Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
|
|
|
- Anita Ahonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja HK-5 ja HK- (loppuhuomautusta HK-8, korjaus ja täydennys Ratkaisuun HK-5 lisätty puuttunut kahteen kohtaan...8 Ratkaisuun - pieni korjaus...8 Korjaus ratkaisun - kulkukaavioon (maksimikohta minimikohta...9 Korjattu ratkaisu Korjaus ratkaisun -9 c kuvaan..5. Korjattu ratkaisua -.
2 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 99 Päivitetty..9 HK- a b 8+ d / 8 + / d / 5 5 ( c d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos cos ( ( ln ln e d e d u( s s' ln / e e e ( e e 9 ( ln
3 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- a ( sin d cos + C b cosd cos d sin + C u( s U( s s HK- F ( 7 8 d C 7 + C c sin tan d d ( sin d cos cos u( s s π π < <, joten ln cos + C U( s cos > ln( cos + C Saadaan yhtälö F Siis 7 + C C F 7. lncos + C
4 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty.5. HK- Ala on Käyrien y ja y leikkauskohdat: y y A da y y d y y, kun Piirretään mallikuva. tai d d / Vastaus Ala on 6.
5 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-5 Paraabelin y 6 ja suoran y leikkauskohdat: 6 ( tai tai Pyörähdyskappaleen tilavuus on V dv πr d π 6 d π d r y ( 6 r y π/ π π 5 9 π, 5 Vastaus 9 π 5
6 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-6 Funktio f on jatkuva, joten sillä on integraalifunktio. Funktiota f ei voida integroida suoraan, joten esitetään se paloittain määritellyssä muodossa., kun f (,kun < +, kun, kun > Funktion f integraalifunktiot ovat muotoa F + + C + >, D, Integraalifunktio F on jatkuva kohdassa, joten lim F lim F. + Koska lim F lim + + C + C niin saadaan yhtälö + C + D D 9 + C Funktion f integraalifunktiot ovat F + + C + + C >, 9, Koska F, niin saadaan yhtälö C + + C Siis F, + + > 5, lim F lim + D + D + +
7 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-7 a Käyrien y, ja y, y eli käyrien y, ja y,, leikkauskohdat: y juuren määritelmä ( tai Tilavuus on ( ( π π V dv y y d π d π d y y
8 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 5 Päivitetty..9 π/ π 5 Tilavuus on ( π π V dv dy y y 5 π 5 π (,9 b Määritetään käyrien y, ja y, y eli käyrien y, y ja y, y, leikkauspisteiden y-koordinaatit a-kohdan perusteella. y ja y π y y dy π y y dy π/ y y 5 π 5 5 π (,9 Vastaus a π b π
9 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 6 Päivitetty..9 HK-8 ln Selvitetään funktion f kuvaajan sijainti -akselin suhteen. ln ( ln Funktio f on aidosti vähenevä välillä 6 e e, koska ln ln ln ln f 6 6 Kun e e, niin ln ( ln >, ln lne lne > ja ln <. <, kun e e Lisäksi (lne 9 f (e > e e 6 6 (lne 6 f (e > 6 6 e e joten funktion f kuvaaja on -akselin yläpuolella välillä 6 e,e. Pinta-alkion ala on da e e e ln A da yd d e e e e 6 ( ln e u( s s 6 ( ln / e ( e U s yd, joten pinta-ala on d s ln ja u s ja U
10 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 7 Päivitetty..9 ( 6 ( lne lne loga a 6 89 ( Vastaus Ala on 6. Saadaan 9 9 π 9π d d puoliympyrän ala r on A π HK-9 a Käyrä y 9 on -säteisen origokeskisen ympyrän alapuolisko, sillä y y + y 9, b Funktio [ ] f :,, f 9 on pariton, sillä f ( 9( ( (9 (9 f Koska integroimisväli [, ] niin (9 f d on symmetrinen origon suhteen,
11 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 8 Päivitetty..9 HK- e d g f taulukkokirjasta: f gd fg g f d e e d f g e + g e + e + C e e + C 9 e d f
12 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 9 Päivitetty..9 HK- a ( b d C C d d d + 5 6ln + C > + 5 6ln+ C HK- a b c e e 5 5 d e + C 5 d 5 5 e 5 e 5 d + C 5 u( s s U( s d + C 5 ln5 U( s u s s 5 d 5 + C 5ln5 s 5 ja u e s 5 ja U e s 5 ja u 5 5 s 5 ja U ln5 5 Vastaus voidaan antaa myös tässä muodossa C ln5 Vastaus voidaan antaa myös tässä muodossa.
13 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- a d d ln + C < ln ( + C c 6 d d d d ln + C > 6 7 ln + C 6 b + + d d ( + ( d u s s s ja u s ja U ln d ln + C >, joten > U( s ln( + C Tapa d d d d d d d 6 ln ln ln + C > ln ln 6ln ln ln 6ln + C + C ln 7 + C ln + C 6 6
14 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- Vastausta voidaan haluttaessa sieventää: F sin( + π d s + π ja u sin s ja U cos sin( π [ cos ( π ] + d + + C u( s s U( s cos ( + π + C Koska F ( π, niin saadaan yhtälö suplementtikulmien F cos( + π kosinit: cosα cos( π α cos( π ( + π vastakulmien kosinit: cos ( cos( α cosα cos cos π+ π + C cosπ + C + C C Siis F cos( + π.
15 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-5 Määritetään funktion f + + tangentin yhtälö kohdassa : Käyriä y + + ja y + vastaavat funktiot ovat jatkuvia, joten käyrät voivat vaihtaa järjestystä vain leikkauskohdissa. Selvitetään käyrien järjestys välillä testipisteen avulla. Derivaatta on f +. 8 y + + y + kommentti y y, kun Tangentin kulmakerroin kohdassa on k t f. Koska f, tangentti kulkee pisteen (, kautta. Piirretään mallikuva. Tangentin yhtälö on y y y k y + o Käyrien y + + ja y + leikkauskohdat: y y ( tai
16 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Ala on A da y y d y y, kun ( d + d / HK-6 Käyrien y ja y + leikkauskohdat: y + + Piirretään mallikuva. y Vastaus Ala on.
17 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Ala on A da y y d y y, kun ( + d HK-7 Helminauhan yksi helmi syntyy, kun käyrä y sin, π pyörähtää -akselin ympäri. / ( + ( d Vastaus Ala on. Yhden helmen tilavuus on V π π y d π π(sin d taulukkokirjasta: sin cos
18 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 5 Päivitetty..9 π π cos d π π π cos d d π π π / cos d π π π / sin π π π π ( sinπ sin π Vastaus HK-8 a Helmen tilavuus on d π. u s ( ( d u( s s' U s' b ( / (( ( 6 (( 6 ( 7 6 d u( s s' d ( / U( s ( (
19 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 6 Päivitetty..9 HK-9 a Määritetään funktion ± f nollakohdat: Tilavuus on V dv f on parillinen. dv πy d ( π ( π + d 5 π/ + 5 π π,5 5 d
20 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 7 Päivitetty..9 b Funktion f nollakohdat ovat ±. Kuvaajaparaabelin huipun y-koordinaatti on f. V dv π dy ( y π + dy y y + π / y + y π + π (,57 c Alue pyörähtää paraabelin huipun kautta kulkevan suoran y ympäri. Syntyvän kappaleen tilavuus saadaan, kun suoran ympyrälieriön (korkeus, pohjan säde tilavuudesta vähennetään ontto sisäosa pois.
21 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 8 Päivitetty 6.5. π r d r y ( + π ( d π d / π 5 5 Sisään jäävän onton osan tilavuus on V dv symmetria dv 5 π 5 π 5 Pyörähdyskappaleen tilavuus on 8 V Vlieriö V π V π π π 5, 5 5 Vastaus a 6 π 5 b π c 8 π 5
22 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 9 Päivitetty..9 HK- t + Merkitään f( t 5t. Funktio f on selvästi derivoituva, kun t + t >, joten voidaan merkitä myös Ft (, 5 dt t>. 5t 5 Nyt saadaan + f ( tdt F( + F(, joten d d + d f( t dt F( + F( d d d F( + F( d d ( d F'( + ( + F ( t f( t d t + f( + f( t 5t 5(
23 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- a ( + ( + u( s s 5 ( + + C 5 U( s 5 ( + + C d d s + ja u s ja U 5 5 b 6 d ( 6 d ( 6 d u( s s ( 6 + C U( s ( 6 ( 6 + C s 6 ja u s ja U ( C
24 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK- Funktio F( sin + cos + 8 on funktion 5 f ( cos sin integraalifunktio, jos F f 5 kaikilla. HK- Paraabeli y aukeaa oikealle ja paraabeli vasemmalle. Määritetään käyrien y + aukeaa y ja y + y-koordinaatit. Väite: F f kaikilla Todistus: F D sin + cos Dsin + Dcos + 5 cos + sin 5 5 cos sin 5 f kaikilla y y + y y y + y ± Piirretään mallikuva. Sijoitetaan yhtälöön (.
25 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Pinta-alkion ala on A ( ( ( y / y + y da dy da dy, joten ala on y + y dy + dy HK- a d + + u( s d + s u( s ln C + > + + ( ln + + C s + ja u d s ja U ln >, joten Vastaus Ala on. Huomautus Alan olisi voinut laskea myös peilaamalla käyrät ensin suoran y suhteen, sillä peilauksessa käyrien rajaama pinta-ala säilyy muuttumattomana. Tällöin pinta-alkion ala on da ( y y d ja käyrät ovat ja y +. y
26 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 b + d d + d c d d d + ( + + ( + ( + d d d d + d + + d + u( s s + ja u s ja U ln d + u( s s d s + ja u s ja U ln + d + u s s ln + + C <, joten + < ln( + C + ln + + C >, joten + > + ln( + + C
27 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 HK-5 a Pyörähdys -akselin ympäri. Esitetään annettu käyrä ilman itseisarvomerkkejä paloittain määritellyssä muodossa: y > +, kun,kun > +, kun,kun < > +, kun tai,kun Nollakohdat: y ± Tilavuus on V πr d symmetria π y d y π d
28 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 5 Päivitetty..9 ( π ( π d d 5 8 π/ π π ( 7 5 b Pyörähdys y-akselin ympäri, integroimisrajat ovat y ja y y Tilavuus on V dv y, π dy y + π y dy π/ y y π 8π 5, y Vastaus a 5 π ( 7 5 8π 5, b
29 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 6 Päivitetty..9 HK-6 Paraabeli y a a aukeaa ylöspäin, sillä a >. Paraabelin kuvaaja on -akselin alapuolella nollakohtien välillä. Paraabelin nollakohdat: a a a a : a ( > a ± a a a ± a> a ± a Piirretään mallikuva. Pinta-alkion ala on da Vastaus a a a a a yd, joten pinta-ala on A da y d a a ( a + a d + a a a a a + a + a a a a a a a + a a + + Ala on. / Huomautus Tehtävässä voidaan soveltaa myös funktion parillisuutta ja integroimisvälin symmetrisyyttä origon suhteen. a a ( ( A a + a d a + a d.... a
30 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 7 Päivitetty..9 HK-7,89t cm Insuliinin luovutusnopeus on vt,5e. Tällöin vrk luovutetun insuliinin määrä on It ( vtdt ( Vastaus:,5e,89t,5,89t e (,89,89 dt,5,89 u( s s' / dt,89t e U( s,5 e e,89,5 6,7 ( e,89,58 ( cm,58 cm,89,89 HK-8 Jaetaan väli [, ] neljään yhtä pitkään osaväliin. Kunkin osavälin pituus on. Funktio f on aidosti kasvava välillä [, ], joten se saa kullakin osavälillä suurimman arvon osavälin oikeassa päätepisteessä ja pienimmän arvon osavälin vasemmassa päätepisteessä. Funktio on aidosti vähenevä välillä [, ], joten se saa kullakin osavälillä suurimman arvon osavälin vasemmassa päätepisteessä ja pienimmän arvon osavälin oikeassa päätepisteessä. Arvioidaan pinta-alaa ala ja yläsummilla s ja S.
31 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 8 Päivitetty..9 Pinta-alkion ala on da A da yd ( d yd, joten pinta-alan tarkka arvo on Alasumma on s f + f + f + f ja yläsumma on S f + f + f + f joten 6 < A < / Lasketaan kumpi arvoista on tarkempi. A s 6 ja A S joten yläsumma on tarkempi kuin alasumma. Vastaus s 6 ja S. Yläsumma on tarkempi, koska ala on.
32 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 9 Päivitetty..9 HK-9 π h ( d π h h / π d π h h π Leikkauskohta on s : Paraboloidin tilavuus on V s dv s π V h dv h π y d y
33 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Saadaan yhtälö s h π π s h h s > s ± h > h s Osien korkeudet ovat h h s ja h s h h HK- f a F a d a + C a + C Koska F, niin saadaan yhtälö a + C 8a + C C 8a Vastaus h ja h Siis F a + 8a. Funktion F pienin arvo on. Laaditaan funktion F kulkukaavio. F a
34 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Derivaatan nollakohdat: a ( a tai a a ± a ± a ± a Jos a, niin derivaatalla vain yksi nollakohta, joka on. Funktio F on jatkuva, joten kulkukaavion mukaan funktio F saa pienimmän arvonsa kohdassa. Saadaan yhtälö F a 8 a + Siis a kelpaa. 8a a a Jos a >, niin funktion F derivaatan nollakohdat ovat ja ± a F + F globaali minimikohta + + a + + F F + + a a a a
35 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Funktio F on jatkuva, joten kulkukaavion mukaan funktio F saa pienimmän arvonsa kohdassa a tai kohdassa a. Koska F( a ( a a ( a + 8a a 8a + 8a a + 8a F a ( a a ( a + 8a a + 8a a tai a + a tai a a tai a± a> a Jos a <, niin funktion F derivaatan nollakohdat ovat ja ± a. + + a + + F + + F a a niin funktio F saa pienimmän arvonsa kohdissa ± a. Pienin arvo on nolla, joten saadaan yhtälö F ( a ( a ± a + 8a a + a a Funktio F on jatkuva, joten kulkukaavion mukaan funktio F saa pienimmän arvonsa kohdassa a tai kohdassa a. Koska F( a a + 8a F( a a + 8a niin funktio F saa pienimmän arvonsa kohdissa ± a.
36 Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu Päivitetty..9 Pienin arvo on nolla, joten saadaan yhtälö F ( a ± Katso kohta. a tai a± a< a Siis kohtien, ja mukaan a tai a ±. Vastaus a tai a ±
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA
MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
7 Differentiaalilaskenta
7 Differentiaalilaskenta 7. Raja-arvo ja jatkuvuus LUVUN 7. YDINTEHTÄVÄT 70. a) lim f( ), lim f ( ) ja f(). b) lim f ( ), lim f ( ),5 ja lim f ( ) 5 Raja-arvoa kohdassa ei ole olemassa. c) Funktio on jatkuva
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
![Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.](/thumbs/61/46046056.jpg "Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.")
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
Matematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2
Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.