Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia"

Transkriptio

1 Solmu 2/ Arvioita karaktrisummill: Pólya-Vinogradovin päyhtälö ja sn parannuksia Jss Jääsaari Matmatiikan ja tilastotitn laitos, Hlsingin yliopisto Johdanto Alkuluvut ovat analyyttisn lukutorian kskinn tutkimuskohd. Jo Euklids todisti, ttä alkulukuja on äärttömän monta. Ensimmäinn huomio on, ttä lukua kaksi lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia. Yhdistttynä Euklidn havaintoon niidn äärttömyydstä tämä tarkoittaa, ttä jonossa {2n + 1} n 0 on äärttömän monta alkulukua. Tästä hrää luonnollinn jatkokysymys: millä muilla aritmttisilla jonoilla {an + b} n 0, jotka koostuvat positiivisista kokonaisluvuista b, a+b, 2a+b, 3a+b,..., on tämä ominaisuus? Mikäli lukujn a ja b suurin yhtinn tkijä d on aidosti suurmpi kuin yksi, niin jokainn jonon trmi on jaollinn luvulla d, ja sitn jonossa on korkintaan yksi alkuluku. Mutta mitä tapahtuu, jos d 1? P. Dirichlt osoitti distynitä analyyttisn lukutorian kinoja käyttän, ttä tässä tapauksssa jonosta {an + b} n 0 löytyy todlla äärttömän monta alkulukua. Todistuksssa hän joutui rottamaan muista luvuista n luvut, jotka antavat jakojäännöksn a luvulla n jattassa. Luonnollinn tapa thdä tämä on muodostaa joukon {x Z x a (mod n} karaktristinn funktio li sllainn funktio, joka saa arvon yksi tässä joukossa ja muualla arvon nolla. Valitttavasti tämä mntlmä i kuitnkaan toimi. Sn sijaan Dirichlt määrittli toisnlaist funktiot, joill myöhmmin löydttiin yhtyksiä myös muuhun matmatiikkaan. Dirichlt n määrittlmiä funktioita kutsutaan Dirichlt n karaktriksi, ja tämän artikklin tarkoituksna on tarkastlla niidn summan suuruusluokkaa. Tarkmmin sanottuna tässä artikklissa tarkastllaan karaktrisummaa S χ (t : χ(n, missä χ on Dirichlt n karaktri. Eräs syy tarkastlla karaktrisummia on simrkiksi s, ttä n liittyvät lähissti alkulukujn jakautunisuutn aritmttisissa jonoissa. Todistukst on yrittty kirjoittaa mahdollisimman yksityiskohtaissti aihn vaikudn huomioidn, mutta silti joidnkin yksityiskohtin täydntäminn on jättty lukijall harjoitusthtäväksi. Mrkintöjä Käydään nopasti läpi käytttävät mrkinnät. Olkoot f, g : R C funktioita. Vinogradovilta präisin olva mrkintä f g tarkoittaa, ttä on olmassa vakio C sitn, ttä f(x C g(x kaikilla x R. Jos vakio C riippuu jostakin paramtrista ε, niin mrkitään f ε g. Kutn tavallista, komplksiluvun z x + iy, x, y R, konjugaattia mrkitään z x iy ja raaliosaa mrkitään Rz x. Lisäksi positiivistn kokonaislukujn a ja

2 2 Solmu 2/2015 b suurinta yhtistä tkijää mrkitään suurlla (a, b. Mrkintä (x tarkoittaa samaa kuin 2πix, kun x R. Tarvitsmm vilä muutaman aritmttisn funktion määritlmän. Möbiuksn funktio µ : Z { 1, 0, 1} määritllään suraavasti: Jos luvulla n on alkutkijähajotlma p α1 1 pα2 2 pα k k, niin { ( 1 k jos n on nliövapaa, µ(n 0 muutn. Esimrkiksi siis µ(1 1, µ(4 0 ja µ(p 1, kun p on alkuluku. Määrittlmm vilä Eulrin funktion ϕ : N N tulona ϕ(n n k i1 (1 1pi, kun luvulla n on alkulukuhajotlma n p α1 1 pα k k. Lukijall jättään harjoitusthtäväksi osoittaa, ttä its asiassa ϕ(n krtoo niidn välin [1, n] kokonaislukujn lukumäärän, joilla i ol yhtisiä tkijöitä luvun n kanssa. Lopuksi, summaustapa tarkoittaa, ttä summa ottaan niidn positiivistn kokonaislukujn yli, jotka ovat korkintaan t. Tässä luku i on imaginääriyksikkö li komplksiluku, jolla on ominaisuus i 2 1. Karaktrja modulo 5 on siis nljä kappaltta. Ylismmin voidaan todistaa, ttä karaktrja modulo on täsmälln ϕ( kappaltta ([1] s Sitn myös karaktrja modulo 10 on ϕ(10 4 kappaltta. Yksi niistä on titysti pääkaraktri ja toinn karaktri määräytyy arvoista χ(0 0, χ(1 1, χ(2 0, χ(3 i, χ(4 0, χ(5 0, χ(6 0, χ(7 i, χ(8 0 ja χ(9 1. Lukijall jättään harjoituksksi löytää puuttuvat kaksi karaktria (mod 10. Esittään sittn muutamia määritlmiä. Karaktri χ (mod on pääkaraktri, jos χ(n 1, kun (n, 1, ja χ(n 0 muutn. Pääkaraktrill varataan mrkintä χ 1. Karaktri on primitiivinn, jos jokaislla luvun aidolla tkijällä d löytyy 0 a 1 sitn, ttä a 1 (mod d ja χ(a 1. Karaktrin johtaja puolstaan on pinin positiivinn kokonaisluku b, joka on luvun tkijä ja jolla on ominaisuus χ(n + b χ(n kaikilla n, joilla (n, (n, b 1. Lopuksi, karaktrin krtaluku on pinin positiivinn kokonaisluku n, jolla χ n on pääkaraktri modulo. Dirichlt n karaktrit Olkoon kiinnittty positiivinn kokonaisluku. Määritllään funktio χ : Z C suraavilla kolmlla hdolla: 1. χ(n + χ(n kaikilla n Z. 2. Jos (n, > 1, niin χ(n 0, ja muutn χ(n χ(mn χ(mχ(n kaikilla m, n Z. Tällaista funktiota kutsutaan Dirichlt n karaktriksi modulo ja sitä mrkitään χ (mod. Jatkossa Dirichlt n karaktrja kutsutaan yksinkrtaissti vain karaktriksi 1. Katsotaan suraavaksi simrkkjä karaktrista. Jos 1, niin löytyy vain yksi karaktri: χ(n 1 kaikilla n Z. Tätä kutsutaan triviaalikaraktriksi. Kun 5, karaktrita löytyy präti nljä kappaltta, jotka on lutltu alla olvassa taulukossa (vasmmanpuolimmaisssa sarakkssa on karaktri ja ylimmällä rivillä on karaktrin arvot χ(n; muut arvot saadaan 5- jaksollisuudn avulla, ts. χ(n χ(n + 5 kaikilla kokonaisluvuilla n: χ/n χ χ i i 1 χ χ i i 1 Pólya-Vinogradovin arvio Aloittaan tarkastlu katsomalla millaisia arvioita suurll S χ (t saadaan vähällä vaivalla. Jos χ (mod on pääkaraktri, niin saadaan hlposti S χ (t ( t ϕ( + ϕ t t, jos tulkitaan, ttä ϕ(0 0. Tämän todistus on harjoitusthtävä (vihj: kirjoita t k + r, missä k Z + {0}, 0 r <, ja huomaa, ttä (a, 1, jos ja vain jos (a +, 1. Erityissti, jos on alkuluku, niin S χ ( 1. Sitn jätämm pääkaraktrin pois tarkastlusta. Ensimmäistä arviota vartn tarvitsmm suraavan tuloksn. Lmma 1. Olkoon χ (mod karaktri, joka i ol pääkaraktri. Tällöin χ(n 0. n1 Todistus. Koska χ i ol pääkaraktri, niin löytyy kokonaisluku m sitn, ttä χ(m 0, 1. Koska χ(n 0, kun (n, > 1, niin summaus voidaan ajatlla yli lukujn 1 n, joilla (n, 1. Kun n käy läpi 1 Ylissti näin i thdä, sillä matmatiikassa on monia muitakin karaktrja.

3 Solmu 2/ nämä luvut, niin samoin käy m mn (mod. Sitn karaktrin täydn multiplikatiivisuudn nojalla χ(m χ(n χ(mn n1 1 n (n,1 1 m (m,1 χ(m Koska χ(m 1, niin väit suraa. χ(n. n1 Koska karaktrin itsisarvo on korkintaan yksi, saadaan kolmiopäyhtälön nojalla S χ (t χ(n t. Toisaalta, koska luvuista χ(0, χ(1,..., χ( 1 tasan ϕ( kappaltta ovat nollasta poikkavia, niin yllä olvan huomion ja Lmman 1 nojalla S χ (t min(t, ϕ(. Tämä tunntaan triviaalistimaattina. Ylissti s on paras mahdollinn arvio, sillä pääkaraktrilla χ 1 (mod pät S χ1 ( ϕ(. Tätä arviota on parannttu aikojn saatossa i-pääkaraktrilla. Tässä artikklissa todisttaan nsimmäinn pätriviaali arvio ipääkaraktrill, joka tunntaan Pólya-Vinogradovin päyhtälönä. Nimnsä s on saanut G. Pólyalta ja I.M. Vinogradovilta, jotka todistivat kysisn arvion toisistaan riippumatta vuonna 1918 [6], [7]. Tätä vartn johdtaan nsin sarjasitys primitiivisll karaktrill χ (mod. Mrkitään ( a τ(χ : χ(a. a1 Suurtta τ(χ kutsutaan karaktriin χ (mod liittyväksi Gaussin summaksi. Lmma 2. Olkoon χ (mod primitiivinn karaktri. Tällöin χ(n 1 χ(m τ(χ kaikilla kokonaisluvuilla n. Todistus. Todisttaan väit nsin niill luvuill n, joill (n, 1. Harjoitusthtävänä lukija voi todta, ttä jokaislla n Z, jolla (n, 1, löytyy kokonaisluku ñ sitn, ttä nñ 1 (mod, jolloin χ(ñ χ(n. Tällöin ( m χ(nτ(χ χ(n χ(m ( m χ(ñm χ(m. (1 Näyttään sittn, ttä τ(χ 0. Osoittaan, ttä its asiassa τ(χ primitiivisllä χ (mod. Tätä titoa tullaan tarvitsmaan myöhmmin. Idntittistä (1 suraa, ttä χ(n 2 τ(χ 2 m 1 ( n(m m χ(mχ(m. Summaamalla yli lukujn n 1,...,, käyttän titoa, ttä lukujn χ(n 2 summa näidn lukujn yli on ϕ(, skä titoa, ttä ( n(m m χ(mχ(m ( n(m + χ(m m χ(m 0, lli m m (mod, saadaan ϕ( τ(χ 2 χ(mχ(m ϕ(, mistä haluttu yhtälö τ(χ suraa. Huomauttaan vilä, ttä myös τ(χ, sillä χ (mod on primitiivinn, jos ja vain jos karaktri χ (mod on primitiivinn. Jakamalla luvulla τ(χ saadaan χ(n 1 τ(χ mikä oli lmman väit. χ(h, (2 Osoittaan sittn, ttä kaava (2 pät myös niillä luvun n arvoilla, joilla d : (n, > 1. Tässä tapauksssa χ(n 0 ja siksi riittää osoittaa, ttä χ(m 0. Kirjoittaan d. Tarkastllaan lukuja h a+b, missä a 0, 1,..., d 1 ja b 0, 1,..., 1. Kun a ja b käyvät läpi kaikki mahdollist näidn lukujn yhdistlmät, niin m käy läpi kaikki joukon {0, 1..., 1} alkiot. Sitn χ(m 1 d 1 ( ( χ( a + bn a + b b0 1 b0 ( bn d 1 χ( a + b,

4 4 Solmu 2/2015 koska an on kokonaisluku. Nyt riittää osoittaa, ttä kiinnittyllä kaava d 1 χ( a + b 0 (3 on voimassa jokaislla kokonaisluvulla b. Tarkastllaan yhtälön (3 vasnta puolta b:n funktiona. Tällöin s on -jaksollinn (tämä jättään lukijall harjoitusthtäväksi. Olkoon c sllainn kokonaisluku, ttä (c, 1 ja c 1 (mod. Käyttän -jaksollisuutta saadaan d 1 χ(c χ( a + b d 1 χ(c a + cb d 1 χ(a + cb d 1 χ( a + b. (4 Huomataan, ttä primitiivisllä χ (mod on voimassa χ(n + χ(n jokaislla :n aidolla tkijällä, kaikilla n, joilla (n, > 1 (tämä on taas jättty harjoitusthtäväksi lukijall. Tästä suraa, ttä on olmassa kokonaisluvut c 1 ja c 2 sitn, ttä (c 1, (c 2, 1, c 1 c 2 (mod ja χ(c 1 χ(c 2. Sitn on olmassa kokonaisluku c c 1 c 2 (mod, jolla χ(c 1, c 1 (mod ja (c, 1. Valitsmalla tämän c:n yhtälössä (4 saadaan yhtälö (3. Näin olln lmman todistus on viimin valmis. Nyt voidaan muotoilla ja todistaa Pólya-Vinogradovin laus. Suraamm kirjan [1] todistusta. Huomionarvoista on, ttä tämä raja on huomattavasti parmpi kuin triviaalistimaatin antama yläraja, sillä logaritmi kasvaa paljon hitaamminn kuin nliöjuuri. Laus 3. Olkoon χ (mod i-pääkaraktri. Tällöin S χ (t log. Todistus. Olttaan nsin, ttä χ on primitiivinn. Lmman 2 prustlla sillä on sitys sarjana χ(n 1 χ(m. τ(χ Summaamalla lukujn n t yli saadaan S χ (t 1 1 χ(m, τ(χ koska χ( 0. Ottamalla itsisarvot puolittain, krtomalla luvulla ja käyttämällä titoa τ(χ saadaan 1 ( Sχ (t mn, mistä kolmiopäyhtälöän avulla saadaan 1 ( Sχ (t mn. (5 Mrkitään f(m :. Huomataan, ttä f( m ( n( m ( mn f( m f(m ja näin olln f( m f(m f(m. Sitn (5 voidaan kirjoittaa muodossa Sχ (t 2 m</2 f(m (6 + ( ( f. 2 Erityissti jos on pariton, niin jälkimmäinn trmi katoaa. Koska lauskkn f(m trmit muodostavat gomtrisn sarjan, niin lukiosta tutun summakaavan avulla voidaan laska, ttä luvun f(m itsisarvo on ( f(m m t + 1 ( t m 2 ( ( 2 m 2 sin π t m sin πm 1 sin πm. ( t m 2 m 2 Nyt käyttämällä päyhtälöä sin t 2t π (mikä pät kun t [0, π/2], todistus harjoitusthtävänä, arvolla t πm saadaan f(m 2m, kun m 2. Jos on pariton, niin kaava (6 antaa Sχ (t m< 2 1 < log. m Jos taas on parillinn, niin f(/2 1 ja sitn (6 antaa Sχ (t 1 m + 1 < log. m< 2

5 Solmu 2/ Molmmissa tapauksissa mikä todistaa väittn. kutn haluttiinkin. S χ (t < log, Olttaan suraavaksi, ttä χ (mod on i-primitiivinn karaktri, ja olkoon c sn johtaja. Tällöin χ(m ψ(mχ 1 (m, missä χ 1 on pääkaraktri modulo ja ψ on jokin primitiivinn karaktri modulo c (tämän tarkistaminn jättään lukijall. Käyttämällä dllistä kaavaa saadaan S χ (t ψ(n (n,1 ψ(n µ(d d (n, µ(dψ(n d d d d n µ(d t d ψ(d µ(dψ(d x t d ψ(x. Koska Pólya-Vinogradovin päyhtälö on voimassa primitiivisll karaktrill ψ (mod c, niin S χ (t µ(dψ(d ψ(x (7 d x t d < c log c µ(dψ(d d c log c d µ(dψ(d. Huomataan sittn, ttä µ(dψ(d on joko 0 tai 1. S on yksi, jos ja vain jos µ(d 1 ja ψ(d 1. Siis täsmälln silloin, kun d on nliövapaa ja (d, c 1. Silloin luku d voidaan kirjoittaa risuurtn alkulukujn tulona d p 1 p 2 p l. Silloin yksikään alkuluku p i i jaa lukua c. Sitn jokainn alkuluku p i jakaa luvun c ja sitn rityissti d jakaa tämän luvun. Näin olln d µ(dψ(d d c 1 2 d c d c 1 2 c Sitn kaavasta (7 suraa, ttä S χ (t c c log c log c log, c. Käyttämällä osittaissummauskaavaa a n f(n A(xf(x n x x 1 A (tf (tdt, missä a 1,..., a n ovat raalilukuja, A(x n x a n ja f välillä [1, x] drivoituva funktio (tätä voi ajatlla diskrttinä osittaisintgrointina, saadaan alaraja primitiivistn karaktrin summall: li τ(χ 2π 1 S χ (t dt 2π max t S χ(t S χ (t. Näin olln Pólya-Vinogradovin päyhtälöstä voitaisiin parhaimmillaan pudottaa tkijä log pois. Parannuksia Tässä luvussa tarkastllaan Lausn 3 mahdollisia vahvnnuksia muutamassa ri tilantssa. Ensinnäkin, Pólya-Vinogradovin päyhtälöä voidaan parantaa olttamalla räs mrkittävä lukutorttinn väit. Määritllään Dirichlt n L-funktio ja ylisttty Rimannin hypotsi. Olkoon χ (mod karaktri ja s C sllainn, ttä Rs > 1. Tällöin Dirichlt n L-sarja on L(s, χ : n0 χ(n n s. Tämän voi laajntaa mromorfisksi funktioksi koko komplksitasoon, jolloin siitä tul Dirichltin L- funktio, joll käyttään dlln mrkintää L(s, χ. Ylisttty Rimannin hypotsi (YRH sanoo suraavaa. Konjktuuri (YRH: Olkoon χ (mod karaktri ja L(s, χ siihn liittyvä L-funktio. Jos s C on sllainn, ttä 0 Rs 1 ja L(s, χ 0, niin its asiassa Rs 1/2. Rimannin hypotsi, joka on yksi matmatiikan tärkimmistä avoimista onglmista, on rikoistapaus yllä olvasta, kun χ on triviaalikaraktri. Jos YRH on totta, niin suraava vahvnnos Pólya- Vinogradovin päyhtälöll on voimassa. Laus 4. Olttaan YRH. Tällöin i-pääkarktrilla χ (mod pät S χ (t log log. Tämän todistivat H. Montgomry ja R.C. Vaughan vuonna 1977 [5].

6 6 Solmu 2/2015 Tarkastllaan sittn, millaisia parannuksia on olmassa titynlaisill karaktrill. Erityissti tarkastlmm paritonta krtalukua olvia karaktrita. A. Granvill, K. Soundararajan ja L. Goldmakhr osoittivat suraavan tuloksn. Laus 5. Jos χ (mod on paritonta krtalukua g 3 olva karaktri, niin missä δ g 1 g π sin π g nollaa, kun g. S χ (t g (log 1 δ g+o(1, (8 ja o(1 on trmi, joka lähstyy Voidaan simrkiksi laska, ttä 1 δ , 1 δ , 1 δ ja 1 δ jn. Lisäksi lukija voi hlposti todta, ttä 1 δ g 1, kun g. Näin olln parannukst suurilla g:n arvoilla ovat mlko piniä. Alunprin Granvill ja Soundararajan osoittivat arvion (8 muuttujalla δ g /2 [4], ja lopulta Goldmakhr, Soundararajanin oppilaana, paransi muuttujan δ g :n väitöskirjassaan [2, 3]. Arvion (8 todistus on pitkä ja s käyttää pitkäll mnviä analyysin mntlmiä ja siksi s sivuuttaan. Kskustllaan vilä yhdstä parannukssta. Montgomryn ja Vaughanin tuloksll (Laus 4 on parannus YRH:n vallitssa. Tämäkin tulos on präisin Granvilllta, Soundararajanilta ja Goldmakhrilta [3, 4]. Laus 6. Olttaan YRH. Jos χ (mod on paritonta krtalukua g 3 olva karaktri, niin S χ (t g (log log 1 δ g+o(1. Ainoa ro lausidn 3, 5 ja 4, 6 välillä on siis s, ttä log :n paikalla on log log. Lausidn 5 ja 6 väittt ovat vahvmpia kuin lausidn 3 ja 4, sillä log log x kasvaa hitaammin kun log x. Pitää kuitnkin muistaa, ttä Laus 5 on todistttu vain titynlaisill karaktrill ja ttä laust 4 ja 6 ivät välttämättä pidä paikkaansa, mikäli YRH i päd. Viittt [1] Apostol, T. M.: Introduction to Analytic Numbr Thory. Undrgraduat Txts in Mathmatics. Springr (1976. [2] Goldmakhr, L.: Multiplicativ Mimicry and Improvmnts of th Pólya-Vinogradov Inuality. (2009, Phd-Thsis, Univrsity of Michigan. [3] Goldmakhr, L.: Multiplicativ mimicry and improvmnts of th Pólya-Vinogradov inuality. Algbra and Numbr Thory Vol. 6 (2012, No. 1, s [4] Granvill, A. & Soundararajan, K.: Larg charactr sums: Prtntious charactrs and th Pólya- Vinogradov thorm. J. Amr. Math. Soc. 20 (2007, no. 2, s [5] Montgomry, H. & Vaughan, R.C.: Exponntial sums with multiplicativ cofficints. Invnt. Math. 43 (1: s [6] Pólya, G.: Übr di Vrtilung dr uadratischn Rst und Nichtrst. Göttingr Nachrichtn (1918, s [7] Vinogradov, I.M.: Sur la distribution ds résidus t ds nonrésidus ds puissancs. J. Phys.-Mat. ob-va Prmsk Univ. 1 (1918 s Uutta Vrkko-Solmussa Vrkko-Solmun Matmatiikan optus -sivulla matmatiikkalhtisolmu.fi/optus.html on ilmstynyt unkarilaisia matmatiikan thtäviä otsikolla Lisää unkarilaisia matmatiikan thtäviä koululaisill: matmatiikkalhtisolmu.fi/2015/unkarinthtavia2.pdf

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Multiplikatiiviset funktiot

Multiplikatiiviset funktiot TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Variations on the Black-Scholes Model

Variations on the Black-Scholes Model Variations on th Black-Schols Mol Sovlltun matmatiikan jatko-opintosminaari 6.9 Koh-tuus maksaa osinkoja avoittna on tarkastlla tilantita, joissa B&S yhtälö i ol riittävä sllaisnaan (sim. option koh-tuus

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28) .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa. / ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

16.10.2007 ASUNTOYHTIÖN TALOUSSUUNNITELMA RS-järjestelmä 1(5) URAKAT YHTEENSÄ, euroa. Arvio, euroa. Muut maapohjakustannukset, euroa.

16.10.2007 ASUNTOYHTIÖN TALOUSSUUNNITELMA RS-järjestelmä 1(5) URAKAT YHTEENSÄ, euroa. Arvio, euroa. Muut maapohjakustannukset, euroa. -järjstlmä 1(5) Asunto-osakyhtiö As Oy Hlsingin Gunillankartano, Hlsinki Prustajaosakas Raknnuskartio Oy (01899-0) Rakntaja (pääurakoitsija) Raknnuskartio Oy (01899-0) HANKINTA RAKENNUS- A. URAKAT KOKONAISURAKKA,

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot