Ojala, Leena Ojala ja Timo Ranta LAPLACE-MUUNNOS

Transkriptio

1 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana APACE-MUUNNOS

2 Eipuhe Tämä aplace-muunnoa ja en ovelamia käielevä oppimaeriaali on arkoieu ähköekniikan ininöörikouluukeen. Eiieoina ulii unea eimerkiki Ojalain lakuoppien opukea Differeniaaliyhälö eiey differeniaaliyhälöiden yleie käiee ja rakaiumeneelmä ekä virapiireiä käyey merkinnä ja virapiireihin liiyvien yhälöiden muodoaminen. Tarviaea lukijan ulee uuua mainiuun opukeen. Molempien eoen iälö on rajau niihin aioihin, joka allekirjoianeia Timo Ojala on käielly viimeki omaa maemaiikan opeukeaan SAMK Tekniikka Poria. Aineion muokkaamieen ja eimerkkien lakemieen ova oalliunee ekä maemaiikan ylioppila eena Ojala eä maemaiikan yliopio-opeaja Timo Rana. Ininöörillä on maemaiikan opikelua kolme ärkeää avoiea: aioiden ymmäräminen, arviavien lakujen uoriaminen ekä uorieujen lakujen ja aaujen uloen eiäminen. I: Ininöörin ulee ymmärää maemaaien käieiden oleellinen iälö. Ininöörin piää pyyä muuamaan kohaamana reaalimaailman ongelma maemaaieen muooon ja rakaiun jälkeen kriiiei ulkiemaan vaau alkuperäien ongelman kannala. II: Ininöörin ulee pyyä uoriamaan ne maemaaie laku, joka ova arpeen maemaaieen muooon aaamana ongelman rakaiemieki. Kekimääräiellä ininööriopikelijalla ei monia eri yiä johuen enää ole mahdolliuukia uoriaa eimerkiki vaaivia mekaaniia inegroineja käin lakien. Ininöörillä ei iihen ole ili enää änä päivänä miään arveakaan. Tehokkaa maemaiikkaohjelma ja ymbolie lakime pyyvä uoriamaan nopeammin ja luoeavammin kaikki ne mekaanie lakuoimiuke, joihin parhaa ininööri ova milloinkaan pyynee. akime pyyvä vielä enempäänkin ja kaikki ämä apahuu ilman, eä eknien ongelmana paria yökenelevä ininööri miään meneää. Niinpä ininöörin ulee jo opikeluaikanaan oppia hyödynämään ehokkaia apuvälineiä. Mekaanien lakujen uoriaminen apuvälineiä käyäen jäää opikelua enemmän aikaa myö kaheen muuhun avoieeeen pääemieen. III: Ongelmanrakaiua käyey meneelmä ja lakinkomenno ym. on eieävä niin hyvin dokumenoiuina, eä ulkopuolinenkin ymmärää rakaiun eri vaihee ja voi ne oiaa. Suppean monieen lyhye eimerkkirakaiu eivä ähän ehkä aina yllä, mua arkoiu onkin arviaea käydä ällaie eimerki unnilla opeajan eliäminä ykiyikohaiei lävie. Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

3 Apuna eimerkeiä on käyey ymbolia lakina TI-Npire CX CAS. Anneuia ohjeia aa vinkkejä muidenkin ymbolien lakinen ai maemaiikkaohjelmien hyödynämimahdolliuukia. Monieeeen on liiey runaai harjoiuehäviä. Kaikki käin lakeaviki anneu ehävä voi ja kannaaakin aina arkiaa lakimella. Koiehävien ykiyikohaie rakaiu on arviaea arkoiu käiellä unneilla amalla, kun avoieena olii opeaa uloen kriiiä arvioinia. Monieen lyhy eiyapa ei ole ananu mahdolliuukia opivien arvioiniapojen riiävään käielemieen. Kaikki halukkaa opeaja aava kopioida ää ja muiakin Ojalain lakuopeia ekä omaan opeukäyöönä eä oppilailleen jaeavaki mikä ahana ivu ai vaihoehoiei keroa opikelijoilleen, miä he voiva ilmaieki kopioida ai ladaa käyöönä arpeellie ivu. Maeriaalin voi uloaa kakipuoliiki kopioiki A4-arkeille ien, eä kekelä niieillä nidouna opikelijalla on käevä A5-kokoinen vihkonen. Maeriaalin voi ieenkin uloaa haluamaaan kooa myö kanioia äilyeäville arkeille. Oppimaeriaaliarjan jakokehiämiä varen oamme kiiolliina vaaan ilmoiuke painovirheiä ja parannuidea pieniä ykiyikohdia aina laajempiin kokonaiuukiin ai. Samalla lauumme kiioke myö Ojalain lakuoppien aiemmille kehiäjille FM Marjo Ojalalle ja päämaemaaikko, SHV auri Ojalalle. Poria 7..7 Timo Ojala eena Ojala Timo Rana Emeriu yliopeaja Maemaiikan yo Maemaiikan yliopio-opeaja PTO/SAMK Åbo Akademi TTY 3 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 3

4 SISÄYSUETTEO Eipuhe Siällylueelo 4 Määrielmä ja perufunkioiden - muunnokia 5 Kääneimuunno 9 3 Muunnoen lineaariuu 4 Oamurokehielmiä 5 Erikoifunkioia 6 6 Siiro-ominaiuude 7 Ajalla kerroun funkion - muunno 8 Derivaaan ja inegraalin - muunnoke 3 9 aplace - muunnoken käyöä 5 Virapiirin aplace-muunno 3 - ja - muunnokia 36 4 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 4

5 . Määrielmä ja perufunkioiden - muunnokia Huomauu. aplace-muunnoa käyeään ueimmien käyännön ovellukia ajaa riippuvien muuoilmiöiden ukimieen ja iki vapaaa muuujaa merkiään ymbolilla maemaiikaa avalliei käyeyn muuujamerkinnän x aemaa. Määrielmä. Funkion f ( ) aplace-muunno F ( ) määriellään inegraalimuunnokena F = ( f ) = e f d = Huomauu. Funkion f ( ) aplace-muunno F ( ) on vain kerojafunkioa olevan paramerin funkio. aplace-muunnokea ei enää eiinny aikaa e, illä e häviää määrielmän mukaia määräyä inegraalia lakeaea ijoieaanhan inegraalifunkioon muuujan paikalle rajoilla arvo ja. Huomauu. Eimerkiki funkioiden g( ) ja x( ) aplace-muunnokia merkiään vaaavilla ioilla kirjaimilla ai operaaorin avulla G = ( g) ja X = ( x( )). Eimerkki. Vakiofunkion f ( ) = aplace-muunno voidaan lakea uoraan määrielmää, jo parameri oleeaan poiiivieki: M M () = lim lim e d = e = e = e e M M =. = = =, jo >, jo < Jo parameri, niin ää eimerkiä lakeava inegraali hajaanuu (eli aa arvon ) eikä ellaia uloa voi hyödynää, illä e ei iällä enää miään ykiyikohaia ieoa alkuperäieä funkioa f ( ) =. Huomauu. Funkion aplace-muunno ei riipu lainkaan funkion käyäyymieä negaiiviilla :n arvoilla, koka määrielmän mukainen inegraali lakeaan vain välillä <. 5 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 5

6 Huomauu. Tavallien funkion aplace-muunno on määriely arkalleen illoin, kun parameri on uurempi kuin funkioa mahdolliei ekijänä olevan ekponenifunkion e kerroin a. Niinpä me ulemme pian lakina ja a kaavoja käyäen näkemään, eä eimerkiki ( 5) 6 5 (4e in(6 )) = =, kun > 5 (4in(6 )) = (4e 4 in(6 )) =, kun > 36 = ( 5) 6 5 (4e in(6 )) = =, kun > 5. ( ) Kannaaa huomaa, eä eimerkiki aplace-muunno (4e in(6 )) ei ole lauuavia alkeifunkioiden avulla millään paramerin arvolla, mua e ei olekaan mikään avalliia luonnonilmiöiä kuvaava funkio. ( ) Huomauu. akimeen TI-Npire CX CAS voi komennolla Define lap( y) = e y d määriellä aplace-muunnoken lakevan funkion lap. Määrielyn jälkeen muooa lap( y) > A olevalla komennolla aadaan funkion y( ) aplace-muunno edellyäen, eä - lakin pyyy inegroimaan funkion e y - wih-ehdoa mainiu lukuarvoinen rajaluku A on vähinään funkioa y a mahdolliei eiinyvän ekponenifunkion e lukuarvoien keroimen a uuruinen. Eimerkki. Huomauukea anneun määrielyn jälkeen aa euraavilla lakinyöeillä jo edelläkin mainiu aplace-muunnoke 5 lap(4e in(6 )) > lap(4 in(6 )) > lap(4e in(6 )) > Sama muunnoke aa, vaikka wih-eho olii voimakkaampikin: >. 6 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 6

7 Eim. Edellä määriellyllä funkiolla lap voi yöeillä lap >, lap( i n( a ) ) >,, 6 lap( e ) 6 > lakea mm. euraava muunnoke: () = (in( a )) = a ( co ) = a ( ) ( ) = ( e ) = ( e ) = ( 6) Huom. Määrielemällämme lap-funkiolla ei voi lakea (käinkin hyvin helpoi a lakeavaa) muunnoa ( e ), vaikka wih-ehdoa keroiikin arviavan ehdon > a, koka käyämämme lakinkomeno edellyää, eä kerroin a ja rajaluku A ova lukuja. Huomauu. Vanhempiin TI-lakimiin TI-89 ja TI-89 Tianium voi määrielyllä Define lap( y) = ( e ^(- ) y,,, ) > ^ määriellä funkion lap, joka lakee funkion y( ) aplace-muunnoken vaaavin edellyykin kuin edelläkin. Näin vanhempia lakimia käyeäeä ei jokaien aplace-muunnoken lakemieen arvinnu enää kirjoiaa omaa wihehoaan, koka e anneiin jo määrielyä. Kirjoiajien eri kokeiluia huolimaa ämä määriely ei ole onniunu uudemmilla TI-lakimilla. Huomauu. Kaikkiin em. lakimiin voi määriellä joko ykiriviellä yöeellä ai opivan lauekemallin avulla Define lape( y ) = ( e ^ ( ) y, ) = Define lape( y ) = e y d = funkion lape(y), joka uoaa avalliille ajaa riippuville funkioille y oikean aplace-muunnoken maemaaiei epä ämälliellä avalla. Tämän lakukaavan epäämälliyy johuu iiä, eä muunnoa ällä funkiolla lakeaea inegraalifunkion oleeaan häviävän ylärajalla kuen muuujan uurilla arvoilla lauekkeen e ja avallia luonnonilmiöä kuvaavan funkion y ulon inegraalifunkiolle apahuukin. Epäavalliea funkioa voi ( ) olla mukana vaikkapa ekijä e. Funkioa lape käyeäeä argumenia y a aa eiinyä ekijänä ymbolikeroiminenkin ekponenifunkio e. Huomauu. Kuen aina inegroiaea lakin on pideävä radiaanimoodia lakeaea -muunnokia edellä eieyillä lap- ja lape-funkioilla. 7 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 7

8 Seuraavan laueen mukaie perufunkioiden aplace-muunnoke voi johaa käinkin lakien joko uoraan määrielmän mukaan inegroiden ai käyäen myöhemmin eieäviä -muunnoken ominaiuukia. Enimmäie ja viimeie kaki uloa voi johaa myö edellä määriellyllä lap-funkiolla vaaimalla >. Kekimmäie kaava voi odea lap-funkiolla oikeiki ykiäiillä paramerien n ja a lukuarvoilla, mua ei ymboliarvoilla. Kaki enimmäiä ja kolme viimeiä uloa voi johaa myö edellä määrieyllä lape-funkiolla. Kolmannenkin kaavan voi odea lape-funkiolla oikeaki ykiäiillä paramerin n lukuarvoilla, mua ei ymboliarvolla. aue. ( a) = a = n ( ) = n!, miä n =,, 3,... n a ( e ) = a (in( a)) = a a (co( a) = a Harjoiuehäviä. Määriä (i) edellä olleen laueen kaavoilla (ii) määrielmän perueella käin inegroimalla (iii) määrielmän perueella lakimella inegroimalla (iv) lakimeen määrielemälläi lap-funkiolla (v) lakimeen määrielemälläi lape-funkiolla 4 a) ( e ) b) ( ) c) (co ) 4. Määriä a) ( ) b) (in(5 )) ekä määrielmään peruuen lakimella inegroiden eä lakimeen määrielemilläi lap- ja lape-funkiolla..3 Määriä ekä laueen avulla eä funkioia lap ja lape käyäen 3 4 (5),,, ( e ), ( e ), (in), (co(5 ))..4 Yriä kekiä laueen uloen avulla funkio, jonka aplace-muunno on 6 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Tarkia ulokei paikkanapiävyy lakemalla kekimäi funkion aplace-muunno joko käin ai lakimella. 8 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 8

9 . Kääneimuunno Määrielmä. Jo F ( ) on funkion f ( ) aplace-muunno F = ( f ), niin funkioa f ( ) anoaan funkion F ( ) kääneimuunnokeki ja merkiään f ( F) =. Huomauu. Funkion F ( ) kääneimuunnoken lakemieki ei ole helppoa muunnokaavaa ja iki kääneimuunno pääellään yleenä aikaiemmin lakeujen aplace-muunnoen avulla. Eimerkki. Koka ( ) =, niin 3 = 3. Huomauu. Koka funkion - muunno ei riipu funkion käyäyymieä ajan negaiiviilla arvoilla, niin edellien eimerkin kääneifunkioki kelpaava myö eimerkiki euraava funkio, jo in, jo ja < < 3 = 3 =, jo, jo. Koka - muunnoa kääneimuunnokineen käyeään muuoilmiöiden (eim. piiriä kulkeva vira, kulkuaudin leviäminen) elviämieen ieyä alkuilaneea eeenpäin ja aikaa miaaan ää alkuilaneea alkaen, niin rakaiuna olevan kääneifunkion arvoilla ennen alkuilannea (eli ajanhekeä = ) ei ole elviyken kannala merkiyäkään. Harjoiuehäviä. Määriä laueen avulla 3,,, ( 6 ), 3 4 3,,, ( ) Tarkia vaaukei lakimeen allenamallai lap- ai lape-funkiolla! 9 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 9

10 3. Muunnoen lineaariuu aue. Sekä aplace-muunno eä en kääneimuunno ova lineaariia muunnokia oeuaen ehdo (i) Summan muunno on muunnoen umma eli f ± g = ( f ) ± ( g) F ± G = ( F) ± ( G) (ii) Monikerran muunno on muunnoken monikera eli miä a on vakio. a f = a ( f ) a F = a ( F) Huomauu. Ominaiuude (i) ja (ii) voidaan eiää yhdelläkin keraa kaavoilla a f ± b g = a ( f ) ± b ( g) a F ± b G = a ( F) ± b ( G) Todiu. Todiamme aplace-muunnoken lineaariuua kokevan uloken peruuen kerolakun oielulakiin ja inegraalin lineaariuueen: ( ± ) = ( ± ) a f b g e a f b g d = ( ) = a e f ± b e g d = = a e f d ± b e g d = = ( ) ( ) = a f ± b g Eimerkki. (4 5 in(3 )) = 4 5 ( ) (in(3 )) = = = Mukavammin ieenkin lakimen lap- ai lape-funkiolla! Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

11 Huomauu. Edellien kalaien muunnoehävän vaau jäeään uein kolmanneki ai oieki viimeieen muooon, joka aadaan arviaea yhdieyä yhdeki murolauekkeeki opivai lavenamalla ai lakimen CommonDenominaor-komennolla. Eimerkki. ( ) ! = ( ) ( 3) 8 ( ) ( ) 3 = e 8co in Harjoiuehäviä 3. Muodoa euraava aplace-muunnoke käin opivia laueia käyäen ja yhdiä kukin ien yhdeki murolauekkeeki käyäen lakimen comdenom-komenoa (common denominaor yheinen nimiäjä): ( 3 ) 3 (e 3 e ) ( 5in(3 ) 4co(3 ) ) 3 ( 3 4e 3in 4co(5 ) ) Määriä muunnoke myö lakimen lap- ai lape-funkioa käyäen. Miä voi anoa ooiajan ja nimiäjän aeluvuia näiden avallien funkioiden aplace-muunnokina olevia murofunkioia? 3. Määriä Tarkia vaaukei oikeelliuu lakimen lap- ai lape-funkiolla Määriä, 3. Tarkia vaaukei oikeelliuu lakimen lap- ai lape-funkiolla. Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

12 4. Oamurokehielmiä Raionaalien murofunkion (eli kahden polynomin oamäärän) käiely (ei- merkiki inegroini ai kääneimuunnoken määriäminen) helpouu uein, jo murofunkio enin paloiellaan pienempiin oiin eli oamuroihin euraavai: Oamuroihin jaon vaihee Vaihe. Suorieaan jakolaku jakokulmaa ai määräämäömien keroimien meneelmällä ai lakimen funkiolla properfracion, jolloin aadaan jaeava P( x) jakojäännö R( x) = vaillinainen oamäärä V( x) jakaja Q( x) jakaja Q( x) Huomauu. Tavallien aplace-muunnoen kääneimuunamiea ei arvia vaiheen jakolakua, koka avallien funkion aplace-muunnokea ooiajan ae on jo valmiiki alempi kuin nimiäjän ae. Vaihe. Jakojäännökeen liiyvä oamäärä euraaviin välivaihein: R( x) Q( x) voidaan jakaa oamuroihin Vaihe.. Jaeaan nimiäjä Q( x) ekijöihin - eroamalla yheinen ekijä, eimerkiki x 5 x = x( x 5) - kaavoja käyäen, eimerkiki x a = ( x a)( x a), x ± ax a = ( a ± x) - nollakohiena avulla algebran kuria uulla avalla: - reaalia nollakohaa x vaaa eniaeinen ekijä x x - n-keraia reaalia nollakohaa x vaaa n-kerainen ekijä ( x x) n - komplekia nollakohaparia α ± β i vaaa komplekien ekijöiden ulo ( x α βi)( x α βi), joa aadaan aukikeromalla reaalialueella jaoon oien aeen ekijä - ueammankeraia komplekia nollakohaparia vaaa komplekien ekijöiden ueammankerainen ulo, joa aadaan reaalialueella ueammankerainen jaoon oien aeen ekijä - lakimen komennolla facor Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

13 R( x) Vaihe.. Kirjoieaan määräämäömiä keroimia käyäen oamäärälle Q( x) euraavan aulukon mukainen oamurokehielmä, joa on oiaieki unemaoma keroime A, B, Nimiäjän ekijä x a ( x a) 3 a 3 ( x ) x px q (jaoon) Oamurokehielmään uleva ermi A x a A B x a ( x a) A B C x a ( x a) ( x a) x px q ( x px q) Ax B Cx D x px q ( x px q) Ax B ja muodoeun oa- R( x) Vaihe.3. Kerroaan nimiäjä poi lauekkeen Q( x) murokehielmän välieä yhälöä. Vaihe.4. Määrieään unemaoma keroime A, B, C, - ijoiamalla muodoeuun yhälöön muuujalle x ellaiia arvoja, joka ekevä keroimien A, B, C, kerroinlauekkeia nolliki, jolloin aadaan väliömäi ykiäien keroimien arvoja - veraamalla yhälöä olevien aukikerroujen lauekkeiden vainermien keroimia, joiden on olava pareiain yhä uuria. Helpoimma yhälö aadaan yleenä korkeimman ja maalimman aeen ermien keroimia. Vaihe.5. Kirjoieaan oamurokehielmä rakaiuine keroimineen. Eimerkki. Jo lauekkeea x ( x )( x ) ( x )( x x ) uorieaan enin jakolaku ja ien jakojäännöken oamuroihinjako, niin ulokena aaava ermi ova muooa Ax B C D E Fx G Hx I Jx K x. x ( x ) x x x ( x x ) Jokin keroimia A K voiva ieenkin ooiauua nolliki. 3 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 3

14 x 3 Eimerkki. Jaa oamuroihin. 4 x 6 4 Koka jakaja x 6 = ( x 4)( x 4) = ( x )( x )( x 4), niin aulukon mukaan x 3 A B Cx D 4 ( x )( x )( x 4) x 6 x x x 4 3 x 3 ( 4) ( 4) x x A x x B x x Cx D x x Ax 4Ax Ax 8A Bx 4Bx Bx 8B Cx 4Cx Dx 4D 3 ( A B C) x... (8A 8B 4 D) unemaon Sijoiamalla x = : ( ) 3 = B( )(4 4) kerrallaan A = 7 3 ai 3 (4 4) lakimella Sijoiamalla x : = A = B = 3 3 Veraamalla x :n keroimia: = A B C C = 4 Veraamalla vakioermejä: 3 = 8A 8B 4D D = 3 8 Vaau: x x x 6 x x x 4 Huomauu. Raionaalien murofunkion jakolakun ja oamuroihinjaon aa TI-lakimen komennolla expand(laueke, muuuja). Vaikka lakimen ohjeiden mukaan muuujan voi jäää ilmoiamaakin, niin e kannaaa ilmoiaa, koka ällöin (riiävän helpon lauekkeen) oamuraminen uorieaan mahdolliimman pikälle aina irraionaalikeroimiiin oamuroihin ai. Eimerkki. Edellieen eimerkkiin opiva lakinyöe on expand x 3, x 4 x 6. Edellien ivun alimmaa eimerkiä aadaan lakimella eimerkiki keroimelle H arvo 9/9. Teaapa ulo lakimellai! Huomauu. Mukikkaan - muunnoken F kääneimuunamieki laueke jaeaan enin oamuroihin joko käin ai mieluummin lakimella. Kääneimuunnoken lineaariuuden perueella kääneimuunaminen voidaan ien uoriaa oamuro kerrallaan aulukoia apuna käyäen. 4 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 4

15 Eimerkki. 6 ( 3) = 3 expand = e e = = ( 3) lineaariuu auluko 3 3 Eimerkki = expand = = 3 co(3 ) 4 in(3 ) 4e 5 Harjoiuehäviä 4. Jaa ekä käin eä lakimella oamuroihin 3x x 4 x a) b) c) 3 3 x 3x x 4x x x x 4. Eiä määräämäömiä keroimia käyäen, millaiia ermejä aadaan lau x 3x 4 x x x 3x x x ekkeea a) b), 3 ( x 3) ( x 4)( x ) x ( x )( x ) kun enin uorieaan jakolaku ja ien oamuroihin jakaminen. Varmia lopuki lakimen expand-komennolla, eä ole löyäny kaikki mahdollie ermiyypi. Miki b-kohdan hajoelmaa ei lakimen mukaan olekaan kaikkia ellaiia ermejä, joia inun mieleäi iellä voii olla? 4.3 Ei kääneimuunnoke lakina ehokkaai hyödynäen a) b) c) Tarkia lopuki ulokei käyäen apuna lakimeen määrielemääi lapai lape-funkioa. 5 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 5

16 5. Erikoifunkioia Määrielmä. Ykikköakelfunkio u ( ) arkoiaa funkioa u, kun =, kun < Huom. Jännieeä käyeään jakoa merkinää u( ). Koka funkion aplace-muunno ei riipu funkion käyäyymieä negaiiviilla muuujan arvoilla, niin ( u ) = () =. Seuraava kuvaarja eiää erää ajaa riippuvaa funkioa f( ) ekä iiä ykikköakelella keromalla ja ajalliei jollakin lailla viiväämällä aaavia uuia funkioia. Huomaa, eä ulofunkion y ( ) = u ( ) f ( ) lauekkeea on viiveä ilmoiava poiiivinen luku vähenneävä niiden ekijäfunkioiden muuujaa, joiden ouua haluaan viiväyää. Huomaa, eä funkion kuvaaja iiryy oikealle, mikäli ilmiö viiväyy ajalliei. Huomaa, eä funkioia y = f ja y = f( ) eiävä muodolaan amanlaie mua ijainnilaan eri viiva ylimmän kuvaparin mukaiei. Sama kokee funkioia y = u f vaemmalla kekellä ja y = u ( ) f ( ) oikealla alinna. 6 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 6

17 Eimerkki. Anneu funkio f ( ) voidaan nollaa välin [, ) ulkopuolella keromalla funkion laueke ykikköakelen eroukella u u ( ) ( ) =, jo < muulloin Huomauu. Funkion arvoilla ykiäiiä pieiä ei ole merkiyä lakeaea avalliiin funkioihin liiyviä määräyjä inegraaleja, joka eiävä vaikkapa käyrän alla olevaa pina-alaa ai ieyllä aikavälillä johimea iirynyä varaua. Niinpä illä ei ole yleenä merkiyä, uleeko edellien eimerkin kalaiea ilaneea funkio nollaua välin pääepieeä vai ei. Poikkeukena on jakoa käielävä impulifunkio, joa käyeään arkaelaea eimerkiki piemäiä maaa, joa iey nollaa eroava maa on kekiyny nollan uuruieen ilavuueen ai nollan piuielle välille. Ykikköimpulia johdeaea arkaellaan apuna funkioia, jo < h δh = h muulloin. δ h( ) = ( u ( ) u ( h )) h, miä h on pieni poiiiviluku. Kaikkien näiden apufunkioiden kuvaajien alle jää yhden ykikön uuruinen pina-ala. b δh d =, jo väli [, h) iälyy inegroimiväliin. = a Määrielmä. Ykikköimpuli arkoiaa funkioa δ = lim δ. h h 7 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 7

18 Huomauu. Ykikköimpulille δ ( ) ja vakiolle k on voimaa ) ), jo, jo δ = ja δ (, jo = ) =, jo = b = a b = a k, jo origo kuuluu inegroimiväliin k δ d = muulloin k δ d ( ) = k, jo kuuluu inegroimiväliin muulloin 3) ( δ ( )) = ja ( δ ( )) = e Eimerkki. Tarkaellaan x-akelin välillä m x m olevaa auvaa ähkövaraukineen. Sauvan kohdaa x = 6m on piemäinen varau uuruudelaan 5 nc. Sauvan alkupään m x < 6m varau on homogeeninen ja kaikkiaan 8 nc. Sauvan loppupään 6m < x m varau on myö homogeeninen ja kaikkiaan nc. Sauvan kokonaivarau on elväi (5 8 ) nc = 5 nc. Seuraavaa muodoeaan varauiheyden laueke ja lakeaan kokonaivarau harjoiuken vuoki myö inegroimalla varauiheyden laueke. Sauvan varauihey (eli piuuvarau) voidaan eiää ykikköakelfunkion ja ykikköimpulin avulla muodoa ( u u ) δ ( u u ) ρ = ρ( x) = ( x ) ( x 6) 5 ( x 6) 3 ( x 6) ( x ) ykikkönä nc/m. Sauvan varauiheyä havainnolliaa alla oleva kuva. Sauvan varau aadaan joko yo. ykinkeraiella pääelyllä ai dx-piuien päkien varaukien ρ ( x) dx ummana. inegroimalla: q = x= x= ρ( x) dx ( ( u u( 6) ) 5 δ ( 6) 3 ( u( 6) u )) = x x x x x dx ( u u ) δ ( u u ) = ( x ) ( x 6) dx 5 ( x 6) dx 3 ( x 6) ( x ) dx x = x = x=, kun x 6, kun 6 x< = = muulloin muulloin 6 = dx 5 δ ( x 6) dx 3dx = (6 ) 5 3 ( 6) = 5. x = x = x = 6 ρ 3 5 δ ( x 6) 6 x 8 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 8

19 Sauvan kokonaivarau aadaan myö varauiheyden kuvaajan alle jäävän pina-alan avulla muiaen, eä ykikköimpulin δ( x) alle jää ala. Impulin 5 δ ( x 6) alle jää illoin ala 5. Vaauken ykikkö on akeleiden ykiköiden ulo m nc/m = nc, joen auvan kokonaivarau on 5 nc. Harjoiuehäviä 5. Piirrä euraavien funkioiden kuvaaja ekä käin eä lakimella. Ykikköakelfunkion voi määriellä komennolla Define u = iffn( <,,). Myöhempää käyöä varen voi anaa lakimeen määrielemällei funkiolle pidemmän nimen vaikkapa uniep. u u a) 3 y =, y =, y = ( 3), y = 3, y = ( 3), y = ( 3) ( 3) u u b) = = 3 = y, y, y ( ), y =, y =, y = ( ) Kirjoia euraavien funkioiden lauekkee käyäen apuna ykikköakelia ekä niiden ummia ja eroukia. Piirrä funkioiden kuvaaja lakimella käyäen apuna edellieä ehävää määrielyä ykikköakelfunkioa. Tää ehävää ei ole merkiyä illä, mien kuvaaja piirreään määrielyn vaihumikohdaa. a), kun 5 < 7 f muulloin =, kun < 5 ai 7 < 5.3 Olkoon >. ake ( ( )) b) u u u u in, kun π < π g = in, kun 3π < 4π muulloin u uoriamalla aplace-muunnoken määrielmän mukainen inegroini kahdea oaa lakina hyödynäen. 5.4 Olkoon >. Ykikköpenger r ( ) määriellään ehdoa r = u. Piirrä funkion y = r( ) kuvaaja ja määriä en -muunno uoriamalla aplace-muunnoken määrielmän mukainen inegroini kahdea oaa lakina hyödynäen. 5.5 Kirjoia virran laueke ykikköakelen ja ykikköimpulin avulla, jo aikavälillä 5 johimen läpi kulkee coulombin varau aaiena virana ja liäki hekellä = 6 johimen läpi kulkee coulombin varau. 9 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 9

20 6. Siiro-ominaiuude aue 3. (Aikaviiveominaiuu) Jo ( f) = F ja >, niin ( ) = u( ) f ( ) e F. jo funkioon u f ( ) ulee :n uuruinen viive, niin en aplace-muunno ulee kerroua e :llä. Eimerkki. Olemme jo aiemmin odennee euraava aikaviiveominaiuuden mukaie uloke (vr. ehävä 5.3 ja ivun 8 huomauuken koha 3) ( ) = ja ( u( ) ) = e ( δ) ja ( δ) = = e aue 4 (Siiroäänö). Jo ( f ) = F, niin a ( e f) = F( a). jo ajan funkio f ( ) kerroaan lauekkeella jokaiea :ä vähenneävä a. a e, niin -muunnokea on Siiroäännön odiu. Koka oleuken mukaan a a a = = F = e f d, niin = ( e f ) = e e f d = e f d = F( a) Eimerkki. Koka (co(3 )) =, niin 3 ( co(3 )) e = =. ( ) Huomaa, eä aiemmia eimerkeiä poikeen -muunnoken nimiäjänä on ny jaoon äydellinen oien aeen polynomi. 3 ( ) 3 5 Eimerkki. Jo ( f ) =, niin ( e ) f = = ( ( )) Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

21 Ohje. Jo kääneimuunneavana on oamuro, jonka nimiäjä on äydellinen oien aeen polynomi a b c, niin äydennä nimiäjä enin neliöki joko käin lakien ai hyödynäen lakimen compleesquare-komenoa ja käyä en jälkeen monieen lopua olevan kaavakokoelman oikeaa puola, joka on laadiu eriyiei kääneimuunnoken uoriamia varen. Eimerkki = 4 8 = ( 4 4 ) 4 = ( ( 4)) Tai: compleesquare( 8, ) Jaa 5 4 kahdea oaa nimiäjällä 5 ( ( 4)) ( ( 4)) = 4 e = 5 e co e in in = e e co 3 in Tulo kannaaa ieenkin arkiaa lakimeen määrielemälläi lape-funkiolla! expand- 3 komennolla = 4 3 Eimerkki. 5 5 Enimmäinen nimiäjä 7 3 = on neliöiy lakimen ( ) 4 compleesquare-komennolla = 7 3 ( ) ( ) 7e in = e co e in 3 = e co 4e in 3 Tarkia lape- ja comdenom-funkioilla! Harjoiuehäviä Määriä a) ( e in(4 ) 4e co(5 ) ) b) ( e 4 ) Määriä a) 6 b) 8 c) 4 4 (Opau: = ) d) Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

22 7. Ajalla kerroun funkion - muunno aue 5. Jo F = ( f ( )), niin d ( f) = F d. jo funkio f ( ) kerroaan ajalla, niin funkion -muunno derivoidaan ja en merkki muueaan. Eieyä uloa voi oiaa ueampiakin keroja: ( f ) = d F d... n n n ( f ) = ( ) d F, n N n d Todiu. Koka umma derivoidaan ermeiäin ja koka inegraalia voidaan piää ummana, niin ekin voidaan (ieyin edellyykin) derivoida ermeiäin d d d d = = ( ( f )) = e f d = ( e f d ) = = = e f d = e f d = f ( e ) = d ( e ) d d = = d ( ). Eimerkki. Toiin: Merkiään f ( ) =, jolloin F = ja iiroäännön (laue 4) mukaan ( e ) = ( e f ) = F( ) = ( ) Eimerkki. d ( ) = ( ) = () = D = D = ( ) = d 3 d = = = D = D ( ) = ( ) = 3 d Harjoiuehäviä Tehävä 7. Määriä ekä kaavojen avulla eä määrielemilläi lap- ja lape- in(4 ) b) ( co ) 3 e 5 3 d) ( e co ) funkioilla a) c) Huomaa, eä koha c voidaan lakea kaavoja käyäen kahdellakin eri avalla. Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi

23 8. Derivaaan ja inegraalin - muunnoke Seuraavaa lauea käyeään rakaiaea differeniaaliyhälöiä ja differeniaaliyhälöryhmiä. aue 6. Jo ( f ) = F, niin ( f ) = F f () ( f ) = F f () f () = 3 ( f ) F f () f () f ()... ( n) n n n ( n ) ( n ) ( f ) = F f () f ()... f () f (), n N. derivaaafunkion -muunno on keraa ie funkion -muunno vähenneynä funkion arvolla alkuhekellä. Todiu. Enimmäinen kaava aadaan ovelamalla oiaiinegroinikaavaa vaemmanpuolen lauekkeeeen ( f ) = e f d = = b b u v d = u v u v d = a = a = a = b u= e v = f u = e v = f =, kun riiävän uuri ja f "avallinen" funkio = e f e f d = (lim( e f ) f ()) ( f ) = F f () Seuraavaki johdamme oien derivaaan muunnokaavan enimmäien avulla Merk. f = g ( f ) = ( g ) = G g() = ( g) g() = f f = F f f = F f f ( ) () () () () () Seuraava kaava voidaan johaa amalla periaaeella aina edellieä. Eim. Jo muunno ( f ) = (in( a)) = a oleeaan unneuki, niin a (co( a)) = f ( ()) a = F f = = a a a a a 3 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 3

24 Seuraavaa uloa käyeään puoleaan inegraaliyhälöiä rakaiaea. aue 7. Jo ( f ) = F, niin f( τ ) dτ = F τ = Huomauu. Derivaaafunkion -muunnoa lakeaea ie funkion - muunno mm. kerroiin :llä. Sien on luonnollia, eä inegraalifunkion - muunnoa lakeaea ie funkion -muunno jaeaan :llä, ovahan kerominen ja jakaminen ekä derivoini ja inegroini kääneiiä oimiukia. Eimerkki. Johdeaan funkioiden g = ja h = aplace-muunnoke käyäen apuna kaavaa () =. Jo f ( ) =, niin Jo g( ) F oea oikeaki lakemalla oikealla oleva inegraali = ja laueen 7 mukaan = dτ = f ( τ ) dτ = F = = τ = τ = =, niin G = ja edelleen laueen 7 mukaan oea oikeaki lakemalla oikealla oleva inegraali ( ) τ dτ g( τ ) dτ G τ = τ = = = = = = 3 Huomaa, eä luvun 7 viimeieä eimerkiä amaa aiaa arkaeliin elväi helpommin kekiävällä avalla. Harjoiuehäviä f = ja () 4 3 f a) lauea 6 käyäen b) eimällä enin funkio f ( ) kääneimuunnoa käyäen. 8. Tiedeään, eä 8. Tiedeään, eä f =. Määriä f =. Määriä f ( τ ) dτ 6 3 τ = a) lauea 7 käyäen b) eimällä enin funkio f ( ) kääneimuunnoa käyäen. 4 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 4

25 9. aplace-muunnoken käyöä aplace-muunnoa käyeään eimerkiki ähköekniikaa vakiokeroimien lineaarien differeniaali- ja inegraaliyhälöiden ja -yhälöryhmien rakaiemieen, illä -muunno oveluu juuri unemaoman funkion lineaarien lauekkeiden käielyyn laueen mukaiella avalla. Rajoiuminen pelkäään vakiokeroimiiin differeniaaliyhälöihin ei ole ähköekniikaa kovin rajoiavaa, koka yhälön keroime aadaan piirin komponeneia, joka ueimmien ova likimain ajaa riippumaomia vakioia. Tarkalleen oaen ämä ei kuienkaan aina pidä paikkaana, illä ajan kuluea eimerkiki vau lämpenee, mikä aiheuaa reianin muuumia. Huomauu. Jo differeniaaliyhälö rakaiaan aplace-muunnoken avulla, niin laueen 6 edellyämällä avalla on unneava unemaomaan funkioon liiyvä alkuehdo hekellä =. Tarviaea voidaan kuienkin liää yhälön keraluvun mukainen määrä yleiiä alkuehoja differeniaaliyhälön yleiä rakaiua. ( i y ) () = C i, jolloin haeaankin aplace-muunnoken käyö edellä mainiuia ilaneia on aina päävaiheilaan amanlainen: Vaiheea oeaan yhälön / yhälöiden molemmia puolia -muunnoke. Vaiheea edellä aadua algebralliea yhälöä / yhälöryhmää rakaiaan unemaoman funkion / unemaomien funkioiden -muunnoke algebraa uulla avalla ai vaikkapa lakimen olve-komennolla. Vaiheea 3 edellä löydey -muunnoke jaeaan oamuroihin vaikkapa lakina käyäen. Vaiheea 4 eiään oamurokehielmien kääneimuunnoke, jolloin olemmekin löyänee eiyn funkion / eiy funkio. 5 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 5

26 Eimerkki. Rakaiaan edellä eieyin vaihein alkuarvoehävä y y y = e y() = 6 y () = 3 ( Y y() y ()) ( Y y() ) 4 3, lineaarinen muunno! = = 4 ( y ) 3 ( y ) ( y) ( e ) Merk. Y ( y) 3 Y = ( 6) = 4 Y Y Y lakimen expandkomennolla Y = = y = = 3e e e 4 4 Huomauu. Edellä ollu differeniaaliyhälö rakeaa myö lakimen desolvekomennolla ai karakeriien yhälön ja fikun yrieen avulla. Kao arkemmin Ojalain lakuoppien opukea Differeniaaliyhälö. Eimerkki. Tää eimerkiä arkaellaan inegraaliyhälöä, jolloin haeaan funkioa, joka inegraaleineen oeuaa ko. yhälön. Inegraaliyhälö rakaiaan aplace-muunnoa käyäen amoin vaihein - 4 kuin differeniaaliyhälökin. 4 ( τ ) τ = 3, lineaariuu ja laue 4 y y d e τ = Y 4 Y = Y = = = 4 ( )( 4) ämä on urha välivaihe y = = e e 4 expand-komennolla jo enimmäieä Y :lle aadua lauekkeea 4 4 Huomauu. Edellä ollu inegraaliyhälö voidaan derivoimalla muunaa differeniaaliyhälöki käyäen euraavaa lauea. 6 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 6

27 d aue 8. y( τ ) dτ = y d τ = a. määräyn inegraalin derivaaa ylärajan uheen = inegroiava funkio ylärajalla Todiu. Jo funkion y( τ ) jokin inegraalifunkio on Y ( τ ), niin d d d y τ dτ = ( τ ) = ( ( ) ( a) ) = ( ) = y ( ) d τ a d Y Y Y Y = τ = a d d Eimerkki. Edellien laueen mukaan inτ dτ = in. d τ = Saman uloken aa yöläämminkin enin inegroimalla ja ien derivoimalla: d d in d τ dτ = coτ = co ( co) ( = in d ) τ d = τ = d = vakio Eimerkki. Edellä olleea inegraaliyhälöä 4 ( τ ) τ = 3 = y y d e aadaan muuujan uheen derivoimalla differeniaaliyhälö y ( ) 4 y( ) = 6e. τ Tarviava alkueho aadaan ijoiamalla = inegraaliyhälöön ja oamalla huomioon, eä funkion y inegraali nollan miaiella välillä on ieenkin nolla: y() 4 = 3 e y() = 3. Tämän jälkeen differeniaaliyhälöä aadaan -muunamalla 6 3 expand Y 3 4 Y = 6 Y = = 4 4 y = e e 4 Huomauu. Edellieä eimerkiä johdeu differeniaaliyhälö rakeaa myö lakimen desolve-komennolla ai käin karakeriien yhälön ja yrieen avulla. 7 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 7

28 Eimerkki. Rakaiaan differeniaali-inegraaliyhälö y 4 y( τ ) dτ = 3 e τ = y() = ( y ) 4 y( τ ) dτ = 3 ( e ) τ = ( Y ) ( Y ) 4 = 3 3 lakimella expand Y = = 4 y e = = Tää voi rakaia Y:n käin ai lakimen olve-komennolla e Eimerkki. Rakaiaan differeniaaliyhälöryhmä x y x y = 4in co x y x y = 4in 6co x() = y() = On ii eiävä ellaie funkio x = x( ) ja y = y( ), joka derivaaoineen oeuava molemma differeniaaliyhälö ja alkuehdo. Aluki oeaan kummaakin yhälöä -muunno: X Y X Y = 4 ( X ) ( Y ) X Y = 4 6 Saadua algebralliea yhälöparia rakaiaan vaikkapa lakimen olvekomennolla aplace-muunnoke X ja Y, joka jaeaan oamuroihin kääneimuunamia varen: X = = Y = = x = co in y = co in 8 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 8

29 Harjoiuehäviä 9. Rakaie -muunnoa käyäen ajan funkio x = x( ) ja y = y( ) alla anneuia yhälöiä ja yhälöparia. Tarkia kohien a d rakaiu TI-lakimen komennolla desolve. Muunna kohdan e inegraaliyhälö myö differeniaaliyhälöki, jonka rakaie ekä -muunnokella eä TI-lakimen komennolla desolve. a) y 3y = 4, y() = 5 b) y y = 3 co(4 ), y() = 5 3 c) y 4y 3y = e, y() =, y () = d) y y y = 3 in 4, y() =, y () = e) y y( τ ) dτ = 3 4 τ = x y 3x y = 7e 3e f) x y x 3y = e 5e, x() =, y() = 3 9 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 9

30 . Virapiirin aplace-muunno Eimerkki. Kuvan RC-piiriä aadaan Kirchhoffin lain perueella myöäpäivään kulkemalla yhälö q u Ri i =. C Jo kondenaaori on yhjä kykinä uljeaea, niin kondenaaorin varau myöhempänä hekenä on kondenaaoriin aikavälillä [, ] aapuneiden varauen umma ja aadaan ii inegroimalla voidaan ny muuaa muooon q = i( τ ) dτ. Edellinen yhälö τ = u Ri i( τ ) dτ i = C τ. = Alkueho i = aadaan kelan aiheuamaa hiaudea. aplacemuunamalla em. yhälöä aadaan laueilla 6 ja 7 eli ( u ) R ( i ) ( i ) ( i ) = C U R I I I =. C Huomauu. Käyännöä edellä differeniaaliyhälöä -muunamalla aau yhälö voidaan kirjoiaa uoraan viereien vainpiirin avulla ilman differeniaaliyhälön muodoamia. Vainpiiri aadaan korvaamalla odellien piirin kondenaaori ja kela euraavan aulukon mukaiilla vaukilla ja jäämällä kykin poi, illä - maailmaa ei unnea aikaa, joen iellä ei voi ede olla olemaa kykimiä, joka oliiva eri ajanhekinä eri aennoia. Virapiiriä Vainpiiriä Vira i Vainvirana virran -muunno I = i Jännielähde u Vainjännieläheenä jännieen -muunno U = u Vau R Kondenaaori C Kela Vau R Vau C Vau 3 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 3

31 aue 9. Jo mielivalaiea virapiiriä olevien kondenaaorien varauke ja keloia kulkeva virra ova nollia alkuhekellä =, niin piiriä arvoilla kulkevien virojen aplace-muunnoke voidaan rakaia niiä yhälöiä, joka aadaan aajännieiä ja aaviroja kokevien lakien mukaan edellien aulukon mukaiei muodoeua vainpiiriä, joa vainjännieläheiden liäki on vain vaukia. Eim. Rakaiaan viereieä R-piiriä kulkeva vira kykimen ulkemien jälkeen. Muodoeaan vainpiiri edellien aulukon mukaan, joen kelaa vaaa vau R = = ja jännielähdeä en -muunno ( u) = (3) = 3. Vainpiiriä aadaan väliömäi I expand U 3 = = =.6 R R 5 5. Tää aadaan kääneimuunamalla i 5 =.6( e ). Eim. Rakaiaan viereieä RC-piiriä kulkeva vira kykimen ulkemien jälkeen, kun u( ) = 3 in. Muodoeaan vainpiiri edellä olleen aulukon mukaiei. Kondenaaoria C vaaa vau R = C C =. ja vaihojännielähdeä aajännie U = (3in ) = 3, jonka lauekkeea ei odellakaan eiinny aikaa. Vainpiiriä aadaan väliömäi 3 akimella expand U I = = =.4..4 R R C 5. Tää aadaan kääneimuunamalla i =.4 co. in.4e =.68 in(.).4 e miä rigonomerie funkio on lopuki yhdiey yhdeki iniaalloki lakimen komennolla Collec. 3 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 3

32 Eim. Tarkaellaan kuvan RC-piiriä, miä R = 3, C =., =, u( ) = ja kykin uljeaan hekellä =, jolloin kondenaaoria ei ole varaua. Vainpiiriä on euraava komponeni R C = = C R = = U = ( u) = () =. expand Koka vainpiiriä I U = = = R RC R 3 z 5 z, niin 5 i = = ( e e ) 5 Eimerkki. Tarkaellaan alla vaemmalla olevaa kahdea ilmukaa muodouvaa virapiiriä, joa kondenaaorin varau ja kelan vira ova nollia hekellä =. Tarkoiukena on lakea kuvanmukaie ilmukkavirra i = i ( ) ja i = i ( ), kun, ekä kondenaaorin varauken raja-arvo, kun. q() -q() Oikeanpuoleinen vainpiiri on muodoeu aiemman aulukon mukaiei. Vainpiirin pikkuilmukoia aadaan myöäpäivään kierämällä I ( I I) = 5 I I ( I I) = Rakaiaan ämä yhälöpari enin lakimella ja lopuki rakaiu oamurreaan ykiellen expand-komennolla, jolloin aadaan I = = 3 ( 7 5) 5 5 I ( 7 5) 5 5 5( 9 ) = = Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 3

33 Koka oien aeen nimiäjä voidaan käin ai lakimella neliöidä muooon ( ) ( ) =, niin virojen aplace-muunnoke ova I = (( ) 7.7 (( ) 7.7 I = (( ( ) ) 7.7 (( ( ) ) 7.7 Näiä aadaan monieen lopua olevan muunnoaulukon kahden viimeien kaavan avulla e in(7.7 ) i =.854 e co(7.7 ) in(7.7 ) e Oa e ekijäki ja yhdiä muu oa komennolla Collec kummaakin lauekkeea e in(7.7 ) i =.5 e ( co(7.7 ) in(7.7 ) ) e Suoriamalla kerrou oimenpiee aadaan i = e i = e.97 in(7.7.9).33e in(7.7.8).38e.67 Kondenaaorin lopullinen varau aadaan inegroimalla (eli ummaamalla yheen) kaikki aikavälillä [, ) aapunee oavarauke: q( ) = i i d =.64. = Kondenaaorin napojen välinen lopullinen jännie on q( ) =.64 =.64. C. Vaikka edellien eimerkin numeerien lakujen uoriaminen on lakina hyödynäenkin yölää, niin ehävän periaaeellinen uoriaminen on kuienkin hyvin ykinkeraia: ) Muodoeaan odellien virapiirin vainpiiri anneun aulukon mukaiei ) Kirjoieaan vainviroja kokeva yhälö piireiä, joia on vain vainjännieläheiä ja vaukia 3) Rakaiaan vainvirra lakimella 4) Vainvirra oamurreaan lakimella 5) Oamurojen oien aeen nimiäjä äydenneään neliöiki lakimella 6) Oamurro kääneimuunneaan aulukoiden avulla 33 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 33

34 Eimerkki. Tarkaellaan viereien piirin viraa,, kun < kun jännie on u = { ja kykinä muulloin uljeaea kondenaaoria ei ole varaua. Alle piirreyä vainpiiriä ( u u ) U = u = ( ( ) ) ( Tämä päälleviivau ermi oli jo edellä u u u = ( ) ( ) ( )...iäy... ja...vähenney... ama uplai alleviivau ermi = e e u ( ) Vainpiirin vira aadaan jakamalla vainjännie U( ) arjaa olevien vauen reianien R, R ja R ummalla C ( ) U I = = e expand! ) expand! = 9 e Jälkimmäinen ermi voidaan kääneimuunaa käyäen aikaviiveominaiuua u ( ) f ( ) = e F akaperin, jolloin kaiken kaikkiaan aadaan 9 ( ) ( ) i = e e u ( ) e e e e =.5e.5e., jo < ( ) ( ) = e e e e = e ( 9e ) e ( e ) 99e. e, jo > 4 Sama ulo on aau Ojalain lakuoppien eokea Differeniaaliyhälö käyäen differeniaaliyhälöiden perineelliempiä rakaiuapoja. 34 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 34

35 Harjoiuehäviä. Seuraavia ehäviä oleeaan, eä kelojen virra ja kondenaaorien jänniee ova nollia alkuhekellä =, jolloin kykin uljeaan.. Tarkaellaan R-piiriä, joa = 5, R = ja a) u = 5 b) u = u( ) = 3 in( π ). Määriä piirin vira ajan funkiona, kun kykin uljeaan hekellä =.. Tarkaellaan C-piiriä, joa = 5, C =. ja jännieläheen jännie u( ) on a) in(9 ) b) in() c) in(). Rakaie piirin vira, kun kykin uljeaan hekellä =..3 Tarkaellaan RC-piiriä, joa R =, C =. ja a) u = b) u = u( ) = in( ). Rakaie piirin vira, kun kykin uljeaan hekellä =..4 Tarkaellaan RC-piiriä, miä R = 4, C =., = 5 ja a) u = b) u = u( ) = 3 in( ). Määriä piirin vira, kun kykin uljeaan hekellä =. 35 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 35

36 ja muunnokia e n a in( b) a a 3 3 n! n n n n ( )! b in( b) b b b co( b) co( b) b b d f F ( ) d ( b ) f F = ( f) F f = ( F) a e f F( a) in( b) ( b ) b f F f () ( a) a f F f () f () e e a co( b) in( b) 3 b b f n n F f ()... ( n) ( n ) ( n ) 3 a f () f () a e τ = u a n e f ( τ ) dτ F n a ( n )! a e in( b) ( ) f ( ) e F a b b a a co( b) e in( b) a e a b b 36 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 36

37 Ojalain lakuopi -oppimaeriaaliarjaan kuuluva eo aplace-muunno on arkoieu ähköekniikann ininööriopikelijoille differeniaaliyhälöiden kurin äydennymaeriaaliki. aplace-m muunno yhdeä ehokkaan apuvälineen kanaa arjoaa ykinkeraien meneelmän virapiireih hin liiyvien differeniaali- ja inegraaliyhälöiden ja -yhälöryh- hmien rakaiemieen. Sarjan kaikia eokia on pyriyy huomioimaan lähiopeuken voimaka vä- käieiden halliemieen, apuvälineiden ehokkaaeen hyödynämieenn me- henyminen. Siki maemaiikaakin on kekiyävä kaikkein oleelliimpaan: kaanien käinlakennann aemaa ekä uorieujenn lakujenn ja aaujen u- loen elkeään eiämieen. Yhden kirjoiajan oma opikelija ova viime vuode käyäneek TI-Npire CX CAS -lakimia. Siki eokea on hyödylliiä ohjeia kyeien lakimen käy- meän puila. Myö muiden ymbolien lakimien ja j maemaiikkaohjelmien käyäjä aava kirjaa ideoia oman apuvälineenä hyödynämh mieen. öä. Mone opikelija ovakin yyyväiinä odennee oppineena näkemään Kaikki arjaa ilmeynee eokee Algebra, Geomeria, Differeniaali- ja inegraalilakena, Differeniaaliyhälö ekä aplace-muunno ova vapaai uloeavia ja jaeavia koko ivun kopioina opeukäyöön. Saakunnan ammaikorkeakouluu Sarjaa C, Oppimaeriaali C ISSN ISBN Julkaiija Saakunnan ammaikorkeakouluu Tiedepuio 3, 86 Pori 37 Timo Ojala, eena Ojala ja Timo Rana: aplace-muunno Ojalain lakuopi 37