Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Transkriptio

1 Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy Funktio f(x) = x 2x on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin kupera kun f (x) < 0. Lasketaan derivaatta: f (x) = x 2 2 2x + 0 = x 2 4x Lasketaan toinen derivaatta: f (x) = 2x 4 = 6x 4 Toisen derivaatan nollakohdat: f (x) = 6x 4 = 0 6x = 4 x = 4 6 = 2 Toisen derivaatan f (x) kuvaaja on ylöspäin nouseva suora, jonka nollakohta on x = 2 eli suora leikkaa x-akselin kohdassa x = 2. Näin ollen ja f (x) > 0, kun x > 2 f (x) < 0, kun x < 2. 1

2 Toisen derivaatan merkkikaavio: 2 f (x) + Täten funktio f(x) on aidosti ylöspäin kupera välillä ], 2 [. Vastaavasti funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera välillä ] 2, [. 2

3 2. Määrää funktion f(x) = x 2x 2 + 4, x 1 pienin ja suurin arvo. Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = x 2 2 2x + 0 = x 2 4x x 2 4x = 0 x(x 4) = 0 2) Välin päätepisteet: x = 1 ja x. x = 0 x = 4 Laatutarkastelu Derivaattafunktion f (x) = x 2 4x kuvaaja on ylöspäin aukeva paraabeli, jonka nollakohdat ovat x = 0 ja x = 4. Derivaatan merkkikaavio: f (x) + + f(x) p.min p.max p.min Funktio f(x) on aidosti kasvava välillä ] 1, 0[ ja ] 4, [ ja aidosti vähenevä välillä ]0, 4 [.

4 Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa joko pisteessä x = 0 tai funktion arvot voivat lähestyä kohti ylärajaa, kun x, ja pienimmän arvonsa funktio f(x) saa joko pisteessä x = 1 tai x = 4. Loppupäättely lim f(x) = lim x x x 2x = f(0) = ( 0) 2 (0) suurinta arvoa ei ole olemassa f = = 4 paikallinen maksimiarvo f( 1) = ( 1) 2 ( 1) ( ) 4 = = = 1 pienin arvo (abs. minimiarvo) ( ) ( ) = = paikallinen minimiarvo Vast. Suurinta arvoa funktiolle f(x) ei ole olemassa ja pienin arvo on f( 1) = 1. Lisäksi lim x f(x) = eli funktio f(x) saa äärettömän suuria arvoja. 4

5 . Etsi minimi- ja maksimiarvo funktiolle f(x) = x, kun x 2. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 9x 2 9x 2 = 0 x = 0 2) Välin päätepisteet: x = 2 ja x. Laatutarkastelu Derivaattafunktion f (x) = 9x 2 kuvaaja on ylöspäin aukeva paraabeli, jonka nollakohta on x = 0. Derivaatan merkkikaavio: 0 2 f (x) + + f(x) Funktio f(x) on aidosti kasvava välillä ], 2[. Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa pisteessä x = 2 ja funktion arvot voivat lähestyä kohti alarajaa, kun x. Piste x = 0 on satulapiste, ei paikallinen ääriarvokohta. 5

6 Loppupäättely f(2) = (2) = 8 = 21 lim f(x) = lim x x (x ) = f(0) = (0) = 0 = suurin arvo (abs. maksimiarvo) pienintä arvoa ei ole olemassa ei ääriarvo Vast. Funktiolla f(x) ei ole pienintä arvoa välillä ], 2], mutta suurin arvo on f(2) = 21. Lisäksi pieniä arvoja. lim f(x) = eli funktio f(x) saa äärettömän x 6

7 4. Määrää funktion f(x) = x 2x 2 + 4, x 1 pienin ja suurin arvo. Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = x 2 2 2x + 0 = x 2 4x x 2 4x = 0 x(x 4) = 0 2) Välin päätepisteet: x = 1 ja x. x = 0 x = 4 Laatutarkastelu Tehdään laatutarkastelu korkeampien derivaattojen avulla. Funktion toinen derivaatta on f (x) = 6x 4. Koska f (0) = = 4 < 0, niin kohdassa x = 0 on paikallinen maksimi. Vastaavasti koska f ( 4 ) = = 24 4 = 8 4 = 4 > 0, niin kohdassa x = 4 on paikallinen minimi. 7

8 Koska kohdassa x = 0 on paikallinen maksimi, on välin päätepisteessä x = 1 oltava paikallinen minimi. Näin ollen funktio f(x) saa suurimman arvonsa joko pisteessä x = 0 tai funktion arvot voivat lähestyä kohti ylärajaa, kun x, ja pienimmän arvonsa funktio f(x) saa joko pisteessä x = 1 tai x = 4. Loppupäättely lim f(x) = lim x x x 2x = f(0) = ( 0) 2 (0) suurinta arvoa ei ole olemassa f = = 4 paikallinen maksimiarvo f( 1) = ( 1) 2 ( 1) ( ) 4 = = = 1 pienin arvo (abs. minimiarvo) ( ) ( ) = = paikallinen minimiarvo Vast. Suurinta arvoa funktiolle f(x) ei ole olemassa ja pienin arvo on f( 1) = 1. Lisäksi lim x f(x) = eli funktio f(x) saa äärettömän suuria arvoja. 8

9 5. Etsi minimi- ja maksimiarvo funktiolle f(x) = x, kun x 2. Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat 1) Derivaatan nollakohdat: f (x) = 9x 2 9x 2 = 0 x = 0 2) Välin päätepisteet: x = 2 ja x. Laatutarkastelu Tehdään laatutarkastelu korkeampien derivaattojen avulla. Funktion toinen derivaatta on f (x) = 18x. Nyt f (0) = 18 0 = 0 joten testi ei kerro mitään. Funktion kolmas derivaatta on f (x) = 18. Nyt f (0) = 18 0 joten kohdassa x = 0 ei voi olla paikallista ääriarvoa, koska ensimmäisen nollasta eroavan derivaatan kertaluku on pariton luku. Funktiolla f(x) on siis kohdassa x = 0 satulapiste. 9

10 Koska f (x) = 9x 2 0, on funktio f(x) kasvava tarkastelualueessa x 2. Tämän perusteella on välin päätepisteessä x = 2 oltava paikallinen maksimi. Loppupäättely f(2) = (2) = 8 = 21 lim f(x) = lim x x (x ) = f(0) = (0) = 0 = suurin arvo (abs. maksimiarvo) pienintä arvoa ei ole olemassa ei ääriarvo Vast. Funktiolla f(x) ei ole pienintä arvoa välillä ], 2], mutta suurin arvo on f(2) = 21. Lisäksi pieniä arvoja. lim f(x) = eli funktio f(x) saa äärettömän x 10