8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

Transkriptio

1 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista on mieluisampi? A: 5 tn:llä 0.5, - 5 tn:llä 0.5 B: 5000 tn:llä 0.5, tn:llä 0.5 A on monien mielestä mieluisampi. Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista on mieluisampi? A: Et pelaa lottoa (ts. varallisuutesi ei muutu) B: Pelaat 1 riviä lottoa 0.70 :lla, varallisuuden muutos + 1 milj. tn:llä p tn:llä 1 p missä p (7/39) (6/38) (1/33) (1/ ) varallisuuden muutoksen odotusarvo 0.63 (jos pienempiä voittoja ei siis huomioida). Ahti Salo / Pekka Mild

2 Hyötyfunktio liittää kuhunkin varallisuustasoon hyödyn siten, että riskiä sisältävät vaihtoehdot voidaan saattaa paremmuusjärjestykseen hyödyn odotusarvon perusteella. vaihtoehto x on vaihtoehtoa y mieluisampi, joss [ U( x) ] E[ U( y) ] E > Tyypillisiä hyötyfunktioita 1. Exponenttifunktio 2. Logaritminen 3. Potenssifunktio U( x) e ax U ( x) ln( x), x > Lähtökohtana kyltymättömyys (engl. insatiable) eli aina halutaan lisää. 0 b U ( x) bx, b 1, b Kvadraattinen ( ) 2, > 0, 1/ 2 U x x bx b x b Hyötyfunktioesityksellä on vahva aksiomaattinen perusta von Neumann & Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior,

3 Vaihtoehtojen vertailun kannalta hyötyfunktio U on yhtenevä (so. ekvivalentti) positiivisten affiinien muunnostensa kanssa: ts. jos V(x) au(x)+b, (a>0), niin [ ( )] E[ V( y) ] E V x [ ( ) ] [ ( ) ] E au x + b E au y + b [ ( )] E[ U( y) ] E U x Esim. Vuoden mittaisen sijoituksessa vaihtoehtoina A: joukkovelkakirja, jonka tuotto on 6000 B: osakkeet, jolloin tuotto on joko 10000, 5000 tai 1000 tn:illä 0.2, 0.4, 0.4. Jos hyötyfunktio on U(x) x ½, (x tuhansina euroina) niin A: U(A) U(6) 2.45 B: U(B) 0.2 U(10)+0.4 U(5)+0.4 U(1)1.93 A on sijoitusvaihtoehdoista parempi. B-vaihtoehdon varmuusekvivalentti (so. yhtä mieluisa varma tuotto) on Jos tätä diskontataan 5 % korolla, riskiä sisältävää B-vaihtoehtoa tulisi diskontata korolla r 1 + r 1 + r 1 + r r 12.4% Riskinkarttamista voidaan siis periaatteessa kuvata korkeammalla diskonttokorolla, joskaan tämä lähestymistapa ei ole läpinäkyvä. - 3-

4 a) Riskin karttaminen Välillä [a,b] määritelty hyötyfunktio on konkaavi, jos [ ] U ( αx + (1 α) y αu( x) + (1 α) U( y ), missä 0 α 1 ja x,y [a,b]. päätöksentekijä on riskipakoinen välillä [a,b], joss (jos ja vain jos) hyötyfunktio U on tällä välillä konkaavi päätöksentekijä on riskipakoinen, jos U on konkaavi koko määrittelyalueellaan. b) Riskipakoisuuden mittaaminen Mitä konkaavimpi hyötyfunktio on, sitä enemmän päätöksentekijä haluaa karttaa riskiä. Tätä voidaan mitata hyötyfunktion toisen derivaatan avulla. Arrow-Prattin absoluuttinen riskipakoisuuskerroin on U ( x) a( x), U ( x) missä nimittäjässä oleva U (x) normalisoi kertoimen siten, että a(x) on sama kaikille ekvivalenteille hyötyfunktioille. - 4-

5 Eksponenttifunktion U-exp(-ax) Arrow-Pratt-kerroin on a(x)a, sillä a( x) 2 a e ae ax ax a Logaritmifunktiolle ln(x) puolestaan a(x)1/x. Tällöin varallisuuden kasvaessa ollaan valmiita ottamaan suurempia riskejä (vrt. eksponenttifunktio vakio a) Satunnaismuuttujaa x vastaava varmuusekvivalentti C on se varma tulos, joka yhtä mieluisa kuin x, so. [ ( )] U ( C) E U x 2. Hyötyfunktioiden määrittäminen Hyötyfunktio voidaan määrittää monella eri tavalla: a) Suora määrittäminen Esim. pyydetään päätöksentekijää määrittämään varmuusekvivalentteja satunnaisuutta sisältäville arvonnoille, joiden parametreja muutellaan. p p 0-5-

6 b) Parametrien estimointi Valitaan jokin hyötyfunktioperhe (esim. eksponenttifunktio), ja estimoidaan sen parametrit. Esim. Jos U(x) -exp(-ax) ja niin e a a e a e a Useampien parametrien ja vastausten yhteydessä päädytään käyrän sovittamiseen. c) Kyselylomakkeet Ks. esim. Luenberger kuva

7 3. Lineaarinen hinnoittelu Epävarmuutta sisältävä kassavirta voidaan arvottaa kahdella tavalla: A. Määritetään kassavirran arvo suoraan esimerkiksi odotusarvoa ja varianssia tarkastelemalla vrt. CAPM-perustainen hinnoittelu B. Esitetään kassavirta sellaisten muiden kassavirtojen avulla, joiden arvo tunnetaan. Tähän asti olemme tarkastelleen hinnoittelua lähinnä A- vaihtoehdon näkökulmasta. Hinnoittelussa voidaan kuitenkin soveltaa myös arbitraasivapausvaatimusta, josta sijoituskohteiden hinnoittelun lineaarisuus seuraa. sijoituskohteet ovat tässä satunnaismuuttujia, joista saatava kassavirta määrittyy ja toteutuu periodin päättyessä. a) A-tyypin arbitraasi A-tyypin arbitraasissa investoinnista saadaan välitön positiivinen tuotto ilman tulevia maksusitoumuksia saat rahaa ilmaiseksi mitään velvoitteita. Tällaisten arbitraasimahdollisuuksien eliminointi johtaa sijoituskohteiden lineaariseen hinnoitteluun: monesta kohteesta koostuvan portfolion hinta on siihen sisältyvien kohteiden hintojen summa. - 7-

8 Esim. Jos esimerkiksi kohteen d hinta on P, niin kahden kohteen hinnan P on oltava 2P: jos olisi P > 2P, niin voidaan ostaa 2 kpl d:tä hintaa 2P ja myydä se saman tien hinnalla P arbitraasivoitto! jos olisi P < 2P, niin voidaan ostaa 2 kpl d:tä hintaan P ja myydä ne erikseen hintaa 2P arbitraasivoitto! Argumentti soveltuu myös ei-identtisiin kohteisiin, ts. jos 1) portfolioon θ(θ 1,,θ n ) sisältyy θ i kpl kohdetta i 2) periodin päättyessä i:nnestä kohteesta saadaan (mahdollisesti satunnaisuutta sisältävä) kassavirta d i 3) i:nnen kohteen hinta on P i, niin ko. portfoliosta saatava tuotto on ja sen hinta on n d θ 1 i n P θ 1 i i d i i P i Oletuksena on, että 1) kohteet ovat jaettavissa mielivaltaisen pieniin osiin ja että 2) markkinat toimivat. - 8-

9 b) B-tyypin arbitraasi B-tyypin arbitraasissa investoinnin kustannus on ei-negatiivinen, mutta siitä saadaan positiivinen tuotto positiivisella todennäköisyydellä eikä tuotto voi olla negatiivinen (tn. 0) ts. saat ilmaisen arpalipun Myös B-tyypin arbitraasi oletetaan mahdottomaksi. Hinnoittelun lineaarisuus seuraa jo A-tyypin arbitraasin poissulkemisesta. Arbitraasivapausvaatimus (AOA, absence of arbitrage) ja lineaarisuus ovat erittäin tärkeitä ominaisuuksia hinnoittelutehtävissä (mm. johdannaisinstrumenttien hinnoittelussa) - 9-

10 4. Johdannaisinstrumentit Johdannaisinstrumentti on sijoituskohde, josta saatava tuotto on sidottu johonkin toiseen muuttujaan. Esim. Forward-sopimus, jossa haltija sitoutuu ostamaan 2000 kiloa sokeria 6 viikon päästä hintaan 0.70 /kg sopimuksen arvo riippuu siitä, millainen sokerin hinta on 6 vkon kuluttua jos hinta nousee yli 0.7 /kg, niin sopimuksen arvo on positiivinen jos hinta laskee alle 0.7 /kg, niin sopimuksen haltija tekee tappiota Esim. Optio, joka antaa haltijalleen oikeuden ostaa 100 kpl Nokian osakkeita 6 kk:n kuluttua hintaan 25. jos osakkeen hinta nousee yli 25 :n tasolle P, niin sopimuksen arvo 6:kk kuluttua on (P-25) 100 jos osakkeen hinta jää alle 25, niin optio on lunastushetkellä arvoton. Johdannaisen arvo riippuu sen kohde-etuuden arvosta johdannaisia voidaan kuitenkin rakentaa monien ilmiöiden perusteella (esim. vaalitulos, säätila) - 10-

11 5. Forward-sopimukset Forward-sopimus (termiinisopimus) on sitoumus, joka velvoittaa ostamaan (myymään) tietyn määrän hyödykettä tiettyyn hintaan sopimuksessa määritettynä ajanhetkenä. sopimuksen haltija esim. sitoutuu myymään 1000 barrelia öljyä 9 kk:n kuluttua hintaan $25/barreli. hyödykkeen ostajalla on pitkä positio hyödykkeen toimittajalla on lyhyt positio forward-hinta F on se hinta, jolla toimitus tehdään hinta sovitaan yleensä niin, että sopimuksen arvo on sen tekohetkellä nolla hyödykkeen arvo määrittyy kulloinkin spot-markkinoilla, jolla sillä käydään aktiivista kauppaa Jos varastointikustannuksia ei ole, niin forward-hinta määrittyy forward-koroista: 1. otetaan lyhyt positio (so. sitoudutaan myymään) 2. ostetaan hyödykettä heti markkinoilta hintaan S ja varastoidaan se 3. toimitetaan se forward-hintaan F hetkellä T Jotta tämän sitoumuksen arvo olisi kummankin osapuolen kannalta nolla, kassavirran (-S,F) nykyarvon on oltava 0 S F + d (0, T S / ) F d (0, T ) 0-11-

12 Huomioitavaa: Jos forward-hinta olisi suurempi (F > S/d(0,T)), niin kannattaa ottaa laina forward-korolla d(0,t), ostaa hyödyke spot-markkinoilta ja sitoutua myymään se hetkellä T hintaan F arbitraasivoitto! Jos forward-hinta olisi alhaisempi (F < S/d(0,T)), niin hyödyke kannattaa lainata ja myydä siten, että myyntitulo sijoitetaan forward-korolla samalla kun sitoudutaan ostamaan hyödyke takaisin hintaan F arbitraasivoitto! Hyödykkeen varastointiin voi kuitenkin liittyä kustannuksia vakuutusmaksut, tilojen vuokra, jne. jne. Oletetaan, että hyödyke toimitetaan M periodin kuluttua olkoon c(k) varastoinnin yksikkökustannus periodista k periodiin k+1 lyhyessä positiossa voidaan ostaa hyödyke spot-markkinoilta S, maksaa varastointikustannukset ja toimittaa hyödyke periodin M lopussa kassavirta on (-S-c(0), -c(1),-c(2),, -c(m-1),f) forward-hinta F on se, jolla tämän nykyarvo on 0 F 0 S S d (0, M M 1 k 0 ) d (0, k ) c( k ) + + M 1 k c( k ) d ( k, M ) d (0, M ) F

13 Esim. Sokerin hinta on 0.12 $/pauna. Mikä on 5 kk:n kuluttua tapahtuvan sokeritoimituksen forward-hinta, jos vuosikorko on 9% ja varastointi maksaa 0.01 $/pauna/kk. kuukausikorko 9%/ % d(0,m) [1/( )] M, d(k,m) [1/( )] M-k F 0.12 ( ) k 0 [ 0.01 ( ) ] 5 k 6. Forward-sopimuksen arvo Sopimuksen tekohetkellä forward-hinta määritetään niin, että sopimuksen arvo on nolla; mutta kohde-etuuden arvon muuttuessa aiemmin tehdyn sopimuksen arvo muuttuu. Olkoon aiemmin tehdyn forward-sopimuksen forward-hinta F 0. Jos forward-hinta on F t hetkellä t, aiemman sopimuksen arvo on pitkän position haltijan kannalta tällöin f ( F F ) d ( t, T ) t t 0 Tod. Tarkastellaan portfoliota, jossa sijoittaja ottaa hetkellä t pitkän position forward-hintaan F 0 ja lyhyen position forward-hintaan F t. Kassavirta alussa on -f t. Hetkellä T - 13-

14 sijoittaja saa varman kassavirtan F 0 -F t. Kassavirta on varma, joten nykyarvon on oltava nolla eli f + d( t, T)( F F ) 0 t t 0 7. Swap-sopimukset Swap-sopimus on sitoumus, joka muuntaa yhdentyyppisen kassavirran toisenlaiseen esim. vaihtuvakorkoinen asuntolaina kiinteäkorkoiseksi plain vanilla swap: sarja kiinteitä maksuja vaihdetaan sarjaksi vaihtuvia maksuja tyypillisesti swapit räätälöidään eri tilanteisiin sopiviksi swap-markkinoiden koko satoja miljardeja dollareita Esim. Plain vanilla korkoswap osapuoli A maksaa puolivuosittain B:lle kiinteä korkoa osapuoli B maksaa A:lle muuttuvaa korkoa (esim. 6 kk Euribor) näin voi olla esimerkiksi siksi, että B on lainannut rahaa C:lle vaihtuvaan korkoon, jolloin A:n kanssa tehtävä swap-sopimus eliminoi C:lle annettuun lainaan liittyvän korkoriskin - 14-

15 a) Hyödykeswapin arvon määrittäminen Oletetaan, että swap-sopimuksen kesto on M jaksoa siten, että kunakin jaksona osapuoli A 1) saa N:n hyödykeyksikön spot-hintaa vastaava suorituksen S i ja 2) maksaa kustakin hyödykeyksiköstä kiinteän hinnan X. Olkoon F i hyödykeyksikön forward-hinta jakson i päättymishetkellä tapahtuvalle toimitukselle (määritettynä hetkellä 0) S i :t voidaan korvata forward-hinnoilla F i, jotka tunnetaan A voi ottaa alkuhetkellä lyhyen position, jossa hän sitoutuu myymään hyödykeyksikön hintaan F i tämä positio ei maksa mitään jakson i päättyessä swap-sopimuksesta saatava kassavirta S i voidaan käyttää siten, että markkinoilta ostetaan hyödykeyksikkö lyhyestä positiosta johtuvan myyntivelvoitteen täyttämiseksi myynnistä saadaan kassavirta F i. Tulevat kassavirrat voidaan diskontata nykyhetkeen, joten swap-sopimuksen arvo A:n kannalta on V M i 1 d (0, i)( Usein kiinteä summa X määritetään niin, että swap-sopimuksen arvo on sen tekohetkellä nolla. F i X ) N - 15-