Johdatus graafiteoriaan
|
|
- Matilda Pesonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus graafitoriaan Syksy 2017 Lauri Hlla Tamprn yliopisto Luonnontitidn tidkunta
2 2 Luku 1 Pruskäsittitä 1.1 Määritlmiä 1.2 Esimrkkjä 1.3 Trminologiaa 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja 1.5 Aligraafi 1.6 Komplmnttigraafi 1.7 Graafiopraatioita 1.8 Graafin sittäminn matriisin avulla 1.9 Isomorfisuus
3 3 1.1 Määritlmiä Määritlmä 1.1 Yksinkrtainn graafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on äärllinn joukko järjstämättömiä parja {u, v}, missä u, v V, u v. Joukon V alkioita sanotaan solmuiksi ja joukon E alkioita särmiksi.
4 3 1.1 Määritlmiä Määritlmä 1.1 Yksinkrtainn graafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on äärllinn joukko järjstämättömiä parja {u, v}, missä u, v V, u v. Joukon V alkioita sanotaan solmuiksi ja joukon E alkioita särmiksi. Yksinkrtaisn graafin käsit voidaan määritllä lyhymmin suraavasti: Määritlmä 1.2 Yksinkrtainn graafi koostuu solmuista ja niitä yhdistävistä särmistä, missä 1. kahdn ri solmun välillä voi olla korkintaan yksi särmä, 2. solmusta i voi olla särmää solmuun itsnsä.
5 Yksisolmuista yksinkrtaista graafia sanotaan triviaaliksi graafiksi. Graafja havainnollisttaan usin suraavanlaisilla kuvilla: G 1 : G 2 : v 1 v 2 v v 3 v 4 Kuva 1.1. Triviaali graafi G 1 = ({v}, ) ja yksinkrtainn graafi G 2 = ({v 1, v 2, v 3, v 4 }, {{v 1, v 2 }, {v 1, v 3 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }}). 4
6 5 Määritlmä 1.3 Multigraafi on yksinkrtaisn graafin ylistys, jossa kahdn ri solmun välillä voi olla usita (äärllinn määrä) särmiä. v v 2 v 3 Kuva 1.2. Multigraafi (V, E), missä V = {v 1, v 2, v 3 } ja E = { 1, 2, 3 }. 3
7 6 Multigraafin käsit voidaan määritllä kahdlla toisistaan poikkavalla tavalla. (1) Multigraafi voidaan määritllä parina (V, E), missä V on äärllinn pätyhjä solmujoukko ja särmäjoukko E on joukon V järjstämättömin pistparin {u, v} (u v) muodostama multijoukko.
8 6 Multigraafin käsit voidaan määritllä kahdlla toisistaan poikkavalla tavalla. (1) Multigraafi voidaan määritllä parina (V, E), missä V on äärllinn pätyhjä solmujoukko ja särmäjoukko E on joukon V järjstämättömin pistparin {u, v} (u v) muodostama multijoukko. (2) Multigraafi voidaan määritllä kolmikkona (V, E, f ), missä V on äärllinn pätyhjä solmujoukko, E on äärllinn särmäjoukko ja f on funktio f : E { {u, v} u, v V, u v }. Jos f ( 1 ) = f ( 2 ), särmät 1 ja 2 ovat rinnakkaisia.
9 Määritlmä 1.4 Psudograafi on multigraafin ylistys, jossa solmusta voi olla särmä tai särmiä solmuun itsnsä. Näitä särmiä sanotaan luupiksi. 1 2 v 2 3 v 1 v 3 Kuva 1.3. Psudograafi (V, E) = ({v 1, v 2, v 3 }, { 1, 2, 3 }). 7
10 8 Määritlmä 1.5 Suunnattu graafi li digraafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on joukko järjstttyjä parja (u, v), missä u, v V. v 1 v 2 v 4 v 3 Kuva 1.4. Suunnattu graafi (V, E) = ({v 1, v 2, v 3, v 4 }, {(v 1, v 2 ), (v 1, v 4 ), (v 2, v 1 ), (v 2, v 3 ), (v 4, v 3 ), (v 4, v 4 )}).
11 8 Määritlmä 1.5 Suunnattu graafi li digraafi G on pari (V, E), missä V on äärllinn joukko ja E on joukko järjstttyjä parja (u, v), missä u, v V. v 1 v 2 v 4 v 3 Kuva 1.4. Suunnattu graafi (V, E) = ({v 1, v 2, v 3, v 4 }, {(v 1, v 2 ), (v 1, v 4 ), (v 2, v 1 ), (v 2, v 3 ), (v 4, v 3 ), (v 4, v 4 )}). Suunnatun graafin särmiä sanotaan kaariksi tai nuoliksi. Määritlmässä 1.5 i dllyttä, ttä u v, jotn suunnatussa graafissa voi olla luuppja.
12 Myös suunnatun graafin käsit voidaan ilmaista lyhymmin: Määritlmä 1.6 Suunnattu graafi koostuu solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista, missä 1. kahdn ri solmun välillä voi olla korkintaan kaksi kaarta, yksi kumpaankin suuntaan, 2. solmusta voi olla kaari solmuun itsnsä. 9
13 Myös suunnatun graafin käsit voidaan ilmaista lyhymmin: Määritlmä 1.6 Suunnattu graafi koostuu solmuista ja niitä yhdistävistä kaarista, missä 1. kahdn ri solmun välillä voi olla korkintaan kaksi kaarta, yksi kumpaankin suuntaan, 2. solmusta voi olla kaari solmuun itsnsä. Graafin G = (V, E) solmujoukoll V voidaan tarvittassa käyttää mrkintää V (G) ja särmäjoukoll E mrkintää E(G). Tämä kosk yksinkrtaisia graafja, multigraafja, suunnattuja graafja, ja kaikki muitakin tarkastlmiamm graafja. 9
14 10 Määritlmä 1.7 Suunnattu multigraafi on suunnatun graafin ylistys, jossa voi olla moninkrtaisia kaaria. 1 2 v 1 v 2 3 Kuva 1.5. Suunnattu multigraafi (V, E) = ({v 1, v 2 }, { 1, 2, 3 }).
15 Määritlmä 1.8 Painotttu graafi on graafin ylistys, jossa jokaisn särmään on liittty jokin luku. Tätä lukua sanotaan särmän painoksi. 11
16 11 Määritlmä 1.8 Painotttu graafi on graafin ylistys, jossa jokaisn särmään on liittty jokin luku. Tätä lukua sanotaan särmän painoksi. Määritlmä 1.9 Mrkinnällä w( ) tarkoittaan särmän painoa tai painottun graafin särmin yhtnlaskttua painoa.
17 12 Esimrkki 1.1 Kuvan 1.6 graafissa G särmin painot ovat w({v 1, v 3 }) = 5, w({v 2, v 3 }) = 3 ja w({v 1, v 2 }) = 4. Graafin G särmin yhtnlaskttu paino w(g) on 12. G: v v 1 4 v 2 Kuva 1.6. Painotttu graafi G, joka mallintaa Pythagoraan laustta.
18 Esimrkkjä Esimrkki 1.2 Graafin avulla voidaan mallintaa ri läinlajin välistä vuorovaikutusta. Esimrkiksi kosystmissä lajin välistä kilpailua voidaan mallintaa graafilla, joka kuvaa kologistn lokroidn päällkkäisyyttä. Kuvan 1.7 graafi mallintaa mtsän kosystmiä. Graafin prustlla Supi Haukka Pöllö simrkiksi orava ja supi ovat Orava Opossumi ksknään kilpailvia lajja, mutta Varis varis ja päästäinn ivät ol. Päästäinn Hiiri Tikka Kuva 1.7. Ekologistn lokroidn päällkkäisyys.
19 Esimrkki 1.3 Ryhmän käyttäytymistä tutkittassa voidaan havaita, ttä jotkut ryhmän jäsnt voivat vaikuttaa ryhmän muidn jäsntn käyttäytymisn. Tällaista käyttäytymistä voidaan mallintaa suunnatulla vaikutusvaltagraafilla. Kuvan 1.8 graafin mukaan simrkiksi Kaisa voi vaikuttaa Raijan käyttäytymisn, Raija voi vaikuttaa Tiinan käyttäytymisn ja Tiina voi vaikuttaa Kaisan käyttäytymisn. Tiina Mira Anna Raija Kaisa Kuva 1.8. Ryhmän jäsntn vaikutus toistnsa käyttäytymisn. 14
20 15 Esimrkki 1.4 Turnausta, jossa jokainn joukku plaa toistaan vastaan täsmälln krran, voidaan mallintaa suunnatulla graafilla. Tällöin kutakin joukkutta vastaa oma solmunsa ja graafissa on särmä (a, b), jos joukku a voittaa joukkun b. Esimrkiksi kuvan 1.9 turnauksssa Suomi on voittamaton ja Ruotsilla on yksi voitto skä kolm tappiota. Tskki Saksa Ruotsi Kanada Suomi Kuva 1.9. Vuodnvaihtn jääkikon nuortn MM kisatulokst.
21 16 Esimrkki 1.5 Titokonohjlman käskyjn suoritusjärjstys voidaan mallintaa suunnatulla graafilla, jossa kutakin käskyä dustaa oma solmunsa ja solmusta a on särmä solmuun b, jos käsky a suorittaan nnn käskyä b. Kuvan 1.10 suunnatussa graafissa G 1 simrkiksi käskyä s 5 i voida suorittaa nnn käskyjä s 1, s 2 ja s 4, mutta käskyt s 5 ja s 6 voidaan suorittaa samanaikaissti. Turhat särmät voidaan myös jättää pois, jolloin saadan suunnattu graafi G 2. s 1 : a := 0 s 2 : b := 1 s 3 : c := a + 1 s 4 : d := a + b s 5 : := d + 1 s 6 : f := c + d G 1 : s s 1 6 s 3 s4 s s 2 5 : G 2 s s 1 s 3 s4 Kuva Titokonohjlman käskyjn suoritusjärjstys. 6 s s 2 5
22 1.3 Trminologiaa Määritlmä 1.10 Olkoon solmujn u ja v välillä särmä. Silloin 1. solmut u ja v ovat virussolmut, 2. särmä yhdistää solmut u ja v, 3. solmut u ja v ovat särmän päätsolmut li päätpistt, 4. särmä kulk solmujn u ja v kautta. 17
23 1.3 Trminologiaa Määritlmä 1.10 Olkoon solmujn u ja v välillä särmä. Silloin 1. solmut u ja v ovat virussolmut, 2. särmä yhdistää solmut u ja v, 3. solmut u ja v ovat särmän päätsolmut li päätpistt, 4. särmä kulk solmujn u ja v kautta. Määritlmä 1.11 Solmun ast dg( ) ilmais kuinka monn särmän päätsolmuna solmu on. Määritlmä 1.12 Solmu u on risttty, jos dg(u) = 0, ja solmu u on loppusolmu, jos dg(u) = 1. Jos särmän päätsolmuna on loppusolmu, särmä on loppusärmä. 17
24 18 Esimrkki 1.6 Kuvassa 1.11 solmujn astt on mrkitty solmujn virn. Solmu v 4 on risttty solmu ja solmu v 5 loppusolmu. Huom: luuppi kasvattaa solmun v 2 asttta kahdlla. G: v 2 v 1 v 3 v 5 v 4 dg(v 1 ) = 4 dg(v 2 ) = 4 dg(v 3 ) = 3 dg(v 4 ) = 0 dg(v 5 ) = 1 Kuva Graafi G ja graafin G solmujn astt.
25 Laus 1.1 ( Handshaking thorm ) Olkoon (V, E) suuntaamaton graafi. Silloin 2 E = dg(v). Mrkinnällä tarkoittaan joukon alkioidn (tässä siis särmin) lukumäärää. v V 19
26 Laus 1.1 ( Handshaking thorm ) Olkoon (V, E) suuntaamaton graafi. Silloin 2 E = dg(v). Mrkinnällä tarkoittaan joukon alkioidn (tässä siis särmin) lukumäärää. v V Laus 1.2 Suuntaamattomassa graafissa on parillinn määrä paritonastisia solmuja. 19
27 20 Määritlmä 1.13 Olkoon G = (V, E) suuntaamaton graafi. Silloin on graafin solmujn minimiast ja maksimiast. δ(g) = min v V (dg(v)) (G) = max v V (dg(v))
28 21 Esimrkki 1.7 Kuvan 1.11 graafin minimiast ja maksimiast ovat δ(g) = 0 ja (G) = 4. G: v 2 v 1 v 3 v 5 v 4 dg(v 1 ) = 4 dg(v 2 ) = 4 dg(v 3 ) = 3 dg(v 4 ) = 0 dg(v 5 ) = 1 Kuva Graafi G ja graafin G solmujn astt.
29 22 Määritlmä 1.14 Olkoon = (u, v) suunnatun graafin kaari solmusta u solmuun v. Silloin 1. solmu u dltää solmua v, 2. solmu v suraa solmua u, 3. solmu u on särmän lähtösolmu, 4. solmu v on särmän maalisolmu.
30 22 Määritlmä 1.14 Olkoon = (u, v) suunnatun graafin kaari solmusta u solmuun v. Silloin 1. solmu u dltää solmua v, 2. solmu v suraa solmua u, 3. solmu u on särmän lähtösolmu, 4. solmu v on särmän maalisolmu. Määritlmä 1.15 Solmun lähtöast dg + ( ) tarkoittaa niidn kaarin lukumäärää, joidn lähtösolmuna solmu on. Vastaavasti solmun tuloast dg ( ) tarkoittaa niidn kaarin lukumäärää, joidn maalisolmuna solmu on.
31 23 Esimrkki 1.8 Kuvassa 1.12 näkyvät graafin G solmujn lähtö- ja tuloastt. G: v 1 v 2 v 3 v 4 dg + (v 1 ) = 1, dg (v 1 ) = 0, dg + (v 2 ) = 2, dg (v 2 ) = 2, dg + (v 3 ) = 1, dg (v 3 ) = 2, dg + (v 4 ) = 0, dg (v 4 ) = 0 Kuva Suunnatun graafin G lähtö- ja tuloastt.
32 23 Esimrkki 1.8 Kuvassa 1.12 näkyvät graafin G solmujn lähtö- ja tuloastt. G: v 1 v 2 v 3 v 4 dg + (v 1 ) = 1, dg (v 1 ) = 0, dg + (v 2 ) = 2, dg (v 2 ) = 2, dg + (v 3 ) = 1, dg (v 3 ) = 2, dg + (v 4 ) = 0, dg (v 4 ) = 0 Kuva Suunnatun graafin G lähtö- ja tuloastt. Laus 1.3 Olkoon (V, E) suunnattu graafi. Silloin dg + (v) = dg (v) = E. v V v V
33 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja Joillakin yksinkrtaisilla graafilla on rityinn nimi, jotta niihin on hlppo viitata. Suraavaksi määrittlmm muutamia tällaisia graafja. 24
34 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja Joillakin yksinkrtaisilla graafilla on rityinn nimi, jotta niihin on hlppo viitata. Suraavaksi määrittlmm muutamia tällaisia graafja. Määritlmä 1.16 Yksinkrtainn graafi on täydllinn, jos jokaisn kahdn ri solmun välillä on särmä. Täydllisll n-solmuisll graafill käyttään mrkintää K n. 24
35 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja Joillakin yksinkrtaisilla graafilla on rityinn nimi, jotta niihin on hlppo viitata. Suraavaksi määrittlmm muutamia tällaisia graafja. Määritlmä 1.16 Yksinkrtainn graafi on täydllinn, jos jokaisn kahdn ri solmun välillä on särmä. Täydllisll n-solmuisll graafill käyttään mrkintää K n. Täydllisssä graafissa K n on n(n 1)/2 särmää. 24
36 25 K 1 : K 2 : K 3 : K 4 : K 5 : K 6 : Kuva Täydllist graafit K 1, K 2,..., K 6.
37 26 Määritlmä 1.17 Yksinkrtainn graafi on k-säännöllinn, jos sn jokaisn solmun ast on k. G 1 : G 2 : Kuva Graafi G 1 on 2-säännöllinn ja graafi G 2 on 3-säännöllinn.
38 26 Määritlmä 1.17 Yksinkrtainn graafi on k-säännöllinn, jos sn jokaisn solmun ast on k. G 1 : G 2 : Kuva Graafi G 1 on 2-säännöllinn ja graafi G 2 on 3-säännöllinn. Täydllinn graafi K n on (n 1)-säännöllinn.
39 Määritlmä 1.18 Suuntaamaton graafi (V, E) on kaksijakoinn, jos solmujoukko V voidaan jakaa kahtn sllaisn pätyhjään joukkoon V 1 ja V 2, ttä jokaisn särmän toinn päätsolmu kuuluu joukkoon V 1 ja toinn joukkoon V 2. G 1 : G 2 : v 1 v 2 v 1 v 4 v 5 v 3 v 2 v 3 v 4 v 6 v 5 Kuva Kaksijakoinn graafi G 1 ja kolmijakoinn graafi G 2. 27
40 Määritlmä 1.19 Suuntaamaton graafi (V, E) on k-jakoinn, jos on olmassa sllainn solmujoukon V luokkajako {V 1, V 2,..., V k }, ttä joukon E minkään särmän molmmat päätsolmut ivät kuulu samaan joukkoon V i. 28
41 Määritlmä 1.19 Suuntaamaton graafi (V, E) on k-jakoinn, jos on olmassa sllainn solmujoukon V luokkajako {V 1, V 2,..., V k }, ttä joukon E minkään särmän molmmat päätsolmut ivät kuulu samaan joukkoon V i. Määritlmä 1.20 Yksinkrtainn graafi K m,n on täydllinn kaksijakoinn graafi, jos sn solmut voidaan jakaa kahtn sllaisn m- ja n-alkioisn osajoukkoon, ttä kahdn solmun välillä on särmä täsmälln silloin, kun solmut kuuluvat ri osajoukkoihin. K 2,2 : K 3,2 : K 3,3 : Kuva Täydllist kaksijakoist graafit K 2,2, K 3,2 ja K 3,3. 28
42 Määritlmä 1.21 Yksinkrtainn graafi C n = (V, E) (n = 3, 4, 5,...) on silmukka, jos sn solmut ja särmät voidaan antaa joukkoina V = {v 1, v 2,..., v n } ja E = {{v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 },..., {v n 1, v n }, {v n, v 1 }}. C 3 : C 4 : C 5 : Kuva Silmukat C 3, C 4 ja C 5. 29
43 30 Määritlmä 1.22 Silmukasta C n 1 saadaan pyörä W n = (V, E) (n = 4, 5, 6,...), kun siihn lisätään yksi solmu ja lisäksi särmä tästä solmusta jokaisn muuhun pyörän solmuun. W 4 : W 5 : W 6 : Kuva Pyörät W 4, W 5 ja W 6.
44 31 Graafin avulla voidaan mallintaa titokonvrkkoja. Tällöin graafin solmut vastaavat vrkon konita ja särmät yhtyksiä konidn välillä ( piuhoja ). Esimrkki 1.9 (lähivrkko) Kont voidaan liittää vrkkoon simrkiksi (a) yhdistämällä kaikki kont kskuskonsn (K 1,n 1 ), (b) yhdistämällä kont silmukaksi (C n ) tai (c) yhdistämällä kont pyöräksi (W n ), jossa kskuskon on yhdistttynä kaikkiin muihin konisiin (ks. kuva 1.19). K 1,5 : C 6 : W 6 : Kuva Kolm lähivrkkoa.
45 Aligraafi Määritlmä 1.23 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia graafja, ttä W V ja F E. Silloin graafi H on graafin G aligraafi. Jos lisäksi W V tai F E, niin kysssä on aito aligraafi.
46 Aligraafi Määritlmä 1.23 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia graafja, ttä W V ja F E. Silloin graafi H on graafin G aligraafi. Jos lisäksi W V tai F E, niin kysssä on aito aligraafi. Huomautus Koska aligraafi H = (W, F) on graafi, niin W.
47 Aligraafi Määritlmä 1.23 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia graafja, ttä W V ja F E. Silloin graafi H on graafin G aligraafi. Jos lisäksi W V tai F E, niin kysssä on aito aligraafi. Huomautus Koska aligraafi H = (W, F) on graafi, niin W. G: v 1 v 2 H : 1 v 1 v 2 H : 2 v1 H : 3 H 4 : v 1 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafi G ja joitakin sn aligraafja.
48 33 Esimrkki 1.10 Graafilla K n on n i=1 n 2 i(i 1)/2 ri aligraafia. i
49 33 Esimrkki 1.10 Graafilla K n on n i=1 n 2 i(i 1)/2 ri aligraafia. i Määritlmä 1.24 Jos graafin G aligraafi H on täydllinn graafi, niin H on graafin G klikki.
50 33 Esimrkki 1.10 Graafilla K n on n i=1 n 2 i(i 1)/2 ri aligraafia. i Määritlmä 1.24 Jos graafin G aligraafi H on täydllinn graafi, niin H on graafin G klikki. Esimrkki 1.11 Kuvassa 1.20 aligraafit H 3 ja H 4 ovat graafin G klikkjä. G: v 1 v 2 H : 1 v 1 v 2 H : 2 v1 H : 3 H 4 : v 1 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafi G ja joitakin sn aligraafja.
51 Määritlmä 1.25 Olkoon G = (V, E) ja H = (V, F) sn aligraafi. Silloin H on graafin G virittävä aligraafi. G: H 1 : v 1 v 2 v1 v 2 H 2 : v1 v 2 H 3 : v1 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 Kuva Graafi G ja joitakin sn virittäviä aligraafja. 34
52 Määritlmä 1.26 Olkoon G = (V, E) graafi ja F E sn pätyhjä särmäjoukko. Tällöin H = (W, F), missä W V on joukon F särmin päätsolmujn joukko, on joukon F (särmä)indusoima graafin G aligraafi. Tällöin mrkitään H = F. 35
53 35 Määritlmä 1.26 Olkoon G = (V, E) graafi ja F E sn pätyhjä särmäjoukko. Tällöin H = (W, F), missä W V on joukon F särmin päätsolmujn joukko, on joukon F (särmä)indusoima graafin G aligraafi. Tällöin mrkitään H = F. Määritlmä 1.27 Olkoon G = (V, E) graafi ja W V sn pätyhjä solmujoukko. Tällöin H = (W, F) on joukon W (solmu)indusoima graafin G aligraafi, jos F E muodostuu niistä joukon E särmistä, joidn päätsolmut kuuluvat joukkoon W. Tällöin mrkitään H = W.
54 G: v v v 1 v v v v v v v 3 5 { 1, 2, 4, 5 } : v 4 v 5, v v v v 5 2 { v 1, v 2, } : Kuva Graafi G ja tämän särmäindusoitu aligraafi { 1, 2, 4, 5 } skä solmuindusoitu aligraafi {v 1, v 2, v 4, v 5 }. 36
55 G: v v v 1 v v v v v v v 3 5 { 1, 2, 4, 5 } : v 4 v 5, v v v v 5 2 { v 1, v 2, } : Kuva Graafi G ja tämän särmäindusoitu aligraafi { 1, 2, 4, 5 } skä solmuindusoitu aligraafi {v 1, v 2, v 4, v 5 }. Joskus on käytännöllistä samastaa särmäjoukko (tai solmujoukko) ja sn indusoima graafi. 36
56 Määritlmä 1.28 Graafin G aligraafia H sanotaan graafin G maksimaalisksi aligraafiksi jonkin ominaisuudn P suhtn, jos (i) graafilla H on ominaisuus P ja (ii) aina, kun H on graafin G aligraafin F aito aligraafi, aligraafilla F i ol ominaisuutta P. Vastaavasti määritllään minimaalinn aligraafi. 37
57 Määritlmä 1.28 Graafin G aligraafia H sanotaan graafin G maksimaalisksi aligraafiksi jonkin ominaisuudn P suhtn, jos (i) graafilla H on ominaisuus P ja (ii) aina, kun H on graafin G aligraafin F aito aligraafi, aligraafilla F i ol ominaisuutta P. Vastaavasti määritllään minimaalinn aligraafi. Maksimaalinn tai minimaalinn aligraafi i siis välttämättä ol yksikäsittinn. 37
58 Komplmnttigraafi Määritlmä 1.29 Yksinkrtaisn graafin G komplmnttigraafi G on graafi, jonka solmut ovat samat kuin graafin G solmut ja jossa kaksi ri solmua ovat virussolmuja täsmälln silloin, kun n ivät ol virussolmuja graafissa G. Slvästikin graafi on aina komplmnttinsa komplmntti li G = G. G 1 : G v 1 v 1 : 2 v1 v 2 v 3 v 4 G 2 : v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 G 2 : v 3 v 4 v 1 v 2 v 3 v 5 Kuva Graafit G 1 ja G 2 ja niidn komplmnttigraafit G 1 ja G 2. v 4
59 Laus 1.4 Olkoon G vähintään kuusisolmuinn graafi. Tällöin täydllinn 3-solmuinn graafi K 3 on joko graafin G tai sn komplmntin G aligraafi. 39
60 Laus 1.4 Olkoon G vähintään kuusisolmuinn graafi. Tällöin täydllinn 3-solmuinn graafi K 3 on joko graafin G tai sn komplmntin G aligraafi. Lausn 1.4 onglmaa voidaan tarkastlla myös ylismmin, li milloin täydllinn graafi K m on jonkin graafin tai sn komplmntin aligraafi. Ramsyn luku r(m, n) on pinin sllainn luku, ttä jos G on r(m, n)-solmuinn graafi, niin joko K m on graafin G aligraafi tai K n on graafin G komplmntin aligraafi. 39
61 Laus 1.4 Olkoon G vähintään kuusisolmuinn graafi. Tällöin täydllinn 3-solmuinn graafi K 3 on joko graafin G tai sn komplmntin G aligraafi. Lausn 1.4 onglmaa voidaan tarkastlla myös ylismmin, li milloin täydllinn graafi K m on jonkin graafin tai sn komplmntin aligraafi. Ramsyn luku r(m, n) on pinin sllainn luku, ttä jos G on r(m, n)-solmuinn graafi, niin joko K m on graafin G aligraafi tai K n on graafin G komplmntin aligraafi. Koska G = G, niin r(m, n) = r(n, m). Slvästikin r(1, n) = r(m, 1) = 1, r(2, n) = n ja r(m, 2) = m. Lausn 1.4 nojalla taas r(3, 3) 6. 39
62 Tunntut luvut sittään taulukossa 1.1. Voidaan kuitnkin osoittaa, ttä m + n 2 r(m, n). m 1 n \ m Taulukko 1.1. Joitakin Ramsyn lukuja r(m, n). 40
63 Määritlmä 1.30 Olkoon H = (W, F) yksinkrtaisn graafin G = (V, E) aligraafi. Tällöin graafia (V, E \ F) sanotaan graafin H komplmntiksi graafin G suhtn. 41
64 Määritlmä 1.30 Olkoon H = (W, F) yksinkrtaisn graafin G = (V, E) aligraafi. Tällöin graafia (V, E \ F) sanotaan graafin H komplmntiksi graafin G suhtn. Tavallinn n-solmuisn yksinkrtaisn graafin komplmntti on siis komplmntti täydllisn graafin K n suhtn. G: H: H : v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafi H on graafin H komplmntti graafin G suhtn. 41
65 1.7 Graafiopraatioita Määritlmä 1.31 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia yksinkrtaisia graafja, ttä W V. Tällöin graafin G ja H rotus G H = (V, E \ F). G: H: G-H: v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 5 v 3 v 5 v 3 v 5 v 4 v 4 v 4 Kuva Graafit G ja H skä niidn rotus G H. 42
66 1.7 Graafiopraatioita Määritlmä 1.31 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) sllaisia yksinkrtaisia graafja, ttä W V. Tällöin graafin G ja H rotus G H = (V, E \ F). G: H: G-H: v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 5 v 3 v 5 v 3 v 5 v 4 v 4 v 4 Kuva Graafit G ja H skä niidn rotus G H. Erotus ylistää siis määritlmän 1.30 myös tapauksn, jossa H i ol graafin G aligraafi (mutta kylläkin W V ). Jos H on graafin G aligraafi, niin G H on graafin H komplmntti graafin G suhtn. 42
67 Määritlmä 1.32 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) yksinkrtaisia graafja. Lisäksi kohdassa (b) olttaan, ttä V W, ja kohdassa (c), ttä E F. Tällöin graafin G ja H (a) unioni (li yhdist) G H on graafi (V W, E F), 43
68 Määritlmä 1.32 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) yksinkrtaisia graafja. Lisäksi kohdassa (b) olttaan, ttä V W, ja kohdassa (c), ttä E F. Tällöin graafin G ja H (a) unioni (li yhdist) G H on graafi (V W, E F), (b) likkaus G H on graafi (V W, E F), 43
69 Määritlmä 1.32 Olkoot G = (V, E) ja H = (W, F) yksinkrtaisia graafja. Lisäksi kohdassa (b) olttaan, ttä V W, ja kohdassa (c), ttä E F. Tällöin graafin G ja H (a) unioni (li yhdist) G H on graafi (V W, E F), (b) likkaus G H on graafi (V W, E F), (c) rngassumma G H on särmäjoukon E F indusoima graafin G H aligraafi. Joukko-opraatiolla tarkoittaan tässä symmtristä rotusta, toisin sanon E F = (E \ F) (F \ E). 43
70 G: v 1 v 2 H: v 2 v 3 v 3 v 4 G H: G H: G H: v 1 v 2 v 2 v 1 v 2 v 3 v 4 v 3 v 3 v 4 Kuva Graafit G ja H skä niidn unioni, likkaus ja rngassumma. 44
71 Opraatiot, kutn myös rotus, voidaan ylistää multigraafill ottamalla huomioon särmin moninkrtaisuudt. Jos solmujoukot V ja W ovat rillisiä, likkausta i voida määritllä, koska graafissa solmujoukko i voi olla tyhjä. Vastaavasti rngassummaa i voida määritllä, jos E = F. Jos kuitnkin graafin määritlmää laajnnttaisiin niin, ttä nollagraafia pidttäisiin graafina, kumpikin opraatio olisi mahdollinn. Määritlmän 1.32 opraatiot ovat kahdn graafin välisiä opraatioita. Kaikki kolm opraatiota ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä. 45
72 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. 46
73 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. Määritlmä 1.34 (särmän poisto) Jos on graafin G = (V, E) särmä, niin G = (V, E \ {}). 46
74 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. Määritlmä 1.34 (särmän poisto) Jos on graafin G = (V, E) särmä, niin G = (V, E \ {}). Määritlmä 1.35 (särmän lisäys) Jos u ja v ovat graafin G = (V, E) solmuja ja = {u, v}, niin G + = (V, E {}). 46
75 Määritlmä 1.33 (solmun poisto) Jos v on vähintään kaksisolmuisn graafin G = (V, E) solmu, niin G v on solmujoukon V \ {v} indusoima graafin G aligraafi. Määritlmä 1.34 (särmän poisto) Jos on graafin G = (V, E) särmä, niin G = (V, E \ {}). Määritlmä 1.35 (särmän lisäys) Jos u ja v ovat graafin G = (V, E) solmuja ja = {u, v}, niin G + = (V, E {}). Koska usampia solmuja tai särmiä poistttassa (lisättässä) poistamisjärjstyksllä (lisäämisjärjstyksllä) i ol mrkitystä, mrkintöjä G {v 1, v 2,..., v n } ja G { 1, 2,..., n } (G + { 1, 2,..., n }) voidaan käyttää tarkoittamaan, ttä solmuja tai särmiä poisttaan (lisätään) usampia. 46
76 G: v 1 1 v 2 G - v : 2 v 1 G - v 4 : v 1 1 v v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 G - 1 : G - 3 : G : 1 v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v v 3 v 4 v 3 v 4 v 3 v 4 5 Kuva Muutama yhtn graafiin liittyvä opraatio. 47
77 Määritlmä 1.36 Graafin G solmujn u ja v yhdistämisllä tarkoittaan opraatiota, jossa solmut u ja v korvataan uudlla solmulla w ja kaikki solmujn u ja v kautta kulkvat särmät asttaan kulkmaan solmun w kautta. 48
78 Määritlmä 1.36 Graafin G solmujn u ja v yhdistämisllä tarkoittaan opraatiota, jossa solmut u ja v korvataan uudlla solmulla w ja kaikki solmujn u ja v kautta kulkvat särmät asttaan kulkmaan solmun w kautta. Määritlmä 1.37 Särmän kutistamislla tarkoittaan opraatiota, jossa särmä nsin poisttaan ja sittn sn päätsolmut yhdisttään. Graafi G on kutistttavissa graafiksi H, jos H saadaan graafista G präkkäisillä särmin kutistusopraatioilla. 48
79 Esimrkki 1.12 Graafi G 1 on saatu graafista G yhdistämällä solmut v 3 ja v 4 ja graafi G 2 yhdistämällä solmut v 2 ja v 3. G: v v 3 v 4 4 G 1 : 1 v 2 v 1 v 2 ( v 3, v 4 ) 2 3 G 2 : ( v 2, v 3 ) 4 3 v v 4 Kuva 1.28a. Solmujn yhdistäminn. 49
80 50 Graafi G 3 puolstaan on saatu kutistamalla särmä 4 ja graafi G 4 kutistamalla särmä 3. Kutn havaitaan, vain tapauksssa G 3 tuloksna olva graafi on yksinkrtainn, vaikka alkupräinn graafi on yksinkrtainn. G: v v 3 v 4 4 G 3 : 1 v 2 v 1 v 2 ( v 3, v 4 ) 2 3 G 4 : ( v 2, v 3 ) v v 4 Kuva 1.28b. Särmän kutistaminn. Jos solmujn yhdistäminn ja särmän kutistus rajoittaan yksinkrtaisill graafill, niin tuloksista poisttaan luupit ja rinnakkaisista särmistä valitaan solmuparia kohti yksi.
81 1.8 Graafin sittäminn matriisin avulla Graafi voidaan sittää mm. virusmatriisin tai tapausmatriisin avulla. Määritlmä 1.38 Olkoon G = (V, E) yksinkrtainn n-solmuinn graafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa 1, jos vi ja v j ovat virussolmuja, a i j = 0, muulloin. 51
82 52 G: v1 v2 v 3 v A = Kuva Graafi G ja graafin G virusmatriisi A.
83 52 G: v1 v2 v 3 v A = Kuva Graafi G ja graafin G virusmatriisi A. Yksinkrtaisn graafin virusmatriisi on symmtrinn, sn lävistäjäalkiot ovat nollia ja muut alkiot nollia tai ykkösiä.
84 53 Määritlmä 1.39 Olkoon G = (V, E) suuntaamaton n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = solmujn v i ja v j välillä olvin särmin lukumäärä.
85 53 Määritlmä 1.39 Olkoon G = (V, E) suuntaamaton n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = solmujn v i ja v j välillä olvin särmin lukumäärä. Suuntaamattoman multigraafin virusmatriisi on symmtrinn ja sn lävistäjäalkiot ovat nollia. G: v1 v2 v 3 v A = Kuva Multigraafi G ja graafin G virusmatriisi A.
86 Psudograafin virusmatriisi määritllään vastaavasti. Skin on symmtrinn, mutta sn kaikki lävistäjäalkiot ivät välttämättä ol nollia. G: v v 1 3 v v A = Kuva Psudograafi G ja graafin G virusmatriisi A. 54
87 55 Määritlmä 1.40 Olkoon G = (V, E) suunnattu n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = särmin lukumäärä solmusta v i solmuun v j.
88 55 Määritlmä 1.40 Olkoon G = (V, E) suunnattu n-solmuinn multigraafi. Mrkitään V = {v 1, v 2,..., v n }. Silloin graafin G virusmatriisi A on n n -matriisi, jossa a i j = särmin lukumäärä solmusta v i solmuun v j. Suunnatun graafin virusmatriisi i välttämättä ol symmtrinn ivätkä sn kaikki lävistäjäalkiot välttämättä ol nollia. G: v v 1 v 2 3 v A = Kuva Suunnattu graafi G ja graafin G virusmatriisi A.
89 Määritlmä 1.41 Olkoon G = (V, E) n-solmuinn m-särmäinn suuntaamaton graafi. Mrkitään V = {v 1,..., v n }, E = { 1,..., m }. Silloin graafin G tapausmatriisi C on sllainn n m -matriisi, jossa 1, jos särmä j kulk solmun v i kautta, c i j = 0, muulloin. 56
90 56 Määritlmä 1.41 Olkoon G = (V, E) n-solmuinn m-särmäinn suuntaamaton graafi. Mrkitään V = {v 1,..., v n }, E = { 1,..., m }. Silloin graafin G tapausmatriisi C on sllainn n m -matriisi, jossa 1, jos särmä j kulk solmun v i kautta, c i j = 0, muulloin. G: v v v v C = Kuva Suuntaamaton graafi G ja graafin G tapausmatriisi C.
91 Koska multigraafissa kukin särmä yhdistää kaksi ri solmua, multigraafin tapausmatriisin kunkin pystyrivin alkioidn summa on kaksi. Psudograafissa pystyrivin summa voi olla myös yksi. Multigraafin tapausmatriisin vaakarivin alkioidn summa antaa kysistä vaakariviä vastaavan solmun astn. Psudograafin astlukuja laskttassa on huomioitava, ttä kukin luuppi lisää tapausmatriisin vaakarivisummaa vain yhdllä. 57
92 Isomorfisuus Graafit, jotka ovat muutn samoja, paitsi ttä niidn solmut tai särmät on nimtty rilailla, voidaan usin samastaa. Tällaist graafit ovat isomorfisia. Määritlmä 1.42 Olkoot G 1 = (V 1, E 1 ) ja G 2 = (V 2, E 2 ) yksinkrtaisia graafja. Silloin graafja G 1 ja G 2 sanotaan isomorfisiksi, jos on olmassa sllainn kuvaus f : V 1 V 2, ttä (i) f on bijktio, (ii) f säilyttää solmujn virkkyydn, ts. kaikilla u, v V 1 pät: {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2. Kuvausta f kutsutaan isomorfiakuvauksksi.
93 Esimrkki 1.13 Graafit G 1 ja G 2 ovat isomorfist. Isomorfiakuvaus f on nyt simrkiksi f (a) = 2, f (b) = 3, f (c) = 4 ja f (d) = 1. Slvästikin f on bijktio. Lisäksi f säilyttää solmujn virkkyydn, sillä graafin G 1 ja G 2 virusmatriisit ovat samat. G 1 : G 2 : a b 1 2 c d 3 4 A 1 = a b c d a b c d A 2 = Kuva Isomorfist graafit G 1 ja G 2 skä niidn virusmatriisit A 1 ja A 2. 59
94 Esimrkki 1.14 Graafit G 1 ja G 5 ovat ksknään isomorfisia. Samoin graafit G 3 ja G 6 ovat ksknään isomorfisia. Sn sijaan kolmisolmuinn graafi G 2 skä graafi G 4, jossa kolmn solmun ast on 2, ivät ol kuvan 1.35 minkään muun graafin kanssa isomorfisia. G 1 : G 2 : G 3 : G 4 : G 5 : G 6 : Kuva Yksinkrtaisia graafja. 60
95 Multigraafin, psudograafin ja suunnattujn graafin isomorfisuus määritllään samaan tapaan. Virkkyydn säilyminn dllyttää lisäksi, ttä isomorfiakuvauksssa f myös särmin moninkrtaisuus/suunta säilyy. 61
96 61 Multigraafin, psudograafin ja suunnattujn graafin isomorfisuus määritllään samaan tapaan. Virkkyydn säilyminn dllyttää lisäksi, ttä isomorfiakuvauksssa f myös särmin moninkrtaisuus/suunta säilyy. Esimrkki 1.15 Graafit G 1 ja G 2 ivät ol isomorfisia, koska solmuilla on ri tuloastt. Sn sijaan vastaavat suuntaamattomat graafit G 3 ja G 4 ovat isomorfisia. G 1 : G 2 : G 3 : G 4 : Kuva Kaksisolmuisia ja kaksisärmäisiä graafja.
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotPertti Koivisto ja Riitta Niemistö. Graafiteoriaa
Pertti Koivisto ja Riitta Niemistö Graafiteoriaa TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 60/2018 TAMPERE 2018 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 60/2018 TAMMIKUU
LisätiedotGRAAFITEORIAA. Pertti Koivisto Riitta Niemistö
GRAAFITEORIAA Pertti Koivisto Riitta Niemistö Esipuhe Tämän monisteen tarkoituksena on tutustuttaa lukija graafiteorian peruskäsitteisiin ja -tuloksiin. Vaikka algoritminen graafiteoria on tietokoneiden
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
LisätiedotLIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ
LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
LisätiedotArvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia
Solmu 2/2015 1 Arvioita karaktrisummill: Pólya-Vinogradovin päyhtälö ja sn parannuksia Jss Jääsaari Matmatiikan ja tilastotitn laitos, Hlsingin yliopisto Johdanto Alkuluvut ovat analyyttisn lukutorian
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotDiskreetit rakenteet
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja
Lisätiedot1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,
Lisätiedotexp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotRatkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.
iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotEnergian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)
S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen
Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Kokoavia thtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoittaan kskiarvoll lausk :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. π 4 π 4π :4 π 4 a b
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.
/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä
LisätiedotVariations on the Black-Scholes Model
Variations on th Black-Schols Mol Sovlltun matmatiikan jatko-opintosminaari 6.9 Koh-tuus maksaa osinkoja avoittna on tarkastlla tilantita, joissa B&S yhtälö i ol riittävä sllaisnaan (sim. option koh-tuus
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)
5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:
LisätiedotGraafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
LisätiedotPalkkielementti hum 3.10.13
Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotTietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137
Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
Lisätiedot8. RAKENNELUKU /α = 137, (8.1)
8. RAKENNELUKU 37 Raknnluku 37 on skä matmatiikassa ttä fysiikassa samantapainn ja prustavalaatuinn raknnluku kuin luonnonluku /. Fysiikassa luvun 37 kääntisarvoa kutsutaan hinoraknnvakioksi, jonka tarkka
LisätiedotTotaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista
8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotSäännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki
Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti
LisätiedotVERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013
VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 20.3.18 Netspace Kurssin sijainti muussa suunnitellussa kokonaisuudessa Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon
Lisätiedot13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotPARITUS KAKSIJAKOISESSA
PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi
LisätiedotYhteysopas. Windows-ohjeet paikallisesti liitettyä tulostinta varten. Mitä paikallinen tulostaminen on? Ohjelmiston asentaminen CD-levyltä
Yhtysopas Sivu 1/6 Yhtysopas Winows-ohjt paikallissti liitttyä tulostinta vartn Huomautus: Kun asnnat paikallissti liitttyä tulostinta, ja Ohjlmisto ja käyttöoppaat -CD-lvy i tu käyttöjärjstlmää, käytä
LisätiedotPisto- ja viiltotapaturmien ehkäisy ja terävien instrumenttien hävittäminen
Ohj (7) Pisto- ja viiltotapaturmin hkäisy ja trävin instrumnttin hävittäminn ohj kunnan sosiaali- ja trvydnhuollon yksiköill..206 alkan Trävän instrumntin aihuttama pisto- tai viiltotapaturma on yksi tyypillisimmistä
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y
Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi
LisätiedotUlvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY
Ulvilan kaupunki Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmän ja Faporin pohjoispuoln liito-oravaslvitys 204 AHLN GROUP OY RAPORTTEJA 3/204 SISÄLLYSLUETTELO Johdanto... 3 Raporsta... 3 Slvitysaluidn yliskuvaukst...
LisätiedotEmpiiriset sovellukset
Empiirist sollukst Kotithtään ratkaisu.4. S ystmianalyysin Tknillinn korkakoulu Esitlmä # - Esitlmöijän nimi Optimointiopin sminaari - Kät Kotithtää Epäsymmtrisn tidon huutokauppa öljysiintymästä Piirrä
LisätiedotEulerin verkkojen karakterisointi
Eulerin verkkojen karakterisointi Pro Gradu -tutkielma Jenni Heikkilä 373175 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 018 Sisältö Johdanto 1 Verkkojen peruskäsitteet 3 1.1 Verkon määrittely.........................
LisätiedotTIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 17. marraskuuta 2009
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe E tiistai 1.12. klo 10 koodigenerointi (ilman ta) Vaihe
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.
Lisätiedot8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotAlkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotJakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK)
Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagntismi, LuTK) Näytä tai jätä tarkistttavaksi tämän jakson pakollist thtävät viimistään
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotDepartment of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.
Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla
LisätiedotGRAAFITEORIA. Keijo Ruohonen
GRAAFITEORIA Keijo Ruohonen 2013 Sisältö 1 I MÄÄRITELMIÄ JA PERUSTULOKSIA 1 1.1 Määritelmiä 5 1.2 Kulku. Reitti. Polku. Piiri. Yhtenäisyys. Komponentti 10 1.3 Graafien operaatioita 14 1.4 Irrotus 17 1.5
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot4. Putkivirtaus 4. PUTKIVIRTAUS. 4.1 Virtauslajit ja Reynoldsin luku. 4.2 Putkivirtauksen häviöt
4. Putkivirtaus 4. PUTKIVIRTAUS Brnoullin yhtälön yhtydssä todttiin todllisssa virtauksssa syntyvän aina häviöitä, jotka muuttuvat lämmöksi. Putkivirtauksssa nämä häviät näkyvät painn laskuna virtaussuunnassa
LisätiedotTUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS
TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS 1. SOVELTAMISALA JA VIRANOMAISET 1.1. Sovltamisala Maankäyttö ja raknnuslaissa ja astuksssa olvin skä muidn maan käyttämistä ja rakntamista koskvin säännöstn ja määräystn
LisätiedotSilmukkaoptimoinnista
sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale
LisätiedotSuunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla
Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 6 - mallivastaukset
Y56 Kvät 00 Harjoitus. Monopsoni Y56 laskuharjoitukst 6 - mallivastaukst Tavoittna on ymmärtää panosmarkkinoidn luonntta, kun markkinoilla on vain yksi ostaja. Monopsoni tuottaa hyödykttä y kilpailullisill
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotEnsimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)
.5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen
S55.3 SÄHKÖTKNKKA.. Kimmo Silvonn Tntti: thtävät,3,5,7,9. väliko: thtävät,,3,4,5. väliko: thtävät 6,7,8,9, Oltko muistanut vastata palautkyslyyn Voit täyttää lomakkn nyt.. Lask virta. = = 3 =Ω, J =3A,
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotGraphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa
Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa 28.11.2008 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Sisältö
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotT : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko
LisätiedotGraafin virittävä puu 1 / 20
Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotMC-pelien ratkaisualgoritmeista Timo Poranen Tampereen yliopisto Tietojenkäsittelyopin laitos Pro gradu -tutkielma 16.2.1999 Tampereen yliopisto Tietojenkäsittelyopin laitos Timo Poranen: MC-pelien ratkaisualgoritmeista
Lisätiedot