4 Polynomifunktion kulku

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 Polynomifunktion kulku"

Transkriptio

1 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion muutosnopeuden eli derivaatan merkki on yhteydessä kasvavuuteen. Positiivinen derivaatta tarkoittaa nousevaa kuvaajaa ja negatiivinen derivaatta laskevaa kuvaajaa. Muodostetaan derivaattafunktio f ja tutkitaan, milloin se saa positiivisia arvoja. f ( x) D( 4 x x 5 x ) 4 4 x 4x 5 4 4x 4x 5 4 Ratkaistaan derivaattafunktion f nollakohdat. 4x 4x x 6x 5 0 x 5 tai x 4 4 Derivaatan lauseke on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatan arvot ovat siis positiivisia nollakohtien välissä. Näin ollen funktion arvo kasvaa kohdasta 5 Funktio f on siis kasvava välillä x. 4 4 x 5 kohtaan 4 x. 4

2 Funktion f sekä sen derivaattafunktion f kuvaajat samassa koordinaatistossa havainnollistavat funktion kasvamisen ja derivaatan merkin välistä yhteyttä.. Kysytty suurin virtaus on funktion f suurin arvo. Piirretään funktion f kuvaaja. Kuvaajasta huomataan, että funktion arvo on suurin kohdassa, jossa tangentti on vaakasuora. Tässä kohdassa derivaatta on nolla. Derivoidaan funktio f. f ( x) 480 x x 4880

3 Ratkaistaan derivaattafunktion f nollakohta. 4960x x 4880 : ( 4960) 4880 x 4960 x Funktio f saa siis suurimman arvonsa kohdassa x =. Kyseinen suurin arvo on f() = = 60. Vastaus: Uloshengityksen suurin virtaus on 60 litraa minuutissa.

4 4. Polynomifunktion kulun tutkiminen A-II Kuvassa II oleva derivaattafunktio on negatiivinen välillä < x <, joten funktio f on tällä välillä ja välin päätepisteissä, joissa derivaatta saa arvon nolla, vähenevä. Kun x < ja x >, derivaattafunktio on positiivinen, joten funktio on kasvava tällä välillä ja välin päätepisteissä. B-I Kuvassa I oleva derivaattafunktio saa negatiivisia arvoja lukuun ottamatta yksittäistä kohtaa x =, jossa derivaattafunktion arvo on nolla. Funktio on tällä perusteella vähenevä. C-II Funktion muutosnopeuden ilmoittaa derivaattafunktion arvo. Kuvassa II derivaattafunktiolla on pienin arvo kohdassa x =. D-III Kuvassa III oleva derivaattafunktio saa negatiivisia arvoja, kun x < ja positiivisia arvoja, kun x >. Kohdassa x = 0 derivaattafunktio saa arvon nolla. Tällöin funktio on vähenevä, kun x ja kasvava, kun x.

5 40. a) Derivaattafunktion arvo on positiivinen, kun derivaattafunktion kuvaaja on x-akselin yläpuolella eli väleillä ], [ ja ], [. Derivaattafunktion arvo on negatiivinen, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella eli välillä ], [. b) Funktio f on kasvava, kun derivaattafunktio saa positiivisen arvon tai arvon nolla välin yksittäisessä kohdassa eli nyt väleillä ], ] ja [, [. Vastaavasti funktio f on vähenevä kun sen derivaattafunktio saa negatiivisen arvon tai arvon nolla yksittäisessä kohdassa, eli välillä [, ]. c) f + + f d)

6 404. a) f (x) = x b) Nollakohdat: f (x) = 0 x = 0 x = : x = 4 x = tai x =. Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on nollakohdat x = ja x =. c) f (x) = x + + f(x) = x x d) Funktio f on kasvava väleillä x ja x ja vähenevä välillä x.

7 405. a) Esimerkiksi: b) Esimerkiksi: VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 406. a) Määritetään funktion f (x) = x 4 4x derivaatan merkki kulkukaaviota varten laskemalla derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = x x f (x) = 0 x x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = Selvitetään derivaatan merkki tekijöiden x ja x + avulla. 0 x x f (x) = x x + f(x) = x 4 4x b) Funktio f on kasvava, kun x ja vähenevä, kun x. c) Funktio on vähenevä, kun x, joten funktion arvot pienenevät, kun muuttujan arvo kasvaa. Tämän vuoksi f ( ) > f (0) > f ().

8 407. Funktion f(x) = x + x + x + derivaattafunktio on f (x) = x + 6x +. Derivaattafunktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaattafunktion nollakohdat: x + 6x + = 0 (x + x + ) = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x =. Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka ainoa nollakohta on x =. Derivaattafunktio saa pienimmän arvonsa 0 kohdassa x =, joten derivaattafunktio saa positiivisia arvoja, kun x ja arvon nolla yksittäisessä kohdassa x =. Tällä perusteella f (x) 0 kaikilla muuttujan x arvoilla ja funktio f on kasvava koko määrittelyjoukossaan Tutkitaan lämpötilaa kuvaavaa funktiota f(x) = 0,0x + 0,7x 4,5x + derivaattafunktion f avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 0,069x +,46x 4,5. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 0,069x +,46x 4,5 = 0 x =,745 tai x = 7,44 x,7 tai x 7,4 Tehdään funktion f kulkukaavio. 0,7 7,4 4 f (x) + f(x)

9 0, min = 44,7 min, joten kellonaika,7 on noin :45. 0,44 60 min = 4,8 min, joten kellonaika 7,4 on noin 7:5. Kulkukaavion perusteella lämpötila laski klo :45 saakka. Lämpötila nousi klo :45 alkaen ja lämpötila nousi klo 7:5 saakka. Klo 7:5 alkaen lämpötila laski Tutkitaan funktion h(x) = x 6 x 5 x 4 kulkua kulkukaavion avulla. h (x) = 6x 5 0x 4 4x Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 6x 5 0x 4 4x = 0 x (x 5x ) = 0 x = 0 tai x 5x = 0 x = 0 x = tai x = Tekijä x on negatiivinen, kun x on negatiivinen ja positiivinen, kun x on positiivinen. 0 x + + x 5x + + h (x) + + h(x) Funktio h kasvaa, kun kun 0 x. x 0 ja kun x ja vähenee, kun x ja

10 40. a) Funktion f(x) = x x + derivaattafunktio on f (x) = 6x = (6x + ). Koska parillinen potenssifunktio x 0 ja siten myös 6x + > 0 kaikilla x:n arvoilla, on (6x + ) < 0 kaikilla x:n arvoilla. Siten derivaattafunktion f (x) = 6x arvot ovat aina negatiivisia ja funktio f on vähenevä eli monotoninen kaikkialla. Funktion muutosnopeus eli derivaatan arvo ei ole nolla missään yksittäisessä kohdassa. b) Funktion f(x) = x + 9x + 7x derivaattafunktio on f (x) = x + 8x + 7 = (x + 6x + 9) = (x + ). Koska (x + ) 0 derivaattafunktio f saa positiivisia arvoja, kun x ja arvon nolla, kun x =. Koska f (x) 0 kaikilla muuttujan x arvoilla ja f (x) = 0 vain yksittäisessä kohdassa x =, on funktio f on kasvava eli monotoninen kaikkialla. Funktion muutosnopeus on nolla kohdassa x =. 4. a) Funktio f(x) = x 5 x x + on polynomifunktiona jatkuva funktio koko reaalilukujoukossa. Nyt f(0) = = > 0 ja f() = < 0. Bolzanon lauseen perusteella jatkuvalla funktiolla f on ainakin yksi nollakohta välillä ]0, [. b) Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 5x 4 x = (5x 4 + x + ). Koska parillisille potenssifunktioille on voimassa x 4 0 ja x 0 kaikilla x:n arvoilla, on 5x 4 + x + > 0 kaikilla x:n arvoilla. Tällöin 5x 4 x < 0 kaikilla x:n arvoilla. Funktio f on tällöin vähenevä ja siten monotoninen.

11 c) Koska a-kohdan mukaan funktiolla on ainakin yksi nollakohta ja b- kohdan mukaan funktio on vähenevä funktio, jolla voi olla enintään yksi nollakohta, on funktiolla f täsmälleen yksi nollakohta. Tällä perusteella yhtälöllä x 5 x x + = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. 4. Kirjoitetaan yhtälö 4x 6x + x = muotoon 4x 6x + x = 0. Merkitään yhtälön vasen puoli funktioksi f(x) = 4x 6x + x. Tutkitaan funktion f kulkua sen derivaattafunktion avulla. f (x) = x x + Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x x + = 0 x Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa x- akselia kohdassa x. Derivaattafunktio saa positiivisia arvoja ja arvon nolla vain yksittäisessä kohdassa x. Funktio f on siis kasvava, joten funktiolla f(x) = 4x 6x + x on enintään yksi nollakohta. Koska jatkuvalla funktiolla f on f() = = < 0 ja f() = > 0, on funktiolla f Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Edellä olleen perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta ja se on välillä ], [. Yhtälöllä 4x 6x + x = 0 ja alkuperäisellä yhtälöllä 4x 6x + x = on täsmälleen yksi ratkaisu, joka on sama kuin funktion f nollakohta. Funktion f ainoan nollakohdan likiarvo on kahden desimaalin tarkkuudella x,. Tämä likiarvo on myös yhtälön 4x 6x + x = ainoan ratkaisun kaksidesimaalinen likiarvo.

12 4. On osoitettava, että yhtälö x 7 = 5x x 7 toteutuu, kun x =. ( ) 7 = 5 ( ) ( ) 7 = = Yhtälö on tosi, kun x =, joten luku on yhtälön x 7 = 5x x 7 ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö x 7 = 5x x 7 muotoon x 7 + 5x + x + 7 = 0. Merkitään f(x) = x 7 + 5x + x + 7, jolloin tehtävänä on selvittää jatkuvan funktion f nollakohtien lukumäärää. Nollakohtien lukumäärä ilmoittaa samalla alkuperäisen yhtälön ratkaisujen lukumäärään. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 7x 6 + 5x +. Parillisille potenssifunktioille on voimassa x 6 0 ja x 0, joten f (x) = 7x 6 + 5x + > 0 kaikilla x:n arvoilla. Koska f (x) > 0, funktio f on kasvava ja sillä on enintään yksi nollakohta. Alkuperäisen yhtälön ratkaisu x = on funktion f ainut nollakohta, joten x = on myös yhtälön x 7 = 5x x 7 ainoa ratkaisu. 44. Funktioiden f(x) = x 7 + x ja g(x) = x kuvaajien leikkauspiste saadaan yhtälön x 7 + x = x ratkaisuna. Kirjoitetaan yhtälö muotoon x 7 x 4 + x 7 = 0. Merkitään f(x) = x 7 x 4 + x 7. Osoitetaan, että funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta ja tällä perusteella yhtälöllä x 7 x 4 + x 7 = 0 ja sille yhtäpitävällä yhtälöllä x 7 x 4 + x = 7 täsmälleen yksi ratkaisu. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 4x 6 4x +. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. 4x 6 4x + = 0, merkitään x = u 4u 4u + = 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

13 Koska yhtälöllä 4u 4u + = 0 ei ole ratkaisuja, ei ratkaisuja ole myöskään yhtälöllä 4x 6 4x + = 0 eikä siten derivaattafunktiolla 4x 6 4x + ole nollakohtia. Koska derivaattafunktio on polynomifunktiona jatkuva ja sillä ei ole nollakohtia, se saa vain joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. Lasketaan derivaattafunktion f (x) = 4x 6 4x + arvo testipisteessä x =. f () = = > 0. Koska derivaattafunktio f saa vain positiivisia arvoja, on jatkuva polynomifunktio f(x) = x 7 x 4 + x 7 kasvava kaikilla muuttujan x arvoilla. Kasvavalla funktiolla f on enintään yksi nollakohta. Koska f() = = 5 < 0 ja f() = 5 > 0, niin funktiolla f on Bolzanon lauseen perusteella ainakin yksi nollakohta ja tämä ainoa nollakohta on välillä ], [. 45. Tutkitaan yhtälön x 6 48x + = 0 ratkaisujen lukumäärää tutkimalla funktion f(x) = x 6 48x + nollakohtien lukumäärää. Selvitetään funktion f kulku kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 6x 5 96x = 6x(x 4 6). Derivaattafunktion f nollakohdat: f (x) = 0 6x(x 4 6) = 0 6x = 0 tai x 4 6 = 0 x = 0 x 4 = 6 x = ± Selvitetään testipisteiden x =, x = 0 ja x = avulla lausekkeen x 4 6 merkki. x = : ( ) 4 6 = 65 > 0 x = 0: = 6 < 0 x = : 4 6 = 65 > 0

14 0 6x + + x f (x) + + f(x) Kulkukaavion perusteella funktio f on kasvava, kun x 0 ja x. Funktio f on vähenevä, kun x ja 0 x. Funktiolla f voi olla korkeintaan yksi nollakohta jokaisella näistä väleistä. Lasketaan funktion f(x) = x 6 48x + arvot derivaatan nollakohdissa, eli kohdissa, joissa funktion kulkusuunta muuttuu. Väli x 0: f( ) = 7 < 0 f(0) = > 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [, 0], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Väli 0 x : f(0) = > 0 f() = 7 < 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [0, ], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Lasketaan lisäksi väli x : f( ) = 98 > 0 f( ) = 7 < 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [, ], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Väli x : f() = 98 > 0 f() = 7 < 0 Funktion f merkki vaihtuu välillä [, ], joten tällä välillä on yksi nollakohta. Koska funktion f merkki vaihtuu jokaisella välillä x, x 0, 0 x ja x, on sillä neljä nollakohtaa. Tällöin yhtälöllä x 6 48x + = 0 on neljä ratkaisua.

15 46. Koska funktio f on kasvava, kun x, niin f (0) < f (). Funktio on vähenevä kun x, joten f() < f (). Funktio on kasvava kun x, joten f() < f (). Funktio on kasvava kun x, joten f() < f (4). Arvojen f(0) ja f() sekä f() ja f() keskinäisestä suuruusjärjestyksestä ei voida sanoa mitään. Vastaus: f (0) < f (), f() < f () ja f() < f () < f(4). 0 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 47. Funktion f (x) x4 x x derivaattafunktio on f (x) = x 6x, joka on polynomifunktiona jatkuva funktio. Derivaattafunktion nollakohtien lukumäärä selviää funktion f kulkukaavion perusteella. Df (x) = D( x 6x ) = 6x 6, joka saa aina negatiivisia arvoja. Tällä perusteella f on vähenevä funktio, jolla voi olla enintään yksi nollakohta. Koska f ( ) = ( ) 6 ( ) = + 6 = 6 > 0 ja f (0) = (0) 6 0 = < 0. on jatkuvalla funktiolla f Bolzanon lauseen perusteella ainakin yksi nollakohta välillä ], 0[. Edellä olleiden perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta ja se on välillä ], 0[. Merkitään tätä nollakohta kirjaimella a. f (x) f(x) a + Kulkukaavion perusteella funktio f on kasvava, kun x a ja vähenevä, kun x a. Funktiolla f voi olla nollakohta sekä välillä x a että välillä x a.

16 Koska 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 ja f( ) = 0,5 > 0, niin jatkuvalla ja kasvavalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä ], [. Koska f(0) = > 0 ja f() =,5 < 0, niin vähenevällä jatkuvalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä ]0, [. Funktiolla f on siis täsmälleen kaksi nollakohtaa. Derivaattafunktiolla f on yksi nollakohta. Funktiolla f on kaksi nollakohtaa. 48. Funktio f(x) = x + ax x on vähenevä, kun f on negatiivinen tai yksittäiskohdassa nolla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = x + ax. Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaattafunktio saa vain negatiivisia arvoja tai arvon nolla jos sitä vastaavalla toisen asteen yhtälöllä x + ax = 0 enintään yksi ratkaisu. Yhtälöllä x + ax = 0 on enintään yksi ratkaisu, kun diskriminantin arvo on negatiivinen tai nolla. Diskriminantti on (a) 4 ( ) ( ) = 4a 6, joten saadaan epäyhtälö 4a 6 0. Lausekkeen 4a 6 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat saadaan yhtälöstä 4a 6 =0, jonka ratkaisut ovat a = ja a =. Tällöin 4a 6 0, kun a. Kun a, niin derivaattafunktio f saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla yksittäisessä kohdassa ja funktio f on tällöin vähenevä.

17 49. Funktio f(x) = x ax +6a x on monotoninen kaikilla parametrin a arvoilla, jos sen derivaattafunktio saa vain negatiivisia tai vain positiivisia arvoja ja arvon nolla vain yksittäisissä kohdissa. f (x) = 6x 6ax +6a Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa vain positiivisia arvoja tai arvon nolla, kun vastaavalla yhtälöllä 6x 6ax +6a = 0 on korkeintaan yksi ratkaisu. Toisen asteen yhtälöllä on korkeintaan yksi nollakohta, kun diskriminantti on nolla tai negatiivinen. Diskriminantti on (6a) 4 6 6a = 6a 44a = 08a. Diskriminantti on negatiivinen tai nolla kaikilla a:n arvoilla. Derivaattafunktio saa vain positiivisia arvoja tai arvon nolla yksittäisessä kohdassa (a = 0). Funktio f on kasvava ja siten monotoninen.

18 40. Funktion f(x) = x + bx + c derivaattafunktio on f (x) = x + b. Koska x 0 kaikilla x:n arvoilla, riippuu lausekkeen x + b merkki vakion b arvosta. Tarkastellaan kolmea tapausta b > 0, b = 0 ja b < 0. b > 0 f (x) = x + b > 0 ja tällä perusteella funktio f on kasvava. b = 0 f (x) = x 0 ja f (x) = 0 vain yksittäisessä kohdassa x = 0, joten funktio f on kasvava. b < 0 Derivaattafunktiolla f on kaksi nollakohtaa: x + b = 0 x b tai x b. Koska derivaattafunktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli on f (x) 0, kun x b tai x b. Funktio f on näillä väleillä kasvava. Kun b x b, on f (x) 0 ja funktio f on vähenevä.

19 4. Polynomifunktion ääriarvot YDINTEHTÄVÄT 4. a) b) 4. a) Funktio f voi saada suurimman arvonsa kohdassa x = tai x = 7. Funktio f voi saada pienimmän arvonsa kohdassa x =, x = tai x = 0. b) Funktio f voi saada suurimman arvonsa kohdassa x = 0 tai x = 5. Funktio f voi saada pienimmän arvonsa kohdassa x = 7 tai x =.

20 4. Hahmotellaan funktion kuvaaja sijoittamalla kaikki lasketut pisteet koordinaatistoon, ja hahmottelemalla kuvaaja kulkemaan niiden kautta kulkukaavion mukaisesti. Huomaa, että derivaatan nollakohta x = on terassikohta. 44. a) Funktion f ( x) x x Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x + x = 0 x( x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = Laaditaan kulkukaavio. derivaattafunktio on f (x) = x + x. 0 f (x) + f(x) b) Rajataan kulkukaavio välille [, 4]. 0 4 f (x) + f(x)

21 Kulkukaavion perusteella funktio f saa suurimman arvonsa joko kohdassa x = tai x =. f ( ) ( ) ( ) f () Suurin arvo on. Pienin arvo saadaan joko kohdassa x = 0 tai x = 4. f (0) 0 f (4) Pienin arvo on 5. c) Lasketaan funktion f nollakohdat. f ( x) 0 x x 0 x ( x ) 0 x 0 tai x 0 x 0 x Hahmotellaan funktion f kuvaaja välillä [, 4].

22 45. a) Funktion f (x) = x + x derivaattafunktio on f (x) = x + 6x. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x + 6x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = Laaditaan funktion f kulkukaavio. 0 f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen maksimikohta x =. Paikallinen maksimiarvo on f( ) = ( ) + ( ) = 8 + = 4. Funktiolla on paikallinen minimikohta x = 0 ja paikallinen minimiarvo on f(0) = 0. b) Lasketaan funktion f nollakohdat. f (x) = 0 x + x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 x = c) Hahmotellaan kuvaaja. Kuvaaja on laskeva, kun < x < 0 ja nouseva, kun x < ja x > 0. Funktiolla on maksimipiste (, 4) ja minimipiste (0, 0) sekä nollakohdat x = ja x = 0.

23 46. a) Funktion f(x) = x 5x 4x + derivaattafunktio on f (x) = 6x 0x 4. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 6x 0x 4 = 0 x = tai Laaditaan kulkukaavio. x f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen maksimikohta, kun x =. Paikallinen maksimiarvo on f( ) = = 7 7. Funktiolla on paikallinen minimikohta x = ja paikallinen minimiarvo on f() = = 0.

24 b) Rajataan tarkastelu välille [, ]. f (x) + + f(x) Kulkukaavion perusteella funktio f saa suurimman arvonsa joko kohdassa x tai x =. f ( ) , f() = Suurin arvo on 9. 7 Pienin arvo saadaan joko kohdassa x = tai x =. f( ) = = 6 f() = = 0 Pienin arvo on 6. c) Kuvaajista vain A ja C sopivat kulkukaavioon. Näistä vain C sopii yllä laskettuihin funktion arvoihin, siis funktion f kuvaaja on C.

25 47. a) b) Alue aidataan kolmelta sivulta. Merkitään sivuja kirjaimilla x ja y, missä muuttuja y on joen suuntainen sivu. Molempien muuttujien tulee olla sivun pituuksina positiivisia, joten x > 0 ja y > 0. Koska aitaa on käytössä 00 m, saadaan muuttujille myös ylärajat. Muuttujan x suuntaisia sivuja aidataan aina kaksi, joten näiden kahden sivun (x) täytyy yhteensä olla alle 00 m. Muuttujan y suuntaisia sivuja aidataan vain yksi, joten sen tulee olla alle 00 m. x < 00 ja y < 00 x < 50 Määrittelyehdoksi saadaan 0 < x < 50 ja 0 < y < 00.

26 Alueen pinta-alaa kuvaa lauseke A = xy. Tätä lauseketta ei voida käsitellä sellaisenaan, sillä siinä on mukana molemmat muuttujat x ja y. Käytetään tietoa käytettävissä olevan aidan määrästä ja ratkaistaan sen avulla toinen muuttujista. Aitaa tulee yhteensä kolmelle sivulle, ja aidan pituus on yhteensä 00 m. x + y = 00 ratkaistaan muuttuja y y = 00 x. Sijoitetaan y = 00 x pinta-alan lausekkeeseen: A = xy = x(00 x) = 00x x. Pinta-alan lauseke voidaan nyt kirjoittaa yhden muuttujan funktiona A(x) = 00x x, missä 0 < x < 50. c) Alue on mahdollisimman suuri silloin kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen. Aitauksen pinta-ala on suurin, kun funktio A saa suurimman arvonsa. Tutkitaan pinta-alafunktiota A kulkukaavion avulla. Funktion A derivaattafunktio on A (x) = 00 4x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. A (x) = x = 0 x = 5 Laaditaan kulkukaavio A (x) + A(x) Kulkukaavion perusteella funktio A saa suurimman arvonsa kun x = 5, jolloin y = 00 5 = 50. Aidan mitat pitää valita niin, että joen suuntainen sivu on 50 m pitkä ja kaksi muuta sivua ovat 5 m pitkiä.

27 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 48. Veden tiheyttä kuvaa funktio f(x) = 0,0074x + 0,059x + 999,86 (g/dm ), missä 0 x 0 ( C). Tiheys on suurin, kun funktio f saa suurimman arvonsa. Etsitään siis funktion f suurin arvo välillä [0, 0]. Jatkuvan funktion suurin ja pienin arvo saavutetaan suljetulla välillä joko välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 0,048x + 0,059. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 0,048x + 0,059 = 0 x =,986 Nollakohta on välillä [0, 0]. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaattafunktion nollakohdassa. f(0) = 999,86 f(0) = 998,08. f(,986 ) = 999,98 suurin Veden suurin tiheys on noin 000,0 g/dm. Veden tiheys on suurin, kun lämpötila on noin 4,0 C.

28 49. Jatkuvan funktion suurin ja pienin arvo saavutetaan suljetulla välillä joko välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Funktion f(x) = x 4 + 4x + x derivaattafunktio on f (x) = x + x + 4x. Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x + x + 4x = 0 x( x + x + ) = 0 x = 0 tai x + x + = 0 x = tai x = a) Lasketaan funktion f arvot välin [, ] päätepisteissä. f( ) = ( ) ( ) + ( ) = 4 + = 5 f() = = Derivaattafunktion nollakohdista x =, x = 0 ja x = on välillä ], [ vain kohta x = 0. f(0) = 0 Funktion f pienin arvo välillä [, ] on f(0) = 0. b) Lasketaan funktion f arvot välin [, ] päätepisteissä. f( ) = f() = 7 Kaikki derivaattafunktion nollakohdat x =, x = 0 ja x = ovat välillä ], [, joten ne kaikki on otettava mukaan tarkasteluun. f( ) = 5 f(0) = 0 f() = Funktion f pienin arvo välillä [, ] on f( ) =.

29 40. a) Pallon korkeutta ajanhetkellä x kuvaa funktio f(x) = 4,9x + 0x + (metriä). Koska muuttuja x kuvaa aikaa heittohetkestä, tulee sen olla positiivinen. Pallon korkeus on suurin, kun funktio f saa suurimman arvonsa. Koska funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, se saa suurimman arvonsa huipussaan. Paraabelin huippu on derivaattafunktion nollakohdassa. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 9,8x + 0. Lasketaan derivaattafunktion nollakohta. f (x) = 0 9,8x + 0 = 0 x =,004 Derivaattafunktion nollakohta on positiivinen, joten se käy ajan arvoksi. Lasketaan funktion f arvo derivaattafunktion nollakohdassa. f(,004 ) = 6,004 6, Pallo käy siis korkeimmillaan noin 6, metrin korkeudessa. b) Pallo osuu maahan silloin, kun sen korkeus on nolla. Ratkaistaan pallon korkeutta kuvaavan funktion f nollakohta. f(x) = 0 4,9x + 0x + = 0 x 0,0 tai x,. Näistä vain positiivinen arvo on mahdollinen ratkaisu. Pallo osuu maahan ajanhetkellä noin, s.

30 4. Tutkitaan funktiota f(x) = x 0x + 6x kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 6x 0x + 6. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 6x 0x + 6 = 0 x tai x = Tehdään kulkukaavio. f (x) + + f(x) a) Kulkukaavion perusteella funktiolla f on paikallinen maksimiarvo kohdassa x. f ( ) ( ) 0 ( ) 6 ( ) 7 Vastaavasti funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdassa x =, joka on f() = 9. b) Kun tarkastellaan väliä ], 4], niin kulkukaavion perusteella funktion suurin arvo saavutetaan joko kohdassa x tai x = 4. f ( ) 7 f(4) = 9 Funktion f suurin arvo välillä ], 4] on. 7 Välillä [, [ kulkukaavion perusteella funktion pienin arvo saavutetaan joko kohdassa x = tai x =. f( ) = 9 f() = 9 Funktion f pienin arvo välillä [, [ on 9.

31 4. a) Esimerkiksi b) Esimerkiksi 4. Laaditaan funktion g kulkukaavio. Funktion g(x) 5 x5 x 4 4x derivaattafunktio on g (x) = x 4 + x x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. g (x) = 0 x 4 + x x = 0 x ( x + x ) = 0 x = 0 tai x + x = 0 x = 0 x = x x + x g (x) g(x) Kulkukaavion perusteella funktio on vähenevä kaikkialla, joten funktiolla ei ole paikallisia ääriarvoja.

32 44. a) Nollakohtia voi olla enintään kolme ja vähintään yksi. b) Tutkitaan funktion f ( x) x x Derivaatan nollakohdat: f( x) x x kulkua kulkukaavion avulla. x f ( x) 0 0 x x Derivaattafunktio kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa. f (x) f(x) Lasketaan muutamia funktion arvoja, jotta saadaan selville funktion merkki eri kohdissa. 8 f ( ) 4 4 < 0 f(0) = > 0 8 f () 4 > 0

33 Funktio f on polynomifunktio ja siten jatkuva koko reaalilukujoukossa. Funktio on kasvava, kun x 0, ja f( ) < 0 ja f(0) > 0, joten tällä välillä on yksi nollakohta. Koska funktion f arvo kohdassa x = 0 ja paikallisessa minimikohdassa x = on positiivinen, ei funktiolla voi olla välillä [0, ] nollakohtia. Nollakohtia ei voi myöskään olla, kun x >, koska tällöin funktio on kasvava ja arvo f() > 0. Täten funktiolla f on vain yksi nollakohta. b) Tutkitaan funktion f( x) x x kulkua kulkukaavion avulla. f ( x) x x Derivaatan nollakohdat: x Derivaattafunktio kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa. f (x) f(x) Lasketaan muutamia funktion arvoja, jotta saadaan selville funktion merkki eri kohdissa. 8 f ( ) 4 5 < 0 f(0) = > 0 8 f () 4 < 0 f () 9 9 > 0 Funktio f on polynomifunktio ja siten jatkuva koko reaalilukujoukossa. Bolzanon lauseen mukaan funktiolla on nollakohdat väleillä ], 0[, ]0, [ ja ], [. Funktiolla on siten kolme nollakohtaa.

34 45. Funktion f(x) = x 4 6x + 8x + 8 derivaattafunktio on f (x) = x 48x + 6x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x 48x + 6x = 0 x(x 4x + ) = 0 x = 0 tai x 4x + = 0 x = 0 x = tai x = x x 4x f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdissa x = 0 ja x =. Minimiarvot ovat f(0) = = 8 ja f() =. Kohdassa x = funktio f saa pienimmän arvonsa, joka on. Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x =, joka on f() =. Funktiolla f ei ole suurinta arvoa, koska funktio on esimerkiksi välillä x > kasvava. Koska esimerkiksi f(4) = 60 >, funktio saa paikallista maksimiarvoaan suurempia arvoja. Kun muuttujan x arvot kasvavat loputtomasti, kasvaa myös funktion arvo kulkukaavion perusteella koko ajan. Suurinta arvoa ei tällä perusteella voida määrittää. Funktiolla ei ole nollakohtia, koska sen pienin arvo on positiivinen.

35 46. Tutkitaan funktion h(x) = x 6 + x kulkua kulkukaavion avulla. Funktion h derivaattafunktio on h (x) = 6x 5 +. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. h (x) = 0 6x 5 + = 0 x 5 6 x 0,7 5 6 Määritetään derivaattafunktion merkki testipisteiden avulla. h (0) = > 0 h () = 5 < 0 Laaditaan kulkukaavio. 5 6 h (x) + h(x) Funktio h saa suurimman arvonsa kohdassa x = h( ) ( ) 0, Koska funktion h suurin arvo on negatiivinen, ovat funktion h kaikki arvot negatiivisia.

36 47. Kirjoitetaan epäyhtälö 4 + x 4 > 4x muodossa epäyhtälö x 4 4x + 4 > 0. Tutkitaan vastaavaa funktiota f(x) = x 4 4x + 4. Funktio f(x) = x 4 4x + 4 saa vain positiivisia arvoja, jos sen pienin arvo on positiivinen. Tällöin epäyhtälö x 4 4x + 4 > 0 ja sitä vastaava alkuperäinen epäyhtälö 4 + x 4 > 4x tosi kaikilla muuttujan x arvoilla. Tutkitaan funktion f kulkua kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 4x 4. Lasketaan derivaattafunktion nollakohta. f (x) = 0 4x 4 = 0 4x = 4 : 4 x = x = Määritetään derivaattafunktion f merkki testipisteissä ja muodostetaan funktion f kulkukaavio. f (0) = 4 < 0 f () = 8 > 0 f (x) + f(x) Kulkukaavion perusteella funktion f pienin arvo saavutetaan kohdassa x =. Lasketaan funktion f arvo kohdassa x =. f() = = > 0. Koska funktion f(x) = x 4 4x + 4 pienin arvo on positiivinen, on epäyhtälö x 4 4x + 4 > 0 ja myös alkuperäinen epäyhtälö 4 + x 4 > 4x aina tosi.

37 48. Valmistettavan laatikon korkeus on x, pohjan leveys on,0 x ja pituus,0 x. Laatikon tilavuutta kuvaa lauseke x(,0 x)(,0 x) = 4x 6x + x. V(x) = 4x 6x + x Funktion V määrittelyehto on x > 0 ja,0 x > 0 eli x <,0 ja,0 x > 0 eli x < 0,5. Ehdot yhdistettyinä saadaan määrittelyväli 0 < x < 0,5. Laatikon tilavuus on suurin mahdollinen, kun funktio V saa suurimman arvon. Tutkitaan funktion V kulkua kulkukaavion avulla. Funktion V derivaattafunktio on V (x) = x x +. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. V (x) = 0 x x + = 0 x 0, tai x 0,79 Nollakohta x 0,79 ei kuulu tarkasteluvälille. 0 0, 0,5 V (x) + V(x) Funktio V saa suurimman arvon, kun x 0,, jolloin laatikon tilavuus on suurin. Nurkasta leikattavan neliön sivun pituus on siis cm. Laatikon tilavuus on tällöin V(0,) 0,90 (m ). Tilavuus litroina on 90 litraa.

38 49. a) Merkitään suorakulmion pituutta muuttujalla x ja leveyttä muuttujalla y. Pituuksina x ja y > 0. y Suorakulmion piirin lauseke on x + y + x + y = x + y. Köyden pituus on m, joten saadaan yhtälö x + y =, josta saadaan y = 6 x. Koska kummankin muuttujan arvo on positiivinen, saadaan muuttujille ehdot 0 < x < 6 ja 0 < y < 6. Suorakulmion pinta-alaa kuvaava lauseke xy on kahden muuttujan lauseke. Lauseke voidaan esittää yhden muuttujan, esimerkiksi muuttujan x, avulla, koska muuttuja y voidaan esittää muuttujan x avulla lausekkeena y = 6 x. A = xy = x(6 x) = x + 6x. Merkitään pinta-alaa kuvaavaa lauseketta funktiona A(x) = x + 6x, jossa 0 < x < 6. Pinta-ala saa suurimman arvon, kun funktio A saa suurimman arvon. Koska funktion A kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, saa funktio A suurimman arvonsa paraabelin huipussa, eli derivaattafunktion A nollakohdassa. A (x) = x + 6 Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohta. A (x) = 0 x + 6 = 0 x = x

39 Pinta-ala on suurin, kun x = ja y = 6 =. Koska x = y =, on suorakulmio neliö, jonka sivut ovat m silloin, kun suorakulmion pinta-ala on suurin. b) Olkoon suorakulmion piiri a ja toinen sivu x. Suorakulmion toisen sivun pituus y saadaan yhtälöstä x + y + x + y = a x + y = a y = a x a x a y x. Suorakulmion pinta-ala A = xy voidaan nyt esittää muuttujan x avulla funktiona a a A( x) x( x) x x. Pinta-alaa kuvaavan funktion A suurin arvo saavutetaan alaspäin aukeavan kuvaajaparaabelin huipussa, joka on funktion A derivaattafunktion nollakohta. a a Nyt A ( x) x, joten A (x) = 0, kun x =. 4 a a a Toisen sivun pituus y. 4 4 Suurin pinta-ala on suorakulmiolla, jonka sivut ovat yhtä pitkät. Suorakulmio, jossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, on neliö.

40 440. Piirretään tilanteesta mallikuva. Suorakulmion kanta on x ja korkeus on kuvaajalla olevan pisteen y-koordinaatin arvo 6 x. Suorakulmion pinta-ala on A(x) = x(6 x ) = x + x. Muuttuja x voi olla korkeintaan paraabelin 6 x nollakohdan arvon suuruinen. Paraabelin nollakohdat ovat x 6. Saadaan muuttujalle x rajat 0 x 6. Tutkitaan funktion A arvoja kulkukaavion avulla. A (x) = 6x + = 0 x = x = 0 6 A (x) + A(x) Funktio A saa suurimman arvonsa, kun x =. Pinta-ala on tällöin A( ) = ( ) + = 4 + = 8.

41 44. Myytyjen tuotteiden lukumäärä alussa on 60 kpl. Jokainen kymmenen euron hinnanalennus lisää myyntiä 5 kappaletta. Merkitään hinnanalennusten lukumäärää kirjaimella x. Hintaa alennuksen jälkeen kuvaa lauseke 00 0x ja myynnin määrää lauseke x. Laskettaessa myyntivoittoa, myyntihinnasta vähennetään kaupan tuotteesta maksama hinta. Myyntivoitto on (00 0x 0) (60 + 5x) Myyntivoittoa kuvaava funktio on f(x) = (00 0x 0) (60 + 5x) = 50x 00x Myyntivoiton kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvonsa huipussa, eli derivaattafunktion nollakohdassa. f (x) = 00x 00 = 0 x = Myyntivoitto on suurin, kun x =, eli hintaa korotetaan 0 euroa. Myyntihinta on 0. Myyntivoitto on tällöin f( ) = = Euromääräinen myynti saadaan hinnan ja määrän tulona. Myyntiä kuvaava funktio on g(x) = (00 0x) (60 + 5x) = 50x + 400x + 00 Myynnin kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvonsa huipussa, eli derivaattafunktion nollakohdassa. g (x) = 00x = 0 x = 4 Myynti on suurin, kun hintaa alennetaan 40 euroa. Myyntihinta on tällöin 60. Tällöin laitteita myydään = 80 kappaletta, jolloin myynti on = 800 ( ). Myyntivoittoa jää 80 maksetun laitteen jälkeen kuitenkin vain = 00.

42 44. Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään puoliympyrän sädettä kirjaimella r, jolloin suorakulmion kanta on r ja korkeutta kirjaimella h. Nyt r > 0 ja h > 0. r h r Ympärysmitan ehdosta saadaan yhtälö. π r h r 6,0 h = 6,0 πr r 6,0 πr r h Koko ikkunan pinta-alaa kuvaa lauseke A suorakulmio + A puoliympyrä = rh + π. r Kirjoitetaan pinta-ala muuttujan r funktiona. 6,0 πr r Ar ( ) r( ) πr r(6,0 πr ) r πr 6,0r πr r πr ( π π) r 6,0r π ( ) r 6,0r Funktion A kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktion A suurin arvo saavutetaan derivaattafunktion A nollakohdassa

43 π A () r ( ) r 6,0 (4 π) r 6,0 0 6,0 r 4 π 6,0 r 4 π r 0,84 (m) Ikkunan leveys r on noin,68 (m), kun r 0,84 (m). 6,0 πr r Suorakulmion korkeus on h 0,84 (m). SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 44. Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään ison neliön sivun pituutta kirjaimella a. Olkoon pienemmän neliön sivun pituus z. Kuvan merkinnöin saadaan yhtälöt x + y = a ja x + y = z. z a x y Pienen neliön pinta-ala on z = x + y. Muuttuja y voidaan ratkaista yhtälöstä x + y = a y = a x. Sijoitetaan yhtälöön z = x + y muuttujan y paikalle lauseke a x. z = x + (a x) = x + a ax + x = x ax + a

44 Olkoon nyt pinta-alaa kuvaava funktio: A(x) = x ax + a, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktio A saa pienimmän arvonsa kuvaajaparaabelin huipussa, eli derivaattafunktion A nollakohdassa. A (x) = 4x a Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. A (x) = 0 4x a = 0 4x = a a x 4 a x a a a Kun x, on myös y a. Tämä tarkoittaa, että uuden neliön pinta-ala on pienin mahdollinen, kun jokainen muodostuneen pienen neliön kärkipiste on alkuperäisen neliön sivun keskipisteessä eli pienen neliön kärkipiste puolittaa alkuperäisen neliön sivut a) Olkoon ympyräsektorin säde r ja kaaren pituus b. r b Pituusmittoina on oltava r > 0 ja b > 0. Ympärysmitan ehdosta saadaan yhtälö r + b + r = 0 eli r + b = 0, josta b = 0 r. Koska b > 0, niin saadaan 0 r > 0, josta r < 5. Määrittelyehto on siten 0 < r < 5. br Ympyräsektorin pinta-ala saadaan kaavalla A. br Pinta-alalauseke voidaan esittää muuttujan r avulla:

45 br (0 rr ) (5 rr ) A r r 5. Pinta-alafunktion A(r) = 5r r kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli- Funktio A saa suurimman arvon paraabelin huipussa eli derivaattafunktion A nollakohdassa. A (r) = 5 r 5 r = 0 r = 5 Ympyräsektorin pinta-ala on suurin, kun r = 5, jolloin 5 b = Sektorin keskuskulma radiaaneina on b 5 5. r 5 5 Koska radiaani on asteina noin 57,, on vastauksena saatava kulma noin 57, = 4,6. b) Olkoon ympyräsektorin säde r, kaaren pituus b ja ympärysmitta a, a. Ympärysmitan ehdosta saadaan yhtälö r + b + r = a eli r + b = a, josta br b = a r. Ympyräsektorin pinta-ala saadaan kaavalla A. br Pinta-alalauseke voidaan esittää muuttujan r avulla: br ( a r) r ar r ar r A ar r. Pinta-alafunktion A(r) = ar r kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio A saa suurimman arvon derivaattafunktion A nollakohdassa. Nyt A (r) =. a r

46 Derivaattafunktion A nollakohdat: a r 0 a r : a r 4 r a 4 a Ympyräsektorin pinta-ala on suurin, kun r =, 4 b = a a a a a. 4 Sektorin keskuskulma radiaaneina on a a 4 a 4. a a a 4 jolloin Koska radiaani on asteina noin 57,, on vastauksena saatava kulma noin 57, = 4,6. Saatu tulos siis koskee kaikkia ympyräsektoreita, joiden ympärysmitta on rajattu Funktion f(x) = x +bx + cx + d paikalliset ääriarvokohdat x = ja x = ovat derivaattafunktion nollakohtia. f (x) = x + bx + c f ( ) = 0 ja f () = 0 b + c = 0 ja + b + c = 0 b + c = + b + c 4b = 0 b = 0 c = b = 0 = Derivaattafunktio on f (x) = x + 0 x + ( ) = x ja funktio on f(x) = x +bx + cx + d = x + 0 x + d = x x + d.

47 Tutkitaan funktion kulkua derivaattafunktion avulla. Derivaattafunktion nollakohdat: x = 0 (x ) = 0 x = 0 x = x = ± f (x) + + f(x) Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x =. Ratkaistaan kerroin d ehdosta f( ) = 7. f( ) = = ( ) ( ) + d = + + d = + d + d = 7 d = 5 Kertoimet ovat b = 0, c = ja d = 5. Funktio on tällöin f(x) = x x + 5. Funktion paikallinen minimiarvo on kulkukaavion perusteella f() = + 5 = Tarkastellaan funktiota f(x) = x x + c. Yhtälön x x + c = 0 ratkaisujen lukumäärä on sama kuin funktion f(x) = x x + c nollakohtien lukumäärä. Tutkitaan funktion f kulkua kulkukaavion avulla. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = x x. Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. f (x) = 0 x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 tai x

48 0 f (x) + + f(x) Yksi nollakohta: Funktiolla f(x) = x x + c on yksi nollakohta, jos: funktion maksimiarvo f(0) = c on negatiivinen, eli c < 0 tai jos funktion kaksimiarvo f(0) = c ja minimiarvo 4 f( ) ( ) ( ) c c ovat molemmat 7 positiivisia, eli c > 4 7. Kaksi nollakohtaa: Funktiolla on kaksi nollakohtaa, jos: f(0) = c = 0 tai jos 4 4 f( ) ( ) ( ) c c 0, eli c 7 7

49 Kolme nollakohtaa: 447. a) Funktiolla on kolme nollakohtaa, jos: 4 4 f(0) = c > 0 ja f( ) ( ) ( ) c c 0, eli 0 c. 7 7 Jos c < 0 tai c > 4, on yhtälöllä yksi ratkaisu. Jos c = 0 tai c = 4 7 7, on yhtälöllä kaksi ratkaisua. Jos 0 < c < 4, on yhtälöllä kolme ratkaisua. 7 Geogebra:. Luodaan pistelista: lista={(0,00),(5,900),,(0,000)}.. Sovitetaan polynomifunktio: SovitaPolynomi[lista, 4]. Myynnin kannalta paras lämpötila olisi n. C. b) Myynti vaikuttaisi kasvavan, kun lämpötila kylmenee 0 C alaspäin ja kun lämpötila ylittää 40 C, mikä ei vaikuta järkevältä.

50 448. Piirretään poikkileikkauksesta tasokuvio. Merkitään ympyrälieriön sädettä kirjaimella r ja korkeutta kirjaimella h. Ympyrälieriön tilavuuden lausekkeessa (V = πr h) on kaksi muuttujaa. Kolmioiden yhdenmuotoisuuden nojalla (kk) vastinsivujen suhteista r h saadaan verranto, josta h = r. a) Ympyrälieriön tilavuuden lauseke voidaan ilmoittaa yhden muuttujan r avulla. V(r) = π r ( r) = πr πr Ympyrälieriön tilavuus on suurin, kun funktio V saa suurimman arvon. Funktion V derivaattafunktio on V (r) = 6πr 9πr. Lasketaan derivaattafunktion V nollakohdat. V (r) = 0 6πr 9πr = 0 πr( r) = 0 πr = 0 tai r = 0 r = 0 r 0 V (r) + V(r)

51 Kulkukaavion perusteella funktio V saa suurimman arvonsa, kun r. Tällöin ympyrälieriön tilavuus on myös suurin. Ympyrälieriön halkaisija d saadaan lausekkeesta r ja korkeus h saadaan lausekkeesta r, kun r : 4 d = h =. Ympyrälieriön tilavuus on suurin, kun lieriön halkaisija on 4 ja korkeus. Ympyrälieriön tilavuus V on tällöin 4π π. 9 b) Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on A = rh. Lauseke muuttujan r avulla ilmaistuna: A(r) = π r ( r) = 6πr 6πr. Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on suurin, kun funktio A saa suurimman arvon. Funktion A(r) = 6πr 6πr kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka saa suurimman arvon derivaatan nollakohdassa. Funktion A derivaattafunktio on A (r) = 6π πr. Lasketaan derivaattafunktion A nollakohdat. 6π πr = 0 6π( r) = 0 r = 0 r

52 Funktio A saa suurimman arvon, kun r. Tällöin ympyrälieriön vaipan pinta-ala on myös suurin. Ympyrälieriön halkaisija d saadaan lausekkeesta r ja korkeus h saadaan lausekkeesta r, kun r : d = h =. Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on siis suurin, kun lieriön pohjan halkaisija on ja korkeus Funktio f ilmaisee lämpötilaa ja sen derivaattafunktio f lämpötilan muutosnopeutta. Lämpötila kasvaa nopeimmin kun lämpötilan derivaattafunktio saa suurimman arvonsa. Funktion f(x) = 0,006x + 0,x,5x + derivaattafunktio on f (x) = 0,08x + 0,4x,5. Derivaattafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa, joka on derivaattafunktion derivaattafunktion f nollakohdassa. Nyt f (x) = 0,06x + 0,4, jonka nollakohta on x,. Tämä vastaa kellonaikaa, joka 0 minuutin tarkkuudella on klo.0. Lämpötilan muutosnopeus on tällöin f (,) = 0,08, + 0,4,,5 0,7 ( C/h).

53 450. Yhtälön x 4 + x + x + x = ratkaisujen lukumäärä selvittäminen vastaa funktion f(x) = x 4 + x + x + x nollakohtien lukumäärän selvittämistä. Funktion f derivaattafunktio on f (x) = 4x + x + x +, jonka nollakohtia ei osata laskea. Tarkastellaan funktion f kulkua sen derivaattafunktion f avulla. Funktio f (x) = x + 6x + saa vain positiivisia arvoja, koska yhtälöllä x + 6x + = 0 ei ole ratkaisuja ja funktion x + 6x + kuvaaja y = x + 6x + on ylöspäin aukeava paraabeli. Tällä perusteella derivaattafunktio f on kasvava. Koska f ( ) = 4 ( ) + ( ) + ( ) + = < 0 ja f (0) = > 0, on jatkuvalla ja kasvavalla derivaattafunktiolla f täsmälleen yksi nollakohta, joka on Bolzanon lauseen mukaan välillä ], 0[. Merkitään tätä nollakohtaa x = a. Derivaattafunktio f on negatiivinen nollakohtaansa x = a asti, koska f ( ) < 0 ja positiivinen nollakohtansa jälkeen, koska f (0) > 0. Tällä perusteella funktiolla f on paikallinen minimi derivaatan nollakohdassa, eli välillä ], 0[ ja funktio f on vähenevä tähän kohtaan saakka. Koska f( ) = ( ) 4 + ( ) + ( ) + ( ) = 9 > 0 ja f( ) = < 0, on funktiolla f täsmälleen yksi nollakohta, kun x a. Tämä nollakohta on välillä [, ] Funktio f on kasvava derivaattafunktion f nollakohdasta x = a alkaen ja koska f(0) = < 0 ja f() = > 0, on funktiolla f täsmälleen yksi nollakohta, kun x > a. Tämä nollakohta on välillä [0, ].

54 Funktiolla f ei voi olla muualla nollakohtia, joten funktiolla f(x) = x 4 + x + x + x on täsmälleen kaksi nollakohtaa ja tehtävän yhtälöllä x 4 + x + x + x = täsmälleen kaksi ratkaisua. x, kun x a) Funktion f( x) kuvaaja on paraabelin x, kun x 0 kuvaaja, paitsi kohdassa x = 0 funktio saa arvon. Funktiolla ei ole suurinta arvoa. Pienin arvo on. b) Funktio f ei ole jatkuva välillä [, ] kohdassa x = 0.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot