Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
|
|
- Elsa Mäkinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
2 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3 Otoskoon määrääminen 4 Estimaattorin valinta 5 Momenttimenetelmä 6 Suurimman uskottavuuden menetelmä Diskreetti tapaus Jatkuva tapaus Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
3 Esimerkki (Laininen) 1/2 Palkin paksuudeksi (n = 10) mitattiin (tuumaa): Oletetaan, että palkin paksuus X N(µ, σ). Otoksesta voidaan laskea x = ja s = Vapausasteparametri ν = 10 1 = 9. Taulukosta saadaan t = 2.262, joten voidaan laskea µ = ± Siis 95% luottamusväli on [2.04,2.17] tuumaa. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
4 Esimerkki (Laininen) 2/2 Varianssin luottamusväli muodostetaan 9-vapausasteisen χ 2 -jakauman avulla. Taulukosta (tai tietokoneella) saadaan χ = 2.70 ja χ = Sijoitus kaavaan antaa 95% luottamusväliksi eli [0.0037,0.0258] σ , Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
5 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli Suhteellinen frekvenssi X Bernoulli(p). ˆp = f n on Bernoulli-jakauman odotusarvoparametrin p harhaton estimaattori. Olkoon n = havaintojen lukumäärä z α/2 = häntätodennäköisyyttä α/2 vastaava piste standardoidusta normaalijakaumasta N(0, 1). Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
6 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 2/2 Suhteellisen frekvenssin ˆp odotusarvo ja varianssi ovat: E(ˆp) = p Var(ˆp) = pq n Suhteellinen frekvenssi ˆp noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti normaalijakaumaa. Bernoulli-jakauman odotusarvoparametrin p approksimatiivinen luottamusväli luottamustasolla (1 α) on ( ) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z n α/2. n Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
7 Otoskoon määrääminen 1/2 Ennakkotiedon mukaan Bernoulli-jakauman odotusarvoparametrin arvoksi oletetaan p. Kuinka suuri otos on otettava, jotta p:lle voidaan muodostaa (1 α)-luottamusväli, jonka pituus on 2A? Parametrin p luottamusväli luottamustasolla (1 α) on ( ) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z n α/2. n Ennakkotiedon perusteella oletetaan ˆp = p. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
8 Otoskoon määrääminen 2/2 Jotta luottamusvälin pituus olisi 2A, on oltava z α/2 p(1 p) n = A. josta voidaan ratkaista tarvittava otoskoko n: ( ) zα/2 p(1 p) 2 n =. A Huomaa, että otoskoko saavuttaa maksiminsa n = kun p = 1/2. ( zα/2 2A ) 2, Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
9 Estimaattorin valinta Oletetaan, että aineistona on yksinkertainen satunnaisotos X 1,..., X n jakaumasta f X (x; θ 1,..., θ r ). Satunnasmuuttujan X siis oletetaan noudattavan jakaumaa f X (x; θ 1,..., θ r ) parametreilla θ 1,..., θ r, mutta parametrien arvoja ei tunneta. Tehtävänä on muodostaa parametreille θ 1,..., θ r estimaattorit ˆθ 1,..., ˆθ r. Estimaattorien muodostamiseen on useita eri menetelmiä. Tällä kurssilla käsitellään momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
10 Momenttimenetelmä Useasta jakaumasta f X (x; θ 1,..., θ r ) voidaan määrittää teoreettisia momentteja m k = E[X k ], jotka ovat parametrien θ 1,..., θ r funktioita. Näiden teoreettisten momenttien estimaattorit ˆm k voidaan määrittää havaintoarvoista kaavalla ˆm k = 1 n n xi k. i=1 Kun teoreettiset momentit asetetaan yhtäsuuriksi estimaattorien kanssa, saadaan yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista parametrien θ 1,..., θ r estimaattorit. Jos halutaan määrittää estimaattorit r:lle parametrille, tarvitaan r yhtälöä. Tätä varten tulee määrittää r ensimmäistä teoreettista momenttia. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
11 Esimerkki (Laininen) 1/2 Huollon kestoajan X tiheysfunktio on { θ1 e f X (x; θ 1, θ 2 ) = θ 1(x θ 2 ), kun x θ 2, 0, kun x < θ 2, missä θ 1, θ 2 > 0. Olkoot x 1,..., x n havaittuja huollon kestoaikoja. Parametrien estimoimiseksi momenttimenetelmällä lasketaan integroimalla ensimmäinen ja toinen momentti: m 1 = θ 2 xθ 1 e θ 1(x θ 2 ) dx = 1 θ 1 + θ 2, m 2 = θ 2 x 2 θ 1 e θ 1(x θ 2 ) dx = θ θ θ 2 θ 1. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
12 Esimerkki (Laininen) 2/2 Estimaatit θ 1, θ 2 ratkaistaan yhtälöistä ˆm 1 = 1ˆθ 1 + ˆθ 2, ˆm 2 = θ θ θ 2 θ 1, missä ˆm 1 = 1 n n x i, i=1 ˆm 2 = 1 n n xi 2. i=1 Ratkaisuksi saadaan ˆθ 1 = 1, ˆθ 2 = ˆm 1 ˆm 2 ˆm 1 2. ˆm 2 ˆm 1 2 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
13 Suurimman uskottavuuden menetelmä Suurimman uskottavuuden menetelmän ajatuksena on, että malli f X (x; θ 1,..., θ r ) on paras, jos se tuottaa havaitun otoksen suurimmalla todennäköisyydellä. Menetelmässä muodostetaan likelihood-funktio L(θ 1,..., θ r ), joka kuvaa saadun otoksen todennäköisyyttä parametrien θ 1,..., θ r funktiona. Kun likelihood-funktiota maksimoidaan parametrien θ 1,..., θ r suhteen, ovat saadut satunnaismuuttujat ˆθ 1,..., ˆθ r parametrien θ 1,..., θ r suurimman uskottavuuden estimaattorit. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
14 Diskreetti tapaus 1/2 Olkoon X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos diskreetistä jakaumasta, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f X (x i ; θ 1,..., θ r ). Todennäköisyys otokselle x 1,..., x n on L(θ 1,..., θ r ) = f X (x 1 ; θ 1,..., θ r ) f X (x n ; θ 1,..., θ r ). Parametreille θ 1,..., θ r tulee löytää sellaiset arvot, että L maksimoituu. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
15 Diskreetti tapaus 2/2 L:n maksimi löytyy pisteestä, jossa kaikki osittaisderivaatat ovat nollia, eli L = 0, i θ i Funktion L logaritmimuunnos ln(l) saa maksiminsa samassa pisteessä kuin L. Usein tarkastellaankin funktiota ln(l), koska logaritmimuunnos muuntaa tulomuotoisen likelkihood-funktion summaksi, jota on helpompi derivoida. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
16 Esimerkki Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää merkkejä 0 ja 1. Merkki 1 voi vaihtua merkiksi 0 todennäköisyydellä p. Todennäköisyyden arvioimiseksi lähetetään kertaa merkki 1, jolloin todetaan, että merkki on vaihtunut 90 kertaa. Koska merkin siirrossa merkki on välittynyt oikein 9910 kertaa ja vaihtunut 90 kertaa, saadaan L(p) = (1 p) 9910 p 90. Etsitään se parametrin p arvo, jolla L(p) saa maksiminsa: Ratkaistaan p L(p) = 9910(1 p)9909 p (1 p) 9910 p 89 = 0. ˆp = = Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
17 Jatkuva tapaus Olkoon X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos jatkuvasta jakaumasta, jonka tiheysfunktio on f X (x; θ 1,..., θ r ). Koska jatkuvassa tapauksessa kaikkien yksittäisten havaintosarjojen x 1,..., x n todennäköisyys on nolla, likelihood-funktio L(θ 1,..., θ r ) = f X (x 1 ; θ 1,..., θ r ) f X (x n ; θ 1,..., θ r ) ei kuvaa havaintosarjan todennäköisyyttä. Tiheysfunktion arvojen tulona sitä voidaan kuitenkin perustellusti käyttää kuten diskreetissä tapauksessa. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
18 Esimerkki Oletetaan, että X on tasaisesti jakautunut välille [0, θ], missä parametri θ > 0 ja X :n tiheysfunktio on { 1/θ, kun x [0, θ], f X (x) = 0, muuten. Likelihood-funktio on { 1/θ L(θ) = n, kun θ max{x 1,..., x n }, 0 muuten. Nyt maksimi ei löydy derivoimalla, mutta voidaan päätellä tutkimalla funktiota L(θ). Suurin arvo saadaan selvästi, kun ˆθ = max{x 1,..., x n }. Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta / 18
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedot7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotMTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)
MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
LisätiedotUskottavuuden ominaisuuksia
Luku 9 Uskottavuuden ominaisuuksia 9.1 Tyhjentävyys T yhjentävyys (Fisher 1922) luonnehtii täsmällisesti havaintoihin sisältyvän informaation kvantitatiivisesti. Parametrin θ estimaatti T(x) on tyhjentävä
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Lisätiedot