5 Rationaalifunktion kulku

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 Rationaalifunktion kulku"

Transkriptio

1 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja ratkaistaan sen nollakohdat. Symbolisen laskennan ohjelmalla derivaattafunktioksi saadaan f( ) 0. Derivaattafunktion määrittelyehto on + 0 eli. Derivaattafunktion nollakohdiksi saadaan symbolisen laskennan ohjelmalla,58 ja 5,58. Selvitetään kulkukaaviota varten derivaattafunktion merkki. Derivaattafunktio on rationaalifunktio, jonka merkki voi vaihtua nollakohdissa ja kohdissa, joissa funktiota ei ole määritelty. Testataan derivaattafunktion merkki eri puolilla nollakohtia sekä kohtaa =. f ( 4) = 0,6 > 0 f (0) = 0 < 0 f () = 4,5 < 0 f (0) 0,74 > 0 f () + + f()

2 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kulkukaavion perusteella funktion f paikallinen maksimiarvo on f ( ) ja paikallinen minimiarvo on f ( ). Vastaus: Paikallinen maksimiarvo on ja paikallinen minimiarvo on.. a) Sievennetään funktioiden lausekkeet. f( ) ( ), g D ( ) D ( ) ( ), Funktio g ei ole funktion f derivaattafunktio, sillä D =. Vastaus: Funktion f derivaattafunktio ei ole funktio g.

3 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Erotusosamäärän avulla funktion h derivaattafunktio on h ( ) ha ( ) h( a) lim a a a ) ) lim a a a a lim a a a lim a a a( a) ( a )( a) lim a a ( a) lim a a a a a a 4 aa a a Vaihtamalla muuttujaksi saadaan h( ). Koska funktiota h ei ole määritelty kohdassa = 0, ei myöskään derivaattafunktiota ole määritelty tässä kohdassa. Vastaus: h( ), 0

4 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Rationaalifunktion derivoiminen YDINTEHTÄVÄT 50. a) D D b) c) 4 4 D D(4 ) 4 ( ) D( ) D( 6 ) 6 ( 7) a) Funktion f( ), 0, derivaattafunktio: f( ) D( ) = D( + + ) = () () = + =, 0. b) Derivaatta eli muutosnopeus kohdassa = on f ( ). ( ) ( ) 50. a) D( )( ) ( ) ( ) 4 4 b) D( )( ) D( ) 4

5 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( ) D( ) 504. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 b) D( ) () () () c) ( ) ( ) D( ) ( ) ( ) ( ) 505. Derivoidaan ensin funktio f. ( ) ( ) f( ) D( ) ( ) ( ) Sijoitetaan :n arvo derivaattafunktion lausekkeeseen. f ( ) ( ( )) ( ) 9 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 506. a) Lausekkeella B ja D. A: 4 B: C: 4 D: (4) = 4 4 D D( ) ( ) b) D D 4 4 4

6 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

7 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) 0 ( 4) 4 4 D( ) 4 (4) (4) (( )) 4 4 ( ) ( ) 4 4 D( ) D( ) D( ) 508. a) 0 4 ( ) D( ) b) D( ) D( ) 509. Tangentti on nouseva suora, jos sen kulmakerroin on positiivinen. Tangentin kulmakerroin on derivaattafunktion arvo tangentin sivuamiskohdassa. ( ) () ( ) 99 6 f ( ) ( ) ( ) ( ) Derivaattafunktion lausekkeen osoittaja 6 on aina positiivinen ja nimittäjä ( ) on positiivinen, kun. Tällöin f saa vain positiivisia arvoja ja jokainen funktion nouseva suora. f( ),, kuvaajalle piirretty tangentti on

8 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f( ), Derivaattafunktio ( ) f( ),. ( ) ( ) ( ) Funktion f muutosnopeus on nolla, kun sen derivaattafunktio f ꞌ saa arvon nolla. 0, kun ( ) 0 ( ) 0 0 tai Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Muutosnopeus on nolla kohdissa = 0 ja =. b) f( ), 0 Derivaattafunktio: () 6 f( ) 4 4 ( ) ( ) 4, 0. Derivaattafunktion nollakohdat: 0, kun 0. Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon 0. Muutosnopeus on nolla kohdassa =.

9 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tangentit ovat vaakasuoria, jos tangenttisuorien kulmakertoimet saavat arvon nolla. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamiskohdassa. D( + ) = =. Ratkaistaan kohdat, joissa derivaatta on nolla. 0, 0 4 : 4 4 Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon 0. Kohtiin = ja = piirretyt tangentit ovat vaakasuorassa. Näitä kohtia vastaavat y-koordinaatit ovat y = + = ja y = ( ) + ( ) =. Vastaavat pisteet ovat (, ) ja (, ). 5. Lasketaan funktion f( ) ) f( ), 0 nollakohdat. Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon 0. Käyrän ja -akselin välinen kulma on leikkauspisteeseen piirretyn tangentin suuntakulma.

10 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suuntakulman määrittämiseen tarvitaan tangenttien kulmakertoimet, eli derivaattafunktion arvot kohdissa = ja =. f( ), 0 k f() k f( ) ( ) Molempien tangenttien kulmakerroin on sama, joten myös suuntakulmat ovat samat. tan = 6,4

11 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Geogebra-ohjelmalla ratkaistuna leikkauspisteet ovat (, 0) ja (;,5) ja kulmat ovat noin 65 ja 7. Ratkaistaan kulmat tarkasti laskemalla leikkauskohtiin piirretyjen tangenttien suuntakulmien avulla. Leikkauskohta: y, 0 y, 0 ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ( )(( ) ) 0 ( )( ) 0 0 tai 0 tai 0 0

12 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaisu = 0 ei toteuta määrittelyehtoa. : y 0 ja y 0 : y ja y Leikkauspisteet ovat (, 0) ja (, ). Määritetään kummallekin käyrälle leikkauspisteeseen (, 0) piirretyn tangentin kulmakerroin. ( ) D Kun =, saadaan kulmakerroin k ( ). D( ) D( ) Kun =, saadaan kulmakerroin k. ( ) Määritetään tangenttien suuntakulmat. Kun k = tan =, niin = 45. Kun k = tan =, niin = 6,4. Tangenttisuorien välinen kulma on 6, = 08,4. Käyrien välinen kulma on syntyvistä kulmista pienempi eli 80 08,4 = 7,6 Määritetään kummallekin käyrälle leikkauspisteeseen tangentin kulmakerroin. Kun =, saadaan kulmakerroin k 4. (, ) piirretyn

13 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kun =, saadaan kulmakerroin k. 4 Määritetään tangenttien suuntakulmat. Kun k = tan = 4, niin = 4,0. 5 Kun k = tan = 4, niin = 5,4. Tangenttisuorien välinen kulma on 5,4 + 4,0 = 65,4. Käyrien välinen kulma on 65,4. Leikkauspisteet ja kulmat ovat (, 0) ja 7,6 sekä (;,5) ja 65, y, 0 Merkitään tangentin sivuamispisteen -koordinaattia = a, jolloin y- koordinaatti on a Sivuamispiste on (a, a ). Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamispisteessä.

14 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty D D k a Tangentin yhtälö: y ( a ) a a y a a a y. a a Muodostuvan kolmion kanta on tangentin ja -akselin leikkauspiste ja korkeus on y-akselin leikkauspiste. Kanta: 0 a a ( a ) a a a. Korkeus: y 0 a a a. Pinta-ala: a a. Pinta-alan arvo ei riipu luvun a valinnasta, eli siitä, mihin pisteeseen tangentti on piirretty, vaan pinta-alan arvo on aina.

15 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrät y = ja y,. Ratkaistaan käyrien leikkauskohdat. y y, ) ( ) 0 0 tai 0 ( ) 0 Leikkauskohtia on kaksi. Ratkaistaan leikkauspisteiden y-koordinaatit. Kun = 0, y = 0 = 0, joten leikkauspiste on (0, 0). Kun =, y = =, joten leikkauspiste on (, ).

16 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet. Käyrän y = derivaatta on, joten tangentin kulmakerroin pisteessä (0, 0) on derivaatan arvo tässä pisteessä, eli k = 0 = 0 ja pisteessä (, ) kulmakerroin k = =. Käyrän y,, derivaatta on ( )( ) ( )( ) D 6 ( ) ( ) 6. ( ) Tangentin kulmakerroin pisteessä (0, 0) on k = ja pisteessä (, ) on 9 k = 6. 4 Pisteessä (, ) molempien käyrien tangenttien kulmakertoimet ovat samat, joten niillä on yhteinen tangentti ja käyrät sivuavat toisiaan. Pisteessä (0, 0) tangenttien kulmakertoimet ovat erisuuret, joten käyrät leikkaavat toisensa. 56. Muutosnopeuden ilmoittaa derivaattafunktion arvo. Määritetään molempien funktioiden derivaattafunktiot. ( ) ( ) 44 f( ) D, ( ) ( ) ( ) g () = D( + ) = Funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g, kun epäyhtälö toteutuu. ( ) Epäyhtälö toteutuu, kun vasemmalla puolella olevassa lausekkeessa nimittäjän arvo on nollan ja yhden välissä. Tällöin osamääräksi tulee lukua suurempi luku. Nimittäjä ( ) > 0, kun, jolloin riittää ratkaista epäyhtälö < <.

17 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty < < < < 0 : ( ) > > 0 Funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g, kun 0 < <,. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 57. f( ), Erotusosamäärän raja-arvona: a) ) f( ) f( a) ( ) ( ) lim lim a a f a lim :( a) a a a a a ( a)( ) a lim lim a( a)( )( a) a( a)( ) ( a) f( ), ( ) Derivoimissääntöjen avulla: 0 ( ) f ( ),. ( ) ( ), joten a) Agnesin noita y 4 (yleisesti y 8a ) 4a

18 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kun =, y, joten tangentin sivuamispiste on (, ). Kohdassa =, tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan arvona. 8 0( 4) 8 D 6 4 ( 4) ( 4) k 6 6 ( 4) 5 Tangentin yhtälö: y 8 6 ( ) 5 5 5) y y normaalimuodossa 65y56 0. b) Newtonin atrain y (yleisesti y = a + b + c + d). Kun =, y 4, joten tangentin sivuamispiste on (, 4).

19 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tangentin kulmakerroin kohdassa = : D( ) k Tangentin yhtälö: y 4 = ( ) y = +. a 59. Käyrä y b. Käyrä kulkee pisteen (0, ) kautta, joten pisteen koordinaatti toteuttaa käyrän yhtälön. a Kun = 0, y 0, joten b =. 0 b b a Käyrä on siis y. Tangentilla on pisteet (0, ) ja (, 0), joten käyrälle pisteeseen (0, ) piirretyn tangentin kulmakerroin on k = 0. 0 Tangentin kulmakerroin saadaan myös derivaatan avulla. ( ) ( ) D a a a a a a ( ) ( ). ( a a) a ( ) ( a a) 0 0a Kun = 0, tangentin kulmakerroin on a. (0 ) Kertoimet ovat a = ja b =.

20 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Appletin perusteella tulos on oikea. a 50. a) Käyrät f( ), 0, ja g ( ), sivuavat toisiaan, jos niillä on yhteinen tangentti kohdassa =, eli jos kummallekin käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on sama käyrien sivuamiskohdassa =. Jotta käyrät sivuaisivat toisiaan kohdassa =, tulee olla f() = g() ja f () = g () f () g() a a a 4 Selvitetään funktion a f( ) a a f( ) a, 0, derivaattafunktio.

21 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Selvitetään funktion g ( ),, derivaattafunktio ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) f() g() a ( ) a ( 4) 4 a 4 Molemmat ehdot toteutuvat, kun a = 4. b) Käyrät leikkaavat toisensa kohtisuorasti, jos niiden tangenttien kulmakertoimien tulo on kohdassa =, eli f () g () =. a ( ) a ( 4) 4 a 4 Tämä yhtälö toteutuu, kun a = 4. Tällöin kuitenkaan ehto f() = g(), eli a = 4 ei toteudu. Käyrät eivät leikkaa toisiaan kohtisuorasti millään parametrin a arvolla.

22 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Selvitetään tangentin kulmakerroin derivaatan avulla. ( ) D, ( ) ( ) ( ) Pisteeseen (, 4) piirretyn tangentin kulmakerroin k = ( ) Tangentin yhtälö on y 4 = ( ) y = Pisteeseen (, 4) piirretyn normaalin ja tangentin kulmakertoimien tulo on. Normaalin kulmakerroin k =, koska. Normaalin yhtälö on y4 ( ) y. Ratkaistaan piste B, joka on tangentin ja -akselin leikkauskohta. Leikkauskohdassa y = = 0 = 4 Piste B on (4, 0). Ratkaistaan piste C, joka on normaalin ja y-akselin leikkauspiste. Leikkauskohdassa = 0.

23 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty y y 0 Piste C on (0, ). Kolmion sivut AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ratkaistaan sivujen AB ja AC pituudet pisteiden välisenä etäisyytenä. AB (4) (04) AC (0 ) (4) 4 5 Kolmion pinta-ala on Määritetään funktiolle f( ), 0, pisteeseen (a, f (a)) = (a, a ), a 0 piirretyn tangentin yhtälö. f. a ( ), joten tangentin kulmakerroin on f ( a) Tangentin yhtälö: y ( a ) a a y. a a Lasketaan koordinaattiakselien leikkauspisteet.

24 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty akselin leikkauspisteessä y = 0. y a a 0 a a : ( ) a a a :( ) a a a a a Piste on (a, 0). y-akselin leikkauspisteessä = 0. y 0 a a a. Piste on (0, a ). Leikkauspisteiden puoliväli: 0 ( a 0, a ) ( a, ). a Tämä on piste, johon tangentti piirrettiin riippumatta vakion a arvosta.

25 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Rationaalifunktion ääriarvot 5. a) Tutkitaan funktion f ( ), 0 kulkua derivaattafunktion avulla. ( ) f( ) 4 4, ( ) Nimittäjä 4 on positiivinen, kun 0. Kulkukaaviota varten riittää tarkastella osoittajan 4 merkkiä. Lasketaan osoittajan nollakohdat. 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 tai + 4 = 0 = 4 Tehdään kulkukaavio f () + f() b) Funktiolla on paikallinen minimikohta = 4. Paikallinen minimiarvo on f ( 4) 4. ( 4) 6 8

26 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f ( ), 0, on määritelty koko välillä [, ] ja on jatkuva ja derivoituva välillä ], [. Lauseen mukaan suljetulla välillä jatkuva ja derivoituva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. ) f( ) D( ) D( ) () , 0 ( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 40 (4) 0 0 tai Derivaatan nollakohta = 4 kuuluu välille [, ]. f() = pienin f() = pienin f( 4 ) = 9 8 suurin Suurin arvo on 9 8 ja pienin arvo on. 55. a) Tutkitaan funktion f ( ), kulkua kulkukaavion avulla. ( ) ( ) f( ),. ( ) ( ) ( ) Nimittäjä ( ) on positiivinen, kun. Kulkukaaviota varten riittää tarkastella osoittajan merkkiä. Lasketaan osoittajan nollakohdat. = 0 = tai =

27 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tehdään kulkukaavio. + + f () + + f() Funktio vähenee väleillä [, [ ja ], ] ja kasvaa väleillä ], ] ja [, [. b) Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa = ja paikallinen minimiarvo kohdassa =. ( ) 4 Paikallinen maksimiarvo on f ( ) ja paikallinen minimiarvo on f () 6. c) Funktio f on määritelty ja jatkuva välillä [, 4] ja saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa =. Kulkukaavion perusteella funktio saa välillä [, 4] pienimmän arvonsa kohdassa =. f () 6 Funktion f pienin arvo välillä [, 4] on 6.

28 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktio f( ), 0, on kasvava, kun derivaatta on positiivinen ja vähenevä, kun derivaatta on negatiivinen. Tutkitaan derivaatan merkkiä. ) 4 4 ( 4) 4 f( ) D( ) D( ), 0 Nimittäjä > 0, kun 0. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan 4 merkkiä. 4 = 0 ( )( + ) = 0 = 0 tai + = 0 = = Tehdään kulkukaavio. 0 f () + + f() Funktio f on kasvava väleillä ja. Funktio f on vähenevä väleillä < 0 ja 0 <. b) Funktiolla on paikallinen maksimiarvo, kun =. 4 f ( ) 4 Funktiolla on paikallinen minimiarvo, kun =. 4 f () 4 Funktion f paikallinen maksimiarvo on 4 ja paikallinen minimiarvo on 4.

29 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lyhin mahdollinen pituus appletin perusteella on 40 m. b) Merkitään suorakulmion leveyttä muuttujaksi ja korkeutta y. Molemmat saavat vain positiivisia arvoja, eli > 0 ja y > 0. y Pinta-ala: y = 00 (m ), josta y 00 (m). Aidan pituus: p() = + y = + 00 = (m), > 0.

30 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Määritetään aidan pituuden p pienin arvo. p( ) Laaditaan kulkukaavio. Derivaatan lausekkeen nimittäjä > 0, kun > 0. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan 400 merkkiä. 400 = 0 = 400 = ± f () + f() Kulkukaavion perusteella piirin pienin arvo saavutetaan, kun = 0, y jolloin 0 Alueen joen suuntainen sivu on 0 m ja sitä vastaan kohtisuora sivu on 0 m. Alueen piiri on tällöin 0 m + 0 m + 0 m = 40 m. 58. a) Kuvaajassa on nollakohta =. Tässä kohdassa funktion merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi. Kuvaajassa on kohdassa = paikallinen minimikohta, joten kuvaaja voisi olla derivaattafunktion f kuvaaja ja kuvaaja funktion f kuvaaja. Lisäksi, kun < 0, kuvaajan funktio saa positiivisia arvoja ja tällöin kuvaajan funktio on kasvava. Tämä tukee havaintoa, että kuvaaja on funkion f kuvaaja ja kuvaaja derivaattafunktion f kuvaaja. b) Kuvaajassa on ainut nollakohta =. Tässä kohdassa derivaattafunktion merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi. Kuvaajassa on kohdassa = paikallinen minimikohta. Paikallinen minimiarvo on noin,5.

31 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 59. y Merkitään laatikon pohjan toista sivua kirjaimella ja korkeutta kirjaimella y. Koska pohjan sivujen suhde on :, on pohjan toinen sivu. Kaikki sivujen pituudet ovat positiivisia, joten > 0 ja y > 0. a) Laatikon tilavuus on y = 500 (dm ), josta voidaan ratkaista: y 500. Laatikkoon tarvittavan vanerin määrä on pienin, kun laatikon pinta-ala on pienin. A = + y + y Saadaan pinta-alafunktio: A ( ) 500, > 0. Etsitään pinta-alafunktion pienin arvo. Laaditaan derivaatan avulla funktion kulkukaavio. 6 ( 500) A( ) 4 500, 0 Derivaatan lausekkeen nimittäjä > 0, kun > 0. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan merkkiä.

32 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty = , Tehdään kulkukaavio. Lasketaan derivaatan arvo testipisteissä = ja = 0 f () = 496 < 0 f (0) = 5 > 0 0 7, f () + f() Pinta-ala on pienin, kun 7,. Vaneria kuluu vähiten, kun laatikon pohjan toinen sivu on noin 7, dm = 7 cm, muut sivut ovat noin 44 cm ja 500 4,8 dm 48 cm. b) Laatikon pienin pinta-ala on A( 75) dm, m. 75. Laatikon massa on 6,8 kg/m, m kg. 50. Käyrälle y, 0, asetettu tangentti on suoran y = suuntainen, kun tangentin kulmakerroin on 8. Määritetään tangentin kulmakerroin derivaatan avulla. D D, 0

33 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kulmakertoimen tulee olla 8, joten saadaan yhtälö: : ( 8) 4 Koska > 0, vain ratkaisu = kelpaa vastaukseksi. Kohtaan = piirretty tangentti on suoran y = suuntainen. Tarkistetaan piirtämällä kuva.

34 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tehdään funktion f () kulkukaavio. ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) Nimittäjä ( + ) > 0 kaikilla muuttujan arvoilla. Derivaatan merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan + merkkiä. + = 0 = tai =. + + f () + f() Paikallinen minimiarvo on f( ) =. ( ) 6 Paikallinen maksimiarvo on f() =. 4

35 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktio f (), kun 0 ja 5, on vähenevä, kun f () < 0 5 tai f () = 0 yksittäisissä kohdissa ja kasvava, kun f () > 0 tai f () = 0 yksittäisissä kohdissa. 0 (5 ) ( ) ( ) f( ) D( ) 5 (5 ) (5 ) (5 ) (5 ) (5 ) 75 0 (5 ) 75 0, kun 0 ja 5, (5 ) Koska nimittäjä (5 ) on aina positiivinen, kun 0 ja 5, derivaattafunktion merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki = Tehdään kulkukaavio f () + + f() Funktio f() on vähenevä väleillä < 0 ja 0 < 5 ja kasvava väleillä 5 < 5 ja > 5.

36 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Funktiolla f() on miniarvo f ( ) Funktiolla ei ole paikallista maksimiarvoa. c) Piirretään kuvat. Kuvaajista huomataan, että funktio on vähenevä, kun 5 lukuun ottamatta kohtaa = 0, jossa funktiota ei ole märitelty. Tällöin derivaattafunktion arvo on negatiivinen. Kuvaajan perusteella funktio f on kasvava, kun, lukuun ottamatta kohtaa = 5, jossa funktiota 5 ei ole määritelty. Tällöin derivaattafunktion arvo on positiivinen Funktio f( ), 0, 4on vähenevä, kun f () < 0 tai 4 f () = 0 yksittäisissä kohdissa. ( 4 ) ( 4)(4) 8 ( 4 86) f( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 4 8 6, 0, 4 Derivaattafunktion merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki, koska nimittäjä ( 4) on aina positiivinen, kun 0 ja 4.

37 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty = 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Derivaattafunktio saa vain negatiivisia arvoja, joten funktio f on vähenevä, kun < 0, 0 < < 4 ja kun > 4 eli väleillä ], 0[, ]0, 4[ ja ]4, [. a) f () f ( ) Voidaan päätellä, että epäyhtälö on tosi, koska funktio on määritelty koko välillä [, ] ja funktio on vähenevä tällä välillä. b) f( ) f() Ei voida päätellä mitään, koska funktio ei ole määritelty koko välillä [, ]. 54. Piirretään kuva tilanteesta. Merkitään funktion f () 4,0 4, kuvaajalla olevan 4 pisteen P koordinaatteja (, f()) = (, 4 4 ). Pisteen P -koordinaatti ilmoittaa suorakulmion kannan pituuden ja y-koordinaatti korkeuden.

38 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorakulmion pinta-ala on y. Muodostetaan pinta-alafunktion lauseke. 4 (4 ) 4 A ( ), Pinta-alan suurin arvo suljetulla välillä löytyy välin päätepisteissä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. (4 )(4) (4 ) 86 A( ),0 4 (4) (4) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 86 0, kun ( 4) tai Derivaatan nollakohdista välillä [0, 4] on 4. Lasketaan funktion A() arvo välin päätepisteissä = 0 ja = 4 4 sekä välillä olevassa derivaatan nollakohdassa A(0) A(4) ( ) A( ) suurin Suurin pinta-ala on 4 9, kun pisteen P -koordinaatti on 4.

39 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Pohja on ympyrän muotoinen, joten pohjan pinta-alaa kuvaa lauseke. Merkitään tölkin korkeutta kirjaimella h. Tölkin vaipan pinta-alan lauseke on h. Koko tölkin pinta-ala on + h. Tölkin tilavuus 0,5 dm on kuutiosenttimetreinä 500 cm. Astian pinta-alan lausekkeessa on kaksi muuttujaa ja h. Esimerkiksi muuttuja h voidaan esittää säteen avulla tölkin tilavuuden lausekkeesta, kun tiedetään, että tölkin tilavuus on 500 cm. V π h 500 : π h 500 π Nyt astian pinta-ala voidaan esittää pohjan säteen funktiona: 500 π 500 A ( ) π π π π π π 000. b) Tölkin pohjan säteen tulee olla positiivinen, eli > 0. Funktion A kulkukaavion muodostamiseen tarvitaan derivaatan A merkki. ) A( ) 4π 000 4π 000 Derivaattafunktion lausekkeessa nimittäjä > 0, kun > 0, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan 4π 000 merkki. 4π 000 = 0 = π π = 50 4, π

40 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tehdään kulkukaavio testipisteiden avulla. A () < 0 A (5) > 0 A () A() 0 4, + Pinta-ala on pienin, kun säde on 4, cm. c) Materiaalia kuluu vähiten, kun tölkin pinta-ala on pienin. Tällöin pohjan säde on 4, cm. Tällöin korkeus on h 500 cm π (4, cm) h 8,6 cm. Pinta-ala on pienin, kun pohjan säde on noin 4, cm ja korkeus noin 8,6 cm. 56. Merkitään tölkin pohjan sädettä kirjaimella. Pohjan ja kannen yhteenlaskettu pinta-ala on. Tölkin vaipan pinta-ala on h, missä h on tölkin korkeus. 0 Tölkin tilavuus on h = 0 (cm ), mistä h. Tölkkiin tarvittavan materiaalin menekki, eli tölkin pinta-ala on: A ( ) , 0. Haetaan menekille pienin arvo. A( ) 8 660, 0

41 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Derivaatan nollakohdat: ) , kun ,97 (cm) 8 Tehdään kulkukaavio testipisteiden avulla. A () < 0 A (4) > 0 A () A() 0,97 + Pinta-ala on pienin, kun säde on,97 cm. Tällöin halkaisija on n. 5,9 cm ja korkeus on,9 cm. 57. Merkitään suorakulmion leveyttä muuttujaksi ja korkeutta y. Molemmat saavat vain positiivisia arvoja, eli > 0 ja y > 0. y Suorakulmion pinta-ala on A = y, josta y A. Piiri p = + y = + A. Saadaan piiriä kuvaava funktio p() = + A, > 0. Etsitään funktion p suurin arvo.

42 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty p( ) A A p( ) 0 A 0 A0 A Koska > 0, vain positiivinen arvo kelpaa derivaatan nollakohdaksi. p () 0 A + p() Piiri on pienin, kun = A ja kun sivujen pituudet ovat samat. A ) y A A A A A A, eli 58. a) Luvun käänteisluku on. ),5 ),5 0,5 0 Koska on positiivinen, lausekkeen merkki riippuu vain osoittajan merkistä.,5 + = 0 = 0,5 tai =,5 0, kun 0,5 < <.

43 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muodostetaan summaa kuvaava funktio. ) f( ), 0 Tutkitaan funktion arvoja kulkukaavion avulla. ( ) f( ), 0 Nimittäjä on positiivinen, kun > 0. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. = 0 = f () f() 0 + Summa on pienin, kun =. Summa on tällöin + =. 59. a) f( ) 5 0,00 0, Optimaalisin matkanopeus olisi se nopeus, jolla kulutus olisi pienin. Nopeuden tulee olla positiivinen, eli > 0. Etsitään pienin arvo kulkukaavion avulla. f '( ) ,

44 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty kun = 65, ,8 (km/h). f () f() 0 65,8 + Funktiolla f on pienin arvo, kun 65,8. Optimaalisin matkanopeus olisi täten noin 66 km/h. b) Jotta polttoaineen kulutus olisi enintään 0 % suurempi kuin pienin kulutus, tulee kulutuksen olla alle, f(65,789 ) =, 4,56 5,0. 0,00 0, ,0, > 0 5 Ratkaistaan epäyhtälö symbolisen laskennan ohjelmalla. 5,4 < < 79,. Nopeuden tulee olla välillä 54 km/h 79 km/h, jotta kulutus olisi enintään 0 % pienimmän kulutuksen yli. 7, f( ),0 8, 0,5, 40, Funktio f on jatkuva ja derivoituva, kun 0 8, joten lauseen mukaan funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

45 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ,7, f( ),0 8 (0,5,40,) f ( ) 0, kun,70, 0,,70 5 Derivaatan nollakohdista on välillä [0, 8] = f(0) = 0 f(8) = 59,6 45 f( 5 ),4 5 0,77. Eniten kofeiinia on hetkellä 0,77 h 46 min, jolloin pitoisuus on,4 mg/l. Kofeiinipitoisuus vähenee nopeimmin, kun derivaatan arvo on pienin. Määritetään derivaattafunktion pienin arvo. 9, 6(,8, 68) f( ),0 8 (,80,6) f () = 0, kun,67 f (0) 4,7 f (8) 0, f (,67) 0,5 pienin Kofeiinipitoisuus vähenee nopeimmin kohdassa =,67 h h 40 min, muutosnopeus on tällöin 0,5 (mg/l)/h.

46 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 54. a) Käyrä on symmetrinen y-akselin suhteen, jos muuttujan arvoilla ja saadaan sama y:n arvo. Arvolla on y ja arvolla, y ( ). Käyrä on symmetrinen y-akselin suhteen. b) Merkitään suorakulmion -akselilla olevia nurkkapisteitä koordinaateilla (, 0) ja (, 0), missä > 0. Kuvaajalla olevien nurkkapisteiden koordinaatit ovat vastaavasti (, ) ja (, ). Suorakulmion kannan pituus on ja korkeus on. Suorakulmion pinta-alafunktio on A ( ), missä > 0. Määritetään pinta-alafunktion suurin arvo kulkukaavion avulla. Laaditaan kulkukaavio derivaatan avulla. ( ) 4 A( ), 0 ( ) ( ) ( ) Derivaattafunktion lausekkeen nimittäjä ( + ) on aina positiivinen, kun > 0, joten merkki riippuu vain osoittajan + merkistä. + = 0 =

47 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A () A() 0 + Suurin arvo saavutetaan, kun =, jolloin pinta-ala on A(). Tällöin kanta on ja korkeus on. c) Tangentti nousee jyrkimmin, kun tangentin kulmakerroin on suurin. Tutkitaan tangentin kulmakerrointa, eli derivaattaa. Merkitään f( ). f( ) ( ) Tangentti nousee, kun tangentin kulmakerroin on positiivinen. Derivaattafunktion lausekkeen nimittäjä ( + ) on aina positiivinen. Osoittaja on positiivinen, kun < 0. Määritetään tangentin kulmakertoimen f suurin arvo kulkukaavion avulla. Muodostetaan kulkukaavio derivaatan f avulla. ( ) ( )( ) f( ) 4 ( ) ( )(( ) 4 ) 4 ( ) ( )( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Nimittäjä ( + ) on aina positiivinen, koska + on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan ( ) merkki.

48 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( ) = 0 = Tehdään kulkukaavio. Lausekkeen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f () f () + 0 Tangentin kulmakertoimen suurin arvo on f ( ). ( ) 4 Piste, jossa tangentti nousee jyrkimmin on (, ) Laaditaan funktion f( ) kulkukaavio. Funktio f on määritelty koko reaalilukujoukossa. Muodostetaan kulkukaavio derivaatan avulla. ( ) f( ). ( ) ( ) Nimittäjä ( + ) on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan + merkki. + = 0 = tai =

49 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f () f () + Funktiolla on paikallinen minimikohta = ja paikallinen maksimikohta =. Paikallinen minimiarvo on f ( ) ja paikallinen ( ) maksimiarvo on f (). Tutkitaan, voiko funktio f saada minimiarvoaan pienempiä arvoja. Funktion arvot pienenevät, kun >. Tällöin osoittaja on positiivinen ja samoin nimittäjä + on positiivinen. Funktion f arvot eivät voi pienentyä negatiivista minimiarvoa Funktion pienin arvo on siten. pienemmiksi. Tutkitaan samoin, voiko funktio saada maksimiarvoaan suurempia arvoja. Funktion arvot voivat kasvaa maksimiarvoa suuremmiksi, kun <. Tällöin osoittaja on negatiivinen ja nimittäjä + on positiivinen. Funktio f saa vain negatiivisia arvoja, kun <, joten se ei voi saada maksimiarvoaan suurempia arvoja. Funktion suurin arvo on. Funktio saa arvot väliltä [, ]. Kuvaaja vahvistaa havainnot.

50 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tutkitaan funktion avulla. f( ), 0kulkua välillä ], [ derivaatan f ( ) D, 0 Derivaattafunktion arvo on aina negatiivinen, kun 0, joten funktio on vähenevä välillä ], [. Tällöin funktio saa suurimman arvonsa kohdan = läheisyydessä ja pienimmän arvonsa kohdan = läheisyydessä. f () f () Funktio saa välillä ], [ arvot väliltä ], [. b) 4 ( )( ) f( ), Funktion kuvaaja on suoran +, kuvaaja. Kuvaaja on nouseva suora. f() = + = f() = + = 5 Funktio saa arvot väliltä ], 5[. Funktiota f ei kuitenkaan ole määritelty kohdassa =, joten se ei saa arvoa + = 4. Täten funktio f saa välillä ], [ arvot väleiltä ], 4[ ja ]4, 5[.

51 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään kuva. Suoran yhtälö on y = k( ) y = k k + Kolmion kanta on suoran ja -akselin leikkauspisteen -koordinaatti. y = k k + k k + = 0 k k Korkeus on suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti. y = k 0 k + = k + Pinta-ala on k ( k ) k (k ) A. k Pinta-alan tulee olla pienempi kuin 4,5 ja koska suora on laskeva, k < 0.

52 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty (k ) 4,5 k (k ) k ) 4,5 0 k 4k 5k 0 k Tutkitaan rationaalilausekkeen merkkiä merkkikaavion avulla. 4k 5k = 0, kun k = tai k = k 5k k + 4k 5k + + k 4k 5k 0, kun < k <. k 4 ( ) 4 4 k b) Pinta-alan funktio Ak ( ) k k, k 0. k k Tutkitaan funktion A kulkua kulkukaavion avulla. ( 8k 4) k ( 4k 4k ) A( k) 6k 8k 8k 8k ( k) 4k 8k 4k 4k k Nimittäjä on aina positiivinen, kun k < 0, joten derivaatan merkki riippuu vain osoittajan merkistä. 4k + = 0, kun k =

53 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pinta-ala on pienin, kun k =. Tällöin kanta on k 4 = ja k korkeus k + = + = = y. Kolmion pinta-ala on tällöin 4 4. Kolmion kärjet ovat (0, 0), (4, 0) ja (0, ) Kuutio jakaa kartion kahteen yhdenmuotoiseen osaan. Ylemmän osan pohjan halkaisija on kuution tahkon lävistäjän pituinen. Tahkon lävistäjän pituus on. Merkitään kartion korkeutta kirjaimella. Pienemmän kartion korkeus on. Merkitään ison kartion pohjan sädettä kirjaimella r. Kartion tulee olla korkeampi kuin kuutio, jotta kuutio mahtuu kartion sisälle. Tällöin >.

54 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska poikkileikkauskuviossa kolmiot ovat yhdenmuotoiset, saadaan verranto r r( ) r ( ) r Kartio on pienin, kun sen tilavuus on pienin. V( ) r ( ), ( ) ( ) Määritetään tilavuuden pienin arvo kulkukaavion avulla. ( ) V( ), 6( ) Derivaatan nollakohdat: = 0 ja = Tehdään merkkikaavio testikohtien avulla. V () < 0 V (4) > 0 V () V() + Funktio V saa pienimmän arvonsa, kun =. Kartion korkeus on siten ja pohjan säde on, 4. Kuution tilavuuden suhde kartion tilavuuteen: 8 eli : 9 9 π 9π 8. ( ) 4 8

55 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A E r D z F r y y B Merkitään pyramidin huippua kirjaimella A, pohjaneliön sivun keskipistettä kirjaimella B ja pohjan keskipistettä kirjaimella D. Pyramidin sisällä olevan pallon keskipiste E on on pyramidin korkeusjanalla AD kuvan mukaisesti. Pallo koskettaa pyramidin sivutahkoa pisteessä F. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r, pallon keskipisteen etäisyyttä pyramidin huipusta kirjaimella. Koska pallo sivuaa pyramidin tahkoa, on poikkileikkauskuvassa jana BA ympyrän tangentti ja siten säde EF on kohtisuorassa janaa BA vastaan. Pyramidin korkeusjana DA on kohtisuorassa pohjaa vastaan. Kolmiot ABD ja AFE ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa suorakulma sekä kulma A on yhteinen. Merkitään AF = z. Symmetrian perusteella jana DB = BF = y.

56 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pythagoraan lauseen mukaan z = + r ja (z + y) = y + ( + r) Näistä saadaan y r ( r) r. Pyramidin pohjaneliön sivun pituus on y. ( ) Pyramidin tilavuus on ( ) ( ) 4 r V y r r r ( ) Selvitetään funktion ( ) 4 r V r r 4 rr V( ) r ( r)., > 0 suurin arvo. Derivaatan nollakohdat ovat = r ja = r. Näistä vain = r käy, koska mittojen tulee olla positiivisia. Laaditaan derivaatan merkkikaavio. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan r r merkki. Osoittajan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. V () V() 0 r + Tilavuuden arvo on pienin, kun = r.

57 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( ) Tilavuus on tällöin 4 r r V( r) r 4 r 6r r r r r. Pallon tilavuus on 4 r. Tilavuuksien suhde on 4 r. 8 r

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot