PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015"

Transkriptio

1 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >. 4 b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä lauseke a a. Anna tulos muodossa p a q.. a) Hinta nousee ensin % ja laskee sitten 4 %. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta kokonaisuudessaan on muuttunut? Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Geometrisen lukujonon kolmas termi on 4,5 ja neljäs termi on 6,75. Määritä jonon ensimmäinen termi. c) Määritä funktion f ( ) = sin välillä π < < 4π olevat nollakohdat. Esitä perustelut. 8. a) Muodosta funktion f ( ) = +, 4 +,, missä, kulkukaavio. Määritä funktion f ( ) pienin arvo. b) Määritä ympyrän 6 6 6y 4y + + = keskipiste ja säde. 4. Viisarikellon minuutti- ja tuntiosoittimien kärkien väli on,5 cm klo. ja,5 cm klo 5.. a) Määritä osoittimien pituudet. b) Kuinka suuri on osoittimien kärkien väli klo 6.? Anna tulos millimetrin tarkkuudella. 5. Tero voittaa Kirstin yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä 5 % ja Kirsti voittaa Teron yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä %, loput pelit päättyvät tasan. Oletetaan, että pelin tulos on riippumaton edellisen pelin tuloksesta. He pelaavat ystävyysturnauksen, jossa turnaus loppuu, kunnes jompikumpi voittaa kaksi peliä. a) Laske todennäköisyys, että pelejä tarvitaan täsmälleen kolme. b) Mikä on todennäköisyys sille, että turnaus ratkeaa viidennessä pelissä Kirstin hyväksi? Anna tulokset prosentin kymmenyksen tarkkuudella. 6. Suunnikkaan ABCD kaksi kärkipistettä ovat B = (,,4) ja D = (6,,). uuur Lävistäjänä on vektori AC = i + j + 6 k. a) Muodosta vektori uuur BD ja laske suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste E. b) Määritä pisteen A koordinaatit. c) Laske suunnikkaan terävän kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella. KÄÄNNÄ!

2 7. Määritä käyrältä y = + ne pisteet, joiden etäisyys suorasta 5 y = on Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on cm. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla. 9. Superpallo pudotetaan,8 metrin korkeudelta lattialle, jolloin pallo alkaa pomppia. Pompun jälkeen pallon maksimikorkeus on pudonnut % edellisestä maksimikorkeudesta. a) Kuinka korkealle pallo pomppaa yhdeksännellä pomppauskerralla? ( p) b) Kuinka monennella kerralla pompun korkeus jää ensimmäisen kerran alle cm:n? (p) c) Muodosta funktio S( ), joka ilmoittaa pallon kulkevan kokonaismatkan, kun (p) pomppuja on kappaletta. Ratkaise yhtälö S( ) =.. Polynomifunktion P( ) toinen derivaatta P ( ) = D( P ( )) = 6 4 ja käyrän y = P( ) kuvaajalle kohtaan = piirretyn tangentin yhtälö on y + =. Laske määrätyn integraalin P( ) d tarkka arvo.. a) Määritä lukujen 86 ja suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. b) Ilmaise suurin yhteinen tekijä lukujen 86 ja lineaarikombinaationa. c) Määritä Diofantoksen yhtälön 86 + y = ne ratkaisut, jotka toteuttavat epäyhtälön + y 5.. Määrätyn integraalin d arvo arvioidaan Simpsonin säännöllä. a) Laske integraalin arvon likiarvo käyttäen neljää osaväliä ja laske suhteellinen virhe prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Kuinka monta jakoväliä n tarvitaan, jotta absoluuttinen virhe olisi korkeintaan? Käytä arviossa taulukkokirjan virhekaavaa 5 ( b a) (4) En f ( t), 4 = missä a < t < b. 8n JATKUU

3 . a) Millä vakion a arvolla funktio 4, kun a f ( ) = on kaikkialla jatkuva a( + ), kun < a ja aidosti vähenevä? b) Millä muuttujan arvoilla sarja + + ( ) + ( ) +... suppenee ja mikä on sarjan summa? 4*. a) Olkoon polynomifunktion P( ) derivaatan nollakohta ja toinen derivaatta P ( ) <. Päättele perustellen onko ääriarvokohta vai ei. Jos on, niin onko mahdollinen ääriarvo maksimi vai minimi. (p) b) Jos funktion y = P( ) toinen derivaatta P ( ) <, niin käyrän sanotaan olevan tässä kohdassa kupera ylöspäin. Vastaavasti, jos P ( ) >, niin käyrän sanotaan olevan kupera alaspäin. Piste, jossa käyrän kuperuussuunta muuttuu, on nimeltään käännepiste. 5 4 Määritä käyrän y = käännepisteet. (p) c) Osoita, että jos kolmannen asteen polynomifunktiolla P( ) = + a + b + c on derivaatan + nollakohdat = ja =, missä, niin funktiolla on käännepiste kohdassa =. (4p) + 4 5*. a) Osoita, että funktio f ( ) = ei saa arvoa. (p) b) Funktio f on aidosti kasvava, jos kaikilla määrittelyjoukon arvoilla a, b pätee: (p) Jos a < b, niin f ( a) < f ( b). Osoita, että funktio f ( n) = n + n, n =,,,... on aidosti kasvava käyttäen tätä määritelmää. c) Funktio f ( t) on kaikkialla jatkuva ja derivoituva sekä funktion arvojoukko on välillä t väli [, ]. Määritä funktion g( ) = [ f ( t)] dt ääriarvokohta. (4p)

4 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka a) Ratkaise epäyhtälö >. 4 b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä lauseke a a. Anna tulos muodossa p a q. Ratkaisu a) Kertomalla :lla saadaan 4 > p > < =.. b) Saadaan + ( ) = p Ratkaisukaavalla ± ( ) 4 ( ) Huom. Vain laskinratkaisu ilman yhtälön kirjoitusta ma p c) = = tai =. a a = ( a a ) p 4 ( a ) a a. = = Huom. Laskinratkaisut hyväksytään kohdissa a) ja c), jos maininta laskimen käytöstä. Vastaus a) < b) = tai = c) a. a) Hinta nousee ensin % ja laskee sitten 4 %. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta kokonaisuudessaan on muuttunut? Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Geometrisen lukujonon kolmas termi on 4,5 ja neljäs termi on 6,75. Määritä jonon ensimmäinen termi. c) Määritä funktion f ( ) = sin välillä π < < 4π olevat nollakohdat. Esitä perustelut. 4 Ratkaisu a) Hinta aluksi a. Hinta muutoksien jälkeen ( + ) ( ),96 a = a p eli 96, % alkuperäisestä hinnasta. Täten hinta alentunut % 96,% =,68%,7 %. Huom. Jos puuttuu a, niin ma p a4 6,75 b) Jonon suhdeluku q = = =,5. p a 4,5

5 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 a 4,5 Ensimmäinen termi a = = =. q,5 Huom. Voidaan edetä myös termi termiltä. c) sin = = n π, n on kokonaisluku. p n π n = π,ei käy n =,ei käy n = π,ei käy n = π,ei käy n = π,käy n = 4 4 π,ei käy Huom. Pelkkä oikea vastaus ma p Vastaus a), 7 % b) a = c) = π Siis ainoa välillä π < < 4π oleva nollakohta on = π. 8. a) Muodosta funktion f ( ) = +, 4 +,, missä, kulkukaavio. Määritä funktion f ( ) pienin arvo. b) Määritä ympyrän 6 6 6y 4y + + = keskipiste ja säde. 8 Ratkaisu a) Derivaatta f ( ) = +,, missä > p Derivaatan nollakohdat 8 =, = 4 ( = ) tai =, joka on välillä >. Kulkukaavio: f () f () Absol. minimi f () =, 6 < ja f () = >. 9 Pienin arvo f () = 8,4. Huom. Derivaatan nollakohta ja pienin arvo voi selvittää myös laskimen avulla. b) y + 4y = : 6 + y + y = 6 ( ) + ( y + ) = ( ) + ( y + ) = 4, josta ympyrän keskipiste (, )

6 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Huom. Neliöksi täydentäminen voidaan myös tehdä laskimen avulla. Vastaus a) f () = 8, 4 b) Keskipiste ja säde 4 =. (, ) ja säde 4. Viisarikellon minuutti- ja tuntiosoittimien kärkien väli on,5 cm klo. ja,5 cm klo 5.. a) Määritä osoittimien pituudet. b) Kuinka suuri on osoittimien kärkien väli klo 6.? Anna tulos millimetrin tarkkuudella. Ratkaisu a) Olkoon minuuttiosoittimen pituus y ja tuntiosoittimen pituus. Klo tilanteesta saadaan yhtälö y =,5 ja klo 5 tilanteesta Pythagoraan lauseen nojalla yhtälö Saadaan + y =,5. p + ( +,5) =,5 + 6 =. ± 4 ( 6) Ratkaisukaavalla saadaan = =,5 tai ( = ). Tuntiosoittimen pituus siis,5 cm ja minuuttiosoittimen, cm. Huom. yhtälöpari/yhtälö voidaan ratkaista myös symbolisella laskimella. jos viisarien pituudet toisinpäin, niin -p b) Klo 6. osoittimien välinen kulma on astetta. o Kosinilauseella saadaan d =,5 +,,5,cos. d Huom.b)-kohta voidaan tehdä myös muistikolmioiden avulla. = 9, 5 d = 9,5 =,48..., cm. Vastaus a) Tuntosoitin,5 cm ja minuuttiosoitin, cm b), cm 5. Tero voittaa Kirstin yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä 5 % ja Kirsti voittaa Teron yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä %, loput pelit päättyvät tasan. Oletetaan, että pelin tulos on riippumaton edellisen pelin tuloksesta. He pelaavat ystävyysturnauksen, jossa turnaus loppuu, kunnes jompikumpi voittaa kaksi peliä. a) Laske todennäköisyys, että pelejä tarvitaan täsmälleen kolme. b) Mikä on todennäköisyys sille, että turnaus ratkeaa viidennessä pelissä Kirstin hyväksi? Anna tulokset prosentin kymmenyksen tarkkuudella. Ratkaisu: a) Tasapelin tn = %. Mahdollisuudet ovat kolme peliä siten, että Kirsti tai Tero voittaa kaksi peliä ja yksi peli on tasapeli tai Kirsti tai Tero voittaa lukemin -. p Koodaus: = Kirsti, y = Tero ja t = tasapeli. Mahdollisuudet ovat t tai t tai tyy tai yty tai y tai y tai yy tai yy. =,, +,5, +,,5 +,,5 =,4 =,4 %.

7 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 b) Kirstin pitää voittaa viides peli. Mahdollisuudet ovat viisi peliä siten, että Kirsti voittaa kaksi ja tulee kolme tasapeliä tai Kirsti voittaa kaksi peliä, tulee kaksi tasapeliä ja Tero voittaa yhden pelin. + t ttt tai ttt tai tttt tai ttt. 4,, =, 4. 4! + t + y tty,,,5 =,6.! Siis kysytty todennäköisyys on, 4 +, 6 =, 59, 6 %. Vastaus: a),4 % b),6 % 6. Suunnikkaan ABCD kaksi kärkipistettä ovat B = (,,4) ja D = (6,,). uuur Lävistäjänä on vektori AC = i + j + 6 k. a) Muodosta vektori uuur BD ja laske suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste E. b) Määritä pisteen A koordinaatit. c) Laske suunnikkaan terävän kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella. Ratkaisu a) uuur BD = (6 ) i + ( ) j + ( 4) k = 4i j + 6 k. p Lävistäjien leikkauspiste E on janan BD keskipiste, joten E = (,, ) = (4,,7). uuur uuur uuur b) Paikkavektori OA = OE + EA uuur uuur 5 = OE AC = 4i + j + 7 k (i + j + 6 k ) = i + j + 4 k. Täten piste A = (,,4). uuur uuur c) Vektori AD = 7i + j + 6k ja AB = i + j. uuur uuur uuur uuur AD AB cos( AD, AB) = uuur uuur AD AB kulma = =, uuur uuur o o ( AD, AB) = cos ( ) = 46, ,5. 8 Huom. c)- kohta voidaan ratkaista myös symbolisella laskimella. uuur Vastaus a) BD = 4i j + 6k, 5 E = (4,,7) b) A = (,, 4) c) 46,5 o

8 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 7. Määritä käyrältä y = + ne pisteet, joiden etäisyys suorasta 5 y = on. 4 4 a + by + c Ratkaisu Käytetään pisteen etäisyys suorasta kaavaa. p a + b Suoran yhtälö saadaan muotoon + 4y + 5 =, joten a = b = c = = y = +, 4, 5, ja. Saadaan Täten + 4( + ) = + + = tai = + + = Edellisestä saadaan ratkaisukaavalla ± = = = ( ) tai. ± ja jälkimmäisestä ratkaisukaavalla = ei ratkaisuja. 4 Vastaavat y-arvot ovat y = ( ) + = ja y = ( ) + =. 4 6 Vastaus a) Huom. Symbolista laskinta saa käyttää yhtälöstä (, ) ja (, ) ( + ) = lähtien. 8. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on cm. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla. Ratkaisu Olkoon suorakulmion kanta, jolloin Pythagoraan lauseen mukaan kolmion korkeus on = 4, missä < <. Huom. Hyväksytään myös väli. p 4 4 ( ) 4, sillä. Kolmion pinta-ala A = = < < 8 4 Derivaatta A ( ) = =, < < Derivaatan nollakohta = ( ) = ( = ) tai ( = ) tai = = 4,. Saadaan kulkukaavio A () + A() Absol. maksimi

9 Ratkaisut MA Preliminääri kevät A () = 9,96 > ja A (6) = <. 99 Vastaus cm Suurin arvo saadaan kohdassa =, jolloin pinta-ala A ( ) =. Huom. Symbolista laskinta saa käyttää derivaatan ja sen nollakohtien määrittämisessä. Voidaan soveltaa myös Fermatin lausetta, jolloin kulkukaaviota ei tarvita. Voidaan tutkia myös sisäfunktiota 4 s( ) = 4, sillä ulkofunktio on aidosti kasvava. 9. Superpallo pudotetaan,8 metrin korkeudelta lattialle, jolloin pallo alkaa pomppia. Pompun jälkeen pallon maksimikorkeus on pudonnut % edellisestä maksimikorkeudesta. a) Kuinka korkealle pallo pomppaa yhdeksännellä pomppauskerralla? ( p) b) Kuinka monennella kerralla pompun korkeus jää ensimmäisen kerran alle cm:n? (p) c) Muodosta funktio S( ), joka ilmoittaa pallon kulkevan kokonaismatkan, kun (p) pomppuja on kappaletta. Ratkaise yhtälö S( ) =. Ratkaisu a) Ensimmäinen pomppaus a = (, ),8 m =,84 m. Toinen pomppaus a,78, = a joten pomppujen korkeus muodostaa geometrisen jonon, jonka suhdeluku q =,78. Joten a n =,84, 78 =,8, 78 a =, 78,8 m =, 99...m cm. p n n 9 9 Huom. a) kohdan ongelman voi ratkaista myös systemaattisesti taulukoimalla n n b) Saadaan yhtälö,8,78 <,,78 < 4 ln( 4 ) n > = ln(, 78) 9,888..., joten n =. Huom. b) kohdan epäyhtälön voi ratkaista myös systemaattisella taulukoinnilla c) Kokonaismatka on. pudotus +. pomppu ylös ja alas eli a ja jne. Siis S( ) =,8 + a + a a = ,8 (,78,8,78,8...,78,8) = Sulkeissa oleva lauseke on geometrinen summa, jonka suhdeluku q =,78.,8 5, 6(, 78, 78..., 78 ), missä yhteenlaskettavia kappaletta.,78 (,78 ) =,8 + 5,6( ), Siten saadaan yhtälö, 78 =, 78 = Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli saa vain positiivisia arvoja. Huom. b) kohdan yhtälön voi ratkaista symbolisella laskimella Jos c)-kohdan vastauksessa likiarvoja, niin ma p b)- kohdan voi myös ratkaista myös systemaattisella taulukoinnilla 46 9 Vastaus a) cm b). kerralla c) S( ) =,78, ei ratkaisua Polynomifunktion P( ) toinen derivaatta P ( ) = D( P ( )) = 6 4 ja käyrän y = P( ) kuvaajalle kohtaan = piirretyn tangentin yhtälö on y + =.

10 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Laske määrätyn integraalin P( ) d tarkka arvo. Ratkaisu P ( ) = P ( ) d = (6 4) d = 4 + C. p P( ) = P ( ) d = ( 4 + C) d = + C + D. Annetun suoran kulmakerroin on, joten P () =. Toisaalta P () =,sillä annettu tangentti kulkee pisteen (,) kautta. Saadaan yhtälöpari 4 + C = C = ja D = + C + D = Polynomifunktio P( ) = + + P( ) d = ( + + ) d Vastaus 4 5 = /( + + ) = =. 4. a) Määritä lukujen 86 ja suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. b) Ilmaise suurin yhteinen tekijä lukujen 86 ja lineaarikombinaationa. c) Määritä Diofantoksen yhtälön 86 + y = ne ratkaisut, jotka toteuttavat epäyhtälön + y 5. Ratkaisu: a) 86 = = 6 + p 6 =. Syt on viimeinen nollasta eroava jakojäännös, ts. syt( 86,) =. b) Toisaalta jakoyhtälöitä kääntäen soveltaen saadaan = 6 = (86 4 ) = 86 = 86 ( ) +. Huom. b)-kohdan lineaariyhdistely ei ole yksikäsitteinen esim. = 86 ( ) c) b )-kohdan vastauksesta nähdään, että = 86 ( ) +, josta kertomalla 5:llä saadaan = 86 ( 5) + 65, joten Diofantoksen yhtälön 86 + y = eräs ratkaisu on = 5, y = 65. ( myös joku muu yksittäisratkaisu käy )

11 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 = 5 + n = 5 + n Kaikki ratkaisut ovat muotoa, n on kokonaisluku. 86 y = 65 n = 65 4n Vaatimus < + y < 5 < 5 n < < n <, < n < 5,55... n = 4 tai n = 5 Täten = ja y = 48 tai = ja y = 5. Vastaus: a) syt( 86,) = b) = 86 ( ) + = ja y = 48 tai = ja y = 5 c). Määrätyn integraalin d arvo arvioidaan Simpsonin säännöllä. a) Laske integraalin arvon likiarvo käyttäen neljää osaväliä ja laske suhteellinen virhe prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Kuinka monta jakoväliä n tarvitaan, jotta absoluuttinen virhe olisi korkeintaan? Käytä arviossa taulukkokirjan virhekaavaa 5 ( b a) (4) En f ( t), 4 = missä a < t < b. 8n Ratkaisu a) Integroimisvälin pituus on =, joten yhden osavälin pituus h = =,5. 4 Olkoon f ( ) = =.,5 d [ f () + 4 f (,5) + f () + 4 f (,5) + f ()] = ( ) =,. 6,5,5 Tarkka-arvo Suhteellinen virhe d = d = / ln = ln (,97...), ln % =,6...%,%. ln Huom. Integraalin tarkan arvon saa ottaa laskimesta. 4 b) f ( t) = t f ( t) = t f ( t) = 4 t f ( t) = t ja (4) 5 neljäs derivaatta f ( t) = 48t on aidosti vähenevä välillä < t <, (5) 4 sillä viides derivaatta f ( t) = < välillä < t <. 6 t

12 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 (4) Täten f ( t) = < = 48, kun < t <. 5 5 t 5 ( ) 8 Saadaan arvio E n < 48 = n 5n Siten n 9, 65, joten tarvitaan osaväliä. 4 5n Huom. Neljännen derivaatan saa ottaa symbolisesta laskimesta. Epäyhtälön saa ratkaista laskimella. Todellisuudessa pienempi osavälien lukumäärä riittää, sillä arvio oli karkea. Vastaus a), ja suhteellinen virhe,% b) osaväliä. a) Millä vakion a arvolla funktio ja aidosti vähenevä? b) Millä muuttujan arvoilla sarja summa? 4, kun a f ( ) = on kaikkialla jatkuva a( + ), kun < a + + ( ) + ( ) +... suppenee ja mikä on sarjan Ratkaisu a) Ylemmän palan kuvaaja on osa laskevaa suoraa, joten se on aidosti vähenevä. Alemman palan kuvaaja on osa suoraa, joka kulmakerroin on a. Täten välttämätön vaatimus, että funktio f ( ) on aidosti vähenevä on a <. p Funktio on triviaalisti jatkuva väleillä > a tai < a, joten funktio f on jatkuva kaikkialla jos se on jatkuva kohdassa = a. Täten lim (4 ) = lim ( a( + )) = f ( a). + a a ± 4 4 ( 4) Saadaan 4 a = a + a a + a 4 = a = a = 5 tai a = + 5. Vain edeltävä arvo toteuttaa vaatimuksen a <. Huom. nollakohdat saa katsoa laskimesta. n b) Jonon yleinen termi an = ( ), n =,,,... eli jono on geometrinen ja. Jonon suhdeluku q =. Oltava q < <, < p Korottamalla neliöön saadaan < <. a Sarjan summa S = = = = =. q Huom. itseisarvoepäyhtälön saa ratkaista symbolisella laskimella Vastaus a) a = 5 b) < ja summa on, < 4*. a) Olkoon polynomifunktion P( ) derivaatan nollakohta ja toinen derivaatta P ( ) <. Päättele perustellen onko ääriarvokohta vai ei. Jos on, niin onko mahdollinen ääriarvo maksimi vai minimi.

13 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 (p) b) Jos funktion y = P( ) toinen derivaatta P ( ) <, niin käyrän sanotaan olevan tässä kohdassa kupera ylöspäin. Vastaavasti, jos P ( ) >, niin käyrän sanotaan olevan kupera alaspäin. Piste, jossa käyrän kuperuussuunta muuttuu, on nimeltään käännepiste. 5 4 Määritä käyrän y = käännepisteet. (p) c) Osoita, että jos kolmannen asteen polynomifunktiolla P( ) = + a + b + c on derivaatan + nollakohdat = ja =, missä, niin funktiolla on käännepiste kohdassa =. (4p) Ratkaisu a) Koska toinen derivaatta saa negatiivisen arvon kohdassa, niin ensimmäinen derivaatta P ( ) on vähenevä kohdassa, joten derivaatan merkki muuttuu positiivisesta nollan kautta negatiiviseksi. Kyseessä on siis maksimikohta. p b) Koska käännepisteessä käyrä ei ole kupera ylöspäin eikä myöskään kupera alaspäin, on käännepiste välttämättä toisen derivaatan nollakohta. p Käännepisteessä toisen derivaatan merkki muuttuu kohtaa ohitettaessa. 5 4 y = y = = 6( + ) = 6( ( + ) ( + )) = 6( )( + ) Toisen derivaatan nollakohta = tai =. Testipisteiden f ( ) = 8 <, f () = 6 < ja f () = 54 > avulla päätellään, että käyrän ainoa käännepiste on kohdassa = y() = 7. c) Derivaatalla on tekijä ( )( ) P ( ) = ( )( ) = +. Joten toinen derivaatta P ( ) = 6. + Nollakohdat: 6 = =. Kyseessä on todella käännekohta, sillä toisen derivaatan kuvaaja on nouseva suora, joten derivaatan merkki vaihtuu negatiivisesta nollan kautta positiiviseksi. Vastaus a) Maksimi b) (, 7) + 4 5*. a) Osoita, että funktio f ( ) = ei saa arvoa. (p) b) Funktio f on aidosti kasvava, jos kaikilla määrittelyjoukon arvoilla a, b pätee: (p) Jos a < b, niin f ( a) < f ( b). Osoita, että funktio f ( n) = n + n, n =,,,... on aidosti kasvava käyttäen tätä määritelmää. c) Funktio f ( t) on kaikkialla jatkuva ja derivoituva sekä funktion arvojoukko on välillä t väli [, ]. Määritä funktion g( ) = [ f ( t)] dt ääriarvokohta. (4p)

14 Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Ratkaisu a) Tehdään antiteesi: funktio saa arvon, joten + 4 = = ( ) + =. Tämä on mahdotonta, sillä yhtälön vasen puoli saa vain positiivisia arvoja. Huom. Tehtävän voi tehdä myös funktion kulkua tarkastelemalla. b) Väite: Jos a < b, niin f ( a) f ( b) <. f ( a) f ( b) = a + a b b = ( a b) + ( a b ) = = ( a b) ( a b)( a ab b ) ( a b)( a ab b ) b b = ( a b) ( + ( a + ) + ). 4 b b Tulon ( a b) ( + ( a + ) + ) tekijä a b on oletuksen mukaan negatiivinen, 4 mutta koska toinen tekijä on positiivinen, niin tulo saa vain negatiivisia arvoja. Vastaus c) c) g( ) = [ f ( t)] dt = ( f ( t) + [ f ( t)] ) dt = dt + f ( t) dt [ f ( t)] dt p = /( t + A B), missä A < ja B >, sillä f ( t ) <. ( A ja B äärellisiä lukuja) = + A B (kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli) g ( ) = + A nollakohta = A, joka on maksimikohta. (laskeva suora) Selkeä vastaus Huom. Jatkuvuus ja muut alkuehdot takaavat integraalin ts. se on äärellinen luku. = f ( t) dt maksimikohta f ( t) dt suppenemisen

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot