1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6"

Transkriptio

1 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = <, joten suora on laskeva. b Suoran kulmakerroinn k =, >, joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora. Suora ei siis ole nouseva eikä laskeva.. a f- = - - = 5 b f- = 5 c f- = 6 - =. a f-6 = -6 6 = Piste ei ole kuvaajalla. f =

2 b f-6 = -6 = 67 Pistee on kuvaajalla. f = a -6 = : = -6 b = - = -9 = c 5 = 5 5 : : -

3 5. a Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun =. f Kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä, b Nollakohta saadaan yhtälöstä g =. 5 : : akseli: 8 : 6 leikkauspiste -8,

4 y-akseli: f 6 6 y-akselin leikkauspiste, -6 Huom! Funktion lauseke siinä muodossa, että y-akselin leikkauspisteen näkee myös suoraan vakiotermistä. 7. -akselin leikkauspiste saadaan yhtälöstä f = : 6 Kuvaaja leikkaa -akselin pisteessä 6,.

5 8. a Toisen asteen termin kerroin >, joten paraabeli aukeaa ylöspäin b Toisen asteen termin kerroin - <, joten paraabelin aukeaa alaspäin. c Toisen asteen termin kerroin >, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. d Toisen asteen termin kerroin - <, joten paraabeli aukeaa alaspäin. 9. a f = b f = -6 = c f = d f =

6 . a g b g. a 6 h b h. a - + = : tai b = 69 = 7 tai = -6

7 . a + + = 5 5 = - tai = b + = c = Ei ratkaisua Funktiolla ei ole nollakohtia.

8 . a - + = : 5 b + = + 6 = = tai + 6 = = = -6 c = 7 = -7 :7 = - Ei ratkaisua Funktiolla ei ole nollakohtia. 5. a + 6 = : + = = 5 tai = -6

9 b + 9 = = tai + 9 = = - 9 : = - 6. a f = - + = pisteessä, b f= = - 5 = - 5 pisteessä, c f = - = pisteessä, a f-,, = -,5 -, + =,5,6 Piste ei ole kuvaajalla. f = -,5 +

10 b f-, = -, + -, + =, 6 Piste on kuvaajalla. - - f = a g- = -- + = b h- = = -8 c r- = =

11 9. a + 5 = - = -5 = 5 b + = = - Ei ratkaisua Ei nollakohtia c + = = tai =. a -akseli: y-akseli: 5 5 : g leikkauspiste, 5 leikkauspiste 6,

12 b -akseli: y-akseli: 5 5 g = - 5 = = tai 5 = leikkauspiste:, = 5 leikkauspisteet:, ja 5,. Sievennetään ensin funktion lauseketta. Lasketaan funktion nollakohta: Ei ratkaisua Kuvaaja ei leikkaa -akselia.

13 . Polynomifunktion merkki. a Kuvaaja kulkee -akselilla tai sen yläpuolella, kun, joten f, kun. b Kuvaaja kulkee akselilla tai sen yläpuolella, kun, joten f, kun.. a Kuvaaja kulkee -akselin alapuolella, kun <, joten f saa negatiivisia arvoja eli f <, kun <. b Kuvaaja kulkee -akselin alapuolella, kun > -6, joten f saa negatiivisia arvoja eli f <, kun > -6. y. a Ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa laskeva suora, joka leikkaa -akselin kohdassa = -. - b Ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa nouseva suora, joka leikkaa -akselin kohdassa =. y

14 5. Tapa : kuvaajan avulla Ratkaistaan ensin nollakohdat: - 6 = = 6 : = Funktio saa negatiivisiaa arvoja, kun kuvaaja kulkee -akselin alapuolella, joten f <, kun < Tapa : ilman kuvaajaaa 6 < < 6 < : 6. Ratkaistaan ensin nollakohdat: 8 Funktio saa positiivisia a arvoja, kun kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella, joten f >, kun > 8.

15 7. a : 8 6 b : 5 8. a : 5 b : 5 5

16 9. a : 8 b 5 :5 5. a Tosi, joten epäyhtälön ratkaisuna kaikki :n arvot. b Epätosi, joten epäyhtälöllä ei ole ratkaisua.

17 . a : b 8 :

18 . 9 9 : : 6

19 . a Merkitään kateetteja kirjaimilla ja y. Koska kateettien yhteispituus on, saadaan + y = y = - b Ehto : Ehto : : - Yhdistämällä ehdot saadaan: 5. a Olkoon korkeus y. y y : y y y y Suorakulmion korkeus on.

20 b Ehto : Ehto : : Ehdot yhdistämällä saadaan: 6. a : 5 b :

21 7. a f, kun tai 8 b f, kun -5

22 8. a g =, kunn = - Muulloin funktion arvot positiivisia, joten g, kunn = - b g kaikilla muuttujan arvoilla a

23 9. g <, kun < - tai < < 6. a Funktion nollakohdat = -, = ja =. b f <, kun - < < tai >

24 . a Merkitään f. Funktion f nollakohdat: tai 5 5 f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. - f tai kun f

25 b Merkitään f 5,. Funktion f nollakohdat: 5, 5, 5, 5,,6, tai 5 f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. -, f f kun, 5

26 . a 6 6 Merkitään f 6. Nollakohdat: 6 6 : f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f f kun

27 b Merkitään f. Funktion f nollakohdat: 9 5 tai f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli f f kun 5 tai

28 . a Merkitään 6 f. Nollakohdat: Koska juurrettava -8 <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f siis nollakohtia. f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa - akselia. f f kaikilla :n arvoilla.

29 b 8 Merkitään f 8. Nollakohdat: 8 8 f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa - akselia kohdassa =. f f ei saa positiivisia arvoja millään :n arvolla eli epäyhtälöllä 8 ei ole ratkaisua.

30 . a Merkitään f. Nollakohdat: f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa - akselia kohdassa = -. - f kun vain f.

31 b 5 Merkitään f 5. Nollakohdat: f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa - akselia kohdassa = 5. 5 f f saa negatiivisia arvoja muualla paitsi kohdassa = 5. Näin ollen 5 kun 5.

32 5. a Merkitään f 6 9. Nollakohdat: Koska juurrettava -5 <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f ole nollakohtia. Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa -akselia. f f kaikilla :n arvoilla.

33 b 8 9 Merkitään f 8 9. Nollakohdat: Koska juurrettava -8 <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f nollakohtia. f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa - akselia. f f saa vain positiivisia arvoja, joten epäyhtälöllä 8 9 ei ole ratkaisuja.

34 6. Merkitään f. Nollakohdat: 69 tai f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f ½ - f kun Koska epäyhtälön ratkaisuun hyväksytään vain :n positiivisia arvoja,.

35 7. Aitauksen ala A Aitauksen pinta-alan tulisi olla vähintään m, joten saadaan epäyhtälö: A Merkitään f. Nollakohdat: 5 tai f :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli f f, kun 5 Näin ollen ala on vähintään m, kun kohtisuoran sivun pituus kuuluu välille 5 m,m eli 5 metriä.

36 8. a Funktio saa negatiivisiaa arvoja eli g <, kunn <. b Funktio saa negatiivisiaa arvoja eli g <, kunn

37 9. a g, kun : b g Nollakohdat: tai - + = - = - : - = 5 g :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli g g, kun tai 5.

38 5. a + 5 < : b 5 < :7 5. a Merkitään f 8 7. Nollakohdat: :8 f :n kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli. f f, kun tai

39 b 8 Merkitään f 8 Nollakohdat: Koska juurrettava - <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä funktiolla f ole nollakohtia. f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa - akselia. f f saa vain positiivisia arvoja, joten epäyhtälöllä 8 ei ole ratkaisuja.

40 a Ehto : 5 5 7,5 Ehto : : : Ehto : Kun ehdot yhdistetään saadaan 7 cm b A 5 7

41 c Vaaditaan, että A 5 eli Merkitään f 7 5. Nollakohdat: tai,5 5 f :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f + +,5 5 - f, kun,5 5

42 . Funktion muutosnopeus 5. a Kun lähdöstä on kulunut, h, Roosaa ei enää ollaan perillä. Etäisyys kotoa on 75 km. b Ensimmäisen puolenn tunnin aikana Roosa on liiku, joten ajanut 5 km. Keskinopeus on siis 5km,,5h km h c Roosa ei liiku, kunn, t,5, joten aikaaaa verotoimistossa kuluu,5h 5 min. d Paluumatka alkaa hetkellä t,5 ja päättyy, Aikaa kuluu siis,75h 5min. kun t,.

43 5. a,5 h = min min aikana juna on kulkenut 5 km matkan. 5km Junan keskinopeus v km/hh,5h b Tuppukylän asemallee pysähdytään, kun matkaa on taittunut 6 km. Isomäki sijaitsee 8 km:n päässä lähtöasemalta, joten Tuppukylästä on matkaa Isomäelle 8 km 6 km = km c Junamatka Tuppukyl lästä Isomäelle kestää 9 min 7 min = min = h h 6 6 Matkan pituus oli km, joten keskinop peus on km v 6 km/h h d Koko matkan pituus on 8 km ja matkaan kuluu aikaaa 9 min =,5 h. Keskinopeus on v 8km,5h 5,...km m/h 5 km/h

44 55. a Välillää [-, ] punaisell la piirretyn funktion f muutosnopeus on suurempi, koska funktiolle f keskimääräistä muutosnopeutta kuvaavan suoran kulmakerroin on suurempi suora nousee jyrkemmin b Välillää [-, ] funktioid den muutosnopeudet ovat yhtä suuret, koska keskimääräistä muutosnopeutta kuvaavat suorat ovat molemmat vaakasuoria.

45 56. a Keskimääräinen muutosnopeus välillä, saadaan laskemalla pisteiden, ja, kautta piirretyn suoran kulmakerroin:,5 b Pisteiden, ja 5, kautta piirretyn suoran kulmakerroin: 5 c Pisteiden, ja 5, kautta piirretyn suoran kulmakerroin: 5 5

46 57. a Suora kulkeee pisteiden, ja, kautta Keskimääräinen muutosnopeus b Suora kulkee pisteiden, - ja, kautta Keskimääräinen muutosnopeus c Suora kulkeee pisteiden, ja, - kautta Keskimääräinen muutosnopeus

47 58. a Laitteisto alkaa puhaltaa kylmää ilmaaa 6 asteen lämpötilassa, koska tällöin lämpötilaa kuvaava käyrää kääntyyy alaspäin. b Suora kulkee pisteiden 6, ja 8, 5 kautta. Lämpötilan keskimääräinen muutosn opeus onn 5,5 C / h 8 6 c Suora kulkee pisteiden 6, ja, kautta. Lämpötilan keskimääräinen muutosn opeus onn,666..., 7 C / h 6 6

48 59. funktioiden keskimääräiset muutosnopeudet välillää [, ]:,5,5 funktio f:,, 5 funktio g: funktio h: a Suurin keskimääräinen muutosnopeuss välillä [, ] on funktiolla g b Pienin keskimääräinen muutosnopeuss välillä [, ] on funktiolla h d Suurin hetkellinen muutosnopeus kohdassa = on funktioilla g ja h. Molempien hetkelline en muutosnopeus on. Funktion f hetkellinenn muutosnopeus on o -,5.

49 6. a Funktion hetkellinenn muutosnopeus kohdassa = - on b Piirretään ensin keskimääräistää muutosnopeutta kuvaava suora.. Siirretään suoraa ja etsitään kohdat, joissa suora on tangenttina. Hetkellinen muutosnopeus on sama kohdissa -, ja 6. a Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = - onn. b Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = saadaan kuvaan piirretyn tangenttisuoran avulla. Hetkellinen muutosnopeus on 6

50 6. a Hetkellinen muutosnopeus on sama kuin välillä [-, ] kohdassa - b Hetkellinen muutosnopeus on sama kuin välillä [-, ] kohdassa -,5

51 6. a Edla on kaupassa välillä, jolloin etäisyys kotoa ei kasva. Kauppa on siis km päässä. b Kaupassaoloaikaa kuvaava pätkä käyrää on noin yhden ruudun mittainen eli,5 h = 5 min. c Piirretään tangentti kohtaan t,,,5,5. Sen kulmakerroin on,,5 5 Edlan nopeus on noin 5 km. h Huomautus: Kuvaajas sta on vaikea lukea tarkkoja pisteitä. Myös tulos 6 km h onn täysin hyväksyt ttävä. d Edla saapuuu Millann luo, kun t,, jolloin etäisyys Edlan kotiin on km.

52 6. a Keskimääräinen muutosnopeus välillä [-, ]: : 5 5 b Keskimääräinen muutosnopeus välillä, : 5 c Keskimääräinen muutosnopeus välillä, : 5 5,75 d Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = -: 5 5 Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = -: 5 5

53 65. a Suoran s kulmakerroin k s b Etsitään suoraa siirtämällä sellainen kohta funktionn f kuvaajalla, jossa tangentti on suoran s suuntainen. c Keskimääräinen muutosnopeuss välillä [, ] on 5 5 Keskimääräinen muutosnopeus on pienempi välillä [, ].

54 66. a Keskimääräinen muutosnopeus kolmen ensimmäisen tunnin t aikana on 6,666..., 7 C / h b Lämpötilan keskimääräinen muutosn opeus välillä [9, 8] on 6,..., C / h c Hetkellinen muutosnopeus klo 5. on C / h 8 5 d Hetkellinen muutosnopeus klo. on 8 6,666...,7 C / h

55 . Funktion derivaatta 67. a f 6 b Lasketaan pisteeseenn, 6 piirretyn tangentin kulmakerroin: f 8 c f d Lasketaan pisteeseenn, piirretyn tangentint n kulmakerroin: f 68. a f- b f,5 c Lasketaan pisteeseenn -, piirretyn tangentin kulmakerroin: d Lasketaan pisteeseenn,5; piirretynn tangentin kulmakerroin:,5, 5 7,5,,5

56 69. a Lasketaan pisteeseenn -, piirretyn tangentin kulmakerroin: b Lasketaan pisteeseenn, piirretyn tangentint n kulmakerroin: 7. Piirretään funktion kuvaajalle tangentti kohtaan =.. Derivaatta kohdassa = saadaan tangenttisuorann kulmakertoimesta:

57 7. a Piirretään funktion kuvaajalle tangentti kohtaan =. f ' b Piirretään funktion kuvaajalle tangentti kohtaan =. f ' 7. a f 5 f tangentti -akselin suuntainen a b b f 5,5 f

58 7. f on huippupisteen y-koordinaatti eli f. Pisteeseen f, - piirretyn tangentinn kulmakerroin nolla eli f

59 f a Piirretään funktion kuvaajalle tangentti kohtaan = - b a f ' b Etsitään tangenttia siirtämällää muut kohdat, k joissa tangentti yhdensuuntainen a-kohdan tilanteen kanssa. 7

60 77. a g = - g' c a b b -,5 c -8,5 ja Pisteeseen, piirretyn tangentin kulmakerroin: eli f Käyrälle voidaan piirtäää samansuuntaisia tangentteja kohtiin pisteisiin -, - ja,. ja eli

61 79. a f =, kun - f =, kun -5tai b f =, kun -,5 tai f =, kun -, taii 8. b, c, e, f, i

62 8. 8. Funktion nollakohdat:,,, 5, Kohtaan, piirretyn tangentin kulmakerk rroin:, eli f,99,

63 8. a f b f ' 5 c f - d f ' 8. a g- - b g' 5 c Funktion nollakohdat: - ja d Derivaatan nollakoht ta: -

64 85. Piirretään ensinn kuvaajalle tangenttisuora kohtaan =. f ' 86. a g5 - g' c a b b,5 ja -,5 c -

65 . Derivoimissääntöjä ja -kaavoja 87. a D-5 b, D-, c D 7 7 d D D 88. a f b m c t t t g d 6 7, 7,6 r r r h 89. a D-5 = -5 D = -5 = -5 b D + = D D + D = + = 6 c D D D D

66 9. a f b f r r 9r c f d f t t t 9. a f b f c f 5, d f r 6r r 9. a D D D b D 5b D 5b D 5b 8 8 D D D D c 7 d D5 7,5 D5 D 7 D,5 7

67 9. a D b 7 D c D D d D 9. a f = + 5 f = + 5 = + b f = 5 5 = = + 5 f = c f 6 9 f = + = + d f = + = - + f = - +

68 95. a g g 8 b 6 6 g g 6 c t t t t t t t t g g 8 d r r r r r r r g r r g 96. a t t m t 6 t m b h 5 h c g g d r r r r r r r f r r r f

69 f f 98. r r k r r k 7 k 96 k t t t m t t t m m 8 5 m

70 . 6 5 P P 6 5 P P. 6 P 5 6 P P

71 . a 5, 5 h b 9,, r r r r r n c t t t t t t t f d 6 f. a D + = + b D = D + + = + c D[ ] = D + = D + = 8 d D + = D- + = a 5 5 D D b D 6

72 5. a f f 6 5 f 6 f b 5 f 5 f 5 5 f 5 f

73 . Derivaatan arvo 6. a Derivoidaan funktio: f ' f ' 9 b Ratkaistaan yhtälö: 6 : 7. a g5 = 5 5 = 55 b Ratkaistaan yhtälö: tai 6

74 8. t t t t t t t g t t t g kun 5 t g t t t t t t t 9. g g kun g :

75 . a Derivaatan nollakoht taan voidaan piirtäää vaakasuora tangentti. Derivaatan nollakohta. b Derivaatan nollakohd dissa derivaattafunktion kuvaaja leikkaaa -akselin. Derivaatan nollakohdatt - ja.. Funktion nollakohdissaa kuvaaja leikkaaa -akselin. Funktion nollakohdat: ja 6 Derivaatan nollakohdassa funktion kuvaajalle voidaan piirtäää vaakasuora tangentti. Derivaatan nollakohta:.

76 . Derivaatan nollakohdissa funktion kuvaajalle voidaan piirtäää vaakasuora tangentti. Derivaatan nollakohdat: - ja. Derivaatan nollakohdissa derivaattafunktion kuvaaja leikkaaa -akselin. Derivaatan nollakohdat: - ja 5.. P P P kun :

77 5. Funktion f 7 tangentin kulmakerroin saa arvon 5 siinä pisteessä, missä derivaatta f 5. f : Vastaavat y-koordinaatit saadaan laskemalla funktion f arvot kohdissa = ja = -. f 7 6 f 7 6 Kysytyt pisteet ovat, -6 ja -, a f 6 f 6 6 f kun :6

78 b f 7 f f kun : 7. a f 8 f 6 f kun 6 6 : 6 6 b f 8 5 f 8 f kun tai

79 8. a 8 f 8 6 f kun f 8 6 tai b f f kun f tai

80 9. a f f 8 f kun 8 8 : b f f f kun 96 5 tai

81 . P P P kun tai 7. a f 5 8 f 8 f kun 8 :

82 b f f kun f tai 6 6. Paraabelin huippupisteen -koordinaatti on derivaatan nollakohta. ' f Ratkaistaan derivaatan nollakohta: : Huipun y-koordinaatti: 6 f Huippupiste on,.

83 . Paraabelin huippupisteen -koordinaatti on derivaatan nollakohta. f 8 8 f 6 8 f kun :6 a Huipun -koordinaatti on. b Huipun y-koordinaatti f Derivoidaan funktio. Vakiota k käsitellään derivoinnissa lukuna. f ' k 5 k 5 Koska f ', saadaan yhtälö: k 5 k : k

84 5. Derivoidaan funktio. Vakiota a käsitellään derivoinnissa lukuna. g' 6 a a 6 a a Funktiolla on derivaatan nollakohta = -, joten saadaan yhtälö: g' 6 a a 6a 6a : 6 a 6. y,5, Käyrä on ylöspäin aukeava paraabeli, joten ojan suurin syvyys saadaan huipun y-koordinaatista. Huippu saadaan selville derivaatan avulla. y,, y kun,, = - kun, y,5,, 7 Ojan suurin syvyys on,7 m.

85 7. Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten maakellarin suurin korkeus saadaan huipun y-koordinaatista. Derivoidaan funktio: h,5,5 Derivaatan nollakohta: h kun,5,5,5,5, :,5 = Huippukohdassa,. Huipun y-koordinaatti saadaan funktion arvosta: h,,5,,5,,,5 Kellarin suurin korkeus on,5 m.

86 8. Paraabelin huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivoidaan funktio käsitellään vakiota a derivoinnissa lukuna. g ' 8 Lasketaan derivaatan nollakohta: 8 8 :8 Huippu sijaitsee suoralla y = -, joten huipun y-koordinaatti on -. Saadaan yhtälö: g a a 6

87 9. a f ' f ' 56 b Ratkaistaan yhtälö: tai g g a g 8 kun 8 6 b g 9 kun 9 5 : 5

88 . a g ' b g ' : tai 6. Ylöspäin aukeavan paraabelin y 6 huippupisteessä derivaatta y. y 6 y kun 6 6 : Kun, y 6 5. Huippupiste on, 5.

89 . Paraabeli y,87, 6 aukeaa alaspäin, joten kaaren korkein kohta saadaan huipun y-koordinaatista. y,7,6 y kun,7,6,7,6,5... :,7 Kun,5..., =,5 y,87,5... 8,9... 8, m,6,5...

90 . Derivaatan merkki. a Derivaatta on positiivinen eli g >, kun > - Derivaatta on negatiivinen eli g <, kun < - g b Derivaatta on positiivinen eli g >, kun < - tai > Derivaatta on negatiivinen eli g <, kun - < < g Merkkikaavio: f f <, kun < - tai < < 6. a Merkkikaavio: f Derivaatta positiivinen, kun < tai >.

91 b Merkkikaavio: f + + Derivaatta positiivinen, kun. 7. Merkkikaavio: f a Derivaatta positiivinen, kun -5 < < -. b Derivaatta negatiivinen, kun < -5 tai > a g 6 g 8 6 Derivaatan nollakohta: :8 Derivaatan kuvaaja: g kun < Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla: g kun :8

92 b g g Derivaatan nollakohta: Derivaatan kuvaaja: : g kun Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla: g kun :

93 9. f 9 f 6 9 f kun 6 9 Derivaatan f nollakohdat: tai 6 9 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f f kun tai

94 . Derivaatta: f ' 6 6 Derivaatan nollakohdat: tai 7 6 Derivaatan kuvaaja: -6 Derivaatta positiivinen, kun < -6 tai >. a Derivaatta: g ' 8 Derivaatan nollakohta: 8 8 : 8 Derivaatan kuvaaja: g, kun - -

95 b Derivaatta: g' 8 Derivaatan nollakohdat: 8 8 tai : Derivaatan kuvaaja: g, kun tai 6 6. f t t t f t t Derivaatan nollakohdat: t t t t : Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: f

96 . 8 g g Derivaatan nollakohdat: tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g / / kun g

97 . 5 f 5 f Ehto : : 5 5 f Ehto : 5 9 : f Kun ehdot ja yhdistetään, saadaan 5 9

98 5. Derivoidaan funktio: g = Derivaatan nollakohdat: Derivaatalla yksi nollakohta eli derivaatan kuvaaja sivuaa - akselia kohdassa = 6. Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta ei siis saa positiivisia arvoja millään muuttujaan arvoilla. 6 g

99 6. f = + = + Derivoidaan funktio: f = + Derivaatan nollakohdat: Ei ratkaisua : Derivaatalla ei ole nollakohtia. derivaatan kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa aina vain positiivisia arvoja eli f > kaikilla muuttujan arvoilla. f 7. Derivoidaan funktio. Käsitellään vakiota a derivoinnissa tavallisena lukuna. g = a + 5 = a + 5 Derivaatalla nollakohta = -, joten saadaan yhtälö: a 5 a 5 : 5 a

100 Derivaattafunktio on siis muotoa ' g Derivaatan kuvaaja nouseva suora, jonka nollakohta = -, joten g >, kun > h h a kun 5 h 7 : 7 5 b Derivaatan nollakohta: : Derivaatan kuvaaja: kun h < Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla. -

101 9. h = + = + = - Derivoidaan funktio: h = a Ratkaistaan yhtälö: 5 7 : 7 b Derivaatan nollakohdat: : Derivaatan kuvaaja nouseva suora, joten derivaatta on negatiivinen, kun < 5. a f = Derivaatan nollakohta: :8 Derivaatan kuvaaja nouseva suora, joten f <, kun

102 b f = 8 Derivaatan nollakohdat: 8 8 tai : 8 9 Derivaatan kuvaaja alaspäin aukeava paraabeli, joten f <, kun < tai 9 f 5. P 9 6 P 6 Derivaatan nollakohdat: 6 6 :

103 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. P P kun 5. Funktion derivaatta: f ' 7 Derivaatan nollakohdat: 7 Ei ratkaisua Derivaatalla ei ole nollakohtia. 7 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa negatiivisia arvoja kaikilla muuttujan arvoilla. f

104 . Funktion kulku 5. Funktio on kasvava, kun ja vähenevä, kun. vähenevä kasvava 5. a f, kun funktio f on vähenevä eli kun,. 6, tai b f, kun funktio f on kasvava eli e kun, 6, tai vähenevä kasvavaa vähenevä kasvava

105 55. a Funktio on kasvava, kun -5 - tai 5 b Funktio on vähenevä ä, kun - kasvava vähenevää kasvava k 56. a Funktio on vähenevä ä, kun vähenevä b Funktio on vähenevä ä, kun derivaatta on negatiivin nen eli kun -. vähenevä

106 57. Derivaatan kuvaaja leikkaa nollakohdissa -akselin, joten nollakohdat ovat = -, = ja =. - - g g Funktio g on kasvava, kun - tai 58. a Funktio g on vähenevä, kun g g. Derivaatan nollakohdat: : - g + Funktio on vähenevä, kun. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön g, kun : avulla:

107 b g Derivaatan nollakohdat: 9 : Funktio on vähenevä, kun g eli, kun 9. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla: kun g 9 : g - +

108 59. a f on kasvava, kun f. f Derivaatan nollakohdat: : - f + Funktio on kasvava, kun Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla: : b f f Derivaatan nollakohdat: : + - Funktio on kasvava, kun f eli, kun. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla.

109 6. f 9 Derivaatan nollakohdat: tai Derivaatan merkki: f 9 9 Merkkikaavio: - - f + + f f 9 f 9 9 f on kasvava, kun f eli kun tai Huom! Derivaatan merkin voi perustella myös seuraavasti: Derivaatan f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f kun tai.

110 6. Tarkastellaan g:n kulkua derivaatan g avulla. g 5 Derivaatan nollakohdat: tai 6 5 Derivaatan g kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g Merkkikaavio: -6 7 g ' + + g g on kasvava, kun 6 tai 7 g on vähenevä, kun 6 7

111 6. a g = - 7 Derivaatan nollakohdat: 7 7 tai : Merkki- ja kulkukaavio: Tapa testipisteet g - = - g - = g = - Tapa derivaatan kuvaaja -9-9 g ' g g on kasvava, kun 9 g on vähenevä, kun -9 tai.

112 b g ' Derivaatan nollakohdat: 6 Merkki- ja kulkukaavio: Ei ratkaisua Derivaatalla ei ole nollakohtia Tapa testipisteet g = - Tapa derivaatan kuvaaja g ' - g g on vähenevä kaikilla muuttujan arvoilla

113 6. a b c

114 6. f Derivaatan nollakohdat: tai 6 Derivaatan merkki: f f 7 f Kulkukaavio: f + + f Funktio on kasvava, kun tai. Funktio on vähenevä, kun.

115 Lasketaan pisteitä kuvaajan piirtämiseksi. f - f - 8 f f f f, f

116

117 65. a Aloitushetkellä eli h 6 bakteeria b Bakteerikanta vähentyy, kun f vähenee eli f. f 8 6 Derivaatan nollakohdat: tai, 67 Koska kuvaa aikaa, se ei voi saada negatiivisia arvoja. Derivaatan merkki: f, 8, 6,, f Merkkikaavio: f + f f on vähenevä, kun. Bakteerien määrä alkaa vähentyä, kun aikaa on kulunut.

118 66. a Pinta-ala: A b A on kasvava, kun A. A Derivaatan nollakohta: : Pinta-alafunktio on kasvava, kun. A Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla: A kun : 67. Reitillä on ylämäkeä kohdissa, joissa h. h 6 h kun

119 Tulon nollasäännön mukaan tai ,8..., tai,69... Nollakohdista =,69 on juuri lenkin ulkopuolella. Derivaatan merkki: h,, 6,,,65 h 6,9 h + h h on kasvava, kun, eli kun vaakasuora etäisyys on yli m lenkin loppuun.

120 68. a Kun pallo osuu maahan, h,8 75,,8 75, tai -,8+75, =,8 75, 9 :,8 Lyönnin pituus on 9 m. b Pallo on laskevassa liikkeessä, kun funktio h vähenee, jolloin h. h,6 75, h Derivaatan nollakohta:,6 75, 7,6 75, :,6 7 Derivaatta negatiivinen, kun 7 eli kun etäisyys on yli 7 m. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla: h, kun,6 75,,6 75, :,6 7

121 69. f on kasvava, kun f. 6 a f kun f : 6 6 a a a 7. f on kasvava, kun f. a f Derivaatan nollakohdat: a 6 a a a

122 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos vaaditaan, että se ei saa negatiivisia arvoja, on em. yhtälöllä oltava enintään yksi ratkaisu. Se on mahdollista, jos juuren alla oleva lauseke eli diskriminantti D : a a a : 7. Tarkasteltavat muuttujan arvot =, ja =, ovat derivaatan nollakohtaa = suurempia. Funktio on vähenevä, kun, joten muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvon pienenevät. Mitä lähempänä muuttujan arvo on siis derivaatan nollakohtaa =, sitä suurempi funktion arvo on. Koska, <, eli, on lähempänä arvoa on g, suurempi.

123 7. Funktio on kasvava, kun f eli kunn derivaatan kuvaaja kulkeee -akselilla tai sen yläpuolella. Funktio on vähenevä, kun f eli kun derivaatan kuvaaja kulkeee -akselilla tai sen alapuolella. a Derivaatan nollakoh hta: = - Funktio f on kasvava, kun - ja vähenevä, kun -. b Derivaatan nollakoh hdat: = tai = Funktio f kasvava, kun tai ja vähenevä, kun. c Derivaatallaa ei ole nollakohtia. Koska derivaatan kuvaaja kulkee ainaa -akselin yläpuolella, on funktio f kasvava kaikilla muuttujan arvoilla. d Derivaatan nollakoh hta: = Koska derivaatan kuvaaja kulkee ainaa jokoo -akselilla tai sen yläpuolella, onn funktio vähenevä kaikilla muuttujan arvoilla.

124 7. g Derivaatan nollakohta: g 6 : -6 a g on kasvava, kun g eli kun -6 b g on vähevenä, kun g eli kun. 7. h Derivaatan nollakohdat: tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Merkkikaavio: 9 h + + h h on kasvava, kun tai. 9

125 75. f Derivaatan nollakohdat: 58 tai 7 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f + + -/7 - / Merkkikaavio: 7 f + + f f on kasvava, kun tai. 7 f on vähenevä, kun. 7

126 Lasketaan funktion arvoja kuvaajan piirtämiseksi f 7 6 f 7 66 f 7, f 7 f 6 f,7... f f 6 f

127 . Funktion ääriarvot 76. a minimikohta = minimiarvo f f = -5 b maksimikohta = - maksimiarvo f- = minimikohta = minimiarvo f f = 77. a minimikohta = - b Derivaatallaa kaksi nollakohtaa = - ja =. Merkki- ja kulkukaavio: - f f + + ma min maksimikohta = - minimikohta =

128 78. f 6 8 Derivaatan nollakohta: : 6 Derivaatan merkki: f f f f + ma a Maksimikohta b Maksimiarvo f a f Derivaatan nollakohta: :

129 Derivaatan merkki: f f Merkkikaavio: f + f min Minimiarvo f b f 6 6 Derivaatan nollakohta: : 6 Derivaatan merkki: f f Merkkikaavio: - f + f Maksimiarvo: ma

130 8. 8 g Derivaatan nollakohdat: 8 tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Merkkikaavio: f + + f ma min Maksimiarvo: 7 5 g Minimiarvo: g

131 8. a g Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: g g Merkkikaavio: - g + g min Minimikohta: b g 8 Derivaatan nollakohdat: Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska -68 <. Derivaatalla ei ole nollakohtia eikä funktiolla g näin ollen ääriarvokohtia

132 8. a h Derivaatan nollakohdat: tai : Derivaatan h kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Merkkikaavio: h + h min ma Minimikohta: Maksimikohta:

133 b h,5, 7 Derivaatan nollakohta:,5,7,5,7, :,5 Derivaatan merkki: h,5,7,7 h,5,7, h h, + min Minimikohta:,

134 8. Funktiolla f ei ole ääriarvoja, jos se on aina aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Tällöin derivaatalla f ei ole nollakohtia. f Derivaatan nollakohdat: Yhtälöllä ei ratkaisua, joten derivaatalla ei nollakohtia. Derivaatan merkki: f f kaikilla :n arvoilla, joten f on aidosti kasvava eikä sillä ole ääriarvoja.

135 8. a b 85. f 7 Derivaatan nollakohdat: tai

136 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f f + + f ma min Minimikohta on 8 f 8 8,5 8 8 c 6 c 6 6 c a Bakteereja on elossa, kun niiden lukumäärä on suurempi kuin nolla eli ratkaistaan milloin FT >. Nollakohdat:

137 Bakteerin määrää kuvaavan funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa positiivisia arvoja, kun 5 < T < 5 b Tutkitaan, millä muuttujan arvolla funktio saa suurimman arvonsa. F T = -,65T + 6,5 Derivaatan nollakohta:,65t 6,5,65T 6,5 T 6 :,65 Koska määrää kuvaavan funktion F kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, löytyy bakteerien määrän suurin arvo paraabelin huipusta eli derivaatan nollakohdasta. Bakteerien määrä on suurimmillaan, kun lämpötila on 6 C. c Bakteerin määrä F6 = -, ,5 6 =,5 bakteeria

138 87. Nuolen korkeus h t,9,5t,9t h t,5 9, 8t Derivaatan nollakohta:,5 9,8t 9,8t,5 t,5 Derivaatan merkki: h,5 9,8,5 h,5 9,8,9 Merkkikaavio:,5 h + h a Korkeus on suurin, kun on kulunut,5 s. b Korkeus hetkellä t, 5: Korkeus on m. h,5,9,5,5,9,5,55

139 88. f t t t a f t 8t Derivaatan nollakohdat: 8t 8t t,5 Derivaatan merkki: f 8 f 8 Merkkikaavio:,5 f + f f,5,5,5 5 Lääkkeen määrä oli suurimmillaan, kun lääkkeen antamisesta oli kulunut,5 tuntia. Lääkettä oli tällöin 5 mg.

140 b Leikkauksen aikana t t t t 6 6 Merkitään g t t t 6 g:n nollakohdat: t t 6 : t 5t 5 5 t 5 t t tai t g:n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli g t g t kun t Leikkaus saattoi siis kestää enintään h.

141 89. a f saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassaa 7. b c f saa pienimmän arvonsa a derivaatan nollakohdassaa. suurin arvo f 7 pieninn arvo f

142 9. a f saaa pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa. Pieninn arvo f Koska f ei ole määritelty suljetulla välillä, ei suurinta arvoaa ole. b f saaa suurimman arvonsa välin, kaikissa kohdissa. Suurin arvo on. f saa pienimmän arvonsa välin, kaikissa kohdissa. Pieninn arvo on -.

143 9. g Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: g g Merkkikaavio: - g + g ma Suurin arvo kohdassa. g 5

144 9. r 6 8 Derivaatan nollakohta: :6 Derivaatan merkki: r r Merkkikaavio: r + r min Pienin arvo kohdassa. r 8 5

145 9. f,, Derivaatan nollakohta:,,,, :, a 5, Derivaatan merkki: f,,, f,,, -5 - f + f ma min ma f 5, 5 f, f, Suurin arvo Pienin arvo -,6, 5,5,,5,6,,5,

146 b,6 Derivaatan nollakohta ei kuulu em. välille. Derivaatan merkki: f, 6 f + f min ma f f 6,, 6,,5,5, 6,5, Suurin arvo, Pienin arvo -,5 9. f 6 Derivaatan nollakohta: :

147 Derivaatan merkki: f 6 5 f f + f min ma min f 6 f f 6 Suurin arvo 8 Pienin arvo t 8 Derivaatan nollakohdat: tai 7

148 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. t Merkkikaavio: - 5 t + t ma min ma t t t Suurin arvo 56 Pienin arvo g 6 6 Derivaatan nollakohdat: Derivaatalla ei ole nollakohtia

149 Derivaatan merkki välillä, : g g g ma min Suurin arvo g 8 9 Pienin arvo g = = Luku Luvun neliö Summa s s Derivaatan nollakohta: :

150 Derivaatan merkki: s s Merkkikaavio: s + s min Summan s pienin arvo on kohdassa Summa s. Kysytty luku on. Summa on.

151 98. Veden tilavuus V T,79T,66T,, T C V T,58T,66 Derivaatan nollakohta:,58t,66,58t T,66,96... Derivaatan merkki: V,58,66,66 V 5,585,66,7 Merkkikaavio:,9 V + V ma min ma V,79,66,, V,79,66,,7 Tilavuus on suurin, kun lämpötila on C.

152 99. Lämpötila t,t,6t,, t t,t,6 Derivaatan nollakohta:,t,6,t,6 t 5,5 Derivaatan merkki:,,6,6 6, 6,6, Merkkikaavio: 5,5 + min ma min,,6,,,,6, 7, Lämpötila oli suurin, kun t 5, 5 eli klo 5.5 Lämpötila oli matalin, kun t eli klo..

153 . Veden tilavuus V t 5 t 5 t t 5 t t t 5 t t 5t 8t 8 a Säiliö on tyhjä, kun 5t 8t 8 8 t t t eli minuutin kuluttua.

154 b V t t 8 q t V t t 8 8 t Funktion q suurin arvo: q t q q q saa suurimman arvonsa hetkellä t eli heti tyhjentymisen alkaessa.

155 . Funktio f saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa. f 5 Funktio f saa pienimmän arvonsa välin päätepisteessä. f 6. g Derivaatan nollakohdat: 6 tai

156 Derivaatan g kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g + + -/ - Merkkikaavio: g + + g Maksimi g ma min Minimi g

157 . f 5,, f Derivaatan nollakohdat: 7 tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. f + + -/ 7/ - Merkkikaavio: 7 - f + + f min ma min ma f f 5 Suurin arvo -. 5

158 . Olkoon kysytyt luvut ja y. y 5 y 5 Lukujen tulo t 5 5 t 5 Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: t 5 5 t 5 5 Merkkikaavio: 5 t + t ma Funktiolla t on suurin arvo kohdassa 5. Kysytyt luvut ovat siis 5 ja 5.

159 5. v,,5,,, 5 v, 8, Derivaatan nollakohta:, 8, 8,,,5 Derivaatan merkki: v,, 8,,, v,, 8,,,6 Merkkikaavio:,5,5 v + v min ma min Reaktion nopeus suurin, kun, 5 eli konsentraatio on mol,5. l

160 . Derivaatan geometrisia sovelluksia 6. y y y y 7 : Sivujen pituudet ovat positiivisia: ja 7 7 :,7 7 Ala A y 7 7 A 7 A kun 7 7 5

161 Derivaatan merkki: A 7 5 A 7 Merkkikaavio: 5 7 A + A ma Ala on suurin, kun 5. Sivut ovat tällöin 5 m ja 7 5 m 5 m. Ala A eli 5 m. 7. y y y y 8 8 9,5 : Sivujen pituudet ovat positiivisia: ja 9,5,6,5 9 :,5 6

162 Ala A y 9,5 9,5 A 9 A kun 9 9 Derivaatan merkki: A 9 6 A 9 Merkkikaavio: 6 A + A ma Ala on suurin, kun. 9,5 m 5. Sivut ovat tällöin m ja m

163 8. Lautaa käytettävissä, m = cm. y 8 y 8 y 6 y 58 : y Sivujen pituuksien oltava positiivisia: > ja 58 > - > -58 : - < 79,79 Hyllykkö täyttää seinältä pinta-alan, jonka suuruus on A y A = Derivaatan nollakohta: ,5 :

164 Derivaatan merkki: A 58 8 A Merkkikaavio: 9,5 79 A + A ma Ala on suurin, kun 9, 5. Mitat ovat tällöin: leveys 9,5 m ja korkeus58 9,5 m 7 m y 6 y 6 7 : y 9,75

165 Sivut ovat positiivisia: ja 9,75 ;5,...,75 9 5,... :,75 Tilavuus V y 9,75 9,75 V 8 5,5 V kun 8 5,5 8 5,5 tai 8 5,5 5,5 8,... Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli:, 5,.. V + V ma Tilavuus on suurin, kun,... Mitat ovat tällöin:, m,,m ja 9,75,... m, m

166 . Sivujen pituudet positiivisia: ja >, Tilavuus V V 576 9

167 V kun tai Vain kuuluu välille,. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. V Merkkikaavio: V + V ma Tilavuus on suurin, kun. Poisleikattavan neliön sivun pituus täytyy olla, cm.

168 . 8 y 5 y 8 8 Sivujen pituudet positiivisia: ja 8 8 > 8 8 6,6 Tilavuus V y V 96

169 V kun tai 96 = 96 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: V Merkkikaavio: 6 V + V ma Tilavuus on suurin, kun. Neliön sivu on siis cm ja kehikon korkeus 8 8 cm 6. cm

170 . Sivujen pituudet positiivisia: ja 5 > 5 7,5 ;7,5 Tilavuus V 8 V 6 7 V kun ,75

171 Derivaatan merkki: V V Merkkikaavio: 8,75 7,5 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 8, 75. Kourun mitat ovat: korkeus 8,75 cm 5 8,75 cm 7,5 pituus 8, cm leveys cm. Koska neliön ala on 9 cm, neliön sivu on cm.

172 Sivujen pituudet positiivisia: ja >,5 5 Tilavuus V V V kun ,9...,66... tai 8 6 6, Juurista vain jälkimmäinen kuuluu välille,5.

173 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. V + + 6,... -, , 5 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 6,9... Tällöin rikkalapion mitat ovat: 6,... cm,66...cm,7 cm 6,... cm 7,...cm 7,cm 6,9...cm 6, cm

174 . h h Sivujen pituudet positiivisia: ja >, Tilavuus V h V 6 V kun : tai 6 = 6 6 6,66...

175 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli , V Merkkikaavio: 6 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 6. 6 V 6 6 9, Tilavuus on 9, kun lieriön korkeus on 6 6, 7.

176 5. r h h r Pituudet positiivisia: r ja r m,8 r r, r Säde voi siis vaihdella m,8 m eli cm 8, cm Tilavuus r r r r h r r V r r r V

177 V r kun r r r r r tai r r r 6 r,5... Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. - +, V r 6 V + V ma Tilavuus on suurin, kun r m,5 m 5,cm. 6

178 6. y,-, 8, Yhdenmuotoisuuden perusteella y 8 y 8 y 8 Ala A y 8 6 Pituudet positiivisia: ja 8 > 8,

179 A 6 8 A kun Derivaatan merkki: A A Merkkikaavio: A + A ma Ala on suurin, kun. Suorakulmion mitat ovat siis: 8, cm 8, kanta cm korkeus, cm

180 7. y y y Sivujen pituudet positiivisia: ja >, Ala A y A A kun 6

181 Derivaatan merkki: A 5 5 A 5 7 Merkkikaavio: 6 A + A ma Ala on suurin, kun 6. Aitauksen mitat: 6 m korkeus 6 m kanta m Ala on 6m m 7m 8. 6 y y y 5 5 6,5 Sivujen pituudet positiivisia: ja,5 >,5 7,5 ;7,5

182 Ala A y,5,5 A =,5 6 A = kun,5 6 6,5,75 : 6 Derivaatan merkki: A,5 6 6,5 A,5 6,5 Merkkikaavio:,75 7,5 A + A ma Ala on suurin, kun, 75. Koska koko alueen leveys on,5,75 m,5 m.,5 m Yhden karsinan leveys,5 m ja korkeus,75 m. 5

183 9. y y 5 y 95 Sivujen pituudet positiivisia: ja 95 > 95 95,95 Tilavuus V y 95 9 V 9

184 V kun 9 9 7,5 Derivaatan merkki: V 9 86 V Merkkikaavio: 7,5 95 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 7, 5. V 7,5 9 7,5 7, Laukun tilavuus on 5cm 5dm 5l

185 . Kehikon rakentamiseen käytössä, m = cm rautalankaa. r h h r h 5 r : h cv cv r Pituudet positiivisia: r > ja 5 - r > r r, : r,8... Tilavuus V r h r 5 r 5r r V ' r r V = kun r - r = r - r = r = tai - r = r : r,6...

186 Derivaatan merkki: V ' 8,55... V ' 9,75... Merkkikaavio:,6,8 V + V ma Tilavuus on suurin, kun säde r,6...cm cm. Kehikon korkeus tällöin h = 5 - r = 5 -,6 cm = 6,66 cm 7 cm

187 . Derivaatan sovelluksia talouselämästä. f, 8 f f kun 55 Derivaatan merkki: f f 6 6 Merkkikaavio: 55 8 f + f ma Verokertymä on suurin, kun veroaste on 55 %.

188 . Myynnistä saatavat tulot T = 5 55 = 5 55 T = 5 Derivaatan nollakohta: 5 5,7... : Derivaatan merkki kun on välillä [5,5; ]: T ' 5 T ' Merkkikaavio: 5,5,7 T ' + T min ma min a Myynnistä saatavat tulot olisivat mahdollisimman suuret, kun hinta =,77,7 b Myyntituloilla kaksi minimikohtaa = 5,5 ja =. T 5,5 5 5,5 55 5,5 556, T Pienimmät myyntitulot, kun myyntihinta on.

189 c Pienimmät myyntitulot 5 5 Suurimmat myyntitulot saadaan, kun =,7 : T,7... 5, ,7... Suurimmat myyntitulot noin 8 89,. Kävijämäärä q 5 Maksutulo m 5 5, m 65 m kun Derivaatan merkki: m m,5 65,5 5 m + m ma Maksutulo suurin, kun lipun hinta on,.

190 . Hinta /kpl Myynti/kk 7 8 Myyntitulo m 5, m 7 6 m kun Derivaatan merkki: m m Merkkikaavio: 5 m + m ma Myyntitulo on suurin, kun hinta on.

191 5. Myyntihinta /kg,,;,5 Myyntimäärä q = 5,9 Myyntitulot m = 5,9 = 5,9,;,5 Myynnin arvojen vaihtelu saadaan selville myynnin suurimman ja pienimmän arvon avulla. m =,8 Derivaatan nollakohta:,8,8,... :,8 Derivaatan merkki: m,8,6 m,5,8,5,5 Merkkikaavio:,,,5 m + m minimit: m,, 5,9,,88... m,5,5 5,9,5 8,... maksimi: m,...,... 5,9,... 8,7... Myyntitulot vaihtelivat välillä - 8.

192 6. Myyntihinta p Menekki q p 8 5p Myyntitulo p8 5 p Ostohinta 88 5 p Bruttovoitto b p 8 5p88 5p 8 p 5p 5p p p p ja 8 5p > 5p 8 p,... ;,... b p 7p b p kun 7 p 7 p p 6,...

193 Derivaatan merkki: b 7 76 b 7 87 Merkkikaavio: 6,, b + b ma Bruttovoitto on suurin, kun myyntihinta on 6, Sämpylän hinta Päivämyynti kpl,,,,,,,,, Kun hintaa nostettu, kertaa, myyntitulo m,, 8 8 8,,,, 6 - < < 6

194 m m kun Derivaatan merkki: m m Merkkikaavio: - 6 m + m ma Myyntitulo on suurin, kun.,,,5. Tällöin myyntihinta on

195 8. Alepäivä Hinta Myynti kpl Myyntitulo m Positiivisuusehdot: Koska lisäksi,, m 5. m kun 5 5 5

196 Derivaatan merkki: m 5 m Merkkikaavio: 5 m + m ma a Myyntitulo on suurin, kun 5. Tällöin on alennusmyynnin 5. päivä. b Suurin myyntitulo m Henkilöitä yrityksessä Tuotto/myyjä Kuukauden myyntitulo m

197 Positiivisuusehdot: 65 65,5, Lisäksi on kokonaisluku. m 7 m kun 7,5 Derivaatan merkki: m 7 7 m Merkkikaavio: -,5 m + m ma Myyntitulo on suurin, kun,5. a Yrityksen kannattaa siis pitää palkkalistoillaan 8 henkilöä. b Suurin myyntitulo m

198 . Hinta Myynti kpl,,,,,,,,, Voitto v,,, Positiivisuusehdot:,,,,, v 7 v kun 7 8,5

199 Derivaatan merkki: v 7 7 v 7 Merkkikaavio: - 8,5 v + v ma Suurimmat voitot saadaan, kun 8, 5.,, 8,5 Tällöin leivän hinta on,5. Hinta Myynti kpl Tulo mainoskustannusten jälkeen V 5 5, ,7 867,5 7,5, Positiivisuusehdot: 5 5 5,

200 V 9,7 V kun 9,7,85 Derivaatan merkki: V 5 5 9,7, V 9,7 9,7 Merkkikaavio: -5 -,85 5 v + v ma Voitto on suurin, kun, 85. 5,85,5. Tossujen hinta on tällöin

201 . Jos OVH-hintaa alennetaan: OVH Myynti kg,,,5,,5,,5,,5 Voitto v,,5 58 9,6 6,5,5,6 8 v,,6 v kun,,6,,6 Derivaatan merkki: v,,6,6 v,,6, v + v ma Voitto on suurin, kun. v,5,6 8 5,6

202 Jos OVH-hintaa korotetaan: Voitto k,, 58 6,,, k, 5,6 k kun, 5,6 5,6 8 Derivaatan merkki: k, 5,6, k 5, 5 5,6, k + k ma Voitto on suurin, kun. k, 5,6 8, Voittofunktio k tuottaa suuremman arvon. Kun,,,6, kalan OVH-hinta on

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot