x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

Transkriptio

1 BM0A Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan väliltä [ 1, 0] ja kertoa sen kahdella. Siis koska f )d = 1 4 1) +C niin kysytty ala on 1 4 1) 1) ) ) = 1/. b) Tämä on heiman hankala joskaan ei mahdoton) integroitavaksi, mutta maksimit ja minimithän löytyvätkin derivaatan nollakohdasta. Siis merkitään It) = t t e 4 d ja merkitään g) = e 4. Tällöin It) = Gt) G t) ja täten I t) = gt) g t) 1) = te t4 + t)e t)4 = 0 kaikilla t:n arvoilla. Kyseessä on siis vakiofunktio joka saa saman arvon 0) kaikilla t:n arvoilla. Tietysti tämähkin olisi voinut perustella funktion parittomuuden avulla suoraan.. a) Merkitään ikkunan leveyttä, jolloin puoliympyrän säde on, ja ikkunan suorakulmaisen osan korkeutta y. Jotta ikkuna on olemassa, pitää olla > 0 ja y 0. Ikkunan piiri on + 1 π + y = 6 y = 6 1 π y = π Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli A) = y + 1 π ) = π) π = π π = π Funktion A) suurin arvo löytyy sen derivaatan nollakohdista. A ) = 1 4 π = π) = 1 = = 4π) 4 + π Tutkimalla derivaatan merkkiä nollakohdan molemmin puolin kuva 1) voidaan todeta sen olevan funktion suurin arvo. Täten suurin mahdollinen pinta-ala on ) 1 A = 1 ) π 4 + π π 18 ) π π) 7 18π = 4 + π) π π) = = 4 + π) 4 + π) = π

2 A ) 1 4+π 0 + A) Kuva 1: Merkkitaulukko b) Pistettä 0, ) lähimpänä paraabelilla ovat ne pisteet, joihin tuosta pisteestä piirretty suora on kohtisuorassa paraabelin tangenttia vastaan. Kutsutaan kaikkia tämän ehdon toteuttavia pisteitä 0,y 0 ). Paraabelin tangentin kulmakerroin pisteessä 0,y 0 ) on sen derivaatta eli y = y 0 ) = 0 Pisteiden 0,y 0 ) ja 0,) välillä kulkevan suoran kulmakerroin on y = y 0 0 Jotta suora ja tangentti ovat kohtisuorassa, pitää olla ) y0 0 ) = 1 0 y 0 4 = 1 y 0 = y 0 = Sijoitetaan saatu y-koordinaatti paraabelin yhtälöön ja ratkaistaan 0 : = = 1 0 = ± 1 Kysytyt pisteet ovat siis ±, ). Huom! Tällä tavalla yksi ehdokaspiste joka ei tosin satu tuottamaan tällä kertaa lyhintä etäisyyttä) jää huomaamatta. Nimittäin pisteen 0,) kulkevan suoran kulmakerrointahan ei pystytä määrittämään nyt jos edellä 0 = 0. Tämä "erikoistapaus"pitää siis vielä erikseen tutkia. Tässä nimennomaisessa tehtävässä erikoista on että tämäkin suora sattuu olemaan kohtisuorassa paraabelia vastaan. Tämän pisteen 0,1) etäisyys kuitenkin sattuu olemaan vähän suurempi kuin edellä mainituilla pisteillä. Toinen tapa ratkaista tehtävä: muodostetaan funktio g) = 0) + y ) = ) ja etsitään tämän derivaatan nollakohdat. Suositellaan tätä tapaa.

3 . a) b) c) d) y = sin) lny) = sin)ln) y y = cos)ln) + sin) y = sin) cos)ln) + sin) y = e ) lny) = ln) y y = 1 y = e ) y = e ) ) ) 1 = e ) 1 ) y = 6e + e ) = 6e e y = 1 ) + 1) 4 lny) = ln1 ) + 4ln + 1) y y = y = 1 ) + 1) 4 1 ) ) 1) d d y d d y d d d d y 4. a) i. Merkitään y = 4)) = g) ja lasketaan aluksi g ). Seuraavaksi lasketaan y. y = g) g) = 4 ) ) lng)) = ln 4 ) = 4 ln) g ) g) = 4 ln) g ) = 4) 4ln) + 1) d d g) lny) = g)ln) y y = g )ln) + g) 1 y = y g )ln) + g) 1 ) d d y = 4) ) 4) 4ln) + 1)ln) + 4) 1 )

4 ii. Merkitään f ) = ja g) = e ) ja lasketaan ensin näiden funktioiden derivaatat. f ) = ln f )) = 1 d ln) d f ) f ) = 1 1 ln) + 1 ) f ) f ) = 1 1 ln) + 1 ) g) = e ) lng)) = g ) g) = g ) = e ) d d g) Nyt voidaan laskea kysytty derivaatta y = f )g) + f )g ) = ln) + 1 ) = e ) 1 4 ln) e ) + e ) ) b) Oletetaan, että p 0. Funktio R on aidosti kasvava välillä [0, ] ja aidosti vähenevä välillä [, [. Funktiolle voidaan siis muodostaa käänteisfunktio näillä väleillä. Kun ratkaistaan p yhtälöstä R = 6p p, saadaan p = ± 9 R. Kun halutaan p:n olevan välillä [0,], käänteisfunktio on p = 9 R määrittelyjoukko [0,9]), ja kun halutaan p:n olevan välillä [, [, käänteisfunktio on p = + 9 R määrittelyjoukko ],9]). Käänteisfunktioiden derivaatat ovat p = 1 9 R ja p = 1 9 R. Derivaatan d p dr voi laskea myös differentioimalla implisiittisesti, mikä onkin se tapa jota nyt suosittelisin: 6p p = R 6p pp = 1 p 6 p) = 1 p = 1 6 p 5. a) Olkoon kartiossa olevan vedenpinnan korkeus ht) ja vedenpinnan säde rt). Ajatellaan hetkenä t = 0 sitä hetkeä, kun veden virtaus säiliöstä alkaa. Olkoon α kartion poikkileikkauksessa korkeuden ja sivun välinen kulma, jolloin Säde r voidaan ilmaista korkeuden avulla tanα = r0) h0) = 6 10 = 5 rt) = ht)tanα = 5 ht) d dr

5 Kartion tilavuus on Korkeuden muutosnopeus on tällöin h t) = 1 V t) = 1 πr h V t) = 5 πht) 5 ht) = π V t) ) 1 ) 5 π V t) 5 π V t) Tehtävänannon mukaan V t) = 10. Kun V = 00, korkeuden muutosnopeus h V = 00) = 1 ) 5 π 00 5 π 10) = 50 ) π π = 50 9π π 5000 ) cm/s) b) Olkoon sahajauhokasan korkeus ht) ja kasan pohjan säde rt). Kasan leveys on kolme kertaa niin suuri kuin sen korkeus, eli Kasan tilavuus on siten rt) = ht) rt) = ht) V t) = 1 πr h = 1 π ht) ) ht) = 4 πht)) Derivoidaan tilavuuden lauseketta puolittain ajan suhteen, jolloin saadaan Sijoitetaan h = 10 ja V = 10: V t) = 4 π ht)) h t) h V t) t) = 4 π ht)) h 10 h = 10) = 4 π 10) = π = 8 15π m/s)

6 6. a) Olkoon tikkaiden alapään etäisyys seinästä ja y tikkaiden yläpään etäisyys lattiasta 0 ja y 0). Tikkaiden pituus on 5 m, joten Pythagoraan lauseen mukaisesti y + = 5 5 yy + = 0 yy + = 0 y = y = 0.4 y d dt Kun y = 0.9: = 5 5 Sijoitetaan y:n nopeuden lausekkeeseen: = = y 0.4 = Tikkaiden yläpää liikkuu siis alaspäin nopeudella b) Merkitään tikkaiden ja maanpinnan välistä kulmaa θ. tanθ = y θ = tan 1 y ) θ t) = y y ) 1 + y = y y + y = 1 5 y y) d dt Sijoitetaan y = 0.9, = 4.19, y = 0.9 ja = 0.4: θ t) = ) ) Kulma siis pienenee nopeudella

7 c) Pitää olla y = 0.4 = 0.4 y = y + = 5 = 5 = 5 = 5 y = 5 Koska tikkaiden yläpään etäisyys lattiasta on sama kuin alapään etäisyys seinästä, tikkaat muodostavat 45 kulman lattian kanssa. 7. siny) = y + 1) d d y cosy) = y + y + 1) y cosy) ) = y + 1) y = y + 1) cosy) Kun y = 0: sin0) = 0 + 1) = 0 = 0 y = ) cos0) 0 = 0 Koska funktion derivaatta on nolla pisteessä 0,0), pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla eli tangentti on vaakasuora. Kun = 0 y = 0 y + 1) = 0 = 0 y = 1 siny) = y + 1) 0 siny) = 0 y = π + nπ Kun y = 1: sin 1) = 1 + 1) sin 1) = 0

8 y ei saa arvoa 1 millään :n arvolla. Käyrällä on siis vaakasuoria tangentteja pisteissä 0,π + nπ), n Z. Käyrällä on pystysuoria tangentteja niissä pisteissä, missä derivaattaa ei ole määritelty, eli käyrän pisteissä {,y) cosy) = }. 8. a) b) f ) = + 1 f ) = + f saa arvon, kun = 1. f 1 ) ) = 1 f f 1 )) = 1 f 1) = = 1 5 y = e y = e + e 1 = e + e 1 y = e + 4e + e = 6e + 4 e = e ) Koska e eikä ) ei ole koskaan nolla, y on nolla jos = 0. y ) y ) y) 0 + y ) y) Kuva : Merkkikaaviot c) Derivaattojen merkkitaulukkojen kuva ) perusteella voidaan sanoa, että y on kasvava kaikkialla, konkaavi alaspäin välillä ],0[ ja konkaavi ylöspäin välillä ]0, [ + y = + y + y y = + y 6 + y y + 6yy y = y y y 1) = 6 + yy ) ) y = + yy ) ) y 1 d d d d