Johdatus graafiteoriaan

Transkriptio

1 Johdatus graafitoriaan Syksy 2017 Lauri Hlla Tamprn yliopisto Luonnontitidn tidkunta

2 2 Luku 1 Pruskäsittitä 1.1 Määritlmiä 1.2 Esimrkkjä 1.3 Trminologiaa 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja 1.5 Aligraafi 1.6 Komplmnttigraafi 1.7 Graafiopraatioita 1.8 Graafin sittäminn matriisin avulla 1.9 Isomorfisuus

3 3 1.1 Määritlmiä Määritlmä 1.1 Yksinkrtainn graafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on äärllinn joukko järjstämättömiä parja {u, v}, missä u, v V, u v. Joukon V alkioita sanotaan solmuiksi ja joukon E alkioita särmiksi.

4 3 1.1 Määritlmiä Määritlmä 1.1 Yksinkrtainn graafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on äärllinn joukko järjstämättömiä parja {u, v}, missä u, v V, u v. Joukon V alkioita sanotaan solmuiksi ja joukon E alkioita särmiksi. Yksinkrtaisn graafin käsit voidaan määritllä lyhymmin suraavasti: Määritlmä 1.2 Yksinkrtainn graafi koostuu solmuista ja niitä yhdistävistä särmistä, missä 1. kahdn ri solmun välillä voi olla korkintaan yksi särmä, 2. solmusta i voi olla särmää solmuun itsnsä.

5 Yksisolmuista yksinkrtaista graafia sanotaan triviaaliksi graafiksi. Graafja havainnollisttaan usin suraavanlaisilla kuvilla: G 1 : G 2 : v 1 v 2 v v 3 v 4 Kuva 1.1. Triviaali graafi G 1 = ({v}, ) ja yksinkrtainn graafi G 2 = ({v 1, v 2, v 3, v 4 }, {{v 1, v 2 }, {v 1, v 3 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }}). 4

6 5 Määritlmä 1.3 Multigraafi on yksinkrtaisn graafin ylistys, jossa kahdn ri solmun välillä voi olla usita (äärllinn määrä) särmiä. v v 2 v 3 Kuva 1.2. Multigraafi (V, E), missä V = {v 1, v 2, v 3 } ja E = { 1, 2, 3 }. 3

7 6 Multigraafin käsit voidaan määritllä kahdlla toisistaan poikkavalla tavalla. (1) Multigraafi voidaan määritllä parina (V, E), missä V on äärllinn pätyhjä solmujoukko ja särmäjoukko E on joukon V järjstämättömin pistparin {u, v} (u v) muodostama multijoukko.

8 6 Multigraafin käsit voidaan määritllä kahdlla toisistaan poikkavalla tavalla. (1) Multigraafi voidaan määritllä parina (V, E), missä V on äärllinn pätyhjä solmujoukko ja särmäjoukko E on joukon V järjstämättömin pistparin {u, v} (u v) muodostama multijoukko. (2) Multigraafi voidaan määritllä kolmikkona (V, E, f ), missä V on äärllinn pätyhjä solmujoukko, E on äärllinn särmäjoukko ja f on funktio f : E { {u, v} u, v V, u v }. Jos f ( 1 ) = f ( 2 ), särmät 1 ja 2 ovat rinnakkaisia.

9 Määritlmä 1.4 Psudograafi on multigraafin ylistys, jossa solmusta voi olla särmä tai särmiä solmuun itsnsä. Näitä särmiä sanotaan luupiksi. 1 2 v 2 3 v 1 v 3 Kuva 1.3. Psudograafi (V, E) = ({v 1, v 2, v 3 }, { 1, 2, 3 }). 7

10 8 Määritlmä 1.5 Suunnattu graafi li digraafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on joukko järjstttyjä parja (u, v), missä u, v V. v 1 v 2 v 4 v 3 Kuva 1.4. Suunnattu graafi (V, E) = ({v 1, v 2, v 3, v 4 }, {(v 1, v 2 ), (v 1, v 4 ), (v 2, v 1 ), (v 2, v 3 ), (v 4, v 3 ), (v 4, v 4 )}).

11 8 Määritlmä 1.5 Suunnattu graafi li digraafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on joukko järjstttyjä parja (u, v), missä u, v V. v 1 v 2 v 4 v 3 Kuva 1.4. Suunnattu graafi (V, E) = ({v 1, v 2, v 3, v 4 }, {(v 1, v 2 ), (v 1, v 4 ), (v 2, v 1 ), (v 2, v 3 ), (v 4, v 3 ), (v 4, v 4 )}). Suunnatun graafin särmiä sanotaan kaariksi tai nuoliksi. Määritlmässä 1.5 i dllyttä, ttä u v, jotn suunnatussa graafissa voi olla luuppja.

12 Myös suunnatun graafin käsit voidaan ilmaista lyhymmin: Määritlmä 1.6 Suunnattu graafi koostuu solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista, missä 1. kahdn ri solmun välillä voi olla korkintaan kaksi kaarta, yksi kumpaankin suuntaan, 2. solmusta voi olla kaari solmuun itsnsä. 9

13 Myös suunnatun graafin käsit voidaan ilmaista lyhymmin: Määritlmä 1.6 Suunnattu graafi koostuu solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista, missä 1. kahdn ri solmun välillä voi olla korkintaan kaksi kaarta, yksi kumpaankin suuntaan, 2. solmusta voi olla kaari solmuun itsnsä. Graafin G = (V, E) solmujoukoll V voidaan tarvittassa käyttää mrkintää V (G) ja särmäjoukoll E mrkintää E(G). Tämä kosk yksinkrtaisia graafja, multigraafja, suunnattuja graafja, ja kaikki muitakin tarkastlmiamm graafja. 9

14 10 Määritlmä 1.7 Suunnattu multigraafi on suunnatun graafin ylistys, jossa voi olla moninkrtaisia kaaria. 1 2 v 1 v 2 3 Kuva 1.5. Suunnattu multigraafi (V, E) = ({v 1, v 2 }, { 1, 2, 3 }).

15 Määritlmä 1.8 Painotttu graafi on graafin ylistys, jossa jokaisn särmään on liittty jokin luku. Tätä lukua sanotaan särmän painoksi. 11

16 11 Määritlmä 1.8 Painotttu graafi on graafin ylistys, jossa jokaisn särmään on liittty jokin luku. Tätä lukua sanotaan särmän painoksi. Määritlmä 1.9 Mrkinnällä w( ) tarkoittaan särmän painoa tai painottun graafin särmin yhtnlaskttua painoa.

17 12 Esimrkki 1.1 Kuvan 1.6 graafissa G särmin painot ovat w({v 1, v 3 }) = 5, w({v 2, v 3 }) = 3 ja w({v 1, v 2 }) = 4. Graafin G särmin yhtnlaskttu paino w(g) on 12. G: v v 1 4 v 2 Kuva 1.6. Painotttu graafi G, joka mallintaa Pythagoraan laustta.

18 Esimrkkjä Esimrkki 1.2 Graafin avulla voidaan mallintaa ri läinlajin välistä vuorovaikutusta. Esimrkiksi kosystmissä lajin välistä kilpailua voidaan mallintaa graafilla, joka kuvaa kologistn lokroidn päällkkäisyyttä. Kuvan 1.7 graafi mallintaa mtsän kosystmiä. Graafin prustlla Supi Haukka Pöllö simrkiksi orava ja supi ovat Orava Opossumi ksknään kilpailvia lajja, mutta Varis varis ja päästäinn ivät ol. Päästäinn Hiiri Tikka Kuva 1.7. Ekologistn lokroidn päällkkäisyys.

19 Esimrkki 1.3 Ryhmän käyttäytymistä tutkittassa voidaan havaita, ttä jotkut ryhmän jäsnt voivat vaikuttaa ryhmän muidn jäsntn käyttäytymisn. Tällaista käyttäytymistä voidaan mallintaa suunnatulla vaikutusvaltagraafilla. Kuvan 1.8 graafin mukaan simrkiksi Kaisa voi vaikuttaa Raijan käyttäytymisn, Raija voi vaikuttaa Tiinan käyttäytymisn ja Tiina voi vaikuttaa Kaisan käyttäytymisn. Tiina Mira Anna Raija Kaisa Kuva 1.8. Ryhmän jäsntn vaikutus toistnsa käyttäytymisn. 14

20 15 Esimrkki 1.4 Turnausta, jossa jokainn joukku plaa toistaan vastaan täsmälln krran, voidaan mallintaa suunnatulla graafilla. Tällöin kutakin joukkutta vastaa oma solmunsa ja graafissa on särmä (a, b), jos joukku a voittaa joukkun b. Esimrkiksi kuvan 1.9 turnauksssa Suomi on voittamaton ja Ruotsilla on yksi voitto skä kolm tappiota. Tskki Saksa Ruotsi Kanada Suomi Kuva 1.9. Vuodnvaihtn jääkikon nuortn MM kisatulokst.

21 16 Esimrkki 1.5 Titokonohjlman käskyjn suoritusjärjstys voidaan mallintaa suunnatulla graafilla, jossa kutakin käskyä dustaa oma solmunsa ja solmusta a on särmä solmuun b, jos käsky a suorittaan nnn käskyä b. Kuvan 1.10 suunnatussa graafissa G 1 simrkiksi käskyä s 5 i voida suorittaa nnn käskyjä s 1, s 2 ja s 4, mutta käskyt s 5 ja s 6 voidaan suorittaa samanaikaissti. Turhat särmät voidaan myös jättää pois, jolloin saadan suunnattu graafi G 2. s 1 : a := 0 s 2 : b := 1 s 3 : c := a + 1 s 4 : d := a + b s 5 : := d + 1 s 6 : f := c + d G 1 : s s 1 6 s 3 s4 s s 2 5 : G 2 s s 1 s 3 s4 Kuva Titokonohjlman käskyjn suoritusjärjstys. 6 s s 2 5

22 1.3 Trminologiaa Määritlmä 1.10 Olkoon solmujn u ja v välillä särmä. Silloin 1. solmut u ja v ovat virussolmut, 2. särmä yhdistää solmut u ja v, 3. solmut u ja v ovat särmän päätsolmut li päätpistt, 4. särmä kulk solmujn u ja v kautta. 17

23 1.3 Trminologiaa Määritlmä 1.10 Olkoon solmujn u ja v välillä särmä. Silloin 1. solmut u ja v ovat virussolmut, 2. särmä yhdistää solmut u ja v, 3. solmut u ja v ovat särmän päätsolmut li päätpistt, 4. särmä kulk solmujn u ja v kautta. Määritlmä 1.11 Solmun ast dg( ) ilmais kuinka monn särmän päätsolmuna solmu on. Määritlmä 1.12 Solmu u on risttty, jos dg(u) = 0, ja solmu u on loppusolmu, jos dg(u) = 1. Jos särmän päätsolmuna on loppusolmu, särmä on loppusärmä. 17

24 18 Esimrkki 1.6 Kuvassa 1.11 solmujn astt on mrkitty solmujn virn. Solmu v 4 on risttty solmu ja solmu v 5 loppusolmu. Huom: luuppi kasvattaa solmun v 2 asttta kahdlla. G: v 2 v 1 v 3 v 5 v 4 dg(v 1 ) = 4 dg(v 2 ) = 4 dg(v 3 ) = 3 dg(v 4 ) = 0 dg(v 5 ) = 1 Kuva Graafi G ja graafin G solmujn astt.

25 Laus 1.1 ( Handshaking thorm ) Olkoon (V, E) suuntaamaton graafi. Silloin 2 E = dg(v). Mrkinnällä tarkoittaan joukon alkioidn (tässä siis särmin) lukumäärää. v V 19

26 Laus 1.1 ( Handshaking thorm ) Olkoon (V, E) suuntaamaton graafi. Silloin 2 E = dg(v). Mrkinnällä tarkoittaan joukon alkioidn (tässä siis särmin) lukumäärää. v V Laus 1.2 Suuntaamattomassa graafissa on parillinn määrä paritonastisia solmuja. 19

27 20 Määritlmä 1.13 Olkoon G = (V, E) suuntaamaton graafi. Silloin on graafin solmujn minimiast ja maksimiast. δ(g) = min v V (dg(v)) (G) = max v V (dg(v))

28 21 Esimrkki 1.7 Kuvan 1.11 graafin minimiast ja maksimiast ovat δ(g) = 0 ja (G) = 4. G: v 2 v 1 v 3 v 5 v 4 dg(v 1 ) = 4 dg(v 2 ) = 4 dg(v 3 ) = 3 dg(v 4 ) = 0 dg(v 5 ) = 1 Kuva Graafi G ja graafin G solmujn astt.

29 22 Määritlmä 1.14 Olkoon = (u, v) suunnatun graafin kaari solmusta u solmuun v. Silloin 1. solmu u dltää solmua v, 2. solmu v suraa solmua u, 3. solmu u on särmän lähtösolmu, 4. solmu v on särmän maalisolmu.

30 22 Määritlmä 1.14 Olkoon = (u, v) suunnatun graafin kaari solmusta u solmuun v. Silloin 1. solmu u dltää solmua v, 2. solmu v suraa solmua u, 3. solmu u on särmän lähtösolmu, 4. solmu v on särmän maalisolmu. Määritlmä 1.15 Solmun lähtöast dg + ( ) tarkoittaa niidn kaarin lukumäärää, joidn lähtösolmuna solmu on. Vastaavasti solmun tuloast dg ( ) tarkoittaa niidn kaarin lukumäärää, joidn maalisolmuna solmu on.

31 23 Esimrkki 1.8 Kuvassa 1.12 näkyvät graafin G solmujn lähtö- ja tuloastt. G: v 1 v 2 v 3 v 4 dg + (v 1 ) = 1, dg (v 1 ) = 0, dg + (v 2 ) = 2, dg (v 2 ) = 2, dg + (v 3 ) = 1, dg (v 3 ) = 2, dg + (v 4 ) = 0, dg (v 4 ) = 0 Kuva Suunnatun graafin G lähtö- ja tuloastt.

32 23 Esimrkki 1.8 Kuvassa 1.12 näkyvät graafin G solmujn lähtö- ja tuloastt. G: v 1 v 2 v 3 v 4 dg + (v 1 ) = 1, dg (v 1 ) = 0, dg + (v 2 ) = 2, dg (v 2 ) = 2, dg + (v 3 ) = 1, dg (v 3 ) = 2, dg + (v 4 ) = 0, dg (v 4 ) = 0 Kuva Suunnatun graafin G lähtö- ja tuloastt. Laus 1.3 Olkoon (V, E) suunnattu graafi. Silloin dg + (v) = dg (v) = E. v V v V

33 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja Joillakin yksinkrtaisilla graafilla on rityinn nimi, jotta niihin on hlppo viitata. Suraavaksi määrittlmm muutamia tällaisia graafja. 24

34 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja Joillakin yksinkrtaisilla graafilla on rityinn nimi, jotta niihin on hlppo viitata. Suraavaksi määrittlmm muutamia tällaisia graafja. Määritlmä 1.16 Yksinkrtainn graafi on täydllinn, jos jokaisn kahdn ri solmun välillä on särmä. Täydllisll n-solmuisll graafill käyttään mrkintää K n. 24

35 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja Joillakin yksinkrtaisilla graafilla on rityinn nimi, jotta niihin on hlppo viitata. Suraavaksi määrittlmm muutamia tällaisia graafja. Määritlmä 1.16 Yksinkrtainn graafi on täydllinn, jos jokaisn kahdn ri solmun välillä on särmä. Täydllisll n-solmuisll graafill käyttään mrkintää K n. Täydllisssä graafissa K n on n(n 1)/2 särmää. 24

36 25 K 1 : K 2 : K 3 : K 4 : K 5 : K 6 : Kuva Täydllist graafit K 1, K 2,..., K 6.

37 26 Määritlmä 1.17 Yksinkrtainn graafi on k-säännöllinn, jos sn jokaisn solmun ast on k. G 1 : G 2 : Kuva Graafi G 1 on 2-säännöllinn ja graafi G 2 on 3-säännöllinn.

38 26 Määritlmä 1.17 Yksinkrtainn graafi on k-säännöllinn, jos sn jokaisn solmun ast on k. G 1 : G 2 : Kuva Graafi G 1 on 2-säännöllinn ja graafi G 2 on 3-säännöllinn. Täydllinn graafi K n on (n 1)-säännöllinn.

39 Määritlmä 1.18 Suuntaamaton graafi (V, E) on kaksijakoinn, jos solmujoukko V voidaan jakaa kahtn sllaisn pätyhjään joukkoon V 1 ja V 2, ttä jokaisn särmän toinn päätsolmu kuuluu joukkoon V 1 ja toinn joukkoon V 2. G 1 : G 2 : v 1 v 2 v 1 v 4 v 5 v 3 v 2 v 3 v 4 v 6 v 5 Kuva Kaksijakoinn graafi G 1 ja kolmijakoinn graafi G 2. 27

40 Määritlmä 1.19 Suuntaamaton graafi (V, E) on k-jakoinn, jos on olmassa sllainn solmujoukon V luokkajako {V 1, V 2,..., V k }, ttä joukon E minkään särmän molmmat päätsolmut ivät kuulu samaan joukkoon V i. 28

41 Määritlmä 1.19 Suuntaamaton graafi (V, E) on k-jakoinn, jos on olmassa sllainn solmujoukon V luokkajako {V 1, V 2,..., V k }, ttä joukon E minkään särmän molmmat päätsolmut ivät kuulu samaan joukkoon V i. Määritlmä 1.20 Yksinkrtainn graafi K m,n on täydllinn kaksijakoinn graafi, jos sn solmut voidaan jakaa kahtn sllaisn m- ja n-alkioisn osajoukkoon, ttä kahdn solmun välillä on särmä täsmälln silloin, kun solmut kuuluvat ri osajoukkoihin. K 2,2 : K 3,2 : K 3,3 : Kuva Täydllist kaksijakoist graafit K 2,2, K 3,2 ja K 3,3. 28

42 Määritlmä 1.21 Yksinkrtainn graafi C n = (V, E) (n = 3, 4, 5,...) on silmukka, jos sn solmut ja särmät voidaan antaa joukkoina V = {v 1, v 2,..., v n } ja E = {{v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 },..., {v n 1, v n }, {v n, v 1 }}. C 3 : C 4 : C 5 : Kuva Silmukat C 3, C 4 ja C 5. 29

43 30 Määritlmä 1.22 Silmukasta C n 1 saadaan pyörä W n = (V, E) (n = 4, 5, 6,...), kun siihn lisätään yksi solmu ja lisäksi särmä tästä solmusta jokaisn muuhun pyörän solmuun. W 4 : W 5 : W 6 : Kuva Pyörät W 4, W 5 ja W 6.

44 31 Graafin avulla voidaan mallintaa titokonvrkkoja. Tällöin graafin solmut vastaavat vrkon konita ja särmät yhtyksiä konidn välillä ( piuhoja ). Esimrkki 1.9 (lähivrkko) Kont voidaan liittää vrkkoon simrkiksi (a) yhdistämällä kaikki kont kskuskonsn (K 1,n 1 ), (b) yhdistämällä kont silmukaksi (C n ) tai (c) yhdistämällä kont pyöräksi (W n ), jossa kskuskon on yhdistttynä kaikkiin muihin konisiin (ks. kuva 1.19). K 1,5 : C 6 : W 6 : Kuva Kolm lähivrkkoa.

45 Aligraafi Määritlmä 1.23 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia graafja, ttä W V ja F E. Silloin graafi H on graafin G aligraafi. Jos lisäksi W V tai F E, niin kysssä on aito aligraafi.

46 Aligraafi Määritlmä 1.23 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia graafja, ttä W V ja F E. Silloin graafi H on graafin G aligraafi. Jos lisäksi W V tai F E, niin kysssä on aito aligraafi. Huomautus Koska aligraafi H = (W, F) on graafi, niin W.

47 Aligraafi Määritlmä 1.23 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia graafja, ttä W V ja F E. Silloin graafi H on graafin G aligraafi. Jos lisäksi W V tai F E, niin kysssä on aito aligraafi. Huomautus Koska aligraafi H = (W, F) on graafi, niin W. G: v 1 v 2 H : 1 v 1 v 2 H : 2 v1 H : 3 H 4 : v 1 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafi G ja joitakin sn aligraafja.

48 33 Esimrkki 1.10 Graafilla K n on n i=1 n 2 i(i 1)/2 ri aligraafia. i

49 33 Esimrkki 1.10 Graafilla K n on n i=1 n 2 i(i 1)/2 ri aligraafia. i Määritlmä 1.24 Jos graafin G aligraafi H on täydllinn graafi, niin H on graafin G klikki.

50 33 Esimrkki 1.10 Graafilla K n on n i=1 n 2 i(i 1)/2 ri aligraafia. i Määritlmä 1.24 Jos graafin G aligraafi H on täydllinn graafi, niin H on graafin G klikki. Esimrkki 1.11 Kuvassa 1.20 aligraafit H 3 ja H 4 ovat graafin G klikkjä. G: v 1 v 2 H : 1 v 1 v 2 H : 2 v1 H : 3 H 4 : v 1 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafi G ja joitakin sn aligraafja.

51 Määritlmä 1.25 Olkoon G = (V, E) ja H = (V, F) sn aligraafi. Silloin H on graafin G virittävä aligraafi. G: H 1 : v 1 v 2 v1 v 2 H 2 : v1 v 2 H 3 : v1 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 Kuva Graafi G ja joitakin sn virittäviä aligraafja. 34

52 Määritlmä 1.26 Olkoon G = (V, E) graafi ja F E sn pätyhjä särmäjoukko. Tällöin H = (W, F), missä W V on joukon F särmin päätsolmujn joukko, on joukon F (särmä)indusoima graafin G aligraafi. Tällöin mrkitään H = F. 35

53 35 Määritlmä 1.26 Olkoon G = (V, E) graafi ja F E sn pätyhjä särmäjoukko. Tällöin H = (W, F), missä W V on joukon F särmin päätsolmujn joukko, on joukon F (särmä)indusoima graafin G aligraafi. Tällöin mrkitään H = F. Määritlmä 1.27 Olkoon G = (V, E) graafi ja W V sn pätyhjä solmujoukko. Tällöin H = (W, F) on joukon W (solmu)indusoima graafin G aligraafi, jos F E muodostuu niistä joukon E särmistä, joidn päätsolmut kuuluvat joukkoon W. Tällöin mrkitään H = W.

54 G: v v v 1 v v v v v v v 3 5 { 1, 2, 4, 5 } : v 4 v 5, v v v v 5 2 { v 1, v 2, } : Kuva Graafi G ja tämän särmäindusoitu aligraafi { 1, 2, 4, 5 } skä solmuindusoitu aligraafi {v 1, v 2, v 4, v 5 }. 36

55 G: v v v 1 v v v v v v v 3 5 { 1, 2, 4, 5 } : v 4 v 5, v v v v 5 2 { v 1, v 2, } : Kuva Graafi G ja tämän särmäindusoitu aligraafi { 1, 2, 4, 5 } skä solmuindusoitu aligraafi {v 1, v 2, v 4, v 5 }. Joskus on käytännöllistä samastaa särmäjoukko (tai solmujoukko) ja sn indusoima graafi. 36

56 Määritlmä 1.28 Graafin G aligraafia H sanotaan graafin G maksimaalisksi aligraafiksi jonkin ominaisuudn P suhtn, jos (i) graafilla H on ominaisuus P ja (ii) aina, kun H on graafin G aligraafin F aito aligraafi, aligraafilla F i ol ominaisuutta P. Vastaavasti määritllään minimaalinn aligraafi. 37

57 Määritlmä 1.28 Graafin G aligraafia H sanotaan graafin G maksimaalisksi aligraafiksi jonkin ominaisuudn P suhtn, jos (i) graafilla H on ominaisuus P ja (ii) aina, kun H on graafin G aligraafin F aito aligraafi, aligraafilla F i ol ominaisuutta P. Vastaavasti määritllään minimaalinn aligraafi. Maksimaalinn tai minimaalinn aligraafi i siis välttämättä ol yksikäsittinn. 37

58 Komplmnttigraafi Määritlmä 1.29 Yksinkrtaisn graafin G komplmnttigraafi G on graafi, jonka solmut ovat samat kuin graafin G solmut ja jossa kaksi ri solmua ovat virussolmuja täsmälln silloin, kun n ivät ol virussolmuja graafissa G. Slvästikin graafi on aina komplmnttinsa komplmntti li G = G. G 1 : G v 1 v 1 : 2 v1 v 2 v 3 v 4 G 2 : v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 G 2 : v 3 v 4 v 1 v 2 v 3 v 5 Kuva Graafit G 1 ja G 2 ja niidn komplmnttigraafit G 1 ja G 2. v 4

59 Laus 1.4 Olkoon G vähintään kuusisolmuinn graafi. Tällöin täydllinn 3-solmuinn graafi K 3 on joko graafin G tai sn komplmntin G aligraafi. 39

60 Laus 1.4 Olkoon G vähintään kuusisolmuinn graafi. Tällöin täydllinn 3-solmuinn graafi K 3 on joko graafin G tai sn komplmntin G aligraafi. Lausn 1.4 onglmaa voidaan tarkastlla myös ylismmin, li milloin täydllinn graafi K m on jonkin graafin tai sn komplmntin aligraafi. Ramsyn luku r(m, n) on pinin sllainn luku, ttä jos G on r(m, n)-solmuinn graafi, niin joko K m on graafin G aligraafi tai K n on graafin G komplmntin aligraafi. 39

61 Laus 1.4 Olkoon G vähintään kuusisolmuinn graafi. Tällöin täydllinn 3-solmuinn graafi K 3 on joko graafin G tai sn komplmntin G aligraafi. Lausn 1.4 onglmaa voidaan tarkastlla myös ylismmin, li milloin täydllinn graafi K m on jonkin graafin tai sn komplmntin aligraafi. Ramsyn luku r(m, n) on pinin sllainn luku, ttä jos G on r(m, n)-solmuinn graafi, niin joko K m on graafin G aligraafi tai K n on graafin G komplmntin aligraafi. Koska G = G, niin r(m, n) = r(n, m). Slvästikin r(1, n) = r(m, 1) = 1, r(2, n) = n ja r(m, 2) = m. Lausn 1.4 nojalla taas r(3, 3) 6. 39

62 Tunntut luvut sittään taulukossa 1.1. Voidaan kuitnkin osoittaa, ttä m + n 2 r(m, n). m 1 n \ m Taulukko 1.1. Joitakin Ramsyn lukuja r(m, n). 40

63 Määritlmä 1.30 Olkoon H = (W, F) yksinkrtaisn graafin G = (V, E) aligraafi. Tällöin graafia (V, E \ F) sanotaan graafin H komplmntiksi graafin G suhtn. 41

64 Määritlmä 1.30 Olkoon H = (W, F) yksinkrtaisn graafin G = (V, E) aligraafi. Tällöin graafia (V, E \ F) sanotaan graafin H komplmntiksi graafin G suhtn. Tavallinn n-solmuisn yksinkrtaisn graafin komplmntti on siis komplmntti täydllisn graafin K n suhtn. G: H: H : v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafi H on graafin H komplmntti graafin G suhtn. 41

65 1.7 Graafiopraatioita Määritlmä 1.31 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia yksinkrtaisia graafja, ttä W V. Tällöin graafin G ja H rotus G H = (V, E \ F). G: H: G-H: v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 5 v 3 v 5 v 3 v 5 v 4 v 4 v 4 Kuva Graafit G ja H skä niidn rotus G H. 42

66 1.7 Graafiopraatioita Määritlmä 1.31 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia yksinkrtaisia graafja, ttä W V. Tällöin graafin G ja H rotus G H = (V, E \ F). G: H: G-H: v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 5 v 3 v 5 v 3 v 5 v 4 v 4 v 4 Kuva Graafit G ja H skä niidn rotus G H. Erotus ylistää siis määritlmän 1.30 myös tapauksn, jossa H i ol graafin G aligraafi (mutta kylläkin W V ). Jos H on graafin G aligraafi, niin G H on graafin H komplmntti graafin G suhtn. 42

67 Määritlmä 1.32 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) yksinkrtaisia graafja. Lisäksi kohdassa (b) olttaan, ttä V W, ja kohdassa (c), ttä E F. Tällöin graafin G ja H (a) unioni (li yhdist) G H on graafi (V W, E F), 43

68 Määritlmä 1.32 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) yksinkrtaisia graafja. Lisäksi kohdassa (b) olttaan, ttä V W, ja kohdassa (c), ttä E F. Tällöin graafin G ja H (a) unioni (li yhdist) G H on graafi (V W, E F), (b) likkaus G H on graafi (V W, E F), 43

69 Määritlmä 1.32 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) yksinkrtaisia graafja. Lisäksi kohdassa (b) olttaan, ttä V W, ja kohdassa (c), ttä E F. Tällöin graafin G ja H (a) unioni (li yhdist) G H on graafi (V W, E F), (b) likkaus G H on graafi (V W, E F), (c) rngassumma G H on särmäjoukon E F indusoima graafin G H aligraafi. Joukko-opraatiolla tarkoittaan tässä symmtristä rotusta, toisin sanon E F = (E \ F) (F \ E). 43

70 G: v 1 v 2 H: v 2 v 3 v 3 v 4 G H: G H: G H: v 1 v 2 v 2 v 1 v 2 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafit G ja H skä niidn unioni, likkaus ja rngassumma. 44

71 Opraatiot, kutn myös rotus, voidaan ylistää multigraafill ottamalla huomioon särmin moninkrtaisuudt. Jos solmujoukot V ja W ovat rillisiä, likkausta i voida määritllä, koska graafissa solmujoukko i voi olla tyhjä. Vastaavasti rngassummaa i voida määritllä, jos E = F. Jos kuitnkin graafin määritlmää laajnnttaisiin niin, ttä nollagraafia pidttäisiin graafina, kumpikin opraatio olisi mahdollinn. Määritlmän 1.32 opraatiot ovat kahdn graafin välisiä opraatioita. Kaikki kolm opraatiota ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä. 45

72 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. 46

73 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. Määritlmä 1.34 (särmän poisto) Jos on graafin G = (V, E) särmä, niin G = (V, E \ {}). 46

74 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. Määritlmä 1.34 (särmän poisto) Jos on graafin G = (V, E) särmä, niin G = (V, E \ {}). Määritlmä 1.35 (särmän lisäys) Jos u ja v ovat graafin G = (V, E) solmuja ja = {u, v}, niin G + = (V, E {}). 46

75 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. Määritlmä 1.34 (särmän poisto) Jos on graafin G = (V, E) särmä, niin G = (V, E \ {}). Määritlmä 1.35 (särmän lisäys) Jos u ja v ovat graafin G = (V, E) solmuja ja = {u, v}, niin G + = (V, E {}). Koska usampia solmuja tai särmiä poistttassa (lisättässä) poistamisjärjstyksllä (lisäämisjärjstyksllä) i ol mrkitystä, mrkintöjä G {v 1, v 2,..., v n } ja G { 1, 2,..., n } (G + { 1, 2,..., n }) voidaan käyttää tarkoittamaan, ttä solmuja tai särmiä poisttaan (lisätään) usampia. 46

76 G: v 1 1 v 2 G - v : 2 v 1 G - v 4 : v 1 1 v v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 G - 1 : G - 3 : G : 1 v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 5 Kuva Muutama yhtn graafiin liittyvä opraatio. 47

77 Määritlmä 1.36 Graafin G solmujn u ja v yhdistämisllä tarkoittaan opraatiota, jossa solmut u ja v korvataan uudlla solmulla w ja kaikki solmujn u ja v kautta kulkvat särmät asttaan kulkmaan solmun w kautta. 48

78 Määritlmä 1.36 Graafin G solmujn u ja v yhdistämisllä tarkoittaan opraatiota, jossa solmut u ja v korvataan uudlla solmulla w ja kaikki solmujn u ja v kautta kulkvat särmät asttaan kulkmaan solmun w kautta. Määritlmä 1.37 Särmän kutistamislla tarkoittaan opraatiota, jossa särmä nsin poisttaan ja sittn sn päätsolmut yhdisttään. Graafi G on kutistttavissa graafiksi H, jos H saadaan graafista G präkkäisillä särmin kutistusopraatioilla. 48

79 Esimrkki 1.12 Graafi G 1 on saatu graafista G yhdistämällä solmut v 3 ja v 4 ja graafi G 2 yhdistämällä solmut v 2 ja v 3. G: v v 3 v 4 4 G 1 : 1 v 2 v 1 v 2 ( v 3, v 4 ) 2 3 G 2 : ( v 2, v 3 ) 4 3 v v 4 Kuva 1.28a. Solmujn yhdistäminn. 49

80 50 Graafi G 3 puolstaan on saatu kutistamalla särmä 4 ja graafi G 4 kutistamalla särmä 3. Kutn havaitaan, vain tapauksssa G 3 tuloksna olva graafi on yksinkrtainn, vaikka alkupräinn graafi on yksinkrtainn. G: v v 3 v 4 4 G 3 : 1 v 2 v 1 v 2 ( v 3, v 4 ) 2 3 G 4 : ( v 2, v 3 ) v v 4 Kuva 1.28b. Särmän kutistaminn. Jos solmujn yhdistäminn ja särmän kutistus rajoittaan yksinkrtaisill graafill, niin tuloksista poisttaan luupit ja rinnakkaisista särmistä valitaan solmuparia kohti yksi.

81 1.8 Graafin sittäminn matriisin avulla Graafi voidaan sittää mm. virusmatriisin tai tapausmatriisin avulla. Määritlmä 1.38 Olkoon G = (V, E) yksinkrtainn n-solmuinn graafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa 1, jos vi ja v j ovat virussolmuja, a i j = 0, muulloin. 51

82 52 G: v1 v2 v 3 v A = Kuva Graafi G ja graafin G virusmatriisi A.

83 52 G: v1 v2 v 3 v A = Kuva Graafi G ja graafin G virusmatriisi A. Yksinkrtaisn graafin virusmatriisi on symmtrinn, sn lävistäjäalkiot ovat nollia ja muut alkiot nollia tai ykkösiä.

84 53 Määritlmä 1.39 Olkoon G = (V, E) suuntaamaton n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = solmujn v i ja v j välillä olvin särmin lukumäärä.

85 53 Määritlmä 1.39 Olkoon G = (V, E) suuntaamaton n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = solmujn v i ja v j välillä olvin särmin lukumäärä. Suuntaamattoman multigraafin virusmatriisi on symmtrinn ja sn lävistäjäalkiot ovat nollia. G: v1 v2 v 3 v A = Kuva Multigraafi G ja graafin G virusmatriisi A.

86 Psudograafin virusmatriisi määritllään vastaavasti. Skin on symmtrinn, mutta sn kaikki lävistäjäalkiot ivät välttämättä ol nollia. G: v v 1 3 v v A = Kuva Psudograafi G ja graafin G virusmatriisi A. 54

87 55 Määritlmä 1.40 Olkoon G = (V, E) suunnattu n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = särmin lukumäärä solmusta v i solmuun v j.

88 55 Määritlmä 1.40 Olkoon G = (V, E) suunnattu n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = särmin lukumäärä solmusta v i solmuun v j. Suunnatun graafin virusmatriisi i välttämättä ol symmtrinn ivätkä sn kaikki lävistäjäalkiot välttämättä ol nollia. G: v v 1 v 2 3 v A = Kuva Suunnattu graafi G ja graafin G virusmatriisi A.

89 Määritlmä 1.41 Olkoon G = (V, E) n-solmuinn m-särmäinn suuntaamaton graafi. Mrkitään V = {v 1,..., v n }, E = { 1,..., m }. Silloin graafin G tapausmatriisi C on sllainn n m -matriisi, jossa 1, jos särmä j kulk solmun v i kautta, c i j = 0, muulloin. 56

90 56 Määritlmä 1.41 Olkoon G = (V, E) n-solmuinn m-särmäinn suuntaamaton graafi. Mrkitään V = {v 1,..., v n }, E = { 1,..., m }. Silloin graafin G tapausmatriisi C on sllainn n m -matriisi, jossa 1, jos särmä j kulk solmun v i kautta, c i j = 0, muulloin. G: v v v v C = Kuva Suuntaamaton graafi G ja graafin G tapausmatriisi C.

91 Koska multigraafissa kukin särmä yhdistää kaksi ri solmua, multigraafin tapausmatriisin kunkin pystyrivin alkioidn summa on kaksi. Psudograafissa pystyrivin summa voi olla myös yksi. Multigraafin tapausmatriisin vaakarivin alkioidn summa antaa kysistä vaakariviä vastaavan solmun astn. Psudograafin astlukuja laskttassa on huomioitava, ttä kukin luuppi lisää tapausmatriisin vaakarivisummaa vain yhdllä. 57

92 Isomorfisuus Graafit, jotka ovat muutn samoja, paitsi ttä niidn solmut tai särmät on nimtty rilailla, voidaan usin samastaa. Tällaist graafit ovat isomorfisia. Määritlmä 1.42 Olkoot G 1 = (V 1, E 1 ) ja G 2 = (V 2, E 2 ) yksinkrtaisia graafja. Silloin graafja G 1 ja G 2 sanotaan isomorfisiksi, jos on olmassa sllainn kuvaus f : V 1 V 2, ttä (i) f on bijktio, (ii) f säilyttää solmujn virkkyydn, ts. kaikilla u, v V 1 pät: {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2. Kuvausta f kutsutaan isomorfiakuvauksksi.

93 Esimrkki 1.13 Graafit G 1 ja G 2 ovat isomorfist. Isomorfiakuvaus f on nyt simrkiksi f (a) = 2, f (b) = 3, f (c) = 4 ja f (d) = 1. Slvästikin f on bijktio. Lisäksi f säilyttää solmujn virkkyydn, sillä graafin G 1 ja G 2 virusmatriisit ovat samat. G 1 : G 2 : a b 1 2 c d 3 4 A 1 = a b c d a b c d A 2 = Kuva Isomorfist graafit G 1 ja G 2 skä niidn virusmatriisit A 1 ja A 2. 59

94 Esimrkki 1.14 Graafit G 1 ja G 5 ovat ksknään isomorfisia. Samoin graafit G 3 ja G 6 ovat ksknään isomorfisia. Sn sijaan kolmisolmuinn graafi G 2 skä graafi G 4, jossa kolmn solmun ast on 2, ivät ol kuvan 1.35 minkään muun graafin kanssa isomorfisia. G 1 : G 2 : G 3 : G 4 : G 5 : G 6 : Kuva Yksinkrtaisia graafja. 60

95 Multigraafin, psudograafin ja suunnattujn graafin isomorfisuus määritllään samaan tapaan. Virkkyydn säilyminn dllyttää lisäksi, ttä isomorfiakuvauksssa f myös särmin moninkrtaisuus/suunta säilyy. 61

96 61 Multigraafin, psudograafin ja suunnattujn graafin isomorfisuus määritllään samaan tapaan. Virkkyydn säilyminn dllyttää lisäksi, ttä isomorfiakuvauksssa f myös särmin moninkrtaisuus/suunta säilyy. Esimrkki 1.15 Graafit G 1 ja G 2 ivät ol isomorfisia, koska solmuilla on ri tuloastt. Sn sijaan vastaavat suuntaamattomat graafit G 3 ja G 4 ovat isomorfisia. G 1 : G 2 : G 3 : G 4 : Kuva Kaksisolmuisia ja kaksisärmäisiä graafja.