Variations on the Black-Scholes Model

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Variations on the Black-Scholes Model"

Transkriptio

1 Variations on th Black-Schols Mol Sovlltun matmatiikan jatko-opintosminaari 6.9 Koh-tuus maksaa osinkoja avoittna on tarkastlla tilantita, joissa B&S yhtälö i ol riittävä sllaisnaan (sim. option koh-tuus maksaa osinkoja) arkastllaan ainoastaan trministisiä osinkoja; osinkojn suuruus ja irtoamishtki ovat tunnttuja option linkaarn alusta asti Koh-tuus maksaa osinkoja Option arvon määritystä tarkastllaan kahssa ri tapauksssa: Koh-tuus maksaa vakiona pysyvää jatkuvaa osinkotuottoa Esimrkiksi: inksin (iso määrä rilaisia osakkita) maksamat osingot ovat niin tihät, ttä saattaa olla parasta pitää osinkomaksuja jatkuvana usin rillistn osinkomaksujn sijaan Osingon maksu on krtaluontista Yritykst maksavat osan voitoistaan osinkoina omistajilln. Yritykst maksavat osinkoa ylnsä yhstä nljään krtaan vuossa. Usat yritykst pyrkivät pitämään omistajinsa osinkotuoton vakiona vuosta toisn Vakiosuhtinn ja jatkuva osinkotuotto Olttaan, ttä aikana t koh-tuus maksaa osingon D St, jossa D on vakio. Näin olln osinkotuotto on määritlty osuutna kohtuun arvosta aikayksikköä kohti. Koska arbitraasihon mukaan koh-tuun hinnan pitää pinntyä osingon vrran osingonmaksun yhtyssä, koh-tuun hinnan stokastinn yhtälö muuttuu muotoon: S = σsx + µ D ) St (

2 Vakiosuhtinn ja jatkuva osinkotuotto Näin olln suojattuun portfolioon tul osinko tuottoja - D St vrran = V S D S t Sijoittamalla V (ito s lmma) S (llisltä sivulta) oistamalla satunnaisuus = Jonka jälkn Π:n on riskitön ja voiaan kirjoittaa muotoon rπt arbitraasihtoon votn lopuksi sijoittaan = ja = V S D S Lopputuloksksi saaaan: V + σ S + ( r D ) S rv = Vakiosuhtinn ja jatkuva osinkotuotto Kaksi nsimmäistä rajahtoa kolmsta säilyy:. C(S,)=max(S()-E,). S=, niin C(,= 3. kun S->, niin C(S,~S -D(- Option arvo lähn koh-tuun arvoa ilman osinkoa. Olttaan, ttä S * ( on S(:n osinkopuhistttu hinta. Eli S * ( i maksa osinkoa ja s on yhtä suuri kuin S( osingon maksun jälkn, jotn: S ( = S( * D ( Option haltijan näkökulmasta on aivan sama kumman kohtuun option hän ostaa, koska option haltija i hyöy osingoista mitnkään. Vakiosuhtinn ja jatkuva osinkotuotto Näin olln C(S * (,= C(S(, C(S * (, voiaan ratkaista B&S yhtälön avulla ja ratkaisuhan on tunnttu. Sijoittamalla ratkaisuun: S ( = S( * D ( Saamm: D ( C( S, = SN( ) E N( log( S / E) + ( r D + σ )( = σ t = σ t ) Diskrtti osingon maksu Olttaan ttä koh-tuus maksaa yhn osingon y S ajanhtkllä t nnn option lunastamista. y on osinkotuotto. Koh-tuun hinta muuttuu näin olln osingon vrran osingon maksuhtkllä + S( t ) = S( t ) ys( t ) = S( t )( y ) Mikä vaikutus koh-tuun päjatkuvalla hinnalla on option hintaan?

3 Diskrtti osingon maksu Diskrtti osingon maksu Option arvon pitää olla jatkuva osingonmaksuajankohan yli. Jos option arvo muuttuisi osingonirtoamishtkllä, voisi ostamalla ja myymällä optioita thä riskittömästi rahaa. Kysssä olisi A-tyypin arbitraasi. Eli: V ( S( t ), t + + ) = V ( S( t ), t ) Huom! Osingon maksu pinntää arvoa koko option linajan ajalta Ellistä kaavaa kutsutaan hyppyhoksi. Ellinn kaava pät myös muill päjatkuvill muuttujill Mitn option hinta lasktaan käytännössä, kun koh-tuus maksaa krtaalln osinkoa? Arvon määrittäminn aloittaan lunastushtkstä taakspäin (backwar parabolic). Aluksi ratkaistaan B&S yhtälö osingonirtoamishtkn asti. ämän jälkn käyttään uusia muuttujan arvoja, join yhtys löytyy hyppyhosta: + V ( S, t ) V ( S( ), t ) = y 3. Ratkaistaan B&S yhtälö haluttuun ajanhtkn asti uusilla muuttujan arvoilla Diskrtti osingon maksu rmiinit Esimrkkinä urooppalainn ostooptio. Kohassa. voiaan käyttää normaalisti urooppalaisn osto-option analyyttistä ratkaisua (osinkoa i maksta): C. Kohta. ( S, = C( S, t; E), + t t + C ( S, t ) = C ( S( ), t ; E) Dlta muuttuu osingonirtoamishtkllä, jotn tämä pitää huomioia suojauksssa = y rmiinit ovat kahn osapuoln välisiä sopimuksia, joissa toinn osapuoli sitoutuu ostamaan toislta kohtuun sovittuun hintaan (forwar pric) sovittuna ajankohtana (maturity at) Eroja optioihin: Kummankin osapuoln on pakko lunastaa trmiini rmiinin prmio on nolla 3

4 Futuurit Futuurit ovat prusominaisuuksiltaan trmiinin kaltaisia Erot trmiinihin Futuurja välittävät johannaispörssit, jotka ovat stanaroint tittyjä futuurin ominaisuuksia, kutn maturitttihtkn ja koh-tuuksin määrän Futuurin arvo lasktaan päivittäin ja arvon muutos hyvittään välittömästi toisll osapuolll. rmiinin voitto /tappio puolstaan ralisoituu maturitttihtknä Futuurit ja trmiinit Huolimatta futuurin ja trmiinin roista niin hinnat ovat lähs samat On olmassa usita tapoja johtaa lunastushinta (forwar pric). Arbitraasi Lyhyt positio li vlvollisuus myyä koh-tuus maturitttihtkllä Ottaan riskitöntä lainaa pankista ja osttaan sillä hti koh-tuus Futuurit ja trmiinit Hinnaksi F on tultava riskittömän pankkilainan aihuttamat kustannukst, koska m. järjstly i aihuta riskiä tkijälln ja koska muutn kysssä olisi A- tyypin arbitraasi F = S( Jos koh-tuus maksaa jatkuvaa vakio-osinkoa D ällöin hinnaksi F saaaan: F = S( r( ( r D )( Futuurit ja trmiinit. ut-call arittti rmiinin pitkä positio (ostovlvollisuus) vastaa urooppalaisn osto-option pitkää positiota ja myyntioption lyhyttä positiota, joilla on sama maturittti ja lunastushinta uotto rmiini F ja E Osto-optio myyntioptio Kohtuun hinta 4

5 Futuurit ja trmiinit S + C = E r ( t ) Koska trmiinin arvo sopimuksn solmimishtkllä on nolla ja koska E =F, niin S E = r( F = S( 3. Black an scholsin ratkaisu Koska trmiinin (pitkä positio) payoff on htkllä, S-F, on hlppo päätllä, ttä ratkaisu aimmill ajankohill on: S( F r ( t ) Futuurit ja trmiinit rmiinin arvo muuttuu koko ajan, sillä koh-tuun hinta muuttuu. rmiinisopimuksn osapuoli voi koska tahansa (t ) lukita voittonsa tai tappionsa tkmällä vastaavan sopimuksn ottamalla vastakkaisn position. ällöin voitoksi/tappioksi muoostuu: V ( S, t') = S( t') F t') Futuurioptiot Voimm johtaa B&S yhtälöstä futuurioption arvon V(F, muuttujan vaihtosääntöön votn. Korvaamm S:n: S F Ja: F r( = F F F + = rf F F uloksksi saamm: V + σ F rv = F ulos on inttinn jatkuvaa osinkoa maksavan koh-tuun B&S yhtälön kanssa, kun kohtuus maksaa osinkoa r:n vrran Futuurioptiot Eurooppalaisn osto-option arvon kaava on tätn hlppo thä sijoittamalla D =r: C( F, = (( FN( ) EN( )) 5

6 Aikariippuvat paramtrit B&S yhtälössä arkoituksna on sisällyttää B&S analyysiin ajasta riippuva korko r( ja volatilittti σ(. Näitä on pitty tätä nnn vakioina. ulokst ovat mrkittäviä niill, joilla on vahva näkmys mihin suuntaan korko ja volatilittti khittyvät Lopputulos: Voimm korvata B&S yhtälön ratkaisuista vakiokoron r ja -volatilittin σ suraavilla kskiarvoilla Aikariippuvat paramtrit B&S yhtälössä Korko r voiaan korvata: t t r( τ ) τ Volatilittti σ voiaan korvata: t t σ ( τ ) τ Eksoottist optiot Kaikki n optiot, join payoff lasktaan ri tavalla kuin vaniljaoptioin payoff:it, ovat ksoottisia optioita. Eli poikkavat: EuropanCall Europanut = max( S E,) = max( E S,) ath-pnnt options Option payoff riippuu lunastus- tai maturitttihtkllä koh-tuun aikaismmasta hintahistoriasta Asian, lookbacks, Barrir, Amrican options Barrir options Barrir optioill on ominaista nnalta määrätty koh-tuun rajahinta, joka joko mitätöi option arvon tai aktivoi option ällainn hto voiaan lisätä käytännössä millaisn tahansa optioon Barriroptioita on nljää ri päätyyppiä: Down-an-out Option payoff on nolla, mikäli kohtuun hinta käy asttun Barrir hinnan alapuollla option linkaarn aikana Down-an-in Option payoff on nolla, mikäli kohtuun hinta EI käy asttun Barrir hinnan alapuollla option linkaarn aikana Up-an-in Up-an-out 6

7 Barrir options Yksi syy ko. optioin suosioll on, ttä n ovat halvmpia kuin simrkiksi vastaavat urooppalaist optiot N ovat halvmpia, koska payoff:in saaminn on lisä-hon takia pävarmmpaa oisiaan vastaavin in ja out - optioin arvoilla on yhtys: in + out = uropan B&S yhtälön analyyttinn ratkaisu on ratkaistavissa skä urooppalaisn myynti- ttä ostooption arvoll millä tahansa barrir holla Barrir options Muita käytössä olvia htoja: Doubl barrir: koh-tuun hinnan vaihtlull on astttu skä ylä- ttä alaraja. Rajat voivat olla in tai out - tyyppisiä artial barrir: raja on astttu vain rajoittuksi ajaksi arisian: rajan ylityksll on astttu tukätn aikavaatimus Asian options Aasialaistn optioin payoff on riippuvainn koh-tuun hintahistoriasta (pathpnn. Hintahistorian avulla lasktaan kskiarvo. Kskiarvo voiaan laska Aritmttissti/gomtrissti ainotttuna/i painotttuna Jatkuva/iskrtti otos Aasialaistn optioin arvoill löytyy B&S yhtälön analyyttinn ratkaisu vain tityissä tapauksissa Asian options Osto-option, jonka lunastus-hinta on vakio, payoff: Avragr icasiancall = max( S( τ ) τ E,) Osto-option, jonka lunastus-hinta on kskiarvo, payoff: AvragStrikAsianCall = max( S( ) S( τ ) τ,) 7

8 Lookback options Lookback option payoff riippuu joko koh-tuun hinnan maksimi- tai minimiarvosta. Lunastushinta on joko kiintä (E) tai klluva. Klluvalla lunastushinnalla tarkoittaan koh-tuun hintaa lunastushtkllä S() Osto-optioin payoffit: Kiint ä Klluva = max( S = max( S max max E,) S( ),) Jos optiolla on klluva lunastushinta, optio kannattaa lunastaa aina Compoun options Compoun option li option optio Esimrkkinä urooppalainn ostooptio urooppalaisll osto-optioll ( call-on-call ). Compoun optio voiaan lunastaa ajanhtkllä lunastushinnalla E. Koh-tuus optio voiaan lunastaa puolstaan ajanhtkllä lunastushinnalla E. Koh-tuus option arvo on oman kohtuun hinnan S ja ajan funktio t C(S, Compoun option payoff määräytyy siis suraavasti: Call on call = max( C( S, ) E,) Choosr options Rgular choosr option haltijalla on oikus ostaa ajankohtana lunastushinnalla E osto- AI myyntioptio, jonka lunastushinta on E ajankohtana. Koh-tuus optioin arvot ovat niin omin kohtuuksin hinnan S ja ajan t funktioita (S, ja C(S,. Choosr option haltija valits luonnollissti sn option, kumman arvo on suurmpi ajanhtkllä, mikäli suurmpi arvo on suurmpi kuin E Olttaan taas, ttä kaikki optiot ovat urooppalaisia. ällöin rgular choosr option payoffiksi muoostuu C on c or p = max( C( S, ) E, ( S, ) E,) Brmuan option Brmuan optio roaa ainoastaan yhllä tavalla vastaavasta amrikkalaissta optiosta. Amrikkalaisn option voi lunastaa minä htknä hyvänsä option linkaarn aikana [,]. Brmuan option voi lunastaa puolstaan ainoastaan tukätn määritttyinä päivinä Brmuan option arvoll i ol olmassa analyyttistä ratkaisua Jos koh-tuus optioilla on ri lunastushinta tai maturitttihtki, optiota kutsutaan monimutkaisksi choosr optioksi 8

9 Shout options Yksinkrtaisin huuto-optio sallii option haltijan huutaa krran aikavälillä [,]. Osto-option payoff määräytyy suraavasti: Max(S() - E, S( τ ) - E) Jos option haltija on "huutanut" ajankohtana τ max(s() - E,) Jos option haltija i ol"huutanut" Huuon iana on lukita payoff vähintään S( τ)-e:n suuruisksi. Huuto-option arvoll i ol olmassa valmista kaavaa 9

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

Valuuttariskit ja johdannaiset

Valuuttariskit ja johdannaiset Valuuttariskit ja johdannaiset Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Sosiaali- ja terveysjohtamisen laitos, kansantaloustiede Lähde: Hull, Options, Futures, & Other

Lisätiedot

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan

Lisätiedot

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit Mat-.8 ovlltun matmatiikan rikoistyö Osakindksisidonnaistn joukkovlkakirjojn hinnoittlumallit mu Nyholm (45757F) 3..4 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm isällysluttlo JOHDANO... 3 HINNOIELUMALLI...

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Lisää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti

Lisää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti isää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy isää satunnaisuutta Tähän mennessä on käytetty vain yhtä satunnaismuuttujaa tuotteen

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen

Lisätiedot

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28) .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.

Lisätiedot

Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat

Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat Tommi Sottinen, Helsingin yliopisto Yhteistyössä C. Bender, TU Braunschweig E. Valkeila, Teknillinen korkeakoulu 10. lokakuuta 2006

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2

ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2 Moniperiodisten investointitehtäviä tarkasteltaessa sijoituskohteiden hintojen kehitystä mallinnetaan diskeetteinä (binomihilat) tai jatkuvina (Itô-prosessit) prosesseina. Sijoituskohteen hinta hetkellä

Lisätiedot

Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK)

Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK) Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagntismi, LuTK) Näytä tai jätä tarkistttavaksi tämän jakson pakollist thtävät viimistään

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd .* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma

Lisätiedot

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio Johdannaisanalyysi Contingent Claims Analysis Juha Leino 11.10.2000 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Oletukset Yritys tuottaa tuotetta, jonka hinta on x x noudattaa geometrista Brownin liikettä

Lisätiedot

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2)

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Sovelletun matematiikan jatko-opintoseminaari Johdannaissopimushinnoittelun matemaattinen mallinnus ja laskennalliset menetelmät Johdanto TkT Juho Kanniainen

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Esimerkki 1, Perusmalli (1)

Esimerkki 1, Perusmalli (1) (1) Lhtipaino hankkii tarvitsmansa painomustn krran viikossa. Kskimäärin viikossa hankitaan 1000 kg painomusttta (5000 kg vuodssa). Tilauskustannus on 50,00/tilaus. Yksikköylläpitokustannus on 1,0/kg/.

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Yhteysopas. Windows-ohjeet paikallisesti liitettyä tulostinta varten. Mitä paikallinen tulostaminen on? Ohjelmiston asentaminen CD-levyltä

Yhteysopas. Windows-ohjeet paikallisesti liitettyä tulostinta varten. Mitä paikallinen tulostaminen on? Ohjelmiston asentaminen CD-levyltä Yhtysopas Sivu 1/6 Yhtysopas Winows-ohjt paikallissti liitttyä tulostinta vartn Huomautus: Kun asnnat paikallissti liitttyä tulostinta, ja Ohjlmisto ja käyttöoppaat -CD-lvy i tu käyttöjärjstlmää, käytä

Lisätiedot

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta) ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Pag e. Lukion työskentelyä ohjaavat lukiolaki, lukioasetus, opetushallituksen ohjeet, koulutoimen toimintasääntö ja järjestyssäännöt.

Pag e. Lukion työskentelyä ohjaavat lukiolaki, lukioasetus, opetushallituksen ohjeet, koulutoimen toimintasääntö ja järjestyssäännöt. Liit 6 Mäntyharjun lukion järjstyssääntö Lukion työskntlyä ohjaavat lukiolaki, lukioastus, optushallituksn ohjt, koulutoimn toimintasääntö ja järjstyssäännöt. Järjstyssääntöjn tavoittna on turvata kouluyhtisön

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit

A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit A250A0100 Finanssi-investoinnit 5. harjoitukset 14.4.2015 Futuurit ja termiinit ehtävä 5.1 Kesäkuun 3. päivä ostaja O ja myyjä M sopivat syyskuussa erääntyvästä 25 kappaleen OMX Helsinki CAP-indeksifutuurin

Lisätiedot

Optiot 1. Tervetuloa webinaariin!

Optiot 1. Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 on peruskurssi optioista kiinnostuneelle sijoittajalle. Webinaarissa käydään läpi mm. mikä optio on, miten sitä voi käyttää ja mistä kannattaa lähteä liikkeelle.

Lisätiedot

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva

Lisätiedot

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen

Lisätiedot

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan

Lisätiedot

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA 2018-2020 TOIMIALA 50 YHDYSKUNTAPALVELUT P A L V E L U 5 0 0 T E K N I S E N J A Y M P Ä R I S T Ö T O I M E N H A L L I N T O J A M A A S

Lisätiedot

Asunto Oy Vantaan Kaneli Tikkurilantie 35,01370 Vantaa Asunto Oy Vantaan Kaneli sijaitsee omalla tontilla.

Asunto Oy Vantaan Kaneli Tikkurilantie 35,01370 Vantaa Asunto Oy Vantaan Kaneli sijaitsee omalla tontilla. Asunto Oy Vantaan Kaneli Tikkurilantie 35,01370 Vantaa Asunto Oy Vantaan Kaneli sijaitsee omalla tontilla. MYYNTIHINTALUETTELO pvm 26.1.2015 Hinnat voimassa toistaiseksi Päivitetty 4.1.2016 Huoneisto tyyppi

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

12. Korkojohdannaiset

12. Korkojohdannaiset 2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla

Lisätiedot

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN,

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

Kirjanpito ja laskentatoimi A-osa

Kirjanpito ja laskentatoimi A-osa 1. Arvon määritys a) Mitkä tekijät vaikuttavat osto- ja myyntioptioiden arvoon ja miten? b) Yrityksen osingon oletetaan olevan ensi vuonna 3 euroa per osake ja osinkojen uskotaan kasvavan 6 % vuosivauhtia.

Lisätiedot

ASUNTO OY SULKULAN HUVITUS, JYVÄSKYLÄ Ryytipolku 6 40520 Jyväskylä lainaosuus MYYNTIHINNASTO 22.4.2014 MUUTOKSET MAHDOLLISIA

ASUNTO OY SULKULAN HUVITUS, JYVÄSKYLÄ Ryytipolku 6 40520 Jyväskylä lainaosuus MYYNTIHINNASTO 22.4.2014 MUUTOKSET MAHDOLLISIA Ryytipolku 6 40520 Jyväskylä lainaosuus MYYNTIHINNASTO 22.4.2014 vuokratontin Huoneisto- Pinta- Myynti- Pitkäaik. Velaton arvioitu Osake- Osake Asunto Krs tyyppi ala hinta lainaosuus hinta lunastusosuus

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Vihaaja. Itsenäinen ajattelija

Vihaaja. Itsenäinen ajattelija Arvometallit 2012 Intoilija Vihaaja Itsenäinen ajattelija Mitä raha oikeastaan on? Käytännössä kaikki raha on VELKAA Keskuspankin tärkein tavoite on määrätä nopeutta, jolla RAHAN ARVO TUHOUTUU Pankki

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) 11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan

Lisätiedot

ASUNTO OY KUOPION TUULIKANNEL

ASUNTO OY KUOPION TUULIKANNEL Sivu 1 lainaosuus ENNAKKOMARKKINOINTIHINNASTO 28.1.2016 ENNAKKOMARKKINOINTI vuokratontin Huoneisto- Pinta- Myynti- Pitkäaik. Velaton arvioitu Osake- Osake Asunto Krs tyyppi ala hinta lainaosuus hinta lunastusosuus

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Hyödykebarrieroptioiden hinnoittelu

Hyödykebarrieroptioiden hinnoittelu Hyödykebarrieroptioiden hinnoittelu Kandidaattiseminaari 2010 1.11.2010 Esityksen rakenne Yleistä barrieroptioista Taustaa barrieroptioiden hinnoittelusta Työn tavoitteet ja rajaukset Sovellettava aineisto

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Optiot 2. Tervetuloa webinaariin!

Optiot 2. Tervetuloa webinaariin! Optiot 2 Tervetuloa webinaariin! Optiot 2 on jatkokurssi optioista kiinnostuneelle sijoittajalle. Webinaarissa jatketaan optioiden käsittelyä ja syvennymme johdannaisten maailmaan. Webinaarissa käydään

Lisätiedot

OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS

OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS OPTIMAALINEN INESTOINTIPÄÄTÖS Keskiarvoon palautuvalle prosessille ja Poissonin hyppyprosessille Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 I. KESKIAROON PALAUTUA PROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 2. harjoitus, (p 4.11.2016) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn

Lisätiedot

Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia

Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia Solmu 2/2015 1 Arvioita karaktrisummill: Pólya-Vinogradovin päyhtälö ja sn parannuksia Jss Jääsaari Matmatiikan ja tilastotitn laitos, Hlsingin yliopisto Johdanto Alkuluvut ovat analyyttisn lukutorian

Lisätiedot

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on

Lisätiedot

Empiiriset sovellukset

Empiiriset sovellukset Empiirist sollukst Kotithtään ratkaisu.4. S ystmianalyysin Tknillinn korkakoulu Esitlmä # - Esitlmöijän nimi Optimointiopin sminaari - Kät Kotithtää Epäsymmtrisn tidon huutokauppa öljysiintymästä Piirrä

Lisätiedot

Vakuutuskuori vai sijoitusrahasto. Vesa Korpela lakiasiain johtaja

Vakuutuskuori vai sijoitusrahasto. Vesa Korpela lakiasiain johtaja Vakuutuskuori vai sijoitusrahasto Vesa Korpela lakiasiain johtaja Välillinen sijoittaminen verotuksessa Sijoituskohde Vakuutusyhtiö Sijoitusrahasto Sijoituskohde Sijoituskohde Välillinen sijoittaminen

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1) 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen

Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman

Lisätiedot

Hanken Svenska handelshögskolan / Hanken School of Economics www.hanken.fi

Hanken Svenska handelshögskolan / Hanken School of Economics www.hanken.fi Sijoittajan sanastoa Pörssisäätiön sijoituskoulu VERO 2014 Prof. Minna Martikainen Hanken School of Economics, Finland Sijoitusmaailman termistö ja logiikka, omat toimet ja näin luen. SIJOITUSMAAILMAN

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen

Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen Investointimahdollisuudet ja investointien ajoittaminen Optimaalisen investointistrategian ominaispiirteitä eli parametrien vaikutus ratkaisuun Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Optimointiopin seminaari

Lisätiedot

Läpivientien suunnittelu- ja asennusohje

Läpivientien suunnittelu- ja asennusohje Läpivintin suunnittlu- ja asnnusohj G-khyksn pulttaus sinärakntsn Lvystolranssi G-khys voiaan kiinnittää pulttaamalla. Kiinnitystapa on tällöin valittava sinärakntn mukaan. Lisäksi on huolhittava siitä,

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Liite VATT Analyysin lukuun 5

Liite VATT Analyysin lukuun 5 Liit VATT Aalyysi lukuu 5 Tässä liittssä sittää VATT Aalyysissa käytty lasktakhiko yksityiskohdat Liitt lopussa raportoidaa lasklmissa käyttyt ikäprofiilit a paramtriarvot Lasktakhiko raktamis sikuva o

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot