Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit"

Transkriptio

1 Mat-.8 ovlltun matmatiikan rikoistyö Osakindksisidonnaistn joukkovlkakirjojn hinnoittlumallit mu Nyholm (45757F) 3..4

2 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm isällysluttlo JOHDANO... 3 HINNOIELUMALLI ARBIRAAIHINNOIELUN PERIAAE JA OLEUKE...4. MALLI OPIOHINNOIELUMENEELMÄ OLEUKE BLACK & CHOLE BINOMIMALLI MONE CARLO IMULOINI MENEELMIEN VERAILU... 4 YHEENVEO JA JOHOPÄÄÖKE... LÄHDELUEELO

3 ERIKOIYÖ 3(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Johdanto Osakindksisidonnaist joukkovlkakirjat (jatkossa indksilainat) ovat ylnsä pankkin tai muidn rahoituslaitostn liikkll laskmia vlkakirjoja, joidn korkotuotto on sidottu jonkin osak-indksin tuottoon laina-aikana. Yksinkrtaisimmillaan indksilaina toimii sitn, ttä alussa sijoittaja maksaa liikklllaskijall mrkintähinnan, joka koostuu lainapääomasta ja liikklllaskijan prmiosta. Laina-ajan lopussa liikklllaskija palauttaa lainapääoman. Pääoman lisäksi liikklllaskija maksaa sijoittajan pääomall korkoa li tuotto-osuudn sn mukaan, kuinka monta prosnttia osakindksi on laina-aikana noussut. Jos osakindksi on laina-aikana lasknut, niin takaisinmaksttavasta pääomasta vähnntään vastaavasti ngatiivinn tuotto-osuus. Edllisn yksinkrtaisn simrkin lisäksi indksilainoihin liittyy usin suraavia järjstlyitä.. Liikklllaskija takaa tityn vähimmäismäärän palautttavall pääomall riippumatta osakindksin tuotosta (tappiosta).. Osakindksin tuotto määritllään kskiarvona osakindksin arvosta tittyinä laina-ajall määritltyinä arvostushtkinä. Voidaan simrkiksi määritllä, ttä osakindksin tuotto lasktaan käyttän indksin loppuarvona kskiarvoa indksin laina-ajan viimisn vuodn kuukausin viidnsintoista päivin päätöskurssista. 3. Osakindksin tuotoll sovlltaan tuottokrrointa, jolla osakindksin tuottoprosntti krrotaan tuottoosuutta laskttassa. Usin tuottokrrointa sovlltaan ainoastaan osakindksin tuoton ollssa positiivinn. 4. Osakindksi, jonka prustlla indksilainan tuotto määräytyy on notrattu ri valuutassa kuin its joukkovlkakirja. Esimrkiksi indksinä voidaan sovltaa jotain Yhdysvaltalaista osakindksiä, mutta joukkovlkakirjan mrkintähinta makstaan ja pääoma skä tuotto-osuus palauttaan uroina. 5. Indksinä voidaan sovltaa usan osakindksin painotttua kskiarvoa. ijoittajall dllä mainittujn järjstlyidn mukainn indksilaina tarjoaa mahdollisuudn sijoittaa yhtn tai usampaan ulkomaalaisn osakindksiin sitn, ttä sijoittajan mahdollissti kärsimä tappio on rajattu. Liikklllaskijall indksilaina taas tarjoaa mahdollisuudn krätä rahoitusta sijoittajilta skä suojata sijoituksiaan indksin kohtna olvissa instrumntissa. ijoittajan kannalta olnnainn kysymys on: mikä on käypä mrkintähinta indksilainall li kuinka suuri prmio liikklllaskijall kannattaa lainapääoman pääll maksaa. ässä rikoistyössä sittään hinnoittlumalli indksilainoill. Osoittautuu, ttä indksilainojn hinnoittlu palautuu vlkainstrumntin ja osto-option hinnoittluun. yössä tarkastllaan ri Englanninkilisssä kirjallisuudssa käyttään trmjä quity-linkd crtiicat o dposit(cd), quity-linkd guarantd invstmnt crtiicat (ELGIC), quity-linkd dbt, quity-linkd bond riippun vlkainstrumntin luontsta.

4 ERIKOIYÖ 4(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm optiohinnoittlumntlmin sovltuvuutta rityyppistn indksilainojn hinnoittluun. Lisäksi analysoidaan mntlmin sovltamisssa thtyjä oltuksia skä mntlmin hyvyyttä ksknään. Ensimmäisnä indksilainojn ominaisuuksia torttissti analysoivat Edlson ja Cohn (993). ämän jälkn mm. Brooks (996) skä Milvsky ja Kim (997) ovat sittänt hinnoittlumallja järjstlyiltään monimutkaismmill indksilainoill. Hinnoittlumalli. Arbitraasihinnoittlun priaat ja oltukst ässä luvussa sitttävä hinnoittlumalli indksilainall prustuu arbitraasihinnoittlun priaattsn. Määritllään arbitraasi suraavasti: arbitraasi on sijoitusstratgia, joka tuottaa positiivisn kassavirran välittömästi, mutta i ngatiivista kassavirtaa koskaan. Arbitraasi on siis ilmaista rahaa. Arbitraasihinnoittlun priaattssa lähdtään liikkll olttamukssta, ttä toimivilla markkinoilla arbitraasia i siinny. ästä suraa, ttä jos tityn sijoitusinstrumntin hintaa i tunnta, mutta sn tuottamat kassavirrat pystytään täydllissti rplikoimaan sllaisilla instrumntilla, joidn hinta markkinoilla tunntaan, niin rplikoidun instrumntin hinnan tul olla täsmälln sama kuin rplikoivin instrumnttin yhtnlaskttu hinta. Jos näin i olisi, niin ottamalla vastakkaist posititiot rplikoivista ja rplikoidusta instrumntista, sijoittaja voisi muodostaa arbitraasin. Usimmitn arbitraasihinnoittlua sovllttassa i pystytä huomioimaan kaikkia todllisia kustannuksia, jotka sijoittamisn liittyy jo plkästään sn vuoksi, ttä kustannukst ovat rilaisia ri sijoittajill skä vaihtlvat sijoituksn suuruudn ja position mukaan. ämän vuoksi joudutaan tkmään olttamuksia, jotta sittty rplikointistratgia pitää paikkansa. Usimmitn thtävät olttamukst ovat:. ijoittajill i koidu kaupankäynnistä tarkastltavilla instrumntilla transaktiokustannuksia.. Vrosuraamukst sijoittajill ovat samat kaikista tarkastltavista instrumntista koituvill nttovoitoill. 3. ijoittajat pystyvät skä lainaamaan ttä sijoittamaan rahaa riskittömästi samalla riskittömällä korolla. Esittyt olttamukst ovat päralistisia, jos niitä tarkastllaan kaikkin markkinoilla toimivin sijoittajin näkökulmasta. Priaattssa arbitraasihinnoittlun priaattn totutumisn kuitnkin riittää, ttä markkinoilla toimii yksikin sijoittaja, joll sittyt olttamukst ovat voimassa ja joka pyrkii aina tarttumaan siintyviin arbitraasimahdollisuuksiin.. Malli arkastllaan johdannossa sitltyä indksilainaa. Käyttään suraavaa notaatiota: E = indksilainan mrkitty pääoma

5 ERIKOIYÖ 5(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm = indksilainan laina-aika (vuotta) q = indksilainall taattu pääoman palautusprosntti (%) p = tuotto-osuudn tuottokrroin indksin tuoton ollssa positiivinn (ngatiivisll tuotoll ) s = indksin lasknnallinn tuotto (%) = indksin arvo alkuarvon määräytymishtkllä i = indksin arvo arvostushtkllä i = indksin lasknnallinn loppuarvo n = indksin arvostushtkin lukumäärä r = markkinoilla vallitsva riskitön vuotuinn korko lisättynä liikklllaskijan luottoriskiin liittyvällä korkoprmiolla P = indksilainan hinta sijoitttua pääomaa kohdn. Indksilainoill i tyypillissti maksta kuponkimaksuja vaan lainan räpäivänä makstaan sijoittajall kokonaisuudssaan pääoman palautus ja tuotto-osuus. Näin olln indksilainasta muodostuu sijoittajall täsmälln kaksi rillistä kassavirtaa: ngatiivinn kassavirta mrkintähinnan maksamissta ajanhtkllä t = skä positiivinn kassavirta pääoman ja tuotto-osuudn takaisinmaksusta ajanhtkllä t =. Pääomasta indksilainan räpäivänä takaisin maksttava summa RE määräytyy suraavasti: RE = ( q * E, s q s)* E, q s. E, s (-) uotto-osuutna sijoittajall maksttava summa RP on, s RP =. p * s * E, s (-) Indksin lasknnallinn loppuarvo = n i = n i. lasktaan indksin arvostushtkin arvojn kskiarvona: (-3) Indksin lasknnallinn tuotto määritllään lasknnallisn loppuarvon mukaan suraavasti: s =. (-4)

6 ERIKOIYÖ 6(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Kokonaisuudssaan sijoittajall räpäivänä takaisin maksttava summa R voidaan siis kirjoittaa indksin lasknnallisn loppuarvon ja tuottokrtoimn unktiona suraavasti (laskmalla yhtn (-) ja (-) skä sijoittamalla s kaavasta (-4)) : R = ( q * E * E p p * ) * E,, q *, q *. (-5) arkastllaan nsin yksinkrtaista rikoistapausta, jossa tuottokrroin p =. Kuvassa - on sittty indksilainan sijoittajall lainan räpäivänä maksama suhtllinn tuotto (R/E) kaavan (-5) mukaissti kun q = 8%. Kuvan prustlla indksilaina maksaa siis räpäivänä aina vähintäänkin 8 prosnttia pääomasta takaisin. Jos indksin lasknnallinn loppuarvo ylittää 8 prosnttia alkuarvosta, niin suhtllinn tuotto alkaa kasvamaan tasasuhtaissti linaarissti. Jos indksin lasknnallinn loppuarvo ylittää alkuarvon, niin sijoittajall makstaan palauttun pääoman pääll tuotto-osuutta. Edlln kuvassa - on sittty kuinka indksilainan maksama tuotto ajan htkllä t = voidaan rplikoida kaikilla indksin lasknnallisilla loppuarvoilla sijoittamalla laina-ajaksi summa kiintäkorkoisn lainaan vuotuislla korolla r skä ostamalla q * ( r) * E kappaltta osto-optioita, joidn kohd- tuutna on indksin lasknnallinn loppuarvo, totutushintana K = q * ja juoksuaikana laina-aika. E Mrkitään osto-option hintaa symbolilla kassavirrat ajanhtkillä t = ja t =. c q. aulukko - sittää rplikoinnista sijoittajall koituvat aulukko -: Indksilainan rplikoiva sijoitusstratgia (tuottokrroin p=) Instrumntti t = t = Kiintä laina q E ( r) * q * E Osto-optio ( K = q * ) Yhtnsä: E * c - q cq E * ( q ( r) ) E * ( q * E * E,, q * ) < q * q *,, < q * q *

7 ERIKOIYÖ 7(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm.6.4. uhtllinn tuotto: R/E Indksilaina Kiintä laina Osto-optio Indksin lasknnallinn loppu-arvo (*) Kuva -: Indksilainan suhtllinn tuotto räpäivänä (p = ja q =.8) Jos tuottokrroin p poikkaa ykkösstä, niin kaaviosta ja rplikoinnista muodostuu monimutkaismpi. Kuvassa - on sittty simrkit tuottokäyristä, jos tuottokrtoimt ovat.9 ja. ja q = 8%. ällöin indksilaina maksaa dlln räpäivänä vakio 8%:a pääomasta, jos indksin lasknnallinn loppuarvo lask all 8%:iin alkuarvosta. Jos lasknnallinn loppuarvo päätyy välill [8%,%] alkuarvosta, niin indksilaina maksaa vastaavasti 8%:sta %:iin pääomasta. Jos indksin loppuarvo päätyy alkuarvon yläpuolll, niin indksilaina maksaa pääoman kokonaan ja tuotto-osuutta pääll tuottokrtoimn mukaan. Kuvassa tuottokrtoimn vaikutus ilmn sitn, ttä indksilainan käyrät roavat kohd-tuudn arvon jälkn riippun tuottokrtoimsta.

8 ERIKOIYÖ 8(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm uhtllinn tuotto: R/E Kiintä laina Osto-optio (K=.8) Osto-optio (K=.) Osto-optio (K=.) Indksilaina (p=.9) Indksilaina (p=.) Indksin lasknnallinn loppuarvo (* ) Kuva -: Indksilainan suhtllinst tuotot räpäivänä (tuottokrtoimilla p=.9 ja p=. skä q =.8) Koska indksilainan tuottokäyrä koostuu kolmsta rillisstä osasta, niin myös rplikointiin tarvitaan usampia rilaisia instrumnttja. aulukko - sittää kuinka indksilainan kassavirrat ajan htkllä t = voidaan rplikoida kahdlla ri osto-optiolla (totutushinnat q * ja skä hinnat vastaavasti c q ja c ) skä kiintäkorkoislla lainalla. Jos taulukoissa asttaan p=, niin päädytään taulukon - tilantsn kutn luonnollista onkin.

9 ERIKOIYÖ 9(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm aulukko -: Indksilainan rplikoiva sijoitusstratgia Instrumntti t = t = Kiintä laina q E ( r) * q * E Osto-optio ( K = q * ) Osto-optio ( K = ) Yhtnsä: E * c q E ( p ) * * c E *(( p c ) * c q q ( r) ) ( E * ( E ( p ) * q * * ( q * E * E p p ) * E ),, ),, q * < q * q *,,, < < q * < Koska taulukossa - sittty sijoitusstratgia rplikoi täydllissti indksilainan sijoittajall tuottamat kassavirrat kun t >, niin tällöin i-arbitraasia argumnttiin vdotn voidaan todta, ttä sittyn sijoitusstratgian ajanhtkllä t = aihuttama ngatiivinn kassavirta sijoittajall tul olla täsmälln sama kuin sijoittajan indksilainasta maksama hinta. Eli tarkastllun indksilainan hinta P sijoitttua pääomaa kohdn voidaan kirjoittaa: c c q q P = ( p ), (-6) ( r) missä c q = osto-option hinta, jonka kohd-tuutna indksin lasknnallinn loppuhinta, totutushintana q * ja matruritttina, c = osto-option hinta, jonka kohd-tuutna indksin lasknnallinn loppuhinta, totutushintana ja matruritttina. Kaavan (-6) prustlla havaitaan slkästi, ttä indksilainan hinta muodostuu kolmsta komponntista: q prosnttia pääomasta vastaavasta vlkainstrumntin hinnasta, totutushinnaltaan q prosnttia indksin

10 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm alkuarvosta olvan osto-option hinnasta skä totutushinnaltaan indksin alkuarvon suuruisn osto-option hinnasta. Kaavasta (-6) voidaan suoraan luka alaraja indksilainan hinnall q P ( r), (-7) sillä osto-optioidn hinnat ovat aina positiivisia ja totutushinnaltaan suurmman osto-option hinta on aina pinmpi tai yhtä suuri kuin totutushinnaltaan pinmmän option hinta, jos optiot ovat muutn idnttist. c c q ällöin c cq, jolloin myös ( p ) mistä kaava (-7) suoraan suraa. Indksilainan hinnan alaraja on luonnollinn, sillä laina takaa q prosntin palautuksn pääomall kaikissa tilantissa. Edlln kaavasta (-6) ja osto-optioidn ylisistä ominaisuuksista voidaan päätllä, ttä indksilainan hinta nous muidn tkijöidn ollssa nnallaan kun indksin arvo nous tai indksin volatilittti kasvaa. n sijaan korkotason vaikutusta i voida yhtä suoraviivaissti arvioida, sillä muidn tkijöidn ollssa nnallaan korkotason nousu kasvattaa osto-option hintaa, mutta luonnollissti lask vlkainstrumntin hintaa. Eli voidaan ainoastaan todta, ttä indksilaina ragoi korkomuutoksiin laimammin tai päinvastaissti kuin vastaava tavanomainn vlkainstrumntti. Indksilainan rplikoinnissa sovllttavat osto-optiot voivat ominaisuuksiltaan olla suraavanlaisia:. Osto-optiot ovat urooppalaisia optioita li n voidaan totuttaa ainoastaan option juoksuajan lopussa (vrt. amrikkalaist optiot, jotka voidaan totuttaa milloin tahansa option juoksuaikana).. Osto-optiot ovat indksioptioita li niidn kohd-tuutna on yksi tai usampi osakindksi. Optioita, joissa kohd-tuutna on usan instrumntin kskiarvo kutsutaan baskt-optioiksi. 3. Osakindksin kohtna olvat osakkt maksavat osinkoa, jotn osto-optiot ovat optioita osinkoa maksavill kohd-tuuksill. 4. Osto-optioidn arvo totutushtknä määräytyy aritmttisna kskiarvona kohd-tuudn arvosta arvostushtkillä. ällaisia optioita kutsutaan ylissti polkuriippuvaiksiksi ja rityissti aasialaisiksi kskiarvohintaoptioiksi. 5. Osakindksin arvot notrataan ri valuutassa kuin indksilaina. ällöin kysssä on ns. quanto-optio, jossa option tuotto makstaan ri valuutassa kuin sn kohd-tuus notrataan. Arbitraasihinnoittlupriaattn prustlla voitaisiin määrittää indksilainan markkinahinta, jos markkinoilla olisi notratut hinnat dllä kuvatuill osto-optioill. Näin i kuitnkaan ol, jotn ostooptioidn hinnat tul määrittää jollakin torttislla optiohinnoittlumntlmällä. Hull (3) s. 69

11 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm 3 Optiohinnoittlumntlmät Ylisimmät optiohinnoittlussa sovllttavat mntlmät ovat Black & chols malli, binomimalli ja Mont Carlo simulointi. Niidn jokaisn sovltamisssa on omat hyvät ja huonot puolnsa, lisäksi tityill optiotyypill voidaan sovltaa ainoastaan jotakin tai joitakin mntlmistä. Niinpä hinnoittlumntlmä tul valita sovlluskohtsta riippun. Kaikkin lutltujn mntlmin pohjalla on kuitnkin samat oltukst option kohd-tuudn hintaprosssista skä markkinoidn toiminnasta. Niinpä suraavassa käydään nsin läpi mallissa thtävät oltukst, tämän jälkn sitllään lyhysti ri mntlmät ja luvun lopussa analysoidaan mntlmin ominaisuuksia skä sittään mitä mntlmistä tulisi minkäkin tyyppisll indksilainall sovltaa. ässä luvussa noudattaan suraavaa notaatiota: = Option kohd-tuudn hinta = Option totutushtki K = Option totutushinta µ = Kohd-tuudn tuoton odotusarvo σ = Kohd-tuudn volatilittti (ts. σ t on kohd-tuudn tuoton kskihajonta aikavälillä t) r = Markkinoilla vallitsva vakio riskitön vuotuinn jatkuva korko y = Kohd-tuudn vuotuinn osinkotuotto (%) = Johdannaisinstrumntin (option) hinta. 3. Oltukst Ensimmäinn oltus sitttävissä optiohinnoittlumntlmissä on, ttä option kohd-tuudn hinta suraa gomtrista brownin liikttä d = µ dt σdz, (3-) missä dz on Winr-prosssi. Diskrttiaikainn vrsio prosssista voidaan kirjoittaa = µ t σε t, missä ε ~ N(, ) on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jonka oltusarvo on ja kskihajonta. ällöin kohd-tuudn suhtllinn tuotto on myös normaalijakautunut: Kohd-tuudn hinta on ajan unktio li varsinaissti (t), tilan säästämisksi käyttään ylissti. n sijaan käyttään mrkintöjä =() ja =(). Johdannaisinstrumntin hinta on kohd-tuudn hinnan ja ajan unktio li ((t),t), tilan säästämisksi mrkitään plkkä. Jos mrkintää käyttään yksittäisnä arvona johdannaisinstrumntin hinnall, niin tarkoittaan arvoa =((),).

12 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm ~ N( µ t, σ t ) ja dlln Ito:n lmman prustlla kohd-tuudn hinnan logaritmi on normaalijakautunut ln ~ N(ln ( µ σ ) t, σ ), jolloin kohd-tuudn hinnan sanotaan olvan log-normaalijakautunut paramtrilla ovat ajan suhtn vakiot. t ( µ σ ) t ja σ t. Mallissa olttaan, ttä paramtrit µ ja σ Muut mallisssa thtävät oltukst ovat:. Kohd-tuudn lyhyksi myynti on markkinoilla mahdollista.. Kohd-tuudn myynnistä tai ostosta i koidu transaktiokustannuksia tai vrosuraamuksia. 3. Kohd-tuus on täysin jaollinn li sitä voidaan ostaa ja myydä milivaltaisissa määrissä. 4. Kaupankäynti kohd-tuudlla on jatkuvaa. 5. Markkinoilla on mahdollista lainata rahaa skä sijoittaa riskittömään vlkainstrumnttiin vakio riskittömällä korolla. 3. Black & chols Jos kohd-tuudn hinta suraa gomtrista brownin liikttä kutn dllisssä kappalssa sitttiin ja johdannaisinstrumntin hinta on kohd-tuudn hinnan ja ajan unktio, niin Ito:n lmman prustlla d = ( µ σ ) dt σdz. (3-) t Yhtälössä satunnainn trmi on dz li Winr-prosssi. Muodostamalla jokaisna ajanhtknä portolio kohd-tuudsta ja johdannaisinstrumntista sitn, ttä johdannaisia myydään yksi kappaltta ja kohd- tuutta osttaan/myydään -kappaltta saadaan sijoitusstratgia, jossa satunnaistrmit kumoavat toisnsa li portolio on riskitön. Näin muodostttun portolion hinta on P = (3-3) ja hinnan muutos li tuotto on dp = d d. (3-4) ijoittamalla yhtälöt (3-) ja (3-) dllisn saadaan

13 ERIKOIYÖ 3(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm dp = ( µ σ ) dt, (3-5) t joka on riippumaton dz:sta li on riskitön. Nyt arbitraasihinnoittlun priaattn mukaan tämän riskittömän portolion tuotto tarkastltavalla ajanhtkllä tul olla täsmälln sama kuin vastaavan hintaisn riskittömän vlkainstrumntin tuotto portolion hinnan suuruisll pääomall. Näin olln dp = rpdt, (3-6) johon sijoittamalla P :n ja dp :n lauskkt saamm Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälön: r t = r σ. (3-7) ämä osittaisdirntiaaliyhtälö voidaan ratkaista :n suhtn rilaisill johdannaisinstrumntill. aadut ratkaisut riippuvat minkälaisia runahtoja osittaisdirntiaaliyhtälöll asttaan. Esimrkiksi urooppalaisll osto-optioll runahdot ovat (, ) = max( K,) ja (, t) =. Näillä runahdoilla yhtälöll on johdttu analyyttinn ratkaisu ln ( r σ ) r = N( d) K N( d ), d K =, d = d σ σ, (3-8) missä N(x) on standardoidun normaalijakauman kumulatiivinn todnnäköisyysunktio. uurimmall osasta rilaisia johdannaisinstrumnttja ratkaisua i voida johtaa analyyttisna lauskkna vaan joudutaan tyytymään osittaisdirntiaaliyhtälöidn numrisiin ratkaisumntlmiin kutn init dirnc mthod. Indksioptioill: Indksioptioill sovllttassa Black & chols yhtälössä tul huomioida indksin kohtna olvin osakkidn maksamat osingot. Nämä huomioidaan arvioimalla option juoksuaikana indksiin kuuluvin osakkidn maksamin osinkojn arvo Y ja muuntamalla tämä vuotuisksi jatkuvaksi koroksi y indksin Y arvoll. Eli jos optioidn maksamat osingot option juoksuaikana yhtnsä ovat Y, niin y = ln( ). ällöin dllisn kappaln Black & chols yhtälön johdossa kaavassa (3-4) tul huomioida portolion tuotossa osakkidn osinkotuotto dp = d ( d y), (3-9)

14 ERIKOIYÖ 4(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm jolloin Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälö saa muodon r t = ( r y) σ. (3-) Edlln analyyttinn ratkaisu urooppalaisll osto-optioll muuntuu muotoon = ln ( r y σ ) r N( d) K N( d ), d K =, d = d σ y σ. (3-) Quanto-optioill: Quanto-optioiksi kutsutaan optioita, joidn kohd-tuus notrataan ri valuutassa kuin its optio. Quantooptioita hinnoitltassa tul huomioida korrlaatio kohd-tuudn tuoton ja valuuttakurssin välillä. Voidaan osoittaa, ttä tällöin Black & chols yhtälöä johdttassa tul portolion tuottovaatimuksksi (3-6) asttaa riskittömän tuoton sijasta valuuttakurssiriskilllä korjattu tuotto. Olttaan, ttä kohd-tuus notrataan valuutassa A ja johdannaisinstrumntti valuutassa B. Olkoot σ A / B valuuttakurssin (notrattuna x A pr B ) volatilittti ja ρ valuuttakurssin ja kohd-tuudn tuoton välinn korrlaatio. Edlln olkoot riskitön vuotuinn jatkuva korko valuutassa A ja r B riskitön vuotuinn jatkuva korko valuutassa B. ällöin Black & chols yhtälö saa muodon ra r B = ( ra σ t ρσ A / Bσ y), (3-) jolloin urooppalaisll osto-optioll ratkaisu on = * ln ( rb y σ ) r N( d) K N( d ), d K =, d = d σ * y B σ, (3-3) missä y * = rb ra ρσ A / Bσ y. Aasialaisill optioill: Aasialaisia kskiarvohintaoptioita i voida ksaktisti hinnoitlla Black & chols mallin mukaissti, sillä kohd-tuudn arvostushtkin kskiarvohinta i noudata tarkasti log-normaalia jakaumaa, mikä oli yksi Black & chols mallin lähtöoltuksista. Kskiarvohinnan jakaumaa voidaan kuitnkin approksimoida log- Hull (3) s. 499 Hull (3) s. 444

15 ERIKOIYÖ 5(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm normaalilla jakaumalla laskmalla kksiarvohintajakauman kaksi nsimmäistä momnttia ja laskmalla näistä vastaavan log-normaalin jakauman paramtrit odotusarvo ja varianssi. Momntit lasktaan M M = n = ( n n i= ( r y) ti n i n ( r y) ti i= = j< i ( r y) ti ( r y) t j σ ti ), (3-4) missä t i kohd-tuudn arvostushtki. ällöin Black & chols yhtälössä voidaan käyttää suraavia paramtrja = ( r y) M σ = ln M M. (3-5) Baskt-optioill: Baskt-optioksi kutsutaan optioita, joidn kohd-tuutna on usan instrumntin painotttu kskiarvo. Vastaavasti kuin aasialaisilla optioilla, niin myöskään baskt-optiolla usan kohd-tuudn painotttu kskiarvo i noudata täsmällissti log-normaalia jakaumaa. ässäkin tapauksssa approksimatiivinn ratkaisu saadaan muodostttua laskmalla kohd-tuuksin korin hintajakauman kaksi nsimmäistä momnttia ja sovltamalla näitä aasialaistn optioidn tapaan Black & chols yhtälössä. Kohd-tuuksin korill momntit lasktaan M M = = n i= n n ( r yi ) n i= j= i i ( r yi ) j ( r y j ) ρijσiσ j, (3-6) missä i on kohd-tuudn i alkuarvo ja ρ ij on kohd-tuuksin i ja j välinn korrlaatio. 3.3 Binomimalli Binomimallin priaat on täsmälln sama kuin Black & chols yhtälön johtamisssa noudatttu priaat: jokaislla ajanhtkllä muodosttaan riskitön portolio kohd-tuudsta ja johdannaisinstrumntista. Koska portolio on riskitön, niin sn tuotto on arbitraasihinnoittlupriaattn mukaan riskittömän vlkainstrumntin tuotto. Binomimallissa toisin kuin Black & chols yhtälössä porolion tuottoa tarkastllaan diskrttinä ajanhtkinä. Lisäksi kohd-tuudn hintaprosssia tarkastllaan diskrttinä urnbull (99) Hull (3)

16 ERIKOIYÖ 6(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm prosssina, jossa jokaisna ajanhtknä hinta voi nousta vakiokrtoimlla u tai laska vakiokrtoimlla d. Näin olln kohd-tuudn hinnoista voidaan muodostaa kuvassa 3- sittty binomihila. u u = u = ( p r t uu ( p) ud ) uu uu = uu = max( uu K,) ud ud = ud = max( ud K,) = = ( p r t u ( p) d ) u d = d = r t ( p ud ( p) dd ) dd dd = dd = max( dd K,) Kuva 3-: Binomimalli urooppalaisll osto-optioll Olkoot kohd-tuudn hinta htkllä t = ja hilapistidn aikaväli hinta on joko u tai d ja dlln htkllä t. Htkllä t = t kohd-tuudn t = t kohd-tuudn hinta on joko uu, ud tai dd jn. Mrkitään vastaavasti johdannaisinstrumntin hintoja htkllä t = :llä ja htkllä t t d :llä jn. = u :lla tai Muodosttaan htkllä t = portolio kohd-tuudsta ja johdannaissta sitn, ttä myydään yksi johdannainn ja osttaan/myydään k-kappaltta kohd-tuuksia. Valitaan k sitn, ttä portoliosta muodostuu riskitön li portolion arvo pysyy vakiona liikkui kohd-tuudn hinta ylös tai alas. Näin saadaan k:ll hto u ku = d kd. (3-7) Lisäksi vaaditaan arbitraasihinnoittlun priaattsn vdotn, ttä näin muodosttun riskittömän portolion tuoton tul olla riskittömän vlkainstrumntin tuotto samall pääomall. Portolion hinta alussa oli k, jolloin tuotto kohd-tuudn hinnan liikkussa ylös ja vlkainstrumntin tuotto ovat r t u ku = ( k ). (3-8)

17 ERIKOIYÖ 7(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Näin on saatu muodostttua kahdll tuntmattomall k ja kaksi yhtälöä (3-7) ja (3-8), joista ratkaismalla = r t ( p u ( p) d ), p = r t u - d. d (3-9) Edllä sittty logiikka pät binomihilassa yhtälaissti millä tahansa aikavälillä. Kaava (3-9) muodostaa siis binomihilassa palautuskaavan, jolla hilassa voidaan liikkua taakspäin. Näin olln tul nsin määrittää johdannaisinstrumntin arvot hilan lopussa li totutushtkllä t = ja sittn laska hila taakspäin palautuskaavaa sovltan. avanomaisn osto-option hinta totutushtkllä on max( K,) ja myyntioption max( K,). Krtoimt u ja d tul binomimallissa valita sitn, ttä binomihilan muodostama hintaprosssi noudattaa mahdollisimman tarkasti kaavassa (3-) sitttyä gomtrista brownin liikttä. ämä voidaan suorittaa täsmäämällä hintaprosssin odotusarvot ja varianssit. Kaavan (3-) mukaan hinnan odotusarvo htkllä t = t on t µ (i), binomihilassa hinnan odotusarvo taas on pu ( p) d (ii), missä p on todnnäköisyys, ttä hinta nous. Vastaavasti varianssi brownin liikkssä on pu σ t (iii) ja binomihilassa ( p) d ( pu ( p) d) (iv). Yksi hdot (i) = (ii) ja (iii) = (iv) approksimatiivissti totuttava ratkaisu on valita u = d = σ t σ t, (3-) joita nimittään Cox, Ross ja Rubinstinin krtoimiksi niidn kksijöidn mukaan. Yhtnvtona binomihinnoittlumntlmä toimii suraavasti.. Valitaan aika-askl t.. Lasktaan krtoimin u ja d arvot kaavoilla (3-). 3. Muodosttaan kohd-tuudn hinnall binomihila lähtin liikkll kohd-tuudn alkuarvosta. 4. Lasktaan option arvot hilan loppupistissä kysisn johdannaisinstrumntin totutushtkn arvon kaavalla. 5. Lasktaan palautuskaavalla (3-9) option hinta hilan lopusta alkuun, jolloin option hinta on hilan nsimmäisssä solussa. Indksioptioll: Binominallissa indksioptioidn osingot huomioidaan samaan tapaan kuin Black & chols mallissa li muodosttun riskittömän portolion tuoton kaavassa (3-8) huomioidaan osinkotuotto y

18 ERIKOIYÖ 8(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm u r t r y t ku ( ) = k, (3-) jolloin binomihilan palautuskaavaksi saadaan = r t ( p u ( p) d ), p = ( r y) u t - d. (3-) d Quanto-optioll: Myös valuuttakurssiriippuvaistn quanto-optiodn huomioiminn binomimallissa tapahtuu idnttissti Black & chols mallin kanssa. Kaavassa (3-8) tul kohd-tuudll riskittömän tuoton lisäksi vaatia valuuttakurssista aihutuva riskilisä u ku = rb t k ( r ρσ A A / Bσ y) t, (3-3) jolloin binomihilan palautuskaavaksi saadaan = r t B ( p u ( p) d ), p = ( r ρσ / σ y) t A A B u d - d. (3-4) Aasialaisill optioll: Aasialaisia kskiarvohintaoptioita i voida hinnoitlla binomimntlmällä. Baskt-optioill: Priaattssa baskt-optiot voidaan hinnoitlla binomihila-mallilla muodostamalla kolmi- tai usampiulottisia hiloja. ällaisia mallja ovat sittänt mm. Hull ja Whit skä Rubinstin. Käytännössä näidn mallin implmntaatiot ovat niin monimutkaisia, ttä suositltavampaa baskt-optioidn hinnoittlussa on sovltaa sitttyä Black & chols mallin approksimaatioita tai Mont Carlo simulointia. 3.4 Mont Carlo simulointi Mont Carlo simuloinnin johtamisssa sovlltaan riskinutraalin hinnoittlun priaattta. Johdannaisinstrumntill johdtussa Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälössä i siinny kohdtuudn tuoton oltusarvoa dustavaa paramtria µ. Esitttyjn oltustn vallitssa johdannaisintrumntin hinta on siis riippumaton kohd-tuudn tuoton oltusarvosta. n sijaan johdannaisinstrumntin hinta riippuu kohd-tuudn alkuhinnasta, totutushinnasta, volatilittistä ja riskittömästä korosta. Näistä mikään i ol riippuvainn sijoittajan riskiprrnssistä li johdannaisinstrumntin hinta on täysin riippumaton Hull (994) Rubinstin (994)

19 ERIKOIYÖ 9(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm sijoittajan riskiprrnssistä. ällöin sijoittajan hyötyunktion muodolla i ol vaikutusta johdannaisinstrumntin hintaan, jotn hyötyunktioksi voidaan valita linaarinn unktio, jolloin sijoittaja on riskinutraali. ijoittajan riskinutralittistä suraa, ttä sijoittajan sijoituksll vaatima tuotto on vakio riippumatta sijoituksn liittyvästä riskistä li sijoittajan tuottovaatimuksna voidaan sovltaa riskitöntä korkoa. anotaan, ttä tällöin sijoituskohtita tarkastllaan riskinutraalissa maailmassa. Mont Carlo simuloinnissa prusajatuksna on simuloida kohd-tuudn hintaprosssia riskinutraalissa maailmassa ja simulointin prustlla laska stimaatti johdannaisinstrumntin tuottamill kassavirroill riskinutraalissa maailmassa. ämän jälkn stimaatit diskontataan johdannaisinstrumntin alkupäivään, jolloin tämä muodostaa arbitraasihinnoittlun prustlla hinnan johdannaisinstrumntill riskinutraalissa maailmassa ja koska tarkastltavan johdannaisinstrumntin hinta i ol riippuvainn riskiprrnssistä, niin sama hinta pät myös todllisssa maailmassa. Mont Carlo simuloinnissa kohd-tuudn hinnan olttaan noudattavan gomtrista Brownin liikttä riskinutraalissa maailmassa d = rdt σdz, (3-5) missä dz on standardi winr-prosssi, r on riskitön vuotuinn jatkuva korko ja σ on kohd-tuudn vuotuinn volatilittti. ämä on yhtäpitävää suraavan diskrtin prosssin kanssa (vrt. kappal 3.) σ ( t t) = ( t) * xp ( r ) t σε t, (3-6) missä ε ~ N(,) on satunnaismuuttuja standardoidusta normaalijakaumasta. Kaavalla (3-6) voidaan simuloida kohd-tuudn hintaprosssia riskinutraalissa maailmassa. avanomaisll urooppalaisll osto-optioll Mont Carlo -simulointiprosssi tn suraavasti.. imuloidaan kaavalla (3-36) kohd-tuudn hinnat t aikavälill t = ja t = askllla. Lasktaan simuloitujn hintojn prustlla johdannaisinstrumntin htkllä t = tuottama kassavirta c. avanomaisll osto-optioill c = max( K,). 3. Lasktaan johdannaisinstrumntin hinta diskonttaamalla instrumntin tuottama kassavirta htkn t = r riskittömällä korolla = c. Laittaan laskttu muistiin. 4. oisttaan asklt 3 m-krtaa. 5. Lasktaan osto-option hinnan stimaatti kohdassa 3 laskttujn osto-option hintojn kskiarvona: m ˆ = * i = i. m 95%:n luottamusväli dllä kuvatulla mnttlyllä lasktull option hinnall on t.

20 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm s s ˆ.96ˆ.96ˆ < c < ˆ m, (3-7) m missä ŝ on option hintojn i kski-hajonta stimaatista ). Indksioptioill: Indksioptioilla kohd-tuudn hintaprosssissa riskinutraalissa maailmassa huomioidaan indksin kohtna olvin osakkidn osinkotuotto y, jolloin simuloinnissa sovllttava asklunktio saa muodon σ ( t t) = ( t) *xp ( r y ) t σε t. (3-8) Quanto-optioill: Vastaavasti quanto-optioilla kohd-tuudn hintaprosssissa riskinutraalissa maailmassa huomioidaan valuuttakurssiriskin aihuttama tuottovaatimuksn lisä. ällöin simuloinnissa sovlltaan asklunktiota σ ( t t) = ( t) *xp ( ra ρσ A / Bσ y ) t σε t (3-9) ja johdannaisn tuotto diskontataan korolla r. B Aasialaisill optioill: Aasialaistn kskiarvohinta optioidn hinnoittlu Mont Carlo simuloinnissa onnistuu yksinkrtaissti. Valitaan simulointiaskl t sitn, ttä kohd-tuudll saadaan arvot kaikilla arvostuhtkillä ja lasktaan jokaislla simulointikirrokslla kohd-tuudn lasknnallinn loppuhinta arvostuhtkin arvojn kksiarvona. Muutn simulointi suorittaan kutn dllä on sittty. Ensimmäisnä Mont Carlo - simulointimallin aasialaisill optioill sittivät Kmma ja Vorst (99). Baskt-optioill: Myös baskt-optioidn hinnoittlu Mont Carlo simuloinnilla onnistuu yksinkrtaissti. n sijaan, imuloidaan vuorotlln jokaislla simulointiaskllla kaikkin kohd-tuuksin hinnat omina hintaprosssina. imuloitassa on huomioitava kohd-tuuksin välinn korrlaatio. imuloinnissa käytttävin normaalijakautunidn satunnaismuuttujin korrlaatioidn tul vastata kohd-tuuksin korrlaatioita raalimaailmassa. Korrloitunidn satunnaismuuttujin gnrointi voidaan totuttaa simrkiksi Cholsky hajotlmalla.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa. / ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1) 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta) ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 2. harjoitus, (p 4.11.2016) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn

Lisätiedot

Kirjanpito ja laskentatoimi A-osa

Kirjanpito ja laskentatoimi A-osa 1. Arvon määritys a) Mitkä tekijät vaikuttavat osto- ja myyntioptioiden arvoon ja miten? b) Yrityksen osingon oletetaan olevan ensi vuonna 3 euroa per osake ja osinkojen uskotaan kasvavan 6 % vuosivauhtia.

Lisätiedot

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä ... /, t,.. OSATIH Rauhankatu 0070 Puhlin SELOSTE 90-8 /97 AURA UKS E N METSÄMAAN T HELSINKI 7 YÖ V A I KE US T ~ K I J ÖI S T Ä TTS-METSÄ-ÄESTÄ KÄYTETTÄESSÄ Mtsätho kräsi syksyllä 97 Thdaspuu Oy:n aikatutkimusainistoa

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä

Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä Uskottavuusperusteisten luottamusvlien korjaaminen bootstrap-menetelmllpro gradu -esitelm p. 1/35 Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä 29.4.2009

Lisätiedot

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoitukset Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset,

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS

Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS VALTIOKONTTORI Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS 2004 Valtionvelka VALTIOKONTTORI SISÄLLYSLUETTELO 36 Valtionvelan korot 3 36.01 Euromääräisen velan korko 6 36.03 Valuuttamääräisen velan korko 7 36.09

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen

Lisätiedot

Faustmannin (1849) kiertoaikamalli on yksinkertaisin

Faustmannin (1849) kiertoaikamalli on yksinkertaisin Mtsätitn aikakauskirja 3/1999 Titn tori Olli Tahvonn Faustmannin kirtoaikamallista ja sn ylistyksistä m t a Johdanto Faustmannin (1849) kirtoaikamalli on yksinkrtaisin mahdollinn kuvaus taloudllissti thokkaasta

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN RAHOITUSINSTRUMENTTIEN SUUNNITTELU. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN RAHOITUSINSTRUMENTTIEN SUUNNITTELU. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN RAHOITUSINSTRUMENTTIEN SUUNNITTELU KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd Yrityksen rahoituslähteet 1. Oman pääomanehtoinen rahoitus Tulorahoitus Osakepääoman korotukset 2. Vieraan pääomanehtoinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

Tampere Seinäjoki-radan nopeuden nosto MELUSELVITYS

Tampere Seinäjoki-radan nopeuden nosto MELUSELVITYS Tampr Sinäjoki-radan nopudn nosto Ratahallintokskus Tampr Sinäjoki-radan nopudn nosto () ESIPUHE Tämä työ on thty Sito Oy:ssä Ratahallintokskuksn toimksiannosta. Työn tarkoituksna oli tutkia mluslvityksn

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Harjoitus 5 1.4.2016 Arttu Kahelin arttu.kahelin@aalto.fi Tehtävä 1 a) Käytetään kaavaa: B t Y t = 1+r g B t 1 Y t 1 + G t T t Y t, g r = 0,02 B 2 Y 2 = 1 + r g B 1

Lisätiedot

Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt

Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt Tässä jaksossa käsitllään vaihtovirtapiirjä. Mukana on skä sarjapiirjä ttä linaaripiirjä. Sarjapiirilaskut ovat hkä hlpompia, sillä virta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Riski ja velkaantuminen

Riski ja velkaantuminen Riski ja velkaantuminen TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 28.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta (FCF) 2. Rahavirtojen

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Nordnetin luottowebinaari

Nordnetin luottowebinaari Nordnetin luottowebinaari Tervetuloa webinaariin! Webinaarissa opit käyttämään luottoa kaupankäynnissä. Lisää ostovoimaa luotolla, käytä salkkuasi luoton vakuutena ja paranna tuottomahdollisuuksia. Webinaarissa

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Danske Bank Valuuttaobligaatio 2305: Valuuttaobligaatio BRIC II

Danske Bank Valuuttaobligaatio 2305: Valuuttaobligaatio BRIC II Danske Bank Oyj, www.danskebank.fi Danske Bank Valuuttaobligaatio 2305: Valuuttaobligaatio BRIC II Tietoa lainasta: Lainan liikkeeseenlaskija: Danske Bank A/S Lainan järjestäjä: Danske Bank A/S. Lainan

Lisätiedot

Joukkolainat sijoituskohteena. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry

Joukkolainat sijoituskohteena. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset, yrityslainat ja valtioiden joukkolainat. Korkosijoitukset ovat

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Nokia Autocall 3 päivitetty

Nokia Autocall 3 päivitetty Danske Bank DDBO FE53: Nokia Autocall 3 päivitetty 25.1.2017 Tietoa lainasta: Lainan liikkeeseenlaskija: Danske Bank A/S. Lainan liikkeeseenlaskijan asiamies: Danske Bank Oyj Lainan ISIN-koodi: XS1547361409

Lisätiedot

Viennin rahoitusjärjestelyt /Team Finland - Valuuttasaatavien turvaaminen 14.4.2016

Viennin rahoitusjärjestelyt /Team Finland - Valuuttasaatavien turvaaminen 14.4.2016 Viennin rahoitusjärjestelyt /Team Finland - Valuuttasaatavien turvaaminen 14.4.2016 OP Markets Johdannais- ja valuuttamyynti Jukka Rajavaara 040 526 6342 Jukka.rajavaara@op.fi Markets Agenda 1. Asiakkaiden

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Kuntaobligaatiolaina III/2011

Kuntaobligaatiolaina III/2011 LAINAKOHTAISET EHDOT Kuntaobligaatiolaina III/2011 Lainakohtaisten ehtojen päiväys: 18.5.2011 Kuntarahoitus Oyj:n 7.4.2011 laadittu Kotimaisen Velkaohjelman EUR 800.000.000 Ohjelmaesite on saatavissa Kuntarahoituksen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Annettu Korvaa Voimassa. Saamistodistusten arvonmuutos; euro- ja muut kuin euromääräiset erät (valuutoittain)

Annettu Korvaa Voimassa. Saamistodistusten arvonmuutos; euro- ja muut kuin euromääräiset erät (valuutoittain) VIRATI VIRANOMAISYHTEISTYÖRYHMÄ (Rahoitustarkastus/Suomen Pankki/Tilastokeskus) Annettu Korvaa Voimassa 4.10.2004 1.1.2001 31.12.2007 alkaen KORKORISKI R Frekvenssi: Vastaustarkkuus: Palautusviive: Määrittelyistä

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Luottokorilaina Pohjois-Amerikka High Yield. Sijoituskorin esite

Luottokorilaina Pohjois-Amerikka High Yield. Sijoituskorin esite Luottokorilaina Pohjois-Amerikka High Yield Sijoituskorin esite Luottokorilaina Pohjois-Amerikka High Yield Tuottohakuisille sijoittajille suunnattu korkeaa vuotuista korkotuottoa tavoitteleva ratkaisu.

Lisätiedot

Suomi kyllä, mutta entäs muu maailma?

Suomi kyllä, mutta entäs muu maailma? Suomi kyllä, mutta entäs muu maailma? 18.5.2016 Sijoitusten jakaminen eri kohteisiin Korot? Osakkeet? Tämä on tärkein päätös! Tilanne nyt Perustilanne Perustilanne Tilanne nyt KOROT neutraalipaino OSAKKEET

Lisätiedot

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN 00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien

Lisätiedot

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Monopoli Tommi Välimäki 29.1.2003 Peruskäsitteitä: kysyntä ja tarjonta Hyödykkeen arvo kuluttajalle on maksimihinta, jonka hän olisi siitä valmis maksamaan Arvon raja-arvo vähenee määrän funktiona, D=MV

Lisätiedot

Nokia Autocall 2. Danske Bank DDBO FE49:

Nokia Autocall 2. Danske Bank DDBO FE49: Danske Bank DDBO FE49: Nokia Autocall 2 Tietoa lainasta: Lainan liikkeeseenlaskija: Danske Bank A/S. Lainan liikkeeseenlaskijan asiamies: Danske Bank Oyj Lainan ISIN-koodi: XS1531143748 Päivitetty 7.12.2016

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

Vuosi-ilmoitukset 2016. Ohjelmistotalopäivä 26.11.2015 Verohallinto

Vuosi-ilmoitukset 2016. Ohjelmistotalopäivä 26.11.2015 Verohallinto Vuosi-ilmoitukset 2016 Ohjelmistotalopäivä 26.11.2015 Verohallinto Sisältö Vuosi-ilmoitusten palautuspäivät Tietovälineellä ilmoittaminen Lain muutoksista aiheutuvat muutokset 2016 tietuekuvauksissa Uudet

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

100 % nimellisarvosta sekä liitteessä Tuotonmuodostus määritelty mahdollinen tuotto. Takaisinmaksumäärät laskee Laskenta-asiamies.

100 % nimellisarvosta sekä liitteessä Tuotonmuodostus määritelty mahdollinen tuotto. Takaisinmaksumäärät laskee Laskenta-asiamies. 1(8) EVLI PANKKI OYJ:N JOUKKOVELKAKIRJAOHJELMAN MUKAISEN JOUKKOVELKAKIRJAN 3/2011 ja 4/2011 LAINAKOHTAISET EHDOT EVLI FRONTIER MARKETS II Nämä Lainakohtaiset ehdot muodostavat yhdessä Evli Pankki Oyj:n

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2

Lisätiedot

SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA

SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA SUOMEN PANKIN AJANKOHTAISIA ARTIKKELEITA TALOUDESTA Sisältö Fintech-yritykset tuovat markkinoille uudenlaisia rahoituspalveluita 3 BLOGI Fintech-yritykset tuovat markkinoille uudenlaisia rahoituspalveluita

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Eduskunnan talousvaliokunta 5.2.2016 Hallitusneuvos Kari Parkkonen

Eduskunnan talousvaliokunta 5.2.2016 Hallitusneuvos Kari Parkkonen HE 144/2015 vp laeiksi julkisesti tuetuista vienti- ja alusluotoista sekä korontasauksesta annetun lain, valtion erityisrahoitusyhtiöstä annetun lain 8 a :n sekä valtion vientitakuista annetun lain 10

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

NOOA SÄÄSTÖPANKIN DEBENTUURILAINAN I/2013 KESKEISET TIEDOT. 1. Tiedot yleisölle tehtävästä tarjouksesta ja tarjottavasta arvopaperista

NOOA SÄÄSTÖPANKIN DEBENTUURILAINAN I/2013 KESKEISET TIEDOT. 1. Tiedot yleisölle tehtävästä tarjouksesta ja tarjottavasta arvopaperista Nooa Säästöpankin Debentuurilaina I/2013 1 NOOA SÄÄSTÖPANKIN DEBENTUURILAINAN I/2013 KESKEISET TIEDOT 1. Tiedot yleisölle tehtävästä tarjouksesta ja tarjottavasta arvopaperista Nooa Säästöpankin Debentuurilaina

Lisätiedot

Ulvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY

Ulvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY Ulvilan kaupunki Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmän ja Faporin pohjoispuoln liito-oravaslvitys 204 AHLN GROUP OY RAPORTTEJA 3/204 SISÄLLYSLUETTELO Johdanto... 3 Raporsta... 3 Slvitysaluidn yliskuvaukst...

Lisätiedot

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS

Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS VALTIOKONTTORI Valtiokonttorin TALOUSARVIO- EHDOTUS 2005 Valtionvelka VALTIOKONTTORI SISÄLLYSLUETTELO 36 Valtionvelan korot 3 36.01 Euromääräisen velan korko 5 36.03 Valuuttamääräisen velan korko 6 36.09

Lisätiedot

Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization

Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization 7.5.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Tausta Ilmavoimilla tärkeä rooli maanpuolustuksessa Rauhan aikana

Lisätiedot

Markov-ketjut pitkällä aikavälillä

Markov-ketjut pitkällä aikavälillä MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton;

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

c. Indifferenssikäyrän kulmakerroin eli rajasubstituutioaste on MRS NL = MU L

c. Indifferenssikäyrän kulmakerroin eli rajasubstituutioaste on MRS NL = MU L MIKROTALOUSTIEDE A31C00100 Kevät 2016 Olli Kauppi HARJOITUKSET II 1. Jutan ruokavalio koostuu yksinomaan nauriista ja lantuista. Jutan hyötyfunktio on muotoa U(N,L) = 12NL. Tällä hetkellä Jutta on päättänyt

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

EVLI PANKKI OYJ:N JOUKKOVELKAKIRJAOHJELMAN MUKAISEN JOUKKOVELKAKIRJAN 2/2010 JA 3/2010 PRIVATE PLACEMENT LAINAKOHTAISET EHDOT

EVLI PANKKI OYJ:N JOUKKOVELKAKIRJAOHJELMAN MUKAISEN JOUKKOVELKAKIRJAN 2/2010 JA 3/2010 PRIVATE PLACEMENT LAINAKOHTAISET EHDOT 1(7) EVLI PANKKI OYJ:N JOUKKOVELKAKIRJAOHJELMAN MUKAISEN JOUKKOVELKAKIRJAN 2/2010 JA 3/2010 PRIVATE PLACEMENT LAINAKOHTAISET EHDOT EVLI KIINA+ PRIVATE PLACEMENT Nämä Lainakohtaiset ehdot muodostavat yhdessä

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet.

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet. a) ristid, puolijohtid ja talli tyypillist rgiakaistaraktt. i) NRGIAKAISTAT: (lktroi sallitut rgiatilat) Kaksiatoi systi: pottiaalirgia atoi väliatka fuktioa pot rpulsiivi kopotti -lktroit hylkivät toisiaa

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Euro & talous. Eripainos. Suomen Pankin kokonaistaloudellinen ennuste 2003 2005

Euro & talous. Eripainos. Suomen Pankin kokonaistaloudellinen ennuste 2003 2005 Euro & talous 3 003 Eripainos Suomn Pankin kokonaistaloudllinn nnust 003 005 Euro & talous Markka & talous -lhdn. vuosikrta / : årgångn av Markka & talous Euro & talous -lhdn 5. vuosikrta / 5: årgångn

Lisätiedot