Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
|
|
- Ari-Matti Hänninen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat radiaaneina a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 + x 3 = 2? (1 p) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 3 : 5 = 2? (1 p) c) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x 2 > x? d) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 6 cos x = 3? e) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön e x 3 = 0? f) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön ln x > 3? (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) Ratkaisu: a) Huomataan, että 5 + x 3 = x 3 = x 12 = x = x = x = 2 12 x = 2 15 x = 9 x = 9 Näin ollen ainoa reaaliluku x, joka toteuttaa yhtälön 5 + x 3 = 2, on x = 9 Vastaus: Reaaliluku x = 9 Sarja B: x = 2 Vastaus: x = 3 Sarja C: 5 + x 3 = 2 Vastaus: x = 18 5 Sarja D: 3 + x 5 = 2 Vastaus: x = 10 3 b) Huomataan, että x 3 : 5 = 2 x 3 5 = 2 x 5 3 = 2 x 5 12 x = 2 5 = 2 x 5 = 2 12 x 5 = 2 Näin ollen ainoa reaaliluku x, joka toteuttaa yhtälön x 3 : 5 = 2, on x = 2 5 1
2 Vastaus: Reaaliluku x = 2 5 Sarja B: x : 3 = 2, Vastaus: x = Sarja C: x : 5 = 2, Vastaus: x = Sarja D: x : 3 = 2, Vastaus: x = c) Epäyhtälö x 2 > x toteutuu jos ja vain jos x 2 x > 0 Ratkaistaan paraabelin x 2 x nollakohdat: x 2 x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 tai x = 1 Koska paraabeli x 2 x on ylöspäin aukeava, niin epäyhtälö x 2 x > 0 toteutuu jos ja vain jos x < 0 tai x > 1 Vastaus: x 2 > x toteutuu jos ja vain jos x < 0 tai x > 1 Sarjat B, C ja D: Sama kuin sarja A d) Huomataan, että 6 cos x = 3 cos x = 3 6 cos x = 1 2, ja että cos x = 1 jos ja vain jos x = π + n 2π tai x = 5π kokonaisluku Vastaus: 6 cos x = 3, jos ja vain jos x = π + n 2π tai x = 5π 3 3 kokonaisluku + n 2π, missä n on mikä tahansa + n 2π, missä n on mikä tahansa Sarja B: cos x = 2, Vastaus: x = π + n 2π tai x = 5π + n 2π, missä n on kokonaisluku 3 3 Sarja C: 7 cos x = 1, Vastaus: Yksikään reaaliluku ei toteuta yhtälöä 7 cos x = 1 Sarja D: 5 cos x = 10, Vastaus: Yksikään reaaliluku ei toteuta yhtälöä 5 cos x = 10 e) Koska e x 3 = 0 e x = 3 ln(e x ) = ln(3) x = ln(3), niin ainoa reaaliluku x, joka toteuttaa yhtälön e x 3 = 0, on ln(3) Vastaus: Reaaliluku x = ln(3) Sarja B: e x 5 = 0, Vastaus: x = ln(5) Sarja C: e x 2 = 0, Vastaus: x = ln(2) Sarja D: e x = 0, Vastaus: x = ln() f) Huomataan, että ln x > 3 e ln x > e 3 x > e 3 Vastaus: Epäyhtälö ln x > 3 toteutuu jos ja vain jos x > e 3 2
3 Sarja B: ln x > 5, Vastaus: x > e 5 Sarja C: ln x > 2, Vastaus: x > e 2 Sarja D: ln x > 2, Vastaus: x > e 2 2 Anna kaikkien kohtien vastaukset tarkkoina arvoina Kohtien c) ja d) ratkaisuissa voi käyttää kohtien a) ja b) tuloksia ja kohdan e) ratkaisussa voi käyttää kaikkien edellisten kohtien tuloksia a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 2x 2 3x 3 = 0? b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 2x 2 5x + 1 = 0? (1 p) (1 p) c) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtä aikaa sekä epäyhtälön x 2 0 että epäyhtälön 2x 2 x 1 + x 2 0? (1 p) d) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtä aikaa sekä epäyhtälön x 2 < 0 että epäyhtälön 2x 2 x 1 + x 2 0? (1 p) e) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön 2x 2 x 1 + x 2 0? Ratkaisu: (2 p) a) Paraabelin nollakohdat ovat ja y = 2x 2 3x 3 ( 3) + ( 3) 2 2 ( 3) 2 2 ( 3) ( 3) ( 3) = = = = 3 33 Vastaus: Yhtälö 2x 2 3x 3 = 0 toteutuu jos ja vain jos x = tai x = 3 33 Sarja B: 2x 2 15x + 2 = 0 Vastaus: x = tai x = Sarja C: 2x 2 7x + 2 = 0 Vastaus: x = tai x = 7 33 Sarja D: 2x 2 11x 11 = 0 Vastaus: x = tai x = b) Paraabelin nollakohdat ovat y = 2x 2 5x + 1 ( 5) + ( 5) = =
4 ja ( 5) ( 5) = 5 17 Vastaus: Yhtälö 2x 2 5x + 1 = 0 toteutuu jos ja vain jos x = tai x = 5 17 Sarja B: 2x 2 17x + 3 = 0 Vastaus: x = tai x = Sarja C: 2x 2 9x + 8 = 0 Vastaus: x = tai x = 9 17 Sarja D: 2x 2 13x + 19 = 0 Vastaus: x = tai x = c) Ensimmäisestä epäyhtälöstä x 2 0 seuraa, että x 2 ja että toinen tarkasteltava epäyhtälö voidaan esittää muodossa 2x 2 x 1 + (x 2) 0 Paraabeli y = 2x 2 x 1 + x 2 = 2x 2 3x 3 ja kohdan a) ratkaisun nojalla sen nollakohdat ovat x = ja x = 3 33 Koska kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, epäyhtälö 2x 2 3x 3 0 toteutuu, jos ja vain jos 3 33 x Toisaalta ehdosta x 2 0 seurasi, että x 2 Täten 2 x Vastaus: Molemmat epäyhtälöt x 2 0 ja 2x 2 x 1 + x 2 0 toteutuvat jos ja vain jos 2 x Sarja B: x 5 0 ja 2x 2 16x x 5 0 Vastaus: 5 x Sarja C: x 3 0 ja 2x 2 8x x 3 0 Vastaus: 3 x Sarja D: x 0 ja 2x 2 12x x 0 Vastaus: x d) Ensimmäisestä epäyhtälöstä x 2 < 0 seuraa, että x < 2 ja että toinen tarkasteltava epäyhtälö voidaan esittää muodossa 2x 2 x 1 (x 2) < 0 Paraabeli y = 2x 2 x 1 x + 2 = 2x 2 5x + 1 ja kohdan b) ratkaisun nojalla sen nollakohdat ovat x = ja x = 5 17 Koska kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, epäyhtälö 2x 2 5x toteutuu, jos ja vain jos 5 17 x Toisaalta ehdosta x 2 < 0 seurasi, että x < 2 Täten 5 17 x < 2 Vastaus: Molemmat epäyhtälöt x 2 < 0 ja 2x 2 x 1 + x 2 0 toteutuvat jos ja vain jos 5 17 x < 2 Sarja B: x 5 < 0 ja 2x 2 16x x 5 0 Vastaus: x < 5
5 Sarja C: x 3 < 0 ja 2x 2 8x x 3 0 Vastaus: 9 17 x < 3 Sarja D: x < 0 ja 2x 2 12x x 0 Vastaus: x < e) Kun yhdistetään kohtien c) ja d) tulokset, saadaan että epäyhtälö 2x 2 x 1 + x 2 0 toteutuu jos ja vain jos 5 17 x Vastaus: Epäyhtälö 2x 2 x 1 + x 2 0 toteutuu jos ja vain jos 5 17 x Sarja B: 2x 2 16x x 5 0 Vastaus: x Sarja C: 2x 2 8x x 3 0 Vastaus: 9 17 x Sarja D: 2x 2 12x x 0 Vastaus: x Eräissä vaaleissa äänestettiin yhtä ehdokkaista A, B, C tai D Seuraava tulosjakauma julkaistiin, vaikka osa äänistä oli vielä laskematta: A B C D 60 % % 20 % 16 % a) Kuinka suuri osuus annetuista äänistä yllä esitetyssä tilanteessa pitää olla laskettuna, jotta ehdokas A voi olla täysin varma siitä, että hän saa vaaleissa suurimman äänimäärän? Anna vastaus prosentteina yhden prosenttiyksikön tarkkuudella (3 p) b) Yllä esitetyssä tilanteessa on laskettu 70 % äänistä Oletetaan, että ehdokaan A lopullinen kannatus on 62 % Onko mahdollista, että ehdokas D voittaa ehdokkaan C? (3 p) Ratkaisu: a) Olkoon x vaaleissa annettujen äänien lukumäärä ja olkoon p 100 laskettujen äänien osuus prosentteina Jo lasketuista äänistä suurin osa (60 %) on annettu ehdokkaalle A ja toiseksi suurin osa (20%) on annettu ehdokkaalle C Näin ollen ehdokas A voi olla täysin varma siitä, että hän saa suurimman äänimäärän, jos Koska annettu äänimäärä on nollaa suurempi, Huomataan, että 0, 60px > 0, 20px + (1 p)x 0, 60px > 0, 20px + (1 p)x 0, 60p > 0, 20p + (1 p) 0, 60p > 0, 20p + (1 p) 0, 60p 0, 20p + p > 1 1, 0p > 1 p > 1 1, Huomataan, että 1 1, 0, 7129 Vastaus: Ehdokas A voi olla täysin varma siitä, että hän saa suurimman äänimäärän, jos äänistä on laskettu vähintään 72 % Sarja B: Tulosjakauma: 5
6 A B C D 60 % % 23 % 13 % Vastaus: Ehdokas A voi olla täysin varma siitä, että hän saa suurimman äänimäärän, jos äänistä on laskettu vähintään 73 % Sarja C: Tulosjakauma: A B C D 60 % % 23 % 13 % Vastaus: Ehdokas A voi olla täysin varma siitä, että hän saa suurimman äänimäärän, jos äänistä on laskettu vähintään 73 % Sarja D: Tulosjakauma: A B C D 62 % 10 % 17 % 11 % Vastaus: Ehdokas A voi olla täysin varma siitä, että hän saa suurimman äänimäärän, jos äänistä on laskettu vähintään 69 % b) Olkoon x vaaleissa annettujen äänien lukumäärä Koska äänistä on laskettu 70 %, niin tiedetään että ehdokkaalla A on koossa 0, 6 0, 7x = 0, 2x ääntä Ääniä on laskematta 0, 3x Ehdokkaan A lopullinen kannatus on 62 %, joten vielä laskematta olevista äänistä 0, 2x menee ehdokkaalle A Näin ollen laskematta olevia ääniä on jaossa yhteensä 0, 1x kappaletta ehdokkaille B, C ja D Jos ehdokas D saa nämä kaikki jäljellä olevat äänet, niin hänen lopullinen äänimääränsä on 0, 70 0, 16x + 0, 10x = 0, 212x ja ehdokkaan C lopullinen äänimäärä on 0, 70 0, 20x = 0, 1x Koska 0, 212x > 0, 1x, niin on mahdollista, että ehdokas D voittaa ehdokkaan C Vastaus: On mahdollista, että ehdokas D voittaa ehdokkaan C Sarja B: Sarjan B tulosjakauma on annettu ratkaisun kohdassa a) Vastaus: On mahdollista, että ehdokas D voittaa ehdokkaan C Sarja C: Sarjan C tulosjakauma on annettu ratkaisun kohdassa a) Vastaus: On mahdollista, että ehdokas D voittaa ehdokkaan C Sarja D: Sarjan D tulosjakauma on annettu ratkaisun kohdassa a) Vastaus: On mahdollista, että ehdokas D voittaa ehdokkaan C Ympyrän kehältä valitaan kolme pistettä A, B ja C Ympyrän säde R = 7 cm Pisteiden A ja B välinen etäisyys on 2R Kun pisteet yhdistetään janoilla toisiinsa, muodostuu suorakulmainen kolmio 6
7 a) Piirrä kuva, jossa pisteet A, B ja C on merkitty ympyrän kehälle (1 p) b) Pisteiden A ja C välinen etäisyys on t Esitä kolmion sivujen yhteispituus L = L(t) muuttujan t funktiona (2 p) c) Kuinka suuri sivujen yhteispituus L(t) voi enimmillään olla? Anna vastauksen tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo (3 p) Ratkaisu: a) b) Ympyrän säde on 7 cm, joten kolmion hypotenuusan pituus on 2 7 cm = 1 cm Kolmion toisen kateetin pituus on t ja Pythagoraan lauseen nojalla toisen kateetin pituus on (1 cm)2 t 2 Näin ollen L(t) = t + (1 cm) 2 t cm = t cm 2 t cm, missä 0 cm t 1 cm Vastaus: L(t) = t cm 2 t cm, missä 0 cm t 1 cm Sarja B: R = 6 cm Vastaus: L(t) = t + 1 cm 2 t cm, missä 0 cm t 12 cm Sarja C: R = 9 cm Vastaus: L(t) = t + 32 cm 2 t cm, missä 0 cm t 18 cm 7
8 Sarja D: R = cm Vastaus: L(t) = t + 6 cm 2 t cm, missä 0 cm t 8 cm c) L(t) = t cm 2 t cm, missä 0 cm t 1 cm Funktio L(t) on jatkuva ja se on derivoituva avoimella välillä ]0 cm, 1 cm[, joten se saavuttaa maksimiarvonsa joko välin [0 cm, 1 cm] päätepisteissä tai jossakin derivaatan nollakohdassa Lasketaan ensin funktion arvo välin päätepisteissä: L(0 cm) = 0 cm cm 2 0 cm 2 +1 cm = 196 cm 2 +1 cm = 1 cm +1 cm = 28 cm L(1 cm) = 1 cm cm 2 (1 cm ) 2 +1 cm = 1 cm cm cm 2 +1 cm = 1 cm + 1 cm = 28 cm Etsitään sitten funktion derivaatan nollakohdat avoimella välillä ]0 cm, 1 cm[: Kun 0 < t < 1, niin L (t) = cm2 t ( 2t) = 1 t cm2 t 2 ja L (t) = 0 t = 196 cm 2 t 2 Neliöimällä tämä saadaan t 2 = 196 cm 2 t 2 Koska t > 0 cm, t 2 = 196 cm 2 t 2 2t 2 = 196 cm 2 t 2 = 98 cm 2 t = 98 cm = 2 7 cm Lasketaan funktion arvo derivaatan nollakohdassa: L( 98 cm) = 98 cm cm 2 ( 98 cm) cm = 98 cm + 98 cm + 1 cm = 2 98 cm + 1 cm = ( ) 7 cm Koska (2+2 2) 7 cm > 28 cm, sivujen yhteispituus L(t) voi olla enimmillään (2+2 2) 7 cm Vastaus: Sivujen yhteispituus L(t) voi olla enimmillään ( ) 7 cm Tämän kaksidesimaalinen likiarvo on 33, 80 cm Sarja B: R = 6 cm Vastaus: ( ) 6 cm Tämän kaksidesimaalinen likiarvo on 28, 97 cm Sarja C: R = 9 cm Vastaus: ( ) 9 cm Tämän kaksidesimaalinen likiarvo on 3, 6 cm Sarja D: R = cm Vastaus: ( ) cm Tämän kaksidesimaalinen likiarvo on 19, 31 cm 5 Suoran ympyräkartion K korkeus h = 8 cm ja pohjaympyrän säde r = 6 cm Ympyräkartion K sisään asetetaan pallo P, joka sivuaa kartion pohjaympyrää ja vaippaa ja jonka tilavuus on mahdollisimman suuri Piirrä kuva ympyräkartiosta K ja sen sisällä olevasta pallosta P Laske pallon P säde r P ja tilavuus V P Anna vastausten yksidesimaaliset likiarvot (6 p) 8
9 Ratkaisu: Kuva (1 p): Pallon säde ( p): Olkoon suoran ympyräkartion sisään asetetun pallon säde r p Tarkastellaan oheista leikkauskuviota Olkoon leikkauskuvion suuren suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus x Pythagoraan lauseen nojalla x 2 = (6 cm) 2 + (8 cm) 2 ja näin ollen x = cm 9
10 Toisaalta ja cos α = 6 cm x sin α = 8 cm x Sijoittamalla näihin x = cm, saadaan cos α = 6 cm cm = 3 5 ja sin α = 8 cm cm = 5 Leikkauskuvion kahdella pienellä suorakulmaisella kolmiolla on sama hypotenuusa ja saman pituinen kateetti (r p ), joten Pythagoraan lauseen nojalla myös toinen kateetti on saman pituinen Näin ollen katkoviivalla merkitty hypotenuusa jakaa kulman α kahteen yhtäsuureen osaan Nyt, kun tarkastellaan pieniä suorakulmaisia kolmioita, saadaan tan α 2 = r p 6 cm Koska saadaan tan α 2 = josta edelleen r p = 3 cm sin α 1 + cos α = (1 5 : + 3 ) = 5 5 : 8 5 = = 1 2, r p 6 cm = 1 2, Pallon tilavuus (1 p): Pallon tilavuus V p = 3 πr3 p = 3 π(3 cm)3 113, 1 cm 3 Vastaus: Pallon P säde r p on 3,0 cm ja tilavuus V p = 113, 1 cm 3 Sarja B: Suoran ympyräkartion K korkeus h = cm ja pohjaympyrän säde r = 3 cm Vastaus: Pallon P säde r p on 1,5 cm ja tilavuus V p = 1, 1 cm 3 Sarja C: Suoran ympyräkartion K korkeus h = 12 cm ja pohjaympyrän säde r = 9 cm Vastaus: Pallon P säde r p on,5 cm ja tilavuus V p = 381, 7 cm 3 Sarja D: Suoran ympyräkartion K korkeus h = 16 cm ja pohjaympyrän säde r = 12 cm Vastaus: Pallon P säde r p on 6,0 cm ja tilavuus V p = 90, 8 cm 3 6 Oletetaan, että b, c [ 1, 1] Tarkastellaan funktiota f, f(x) = x 2 + bx + c a) Tarkastellaan funktion f arvoa f(x) Oletetaan, että x [ 1, 1] Osoita, että tällöin funktion f pienin ja suurin arvo ovat molemmat välillä [ 1, 1], jos ja vain jos b 2 1 c b (3 p) 10
11 b) Oletetaan, että b ja c ovat toisistaan riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia tasajakaumasta välillä [ 1, 1] Millä todennäköisyydellä f(x) [ 1, 1] kaikilla x [ 1, 1]? Anna vastauksen tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo (3 p) Ratkaisu: a) Olkoon m funktion f pienin arvo ja M suurin arvo välillä [ 1, 1] Koska f (x) = 2x + b = 0 jos ja vain jos x = b/2 ja koska f:n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, niin m = f( b/2) = b 2 / + c Huomaa, että b/2 [ 1, 1] Täten m 1 b 2 / + c 1 c b 2 / 1 Funktion f suurin arvo M saavutetaan jommassa kummassa välin [ 1, 1] päätepisteessä Nyt M 1 f( 1) 1 ja f(1) 1 c b ja c b c b Näin ollen m ja M ovat välillä [ 1, 1] jos ja vain jos b 2 / 1 c b Sarjat B, C ja D: Sama kuin sarja A b) Koska f(x) [ 1, 1] kaikilla x [ 1, 1] jos ja vain jos m ja M ovat välillä [ 1, 1], niin nyt kohdan a) nojalla kysytty todennäköisyys saadaan jakamalla käyrien c = b 2 / 1 ja c = b väliin jäävän alueen pinta-ala A (harmaa alue kuvassa) neliön 1 b, c 1 pinta-alalla joka 2 2 = Lasketaan käyrien c = b 2 / 1 ja c = b leikkauspisteet Jos b < 0, niin b 2 / 1 = b b 2 / 1 = b b = ,
12 Jos b 0, niin b 2 / 1 = b b 2 / 1 = b b = , 828 Täten A = 2 ˆ ( ( b 2 )) b 1 db = 2 Näin ollen kysytty todennäköisyys on (b b2 2 b3 12 ) = , 8758 A = , Vastaus: Kysytty todennäköisyys on ja tämän todennäköisyyden kaksidesimaalinen likiarvo on 0, 22 Sarjat B, C ja D: Sama kuin sarja A c 2018 Aalto-yliopisto, Lappeenrannan teknillinen yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen teknillinen yliopisto, Turun yliopisto, Vaasan yliopisto, Åbo Akademi 12
a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Kartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
7 Differentiaalilaskenta
7 Differentiaalilaskenta 7. Raja-arvo ja jatkuvuus LUVUN 7. YDINTEHTÄVÄT 70. a) lim f( ), lim f ( ) ja f(). b) lim f ( ), lim f ( ),5 ja lim f ( ) 5 Raja-arvoa kohdassa ei ole olemassa. c) Funktio on jatkuva
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa