PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011"

Ville-Veikko Ketonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan palloksi. Kuinka monta prosenttia sen pinta-ala tällöin muuttuu?. Mahtuuko suorakulmaisen särmiön muotoinen taipumaton levy neliön muotoisesta aukosta, kun levyn paksuus on 0 cm, leveys 90 cm ja pituus 500 cm. Neliön ala on,5 m. 4. Kuinka kaukana piste P (,,) on pisteiden A( 4,0,) ja B(,,7) kautta kulkevasta suorasta? Laske myös kolmion PAB pinta-ala. 5. Tarkkailupisteessä mitatut autojen nopeudet noudattavat likimain normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on μ = 99 km /h ja keskihajonta σ = km/h. Kuinka suuri osa autoilijoista ajoi nopeutta 0 km/h 5 km/h? 6. Funktion f ( x ) = / x kuvaaja sekä suorat x =, x = e ja y = 0 rajoittavat alueen. Jaa tämä alue kahteen yhtä suureen osaan.? b a b b 7. Sievennä lauseke + a b a ba a ovat yhtälön x 7x 5=0 juuret. ja laske lausekkeen arvo, kun a ja b ( a< b) 8. Määritä funktion f ( x) cos sin = x x pienin ja suurin arvo. 9. Millä vakion a arvoilla ympyrän x + (y a) = a ja paraabelin y = a x ainut yhteinen piste on origossa oleva sivuamispiste? 0. Puoliympyrän, jonka säde on, sisään on piirretty tasakylkinen kolmio ABC siten, että kärki A on puoliympyrän halkaisijan päätepiste. Toinen kylki on jänne AC ja toinen kylki AB sijaitsee puoliympyrän halkaisijalla. Laske kolmion ABC suurin mahdollinen pinta-ala.

2 . Olkoon funktio f derivoituva välillä I. Käyrä y = f( x) on välillä I alaspäin kupera, jos se on tällä välillä jokaisen tangenttinsa yläpuolella sivuamispistettä lukuun ottamatta eli jos derivaatta f ( x) on välillä I aidosti kasvava. a) Anna esimerkki funktiosta, jonka kuvaaja on alaspäin kupera kaikkialla. x + b) Millä muuttujan x arvoilla käyrä y = f( x) = on alaspäin kupera? x 4. Määritä Newtonin menetelmällä yhtälön x = x + juuri kahden desimaalin tarkkuudella. Osoita, että yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri välillä [, [.. Onko olemassa sellaisia kokonaislukuja x ja y, että 958x 5y 00 + =? 4*. a) Määrää kolmion ABC kulmien puolittajasuorien yhtälöt, kun A = (0,0), B = (,4) ja C = 5,. (4 p.) b) Todista, että kaikki kolmion ABC puolittajasuorat kulkevat saman pisteen Q kautta. ( p.) c) Todista, että piste Q keskipisteenä voidaan piirtää ympyrä, joka sivuaa kolmion ABC jokaista sivua. Määrää tämän ympyrän säde ja yhtälö. ( p.) 5*. Geometrinen jono. a) Laske geometrisen jonon summa, kun siinä on 4 jäsentä. Ilmoita tulos 5:n desimaalin tarkkuudella: ( p.) b) Laske samalla tavalla alkavan sarjan summa. ( p.) c) Olkoon sarjan summa S, jolloin voidaan merkitä 4 a a a S = a b b b kun a < b ja ab, 0. Osoita, että =. (4 p.) S a b d) Millä arvoilla a ja b saadaan b- kohdan sarja? ( p.)

3 Preliminääri 0 ratkaisuja:. Ratkaisu: a a = a = a = a ( p.) +. b) ( ) c) log7 7 + lne = log77 + lne= + = ( p.). Ratkaisu: Tetraedrin ja pallon tilavuudet ovat samat. MAOLista voidaan lukea säännöllisen tetraedrin tilavuuden ja pinta-alan kaavat: a A= a, V = ja ja pallon tilavuuden ja pinta-alan kaavat: V 4 = π ja A 4π r r =. Koska tilavuudet ovat samat, saadaan yhtälöstä ehto säteelle r ja särmälle a: 4 a a = πr a = 6πr a = r a r r 6π = = 6π 6 π Pallon tilavuus voidaan ilmaista nyt a:n avulla: ( a ) a 4π 4π 4π 6 a A π ( 6π O ) A= 4πr = 4π 6π = = = AΔ a a a a 4 ( ) π π = ( π ) π π π π π π = = = = = 4 = 0, ( π ) 4 4 π pinta-ala muuttuu 00% 67,% =,9%. eli

4 . Ratkaisu: Kuviosta p Neliön lävistäjä AE = = 50 =... +p. Kolmio ACD on tasakylkinen, koska kantakulmat ovat 45 astetta, joten AD = CD = 0/ = 5. +p Levy ei mahdu aukosta, koska levyn leveys 90 cm on yli AE AD = 50-5 = 8. +p 4. Ratkaisu: Tapa : Ratkaistaan geometrian keinoin. Kolme pistettä A, B ja P muodostaa -ulotteisessakin koordinaatistossa tasokolmion. Lasketaan kolmion sivujen AB = ( 4) = 9, pituuksia ja kulman suuruus. ( ) ( ) ( ) AP = 45 ja BP = 7. Kosinilauseella päätellään kulma α = BAP : 54 7 = cosα, josta cosα = =. Ei ratkaista α :n likiarvoa, vaan jatketaan tarkoilla arvoilla. Tarvitaan sinα, joten Pythagoran lauseesta: sin α + cos α = sinα = cos α = = 5 kulma). Kolmion Δ ABP pinta-ala on siten 4 (terävä 5 A= AB APsinα =

5 =7. Kun tunnetaan kolmion pinta-ala ja sen kanta, voidaan laskea korkeus: A 7 A= AB h h= = = 6. Vast.: Ala on 7 ja P:n etäisyys 6. AB 9 Tapa: Merk. suoran lähintä pistettä P:lle X:llä. Silloin ovat AB= 6i+ j 6k, = = +, = + = ( 6 6 ) + ( ) AP= 6i+ j, AX sba s( 6i j 6k) PX PA AX s i s j + ( 6s) k. Lähin etäisyys tarkoittaa kohtisuoruutta: PX AX = PX AB = ( 6 6s) ( 6) + ( s ) + ( 6s) ( 6) = 8s+ 7= 0 ja siten s =. Saadaan PX 6 6 i j 6 = + + k = 4i 4j + k ja pituus PX = =6. Pinta-ala A= AB PX = 9 6 = Ratkaisu: Nopeus ~ N(μ, σ), jossa keskiarvo on μ = 99 km/h ja keskihajonta σ = km/h. Normitetaan satunnaismuuttujan arvot: x μ 0 99 x μ 5 99 z = = 0,5 ja z = =,. Kertymätodennäköisyydet σ σ ovat silloin Ф(0,5) = 0,5596 ja Ф(,) = 0,8907. Kaistaleen pinta-ala on 0,8907 0,5596 = 0, %. 6. Ratkaisu:

6 7. Ratkaisu: Yhtälön x 7x 5 =0 juuret ovat x = tai x = 5. Lausekkeen arvoksi tulee 8. Ratkaisu: Jaksollisuuden takia riittää tarkastella väliä [0, π]. Funktio f on jatkuva ja derivoituva kyseisellä välillä, joten se saa pienimmän ja suurimman arvonsa joko välin. päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Välin päätepisteet: f ( 0) = 0 =, f (π ) =. Derivaatan nollakohdat: f ( x) = ( sin x) sin x cos x = ( sin x)( + cos x) 5π 7π f ( x) = 0 sin x = 0 tai cos x = x = n π tai x = + n π tai x = + n π 6 6 5π 7π Näistä avoimelle välille ]0, π[ kuuluvat π, ja π 7 f ( π ) = ( ) 0 =, f ( ) = = 6 4 7π 7 ja f ( ) = = 6 4 5π 7π 7 Siis suurin arvo on f ( 0) = f (π ) = ja pienin arvo f ( ) = f ( ) = Pienin arvo on ja suurin Ratkaisu: Ympyrästä saadaan x + (y a) = a x + y a y = 0. Sijoitetaan y:n lauseke paraabelin yhtälöstä. x + a x 4 a x = 0 x (a x a + ) = 0, josta helppo ratkaisu on x = 0. Yhtälöllä on kaksoisjuuri x = 0, eli käyrät sivuavat toisiaan origossa a:n arvosta riippumatta. Tulon nollasäännön toinen tulontekijä a x a + = 0 ratkeaa: x a ± a = x = a a eli a < 0, josta a < < a <

7 0. Ratkaisu:. Ratkaisu:

8 . Ratkaisu: Muokataan yhtälö normaalimuotoon: x x = 0. Merkitään f( x) = x. Newtonin menetelmässä lasketaan iteraatioita, jotka lähestyvät funktion nollakohtia. Rekursiivinen lauseke on: x0 = a f( xn ) xn = xn, n f ( xn ) Derivaatta on f ( x) = x. ( p.) Muodostetaan Newtonin menetelmä. xn xn xn = xn x n ( ) x x x x x x x + x + = = n n n n n n n n xn xn xn x + = x n n (+ p.) x0 = x = Käytetään siemenlukuna eli alkuarvona lukua x 0 =. Toistetaan iterointia, kunnes suppeneminen on tapahtunut laskimen tarkkuudella: x, Iteraation lukujono on esitetty laskimen näytön tarkkuudella. Huomataan, että x, lukujono suppenee nopeasti kolmen desimaalin osalta. (+ p.) x4, Voidaan esittää funktion nollakohta turvallisesti kahden desimaalin x5, tarkkuudella, 5. Funktion nollakohdat ovat samalla yhtälön juuria. (+ p.) x6, x7 on sama... jne. Yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri välillä [, [, kun funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta samalla välillä. Nyt tiedetään jo, että on olemassa vähintään yksi juuri. Onko se ainoa? Derivaatta on f ( x) = x, joka saa vain positiivisia arvoja, kun x >. Funktio on siten aidosti kasvava välillä ], [ ja juuria ei ole enempää. (+ p.) Boltzanon lauseen käyttö ei sovellu, sillä väli on avoin. Vastaus: Yhtälön juuri on,. 5. Ratkaisu: Etsitään suurin yhteinen tekijä Euklideen algoritmilla: 958 = , mistä nähdään, että syt...(958,5) =. 5 = Nyt voidaan päätellä takaperin, että = = Koska 00 = 9 menee tasan, kerrotaan yhtälö puolittain luvulla 9: 9 = 00 = 9 ( ) = Vastaus: x = 9 jat y = 688.

9 4. Ratkaisu:

10 5. Ratkaisu: a) Käytetään geometrisen jonon summan kaavaa: S 4 4 = 5,99964 b) Käytetään geometrisen sarjan kaavaa: a S = = = 6 q c) Sievennetään muotoon, jossa sarjan kaava toimii: S = a = a = a = b ab b a b a Mistä S = = = = m.o.t. b a S ab S ab ab S a b d) Arvoilla a = ja b =. 4 a a a a a a ab b b b b b b a b a ja

Samankaltaiset tiedostot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja