Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Transkriptio

1 Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen Oppikirjan sivut ja Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1

2 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva Wiener-prosessi dx=αdt+ρdz Alkupisteenä x 0 Hetkellä t: E(x)=x 0 +αdt, Var(x)=σ 2 t Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 2

3 Esteet Lisätään rajoitteet: yläraja( ) ja alaraja ( x) Kuljetaan satunnaiskulkua (askeleen koko h) - jos ollaan x= x- h ja yritetään liikkua ylöspäin, palaudutaan takaisin x= - h Vastaava pätee alarajalla x x Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 3

4 Esteet Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 4

5 Esteet (pitkä aikaväli) Mitä tapahtuu, kun t on suuri? Oletus: x 0 :n vaikutus vähenee (ja katoaa kokonaan, kun törmätään rajaan). Tämä johtuu prosessin Markov -ominaisuudesta. Oletus II: Pitkällä aikavälillä prosessi on stationaarinen. Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 5

6 Esteet (pitkä aikaväli) Tiheysjakaumaksi saadaan: φ( x) =, missä γ=2α/σ 2 Talousmaailmassa esteet johtuvat markkinoiden tasapainosta. γ e Jos x on tuotteen hinta, niin yläraja on piste, jolloin uudet firmat tulevat markkinoille ja alaraja on piste, jolloin firmat poistuvat markkinoilta. e γ x ( γ x) e γ x Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 6

7 Hyppyprosessit Kaksi osaketta? Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 7

8 Hyppyprosessit Osakekursseissa saattaa olla suuria hyppyjä (osavuosikatsaukset, pääjohtajan eroaminen, kilpailijan konkurssi, ) Wiener-malli ei täysin pysty tätä kuvaamaan Otetaan avuksi (Poissonin) hyppyprosessit Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 8

9 Hyppyprosessit (määrittelyt) = hyppyjen keskimääräinen tapahtumisvauhti Tn, että hyppy tapahtuu dt Tn, että hyppy ei tapahdu 1- dt u=hypyn suuruus dq=u (tn:llä 1- dt), muuten =0 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 9

10 Hyppyprosessit Hyppyprosessi vastaa Ito-prosessia: dx=f(x,t)dt+g(x,t)dq Ito-prosessin ja hyppyprosessin yhdistelmä: dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz+g(x,t)dq Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 10

11 Hyppyprosessit Wiener+Hyppy Wiener Hyppy Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 11

12 Hyppyprosessit (esimerkki) Öljyn hinta on hyvä esimerkki hypyistä Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 12

13 Hyppyprosessit (esimerkki) dp = γ(m - P) dt + σp dz + P dq M pitkän ajan tasapainopiste, γ tasoittumisnopeus, P öljyn hinta Tämän mallin on osoitettu kuvaavan hyvin öljyn hinnan muutosta. Käytännössä parametrien estimoiminen on kuitenkin todella vaikeaa ja täysin riskittömän portfolion rakentaminen mahdotonta. Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 13

14 Dynaaminen ohjelmointi Ensimmäisellä luennolla käytiin läpi ajatusta, että mahdollisuus sijoittaa myöhemmin on eräänlainen optio. Dynaaminen ohjelmointi tuo yleisen mallin aiemmin opitulle optioajattelulle. Käydään läpi yksinkertaisin mahdollisuus: 2- periodinen malli. Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 14

15 Dynaaminen ohjelmointi Notaatiot Tuotteen hinta hetkellä t: P t Hinta vuonna t+1 tn:llä q : (1+u)P t ja tn:llä 1-q : (1-d)P t I, investointikulut V t, tuotto investoitaessa vuonna t F t, voiton NPV vuonna t Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 15

16 Dynaaminen ohjelmointi Hinta muuttuu vain ensimmäisenä vuonna Lasketaan tuotto investoitaessa vuonna t=0 1 1 V 0 = P0 + [ q( 1 + u ) P0 + ( 1 q)( 1 d ) P0 ] + + L 2 Jos V 0 >I, investoidaan; jos V 0 <I, ei investoida; jos V 0 =I, ei väliä Voitto Ω 0 =max[v 0 -I,0] 1 + r ( 1 + r ) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 16

17 Dynaaminen optimointi Lasketaan tuotto investoitaessa vasta vuonna t=1 (1 + P1 = ( 1 d) P u) P, tn : llä P, tn : llä 0 0 P V1 = P L = P r ( 1+ r) r Täten F 1 =max[v 1 -I,0]. Tämä on ns. kontinuaatioarvo. q q 1+ r Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 17

18 Dynaaminen ohjelmointi Lasketaan voiton odotusarvo vuonna t=0 1+ r 1+ r ε 0 ( F1 ) = max ( 1+ u) P0 I,0 q + max ( 1 d) P0 I,0 ( 1 q) r Näin meillä on kaksi vaihtoehtoa, joista valitaan kannattavampi (Huom! kontinuaatioarvo on diskontattava): F 0 =max[v 0 -I, 1/(1+r)e 0 (F 1 )] r Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 18

19 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa päätösjono jaetaan kahteen osaan: välitön päätös ja tulevat päätökset Päättämisen siirtämisen arvo (optio) on F 0 -Ω 0 (vrt. ensimmäinen luento) Idea pätee jopa ääretön-pituiseen päätösjonoon. Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 19

20 Kotitehtävä (dyn. ohj) Laske dynaamisen ohjelmoinnin menetelmällä 2- periodinen tehtävä: Kumisaapastehtaan rakentaminen maksaa 2M euroa. Tuotto on euroa vuodessa ikuisesti nykyisessä markkinatilanteessa. Vuonna 1 on kuitenkin 30% tn, markkinoilla on yksi kilpailija vähemmän, jolloin vuosituotto nousee 50% ikuisesti. Toisaalta on myös 20% tn, että kilpailijoita on yksi enemmän, jolloin vuosituotto laskee 70% ikuisesti. 50% tn:llä muutosta ei siis tapahdu. Riskitön korko on 10%. Mitä teet? Paljonko on voitto? Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 20