MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

Transkriptio

1 A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim x x x 9 = 4 4p. a. Määritä erotusosamäärällä funktion f ( x) x x derivaatat f (1) ja f (4). b. Miten kuvaisit funktion f( x ) liikettä kohdissa x = 1 ja x = 4? 4p. a. Derivoi funktio f(x) = x x x b. Millä vakion b arvoilla paraabeli y = x + b x + 9 on kokonaan x-akselin yläpuolella? 4p

2 B-osio: Laskinta ja MAOL:in taulukkokirjaa saa käyttää. Valitse neljä tehtävistä a. Paraabelille y = x + x on piirretty käyrän ulkopuolisesta pisteestä tangentti, joka on suoran y = 7 x + 6 suuntainen. Määritä pisteen, missä tangentti sivuaa käyrää, koordinaatit. b. Määritä funktion f ( x) x( x 5) ääriarvot välillä [0,6] 6p 5. Suorakulmaisen särmiön muotoisen katoksen pohjan sivujen suhde pitää olla :. Katoksen kehikko koostuu kuudesta pystyputkesta (nurkkiin ja pitkien sivujen keskelle) sekä ylhäälle tulevista, katosta kiertävistä neljästä poikkituesta (maata pitkin ei tule kehikkoa lainkaan). Kehikko tehdään putkesta, jota on käytettävissä 40 metriä. Määritä katoksen mitat siten, että sen tilavuus on suurin mahdollinen (senttimetrin tarkkuus). Katso Kuva1 6p 6. a. Neljälle lampaalle rakennetaan kuvan mukaiset karsinat. Yhdelle sivulle ei tarvita aitamateriaalia, koska se rajoittuu seinään. Karsinoiden yhteispinta-ala on 50 m. Kuinka karsinoiden mitat pitää valita, että aitamateriaalia kuluu mahdollisimman vähän? Vastaus 1 cm:n tarkkuudella. (p) b. Määritä paraabelille y = tangenttien yhtälöt. (4p) x x + 5 pisteestä (1, 1) piirrettyjen 6p 7. Suorakulmion yksi kärki on origossa, yksi kärki on x-akselilla alueella 0 x 4ja yksi kärki on käyrällä y x x 4. Muodosta suorakulmion pinta-alasta lauseke muuttujan x-avulla ja määritä millä x:n arvolla suorakulmio saa mahdollisimman suuren pinta-alan. 6p

3 8. Puistossa on kaksi toisiaan vasten kohtisuoraa käytävää, sekä koirien suosima puu, jonka etäisyys toisesta käytävästä on 60m ja toisesta käytävästä 100m. Käytävien väliin onkin muodostunut lyhin mahdollinen suora oikopolku, joka kulkee tämän puun kautta. Minkä kulman tämä polku muodostaa puuta lähempänä olevan käytävän kanssa? Katso Kuva 6p Kuva 1 Kuva

4 Ratkaisut: 1. a.. b. x x ( x )( x 1) ( x 1) 4 lim lim lim x x 9 x ( x )( x ) x ( x ) 6 Lause on epätosi.. a)

5 b) Parabeli y = x + b x + 9 on ylöspäin aukeava. Se on siis kokonaan x-akselin yläpuolella, jos funktion y arvo huippukohdassa on positiivinen. Huippu löytyy derivaatan nollakohdasta, joten derivoidaan: Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan aina kuvaajasta, alaspäin aukeava paraabeli: Ratkaistaan nollakohdat: Kuvaajan perusteella positiivinen nollakohtiensa välissä, kun -6 < x < 6. Joten alkuperäinen funktio on positiivinen kun -6 < x < 6. Koska sen huippu saa näillä a b:n arvoilla positiivisia arvoja ja alkuperäinen funktio on ylöspäin aukeava. 4. a.

6 b. f ( x) x( x 5) x 10x Ääriarvot derivaatan nollakohdista: f '( x) 4x x x 10 x x 4 Ääriarvokohdan luonne merkkikaavion kautta: 5/ f'(x) f(x) On siis löydetty funktion f(x) minimikohta, kun x=5/. Min. arvo = f(5/)= -5/ Suljetulla välillä [0,6] ääriarvot voivat löytyä myös välin päätepisteistä. Tässä tapauksessa maksimikohdat. Joten täytyy kokeilla. f f (0) (6) => Max arvo = 1 x=6 on maksimikohta annetulla välillä! 5. Muodostetaan ensin tilavuuden lauseke. Valitaan muuttujiksi x = jalan pituus ja y = katoksen leveys, jolloin katoksen pituus on y. Tällöin tilavuus V = yyx = 6xy. Yhteen muuttujaan päästään tiedosta, että putkea on käytettävissä 40 metriä eli 6x + 4y + 6y = 40 lausekkeeseen saadaan yhden muuttujan funktio x 0 5 y, joka sijoittamalla tilavuuden 0 5 V ( y) 6 ( y ) y = 0,4 40 y y 10. (y) V on määritelty ja derivoituva suljetulla välillä

7 ( jos korkeus (x) on nolla, niin y = 40/10 = 4 ), joten suurin arvo löytyy joko välin päätepisteistä tai derivaatan nollakohdasta. V ( y) 80 y 0 y 10 y(8 y) 0, kun y = 0 (välin päätepiste) tai y = 8 (on tutkittavalla välillä). 8 8 V (0) 0, V (4) 0, V ( ) 40( ) 8 10( ) ,8, joka on siis funktion suurin arvo. Tällöin katoksen leveys on , pituus 8 ja korkeus Vastaus: Suurimman katoksen mitat ovat 5, m (leveys), 8,00 m (pituus) ja, m (korkeus). (Kulkukaavio vielä lisäksi perusteluiksi siihen, että on löydetty tilavuuden suurin arvo!) 6. a. Merkitään seuraavasti: Joten 5x+4y=Materiaali. Lisäksi 4xy=50neliömetriä. Muodostetaan yhtälöpari:

8 Muuttujan y arvot (karsinan sivun pituus) on määritelty vain kun y>0. Tällä alueella derivaatan kuvaaja kulkee seuraavasti: Eli kulkukaavio: On siis löydetty M(y) materiaali-funktion pienin arvo, kun y = Mitat pitää valita: y = b.,95m ja x = 50 4y = = 10,16m

9 Tangenttien yhtälöt ovat siis y=-4x+ ja y=x- 7. y = 4x x on alaspäin aukeava paraabeli. f(x) = 4x x Mallikuva tilanteesta: Pisteen B koordinaatit ovat tuntemattomat, olkoon se vaikka B=(a,0), eli suorakulmion kanta tai leveys on siis a. Tällöin pisteen C koordinaatit voidaan lukea paraabelilta, tai funktiosta, kun sijoitetaan funktioon arvo x=a:. y = f(a) = 4a a => Piste C = (a, 4a a ) => Suorakulmion korkeus on siis 4a a Tällöin voidaan määritellä pinta-alan funktio A:

10 Tarkastellaan ääriarvoja kulkukaavion avulla: Max kohta: a = 8 eli suorakulmion pinta ala on max. kun x = Mallikuva:

11

12