeaa 6 oikealle, koska paraabeli on muotoa = a + b+ c ja a = >. Paraabelin akseli on siten vaakasuora. Paraabelin huippu: b 6 6 = = = = = a 6 6 = = = = 6 Huippu on (,) H =. Paraabelin akseli on siis = Vastaus a

31 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett 9..7 Paraabelin polttopiste P ja huippu H ovat paraabelin akselilla =, joten polttopisteen -koordinaatti on =. Polttopiste P = ( F,). Huipun etäiss johtosuorasta = 4 on. Koska paraabelin huippu H = (,) on htä kaukana johtosuorasta = 4 ja polttopisteestä P = ( F,), niin polttopisteen -koordinaatti =. Siis polttopiste on (, ). on F Vastaus Polttopiste on (, ). F 86 Todistus. = t = t ( t R ) Eliminoidaan parametri t. () = t t = + Sijoitetaan htälöön (). ( ) = + = + = a, a Kärä on siis oikealle aukeava paraabeli ( > ), jonka huippu on (, ). Vastaus Huippu on (, ).

32 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitett ( )( ) > ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( > ja > ) tai ( < ja < ) ( > ja > ) tai ( < ja < ) I Tulon merkkisääntö Paraabelien = ja = leikkauspisteet: () = Sijoitetaan htälöön ( ). = = 4 = ( ) = ( ) = tai = = tai = 4 = tai = = = = Kun =, niin Kun =, niin = =. Leikkauspiste (, ). = =. Leikkauspiste (, ). II I Epähtälön > toteuttavat oikealle aukeavan paraabelin = oikealla puolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) toteuttaa epähtälön >. Epähtälön > toteuttavat löspäin aukeavan paraabelin = läpuolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteuta epähtälöä >. Ehdon > ja > toteuttavat pisteet on esitett seuraavassa kuvassa. II Epähtälön < toteuttavat oikealle aukeavan paraabelin = vasemmalla puolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, ) ei toteuta epähtälöä Epähtälön <. < toteuttavat löspäin aukeavan paraabelin = alapuolella olevat pisteet, sillä esimerkiksi testipiste (, )

33 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 84 Päivitett 9..7 toteuttaa epähtälön <. Ehdon < ja < toteuttavat pisteet on esitett seuraavassa kuvassa. 864 Paraabeli = aukeaa oikealle, koska se on muotoa = a + b+ c, a>. Paraabelin huippu: b = = = = a = = Huippu on (, ). Ehdon I tai II toteuttavat pisteet on esitett seuraavassa kuvassa. Olkoon ( ab, ) paraabelin Tällöin a = b. = piste.

34 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 Päivitett 9..7 Janan AB keskipisteen (, ) koordinaatit ovat A + B + a = = a = b A + B + b b = = = b = b = Ratkaistaan keskipisteiden muodostaman kärän htälö eliminoimalla parametri b R. b = b = () = b = b Sijoitetaan htälöön (). ( ) = = 4 : = Keskipisteet muodostavat oikealle aukeavan paraabelin =. 865 Asetetaan koordinaatisto oheisen kuvan mukaisesti ja kätetään ksikkönä metriä. Paraabelin kaaren AF htälö:, (, ) (,) = a a > = = a = a, a > Piste ( 5, ) on paraabelilla AF, joten 5= a a = a > kelpaa

35 Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 Päivitett 9..7 Paraabelin kaaren htälö on siten =. Junan suurin korkeus saadaan, kun sijoitetaan paraabelin kaaren htälöön piste (,k ): = k k = 6 k = ± 6 = 7, ( m) Vastaus 7,7 m

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Toisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö

Toisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot