Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty"

Transkriptio

1 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan pisteiden kautta piirretyn sekantin kulmakerroin. Sekantti kulkee kuvan perustella pisteiden (0, ) ja (, ) kautta, joten sekantin kulmakerroin on ( ) k. 0 Funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] on. Vastaus: b) Hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = saadaan laskemalla kohtaa x = vastaavaan kuvaajan pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Tangentti kulkee kuvan perusteella pisteiden (, ) ja (, ) kautta, joten tangentin kulmakerroin on ( ) k. Funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on. Vastaus:

2 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 4] saadaan määrittämällä kohtia x = ja x = 4 vastaavien kuvaajan pisteiden kautta kulkevan funktiolle g piirretyn sekantin kulmakerroin. Piirretään sopivalla ohjelmalla funktion g kuvaaja ja kuvaajalle sekantti kohtien x = ja x = 4 kautta. Ohjelma antaa sekantin kulmakertoimeksi k =, joten funktion g keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 4] on. Vastaus: b) Hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = saadaan määrittämällä funktion kuvaajalle kohtaan x = piirretyn tangentin kulmakerroin. Piirretään funktiolle g tangentti kohtaan x =. Ohjelma antaa tangentin kulmakertoimeksi k =, joten funktion g hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on. Vastaus:

3 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Koska funktion f derivaatta on kaikkialla f (x) =, funktion f hetkellinen muutosnopeus on kaikkialla ja funktion f kuvaaja suora, jonka kulmakerroin on k =. Funktion f lauseke on siis muotoa f(x) = x + b. Koska f( ) = 5, voidaan vakiotermi b ratkaista yhtälön avulla. ( ) b 5 6b 5 b Sijoitetaan b = funktion lausekkeeseen f(x) = x + b, jolloin f(x) = x +. Lasketaan f(4) sijoittamalla x = 4 funktion f lausekkeeseen. f(4) = 4 + = 9 Vastaus: f(4) = 9 K4. Lasketaan kunnan asukasluvun keskimääräinen muutosnopeus, kun tiedetään, että vuonna 0 asukkaita oli ja vuonna 07 asukkaita oli Asukkaiden määrä muuttui = 9 asukkaalla, kun aikaa kului 07 0 = 4 vuotta. Kunnan asukasluvun keskimääräinen muutosnopeus oli siis 9 84, asukasta/vuosi. 4 Vastaus: 85 asukasta/vuosi

4 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. Piirretään funktion f(x) = x + 4x + kuvaaja. a) Funktion f derivaatta on nolla niissä kohdissa, joissa funktion f kuvaajalle piirretyt tangentit ovat vaakasuoria. Piirretään funktiolle f vaakasuorat tangentit. Kohtiin x, ja x 0 piirretyt tangentit ovat vaakasuoria. Funktion f derivaatta on nolla muuttujan arvoilla x, ja x 0. Vastaus: x, ja x 0

5 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Funktion f derivaatta on negatiivinen, kun funktion kuvaajalle piirretty tangentti on laskeva suora. Kuvaajan perusteella jokaiseen kohtaan likimain välillä, x 0 piirretyt tangentit ovat laskevia suoria, joten funktion f derivaatta on negatiivinen, kun muuttuja on likimain välillä, < x < 0. Vastaus: likimain, kun, < x < 0 c) Funktion f derivaatta on positiivinen, kun funktion kuvaajalle piirretty tangentti on nouseva suora. Kuvaajan perusteella jokaiseen kohtaan likimain väleillä x <, ja x > 0 piirretyt tangentit ovat nousevia suoria, joten funktion f derivaatta on positiivinen, kun muuttuja on likimain väleillä x <, ja x > 0. Vastaus: likimain, kun x <, ja x > 0 K6. a) f(x) = x + f (x) = + 0 = b) g(x) = x + 4x + 4 g (x) = x = x + 4 b) h(x) = x 4 6x h (x) = 4x 4 6 x 0 = x x

6 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. a) Sievennetään lauseke ennen derivoimista. (x )(4 x) x4 x( x) ( ) 4 ( ) ( x) 8x6x 4x 6x x4 Derivoidaan sievennetty lauseke. D x x x x ( 6 4) 6 0 Vastaus: x + b) Sievennetään lauseke ennen derivoimista. 6t t 6t t t 4t Derivoidaan sievennetty lauseke. D(t 4 t ) t 4t 6t 8t Vastaus: 6t 8t

7 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. a) Derivoidaan funktio f(x) = x + 4x +. f (x) = 9x + 4 Lasketaan derivaatan arvo kohdassa x = sijoittamalla x = derivaattafunktion lausekkeeseen. f () = = 5. Vastaus: f () = 5 b) Ratkaistaan derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. 9x 4 0 9x 4 :( 9) x 4 9 x Derivaatan nollakohdat ovat Vastaus: x.

8 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. a) Lasketaan f( ) sijoittamalla x = funktioon f(x) = x + 4x +. f( ) = ( ) + 4 ( ) + = = Derivoidaan funktio f(x) = x + 4x +. f (x) = x + 4 Lasketaan f ( ) sijoittamalla x = funktioon f (x) = x + 4. f ( ) = ( ) + 4 = 0 Vastaus: f( ) =, f ( ) = 0 b) Ratkaistaan yhtälö f(x) =. x + 4x + = x + 4x + 4 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan x x 4 0 x Ratkaistaan yhtälö f (x) =. x 4 x 6 : x Vastaus: x =, x =

9 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. Derivoidaan funktio f(x) = x + 4x. f (x) = x + 4 Piirretään funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla. Ratkaistaan yhtälö f (x) = 0. x 40 x 4 : x Vastaus:, x =

10 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Tangentti on vaakasuorassa, kun sen kulmakerroin on 0. Kuvaajan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kyseisessä kohdassa. Paraabeli y = x x + 4 on funktion f(x) = x x + 4 kuvaaja. Derivoidaan funktio f. f (x) = x Muodostetaan derivaattafunktion avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä kohta, jossa tangentti on vaakasuora. x 0 x : x Pisteen x-koordinaatti on. Ratkaistaan pisteen y-koordinaatti x-koordinaatin ja funktion f avulla. f ) Paraabelin pisteeseen, 9 Vastaus:, 9 piirretty tangentti on vaakasuora.

11 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Tangentti on suora, jonka yhtälö on muotoa y = kx + b. Selvitetään suoran yhtälön muodostamista varten suoran kulmakerroin k ja vakiotermi b. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo siinä kohdassa, johon tangentti on piirretty, eli nyt k = f ( ). Derivoidaan funktio f x x x '( ) f ( x) x x x. Kulmakerroin on k f '( ) 9. Suoran yhtälö on siis y = 9x + b. Ratkaistaan vakiotermi b sijoittamalla pisteen (, 5) koordinaatit suoran yhtälöön. 59b b 58 b Tangentin yhtälö on y = 9x. Vastaus: y = 9x

12 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Derivoidaan funktio f(x) = a x + 6x. f (x) = a x + 6 Derivaatalla on nollakohta x =, joten x = toteuttaa yhtälön a x + 6 = 0. Sijoitetaan x = yhtälöön a x + 6 = 0, ja ratkaistaan vakio a. ax 6 0 a 6 0 6a 60 6a 6 :( 6) a a Vastaus: a = ±

13 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K4. a) Kuvan perusteella funktio on kasvava, kun vasemmalta oikealla luettaessa kuvaaja nousee ylöspäin, ja vastaavasti vähenevä, kun kuvaaja laskee alaspäin. Kuvan perusteella funktio f on kasvava likimain, kun x,4 tai x,. Funktio f on vähenevä likimain, kun,4 x,. Vastaus: kasvava likimain, kun x,4 tai x,, vähenevä likimain, kun,4 x, b) Kuvassa on funktion f derivaattafunktion f kuvaaja. Funktio on kasvava, kun funktion derivaatta on positiivinen. Vastaavasti funktio on vähenevä, kun funktion derivaatta on negatiivinen. Kuvan perusteella funktio f on kasvava likimain, kun 4 x 0 tai x. Funktio f on vähenevä likimain, kun x 4 tai 0 x. Vastaus: kasvava likimain, kun 4 x 0 tai x, vähenevä likimain, kun x 4 tai 0 x

14 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. Merkkikaaviossa lukusuora jakautuu funktion nollakohtien rajoittamiin väleihin. Merkkikaaviosta voidaan lukea, minkä merkkisiä arvoja funktio saa kullakin lukusuoran välillä. 8 7 f (x) + + a) Merkkikaaviosta nähdään, että funktio saa positiivisia arvoja, kun < x < 7 ja x 8. Vastaus: < x < 7 ja x 8 b) Epäyhtälön f(x) < 0 ratkaisu on ne lukusuoran välit, joissa funktio f saa negatiivisia arvoja. Merkkikaaviosta nähdään, että funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < tai x > 7. Vastaus: x < tai x > 7

15 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K6. Kulkukaaviossa ylemmällä rivillä on derivaatan merkit ja alemmalla rivillä funktion kasvavuus ja vähenevyys. Annettujen tietojen perusteella derivaatan nollakohdat ovat, ja 9. Nämä arvot jakavat lukusuoran neljään väliin. Merkitään näille väleille tehtävänannon tietojen mukaisesti funktion derivaatan merkit. Funktio on kasvava, kun derivaatta on positiivinen, ja vähenevä, kun derivaatta on negatiivinen. 9 f (x) f (x) Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on vähenevä, kun x. Vastaus: 9 f (x) f (x) x

16 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. Laaditaan funktion f kulkukaavio derivaatan avulla. Derivoidaan funktio f(x) = x + 6x. f (x) = 9x + 6 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. 9x 60 9x 6 :( 9) x 6 9 x x x 0,86... Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan derivaatan f arvot niissä. Laaditaan merkkikaavio. f ( ) = 9 ( ) + 6 = < 0 f (0) = = 6 > 0 f () = = < 0 f (x) + f (x) Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on kasvava, kun x. Vastaus: f (x) = 9x + 6,, x

17 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. Funktio s(t) = t 8t + 6t ilmaisee hiukkasen etäisyyden mittarista, joten kun funktio s on kasvava, hiukkanen etääntyy mittarista. Muodostetaan kulkukaavio ja päätellään funktion kasvavuus kulkukaavion avulla. Derivoidaan funktio. s(t) = t 8t + 6t s (t) = t 6t + 6 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälön s (x) = 0 avulla. t 6t + 6 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 6 ja c = 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 6 ( 6) 4 6 t t t t 4 tai t 4 Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta väleiltä ja lasketaan derivaatan s arvot niissä. Laaditaan merkkikaavio. s () = = > 0 s () = = 5 < 0 s (5) = = > s (t) + + s(t) Koska funktio oli rajoitettu välille [0, 4], nähdään kulkukaavion avulla, että funktio on kasvava, kun 0 t 4. Joten hiukkanen etääntyy mittarista 4, sekunnin ajan. Vastaus:, sekunnin ajan

18 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. f(x) = x 6x f (x) = x x Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. x x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = ja c = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. ( ) 4 0 x x 44 6 x 6 x0 tai x4 Derivaatan nollakohdista kohta x = 0 kuuluu tarkasteltavalle välille. Lasketaan funktion arvo välin päätepisteissä ja välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa. f( ) = ( ) 6 ( ) = f(0) = = 0 f() = 6 = 7 (pienin) (suurin) Välillä [, ] funktion f suurin arvo on 0 ja pienin arvo. Vastaus: suurin 0, pienin

19 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. Funktion paikalliset ääriarvokohdat ja paikalliset ääriarvot voidaan etsiä kulkukaavion avulla. Derivoidaan funktio. f(x) = x(x ) = x x f (x) = x Lasketaan derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. x 0 x : x 4 x Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan derivaatan f arvot niissä. Laaditaan kulkukaavio. f ( ) = ( ) = 5 > 0 f (0) = 0 = < 0 f () = = 5 > 0 f (x) + + f (x) max min Funktiolla f on paikallinen maksimikohta x = ja paikallinen maksimiarvo on f( ) = ( ) ( ) = 6. Funktiolla f on paikallinen minimikohta x = ja paikallinen minimiarvo on f() = = 6. Vastaus: paikallinen maksimikohta ja maksimiarvo 6, paikallinen minimikohta ja minimiarvo 6

20 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Piirretään tilanteesta mallikuva. Suorakulmion muotoisen alueen pintaala on kanta korkeus. Merkitään kantaa kirjaimella x ja korkeutta kirjaimella y. A = xy Lisäksi tiedetään, että xy 5 y 5 x : y 5 x. Sijoitetaan tämä tieto pinta-alan lausekkeeseen, jolloin saadaan pinta-alan funktio, jossa muuttujana on kanta x. A( x) x 5 x 5 A( x) xx Jos jommallekummalle sivulle laitetaan puolet aidasta, toisen sivun pituus menee nollaan, ja pinta-ala menee nollaan. Joten kannan x pituus on rajoitettu välille 0, 5. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. Ax ( ) 5 xx A( x) 5 x Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä A (x) = 0.

21 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty x 0 x 5 : ( ) x 5 4 Lasketaan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 5, joten derivaatan nollakohta 5 on tällä välillä. 4 A A , A Pinta-ala on suurimmillaan, kun kanta on x = 5, 5 ja korkeus 4 y 5 x , Vastaus:,5 m ja,5 m

22 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään poisleikattavan neliön sivun pituutta kirjaimella x. Kun sivut taitetaan ylös, muodostuvan laatikon tilavuus on pituus leveys korkeus. Nyt V(x) = (707 x)(500 x)x = 4x 44x x Jos poisleikattavan neliön sivun pituus on 0, on tilavuus 0. Jos poisleikattavan neliön sivun pituus on puolet lyhemmästä sivusta, on särmiön pohjan lyhemmän sivun pituus 0. Poisleikattavan neliön sivun pituus on siis rajoitettu välille [0, 50]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. V(x) = 4x 44x x V (x) = x 488x

23 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä V (x) = 0. x 488x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 488 ja c = 5500 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 488 ( 488) x x96,9... tai x06,09... Lasketaan funktion arvo suljetun välin päätepisteissä ja välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 50, joten välille kuuluu derivaatan nollakohdista vain 96,9 V V 96, , , , , V Särmiön tilavuus on suurimmillaan, , mm, kun leikatun neliön sivun pituus on 96,9 mm 96, mm. Vastaus: 96, mm

24 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Taulukoidaan tuloja siten, että merkitään lipun hinnan yhden euron muutosten lukumäärää kirjaimella x. Lipun hinta Kävijöiden määrä Tulot = = = = = = = x x (0 + x)( x) Tulot hinnanmuutosten lukumäärän funktiona ovat T(x) = (0 + x)( x) = 00x + 000x Jos hintaa korotetaan kertaa, on kävijöitä 0 ja tulot ovat 00 tällöin 0. Jos hintaa alennetaan 0 kertaa, lipun hinta on tällöin 0 ja tulotkin ovat tällöin 0. Joten hinnanmuutosten määrä on rajoitettu välille [ 0, 40]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. T( x) 00x 000x0 000 T( x) 00x000 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä T (x) = 0. 00x x 000 : ( 00) x 5 Lasketaan funktion arvo suljetun välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 40, joten derivaatan nollakohta x = 5 kuuluu tälle välille. T 000 ( 0) 000 ( 0) T T Lipun hinnalla = 5 saadaan suurimmat lipputulot. Suurimmat lipputulot ovat 500. Vastaus: 5 :n hinnalla, 500

25 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K4. Funktio vähenee nopeimmin kohdassa, jossa funktion derivaatta saa pienimmän arvonsa. Muodostetaan kulkukaavio derivaatalle, joten derivoidaan funktio kahdesti. f(x) = x + x 5x 5 f (x) = x + x 5 f (x) = 6x + Määritetään derivaatan derivaatan nollakohta yhtälöstä f (x) = 0. 6x 0 6x : 6 x Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan derivaatan derivaatan f arvot niissä. Laaditaan kulkukaavio. f ( ) = 6 ( ) + = 4 < 0 f (0) = = > 0 f (x) + f (x) min Funktiolla f on paikallinen minimi kohdassa x ja kulkukaavion perusteella tämä kohta on myös funktion pienin arvo. Koska derivaatta saa pienimmän arvonsa kohdassa x, funktio f vähenee nopeimmin kohdassa x. Tangentin yhtälö on muotoa y = kx + b, ja nyt k f 76 5

26 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tangentti kulkee pisteen, f y-koordinaatti. kautta. Määritetään pisteen f Tangentin vakiotermi saadaan selville sijoittamalla kulmakerroin ja tunnetun pisteen koordinaatit yhtälöön y = kx + b b 7 b b Tangentin yhtälö on y 76 x Vastaus: x, y 76 x 676 7

27 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. Hyödynnetään mallikuvaa. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on kanta korkeus. Olkoon korkeus y-akselin suuntainen ja kanta x-akselin suuntainen. Kanta ja korkeus ovat siten paraabelilla y = 0,5x + 5 olevan pisteen x- ja y-koordinaatit. xy x( 0,5x 5) A( x) x 5 x 8 Kuvan avulla nähdään, että jos x-koordinaatti on 0, myös pinta-ala on 0. Suurin mahdollinen muuttujan x arvo saadaan, kun ratkaistaan yhtälö 0,5x + 5 = 0. 0, 5x 5 0 0,5x 5 x 0 x 0 x 4,47... Hylätään negatiivinen vastaus, joten muuttujan x suurin mahdollinen arvo on 0. Muuttuja x on siis välillä [0, 0 ]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio A. Ax ( ) x 5 x 8 A( x) x 5 8

28 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä A (x) = 0. 5 x 0 8 x 5 : 8 8 x 0 x x 0,58.. Lasketaan funktion arvo suljetun välin päätepisteissä ja välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 0, joten välille kuuluu derivaatan nollakohta on 0. A A , A Pinta-ala on suurimmillaan 0 5 4,0 4,. 9 Vastaus: 0 5 4, 9

29 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KOKOAVIA TEHTÄVIÄ ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Keskimäärinen muutosnopeus on kuvaajalle kohtien x = 0 ja x = kautta piirretyn sekantin kulmakerroin. Sekantti kulkee pisteiden (0, ) ja (, ) kautta. Sekantin kulmakerroin on k 0, joten 0 funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] on 0. Vastaus: 0 b) Hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on tähän kohtaan kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Tangentti kulkee pisteiden (, ) ja (4, 4) kautta. Tangentin kulmakerroin on k 4, joten 4 funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on. Vastaus:

30 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Kuvan perusteella funktio on kasvava, kun vasemmalta oikealla luettaessa kuvaaja nousee ylöspäin, ja vastaavasti vähenevä, kun kuvaaja laskee alaspäin. Funktio f on kasvava likimain, kun x 0 tai x 0,7. Funktio f on vähenevä likimain, kun 0 x 0,7. Vastaus: kasvava likimain, kun x 0 tai x 0,7, vähenevä likimain, kun 0 x 0,7. a) D(x + x ) = x + 0 = x + b) Sievennetään lauseke ennen derivointia. x(x ) = x 6x D(x 6x) = x 6 = 6x 6 c) Sievennetään lauseke ennen derivointia. (x ) = x x + x ( ) + ( ) x + ( ) ( ) = 9x 8x + 9 D(9x 8x + 9) = 9x = 8x 8 d) Sievennetään lauseke ennen derivointia x x 4 8 x x x x x x x x x x D 8 4. a) f(x) = x + x f() = + = 9 b) f (x) = D(x + x ) = x + f () = + = 7

31 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan epäyhtälö x + 6 > 0. Merkitään f(x) = x + 6. Ratkaistaan funktion nollakohta yhtälöstä f(x) = 0. x 60 x 6 :( ) x Lasketaan funktion f arvo nollakohdan vasemmalla puolella olevassa pisteessä x = 0. f(0) = = 6 > 0 Lasketaan funktion f arvo nollakohdan oikealla puolella olevassa pisteessä x =. f() = + 6 = < 0 Laaditaan merkkikaavio. f(x) + Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälön x + 6 > 0 ratkaisu on x <. Vastaus: x <

32 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muokataan epäyhtälö x + 5x muotoon, jossa toisella puolella on luku 0, x + 5x 0. Merkitään f(x) = x + 5x. Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f(x) = 0. x + 5x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 5 ja c = toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. b b ac x 4 a ( ) x 57 tai x Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan funktion f arvot niissä. f( 4) = ( 4) + 5 ( 4) = 9 > 0 f(0) = = < 0 f() = + 5 = 4 > 0 Laaditaan merkkikaavio. f(x) + + Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälön x + 5x 0 ratkaisu on x. Tämä on myös epäyhtälön x 5x ratkaisu. Vastaus: x

33 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen derivaatta on kyseisellä välillä positiivinen tai nolla välin yksittäisissä pisteissä. Derivoidaan funktio ja tutkitaan derivaatan merkkikaaviota. f(x) = x + 8x 7 f (x) = x + 8 Laaditaan derivaatalle merkkikaavio. Lasketaan derivaatan nollakohta. x + 8 = 0 x = 8 :( ) x = 4 4 f (x) + Merkkikaaviosta nähdään, että derivaatta on positiivinen, kun x < 4 ja 0 kun x = 4. Joten funktio on kasvava välillä [0, 4]. Vastaus: on f (0) = = 8 f (5) = = 6. Kuvassa on funktion derivaatan kuvaaja. Laaditaan kuvaajan avulla derivaatan kulkukaavio ja päätellään sen avulla funktion f ääriarvokohdat. Derivaatan nollakohdat ovat x =, x =, x = 5 ja x = 6. Merkitään kulkukaavioon derivaatan nollakohdat ja merkit kullakin välillä f (x) f(x) min max min max min max Vastaus: paikalliset minimikohdat x = 4, x = ja x = 6, paikalliset maksimikohdat x =, x = 5 ja x = 8

34 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Polynomifunktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. a) Derivoidaan funktio. f(x) = x + f (x) = x Lasketaan derivaatan nollakohta. x = 0 :( ) x = 0 Lasketaan funktion arvo kohdissa x = 4, x = 0 ja x =. f( 4) = ( 4) + = 6 + = f(0) = 0 + = f() = + = + = (pienin) (suurin) Vastaus: suurin, pienin b) Derivoidaan funktio. f(x) = x + x + f (x) = x + Lasketaan derivaatan nollakohta. x + = 0 x = :( ) x = 4 x = ± Lasketaan funktion arvo kohdissa x =, x =. f( ) = ( ) + ( ) + = = 4 f( ) = + + = = 8 (pienin) (suurin) Vastaus: suurin 8, pienin 4

35 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty APUVÄLINEET SALLITTU 8. Derivoidaan funktiot. f( x) x 5 f (x) = x g(x) = x x g (x) = x 4x a) Muodostetaan annettu yhtälö ja ratkaistaan siitä muuttujan arvo. f (x) = g (x) x = x 4x x 5x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 5 ja c = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. ( 5) ( 5) 40 x x tai x Vastaus: x = 0 tai 5 x

36 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muodostetaan annettu epäyhtälö ja ratkaistaan se. f (x) > g (x) x > x 4x x + 5x > 0 Merkitään h(x) = x + 5x. Funktion nollakohdat saadaan yhtälöstä h(x) = 0. Sijoitetaan kertoimet a =, b = 5 ja c = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ( ) 0 x ( ) 55 6 x tai x h (x) + h( ) = ( ) + 5 ( ) = 8 h() = + 5 = h() = + 5 = Merkkikaaviosta nähdään, että lauseke saa nollaa suurempia arvoja, kun 0 x 5, joten f (x) > g (x), kun 0 x 5. Vastaus: 0 x 5

37 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merilinnun sukellus noudattaa funktiota, jossa muuttujana on aika, t 0. Sukellus kestää niin kauan kuin etäisyys on negatiivinen, eli merilintu on vedenpinnan alapuolella. Muodostetaan funktion merkkikaavio ja määritetään merkkikaavion avulla sukelluksen kesto. Ratkaistaan funktion nollakohdat symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla yhtälöstä t t Ratkaisuiksi saadaan t = 0 tai t = 5. Muodostetaan merkkikaavio (t 0) 0 5 f (x) + h h Lintu on vedenpinnan alapuolella kun 0 t 5, joten sukellus kestää 5 sekuntia. Funktion h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten pienin arvo saavutetaan paraabelin huipussa. Derivoidaan funktio h. ht () t t 50 h() t t 5 Lasketaan derivaatan nollakohta. t 0 5 t : 5 5 t,5

38 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sukellus on siis syvimmillään, kun t =,5. h(,5),5,5,5, 50 Sukelluksen syvyys on noin, m. Vastaus: 5 sekuntia,, metrin syvyydellä

39 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muodostetaan pyöräilyreitin mäkiprofiilia noudattavan funktion kulkukaavio. Derivoidaan funktio. s(x) = 0,009x + 0,x +,88x + 0 s (x) = 0,07x + 0,64x +,88 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälön s (x) = 0 avulla. 0,07x + 0,64x +,88 = 0 Sijoitetaan kertoimet a = 0,07, b = 0,64 ja c =,88 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 0,64 0,64 4 0,07,88 x 0,07 x,789 tai x,566 Hylätään negatiivinen nollakohta, koska x 0. Lasketaan derivaattafunktion arvo nollakohtien määräämillä väleillä. s () = 0,07 + 0,64 +,88 =,65 > 0 s (0) = 0, ,64 0 +,88 = 4, < 0 0,566 s (x) + s (x) Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on kasvava, kun 0 x,566 0 x,57 Kulkukaaviosta nähdään, että alusta,566 km kohdalle noustaan ylämäkeen, joten nousun määrä saadaan funktion arvojen erotuksena tällä välillä. s(,566 ) s(0) = 0,009, ,,566 +,88, ( 0, , 0 +, ) = 0,65 Nousua on 0,65 0,7 metriä. Vastaus: 0 x,57; 0,7 metriä

40 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Polynomifunktio saa suurimman arvonsa suljetun välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa. Derivoidaan funktio. f(x) = x +,5x 4x + 50 f (x) = x + 7x 4 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. x + 7x 4 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 7 ja c = 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan x x =,949 tai x = 7,06580 Lasketaan funktion arvot kohdissa x = 0, x =,949, x = 7,06580 ja x = 0. f(0) = 0 +, = 50 f(,949 ) =,949 +,5,949 4, =,9669 f(7,06580 ) = 7, ,5 7, , = 8,50 f(0) = 0 +, = 0 Suurin arvo on 8,50 8,5 ja sitä vastaava muuttujan arvo on 7, ,066. Funktio f kasvaa nopeimmin kohdassa, jossa derivaatan arvo on suurin. Derivoidaan funktion f derivaatta. f (x) = x + 7x 4 f (x) = 6x + 7 Määritetään nollakohta yhtälön f (x) = 0 avulla. 6x + 7 = 0 6x = 7 x = 4,500 :( 6)

41 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Laaditaan funktion f kulkukaavio. f () = = > 0 f (5) = = < 0 4,500 f (x) + f (x) max Kulkukaaviosta huomataan, että derivaatta f saa suurimman arvonsa kohdassa x = 4,500, joten funktio f kasvaa nopeimmin muuttujan arvolla x = 4,500. Piirretään funktion kuvaaja sopivalla ohjelmalla. Vastaus: suurin arvo 8,5 kohdassa x 7,066, kasvaa nopeimmin kohdassa x = 4,500,

42 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään tehtyjen kahden euron suuruisten hinnan muutosten määrää kirjaimella x. Muodostetaan funktio myyntitulolle. Taulukoidaan myyntihintoja, myynnin määriä ja myyntituloja hinnan muutoksen avulla. Myyntihinta ( / kpl) Myynnin määrä (kpl) Myyntitulo ( ) = 8 60 = = = x 60 x (80 + x)(60 x) Myyntitulo noudattaa funktiota f(x) = (80 + x)(60 x) = x + 40x Koska tuotteiden hinta on vähintään 0 euroa, myyntihintaa voidaan laskea enintään 40 kertaa kahdella eurolla. Jos myyntihintaa nostetaan 60 kertaa, myynnin määrä laskee nollaan kappaleeseen. Hinnanmuutosten lukumäärä on välillä [ 40, 60]. Polynomifunktion suurin arvo löytyy välin päätepisteistä tai välillä olevista derivaatan nollakohdista. Derivoidaan funktio. f(x) = x + 40x f (x) = 4x + 40 Määritettään derivaatan nollakohta yhtälöstä f (x) = 0. 4x + 40 = 0 4x = 40 :( 4) x = 0 Määritetään myyntitulon arvo kohdissa x = 40, x = 0 ja x = 60. f( 40) = ( 40) + 40 ( 40) = 0 f(0) = = 5000 f(60) = = 0 Suurin myyntitulo saadaan, kun hintaa nostetaan 0 kertaa, eli asetetaan myyntihinnaksi = 00 euroa. Suurin myyntitulo on 5000 euroa. Vastaus: 00 euroa, 5000 euroa

43 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään laatikon pohjaneliön sivun pituutta kirjaimella x ja korkeutta kirjaimella y. a) Laatikossa on pohjaneliön sivun mittaista sivua. Pohjaneliön sivun mitan on oltava vähintään 0 cm, muutoin laatikolla ei ole tilavuutta. Lisäksi, jos pohjaneliön sivut kuluttavat kaiken käytettävän terästangon, laatikolla ei ole tilavuutta. Joten x 960 : x 80 Pohjaneliön sivun mitta on valittava väliltä [0, 80] Laatikossa on 4 pystysuoraa tankoa. Pystysuoran tangon on oltava myös vähintään 0 cm. Jos pystysuorat tangot kuluttavat kaiken käytettävän terästangon, laatikolla ei ole tilavuutta. Joten 4y 960 :4 y 40 Korkeus on valittava väliltä [0, 40] Vastaus: pohjaneliön sivun mitta väliltä [0, 80], korkeus väliltä [0, 40]

44 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Laatikon tilavuus on V = x x y. Tiedetään, että x + 4y = 960 4y = 960 x :4 y = 40 x. Sijoitetaan y:n lauseke tilavuuden lausekkeeseen, jolloin muodostuu tilavuuden funktio pohjaneliön sivun pituuden x avulla. V(x) = x x (40 x) = 40x x Edellisessä kohdassa havaittiin, että x on välillä [0, 80]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. Derivoidaan tilavuuden funktio. V(x) = 40x x V (x) = 480x 9x Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä V (x) = 0 sopivalla ohjelmalla. Yhtälön ratkaisut ovat x = 0 tai x 60. Tilavuuden suurin arvo on joko kohdassa x = 0, Lasketaan funktion arvo näissä kohdissa. V(0) = = 0 V ,55... V(80) = = 0 Tilavuus on suurimmillaan 7 555,55 cm 8 dm Vastaus: 8 dm x 60 tai x = 80.

45 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sovitetaan aineistoon eksponenttifunktiot. Funktio miesten aineistolle on f(x) = 5,64,0 x. Funktio naisten aineistolle on g(x) =,85 0,97 x. Vastaus: miehet: f(x) = 5,64,0 x, naiset: g(x) =,85 0,97 x b) Määritetään keskimääräinen muutosnopeus annettujen pisteiden kautta piirretyn sekantin kulmakertoimen avulla.

46 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska tupakoitsijoiden osuus kasvaa x-akselilla siirryttäessä oikealle, kulmakerroin kertoo kuinka monta uutta keuhkosyöpä tapausta muodostuu lisää vuodessa, jos tupakoitsijoiden osuus kasvaa yhdellä prosentilla. Miehille muodostuu,56 tapausta enemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Naisille muodostuu,56 tapausta vähemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Vastaus: miehet:,56/prosenttiyksikkö, naiset:,56/prosenttiyksikkö c) Määritetään hetkellinen muutosnopeus kohtaan x = 5 piirretyn tangentin kulmakertoimen avulla. Miehille muodostuu,569 tapausta enemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Naisille muodostuu,05 tapausta vähemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Vastaus: miehet:,569/prosenttiyksikkö, naiset:,05/prosenttiyksikkö

47 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty HARJOITUSKOE H. a) f(x) = x 4x f (x) = x 4 = x 4 b) 4 gx ( ) x x 4 7 ( ) g x x x x x c) h(x) = x( + x) = x + x h (x) = + x = + x H. Luetaan vastaukset kuvasta. a) Kuvaajasta nähdään, että f(x) = 0, kun x 6,6; x,0; x 0,0 tai x 4,5. b) Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot ovat positiivisia, kun x < 6,6;,0 < x < 0,0 tai x > 4,5. c) Derivaatta on nolla funktion ääriarvokohdissa, eli kohdissa, joissa funktio vaihtuu kasvavasta väheneväksi tai toisin päin. Kuvaajasta nähdään, että nämä kohdat ovat x 5,0; x,0 tai x,0. d) Derivaatta on positiivinen, kun funktio on kasvava, mutta nyt välin päädyt eivät kuulu mukaan. Kuvaajasta nähdään, että f (x) > 0 likimain, kun 5,0 < x <,0 tai x >,0.

48 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty H. a) Muodostetaan merkkikaavio funktiolle f(x) = x + 9. x 90 x 9 :( ) x f(0) = = 9 > 0 f(4) = = < 0 Merkkikaaviosta nähdään, että x + 9 > 0, kun x <. Vastaus: x < b) x 6 x 6 0 f(x) + Muodostetaan merkkikaavio funktiolle f(x) = x 6 x 6 = 0 x = 6 x = ±4 f( 5) = ( 5) 6 = 9 > 0 f(0) = 0 6 = 6 < 0 f(5) = 5 6 = 9 > f (x) + + Merkkikaaviosta nähdään, että x 6 0, kun 4 x 4. Koska epäyhtälö x 6 0 on saatu muokkaamalla alkuperäistä epäyhtälöä, myös epäyhtälön x 6 ratkaisu on 4 x 4. Vastaus: 4 x 4

49 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) 6x < x 8 x + 6x + 8 < 0 Muodostetaan merkkikaavio funktiolle f(x) = x + 6x + 8 x + 6x + 8 = 0 a =, b = 6 ja c = 8 x x 6 6 x 6 4 x 6 x4 tai x f( 5) = ( 5) + 6 ( 5) + 8 = > 0 f( ) = ( ) + 6 ( ) + 8 = < 0 f(0) = = > 0 4 f (x) + + Merkkikaaviosta nähdään, että x + 6x + 8 < 0, kun 4 < x <. Koska epäyhtälö x + 6x + 8 < 0 on saatu muokkaamalla alkuperäistä epäyhtälöä, myös epäyhtälön 6x < x 8 ratkaisu on 4 < x <. Vastaus: 4 < x <

50 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty H4. a) Funktion pienin arvo on eräs funktion arvoista. Kaikki muut funktion arvot ovat suurempia kuin pienin arvo. Kuvaajassa pienin arvo näkyy y:n arvona, jonka alapuolelle funktion kuvaaja ei kulje. Vastaus: Funktio ei saa pienintä arvoaan pienempiä arvoja. b) Pyydetty funktio voi olla esimerkiksi toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, ja jonka huippu on kohdassa x =. Tällainen funktio on esimerkiksi f(x) = 0,5x x +. Piirretään funktion kuvaaja sopivalla ohjelmalla. c) Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteistä tai välillä olevista derivaatan nollakohdista. Derivoidaan funktio. f(x) = x 6x + 7 f (x) = x 6 Määritetään derivaatan nollakohta yhtälöstä f (x) = 0. x 6 = 0 x = 6 :( ) x = Lasketaan funktion arvo kohdissa x = 5, x = ja x = 5. f( 5) = ( 5) 6 ( 5) + 7 = f( ) = ( ) 6 ( ) + 7 = 6 suurin f(5) = = 48 pienin Vastaus: suurin 6, pienin 48

51 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty H5. a) Lasketaan funktion f(x) = 0,x +,4x arvo muuttujan arvoilla x =, x = 4 ja x = 8. f() = 0, +,4 = 4,7 (cm) f(4) = 0, 4 +,4 4 = 5,6 (cm) f(8) = 0, 8 +,4 8 =,8 (cm) Kasvin korkeus kahden viikon kuluttua siemenen itämisestä on 4,7 cm, neljän viikon kuluttua 5,6 cm ja kahdeksan viikon kuluttua on,8 cm. Vastaus: 4,7 cm, 5,6 cm ja,8 cm b) Kasvunopeus on derivaattafunktion arvo. Derivoidaan funktio. f(x) = 0,x +,4x f (x) = 0,x +,8x Lasketaan derivaatan arvo muuttujan arvoilla x =, x = 4 ja x = 8. f () = 0, +,8 = 4,8 f (4) = 0, 4 +,8 4 = 5,9 f (7) = 0, 7 +,8 7 =,4 Koska muuttujan arvo on viikkoja ja funktion arvo on senttimetrejä, kasvunopeuden yksikkö on cm/viikko. Kasvin kasvunopeus kahden viikon kuluttua siemenen itämisestä on 4,8 cm/viikko, neljän viikon kuluttua 5,9 cm/viikko ja seitsemän viikon kuluttua,4 cm/viikko. Vastaus: 4,8 cm/viikko, 5,9 cm/viikko ja,4 cm/viikko

52 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty H6. Sairastuneiden enimmäismäärä on sairastuneiden määrää kuvaavan funktion suurin arvo. Laaditaan funktion kulkukaavio. f(x) = 0,0x + 0,5x f (x) = 0,09x +,0x Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. 0,09x +,0x = 0 x( 0,09x +,0) = 0 0,09x +,0 = 0 tai (x = 0) 0,09x =,0 :( 0,09) x =, Lasketaan derivaatan merkki nollakohtien määräämillä väleillä. f () = 0,09 +,0 = 0,9 > 0 f () = 0,09 +,0 =,95 < 0 0, 7 f (x) + f (x) Kulkukaavion perusteella, funktiolla on suurin arvo kohdassa x =,, joten sairaita oli eniten noin vuorokauden kuluttua flunssa-aallon alkamisesta. Enimmillään opiskelijoista oli sairaana f(, ) = 0,0, + 0,5, =,85,8 prosenttia. Vastaus:,8 %, vrk:n kuluttua

53 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty H7. a) Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla kunkin kahden peräkkäisen katsojamäärän erotukset. Taulukosta havaitaan, että suurin hyppy katsojaluvuissa on kello 6 ja 7 välillä. Vastaus: kello 6 7 b) Sovitetaan aineistoon. asteen polynomi.

54 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sovitetaan myös neljännen asteen polynomi. Katsojaluku kasvaa nopeimmin kohdassa, jossa sovitetun funktion derivaatta saa suurimman arvonsa. Derivoidaan funktiot.. aste: f(x) = 4,49x + 8,48x 8,89x f (x) =,48x + 47,97x 8,89 4. aste: g(x) = 0,6x 4 +,79x 95,07x + 966x + 8 g (x) =,05x + 8,6x 90,4x Määritetään derivaatan suurinta arvoa vastaava muuttujan arvo ohjelman avulla.. aste:. asteen sovitus kasvaa nopeimmin, kun muuttujan arvo on 6,7, eli noin kello 6:5.

55 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty aste: 4. asteen sovitus kasvaa nopeimmin, kun muuttujan arvo on 7,0096 eli noin kello 7. Sovituksien antamat nopeimmat muutosnopeudet vastaavat aika hyvin taulukosta luettua, mutta antavat täsmällisemmän arvion kellonajasta. Vastaus:. aste: f(x) = 4,49x + 8,48x 8,89x + 675, kello 6:5; 4. aste: g(x) = 0,6x 4 +,79x 95,07x + 966x + 8, kello 7

56 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty H8. Merkitään tallin katon toisen sivun pituutta kirjaimella x ja toisen sivun pituutta kirjaimella y. a) Kehikossa on 6 pystysuuntaista tukirakennetta, joiden kaikkien pituus on metriä. Pystysuuntaisten tukien rakentamiseen kuluu siis 6 = 8 metriä materiaalia. Muihin rakenteisiin jää käytettäväksi 60 8 = 4 metriä materiaalia. x + y = 4 y = 4 x : y = x Tallin pohjan pinta-ala on sama kuin katon pinta-ala. Muodostetaan pinta-alalle lauseke muuttujan x avulla. A = x y A(x) = x ( x) = x x Jos sivulle x käytetään metriä materiaalia, pinta-alaksi tulee 0, sillä toiselle sivulle ei jää materiaalia jäljelle. Vastaavasti pinta-alaksi tulee 0, jos sivulle x käytetään 0 metriä materiaalia. Sivun x pituus on siis välillä 0 x. Polynomifunktio saa suurimman arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio A(x). A(x) = x x A (x) = x Määritetään derivaatan nollakohta yhtälöstä A (x) = 0. x = 0 x = :( ) x = 0,5

57 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan funktion arvo kohdissa x = 0, x = 0,5 ja x =. A(0) = 0 0 = 0 A(0,5) = 0,5 0,5 = 0,5 suurin A() = = 0 Tallin suurin mahdollinen pohjan pinta-ala on 0,5 m. Vastaus: 0,5 m b) Merkitään korkeutta kirjaimella z. Tallin tilavuus on V = x y z. Tiedetään, että x = z, josta z = 0,5x. Kehikkoon kuluvan materiaalin avulla saadaan yhtälö. 6 0,5x + x + y = 60 5x + y = 60 y = 60 5x : y = 0,5x. Sijoitetaan z:n ja y:n lausekkeet tilavuuden lausekkeeseen, jolloin saadaan tilavuuden funktio sivun x avulla. V(x) = x (0,5x) 0,5x = 5x,5x Jos sivulle x käytetään metriä materiaalia, tallin tilavuudeksi tulee 0, sillä toiselle sivulle y = 0,5 = 0 ei jää materiaalia jäljelle. Vastaavasti tilavuudeksi tulee 0, jos sivulle x käytetään 0 metriä materiaalia. Sivun x pituus on siis välillä [0,] Polynomifunktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan tilavuuden funktio. V(x) = 5x,5x V (x) = 0x,75x

58 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälön V (x) = 0. 0x,75x = 0 x(0,75x) = 0 0,75x = 0 tai (x = 0),75x = 0 :(,75) x = 8 Tilavuuden suurin arvo on joko kohdassa x = 0, x = 8 tai x =. Lasketaan funktion arvo näissä kohdissa. V(0) = 5 0,5 0 = 0 V(8) = 5 8,5 8 = 0 V() = 5,5 = 0 suurin Tilavuus on suurimmillaan 0 m ja mitat ovat tällöin - päätyseinän leveys x = 8 - päätyseinän korkeus z = 0,5x = 0,5 8 = 4 - tallin pituus y = 0,5x = 0,5 8 = 0 Vastaus: 0 m, korkeus 4 m, leveys 8 m ja pituus 0 m

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot