Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Transkriptio

1 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A lasketaan kaikki tehtävää. Taulukkokirjaa saa käyttää koko kokeessa. A. a) Sievennä. b) Ratkaise yhtälö ( x)( x ). c) Laske dx. x T06

2 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / A. a) Määritä viereisen polynomifunktion kuvaajan perusteella b) Määritä funktion c) Ratkaise yhtälö ) funktion derivaatan nollakohdat ) graafisesti derivaatan arvo kohdassa x. f ( x) x x. x x määrittelyjoukko. T06

3 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / A. a) Kartan mittakaava on : 000. Tontin pinta-ala on 000 m. Mikä on tontin pinta-ala tällä kartalla? x x b) Määritä lim. x x c) Asun hinta nousi ensin 0 % ja laski sitten 0 %. Kuinka monta prosenttia asun hinta muuttui yhteensä? T06

4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / A. a) Määritä ympyrän Y: x y x y 6 8 keskipiste ja säde. (p) b) Osoita, että piste A (, ) on ympyrällä Y. (p) c) Määritä ympyrälle Y pisteeseen A piirretyn tangentin yhtälö ja piirrä tangentin kuvaaja. (p) T06

5 Preliminäärikoe Tehtävät B-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / B-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Kolmion ABC kärkipisteet ovat A (,, ), B (0,,) ja C (,, ). a) Laske sivun AB pituus. (p) b) Määritä vektorien AC ja BC välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. (p) c) Onko kolmio suorakulmainen? Perustele! (p) B6. Normaalista 5 kortin pakasta on poimittu seuraavat kortit pois: Hertta 0, hertta 9 sekä pata 9 ja pata 8. Nämä neljä korttia sekoitetaan hyvin ja asetetaan satunnaiseen järjestykseen kuvapuoli alaspäin pöydälle. Näistä korteista valitaan umpimähkään kaksi. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa valittujen korttien arvon summan. a) Esitä pylväsdiagrammina tämän satunnaismuuttujan jakauma. b) Määritä satunnaismuuttujan X keskihajonta. B7. Olkoon funktio f ( x) x 8x 6x x 60. a) Määritä funktion ääriarvokohdat. Esitä perusteluksi kulkukaavio. (p) b) Määritä perustellen kumpi funktion arvoista 9 9 f ( 0 ) vai f ( 0 ) on suurempi? (p) c) Piirrä funktion kuvaajaa valaiseva kuvio. (+p) B8. Määritä käyrälle f ( x) ln x kohtaan x piirretyn tangentin T yhtälö suorituksen välivaiheet esittäen. Osoita, että tangentin T kuvaaja on aina käyrän kuvaajan yläpuolella sivuamispistettä lukuun ottamatta. B9. a) Millä muuttujan x arvoilla lukujono ln( x),ln(),ln( x ),... on aritmeettinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. b) Millä muuttujan x arvoilla lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. T05

6 Preliminäärikoe Tehtävät B-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / B-osio. Laske tehtävistä B0-B enintään kolme. B0. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat suoralla x pisteissä A (, a) ja B (, a), missä a 0. Toiset kaksi muuta kärkeä ovat pisteissä C ja D käyrällä x y y-akselin oikealla puolella. a) Piirrä huolellinen kuvio tilanteesta. (p) b) Suorakulmio ABCD pyörähtää suoran x ympäri. Muodosta määrätyn integraalin avulla lauseke, jonka avulla syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus V voidaan laskea. (p) c) Määritä luku a siten, että tilavuus V on suurin mahdollinen. Perustele tuloksesi esim. derivaatan avulla. (p) B. Lentokone on etäisyydellä h maapallon pinnan yläpuolella. Osoita, että siihen maasta näkyvän osan pinta-ala saadaan lausekkeesta rh A, missä r on maapallon säde. h r Laske tehtävässä B joko tehtävä I tai II (EI MOLEMPIA!) B/I. Osoita, että luku n n n 9n positiivisilla kokonaisluvuilla n. on jaollinen luvulla kahdeksan kaikilla B/II. Käyrä y x rajoittaa x-akselin kanssa alueen A välillä [,]. a) Laske alueen A pinta-alan tarkka arvo välivaiheet esittäen. (p) b) Laske alueen pinta-alan arvio käyttäen Simpsonin menetelmää ja neljää osaväliä. (p) c) Mikä on arvion prosentuaalinen virhe? (p) x B. a) Osoita, että funktiolla f ( x), x on käänteisfunktio f. x b) Määritä käänteisfunktion derivaatta kohdassa x. c) Osoita, että funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion kuvaaja eivät kohtaa toisiaan. f T05

7 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 A. a) Sievennä. b) Ratkaise yhtälö ( x)( x ). c) Laske dx. x a) Ratkaisu: b) Ratkaisu: ( x)( x ) x x x x x 6 0 x ( ) ( ) ( 6) 5 5 (p) (+p) (p) 5 5 x tai x (+p) c) Ratkaisu: dx x dx / x x (p) / x (+p) Vastaus: a) 7 9 b) x tai x c) V06

8 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 A. a) Määritä viereisen polynomifunktion kuvaajan perusteella b) Määritä funktion c) Ratkaise yhtälö ) funktion derivaatan nollakohdat ) graafisesti derivaatan arvo kohdassa x. f ( x) x x. x x määrittelyjoukko. Ratkaisu: a) ) Derivaatan nollakohdat ovat ne kohdat, missä tangentti on vaakasuora eli tangentin kulmakerroin on nolla. Nollakohdat ovat x tai x. (p) ) Piirretään kohtaan x tangentti ja luetaan kuvasta tangentin kulmakerroin. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo annetussa kohdassa. Siis 8 f '( ) (+p) V06

9 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 b) Funktio x x 0 f ( x) x x on määritelty, kun juurrettava on positiivinen tai nolla. Siis. (p) Nollakohdat: xx 0 x( x) 0 x 0 tai x 0 x0 tai x Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, joten f ( x) x x x x 0 määrittelyjoukko on siis 0 x, kun 0x. Funktion. (+p) c) x x x x x x x Vastaus: a) ) x tai x ) f '( ) b) 0x c) x (p) (+p) A. a) Kartan mittakaava on : 000. Tontin pinta-ala on 000 m. Mikä on tontin pinta-ala tällä kartalla? x x b) Määritä lim. x x c) Asun hinta nousi ensin 0 % ja laski sitten 0 %. Kuinka monta prosenttia asun hinta muuttui yhteensä? Ratkaisu: a) cm kartalla vastaa 0 m todellisuudessa. Täten cm vastaa (0 m) 00 m. Tästä kertomalla luvulla 5 saadaan, että 5cm vastaa 000 m. (p) (+p) b) x x x( x ) x( x)( x) lim lim lim x x x x x ( x) (p) lim( x( x)) ( ) (+p) x V06

10 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 c) Olkoon asun alkuperäinen hinta a. 0 0 Tällöin uusi hinta on ( )( ) 0, a a (p) Joten hinta on alentunut %. (+p) Vastaus: a) 5cm b) c) Alentunut % A. a) Määritä ympyrän Y: x y x y 6 8 keskipiste ja säde. (p) b) Osoita, että piste A (, ) on ympyrällä Y. (p) c) Määritä ympyrälle Y pisteeseen A piirretyn tangentin yhtälö ja piirrä tangentin kuvaaja. (p) Ratkaisu: a) x x y y ( x ) ( y ). (p) Täten ympyrän keskipiste on K (, ) ja säde r. (+p) b) Saadaan ( ) ( ). ( tuli sama tulos kuin rivillä ) (p) c) Pisteiden KA (ympyrän säde) välisen janan kulmakerroin y ( ) kr x Koska ympyrän tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan, niin k tang. k Suoran yhtälö on muotoa y y0 k( x x0) eli y ( x ), josta y x 6. (p) Kuvaaja (p) r (p) Vastaus: a) Ympyrän keskipiste on A (, ) ja säde r c) y x 6 V06

11 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 5 / 5 B-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Kolmion ABC kärkipisteet ovat A (,, ), B (0,,) ja C (,, ). a) Laske sivun AB pituuden tarkka arvo (p) b) Määritä vektorien AC ja BC välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. (p) c) Onko kolmio suorakulmainen? Perustele! (p) Ratkaisu: a) AB (0 ) ( ) ( ). (p) b) AC ( ) i ( ) j ( ) k i j k, BC ( 0) i ( ( )) j ( ) k i 5 j k, AC ( ) 6 BC ( ) 5 ( ) 5 (+p) AC BC ( ) ( ) 5 ( ) (+p) AC BC AC BC cos AC, BC, joten AC BC 6 5, cos ( ) 7, ,0 6 5 (+p) c) Tutkitaan, toteutuuko Pythagoraan lause. Pisin sivu on BC, joten sen pitäisi olla hypotenuusa. AC AB BC Epätosi, joten Pythagoraan lause ei toteudu. Täten kolmio ABC ei voi olla suorakulmainen. (On myös muita tapoja ratkaista tehtävä) (p) (p) Vastaus: a) b) 7,0 c) ei ole B6. Normaalista 5 kortin pakasta on poimittu seuraavat kortit pois: Hertta 0, hertta 9 sekä pata 9 ja pata 8. Nämä neljä korttia sekoitetaan hyvin ja asetetaan satunnaiseen järjestykseen kuvapuoli alaspäin pöydälle. Näistä korteista valitaan umpimähkään kaksi. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa valittujen korttien arvon summan. a) Esitä pylväsdiagrammina tämän satunnaismuuttujan jakauma. b) Määritä satunnaismuuttujan X keskihajonta. Ratkaisu: a) Mahdolliset summat ovat 9, 8 ja 7. V06

12 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 6 / 5 Saadaan jakauma Summa Todennäköisyys 9 P( 9+0 tai 0+9 )= 8 P( 0+8 tai 8+0 tai 9+9 )= 7 P( 9+8 tai 8+9 )= Yhteensä eli OK Oikea idea (p) Taulukko oikein (p) Diagrammi (p) b) Odotusarvo (Voidaan päätellä myös symmetrian avulla) Keskihajonta [(9 8) (8 8) (7 8) ] 0,8 Idea 6 Vastaus (kelpaa myös (p) (+p) ) (+p) Vastaus: 6 0,8 B7. Olkoon funktio f ( x) x 8x 6x x 60. a) Määritä funktion ääriarvokohdat. Esitä perusteluksi kulkukaavio. (p) b) Määritä perustellen kumpi funktion arvoista 9 9 f ( 0 ) vai f ( 0 ) on suurempi? (p) c) Piirrä funktion kuvaajaa valaiseva kuvio. (p) Ratkaisu: a) f x x x x x ( ) f ( x) x x x. (p) V06

13 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 7 / 5 x x x 0 x ( x ) ( x ) 0 x ( x ) 0 x 0 tai x 0 x x 0 tai x tai x x tai x (+p) x, ylöspäin aukeava paraabeli x, nouseva suora f ( x) f( x ) min max min Minimikohdat ovat x ja x, maksimikohta on x. (+p) b) Annetut muuttujan arvot ovat lähellä lukua, mutta sen oikealla puolella. Tällä välillä, funktio f ( x) x 8x 6x x 60 on aidosti vähenevä, (p) joten f ( 0 ) on suurempi kuin f ( 0 ), sillä 0 0. (+p) c) (p) Vastaus: a) Minimikohdat ovat x ja x =, maksimikohta on x = b) f 9 ( 0 ) B8. Määritä käyrälle f ( x) ln x kohtaan x piirretyn tangentin T yhtälö suorituksen välivaiheet esittäen. Osoita, että tangentin T kuvaaja on aina käyrän kuvaajan yläpuolella sivuamispistettä lukuun ottamatta. Ratkaisu: ) Määrittelyjoukko x 0 x. (p) f ( x) ln x ln( x ) ln( x ), x V06

14 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 8 / 5 Derivaatta f ( x) k f () Tangentin T yhtälö on muotoa tan g x x (+p) 5 y ( ln( )) ( x ) y x (+p) ) Väite: x 5 ln x, x Tutkitaan erotusfunktiota E( x) x ln x, x (p) x ln( x ), x x x Derivaatta E( x), x x ( x ) ( x ) ( x ) Derivaatan nollakohta x (on määrittelyjoukossa). (+p) E(,5) ( negat.arvo) ja E() ( posit.arvo) Saadaan oheinen kulkukaavio: E ( x) Ex ( ) Abs.min Täten E() 0 on erotusfunktion pienin arvo. 5 Siten Ex ( ) 0 eli x ln x, x. Yhtä suuruus tapahtuu vain kohdassa x. Vastaus: Tangentin yhtälö 5 y x V06

15 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 9 / 5 B9. a) Millä muuttujan x arvoilla lukujono ln( x),ln(),ln( x ),... on aritmeettinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. b) Millä muuttujan x arvoilla lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. Ratkaisu: a) Lukujono ln( x),ln(),ln( x),... on aritmeettinen, joten peräkkäisten jäsenten erotus (ns. differenssi) on vakio. ln ln x ln( x) ln, x 0 (p) x ln ln x ln ln x x x x x x (+p) Koska x 0, niin vain x käy. (+p) b) Lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen, joten peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. sin x cos x sin xcos x (p) sin x ( p) x n : x n, n (+p) (Kaikki nämä kulmat kelpaavat, sillä tällöin sin x 0 ja cos x 0 eli nimittäjä ei tule nollaksi). Vastaus: a) x b) x n, n V06

16 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 0 / 5 B-osio. Laske tehtävistä B0-B enintään kolme. B0. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat suoralla x pisteissä A (, a) ja B (, a), missä a 0. Toiset kaksi muuta kärkeä ovat pisteissä C ja D käyrällä x y y-akselin oikealla puolella. a) Piirrä huolellinen kuvio tilanteesta. (p) b) Suorakulmio ABCD pyörähtää suoran x ympäri. Muodosta määrätyn integraalin avulla lauseke, jonka avulla syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus V voidaan laskea. (p) c) Määritä luku a siten, että tilavuus V on suurin mahdollinen. Perustele tuloksesi esimerkiksi derivaatan avulla. (p) Ratkaisu: a) b) Piste C a a D a a (, ) ja (, ). Täten pyörähdyssäde r DA a a ( ) 5 (p) Tilavuus a a 0 (p) (5 a ) dy (5 a ) dy symmetrian nojalla. (+p) a a ( Symmetriaa ei vaadita) 5 c) V (5 a ) dy (5 a ) / y (5a 0 a a ) (p) 0 0 a Funktion määrittelyjoukko on avoin väli 0a, sillä annettu paraabeli leikkaa y-akselin kohdassa y. V( a) (5 0a 5 a ),0 a Merkitään b a, joten lauseke 0 (5 6 b b ) 0 ( b )( b 5) Täten V( a) 0 ( a )( a 5),0 a V a a a a a ( ) 0 tai 5 tai 5 V06

17 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Näistä vain a on määrittelyjoukossa. (+p) V(0,5),9...eli posit. arvo ja V(,5) 07,99... eli negat.arvo niin saadaan oheinen kulkukaavio. 0 V (a) + -- V(a) Abs.max Siis a antaa suurimman tilavuuden. (+p) Vastaus: b) V (5a 0a 5 a ),0 a c) a (laskimen käyttö sallitaan koko c) kohdassa) B. Lentokone on etäisyydellä h maapallon pinnan yläpuolella. Osoita, että siihen maasta näkyvän osan pinta-ala saadaan lausekkeesta rh A, missä r on maapallon säde. h r Ratkaisu: Huolellinen kuvio ja selkeät merkinnät. (p+p) Olkoon x pallokalotin korkeus ED x. Kolmiot OAD ja OBA ovat yhdenmuotoiset (kk), sillä DOA AOB on yhteinen ja D A 90. (perustelu oltava ) (+p) Saadaan verranto OA OD r r x, josta OB OA h r r (+p) hr Edelleen r hr r xh xr, josta x h r (+p) hr r h Pallokalotin pinta-ala A rh rx r h r h r (+p) V06

18 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Laske tehtävässä B joko tehtävä I tai II (EI MOLEMPIA!) B/I. Osoita, että luku n n n 9n positiivisilla kokonaisluvuilla n. Ratkaisu: Oletus: Olkoon n on positiivinen kokonaisluku. Väite: Luku n n n 9n on jaollinen luvulla kahdeksan kaikilla on jaollinen luvulla 8. V06

19 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Todistus: Muokataan lukuan n n 9n. Nyt n n n 9n n n n n n n n n n n n n n n (p) Koska n, n, n ja n ovat peräkkäiset kokonaisluvut, niin jokin niistä on jaollinen luvulla. Koska n ja n ovat peräkkäiset kokonaisluvut, niin toinen niistä on jaollinen luvulla. Luku ( n)( n ) on triviaalisti kokonaisluku. (+p) (+p) Täten luku nn n n n n n Täten väite on todistettu. on jaollinen luvulla 8. (+p) B/II. Käyrä y x rajoittaa x-akselin kanssa alueen A välillä [,]. a) Laske alueen A pinta-alan tarkka arvo välivaiheet esittäen. (p) b) Laske alueen pinta-alan arvio käyttäen Simpsonin menetelmää ja neljää osaväliä. (p) c) Mikä on arvion prosentuaalinen virhe? (p) Ratkaisu: a) Koska x 0 aina välillä [,], niin käyrän kuvaaja on x-akselin yläpuolella, joten pinta-ala saadaan määrätystä integraalista. ( ) dx x x dx (p) / x,67999 t. (+p) Integraalifunktio oltava b) Osavälin pituus h. ( ja hyvä aloitus) (+p) Simpsonin arvion mukainen pinta-ala A [ f () f ( ) f ( ) f ( ) f ()]. (+p), l (+p) c) Suhteellinen virhe l t 00 % 0, % 0,0%. t (+p) V06

20 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Vastaus: a) b) Likiarvo l,68798 c) 0,0 % x B. a) Osoita, että funktiolla f ( x), x on käänteisfunktio f. x b) Määritä käänteisfunktion derivaatta kohdassa. c) Osoita, että funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion kuvaajat eivät kohtaa toisiaan. f Ratkaisu: a) x f ( x), x x x(x ) (x ) x x 6x 6x x f '( x) (x ) (x ) (x ) Osamäärä on nolla, jos osoittaja on nolla. Siis D , ei nollakohtia. Kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, joten 6x x 0. 6x x 0 kaikilla x. Ja koska (x ) 0 kaikilla x, niin f( x) 0 kaikilla x. Täten funktio f( x ) on aidosti kasvava ja käänteisfunktio on siten olemassa. (p) (+p) b) x x x x x 0 x(x ) 0 x x 0 tai x Koska x, niin vain juuri x 0 on mahdollinen. (+p) Täten ( f ) ( ). (+p) f (0) 60 0 (0 ) c) Jos funktio ja suora y x eivät leikkaa tai sivua toisiaan, niin funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f kuvaaja eivät kohtaa toisiaan. (p) V06

21 Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 5 / 5 x x x x x 0. Diskriminantti D 0. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten f( x ) ja suora y = x eivät leikkaa tai sivua toisiaan. Täten funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f kuvaaja eivät voi kohdata toisiaan. (+p) Vastaus: b) ( f ) ( ) V06