PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015"

Transkriptio

1 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >. 4 b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä lauseke a a. Anna tulos muodossa p a q.. a) Hinta nousee ensin % ja laskee sitten 4 %. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta kokonaisuudessaan on muuttunut? Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Geometrisen lukujonon kolmas termi on 4,5 ja neljäs termi on 6,75. Määritä jonon ensimmäinen termi. c) Määritä funktion f ( ) = sin välillä π < < 4π olevat nollakohdat. Esitä perustelut. 8. a) Muodosta funktion f ( ) = +, 4 +,, missä, kulkukaavio. Määritä funktion f ( ) pienin arvo. b) Määritä ympyrän 6 6 6y 4y + + = keskipiste ja säde. 4. Viisarikellon minuutti- ja tuntiosoittimien kärkien väli on,5 cm klo. ja,5 cm klo 5.. a) Määritä osoittimien pituudet. b) Kuinka suuri on osoittimien kärkien väli klo 6.? Anna tulos millimetrin tarkkuudella. 5. Tero voittaa Kirstin yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä 5 % ja Kirsti voittaa Teron yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä %, loput pelit päättyvät tasan. Oletetaan, että pelin tulos on riippumaton edellisen pelin tuloksesta. He pelaavat ystävyysturnauksen, jossa turnaus loppuu, kunnes jompikumpi voittaa kaksi peliä. a) Laske todennäköisyys, että pelejä tarvitaan täsmälleen kolme. b) Mikä on todennäköisyys sille, että turnaus ratkeaa viidennessä pelissä Kirstin hyväksi? Anna tulokset prosentin kymmenyksen tarkkuudella. 6. Suunnikkaan ABCD kaksi kärkipistettä ovat B = (,,4) ja D = (6,,). uuur Lävistäjänä on vektori AC = i + j + 6 k. a) Muodosta vektori uuur BD ja laske suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste E. b) Määritä pisteen A koordinaatit. c) Laske suunnikkaan terävän kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella. KÄÄNNÄ!

2 7. Määritä käyrältä y = + ne pisteet, joiden etäisyys suorasta 5 y = on Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on cm. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla. 9. Superpallo pudotetaan,8 metrin korkeudelta lattialle, jolloin pallo alkaa pomppia. Pompun jälkeen pallon maksimikorkeus on pudonnut % edellisestä maksimikorkeudesta. a) Kuinka korkealle pallo pomppaa yhdeksännellä pomppauskerralla? ( p) b) Kuinka monennella kerralla pompun korkeus jää ensimmäisen kerran alle cm:n? (p) c) Muodosta funktio S( ), joka ilmoittaa pallon kulkevan kokonaismatkan, kun (p) pomppuja on kappaletta. Ratkaise yhtälö S( ) =.. Polynomifunktion P( ) toinen derivaatta P ( ) = D( P ( )) = 6 4 ja käyrän y = P( ) kuvaajalle kohtaan = piirretyn tangentin yhtälö on y + =. Laske määrätyn integraalin P( ) d tarkka arvo.. a) Määritä lukujen 86 ja suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. b) Ilmaise suurin yhteinen tekijä lukujen 86 ja lineaarikombinaationa. c) Määritä Diofantoksen yhtälön 86 + y = ne ratkaisut, jotka toteuttavat epäyhtälön + y 5.. Määrätyn integraalin d arvo arvioidaan Simpsonin säännöllä. a) Laske integraalin arvon likiarvo käyttäen neljää osaväliä ja laske suhteellinen virhe prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Kuinka monta jakoväliä n tarvitaan, jotta absoluuttinen virhe olisi korkeintaan? Käytä arviossa taulukkokirjan virhekaavaa 5 ( b a) (4) En f ( t), 4 = missä a < t < b. 8n JATKUU

3 . a) Millä vakion a arvolla funktio 4, kun a f ( ) = on kaikkialla jatkuva a( + ), kun < a ja aidosti vähenevä? b) Millä muuttujan arvoilla sarja + + ( ) + ( ) +... suppenee ja mikä on sarjan summa? 4*. a) Olkoon polynomifunktion P( ) derivaatan nollakohta ja toinen derivaatta P ( ) <. Päättele perustellen onko ääriarvokohta vai ei. Jos on, niin onko mahdollinen ääriarvo maksimi vai minimi. (p) b) Jos funktion y = P( ) toinen derivaatta P ( ) <, niin käyrän sanotaan olevan tässä kohdassa kupera ylöspäin. Vastaavasti, jos P ( ) >, niin käyrän sanotaan olevan kupera alaspäin. Piste, jossa käyrän kuperuussuunta muuttuu, on nimeltään käännepiste. 5 4 Määritä käyrän y = käännepisteet. (p) c) Osoita, että jos kolmannen asteen polynomifunktiolla P( ) = + a + b + c on derivaatan + nollakohdat = ja =, missä, niin funktiolla on käännepiste kohdassa =. (4p) + 4 5*. a) Osoita, että funktio f ( ) = ei saa arvoa. (p) b) Funktio f on aidosti kasvava, jos kaikilla määrittelyjoukon arvoilla a, b pätee: (p) Jos a < b, niin f ( a) < f ( b). Osoita, että funktio f ( n) = n + n, n =,,,... on aidosti kasvava käyttäen tätä määritelmää. c) Funktio f ( t) on kaikkialla jatkuva ja derivoituva sekä funktion arvojoukko on välillä t väli [, ]. Määritä funktion g( ) = [ f ( t)] dt ääriarvokohta. (4p)

4 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka a) Ratkaise epäyhtälö >. 4 b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä lauseke a a. Anna tulos muodossa p a q. Ratkaisu a) Kertomalla :lla saadaan 4 > p > < =.. b) Saadaan + ( ) = p Ratkaisukaavalla ± ( ) 4 ( ) Huom. Vain laskinratkaisu ilman yhtälön kirjoitusta ma p c) = = tai =. a a = ( a a ) p 4 ( a ) a a. = = Huom. Laskinratkaisut hyväksytään kohdissa a) ja c), jos maininta laskimen käytöstä. Vastaus a) < b) = tai = c) a. a) Hinta nousee ensin % ja laskee sitten 4 %. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta kokonaisuudessaan on muuttunut? Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Geometrisen lukujonon kolmas termi on 4,5 ja neljäs termi on 6,75. Määritä jonon ensimmäinen termi. c) Määritä funktion f ( ) = sin välillä π < < 4π olevat nollakohdat. Esitä perustelut. 4 Ratkaisu a) Hinta aluksi a. Hinta muutoksien jälkeen ( + ) ( ),96 a = a p eli 96, % alkuperäisestä hinnasta. Täten hinta alentunut % 96,% =,68%,7 %. Huom. Jos puuttuu a, niin ma p a4 6,75 b) Jonon suhdeluku q = = =,5. p a 4,5

5 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 a 4,5 Ensimmäinen termi a = = =. q,5 Huom. Voidaan edetä myös termi termiltä. c) sin = = n π, n on kokonaisluku. p n π n = π,ei käy n =,ei käy n = π,ei käy n = π,ei käy n = π,käy n = 4 4 π,ei käy Huom. Pelkkä oikea vastaus ma p Vastaus a), 7 % b) a = c) = π Siis ainoa välillä π < < 4π oleva nollakohta on = π. 8. a) Muodosta funktion f ( ) = +, 4 +,, missä, kulkukaavio. Määritä funktion f ( ) pienin arvo. b) Määritä ympyrän 6 6 6y 4y + + = keskipiste ja säde. 8 Ratkaisu a) Derivaatta f ( ) = +,, missä > p Derivaatan nollakohdat 8 =, = 4 ( = ) tai =, joka on välillä >. Kulkukaavio: f () f () Absol. minimi f () =, 6 < ja f () = >. 9 Pienin arvo f () = 8,4. Huom. Derivaatan nollakohta ja pienin arvo voi selvittää myös laskimen avulla. b) y + 4y = : 6 + y + y = 6 ( ) + ( y + ) = ( ) + ( y + ) = 4, josta ympyrän keskipiste (, )

6 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Huom. Neliöksi täydentäminen voidaan myös tehdä laskimen avulla. Vastaus a) f () = 8, 4 b) Keskipiste ja säde 4 =. (, ) ja säde 4. Viisarikellon minuutti- ja tuntiosoittimien kärkien väli on,5 cm klo. ja,5 cm klo 5.. a) Määritä osoittimien pituudet. b) Kuinka suuri on osoittimien kärkien väli klo 6.? Anna tulos millimetrin tarkkuudella. Ratkaisu a) Olkoon minuuttiosoittimen pituus y ja tuntiosoittimen pituus. Klo tilanteesta saadaan yhtälö y =,5 ja klo 5 tilanteesta Pythagoraan lauseen nojalla yhtälö Saadaan + y =,5. p + ( +,5) =,5 + 6 =. ± 4 ( 6) Ratkaisukaavalla saadaan = =,5 tai ( = ). Tuntiosoittimen pituus siis,5 cm ja minuuttiosoittimen, cm. Huom. yhtälöpari/yhtälö voidaan ratkaista myös symbolisella laskimella. jos viisarien pituudet toisinpäin, niin -p b) Klo 6. osoittimien välinen kulma on astetta. o Kosinilauseella saadaan d =,5 +,,5,cos. d Huom.b)-kohta voidaan tehdä myös muistikolmioiden avulla. = 9, 5 d = 9,5 =,48..., cm. Vastaus a) Tuntosoitin,5 cm ja minuuttiosoitin, cm b), cm 5. Tero voittaa Kirstin yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä 5 % ja Kirsti voittaa Teron yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä %, loput pelit päättyvät tasan. Oletetaan, että pelin tulos on riippumaton edellisen pelin tuloksesta. He pelaavat ystävyysturnauksen, jossa turnaus loppuu, kunnes jompikumpi voittaa kaksi peliä. a) Laske todennäköisyys, että pelejä tarvitaan täsmälleen kolme. b) Mikä on todennäköisyys sille, että turnaus ratkeaa viidennessä pelissä Kirstin hyväksi? Anna tulokset prosentin kymmenyksen tarkkuudella. Ratkaisu: a) Tasapelin tn = %. Mahdollisuudet ovat kolme peliä siten, että Kirsti tai Tero voittaa kaksi peliä ja yksi peli on tasapeli tai Kirsti tai Tero voittaa lukemin -. p Koodaus: = Kirsti, y = Tero ja t = tasapeli. Mahdollisuudet ovat t tai t tai tyy tai yty tai y tai y tai yy tai yy. =,, +,5, +,,5 +,,5 =,4 =,4 %.

7 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 b) Kirstin pitää voittaa viides peli. Mahdollisuudet ovat viisi peliä siten, että Kirsti voittaa kaksi ja tulee kolme tasapeliä tai Kirsti voittaa kaksi peliä, tulee kaksi tasapeliä ja Tero voittaa yhden pelin. + t ttt tai ttt tai tttt tai ttt. 4,, =, 4. 4! + t + y tty,,,5 =,6.! Siis kysytty todennäköisyys on, 4 +, 6 =, 59, 6 %. Vastaus: a),4 % b),6 % 6. Suunnikkaan ABCD kaksi kärkipistettä ovat B = (,,4) ja D = (6,,). uuur Lävistäjänä on vektori AC = i + j + 6 k. a) Muodosta vektori uuur BD ja laske suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste E. b) Määritä pisteen A koordinaatit. c) Laske suunnikkaan terävän kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella. Ratkaisu a) uuur BD = (6 ) i + ( ) j + ( 4) k = 4i j + 6 k. p Lävistäjien leikkauspiste E on janan BD keskipiste, joten E = (,, ) = (4,,7). uuur uuur uuur b) Paikkavektori OA = OE + EA uuur uuur 5 = OE AC = 4i + j + 7 k (i + j + 6 k ) = i + j + 4 k. Täten piste A = (,,4). uuur uuur c) Vektori AD = 7i + j + 6k ja AB = i + j. uuur uuur uuur uuur AD AB cos( AD, AB) = uuur uuur AD AB kulma = =, uuur uuur o o ( AD, AB) = cos ( ) = 46, ,5. 8 Huom. c)- kohta voidaan ratkaista myös symbolisella laskimella. uuur Vastaus a) BD = 4i j + 6k, 5 E = (4,,7) b) A = (,, 4) c) 46,5 o

8 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 7. Määritä käyrältä y = + ne pisteet, joiden etäisyys suorasta 5 y = on. 4 4 a + by + c Ratkaisu Käytetään pisteen etäisyys suorasta kaavaa. p a + b Suoran yhtälö saadaan muotoon + 4y + 5 =, joten a = b = c = = y = +, 4, 5, ja. Saadaan Täten + 4( + ) = + + = tai = + + = Edellisestä saadaan ratkaisukaavalla ± = = = ( ) tai. ± ja jälkimmäisestä ratkaisukaavalla = ei ratkaisuja. 4 Vastaavat y-arvot ovat y = ( ) + = ja y = ( ) + =. 4 6 Vastaus a) Huom. Symbolista laskinta saa käyttää yhtälöstä (, ) ja (, ) ( + ) = lähtien. 8. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on cm. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla. Ratkaisu Olkoon suorakulmion kanta, jolloin Pythagoraan lauseen mukaan kolmion korkeus on = 4, missä < <. Huom. Hyväksytään myös väli. p 4 4 ( ) 4, sillä. Kolmion pinta-ala A = = < < 8 4 Derivaatta A ( ) = =, < < Derivaatan nollakohta = ( ) = ( = ) tai ( = ) tai = = 4,. Saadaan kulkukaavio A () + A() Absol. maksimi

9 Ratkaisut MA Preliminääri kevät A () = 9,96 > ja A (6) = <. 99 Vastaus cm Suurin arvo saadaan kohdassa =, jolloin pinta-ala A ( ) =. Huom. Symbolista laskinta saa käyttää derivaatan ja sen nollakohtien määrittämisessä. Voidaan soveltaa myös Fermatin lausetta, jolloin kulkukaaviota ei tarvita. Voidaan tutkia myös sisäfunktiota 4 s( ) = 4, sillä ulkofunktio on aidosti kasvava. 9. Superpallo pudotetaan,8 metrin korkeudelta lattialle, jolloin pallo alkaa pomppia. Pompun jälkeen pallon maksimikorkeus on pudonnut % edellisestä maksimikorkeudesta. a) Kuinka korkealle pallo pomppaa yhdeksännellä pomppauskerralla? ( p) b) Kuinka monennella kerralla pompun korkeus jää ensimmäisen kerran alle cm:n? (p) c) Muodosta funktio S( ), joka ilmoittaa pallon kulkevan kokonaismatkan, kun (p) pomppuja on kappaletta. Ratkaise yhtälö S( ) =. Ratkaisu a) Ensimmäinen pomppaus a = (, ),8 m =,84 m. Toinen pomppaus a,78, = a joten pomppujen korkeus muodostaa geometrisen jonon, jonka suhdeluku q =,78. Joten a n =,84, 78 =,8, 78 a =, 78,8 m =, 99...m cm. p n n 9 9 Huom. a) kohdan ongelman voi ratkaista myös systemaattisesti taulukoimalla n n b) Saadaan yhtälö,8,78 <,,78 < 4 ln( 4 ) n > = ln(, 78) 9,888..., joten n =. Huom. b) kohdan epäyhtälön voi ratkaista myös systemaattisella taulukoinnilla c) Kokonaismatka on. pudotus +. pomppu ylös ja alas eli a ja jne. Siis S( ) =,8 + a + a a = ,8 (,78,8,78,8...,78,8) = Sulkeissa oleva lauseke on geometrinen summa, jonka suhdeluku q =,78.,8 5, 6(, 78, 78..., 78 ), missä yhteenlaskettavia kappaletta.,78 (,78 ) =,8 + 5,6( ), Siten saadaan yhtälö, 78 =, 78 = Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli saa vain positiivisia arvoja. Huom. b) kohdan yhtälön voi ratkaista symbolisella laskimella Jos c)-kohdan vastauksessa likiarvoja, niin ma p b)- kohdan voi myös ratkaista myös systemaattisella taulukoinnilla 46 9 Vastaus a) cm b). kerralla c) S( ) =,78, ei ratkaisua Polynomifunktion P( ) toinen derivaatta P ( ) = D( P ( )) = 6 4 ja käyrän y = P( ) kuvaajalle kohtaan = piirretyn tangentin yhtälö on y + =.

10 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Laske määrätyn integraalin P( ) d tarkka arvo. Ratkaisu P ( ) = P ( ) d = (6 4) d = 4 + C. p P( ) = P ( ) d = ( 4 + C) d = + C + D. Annetun suoran kulmakerroin on, joten P () =. Toisaalta P () =,sillä annettu tangentti kulkee pisteen (,) kautta. Saadaan yhtälöpari 4 + C = C = ja D = + C + D = Polynomifunktio P( ) = + + P( ) d = ( + + ) d Vastaus 4 5 = /( + + ) = =. 4. a) Määritä lukujen 86 ja suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. b) Ilmaise suurin yhteinen tekijä lukujen 86 ja lineaarikombinaationa. c) Määritä Diofantoksen yhtälön 86 + y = ne ratkaisut, jotka toteuttavat epäyhtälön + y 5. Ratkaisu: a) 86 = = 6 + p 6 =. Syt on viimeinen nollasta eroava jakojäännös, ts. syt( 86,) =. b) Toisaalta jakoyhtälöitä kääntäen soveltaen saadaan = 6 = (86 4 ) = 86 = 86 ( ) +. Huom. b)-kohdan lineaariyhdistely ei ole yksikäsitteinen esim. = 86 ( ) c) b )-kohdan vastauksesta nähdään, että = 86 ( ) +, josta kertomalla 5:llä saadaan = 86 ( 5) + 65, joten Diofantoksen yhtälön 86 + y = eräs ratkaisu on = 5, y = 65. ( myös joku muu yksittäisratkaisu käy )

11 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 = 5 + n = 5 + n Kaikki ratkaisut ovat muotoa, n on kokonaisluku. 86 y = 65 n = 65 4n Vaatimus < + y < 5 < 5 n < < n <, < n < 5,55... n = 4 tai n = 5 Täten = ja y = 48 tai = ja y = 5. Vastaus: a) syt( 86,) = b) = 86 ( ) + = ja y = 48 tai = ja y = 5 c). Määrätyn integraalin d arvo arvioidaan Simpsonin säännöllä. a) Laske integraalin arvon likiarvo käyttäen neljää osaväliä ja laske suhteellinen virhe prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Kuinka monta jakoväliä n tarvitaan, jotta absoluuttinen virhe olisi korkeintaan? Käytä arviossa taulukkokirjan virhekaavaa 5 ( b a) (4) En f ( t), 4 = missä a < t < b. 8n Ratkaisu a) Integroimisvälin pituus on =, joten yhden osavälin pituus h = =,5. 4 Olkoon f ( ) = =.,5 d [ f () + 4 f (,5) + f () + 4 f (,5) + f ()] = ( ) =,. 6,5,5 Tarkka-arvo Suhteellinen virhe d = d = / ln = ln (,97...), ln % =,6...%,%. ln Huom. Integraalin tarkan arvon saa ottaa laskimesta. 4 b) f ( t) = t f ( t) = t f ( t) = 4 t f ( t) = t ja (4) 5 neljäs derivaatta f ( t) = 48t on aidosti vähenevä välillä < t <, (5) 4 sillä viides derivaatta f ( t) = < välillä < t <. 6 t

12 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 (4) Täten f ( t) = < = 48, kun < t <. 5 5 t 5 ( ) 8 Saadaan arvio E n < 48 = n 5n Siten n 9, 65, joten tarvitaan osaväliä. 4 5n Huom. Neljännen derivaatan saa ottaa symbolisesta laskimesta. Epäyhtälön saa ratkaista laskimella. Todellisuudessa pienempi osavälien lukumäärä riittää, sillä arvio oli karkea. Vastaus a), ja suhteellinen virhe,% b) osaväliä. a) Millä vakion a arvolla funktio ja aidosti vähenevä? b) Millä muuttujan arvoilla sarja summa? 4, kun a f ( ) = on kaikkialla jatkuva a( + ), kun < a + + ( ) + ( ) +... suppenee ja mikä on sarjan Ratkaisu a) Ylemmän palan kuvaaja on osa laskevaa suoraa, joten se on aidosti vähenevä. Alemman palan kuvaaja on osa suoraa, joka kulmakerroin on a. Täten välttämätön vaatimus, että funktio f ( ) on aidosti vähenevä on a <. p Funktio on triviaalisti jatkuva väleillä > a tai < a, joten funktio f on jatkuva kaikkialla jos se on jatkuva kohdassa = a. Täten lim (4 ) = lim ( a( + )) = f ( a). + a a ± 4 4 ( 4) Saadaan 4 a = a + a a + a 4 = a = a = 5 tai a = + 5. Vain edeltävä arvo toteuttaa vaatimuksen a <. Huom. nollakohdat saa katsoa laskimesta. n b) Jonon yleinen termi an = ( ), n =,,,... eli jono on geometrinen ja. Jonon suhdeluku q =. Oltava q < <, < p Korottamalla neliöön saadaan < <. a Sarjan summa S = = = = =. q Huom. itseisarvoepäyhtälön saa ratkaista symbolisella laskimella Vastaus a) a = 5 b) < ja summa on, < 4*. a) Olkoon polynomifunktion P( ) derivaatan nollakohta ja toinen derivaatta P ( ) <. Päättele perustellen onko ääriarvokohta vai ei. Jos on, niin onko mahdollinen ääriarvo maksimi vai minimi.

13 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 (p) b) Jos funktion y = P( ) toinen derivaatta P ( ) <, niin käyrän sanotaan olevan tässä kohdassa kupera ylöspäin. Vastaavasti, jos P ( ) >, niin käyrän sanotaan olevan kupera alaspäin. Piste, jossa käyrän kuperuussuunta muuttuu, on nimeltään käännepiste. 5 4 Määritä käyrän y = käännepisteet. (p) c) Osoita, että jos kolmannen asteen polynomifunktiolla P( ) = + a + b + c on derivaatan + nollakohdat = ja =, missä, niin funktiolla on käännepiste kohdassa =. (4p) Ratkaisu a) Koska toinen derivaatta saa negatiivisen arvon kohdassa, niin ensimmäinen derivaatta P ( ) on vähenevä kohdassa, joten derivaatan merkki muuttuu positiivisesta nollan kautta negatiiviseksi. Kyseessä on siis maksimikohta. p b) Koska käännepisteessä käyrä ei ole kupera ylöspäin eikä myöskään kupera alaspäin, on käännepiste välttämättä toisen derivaatan nollakohta. p Käännepisteessä toisen derivaatan merkki muuttuu kohtaa ohitettaessa. 5 4 y = y = = 6( + ) = 6( ( + ) ( + )) = 6( )( + ) Toisen derivaatan nollakohta = tai =. Testipisteiden f ( ) = 8 <, f () = 6 < ja f () = 54 > avulla päätellään, että käyrän ainoa käännepiste on kohdassa = y() = 7. c) Derivaatalla on tekijä ( )( ) P ( ) = ( )( ) = +. Joten toinen derivaatta P ( ) = 6. + Nollakohdat: 6 = =. Kyseessä on todella käännekohta, sillä toisen derivaatan kuvaaja on nouseva suora, joten derivaatan merkki vaihtuu negatiivisesta nollan kautta positiiviseksi. Vastaus a) Maksimi b) (, 7) + 4 5*. a) Osoita, että funktio f ( ) = ei saa arvoa. (p) b) Funktio f on aidosti kasvava, jos kaikilla määrittelyjoukon arvoilla a, b pätee: (p) Jos a < b, niin f ( a) < f ( b). Osoita, että funktio f ( n) = n + n, n =,,,... on aidosti kasvava käyttäen tätä määritelmää. c) Funktio f ( t) on kaikkialla jatkuva ja derivoituva sekä funktion arvojoukko on välillä t väli [, ]. Määritä funktion g( ) = [ f ( t)] dt ääriarvokohta. (4p)

14 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Ratkaisu a) Tehdään antiteesi: funktio saa arvon, joten + 4 = = ( ) + =. Tämä on mahdotonta, sillä yhtälön vasen puoli saa vain positiivisia arvoja. Huom. Tehtävän voi tehdä myös funktion kulkua tarkastelemalla. b) Väite: Jos a < b, niin f ( a) f ( b) <. f ( a) f ( b) = a + a b b = ( a b) + ( a b ) = = ( a b) ( a b)( a ab b ) ( a b)( a ab b ) b b = ( a b) ( + ( a + ) + ). 4 b b Tulon ( a b) ( + ( a + ) + ) tekijä a b on oletuksen mukaan negatiivinen, 4 mutta koska toinen tekijä on positiivinen, niin tulo saa vain negatiivisia arvoja. Vastaus c) c) g( ) = [ f ( t)] dt = ( f ( t) + [ f ( t)] ) dt = dt + f ( t) dt [ f ( t)] dt p = /( t + A B), missä A < ja B >, sillä f ( t ) <. ( A ja B äärellisiä lukuja) = + A B (kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli) g ( ) = + A nollakohta = A, joka on maksimikohta. (laskeva suora) Selkeä vastaus Huom. Jatkuvuus ja muut alkuehdot takaavat integraalin ts. se on äärellinen luku. = f ( t) dt maksimikohta f ( t) dt suppenemisen

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Kertauskirja Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA 0 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Tehtäväsarjoja

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten? Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot