Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö"

Transkriptio

1 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017)

2 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia oli havainto, että erilaisilla toisen asteen käyrillä on yhdistävä geometrinen ominaisuus: ne saadaan kaikki kartioleikkauksina. Tässä luvussa tasotarkastelutkin tehdään tavanomaisessa karteesisessa tasossa kompleksitason asemasta, koska kartioita tietenkin joudutaan käsittelemään kolmiulotteisessa avaruudessa. 6.1 Ellipsi, paraabeli ja hyperbeli Kartioleikkauksia ovat ympyrä, ellipsi, paraabeli ja hyperbeli, jotka pystytään muodostamaan suoran ympyräkartion ja tason leikkauksina R 3 :ssa. Kartioleikkauksien tarkastelu tehdään seuraavassa aliluvussa, kun tässä on ensin määritelty tarvittavat käyrätyypit. Määritelmä 6.1. Ellipsillä tarkoitetaan niiden tason pisteiden uraa (eli joukkoa), joille etäisyyksien summa kiinteistä pisteistä p ja q on näiden pisteiden keskinäistä etäisyyttä suurempi vakio, ts. joukko E on ellipsi, jos on olemassa sellaiset p, q R ja vakio c> p q, että E={ x R x p + x q =c}. Pisteitä p ja q kutsutaan ellipsin E polttopisteiksi. Mahdollinen erikoistapaus on p=q. Tällöin E={ x R x p =c}={ x R x p =c/}, ts. E on ympyrä. Ympyrät ovat siis ellipsejä, mutta ellipsit eivät eivät tietenkään yleisesti ole ympyröitä. Sen sijaan määritelmä kieltää mahdollisuuden p q ja c = p q, jolloin joukon E voidaan osoittaa surkastuvan janaksi. Lause 6.. Olkoon E R ellipsi, jonka polttopisteet sijaitsevat x-akselilla symmetrisesti origon suhteen. Tällöin joillakin a, b>0 pätee E={(x, y) R x a + y b= 1}. Todistus. Oletuksen mukaan ellipsin E polttopisteet ovat p =( t, 0) ja q =(t, 0) jollakin t 0. Merkitään c:llä vakiota, joka on kuten määritelmässä, ts. c> p q = ( t, 0) = t ja E={v R v p + v q =c}. 57

3 58 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Huomataan, että(c/, 0) E, sillä ( c, 0) (t, 0) + (c, 0) ( t, 0) = c t + c + t =( c t)+(c + t)=c. Merkitään a = c/. Havaitaan, että E sisältyy a-sivuiseen neliöön: sillä kaikilla v=(x, y) R pätee E Q ={(x, y) R x a, y a}, v p + (v q = (x t, y) + (x, y) ( t, 0) = (x t, y) + (x+ t, y) max{ x, y }. Kun(x, y) Q, niin (x, y) E (x, y) (t, 0) + (x, y) ( t, 0) =a (x t) + y + (x+ t) + y = a (x t) + y = a (x+ t) + y (x t) + y = 4a 4a (x+ t) + y +(x+ t) + y x xt+ t = 4a 4a (x+ t) + y + x + xt+ t 4a (x+ t) + y = 4a + 4xt ( x t a a=a ) 0 a ((x+ t) + y )=a 4 + a xt+ x t a x + a xt+ a t + a y = a 4 + a xt+ x t (a t )x + a y = a 4 a t = a (a t ) x y a + a t= 1. Merkitään b= a t. Koska a=c/>t, niin 0<b a. Edellinen johto merkitsee, että E {(x, y) R x a +x b = 1} S ={(x, y) R x a, y b}. Erityisesti E siis sisältyy suorakaiteeseen S Q. Huomattakoon myös, että edellisessä johdossa oli vain yksi kohta( ), jossa päättelyssä oli implikaatio ekvivalenssin sijasta. Implikaatio johtui siitä, että yhtälön molemmat puolet korotettiin neliöön, jolloin yhtäpitävyys pätee vain, jos yhtälön puolet ovat samanmerkkiset. Osoitetaan nyt, että samanmerkkisyys todellakin pätee suorakaiteessa S. Kun(x, y) S, niin (x, y) ( t, 0) = (x+ t) + y ( ) (a+t) + b = a + at+ t + a t = a at a + a = a

4 6.1. ELLIPSI, PARAABELI JA HYPERBELI 59 joten a (x+ t) + y 0, mikä osoittaa, että implikaatio kohdassa( ) voidaan korvata ekvivalenssilla. Siis E={(x, y) R x y a+ b= 1}. Huomautus. Janoja origosta pisteisiin(a, 0) ja(0, b) kutsutaan ellipsin puoliakseleiksi. Puoliakselit voitaisiin tietenkin määritellä myös ellipseille, joiden polttopisteet eivät sijaitse symmetrisesti x-akselilla. Ei ole vaikeata osoittaa, että mielivaltaisella ellipsillä on symmetriakeskipiste, joka on polttopisteiden yhdysjanan keskipiste. Ellipsien symmetriaryhmät ovat isomorfisia, jos ellipsit eivät ole ympyröitä. Määritelmä 6.3. Tasokuvio on paraabeli, jos se on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä pisteestä p ja kiinteästä suorasta l, missä oletetaan, että p l. Pistettä p kutsutaan polttopisteeksi) ja suoraa l johtosuoraksi. Lause 6.4. Jos paraabelin P johtosuora on x-akselin suuntainen, niin jollakin a, b, c, a 0, pätee P={(x, y) R ax + bx+ c= y}. Todistus. Olkoon P:n johtosuora l={(x, y) R y=t}, missä t R on vakio, ja P:n polttopiste p=(p 0, p 1 ) R, missä p 1 t. Määritelmästä saadaan missä a= (x, y) P y t = (x p 0 ) +(y p 1 ) y yt+ t =(x p 0 ) +(y p 1 ) y yt+ t = x xp 0 + p 0 + y yp 1 + p 1 y(p 1 t) = yp 1 yt= x xp 0 + p 0 + p 1 t 0 y= x xp 0 + p 0 + p 1 t (p 1 t) 1 (p 1 t), b= p 0 p 1 t ja c= p 0 + p 1 t (p 1 t). = ax + bx+ c, Määritelmä 6.5. Olkoon a ja b kaksi tason R pistettä ja 0<d< a b. Polttopisteiden a ja b sekä erotusparametrin d määräämä hyperbeli on H ={ x R x a x a =d}.

5 60 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET 6. Kartio leikkaa tasoa Määritelmä 6.6. Suora kaksivaippainen ympyräkartio on R 3 :n osajoukko K, jonka määräävät huippu p R 3, huipun kautta kulkeva suora l ja suhde k> 1. Kartio K koostuu niistä pisteistä, joilla etäisyyksien suhde huipusta p ja suorasta l on vakio k. Lause 6.7. Suoran kaksiosaisen ympyräkartion K yhtälö on. asteen polynomiyhtälö muuttujien x 0, x 1 ja x suhteen, kun(x 0, x 1, x ) K. Todistus. Olkoon K suora kaksivaippainen ympyräkartio, jonka huippu p=(p 0, p 1, p ) R 3, määräävä suora on l ja suhde on k> 0. Olkoon s=(s 0, s 1, s ) suoran l suuntavektori, jolle s =1, ts. l={ p+λs λ R}, sillä määritelmän mukaan p l. Merkitään k= 1/ sin α, missä α ]0, π [. Huomataan, että K koostuu niistä pisteistä x=(x 0, x 1, x ), joille suoran l ja janan[p, x] välinen kulma on α, ja lisäksi pisteestä p K. Siis Kun x=(x 0, x 1, x ) R 3, niin K={ x R 3 (p x) s = p x s cos α}. x K (p x) s= p x s cosα =1 (p i x i )s i =cosα (p i x i ) (Molemmat puolet epänegatiivisia) ( s i (x i p i )) = cos α (x i p i ) s i(x i p i ) + s i s j (x i p i )(x j p j )=cos α i,j {0,1,}, i j (s i cos α)(x i p i ) + i,j {0,1,}, i j s i s j (x i p i )(x j p j )=0. (x i p i ) Tämä yhtälö tunnistetaan muodoltaan polynomiyhtälöksi. Lisäksi se on toista astetta, sillä jos s i cos α= 0 jokaisella i {0, 1, }, niin s 0 = s 1 = s = 1/3, sillä s 0 + s 1 + s = 1, mistä seuraa s 0 s 1 = 1/3 0. Lause 6.8. Kun suoraa kaksivaippaista ympyräkartiota leikataan xy-tasolla, niin saadaan kartioleikkaus, jonka yhtälö on toisen asteen muotoa muuttujien x 0 ja x 1 suhteen, ts. jos L on tämä kartioleikkaus, niin missä f on toisen asteen polynomi. L={(x 0, x 1, x ) R 3 f(x 0, x 1 )=0},

6 6.3. TOISEN ASTEEN KÄYRÄN ANALYSOINTI 61 Todistus. Olkoon K kyseinen kartio, jota leikataan xy-tasolla{(x 0, x 1, x ) R 3 x = 0}. Käytetään kartiolle edellisessä todistuksessa johdettua yhtälöä ja sijoitetaan sinne x = 0. Tällöin saadaan missä L=K {(x 0, x 1, 0) (x 0, x 1 ) R }={(x 0, x 1, x ) R 3 f(x 0, x 1 )=0}, f(x 0, x 1 )=(s 0 cos α)(x 0 p 0 ) +(s 1 cos α)(x 1 p 1 ) +(s cos α)(0 p ) + s 0 s 1 (x 0 p 0 )(x 1 p 1 )+s 0 s (x 0 p 0 )(0 p )+s 1 s (x 1 p 1 )(0 p ), joka on korkeintaan toista astetta oleva polynomifunktio muuttujien x 0 ja x 1 suhteen. Jälleen huomataan, että polynomi f on toista astetta, sillä kaikki toisen asteen kertoimet eivät voi hävitä: Jos nimittäin olisi s 0 cos α= s 1 cos α= s 0 s 1 = 0, niin seuraisi s 0 = s 1 = cosα= 0, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että α ]0, π/[. 6.3 Toisen asteen käyrän analysointi Määritelmä 6.9. Polynomikuvaus p R n R on k:nnen asteen muoto(k, n Z + ), jos kaikilla x R n, t R pätee p(tx)=t k p(x). Toisen asteen muotoa kutsutaan neliömuodoksi. Lemma Polynomikuvaus p R R on neliömuoto, jos ja vain jos joillakin kertoimilla a, b, c R pätee, että p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1, kun(x 0, x 1 ) R. Todistus. Oletetaan ensin, että joillakin vakioilla a, b, c R pätee, että p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1, kun(x 0, x 1 ) R. Tällöin kaikilla(x 0, x 1 ) R ja t R on voimassa p(t(x 0, x 1 ))=p(tx 0, tx 1 )=a(tx 0 ) + b(tx 0 )(tx 1 )+c(tx 1 ) = t ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 = t p(x 0, x 1 ). Siis tällainen p on neliömuoto. Olkoon sitten polynomikuvaus p R R mielivaltainen neliömuoto. Oletetaan, että deg(p), ts. kun(x 0, x 1 ) R, niin p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 + dx 0+ ex 1 + f, missä a, b, c, d, e, f R ovat vakioita. Koska p on neliömuoto, niin erityisesti f= p(0, 0)=p(0 (0, 0))=0 p(0, 0)=0.

7 6 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Edelleen joten d=0. Vastaavasti a d=p( 1, 0)=p(( 1)(1, 0))=( 1) p(1, 0)=p(1, 0)=a+d p(0, 1)=p(0, 1) c e=c+ e e=0. Siis p on haluttua muotoa. Todistetaan lopuksi, miksi tapaus deg(p) > on mahdoton. Kirjoitetaan p(x 0, x 1 )= a i,j x0 ixj 1, i,j N missä vain äärellisen moni vakioista a ij eroaa nollasta. Oletetaan vastoin väitettä, että joillakin i, j N a ij 0 ja i+j>. Merkitään Valitaan y=(y 0, y 1 ) R, jolle Merkitään Tällöin kaikilla t R on voimassa n = max{ i+j i, j N, a ij 0}>. p(ty) t n τ = k=0 n = t k k=0 n 1 = t k k=0 n 1 δt k. n k=0 τ= a i,j y i 0 yj 1 0. i,j N, i+j=n δ= a i,j y i 0 yj 1. i,j N, i+j<n i,j N, i+j=k i,j N, i+j=k a i,j (ty 0 ) i (ty 1 ) j t n τ a i,j y i 0 yj 1 tn a ij y i 0 yj 1 i,j N, i+j=k i,j N, i+j=n a ij y i 0 yj 1 Kun t 1, tästä seuraa p(ty) t n τ nδt n 1. Erityisesti kun t max{1, nδ/ τ }, niin p(ty) t n τ nδt n 1 t n τ t n τ /=t n τ / ja p(ty) t n τ +nδt n 1 3t n τ /.

8 6.3. TOISEN ASTEEN KÄYRÄN ANALYSOINTI 63 Mutta tästähän seuraa p(4ty) p(ty) vaikka toisaalta neliömuodolle p saadaan (4t)n τ / 3t n τ / = 4n /3, p(4ty) p(ty) = /4<4 n /3. Tämä on ristiriita, joka osoittaa mahdottomaksi, että p:ssä olisi toista astetta korkeampia termejä. Määritelmä Neliömuoto p R R on indefiniitti, jos se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Jos p ei ole indefiniitti ja p(x) 0, kun x R {0}, niin p on definiitti. Jos p ei ole indefiniitti eikä definiitti, niin se on semidefiniitti. Lause 6.1. Neliömuoto p R R, p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1, on 1) indefiniitti, jos b 4ac> 0, ) semidefiniitti, jos b 4ac= 0 ja 3) definiitti, jos b 4ac< 0. Todistus. Käsitellään ensin erikoistapaus a=c= 0, jolloin p(x 0, x 1 )=bx 0 x 1, kun(x 0, x 1 ) R. Lisäksi saadaan, että b 4ac= b 0. Jos b=0, niin b 4ac= 0 ja p on nollakuvaus, joten se on semidefiniitti. Jos taas b 0 eli b 4ac= b > 0, niin p saa selvästi sekä positiivisia että negatiivisia arvoja eli p on indefiniitti. Oletetaan sitten, että a 0 tai c 0. Tilanteen symmetrisyyden vuoksi voidaan olettaa, että a 0. Tällöin saadaan p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 = a(x 0 + b a x 0x 1 )+cx 1 = a(x 0 + b a x 0x 1 + b 4a x 1 )+cx 1 ab = a(x 0 + b a x 1) + 4ac b x1 4a ( ), 4a x 1 kun(x 0, x 1 ) R. Jaetaan nyt käsittely kolmeen tapaukseen. Oletetaan, että b 4ac< 0, jolloin 4ac b > 0. Lausekkeessa( ) summattavat ovat samanmerkkisiä tai ainakin toinen on nolla. Voidaan olettaa, että a > 0, jolloin p(x 0, x 1 )=a(x 0 + b a x 4ac b 1) + x1. 4a 0 0

9 64 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Tästä muodosta havaitaan, että p(x 0, x 1 )=0, jos ja vain jos a(x 0 + b a x 1) = 0 4ac b x1 4a = 0 Siis tässä tapauksessa p on definiitti. Oletetaan sitten, että b 4ac=0, jolloin x 0 + b a x 1= 0 x 1 = 0 x 0 = 0 x 1 = 0. p(x 0, x 1 )=a(x 0 + b a x 1), kun(x 0, x 1 ) R. Selvästi p ei voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Toisaalta p(x 0, x 1 )=0 x 0 = b a x 1. Siis p on semidefiniitti. Oletetaan lopuksi, että b 4ac> 0. Edelleen kaava( ) on voimassa. Voidaan olettaa, että a>0. Tällöin kaikilla x 0 0 pätee p(x 0, 0)=ax 0 > 0 ja jos(x 0, x 1 ) R, x 1 0, toteuttaa yhtälön x 0 + b a x 1= 0, niin Siis p on idefiniitti. p(x 0, x 1 )= 4ac b x1 4a < 0. Määritelmä Olkoot A, B R. Tasokuviot A ja B ovat yhtenevät, A B, jos on olemassa yhtenevyyskuvaus f R R, jolle B= f[a]. Lause Olkoon C = g 1 {0} toisen asteen käyrä, missä g R R, g(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 + dx 0+ ex 1 + f. Merkitään p:llä vastaavaa neliömuotoa p R R, p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1. Jos p on definiitti tai indefiniitti, niin C p 1 {γ} jollakin vakiolla γ R. Todistus. Osoitetaan, että itse asiassa on olemassa sellainen siirto s t, t=(t 0, t 1 ) R, että s t C p 1 {γ}. Olkoon t=(t 0, t 1 ) R. Kun(x 0, x 1 ) R, niin (g s 1 t)(x 0, x 1 )=(g s t )(x 0, x 1 )=g(x 0 + t 0, x 1 + t 1 ) = a(x 0 + t 0 ) + b(x 0 + t 0 )(x 1 + t 1 )+c(x 1 + t 1 ) + d(x 0 + t 0 )+e(x 1 + t 1 )+f = ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 +(at 0+ bt 1 + d)x 0 +(bt 0 + ct 1 + e)x 1 + at 0 + bt 0t 1 + ct 1 + dt 0+ et 1 + f = p(x 0, x 1 )+(at 0 + bt 1 + d)x 0 +(bt 0 + ct 1 + e)x 1 + p(t 0, t 1 ).

10 6.3. TOISEN ASTEEN KÄYRÄN ANALYSOINTI 65 Siirto s t halutaan valita siten, että at 0 + bt 1 + d=0 ja bt 0 + ct 1 + e=0 eli Tällä yhtälöllä on ratkaisu, koska ( a b b c )(t 0 t 1 )=( d e ). det( a b b c )=4ac b 0, sillä p on definiitti tai indefiniitti. Jos t=(t 0, t 1 ) on tämä ratkaisu, niin kaikilla x=(x 0, x 1 ) R pätee (g s 1 t)(x 0, x 1 )=p(x 0, x 1 )+γ, missä γ= p(t 0, t 1 ). Siis p 1 {γ}=s t [C] C. Lemma Neliömuodon p R R, p(x 0, x 1 )=ax 0 + bx 0x 1 + cx 1 lausekkeella on esitys p(x 0, x 1 )=(x 0 x 1 )( a b/ b/ c )(x 0 x 1 ). Todistus. Todellakin (x 0 x 1 )( a b/ b/ c )(x 0 x 1 )=(x 0 x 1 )( ax 0+ bx1 bx 0 + cx ) 1 = ax0 + bx 0x 1 + bx 0x 1 + cx1 = ax0 + bx 0x 1 + cx1. on Seuraavaksi esitämme joitain aputuloksia lineaarialgebrasta. Fakta: Symmetrisellä n n-matriisilla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Karakteristinen polynomi matriisille ( a b/ b/ c ) a λ b/ b det( )=(a λ)(c λ) b/ c λ 4 = λ (a+c)λ+ac b 4. Tämän polynomin diskriminantti on D=( (a+c)) 4(ac b 4 )=(a c) + b 0.

11 66 LUKU 6. KARTIOLEIKKAUKSET Huomataan, että Tällöin D= 0 a=c, b=0. ( a b/ b/ c )=(a 0 0 a )=ai, missä I on identiteettimatriisi, ja matriisilla on ominaisvektorit (1,0) ja (0,1). Fakta: Symmetrisen n n-reaalimatriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Fakta: Symmetrisen n n-matriisin eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat keskenään kohtisuorassa. Todistus. Olkoon A symmetrinen n n-matriisi, ts. A T = A. Olkoon x ja ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori ja vastaavasti y ominaisarvoa µ vastaava ominaisvektori. Tällöin x T Ay=x T (µy)=µ(x T y) ja Siis x t Ay=(y T Ax) T =(y T (λx)) T = λ(x T y). (µ λ)x T y=0 x T y=0 x ja y ovat kohtisuorassa. Merkitään kiertomatriisia R φ =( cosφ sin φ sin φ cosφ ). Luennoilla esitettiin seuraavien tulosten todistusten hahmotelmat. Lause Olkoon f R R toisen asteen polynomifunktio, jota vastaava neliömuoto on definiitti. Tällöin jokaisella γ R tasa-arvokäyrä f 1 {γ} on joko ellipsi tai piste tahi tyhjä joukko. Lause Olkoon f R R toisen asteen polynomifunktiot, jota vastaava neliömuoto on indefiniitti. Tällöin jokaisella γ R tasa-arvokäyrä f 1 {γ} on joko hyperbeli tai toisiaan leikkaava suorapari. Lause Olkoon f R R toisen asteen polynomifunktiot, jota vastaava neliömuoto on semidefiniitti. Tällöin jokaisella γ R tasa-arvokäyrä f 1 {γ} on joko paraabeli tai suora tai yhdensuuntaisista suorista koostuva suorapari tahi tyhjä joukko.

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa

Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

x = sinu z = sin2u sinv

x = sinu z = sin2u sinv 9. Toisen asteen käyrät ja pinnat 9.1. Käyrän ja pinnan käsitteet 371. Piirrä seuraavat käyrät: { x = cos3t a) y = sin5t, t [0,2π], b) x = cost t y = sint t, t 0. 372. Lausu napakoordinaattikäyrät a) r

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:

Lisätiedot

Vektorilaskenta, tentti

Vektorilaskenta, tentti Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

6 Geometria koordinaatistossa

6 Geometria koordinaatistossa 64 6 Geometria koordinaatistossa Rakentamamme euklidisen tasogeometrian järjestelmä, vaikka se pyrkiikin mallintamaan havaintomaailmaa, on sinänsä abstrakti ja muusta matematiikasta irrallaan. Perusjoukko

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Toisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö

Toisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot