Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit"

Transkriptio

1 Mat-.8 ovlltun matmatiikan rikoistyö Osakindksisidonnaistn joukkovlkakirjojn hinnoittlumallit mu Nyholm (45757F) 3..4

2 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm isällysluttlo JOHDANO... 3 HINNOIELUMALLI ARBIRAAIHINNOIELUN PERIAAE JA OLEUKE...4. MALLI OPIOHINNOIELUMENEELMÄ OLEUKE BLACK & CHOLE BINOMIMALLI MONE CARLO IMULOINI MENEELMIEN VERAILU... 4 YHEENVEO JA JOHOPÄÄÖKE... LÄHDELUEELO

3 ERIKOIYÖ 3(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Johdanto Osakindksisidonnaist joukkovlkakirjat (jatkossa indksilainat) ovat ylnsä pankkin tai muidn rahoituslaitostn liikkll laskmia vlkakirjoja, joidn korkotuotto on sidottu jonkin osak-indksin tuottoon laina-aikana. Yksinkrtaisimmillaan indksilaina toimii sitn, ttä alussa sijoittaja maksaa liikklllaskijall mrkintähinnan, joka koostuu lainapääomasta ja liikklllaskijan prmiosta. Laina-ajan lopussa liikklllaskija palauttaa lainapääoman. Pääoman lisäksi liikklllaskija maksaa sijoittajan pääomall korkoa li tuotto-osuudn sn mukaan, kuinka monta prosnttia osakindksi on laina-aikana noussut. Jos osakindksi on laina-aikana lasknut, niin takaisinmaksttavasta pääomasta vähnntään vastaavasti ngatiivinn tuotto-osuus. Edllisn yksinkrtaisn simrkin lisäksi indksilainoihin liittyy usin suraavia järjstlyitä.. Liikklllaskija takaa tityn vähimmäismäärän palautttavall pääomall riippumatta osakindksin tuotosta (tappiosta).. Osakindksin tuotto määritllään kskiarvona osakindksin arvosta tittyinä laina-ajall määritltyinä arvostushtkinä. Voidaan simrkiksi määritllä, ttä osakindksin tuotto lasktaan käyttän indksin loppuarvona kskiarvoa indksin laina-ajan viimisn vuodn kuukausin viidnsintoista päivin päätöskurssista. 3. Osakindksin tuotoll sovlltaan tuottokrrointa, jolla osakindksin tuottoprosntti krrotaan tuottoosuutta laskttassa. Usin tuottokrrointa sovlltaan ainoastaan osakindksin tuoton ollssa positiivinn. 4. Osakindksi, jonka prustlla indksilainan tuotto määräytyy on notrattu ri valuutassa kuin its joukkovlkakirja. Esimrkiksi indksinä voidaan sovltaa jotain Yhdysvaltalaista osakindksiä, mutta joukkovlkakirjan mrkintähinta makstaan ja pääoma skä tuotto-osuus palauttaan uroina. 5. Indksinä voidaan sovltaa usan osakindksin painotttua kskiarvoa. ijoittajall dllä mainittujn järjstlyidn mukainn indksilaina tarjoaa mahdollisuudn sijoittaa yhtn tai usampaan ulkomaalaisn osakindksiin sitn, ttä sijoittajan mahdollissti kärsimä tappio on rajattu. Liikklllaskijall indksilaina taas tarjoaa mahdollisuudn krätä rahoitusta sijoittajilta skä suojata sijoituksiaan indksin kohtna olvissa instrumntissa. ijoittajan kannalta olnnainn kysymys on: mikä on käypä mrkintähinta indksilainall li kuinka suuri prmio liikklllaskijall kannattaa lainapääoman pääll maksaa. ässä rikoistyössä sittään hinnoittlumalli indksilainoill. Osoittautuu, ttä indksilainojn hinnoittlu palautuu vlkainstrumntin ja osto-option hinnoittluun. yössä tarkastllaan ri Englanninkilisssä kirjallisuudssa käyttään trmjä quity-linkd crtiicat o dposit(cd), quity-linkd guarantd invstmnt crtiicat (ELGIC), quity-linkd dbt, quity-linkd bond riippun vlkainstrumntin luontsta.

4 ERIKOIYÖ 4(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm optiohinnoittlumntlmin sovltuvuutta rityyppistn indksilainojn hinnoittluun. Lisäksi analysoidaan mntlmin sovltamisssa thtyjä oltuksia skä mntlmin hyvyyttä ksknään. Ensimmäisnä indksilainojn ominaisuuksia torttissti analysoivat Edlson ja Cohn (993). ämän jälkn mm. Brooks (996) skä Milvsky ja Kim (997) ovat sittänt hinnoittlumallja järjstlyiltään monimutkaismmill indksilainoill. Hinnoittlumalli. Arbitraasihinnoittlun priaat ja oltukst ässä luvussa sitttävä hinnoittlumalli indksilainall prustuu arbitraasihinnoittlun priaattsn. Määritllään arbitraasi suraavasti: arbitraasi on sijoitusstratgia, joka tuottaa positiivisn kassavirran välittömästi, mutta i ngatiivista kassavirtaa koskaan. Arbitraasi on siis ilmaista rahaa. Arbitraasihinnoittlun priaattssa lähdtään liikkll olttamukssta, ttä toimivilla markkinoilla arbitraasia i siinny. ästä suraa, ttä jos tityn sijoitusinstrumntin hintaa i tunnta, mutta sn tuottamat kassavirrat pystytään täydllissti rplikoimaan sllaisilla instrumntilla, joidn hinta markkinoilla tunntaan, niin rplikoidun instrumntin hinnan tul olla täsmälln sama kuin rplikoivin instrumnttin yhtnlaskttu hinta. Jos näin i olisi, niin ottamalla vastakkaist posititiot rplikoivista ja rplikoidusta instrumntista, sijoittaja voisi muodostaa arbitraasin. Usimmitn arbitraasihinnoittlua sovllttassa i pystytä huomioimaan kaikkia todllisia kustannuksia, jotka sijoittamisn liittyy jo plkästään sn vuoksi, ttä kustannukst ovat rilaisia ri sijoittajill skä vaihtlvat sijoituksn suuruudn ja position mukaan. ämän vuoksi joudutaan tkmään olttamuksia, jotta sittty rplikointistratgia pitää paikkansa. Usimmitn thtävät olttamukst ovat:. ijoittajill i koidu kaupankäynnistä tarkastltavilla instrumntilla transaktiokustannuksia.. Vrosuraamukst sijoittajill ovat samat kaikista tarkastltavista instrumntista koituvill nttovoitoill. 3. ijoittajat pystyvät skä lainaamaan ttä sijoittamaan rahaa riskittömästi samalla riskittömällä korolla. Esittyt olttamukst ovat päralistisia, jos niitä tarkastllaan kaikkin markkinoilla toimivin sijoittajin näkökulmasta. Priaattssa arbitraasihinnoittlun priaattn totutumisn kuitnkin riittää, ttä markkinoilla toimii yksikin sijoittaja, joll sittyt olttamukst ovat voimassa ja joka pyrkii aina tarttumaan siintyviin arbitraasimahdollisuuksiin.. Malli arkastllaan johdannossa sitltyä indksilainaa. Käyttään suraavaa notaatiota: E = indksilainan mrkitty pääoma

5 ERIKOIYÖ 5(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm = indksilainan laina-aika (vuotta) q = indksilainall taattu pääoman palautusprosntti (%) p = tuotto-osuudn tuottokrroin indksin tuoton ollssa positiivinn (ngatiivisll tuotoll ) s = indksin lasknnallinn tuotto (%) = indksin arvo alkuarvon määräytymishtkllä i = indksin arvo arvostushtkllä i = indksin lasknnallinn loppuarvo n = indksin arvostushtkin lukumäärä r = markkinoilla vallitsva riskitön vuotuinn korko lisättynä liikklllaskijan luottoriskiin liittyvällä korkoprmiolla P = indksilainan hinta sijoitttua pääomaa kohdn. Indksilainoill i tyypillissti maksta kuponkimaksuja vaan lainan räpäivänä makstaan sijoittajall kokonaisuudssaan pääoman palautus ja tuotto-osuus. Näin olln indksilainasta muodostuu sijoittajall täsmälln kaksi rillistä kassavirtaa: ngatiivinn kassavirta mrkintähinnan maksamissta ajanhtkllä t = skä positiivinn kassavirta pääoman ja tuotto-osuudn takaisinmaksusta ajanhtkllä t =. Pääomasta indksilainan räpäivänä takaisin maksttava summa RE määräytyy suraavasti: RE = ( q * E, s q s)* E, q s. E, s (-) uotto-osuutna sijoittajall maksttava summa RP on, s RP =. p * s * E, s (-) Indksin lasknnallinn loppuarvo = n i = n i. lasktaan indksin arvostushtkin arvojn kskiarvona: (-3) Indksin lasknnallinn tuotto määritllään lasknnallisn loppuarvon mukaan suraavasti: s =. (-4)

6 ERIKOIYÖ 6(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Kokonaisuudssaan sijoittajall räpäivänä takaisin maksttava summa R voidaan siis kirjoittaa indksin lasknnallisn loppuarvon ja tuottokrtoimn unktiona suraavasti (laskmalla yhtn (-) ja (-) skä sijoittamalla s kaavasta (-4)) : R = ( q * E * E p p * ) * E,, q *, q *. (-5) arkastllaan nsin yksinkrtaista rikoistapausta, jossa tuottokrroin p =. Kuvassa - on sittty indksilainan sijoittajall lainan räpäivänä maksama suhtllinn tuotto (R/E) kaavan (-5) mukaissti kun q = 8%. Kuvan prustlla indksilaina maksaa siis räpäivänä aina vähintäänkin 8 prosnttia pääomasta takaisin. Jos indksin lasknnallinn loppuarvo ylittää 8 prosnttia alkuarvosta, niin suhtllinn tuotto alkaa kasvamaan tasasuhtaissti linaarissti. Jos indksin lasknnallinn loppuarvo ylittää alkuarvon, niin sijoittajall makstaan palauttun pääoman pääll tuotto-osuutta. Edlln kuvassa - on sittty kuinka indksilainan maksama tuotto ajan htkllä t = voidaan rplikoida kaikilla indksin lasknnallisilla loppuarvoilla sijoittamalla laina-ajaksi summa kiintäkorkoisn lainaan vuotuislla korolla r skä ostamalla q * ( r) * E kappaltta osto-optioita, joidn kohd- tuutna on indksin lasknnallinn loppuarvo, totutushintana K = q * ja juoksuaikana laina-aika. E Mrkitään osto-option hintaa symbolilla kassavirrat ajanhtkillä t = ja t =. c q. aulukko - sittää rplikoinnista sijoittajall koituvat aulukko -: Indksilainan rplikoiva sijoitusstratgia (tuottokrroin p=) Instrumntti t = t = Kiintä laina q E ( r) * q * E Osto-optio ( K = q * ) Yhtnsä: E * c - q cq E * ( q ( r) ) E * ( q * E * E,, q * ) < q * q *,, < q * q *

7 ERIKOIYÖ 7(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm.6.4. uhtllinn tuotto: R/E Indksilaina Kiintä laina Osto-optio Indksin lasknnallinn loppu-arvo (*) Kuva -: Indksilainan suhtllinn tuotto räpäivänä (p = ja q =.8) Jos tuottokrroin p poikkaa ykkösstä, niin kaaviosta ja rplikoinnista muodostuu monimutkaismpi. Kuvassa - on sittty simrkit tuottokäyristä, jos tuottokrtoimt ovat.9 ja. ja q = 8%. ällöin indksilaina maksaa dlln räpäivänä vakio 8%:a pääomasta, jos indksin lasknnallinn loppuarvo lask all 8%:iin alkuarvosta. Jos lasknnallinn loppuarvo päätyy välill [8%,%] alkuarvosta, niin indksilaina maksaa vastaavasti 8%:sta %:iin pääomasta. Jos indksin loppuarvo päätyy alkuarvon yläpuolll, niin indksilaina maksaa pääoman kokonaan ja tuotto-osuutta pääll tuottokrtoimn mukaan. Kuvassa tuottokrtoimn vaikutus ilmn sitn, ttä indksilainan käyrät roavat kohd-tuudn arvon jälkn riippun tuottokrtoimsta.

8 ERIKOIYÖ 8(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm uhtllinn tuotto: R/E Kiintä laina Osto-optio (K=.8) Osto-optio (K=.) Osto-optio (K=.) Indksilaina (p=.9) Indksilaina (p=.) Indksin lasknnallinn loppuarvo (* ) Kuva -: Indksilainan suhtllinst tuotot räpäivänä (tuottokrtoimilla p=.9 ja p=. skä q =.8) Koska indksilainan tuottokäyrä koostuu kolmsta rillisstä osasta, niin myös rplikointiin tarvitaan usampia rilaisia instrumnttja. aulukko - sittää kuinka indksilainan kassavirrat ajan htkllä t = voidaan rplikoida kahdlla ri osto-optiolla (totutushinnat q * ja skä hinnat vastaavasti c q ja c ) skä kiintäkorkoislla lainalla. Jos taulukoissa asttaan p=, niin päädytään taulukon - tilantsn kutn luonnollista onkin.

9 ERIKOIYÖ 9(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm aulukko -: Indksilainan rplikoiva sijoitusstratgia Instrumntti t = t = Kiintä laina q E ( r) * q * E Osto-optio ( K = q * ) Osto-optio ( K = ) Yhtnsä: E * c q E ( p ) * * c E *(( p c ) * c q q ( r) ) ( E * ( E ( p ) * q * * ( q * E * E p p ) * E ),, ),, q * < q * q *,,, < < q * < Koska taulukossa - sittty sijoitusstratgia rplikoi täydllissti indksilainan sijoittajall tuottamat kassavirrat kun t >, niin tällöin i-arbitraasia argumnttiin vdotn voidaan todta, ttä sittyn sijoitusstratgian ajanhtkllä t = aihuttama ngatiivinn kassavirta sijoittajall tul olla täsmälln sama kuin sijoittajan indksilainasta maksama hinta. Eli tarkastllun indksilainan hinta P sijoitttua pääomaa kohdn voidaan kirjoittaa: c c q q P = ( p ), (-6) ( r) missä c q = osto-option hinta, jonka kohd-tuutna indksin lasknnallinn loppuhinta, totutushintana q * ja matruritttina, c = osto-option hinta, jonka kohd-tuutna indksin lasknnallinn loppuhinta, totutushintana ja matruritttina. Kaavan (-6) prustlla havaitaan slkästi, ttä indksilainan hinta muodostuu kolmsta komponntista: q prosnttia pääomasta vastaavasta vlkainstrumntin hinnasta, totutushinnaltaan q prosnttia indksin

10 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm alkuarvosta olvan osto-option hinnasta skä totutushinnaltaan indksin alkuarvon suuruisn osto-option hinnasta. Kaavasta (-6) voidaan suoraan luka alaraja indksilainan hinnall q P ( r), (-7) sillä osto-optioidn hinnat ovat aina positiivisia ja totutushinnaltaan suurmman osto-option hinta on aina pinmpi tai yhtä suuri kuin totutushinnaltaan pinmmän option hinta, jos optiot ovat muutn idnttist. c c q ällöin c cq, jolloin myös ( p ) mistä kaava (-7) suoraan suraa. Indksilainan hinnan alaraja on luonnollinn, sillä laina takaa q prosntin palautuksn pääomall kaikissa tilantissa. Edlln kaavasta (-6) ja osto-optioidn ylisistä ominaisuuksista voidaan päätllä, ttä indksilainan hinta nous muidn tkijöidn ollssa nnallaan kun indksin arvo nous tai indksin volatilittti kasvaa. n sijaan korkotason vaikutusta i voida yhtä suoraviivaissti arvioida, sillä muidn tkijöidn ollssa nnallaan korkotason nousu kasvattaa osto-option hintaa, mutta luonnollissti lask vlkainstrumntin hintaa. Eli voidaan ainoastaan todta, ttä indksilaina ragoi korkomuutoksiin laimammin tai päinvastaissti kuin vastaava tavanomainn vlkainstrumntti. Indksilainan rplikoinnissa sovllttavat osto-optiot voivat ominaisuuksiltaan olla suraavanlaisia:. Osto-optiot ovat urooppalaisia optioita li n voidaan totuttaa ainoastaan option juoksuajan lopussa (vrt. amrikkalaist optiot, jotka voidaan totuttaa milloin tahansa option juoksuaikana).. Osto-optiot ovat indksioptioita li niidn kohd-tuutna on yksi tai usampi osakindksi. Optioita, joissa kohd-tuutna on usan instrumntin kskiarvo kutsutaan baskt-optioiksi. 3. Osakindksin kohtna olvat osakkt maksavat osinkoa, jotn osto-optiot ovat optioita osinkoa maksavill kohd-tuuksill. 4. Osto-optioidn arvo totutushtknä määräytyy aritmttisna kskiarvona kohd-tuudn arvosta arvostushtkillä. ällaisia optioita kutsutaan ylissti polkuriippuvaiksiksi ja rityissti aasialaisiksi kskiarvohintaoptioiksi. 5. Osakindksin arvot notrataan ri valuutassa kuin indksilaina. ällöin kysssä on ns. quanto-optio, jossa option tuotto makstaan ri valuutassa kuin sn kohd-tuus notrataan. Arbitraasihinnoittlupriaattn prustlla voitaisiin määrittää indksilainan markkinahinta, jos markkinoilla olisi notratut hinnat dllä kuvatuill osto-optioill. Näin i kuitnkaan ol, jotn ostooptioidn hinnat tul määrittää jollakin torttislla optiohinnoittlumntlmällä. Hull (3) s. 69

11 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm 3 Optiohinnoittlumntlmät Ylisimmät optiohinnoittlussa sovllttavat mntlmät ovat Black & chols malli, binomimalli ja Mont Carlo simulointi. Niidn jokaisn sovltamisssa on omat hyvät ja huonot puolnsa, lisäksi tityill optiotyypill voidaan sovltaa ainoastaan jotakin tai joitakin mntlmistä. Niinpä hinnoittlumntlmä tul valita sovlluskohtsta riippun. Kaikkin lutltujn mntlmin pohjalla on kuitnkin samat oltukst option kohd-tuudn hintaprosssista skä markkinoidn toiminnasta. Niinpä suraavassa käydään nsin läpi mallissa thtävät oltukst, tämän jälkn sitllään lyhysti ri mntlmät ja luvun lopussa analysoidaan mntlmin ominaisuuksia skä sittään mitä mntlmistä tulisi minkäkin tyyppisll indksilainall sovltaa. ässä luvussa noudattaan suraavaa notaatiota: = Option kohd-tuudn hinta = Option totutushtki K = Option totutushinta µ = Kohd-tuudn tuoton odotusarvo σ = Kohd-tuudn volatilittti (ts. σ t on kohd-tuudn tuoton kskihajonta aikavälillä t) r = Markkinoilla vallitsva vakio riskitön vuotuinn jatkuva korko y = Kohd-tuudn vuotuinn osinkotuotto (%) = Johdannaisinstrumntin (option) hinta. 3. Oltukst Ensimmäinn oltus sitttävissä optiohinnoittlumntlmissä on, ttä option kohd-tuudn hinta suraa gomtrista brownin liikttä d = µ dt σdz, (3-) missä dz on Winr-prosssi. Diskrttiaikainn vrsio prosssista voidaan kirjoittaa = µ t σε t, missä ε ~ N(, ) on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jonka oltusarvo on ja kskihajonta. ällöin kohd-tuudn suhtllinn tuotto on myös normaalijakautunut: Kohd-tuudn hinta on ajan unktio li varsinaissti (t), tilan säästämisksi käyttään ylissti. n sijaan käyttään mrkintöjä =() ja =(). Johdannaisinstrumntin hinta on kohd-tuudn hinnan ja ajan unktio li ((t),t), tilan säästämisksi mrkitään plkkä. Jos mrkintää käyttään yksittäisnä arvona johdannaisinstrumntin hinnall, niin tarkoittaan arvoa =((),).

12 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm ~ N( µ t, σ t ) ja dlln Ito:n lmman prustlla kohd-tuudn hinnan logaritmi on normaalijakautunut ln ~ N(ln ( µ σ ) t, σ ), jolloin kohd-tuudn hinnan sanotaan olvan log-normaalijakautunut paramtrilla ovat ajan suhtn vakiot. t ( µ σ ) t ja σ t. Mallissa olttaan, ttä paramtrit µ ja σ Muut mallisssa thtävät oltukst ovat:. Kohd-tuudn lyhyksi myynti on markkinoilla mahdollista.. Kohd-tuudn myynnistä tai ostosta i koidu transaktiokustannuksia tai vrosuraamuksia. 3. Kohd-tuus on täysin jaollinn li sitä voidaan ostaa ja myydä milivaltaisissa määrissä. 4. Kaupankäynti kohd-tuudlla on jatkuvaa. 5. Markkinoilla on mahdollista lainata rahaa skä sijoittaa riskittömään vlkainstrumnttiin vakio riskittömällä korolla. 3. Black & chols Jos kohd-tuudn hinta suraa gomtrista brownin liikttä kutn dllisssä kappalssa sitttiin ja johdannaisinstrumntin hinta on kohd-tuudn hinnan ja ajan unktio, niin Ito:n lmman prustlla d = ( µ σ ) dt σdz. (3-) t Yhtälössä satunnainn trmi on dz li Winr-prosssi. Muodostamalla jokaisna ajanhtknä portolio kohd-tuudsta ja johdannaisinstrumntista sitn, ttä johdannaisia myydään yksi kappaltta ja kohd- tuutta osttaan/myydään -kappaltta saadaan sijoitusstratgia, jossa satunnaistrmit kumoavat toisnsa li portolio on riskitön. Näin muodostttun portolion hinta on P = (3-3) ja hinnan muutos li tuotto on dp = d d. (3-4) ijoittamalla yhtälöt (3-) ja (3-) dllisn saadaan

13 ERIKOIYÖ 3(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm dp = ( µ σ ) dt, (3-5) t joka on riippumaton dz:sta li on riskitön. Nyt arbitraasihinnoittlun priaattn mukaan tämän riskittömän portolion tuotto tarkastltavalla ajanhtkllä tul olla täsmälln sama kuin vastaavan hintaisn riskittömän vlkainstrumntin tuotto portolion hinnan suuruisll pääomall. Näin olln dp = rpdt, (3-6) johon sijoittamalla P :n ja dp :n lauskkt saamm Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälön: r t = r σ. (3-7) ämä osittaisdirntiaaliyhtälö voidaan ratkaista :n suhtn rilaisill johdannaisinstrumntill. aadut ratkaisut riippuvat minkälaisia runahtoja osittaisdirntiaaliyhtälöll asttaan. Esimrkiksi urooppalaisll osto-optioll runahdot ovat (, ) = max( K,) ja (, t) =. Näillä runahdoilla yhtälöll on johdttu analyyttinn ratkaisu ln ( r σ ) r = N( d) K N( d ), d K =, d = d σ σ, (3-8) missä N(x) on standardoidun normaalijakauman kumulatiivinn todnnäköisyysunktio. uurimmall osasta rilaisia johdannaisinstrumnttja ratkaisua i voida johtaa analyyttisna lauskkna vaan joudutaan tyytymään osittaisdirntiaaliyhtälöidn numrisiin ratkaisumntlmiin kutn init dirnc mthod. Indksioptioill: Indksioptioill sovllttassa Black & chols yhtälössä tul huomioida indksin kohtna olvin osakkidn maksamat osingot. Nämä huomioidaan arvioimalla option juoksuaikana indksiin kuuluvin osakkidn maksamin osinkojn arvo Y ja muuntamalla tämä vuotuisksi jatkuvaksi koroksi y indksin Y arvoll. Eli jos optioidn maksamat osingot option juoksuaikana yhtnsä ovat Y, niin y = ln( ). ällöin dllisn kappaln Black & chols yhtälön johdossa kaavassa (3-4) tul huomioida portolion tuotossa osakkidn osinkotuotto dp = d ( d y), (3-9)

14 ERIKOIYÖ 4(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm jolloin Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälö saa muodon r t = ( r y) σ. (3-) Edlln analyyttinn ratkaisu urooppalaisll osto-optioll muuntuu muotoon = ln ( r y σ ) r N( d) K N( d ), d K =, d = d σ y σ. (3-) Quanto-optioill: Quanto-optioiksi kutsutaan optioita, joidn kohd-tuus notrataan ri valuutassa kuin its optio. Quantooptioita hinnoitltassa tul huomioida korrlaatio kohd-tuudn tuoton ja valuuttakurssin välillä. Voidaan osoittaa, ttä tällöin Black & chols yhtälöä johdttassa tul portolion tuottovaatimuksksi (3-6) asttaa riskittömän tuoton sijasta valuuttakurssiriskilllä korjattu tuotto. Olttaan, ttä kohd-tuus notrataan valuutassa A ja johdannaisinstrumntti valuutassa B. Olkoot σ A / B valuuttakurssin (notrattuna x A pr B ) volatilittti ja ρ valuuttakurssin ja kohd-tuudn tuoton välinn korrlaatio. Edlln olkoot riskitön vuotuinn jatkuva korko valuutassa A ja r B riskitön vuotuinn jatkuva korko valuutassa B. ällöin Black & chols yhtälö saa muodon ra r B = ( ra σ t ρσ A / Bσ y), (3-) jolloin urooppalaisll osto-optioll ratkaisu on = * ln ( rb y σ ) r N( d) K N( d ), d K =, d = d σ * y B σ, (3-3) missä y * = rb ra ρσ A / Bσ y. Aasialaisill optioill: Aasialaisia kskiarvohintaoptioita i voida ksaktisti hinnoitlla Black & chols mallin mukaissti, sillä kohd-tuudn arvostushtkin kskiarvohinta i noudata tarkasti log-normaalia jakaumaa, mikä oli yksi Black & chols mallin lähtöoltuksista. Kskiarvohinnan jakaumaa voidaan kuitnkin approksimoida log- Hull (3) s. 499 Hull (3) s. 444

15 ERIKOIYÖ 5(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm normaalilla jakaumalla laskmalla kksiarvohintajakauman kaksi nsimmäistä momnttia ja laskmalla näistä vastaavan log-normaalin jakauman paramtrit odotusarvo ja varianssi. Momntit lasktaan M M = n = ( n n i= ( r y) ti n i n ( r y) ti i= = j< i ( r y) ti ( r y) t j σ ti ), (3-4) missä t i kohd-tuudn arvostushtki. ällöin Black & chols yhtälössä voidaan käyttää suraavia paramtrja = ( r y) M σ = ln M M. (3-5) Baskt-optioill: Baskt-optioksi kutsutaan optioita, joidn kohd-tuutna on usan instrumntin painotttu kskiarvo. Vastaavasti kuin aasialaisilla optioilla, niin myöskään baskt-optiolla usan kohd-tuudn painotttu kskiarvo i noudata täsmällissti log-normaalia jakaumaa. ässäkin tapauksssa approksimatiivinn ratkaisu saadaan muodostttua laskmalla kohd-tuuksin korin hintajakauman kaksi nsimmäistä momnttia ja sovltamalla näitä aasialaistn optioidn tapaan Black & chols yhtälössä. Kohd-tuuksin korill momntit lasktaan M M = = n i= n n ( r yi ) n i= j= i i ( r yi ) j ( r y j ) ρijσiσ j, (3-6) missä i on kohd-tuudn i alkuarvo ja ρ ij on kohd-tuuksin i ja j välinn korrlaatio. 3.3 Binomimalli Binomimallin priaat on täsmälln sama kuin Black & chols yhtälön johtamisssa noudatttu priaat: jokaislla ajanhtkllä muodosttaan riskitön portolio kohd-tuudsta ja johdannaisinstrumntista. Koska portolio on riskitön, niin sn tuotto on arbitraasihinnoittlupriaattn mukaan riskittömän vlkainstrumntin tuotto. Binomimallissa toisin kuin Black & chols yhtälössä porolion tuottoa tarkastllaan diskrttinä ajanhtkinä. Lisäksi kohd-tuudn hintaprosssia tarkastllaan diskrttinä urnbull (99) Hull (3)

16 ERIKOIYÖ 6(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm prosssina, jossa jokaisna ajanhtknä hinta voi nousta vakiokrtoimlla u tai laska vakiokrtoimlla d. Näin olln kohd-tuudn hinnoista voidaan muodostaa kuvassa 3- sittty binomihila. u u = u = ( p r t uu ( p) ud ) uu uu = uu = max( uu K,) ud ud = ud = max( ud K,) = = ( p r t u ( p) d ) u d = d = r t ( p ud ( p) dd ) dd dd = dd = max( dd K,) Kuva 3-: Binomimalli urooppalaisll osto-optioll Olkoot kohd-tuudn hinta htkllä t = ja hilapistidn aikaväli hinta on joko u tai d ja dlln htkllä t. Htkllä t = t kohd-tuudn t = t kohd-tuudn hinta on joko uu, ud tai dd jn. Mrkitään vastaavasti johdannaisinstrumntin hintoja htkllä t = :llä ja htkllä t t d :llä jn. = u :lla tai Muodosttaan htkllä t = portolio kohd-tuudsta ja johdannaissta sitn, ttä myydään yksi johdannainn ja osttaan/myydään k-kappaltta kohd-tuuksia. Valitaan k sitn, ttä portoliosta muodostuu riskitön li portolion arvo pysyy vakiona liikkui kohd-tuudn hinta ylös tai alas. Näin saadaan k:ll hto u ku = d kd. (3-7) Lisäksi vaaditaan arbitraasihinnoittlun priaattsn vdotn, ttä näin muodosttun riskittömän portolion tuoton tul olla riskittömän vlkainstrumntin tuotto samall pääomall. Portolion hinta alussa oli k, jolloin tuotto kohd-tuudn hinnan liikkussa ylös ja vlkainstrumntin tuotto ovat r t u ku = ( k ). (3-8)

17 ERIKOIYÖ 7(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Näin on saatu muodostttua kahdll tuntmattomall k ja kaksi yhtälöä (3-7) ja (3-8), joista ratkaismalla = r t ( p u ( p) d ), p = r t u - d. d (3-9) Edllä sittty logiikka pät binomihilassa yhtälaissti millä tahansa aikavälillä. Kaava (3-9) muodostaa siis binomihilassa palautuskaavan, jolla hilassa voidaan liikkua taakspäin. Näin olln tul nsin määrittää johdannaisinstrumntin arvot hilan lopussa li totutushtkllä t = ja sittn laska hila taakspäin palautuskaavaa sovltan. avanomaisn osto-option hinta totutushtkllä on max( K,) ja myyntioption max( K,). Krtoimt u ja d tul binomimallissa valita sitn, ttä binomihilan muodostama hintaprosssi noudattaa mahdollisimman tarkasti kaavassa (3-) sitttyä gomtrista brownin liikttä. ämä voidaan suorittaa täsmäämällä hintaprosssin odotusarvot ja varianssit. Kaavan (3-) mukaan hinnan odotusarvo htkllä t = t on t µ (i), binomihilassa hinnan odotusarvo taas on pu ( p) d (ii), missä p on todnnäköisyys, ttä hinta nous. Vastaavasti varianssi brownin liikkssä on pu σ t (iii) ja binomihilassa ( p) d ( pu ( p) d) (iv). Yksi hdot (i) = (ii) ja (iii) = (iv) approksimatiivissti totuttava ratkaisu on valita u = d = σ t σ t, (3-) joita nimittään Cox, Ross ja Rubinstinin krtoimiksi niidn kksijöidn mukaan. Yhtnvtona binomihinnoittlumntlmä toimii suraavasti.. Valitaan aika-askl t.. Lasktaan krtoimin u ja d arvot kaavoilla (3-). 3. Muodosttaan kohd-tuudn hinnall binomihila lähtin liikkll kohd-tuudn alkuarvosta. 4. Lasktaan option arvot hilan loppupistissä kysisn johdannaisinstrumntin totutushtkn arvon kaavalla. 5. Lasktaan palautuskaavalla (3-9) option hinta hilan lopusta alkuun, jolloin option hinta on hilan nsimmäisssä solussa. Indksioptioll: Binominallissa indksioptioidn osingot huomioidaan samaan tapaan kuin Black & chols mallissa li muodosttun riskittömän portolion tuoton kaavassa (3-8) huomioidaan osinkotuotto y

18 ERIKOIYÖ 8(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm u r t r y t ku ( ) = k, (3-) jolloin binomihilan palautuskaavaksi saadaan = r t ( p u ( p) d ), p = ( r y) u t - d. (3-) d Quanto-optioll: Myös valuuttakurssiriippuvaistn quanto-optiodn huomioiminn binomimallissa tapahtuu idnttissti Black & chols mallin kanssa. Kaavassa (3-8) tul kohd-tuudll riskittömän tuoton lisäksi vaatia valuuttakurssista aihutuva riskilisä u ku = rb t k ( r ρσ A A / Bσ y) t, (3-3) jolloin binomihilan palautuskaavaksi saadaan = r t B ( p u ( p) d ), p = ( r ρσ / σ y) t A A B u d - d. (3-4) Aasialaisill optioll: Aasialaisia kskiarvohintaoptioita i voida hinnoitlla binomimntlmällä. Baskt-optioill: Priaattssa baskt-optiot voidaan hinnoitlla binomihila-mallilla muodostamalla kolmi- tai usampiulottisia hiloja. ällaisia mallja ovat sittänt mm. Hull ja Whit skä Rubinstin. Käytännössä näidn mallin implmntaatiot ovat niin monimutkaisia, ttä suositltavampaa baskt-optioidn hinnoittlussa on sovltaa sitttyä Black & chols mallin approksimaatioita tai Mont Carlo simulointia. 3.4 Mont Carlo simulointi Mont Carlo simuloinnin johtamisssa sovlltaan riskinutraalin hinnoittlun priaattta. Johdannaisinstrumntill johdtussa Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälössä i siinny kohdtuudn tuoton oltusarvoa dustavaa paramtria µ. Esitttyjn oltustn vallitssa johdannaisintrumntin hinta on siis riippumaton kohd-tuudn tuoton oltusarvosta. n sijaan johdannaisinstrumntin hinta riippuu kohd-tuudn alkuhinnasta, totutushinnasta, volatilittistä ja riskittömästä korosta. Näistä mikään i ol riippuvainn sijoittajan riskiprrnssistä li johdannaisinstrumntin hinta on täysin riippumaton Hull (994) Rubinstin (994)

19 ERIKOIYÖ 9(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm sijoittajan riskiprrnssistä. ällöin sijoittajan hyötyunktion muodolla i ol vaikutusta johdannaisinstrumntin hintaan, jotn hyötyunktioksi voidaan valita linaarinn unktio, jolloin sijoittaja on riskinutraali. ijoittajan riskinutralittistä suraa, ttä sijoittajan sijoituksll vaatima tuotto on vakio riippumatta sijoituksn liittyvästä riskistä li sijoittajan tuottovaatimuksna voidaan sovltaa riskitöntä korkoa. anotaan, ttä tällöin sijoituskohtita tarkastllaan riskinutraalissa maailmassa. Mont Carlo simuloinnissa prusajatuksna on simuloida kohd-tuudn hintaprosssia riskinutraalissa maailmassa ja simulointin prustlla laska stimaatti johdannaisinstrumntin tuottamill kassavirroill riskinutraalissa maailmassa. ämän jälkn stimaatit diskontataan johdannaisinstrumntin alkupäivään, jolloin tämä muodostaa arbitraasihinnoittlun prustlla hinnan johdannaisinstrumntill riskinutraalissa maailmassa ja koska tarkastltavan johdannaisinstrumntin hinta i ol riippuvainn riskiprrnssistä, niin sama hinta pät myös todllisssa maailmassa. Mont Carlo simuloinnissa kohd-tuudn hinnan olttaan noudattavan gomtrista Brownin liikttä riskinutraalissa maailmassa d = rdt σdz, (3-5) missä dz on standardi winr-prosssi, r on riskitön vuotuinn jatkuva korko ja σ on kohd-tuudn vuotuinn volatilittti. ämä on yhtäpitävää suraavan diskrtin prosssin kanssa (vrt. kappal 3.) σ ( t t) = ( t) * xp ( r ) t σε t, (3-6) missä ε ~ N(,) on satunnaismuuttuja standardoidusta normaalijakaumasta. Kaavalla (3-6) voidaan simuloida kohd-tuudn hintaprosssia riskinutraalissa maailmassa. avanomaisll urooppalaisll osto-optioll Mont Carlo -simulointiprosssi tn suraavasti.. imuloidaan kaavalla (3-36) kohd-tuudn hinnat t aikavälill t = ja t = askllla. Lasktaan simuloitujn hintojn prustlla johdannaisinstrumntin htkllä t = tuottama kassavirta c. avanomaisll osto-optioill c = max( K,). 3. Lasktaan johdannaisinstrumntin hinta diskonttaamalla instrumntin tuottama kassavirta htkn t = r riskittömällä korolla = c. Laittaan laskttu muistiin. 4. oisttaan asklt 3 m-krtaa. 5. Lasktaan osto-option hinnan stimaatti kohdassa 3 laskttujn osto-option hintojn kskiarvona: m ˆ = * i = i. m 95%:n luottamusväli dllä kuvatulla mnttlyllä lasktull option hinnall on t.

20 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm s s ˆ.96ˆ.96ˆ < c < ˆ m, (3-7) m missä ŝ on option hintojn i kski-hajonta stimaatista ). Indksioptioill: Indksioptioilla kohd-tuudn hintaprosssissa riskinutraalissa maailmassa huomioidaan indksin kohtna olvin osakkidn osinkotuotto y, jolloin simuloinnissa sovllttava asklunktio saa muodon σ ( t t) = ( t) *xp ( r y ) t σε t. (3-8) Quanto-optioill: Vastaavasti quanto-optioilla kohd-tuudn hintaprosssissa riskinutraalissa maailmassa huomioidaan valuuttakurssiriskin aihuttama tuottovaatimuksn lisä. ällöin simuloinnissa sovlltaan asklunktiota σ ( t t) = ( t) *xp ( ra ρσ A / Bσ y ) t σε t (3-9) ja johdannaisn tuotto diskontataan korolla r. B Aasialaisill optioill: Aasialaistn kskiarvohinta optioidn hinnoittlu Mont Carlo simuloinnissa onnistuu yksinkrtaissti. Valitaan simulointiaskl t sitn, ttä kohd-tuudll saadaan arvot kaikilla arvostuhtkillä ja lasktaan jokaislla simulointikirrokslla kohd-tuudn lasknnallinn loppuhinta arvostuhtkin arvojn kksiarvona. Muutn simulointi suorittaan kutn dllä on sittty. Ensimmäisnä Mont Carlo - simulointimallin aasialaisill optioill sittivät Kmma ja Vorst (99). Baskt-optioill: Myös baskt-optioidn hinnoittlu Mont Carlo simuloinnilla onnistuu yksinkrtaissti. n sijaan, imuloidaan vuorotlln jokaislla simulointiaskllla kaikkin kohd-tuuksin hinnat omina hintaprosssina. imuloitassa on huomioitava kohd-tuuksin välinn korrlaatio. imuloinnissa käytttävin normaalijakautunidn satunnaismuuttujin korrlaatioidn tul vastata kohd-tuuksin korrlaatioita raalimaailmassa. Korrloitunidn satunnaismuuttujin gnrointi voidaan totuttaa simrkiksi Cholsky hajotlmalla.

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

Variations on the Black-Scholes Model

Variations on the Black-Scholes Model Variations on th Black-Schols Mol Sovlltun matmatiikan jatko-opintosminaari 6.9 Koh-tuus maksaa osinkoja avoittna on tarkastlla tilantita, joissa B&S yhtälö i ol riittävä sllaisnaan (sim. option koh-tuus

Lisätiedot

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa. / ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia

Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia Solmu 2/2015 1 Arvioita karaktrisummill: Pólya-Vinogradovin päyhtälö ja sn parannuksia Jss Jääsaari Matmatiikan ja tilastotitn laitos, Hlsingin yliopisto Johdanto Alkuluvut ovat analyyttisn lukutorian

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1) 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:

Lisätiedot

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28) .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

Valuuttariskit ja johdannaiset

Valuuttariskit ja johdannaiset Valuuttariskit ja johdannaiset Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Sosiaali- ja terveysjohtamisen laitos, kansantaloustiede Lähde: Hull, Options, Futures, & Other

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN,

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset

Lisätiedot

12. Korkojohdannaiset

12. Korkojohdannaiset 2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd .* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma

Lisätiedot

Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK)

Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK) Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagntismi, LuTK) Näytä tai jätä tarkistttavaksi tämän jakson pakollist thtävät viimistään

Lisätiedot

SAMPO PANKKI KORKO-OBLIGAATIO 1609: KORKOKAULURI XV

SAMPO PANKKI KORKO-OBLIGAATIO 1609: KORKOKAULURI XV Danske Bank Oyj, www.danskebank.fi SAMPO PANKKI KORKO-OBLIGAATIO 1609: KORKOKAULURI XV Tietoa lainasta: Lainan liikkeeseenlaskija: Danske Bank Oyj Lainan ISIN-koodi: FI4000050000 KORKOKAULURI XV Viiden

Lisätiedot

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta) ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva

Lisätiedot

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2)

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Sovelletun matematiikan jatko-opintoseminaari Johdannaissopimushinnoittelun matemaattinen mallinnus ja laskennalliset menetelmät Johdanto TkT Juho Kanniainen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 2. harjoitus, (p 4.11.2016) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn

Lisätiedot

Strukturoitujen Sijoitustuotteiden Sanastoa

Strukturoitujen Sijoitustuotteiden Sanastoa Strukturoitujen Sijoitustuotteiden Sanastoa Arvostuspäivä on ajankohta, jonka mukaan lähtö- ja loppuarvo määritetään. Allokaatio Eri arvopaperilajien pidemmälle aikavälille määritetty suhteellinen osuus

Lisätiedot

Tutkimus. Obaman tukipaketilla takaisin kasvuun

Tutkimus. Obaman tukipaketilla takaisin kasvuun Suhdat ja rahoitusmarkkinat rityistma Tutkimus 9 Lisätitoja: konomisti Pasi Kuoamäki, asikuoamaki@samoankkifi, Obaman tukiaktilla takaisin kasvuun Maailmaalous on vajonnut taaumaan, joka on ahimia sittn

Lisätiedot

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä ... /, t,.. OSATIH Rauhankatu 0070 Puhlin SELOSTE 90-8 /97 AURA UKS E N METSÄMAAN T HELSINKI 7 YÖ V A I KE US T ~ K I J ÖI S T Ä TTS-METSÄ-ÄESTÄ KÄYTETTÄESSÄ Mtsätho kräsi syksyllä 97 Thdaspuu Oy:n aikatutkimusainistoa

Lisätiedot

ABSORBOIVIEN MATERIAALIEN JA REIKÄLEVYJEN SKAALAUS 1 JOHDANTO 2 PERUSSKAALAUS Z A =, (1) A KANAVAÄÄNENVAIMENTIMIEN PIENOISMALLEIHIN

ABSORBOIVIEN MATERIAALIEN JA REIKÄLEVYJEN SKAALAUS 1 JOHDANTO 2 PERUSSKAALAUS Z A =, (1) A KANAVAÄÄNENVAIMENTIMIEN PIENOISMALLEIHIN BSORBOIVIEN MTERILIEN J REIKÄLEVYJEN SKLUS KNVÄÄNENVIMENTIMIEN PIENOISMLLEIHIN So Uosukainn 1), Hikki Isomoisio 1), Jukka Tanttari 1), Esa Nousiainn 2) 1) VTT PL 1, 244 VTT tunimi.sukunimi@vtt.fi 2) Wärtsilä

Lisätiedot

Copyright (C) 2012 Matias Savolainen & Marko Kaarto

Copyright (C) 2012 Matias Savolainen & Marko Kaarto Asunto 400 000 Pankista lainaa 200 000 Pankista lainaa 200 000 Omaa rahaa 100 000 Copyright (C) 2012 Matias Savolainen & Asunto 400 000 Omaa rahaa 100 000 + 100 000 = 200 000 Pankista lainaa 200 000 Pankista

Lisätiedot

Faustmannin (1849) kiertoaikamalli on yksinkertaisin

Faustmannin (1849) kiertoaikamalli on yksinkertaisin Mtsätitn aikakauskirja 3/1999 Titn tori Olli Tahvonn Faustmannin kirtoaikamallista ja sn ylistyksistä m t a Johdanto Faustmannin (1849) kirtoaikamalli on yksinkrtaisin mahdollinn kuvaus taloudllissti thokkaasta

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS

TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS 1. SOVELTAMISALA JA VIRANOMAISET 1.1. Sovltamisala Maankäyttö ja raknnuslaissa ja astuksssa olvin skä muidn maan käyttämistä ja rakntamista koskvin säännöstn ja määräystn

Lisätiedot

Tampere Seinäjoki-radan nopeuden nosto MELUSELVITYS

Tampere Seinäjoki-radan nopeuden nosto MELUSELVITYS Tampr Sinäjoki-radan nopudn nosto Ratahallintokskus Tampr Sinäjoki-radan nopudn nosto () ESIPUHE Tämä työ on thty Sito Oy:ssä Ratahallintokskuksn toimksiannosta. Työn tarkoituksna oli tutkia mluslvityksn

Lisätiedot

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

5. Omat rahat, yrityksen rahat

5. Omat rahat, yrityksen rahat 5. Omat rahat, yrityksn rahat Matmaattist aint Intgraatio: yhtiskuntaoppi Tässä jaksossa Palkka, palkkakustannukst Budjtti, budjtointi Kannattavuus, tulos Hinnoittlu, hinta Osio 5/1 Matmaattist aint 5.

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

This watermark does not appear in the registered version - http://www.clicktoconvert.com. Hedgehog Oy:n Rapidfire-pääomalaina

This watermark does not appear in the registered version - http://www.clicktoconvert.com. Hedgehog Oy:n Rapidfire-pääomalaina Hedgehog Oy:n Rapidfire-pääomalaina Sisältö Lyhyt lainaesite Hedgehog Oy Rapidfire lainaehdot Rapidfire testaus Miten Rapidfireen voi sijoittaa Yhteystiedot ã 2004 Hedgehog Oy E Koskinen / 2 Rapidfire-pääomalaina

Lisätiedot

Korkojen aikarakenne

Korkojen aikarakenne Korkojen aikarakenne opetusnäyte: osa kuvitteellista Raha- ja pankkiteorian aineopintojen kurssia Antti Ripatti Taloustiede 4.11.2011 Antti Ripatti (Taloustiede) Korkojen aikarakenne 4.11.2011 1 / 30 2003),

Lisätiedot

JHS 185 Asemakaavan pohjakartan laatiminen Liite 2 Asemakaavan pohjakartan kohdemalli

JHS 185 Asemakaavan pohjakartan laatiminen Liite 2 Asemakaavan pohjakartan kohdemalli JUHTA - Julkisn hallinnon titohallinnon nuvottlukunta JHS 185 Asmakaavan pohjakartan laatiminn Liit 2 Asmakaavan pohjakartan kohdmalli Vrsio: 1.0 / 20.3.2013 Julkaistu: 2.5.2014 Voimassaoloaika: toistaisksi

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Kirjanpito ja laskentatoimi A-osa

Kirjanpito ja laskentatoimi A-osa 1. Arvon määritys a) Mitkä tekijät vaikuttavat osto- ja myyntioptioiden arvoon ja miten? b) Yrityksen osingon oletetaan olevan ensi vuonna 3 euroa per osake ja osinkojen uskotaan kasvavan 6 % vuosivauhtia.

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia. SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(6) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio Johdannaisanalyysi Contingent Claims Analysis Juha Leino 11.10.2000 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Oletukset Yritys tuottaa tuotetta, jonka hinta on x x noudattaa geometrista Brownin liikettä

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

e n 4πε S Fysiikka III (Est) 2 VK

e n 4πε S Fysiikka III (Est) 2 VK S-11.137 Fysiikka III (Est) VK 7.5.009 1. Bohrin vtyatomimallissa lktronilla voi olla vain tittyjä nopuksia. Johda kaava sallituill nopuksill, ja lask sn avulla numrinn arvo suurimmall mahdollisll nopudll.

Lisätiedot

Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt

Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt Tässä jaksossa käsitllään vaihtovirtapiirjä. Mukana on skä sarjapiirjä ttä linaaripiirjä. Sarjapiirilaskut ovat hkä hlpompia, sillä virta

Lisätiedot

1 Sovelluksia. Sovelluksia 1

1 Sovelluksia. Sovelluksia 1 Sovelluksia 1 1 Sovelluksia 1.1 Tausta ja tärkeimpiä määritelmiä Kalvo 1 Aloitetaan tutustumaan luennolla tarkasteltaviin prosesseihin. Tarkempia selityksiä, esimerkiksi Brownin liikkestä, löytyy kertauksesta,

Lisätiedot

Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa

Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa AB30A0101 Finanssi-investoinnit 4. harjoitukset 7.4.015 Tehtävä 4.1 45 päivän kuluttua erääntyvälle, nimellisarvoltaan 100 000 euron sijoitustodistukselle maksettava vuosikorko on 3,0 %. Jos viitekorko

Lisätiedot

Kiinteistökohtaista jätevesineuvontaa Vantaanjoen valuma-alueen kunnille

Kiinteistökohtaista jätevesineuvontaa Vantaanjoen valuma-alueen kunnille iintistökohtaista jätvsinuvontaa antaanjon valuma-alun kunnill mu Haapala, irs Lah, anna Laakso, Larissa Rimpiläinn, nni orhonn, Hanna uominn ja sko ärklä Rapor /0 annn kuva: ari ännynsalo kijät Otsikko

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien

Lisätiedot

Pisto- ja viiltotapaturmien ehkäisy ja terävien instrumenttien hävittäminen

Pisto- ja viiltotapaturmien ehkäisy ja terävien instrumenttien hävittäminen Ohj (7) Pisto- ja viiltotapaturmin hkäisy ja trävin instrumnttin hävittäminn ohj kunnan sosiaali- ja trvydnhuollon yksiköill..206 alkan Trävän instrumntin aihuttama pisto- tai viiltotapaturma on yksi tyypillisimmistä

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

16.10.2007 ASUNTOYHTIÖN TALOUSSUUNNITELMA RS-järjestelmä 1(5) URAKAT YHTEENSÄ, euroa. Arvio, euroa. Muut maapohjakustannukset, euroa.

16.10.2007 ASUNTOYHTIÖN TALOUSSUUNNITELMA RS-järjestelmä 1(5) URAKAT YHTEENSÄ, euroa. Arvio, euroa. Muut maapohjakustannukset, euroa. -järjstlmä 1(5) Asunto-osakyhtiö As Oy Hlsingin Gunillankartano, Hlsinki Prustajaosakas Raknnuskartio Oy (01899-0) Rakntaja (pääurakoitsija) Raknnuskartio Oy (01899-0) HANKINTA RAKENNUS- A. URAKAT KOKONAISURAKKA,

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 7 Swap sopimuksista lisää

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 7 Swap sopimuksista lisää Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 7 Swap sopimuksista lisää 1. Pankki swapin välittäjänä Yleensä 2 eri-rahoitusalan yritystä eivät tee swap sopimusta keskenään vaan pankin tai yleensäkin

Lisätiedot

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan

Lisätiedot

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoitukset Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset,

Lisätiedot

Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS

Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS VALTIOKONTTORI Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS 2004 Valtionvelka VALTIOKONTTORI SISÄLLYSLUETTELO 36 Valtionvelan korot 3 36.01 Euromääräisen velan korko 6 36.03 Valuuttamääräisen velan korko 7 36.09

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

STRUKTUROIDUT LAINAT SIJOITUSKOHTEENA. Mika Vaihekoski 1

STRUKTUROIDUT LAINAT SIJOITUSKOHTEENA. Mika Vaihekoski 1 STRUKTUROIDUT LAINAT SIJOITUSKOHTEENA Mika Vaihekoski 1 Viime vuosina pankit ovat alkaneet tarjota yhä enemmän sijoittajille ns. strukturoituja lainoja. Yleisölle lainat ovat ehkä tutumpia pääomasuojattuina

Lisätiedot

Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä

Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä Uskottavuusperusteisten luottamusvlien korjaaminen bootstrap-menetelmllpro gradu -esitelm p. 1/35 Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä 29.4.2009

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Miten tunnistat mutkikkaan sijoitustuotteen?

Miten tunnistat mutkikkaan sijoitustuotteen? Miten tunnistat mutkikkaan sijoitustuotteen? Sijoitus-Invest 2013 Finanssivalvonta Suomen rahoitus- ja vakuutusvalvontaviranomainen Valvoo mm. pankkeja, vakuutus- ja eläkeyhtiöitä, sijoituspalveluyrityksiä,

Lisätiedot

Mandatum Hellen ja Mandatum Pyrrha Indeksilainat. Merkintäaika: 21.5. 14.6.2007

Mandatum Hellen ja Mandatum Pyrrha Indeksilainat. Merkintäaika: 21.5. 14.6.2007 Indeksilainat Merkintäaika: 21.5. 14.6.2007 Osakemarkkinatuottoa pääomaturvatusti - Mandatum Yksityispankki tuo markkinoille kaksi uutta indeksilainaa, joiden avulla sijoittaja voi hyötyä pääomaturvatusti

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen

Lisätiedot

Sauvaelementti hum

Sauvaelementti hum Sauvalmntti hum.9. Yhdn solmuvapausastn sauvalmntti akastllaan kuvan mukaista sauvalmnttiä. Sauvan vasmmassa päässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja vastaavasti oikassa päässä lokaalisolmu

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

Korkomarkkinoiden erityispiirteet

Korkomarkkinoiden erityispiirteet Korkomarkkinoiden erityispiirteet - markkinoiden hinnoittelema talouskehitys / trading korkomarkkinoilla www.operandi.fi Rahoitusriskien hallinnan asiantuntijayritys esityksen rakenne I. peruskäsitteitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

YHDISTYKSEN RISKILUOKITUS SIJOITTAJAN APUNA

YHDISTYKSEN RISKILUOKITUS SIJOITTAJAN APUNA YHDISTYKSEN RISKILUOKITUS SIJOITTAJAN APUNA SUOMEN STRUKTUROITUJEN SIJOITUSTUOTTEIDEN YHDISTYS RY Jaana Immonen 7.2.2012 Hieman historiaa maailman ensimmäinen osakeindeksiobligaatio laskettiin liikkeeseen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot