Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia

Transkriptio

1 Solmu 2/ Arvioita karaktrisummill: Pólya-Vinogradovin päyhtälö ja sn parannuksia Jss Jääsaari Matmatiikan ja tilastotitn laitos, Hlsingin yliopisto Johdanto Alkuluvut ovat analyyttisn lukutorian kskinn tutkimuskohd. Jo Euklids todisti, ttä alkulukuja on äärttömän monta. Ensimmäinn huomio on, ttä lukua kaksi lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia. Yhdistttynä Euklidn havaintoon niidn äärttömyydstä tämä tarkoittaa, ttä jonossa {2n + 1} n 0 on äärttömän monta alkulukua. Tästä hrää luonnollinn jatkokysymys: millä muilla aritmttisilla jonoilla {an + b} n 0, jotka koostuvat positiivisista kokonaisluvuista b, a+b, 2a+b, 3a+b,..., on tämä ominaisuus? Mikäli lukujn a ja b suurin yhtinn tkijä d on aidosti suurmpi kuin yksi, niin jokainn jonon trmi on jaollinn luvulla d, ja sitn jonossa on korkintaan yksi alkuluku. Mutta mitä tapahtuu, jos d 1? P. Dirichlt osoitti distynitä analyyttisn lukutorian kinoja käyttän, ttä tässä tapauksssa jonosta {an + b} n 0 löytyy todlla äärttömän monta alkulukua. Todistuksssa hän joutui rottamaan muista luvuista n luvut, jotka antavat jakojäännöksn a luvulla n jattassa. Luonnollinn tapa thdä tämä on muodostaa joukon {x Z x a (mod n} karaktristinn funktio li sllainn funktio, joka saa arvon yksi tässä joukossa ja muualla arvon nolla. Valitttavasti tämä mntlmä i kuitnkaan toimi. Sn sijaan Dirichlt määrittli toisnlaist funktiot, joill myöhmmin löydttiin yhtyksiä myös muuhun matmatiikkaan. Dirichlt n määrittlmiä funktioita kutsutaan Dirichlt n karaktriksi, ja tämän artikklin tarkoituksna on tarkastlla niidn summan suuruusluokkaa. Tarkmmin sanottuna tässä artikklissa tarkastllaan karaktrisummaa S χ (t : χ(n, missä χ on Dirichlt n karaktri. Eräs syy tarkastlla karaktrisummia on simrkiksi s, ttä n liittyvät lähissti alkulukujn jakautunisuutn aritmttisissa jonoissa. Todistukst on yrittty kirjoittaa mahdollisimman yksityiskohtaissti aihn vaikudn huomioidn, mutta silti joidnkin yksityiskohtin täydntäminn on jättty lukijall harjoitusthtäväksi. Mrkintöjä Käydään nopasti läpi käytttävät mrkinnät. Olkoot f, g : R C funktioita. Vinogradovilta präisin olva mrkintä f g tarkoittaa, ttä on olmassa vakio C sitn, ttä f(x C g(x kaikilla x R. Jos vakio C riippuu jostakin paramtrista ε, niin mrkitään f ε g. Kutn tavallista, komplksiluvun z x + iy, x, y R, konjugaattia mrkitään z x iy ja raaliosaa mrkitään Rz x. Lisäksi positiivistn kokonaislukujn a ja

2 2 Solmu 2/2015 b suurinta yhtistä tkijää mrkitään suurlla (a, b. Mrkintä (x tarkoittaa samaa kuin 2πix, kun x R. Tarvitsmm vilä muutaman aritmttisn funktion määritlmän. Möbiuksn funktio µ : Z { 1, 0, 1} määritllään suraavasti: Jos luvulla n on alkutkijähajotlma p α1 1 pα2 2 pα k k, niin { ( 1 k jos n on nliövapaa, µ(n 0 muutn. Esimrkiksi siis µ(1 1, µ(4 0 ja µ(p 1, kun p on alkuluku. Määrittlmm vilä Eulrin funktion ϕ : N N tulona ϕ(n n k i1 (1 1pi, kun luvulla n on alkulukuhajotlma n p α1 1 pα k k. Lukijall jättään harjoitusthtäväksi osoittaa, ttä its asiassa ϕ(n krtoo niidn välin [1, n] kokonaislukujn lukumäärän, joilla i ol yhtisiä tkijöitä luvun n kanssa. Lopuksi, summaustapa tarkoittaa, ttä summa ottaan niidn positiivistn kokonaislukujn yli, jotka ovat korkintaan t. Tässä luku i on imaginääriyksikkö li komplksiluku, jolla on ominaisuus i 2 1. Karaktrja modulo 5 on siis nljä kappaltta. Ylismmin voidaan todistaa, ttä karaktrja modulo on täsmälln ϕ( kappaltta ([1] s Sitn myös karaktrja modulo 10 on ϕ(10 4 kappaltta. Yksi niistä on titysti pääkaraktri ja toinn karaktri määräytyy arvoista χ(0 0, χ(1 1, χ(2 0, χ(3 i, χ(4 0, χ(5 0, χ(6 0, χ(7 i, χ(8 0 ja χ(9 1. Lukijall jättään harjoituksksi löytää puuttuvat kaksi karaktria (mod 10. Esittään sittn muutamia määritlmiä. Karaktri χ (mod on pääkaraktri, jos χ(n 1, kun (n, 1, ja χ(n 0 muutn. Pääkaraktrill varataan mrkintä χ 1. Karaktri on primitiivinn, jos jokaislla luvun aidolla tkijällä d löytyy 0 a 1 sitn, ttä a 1 (mod d ja χ(a 1. Karaktrin johtaja puolstaan on pinin positiivinn kokonaisluku b, joka on luvun tkijä ja jolla on ominaisuus χ(n + b χ(n kaikilla n, joilla (n, (n, b 1. Lopuksi, karaktrin krtaluku on pinin positiivinn kokonaisluku n, jolla χ n on pääkaraktri modulo. Dirichlt n karaktrit Olkoon kiinnittty positiivinn kokonaisluku. Määritllään funktio χ : Z C suraavilla kolmlla hdolla: 1. χ(n + χ(n kaikilla n Z. 2. Jos (n, > 1, niin χ(n 0, ja muutn χ(n χ(mn χ(mχ(n kaikilla m, n Z. Tällaista funktiota kutsutaan Dirichlt n karaktriksi modulo ja sitä mrkitään χ (mod. Jatkossa Dirichlt n karaktrja kutsutaan yksinkrtaissti vain karaktriksi 1. Katsotaan suraavaksi simrkkjä karaktrista. Jos 1, niin löytyy vain yksi karaktri: χ(n 1 kaikilla n Z. Tätä kutsutaan triviaalikaraktriksi. Kun 5, karaktrita löytyy präti nljä kappaltta, jotka on lutltu alla olvassa taulukossa (vasmmanpuolimmaisssa sarakkssa on karaktri ja ylimmällä rivillä on karaktrin arvot χ(n; muut arvot saadaan 5- jaksollisuudn avulla, ts. χ(n χ(n + 5 kaikilla kokonaisluvuilla n: χ/n χ χ i i 1 χ χ i i 1 Pólya-Vinogradovin arvio Aloittaan tarkastlu katsomalla millaisia arvioita suurll S χ (t saadaan vähällä vaivalla. Jos χ (mod on pääkaraktri, niin saadaan hlposti S χ (t ( t ϕ( + ϕ t t, jos tulkitaan, ttä ϕ(0 0. Tämän todistus on harjoitusthtävä (vihj: kirjoita t k + r, missä k Z + {0}, 0 r <, ja huomaa, ttä (a, 1, jos ja vain jos (a +, 1. Erityissti, jos on alkuluku, niin S χ ( 1. Sitn jätämm pääkaraktrin pois tarkastlusta. Ensimmäistä arviota vartn tarvitsmm suraavan tuloksn. Lmma 1. Olkoon χ (mod karaktri, joka i ol pääkaraktri. Tällöin χ(n 0. n1 Todistus. Koska χ i ol pääkaraktri, niin löytyy kokonaisluku m sitn, ttä χ(m 0, 1. Koska χ(n 0, kun (n, > 1, niin summaus voidaan ajatlla yli lukujn 1 n, joilla (n, 1. Kun n käy läpi 1 Ylissti näin i thdä, sillä matmatiikassa on monia muitakin karaktrja.

3 Solmu 2/ nämä luvut, niin samoin käy m mn (mod. Sitn karaktrin täydn multiplikatiivisuudn nojalla χ(m χ(n χ(mn n1 1 n (n,1 1 m (m,1 χ(m Koska χ(m 1, niin väit suraa. χ(n. n1 Koska karaktrin itsisarvo on korkintaan yksi, saadaan kolmiopäyhtälön nojalla S χ (t χ(n t. Toisaalta, koska luvuista χ(0, χ(1,..., χ( 1 tasan ϕ( kappaltta ovat nollasta poikkavia, niin yllä olvan huomion ja Lmman 1 nojalla S χ (t min(t, ϕ(. Tämä tunntaan triviaalistimaattina. Ylissti s on paras mahdollinn arvio, sillä pääkaraktrilla χ 1 (mod pät S χ1 ( ϕ(. Tätä arviota on parannttu aikojn saatossa i-pääkaraktrilla. Tässä artikklissa todisttaan nsimmäinn pätriviaali arvio ipääkaraktrill, joka tunntaan Pólya-Vinogradovin päyhtälönä. Nimnsä s on saanut G. Pólyalta ja I.M. Vinogradovilta, jotka todistivat kysisn arvion toisistaan riippumatta vuonna 1918 [6], [7]. Tätä vartn johdtaan nsin sarjasitys primitiivisll karaktrill χ (mod. Mrkitään ( a τ(χ : χ(a. a1 Suurtta τ(χ kutsutaan karaktriin χ (mod liittyväksi Gaussin summaksi. Lmma 2. Olkoon χ (mod primitiivinn karaktri. Tällöin χ(n 1 χ(m τ(χ kaikilla kokonaisluvuilla n. Todistus. Todisttaan väit nsin niill luvuill n, joill (n, 1. Harjoitusthtävänä lukija voi todta, ttä jokaislla n Z, jolla (n, 1, löytyy kokonaisluku ñ sitn, ttä nñ 1 (mod, jolloin χ(ñ χ(n. Tällöin ( m χ(nτ(χ χ(n χ(m ( m χ(ñm χ(m. (1 Näyttään sittn, ttä τ(χ 0. Osoittaan, ttä its asiassa τ(χ primitiivisllä χ (mod. Tätä titoa tullaan tarvitsmaan myöhmmin. Idntittistä (1 suraa, ttä χ(n 2 τ(χ 2 m 1 ( n(m m χ(mχ(m. Summaamalla yli lukujn n 1,...,, käyttän titoa, ttä lukujn χ(n 2 summa näidn lukujn yli on ϕ(, skä titoa, ttä ( n(m m χ(mχ(m ( n(m + χ(m m χ(m 0, lli m m (mod, saadaan ϕ( τ(χ 2 χ(mχ(m ϕ(, mistä haluttu yhtälö τ(χ suraa. Huomauttaan vilä, ttä myös τ(χ, sillä χ (mod on primitiivinn, jos ja vain jos karaktri χ (mod on primitiivinn. Jakamalla luvulla τ(χ saadaan χ(n 1 τ(χ mikä oli lmman väit. χ(h, (2 Osoittaan sittn, ttä kaava (2 pät myös niillä luvun n arvoilla, joilla d : (n, > 1. Tässä tapauksssa χ(n 0 ja siksi riittää osoittaa, ttä χ(m 0. Kirjoittaan d. Tarkastllaan lukuja h a+b, missä a 0, 1,..., d 1 ja b 0, 1,..., 1. Kun a ja b käyvät läpi kaikki mahdollist näidn lukujn yhdistlmät, niin m käy läpi kaikki joukon {0, 1..., 1} alkiot. Sitn χ(m 1 d 1 ( ( χ( a + bn a + b b0 1 b0 ( bn d 1 χ( a + b,

4 4 Solmu 2/2015 koska an on kokonaisluku. Nyt riittää osoittaa, ttä kiinnittyllä kaava d 1 χ( a + b 0 (3 on voimassa jokaislla kokonaisluvulla b. Tarkastllaan yhtälön (3 vasnta puolta b:n funktiona. Tällöin s on -jaksollinn (tämä jättään lukijall harjoitusthtäväksi. Olkoon c sllainn kokonaisluku, ttä (c, 1 ja c 1 (mod. Käyttän -jaksollisuutta saadaan d 1 χ(c χ( a + b d 1 χ(c a + cb d 1 χ(a + cb d 1 χ( a + b. (4 Huomataan, ttä primitiivisllä χ (mod on voimassa χ(n + χ(n jokaislla :n aidolla tkijällä, kaikilla n, joilla (n, > 1 (tämä on taas jättty harjoitusthtäväksi lukijall. Tästä suraa, ttä on olmassa kokonaisluvut c 1 ja c 2 sitn, ttä (c 1, (c 2, 1, c 1 c 2 (mod ja χ(c 1 χ(c 2. Sitn on olmassa kokonaisluku c c 1 c 2 (mod, jolla χ(c 1, c 1 (mod ja (c, 1. Valitsmalla tämän c:n yhtälössä (4 saadaan yhtälö (3. Näin olln lmman todistus on viimin valmis. Nyt voidaan muotoilla ja todistaa Pólya-Vinogradovin laus. Suraamm kirjan [1] todistusta. Huomionarvoista on, ttä tämä raja on huomattavasti parmpi kuin triviaalistimaatin antama yläraja, sillä logaritmi kasvaa paljon hitaamminn kuin nliöjuuri. Laus 3. Olkoon χ (mod i-pääkaraktri. Tällöin S χ (t log. Todistus. Olttaan nsin, ttä χ on primitiivinn. Lmman 2 prustlla sillä on sitys sarjana χ(n 1 χ(m. τ(χ Summaamalla lukujn n t yli saadaan S χ (t 1 1 χ(m, τ(χ koska χ( 0. Ottamalla itsisarvot puolittain, krtomalla luvulla ja käyttämällä titoa τ(χ saadaan 1 ( Sχ (t mn, mistä kolmiopäyhtälöän avulla saadaan 1 ( Sχ (t mn. (5 Mrkitään f(m :. Huomataan, ttä f( m ( n( m ( mn f( m f(m ja näin olln f( m f(m f(m. Sitn (5 voidaan kirjoittaa muodossa Sχ (t 2 m</2 f(m (6 + ( ( f. 2 Erityissti jos on pariton, niin jälkimmäinn trmi katoaa. Koska lauskkn f(m trmit muodostavat gomtrisn sarjan, niin lukiosta tutun summakaavan avulla voidaan laska, ttä luvun f(m itsisarvo on ( f(m m t + 1 ( t m 2 ( ( 2 m 2 sin π t m sin πm 1 sin πm. ( t m 2 m 2 Nyt käyttämällä päyhtälöä sin t 2t π (mikä pät kun t [0, π/2], todistus harjoitusthtävänä, arvolla t πm saadaan f(m 2m, kun m 2. Jos on pariton, niin kaava (6 antaa Sχ (t m< 2 1 < log. m Jos taas on parillinn, niin f(/2 1 ja sitn (6 antaa Sχ (t 1 m + 1 < log. m< 2

5 Solmu 2/ Molmmissa tapauksissa mikä todistaa väittn. kutn haluttiinkin. S χ (t < log, Olttaan suraavaksi, ttä χ (mod on i-primitiivinn karaktri, ja olkoon c sn johtaja. Tällöin χ(m ψ(mχ 1 (m, missä χ 1 on pääkaraktri modulo ja ψ on jokin primitiivinn karaktri modulo c (tämän tarkistaminn jättään lukijall. Käyttämällä dllistä kaavaa saadaan S χ (t ψ(n (n,1 ψ(n µ(d d (n, µ(dψ(n d d d d n µ(d t d ψ(d µ(dψ(d x t d ψ(x. Koska Pólya-Vinogradovin päyhtälö on voimassa primitiivisll karaktrill ψ (mod c, niin S χ (t µ(dψ(d ψ(x (7 d x t d < c log c µ(dψ(d d c log c d µ(dψ(d. Huomataan sittn, ttä µ(dψ(d on joko 0 tai 1. S on yksi, jos ja vain jos µ(d 1 ja ψ(d 1. Siis täsmälln silloin, kun d on nliövapaa ja (d, c 1. Silloin luku d voidaan kirjoittaa risuurtn alkulukujn tulona d p 1 p 2 p l. Silloin yksikään alkuluku p i i jaa lukua c. Sitn jokainn alkuluku p i jakaa luvun c ja sitn rityissti d jakaa tämän luvun. Näin olln d µ(dψ(d d c 1 2 d c d c 1 2 c Sitn kaavasta (7 suraa, ttä S χ (t c c log c log c log, c. Käyttämällä osittaissummauskaavaa a n f(n A(xf(x n x x 1 A (tf (tdt, missä a 1,..., a n ovat raalilukuja, A(x n x a n ja f välillä [1, x] drivoituva funktio (tätä voi ajatlla diskrttinä osittaisintgrointina, saadaan alaraja primitiivistn karaktrin summall: li τ(χ 2π 1 S χ (t dt 2π max t S χ(t S χ (t. Näin olln Pólya-Vinogradovin päyhtälöstä voitaisiin parhaimmillaan pudottaa tkijä log pois. Parannuksia Tässä luvussa tarkastllaan Lausn 3 mahdollisia vahvnnuksia muutamassa ri tilantssa. Ensinnäkin, Pólya-Vinogradovin päyhtälöä voidaan parantaa olttamalla räs mrkittävä lukutorttinn väit. Määritllään Dirichlt n L-funktio ja ylisttty Rimannin hypotsi. Olkoon χ (mod karaktri ja s C sllainn, ttä Rs > 1. Tällöin Dirichlt n L-sarja on L(s, χ : n0 χ(n n s. Tämän voi laajntaa mromorfisksi funktioksi koko komplksitasoon, jolloin siitä tul Dirichltin L- funktio, joll käyttään dlln mrkintää L(s, χ. Ylisttty Rimannin hypotsi (YRH sanoo suraavaa. Konjktuuri (YRH: Olkoon χ (mod karaktri ja L(s, χ siihn liittyvä L-funktio. Jos s C on sllainn, ttä 0 Rs 1 ja L(s, χ 0, niin its asiassa Rs 1/2. Rimannin hypotsi, joka on yksi matmatiikan tärkimmistä avoimista onglmista, on rikoistapaus yllä olvasta, kun χ on triviaalikaraktri. Jos YRH on totta, niin suraava vahvnnos Pólya- Vinogradovin päyhtälöll on voimassa. Laus 4. Olttaan YRH. Tällöin i-pääkarktrilla χ (mod pät S χ (t log log. Tämän todistivat H. Montgomry ja R.C. Vaughan vuonna 1977 [5].

6 6 Solmu 2/2015 Tarkastllaan sittn, millaisia parannuksia on olmassa titynlaisill karaktrill. Erityissti tarkastlmm paritonta krtalukua olvia karaktrita. A. Granvill, K. Soundararajan ja L. Goldmakhr osoittivat suraavan tuloksn. Laus 5. Jos χ (mod on paritonta krtalukua g 3 olva karaktri, niin missä δ g 1 g π sin π g nollaa, kun g. S χ (t g (log 1 δ g+o(1, (8 ja o(1 on trmi, joka lähstyy Voidaan simrkiksi laska, ttä 1 δ , 1 δ , 1 δ ja 1 δ jn. Lisäksi lukija voi hlposti todta, ttä 1 δ g 1, kun g. Näin olln parannukst suurilla g:n arvoilla ovat mlko piniä. Alunprin Granvill ja Soundararajan osoittivat arvion (8 muuttujalla δ g /2 [4], ja lopulta Goldmakhr, Soundararajanin oppilaana, paransi muuttujan δ g :n väitöskirjassaan [2, 3]. Arvion (8 todistus on pitkä ja s käyttää pitkäll mnviä analyysin mntlmiä ja siksi s sivuuttaan. Kskustllaan vilä yhdstä parannukssta. Montgomryn ja Vaughanin tuloksll (Laus 4 on parannus YRH:n vallitssa. Tämäkin tulos on präisin Granvilllta, Soundararajanilta ja Goldmakhrilta [3, 4]. Laus 6. Olttaan YRH. Jos χ (mod on paritonta krtalukua g 3 olva karaktri, niin S χ (t g (log log 1 δ g+o(1. Ainoa ro lausidn 3, 5 ja 4, 6 välillä on siis s, ttä log :n paikalla on log log. Lausidn 5 ja 6 väittt ovat vahvmpia kuin lausidn 3 ja 4, sillä log log x kasvaa hitaammin kun log x. Pitää kuitnkin muistaa, ttä Laus 5 on todistttu vain titynlaisill karaktrill ja ttä laust 4 ja 6 ivät välttämättä pidä paikkaansa, mikäli YRH i päd. Viittt [1] Apostol, T. M.: Introduction to Analytic Numbr Thory. Undrgraduat Txts in Mathmatics. Springr (1976. [2] Goldmakhr, L.: Multiplicativ Mimicry and Improvmnts of th Pólya-Vinogradov Inuality. (2009, Phd-Thsis, Univrsity of Michigan. [3] Goldmakhr, L.: Multiplicativ mimicry and improvmnts of th Pólya-Vinogradov inuality. Algbra and Numbr Thory Vol. 6 (2012, No. 1, s [4] Granvill, A. & Soundararajan, K.: Larg charactr sums: Prtntious charactrs and th Pólya- Vinogradov thorm. J. Amr. Math. Soc. 20 (2007, no. 2, s [5] Montgomry, H. & Vaughan, R.C.: Exponntial sums with multiplicativ cofficints. Invnt. Math. 43 (1: s [6] Pólya, G.: Übr di Vrtilung dr uadratischn Rst und Nichtrst. Göttingr Nachrichtn (1918, s [7] Vinogradov, I.M.: Sur la distribution ds résidus t ds nonrésidus ds puissancs. J. Phys.-Mat. ob-va Prmsk Univ. 1 (1918 s Uutta Vrkko-Solmussa Vrkko-Solmun Matmatiikan optus -sivulla matmatiikkalhtisolmu.fi/optus.html on ilmstynyt unkarilaisia matmatiikan thtäviä otsikolla Lisää unkarilaisia matmatiikan thtäviä koululaisill: matmatiikkalhtisolmu.fi/2015/unkarinthtavia2.pdf