Palkkielementti hum

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Palkkielementti hum 3.10.13"

Transkriptio

1 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa palin pituussäiitä vastaan. Elmntti sovltuu sllaisnaan pinill siirtymill ja irtymill, mutta sitä voidaan sovltaa myös suurill siirtymill ja irtymill, unhan vain vnymä on pini. Krrataan alusi aarvuudn äsit. Kaarvuus v α R s α v α+ α määritllään tasoäyrän aarvuus raja-arvona α dα κ lim R s 0 s ds () uvasta huomataan, ttä dv tanα () d josta diffrntioimalla

2 Palilmntti hum.0. ( tan α ) + dα v d v dα +, v, d, () vastaavasti s + v v v, (, ) s + v ds + v d, (4) yhdistämällä tulost saadaan aarvuudn laussi κ v, / ( + v, ) (5) Käytttässä pintn siirtymin ja vnymin toriaa, utn tällä urssilla, voidaan aarvuudn laus orvata sn liilauslla κ v, (6) Alla olvassa uvassa on vilä havainnollistttu millainn ympyränaari on ysssä, jossa aarvuudn liilaus tuottaa %:n virhn aarvuudll. Taipuma v [mm] [mm] Kuva. Palin aarvuus

3 Palilmntti hum.0. Vnymä Ω α R y v v() v(+ ) Kuva. Palin aarutuminn taivutusrasitussta johtun Puhtaassa taivutusssa palin uormittamattomana suora immoviiva (uvassa atoviiva) muuttuu R- sätissi ympyränaarsi säilyttän alupräisn pituutnsa. Kuvassa immoviivalta orudlla y olvin säiidn alupräinn pituus on siis R α. Palin taivutusn johdosta säiidn pituus uormitttuna on (R - y) α, jotn säiidn vnymä on ( ) R y α R α y ε y v R α R, (7) Kimmonrgia Jos palin matriaali on linaarissti immoista, niin sn immonrgian laus saadaan yllä olvaa vnymän laustta äyttän U U dv σ ε dv E ε dv E y v dv (8) 0, V V V V Olttamalla immorroin vaiosi poiipinnan alulla saadaan immonrgia vilä muotoon U E v y da d EI v d (9),, A

4 Palilmntti hum.0. Kahdn solmuvapausastn palilmntti Olttamalla palin nutraaliaslin orudlla olvat säit vnymättömisi, voidaan tasopalilmntin solmull valita asi vapausasttta, jota ovat solmun siirtymä palin paiallisoordinaatiston y-aslin suunnassa sä palin irtymä -aslin ympäri. Kosa äyttään pintn siirtymin toriaa, niin palin irtymä α ja taipuman drivaatta v, voidaan samaistaa. q q q q 4 ξ Kuva. Kahdn solmuvapausastn palilmntti Käyttään lmntin alulla lisäsi niin sanottua mooordinaatistoa, jossa mooordinaatti ξ saa arvoja välillä [-, ]. Tällöin lmntin pistn ξ vastaava -oordinaatti, jona mittausn origo on solmussa, saadaan ( ξ ) ( ξ ) N l (0) missä intrpolaatiofuntio -aslin suunnassa on N ( ξ ) ( + ξ ) () ähdtään sittn tsimään intrpolaatiofuntioita H i mooordinaatin ξ avulla palin taipumafuntioll v(ξ). Etsitään funtioita sitn, ttä uin intrpolaatiofuntio antaa arvon omalla solmuvapaustllaan ja arvon 0 muilla solmuvapausastilla. Näin saadaan ullin funtioll nljä htoa, jotn tsitään funtioita olmannn astn polynomin jouosta. H ( ξ ) α + α ξ + α ξ + α ξ () i i i i i 0 missä indsi i viittaa vapausastisiin..4. Intrpolaatiofuntion hdoista vapausastll q saadaan α0 α + α α α α + α 0 α 0 + α + α + α 0 α + α + α 0 () 4

5 Palilmntti hum.0. joa voidaan lausua matriisimuodossa 0 0 α (4) Rataismalla yhtälöryhmä saadaan rtoimill arvot ( ) T α 0 (5) 4 vastaavalla tavalla saadaan muut intrpolaatiofuntiot, jotn H ( ξ + ξ ) 4 H ( ξ ξ + ξ ) 4 (6) H ( + ξ ξ ) 4 H 4 ( ξ + ξ + ξ ) 4 Funtiot H ja H lpaavat sllaisnaan palilmntin taipumaviivan approsimaatiosi, mutta osa v dv dξ v (7) dξ d l,, ξ niin thdään tarvittavat orjaust funtioihin H ja H 4, jotta taipuman drivaatta v, saa oiat arvot ( ja 0) solmuissa ja, jotn ahdn solmuvapausastn palilmntin muotofuntiot ovat l l N ( ξ ) H H H H4 (8) ja palin taipumaviivan approsimaatio on l l v( ξ ) Hq + H q + Hq + H 4q4 q q l l H H H H 4 Nq q q 4 (9) 5

6 Palilmntti hum.0. Jäyyysmatriisi Jäyyysmatriisin lausn johtamissi määrittään nsin taipumaviivan v toinn drivaatta v d v dξ,, ξξ dξ d l l 4 4 l 6 l [ 6 ] 6 N q [ 6 ] 4 ξ + ξ ξ + ξ q ( 6 ξ l [ + ξ ] 6 ξ l [ + ξ ]) q N, q l (0) Palilmntin immonrgia on EI U EI v d d q N N q () T T,,, Kosa muotofuntiot on lausuttu mooordinaatin avulla, niin muuttaan intgrointirajat sijoittamalla l q N N q q N N ξ q T T T T U EI,,,, d EI d 6ξ l ( + ξ ) 6ξ l ( ξ ) 6ξ l ( ξ ) dξ q l ( + ξ ) T q l + + 6ξ EI EI ( + ) l ( + ) 6ξ 6lξ ξ 6ξ 6 ξ ξ 6l ξ ( + ξ ) l ( + ξ ) 6l ξ ( + ξ ) l ( + 9ξ ) T dξ q q q 6ξ 6 ξ ( + ξ ) 6ξ 6l ( ) ξ + ξ 6lξ ( + ξ ) l ( + 9ξ ) 6lξ ( + ξ ) l ( + ξ ) T q l l () jäyyysmatriisin laussi saadaan suorittamalla intgroinnit ( + ) l ( + ) 6ξ 6lξ ξ 6ξ 6 ξ ξ EI 6l ( ) ( ) ( ) ( ξ + ξ l + ξ 6lξ + ξ l + 9ξ ) d l ξ 6ξ 6lξ ( + ξ ) 6ξ 6lξ ( + ξ ) 6lξ ( + ξ ) l ( + 9ξ ) 6lξ ( + ξ ) l ( + ξ ) 6l 6l EI 6l 4l 6l l l 6l 6l 6l l 6l 4l () 6

7 Palilmntti hum.0. Kaavaoolmassa lmntin pituus l on orvattu mitalla, jotn ahdn solmuvapausastn palilmntin jäyyysmatriisi on 6 6 EI (4) Evivalnttist solmuuormitust Viivauormitusn aihuttama vivalnttinn solmuuormitus Palin tilavuusuormitus tai sn pintaan ohdistuva painuormitus voidaan äsitllä samalla tavalla viivauormitusna q, jona ysiö on N/mm tai N/m. Tarastllaan tässä yhtydssä tasaista viivauormitusta q, jona positiivinn suunta on palin y-aslin positiivinn suunta q F/ q q q q 4 Kuva 4. Pali, johon ohdistuu tasainn viivauorma q Viivauormitusn potntiaali T ql T T ql T WP v q d v( ξ ) dξ dξ q N ξ + ξ l T ql T T ql q N dξ q 4 + ξ ξ l q l / q l / T q q l / ql / ( ξ ξ + ξ ) ( ξ + ξ + ξ ) dξ (5) jotn tasaisn viivauormitusn vivalnttinn solmuuormitusvtori 7

8 Palilmntti hum.0. ql ql p V f f (6) ql q l missä yläindsi p viittaa painuormaan ja V tilavuusuormitusn. Kosa uormitusn viivatihys on tässä salaarisuur, niin on äyttty viivatihydn symbolina q irjainta rotusna vtoriarvoissta viivauormitussta, jota on mritty symbolilla r, jotta sitä i soitta lmntin solmusiirtymävtoriin q. Pistvoiman aihuttama vivalnttinn solmuuormitusvtori Toinn äsilasnnassa usin äyttty uormitus on pistuormitus lmntin alulla q q ξ F q q 4 a b Kuva 5. Elmntin alulla olva pistuorma Pistuormitusn potntiaali ξ + ξ l ( ξ ξ + ξ ) T T T T F WP v F F ( ξ ) q N q 4 ξ ξ (7) + l ( ξ + ξ + ξ ) mooordinaatin arvo voidaan rataista yhtydstä a a ( + ξ ) l ξ (8) l ottamalla vilä äyttöön lyhntt 8

9 Palilmntti hum.0. a b a b l l (9) ja sijoittamalla n potntiaalin laussn saadaan ( + a ) b ab q ( (0) + ) ba T WP F a b jotn lmntin alulla olvan pistuormitusn vivalnttinn solmuuormitusvtori on b ( + a ) ab p f () F a ( + b ) ba missä yläindsi p viittaa nyt ylistttyyn painsn li pistvoimaan. Jos pistvoima on lmntin sllä, niin vivalnttinn solmuuormitusvtori on F F P 8 f () F F 8 Välion I alu vuonna 0 päättyy suraavaan simriin. 9

10 Palilmntti hum.0. asntasimri as ohisn palirantn taivutusmomnttiuvio ja tuiratiot. EI F / Jataan malli äsilasnnan hlpottamissi vain ahtn lmnttiin. Kuvassa on sittty lmnttijao sä ainoa globaalivapausast Q. / Q F,EI,EI Elmntti q q q q 4 EI ξ Elmntti F q q q q 4 ξ Koo rantn lasntamallin jäyyysmatriisi saadaan sijoittlusummamalla lmnttin jäyyysmatriisit EI 8EI K 44 + ( 4 + 4) Jäyyysmatriisin ääntismatriisi EI f P F F 8 F F + 8 K 8EI 0

11 Palilmntti hum.0. Kosa lmntillä on nttäuormitus, niin siitä aihutuu oo rantn lasntamallin uormitusvtoriin F trmjä (ysi trmi). F [ F /8] astaan globaali siirtymävtori Q Q K F F F 8EI 8 64EI Elmntti F F EI F F f q EI 6 64 F F Elmntti F F P EI F 8 f q f EI F F + 8 F F 6F F 6 6 F F 4F F 4 F F F 6 F 9F 6 F F 4 F 5F Taivutusmomnttiuvio Taivutusmomnttin arvot lmnttin solmuilla on nyt slvittty ja jos lmntin alulla i ol nttäuormitusia, voidaan taivutusmomnttiuvio piirtää suorana solmuarvolta solmuarvoll. Solmulla olva solmuarvo f on taivutusmomntin vastaluu ja solmulla olva solmuarvo f 4 on suoraan taivutusmomntti. Jos lmntin alulla on nttäuormitusia, niin niidn vaiutus taivutusmomnttiuvioon lmntin alulla tul ottaa huomioon. Slimmin tämä tapahtuu lmntin palasn vapaaappaluvan avulla. Alla olvassa uvassa on lmntin oianpuolinn osuus nnn pistuormitusta F ja vasn puoliso havainnollisuudn vuosi.

12 Palilmntti hum.0. f F V V 9F/ f M t M t -5F/ Momnttitasapainosta pistn suhtn saadaan 9F 5F + M t ( ) 0 9F 5F M t ( ) + 9F 0F 9F M t ( / ) Kosa muita nttäuormitusia i ol, niin taivutusmomnttiuvio voidaan nyt piirtää. M t 9F + 64 F + - F - 5F Tuiratiot Pystyratio Ry Momntti Vasn tui Oia tui Ksitui F 9F F F F + F 5F Tasapainotarastus Pystyratio + Uloinn pystyuormitus Momnttitasapaino oialla tulla F F + F F 0 OK F 5F F F F OK

13 Palilmntti hum.0. Kolmn solmuvapausastn palilmntti isäämällä dllä sitltyyn ahdn solmuvapausastn palilmnttiin asiaalisiirtymät ja numroimalla lmntin vapausastt solmuittain tnnväsi saadaan uvan muainn olmn solmuvapausastn palilmntti. Kosa tyydytään linarisoituun toriaan, niin suoran palin vto ja puristus ivät ol ytnnässä taivutusn ja liausn, jotn oosttaan olmn solmuvapausastn palilmntti yhdistämällä ahdn vapausastn sauvalmntti ja ahdn solmuvapausastn palilmntti. q q y,v(), u() q q 5 q 6 ξ ξ - ξ q 4 Elmntin jäyyysmatriisi saadaan sijoittlusummaamalla nljän vapausastn palilmntin ja ahdn vapausastn sauvalmntin jäyyysmatriisit " " i i () ja EI κ EA 4 (4) (5) suorittamalla sijoittlusummaus saadaan

14 Palilmntti hum κ 6 κ 0 κ 6 κ 0 6 κ 4 κ 0 6 κ κ κ 6 κ 0 κ 6 κ 0 6 κ κ 0 6 κ 4 κ (6) Solmumittausjärjstlmän irto Kutn nljän vapausastn sauvalmntin yhtydssä oli sillä, on olmn solmuvapausastn palilmntti vilä sijoitttava milivaltaisn asntoon globaalisn y-oordinaatiston suhtn. Tällöin palin loaalioordinaatiston siirtymät q voidaan lausua globaalisn y-oordinaatiston siirtymin q avulla l m q m l q q q q (7) l m 0 q m l 0 q q 6 missä l ja m ovat palin suuntaosinit Globaalista solmumittausta vastaava jäyyysmatriisi on y T (8) missä saadaan aavalla (6). Evivalnttist solmuuormitusvtorit tul oota palin paiallisoordinaatistossa sauva- ja paliosall ja n muunntaan globaalisn y-oordinaatistoon aavalla f v y T fv (9) asuharjoitusissa tul olmaan ysi simri m. muunnosista. 4

15 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) Khärantt Khärantn osina olvat palit voivat ottaa vastaan aiia annattimn rasitusia, jota ovat normaalija liausvoima sä taivutus- ja vääntömomntti. Khärantssa taivutuslla ja/tai väännöllä on olllinn mritys ainain rantn jossain osassa. Khärantn lasntamallissa on siis momnttin ja liausvoimin uormittamia palja, mutta muana voi myös olla vain normaalivoimaa vastaanottavia sauvoja. Ylnsä härantn palin olttaan iinnittyvän toisiinsa jäyästi hän nurissa. Tällöin palin päät ivät irry toisiinsa nähdn vaan ovat saman nuraan liittyvän rotaation. Khärannmallissa voi josus siintyä sisäisiä nivliä tai luistja. Niillä voidaan mallintaa palin pään iinnitysiä, jota ivät ota mrittävästi vastaan taivutusmomnttia tai liausvoimaa tityssä suunnassa. Khärantn palin gomtria mallinntaan niidn pintasiöviivoilla, jota liittyvät toisiinsa hän nurissa joo suoraan tai tityllä päsisyydllä. Palit ovat ylnsä tasapasuja, jolloin niill tarvitaan annattimn torian muaist poiiliausn pintasuurt. Muuttuvan poiiliausn omaavan annattimn äsittly i onnistu ovin ylissti pruslujuusopilla, mutta lmnttimntlmässä s voidaan mallintaa halutulla taruudlla jaamalla pali riittävän monn tasapasuun osaan. Khärantn inttinn uormitus oostuu palihin tai nuriin ohdistuvista pistmäisistä voima- ja momnttiuormitusista sä palihin ohdistuvista viivauormitusista ja lämpötilauormitusista. Kinmaattinn uormitus sisältää tuipistidn tunntut translaatio- ja rotaatiosiirtymät. asnnan tulosna saadaan palin rasitusuvat ja vastaavat jännityst sä nurin translaatio- ja rotaatiosiirtymät ja palin immoviivojn laust. Tavallissti härantn nuriin syntyy uormitusn vaiutussta sä translaatiosiirtymiä ttä rotaatiosiirtymiä. Joissain tapausissa nuriin tul translaatiosiirtymiä vain normaalivoimista johtuvin pituudnmuutostn taia. Kosa hässä palin pituudnmuutost ovat ylnsä niidn taipumiin vrrattuna piniä, i thdä suurta virhttä, vaia n olttaan nollisi. Tällä oltuslla ysssä olva hä on nuristaan siirtymätön ja sn nuriin voi syntyä vain rotaatioita. Nuristaan siirtymätön hä on harvinainn rityistapaus ja ylnsä hät ovat siirtyvänuraisia. Tässä tarastllaan uitnin nuristaan siirtymätöntä häranntta, osa vastaavalla palilmntillä tarvitaan vain asi rotaatiovapausasttta, jotn siitä on ysinrtaisinta aloittaa palilmnttin torian hittly. Ristiorantidn yhtydssä sittty suoran lmnttimntlmän formulointi sovltuu sllaisnaan härantisiin. Uutna piirtnä on rotaatiovapausastidn äyttö solmumittausssa. asnnassa tarvitaan ylisn tasohän ja avaruushän äsittlyyn sopivat lmntit ja on tunnttava niidn jäyyysmatriisin ja vivalnttistn solmuuormitusvtoridn laust. Palilmntit ryhmitllään sn muaan, mitn n ottavat huomioon liausvoiman vaiutusn taipumaan. Hoian palin lmntti i ota liausvoimaa huomioon lainaan ja oran palin lmntti ottaa sn huomioon liimääräissti poiiliausn liausrtoimn avulla. iausvoiman vaiutus on ylnsä pini. Tässä äsitllään ysityisohtaissti vain hoian palin lmnttjä ja oran palin lmntin tulost sittään ilman johtoa. Edllä johdtut palilmnttin jäyyysmatriisit prustuivat tnisn taivutustoriaan, jolloin on otttu huomioon vain taivutusmomntin vaiutus palin taipumaan. Palin liausvoima aihuttaa myös taipumista, joa varsinin orilla palilla vaiuttaa himan tulosiin. iausvoiman vaiutusn 5

16 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) määritys ylisll poiiliausll i onnistu tarasti annattimn torialla, mutta riittävän tara liirataisu saadaan äyttämällä liausrrointa φ, joa riippuu palin matriaalista ja gomtriasta. Monill poiiliausill voidaan johtaa liausrtoimn liiarvo simrisi tnisn taivutustorian tai nrgiapriaattn avulla. Voidaan osoittaa, ttä liausrrointa äytttässä uudn vapausastn palilmntin loaali jäyyysmatriisi muuttuu muotoon iausrtoimn φ laus voidaan sittää muodossa EI A i φ 4( + ν ) GAs As (40) jossa E, G ja ν ovat matriaalivaiot, As thollinn liauspinta-ala (liausvoiman vastaanottava pintaala) ja i poiiliausn nliösäd. iauspinta-aloja löytyy lujuusopin irjallisuudsta, simrisi suoraulmioll A s 5A / 6, ympyräll A s 9A /0 ja I-profiilill uuman pinta-ala. Kaavasta näyy, ttä liausmuodonmuutosn vaiutus on pini, jos palin hoiuusluu λ / i i ol ovin pini. Kun ν 0, ja arvioidaan arasti, ttä A s A, saadaan suraavia arvoja joista näyy slvästi, ttä tavanomaisn hoiuudn omaavalla palilla liausvoiman vaiutus taipuman arvoon on vähäinn. Edll sitlty olmn solmuvapausastn palilmntti (Bam) on vilä muana ANSYS0-ohjlmassa ja sitä voi äyttää vaihtohtoisna lmnttinä harjoitustyön rataisussa. Vrsiossa 4 lmnttinä pitän äyttää simrisi palia Bam88, jolla on uusi solmuvapausasttta. Palin Bam88 muotofuntiot ivät ol Hrmit n polynomja vaan palin irtymät on intrpoloitu rillisinä translaatiosiirtymiin nähdn. Aihalutta on äsitlty simrisi urssilla: Maniian rityisysymysiä: Moniappalmaniia. 6

17 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) Avaruushät Vain tasapasuja ja suoria osia sisältävän avaruushän tara rataisu saadaan lmnttivrolla, jossa solmut sijoittuvat nuriin, tuipistisiin, ulopäihin ja poiiliausn muutosohtiin. Avaruushän lmntit ovat suoria asisolmuisia palilmnttjä. Kuvassa 6 on simri avaruushän lmnttivrosta, jossa on 4 solmua ja lmnttiä. Avaruushäll sovitaan globaali y-oordinaatisto, jona aslidn suhtn solmumittaus suorittaan. Solmumittaus sisältää translaatiot ja solmuvoimat globaalisuunnissa ja rotaatiot ja momntit globaalisuuntin ympäri. Solmulla on 6 ja lmntillä vapausasttta. Elmntin solmuvoimavtoridn dimnsio on ja jäyyysmatriisi on matriisi. Kuvassa 6 on sittty nuolisymbolilla solmun vapausastt. Kullain lmntillä on oma loaali y -oordinaatisto, jona -asli on lmntin suuntainn ja y-oordinaatisto on sn poiiliausn pääoordinaatisto. Kuvassa 6 on lmntin 9 loaalioordinaatisto ja globaali solmumittaus. Avaruushän lmnttjä rasittaa taivutusmomntti ja liausvoima sn poiiliausn päätasoissa ja lisäsi normaalivoima ja vääntömomntti. Näidn äsittlmisn tarvitaan poiiliausn pintasuurt li ala A, päänliömomntit I y ja I sä vääntönliömomntti I v, miäli liausmuodonmuutosta i otta huomioon ja rajoitutaan vapaan väännön toriaan olttan lisäsi pintasiön ja vääntösiön yhtyvän. iausmuodonmuutos voidaan tarvittassa ottaa liimääräissti huomioon umpaanin päätasoon liittyvin liausrtoimn φ ja φ y avulla. Kuva 6. Avaruushän lmnttivro ja sn lmntti 7

18 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) Elmntin loaali jäyyysmatriisi Avaruushän äsittlyyn lmnttimntlmällä tarvitaan uvan 7 (b) globaalioordinaatistossa milivaltaisssa asnnossa olvan vapausastn palilmntin jäyyysmatriisi, jona solmumittaus liittyy globaalioordinaatiston aslidn suuntiin. S voidaan johtaa oordinaatiston irtoa äyttän, jolloin lähdtään liill uvan 7 (a) loaalioordinaatiston solmumittaussta inaarisn lujuusopin torian muaan vto/puristus, vääntö sä poiiliausn ummanin päätason taivutus ja liaus ovat toisistaan riippumattomia. Tästä suraa, ttä loaalioordinaatiston jäyyysmatriisi voidaan muodostaa sijoittlusummaamalla uvassa 8 sittyt vto/puristusn, väännön sä poiiliausn ummanin päätason taivutusn ja liausn jäyyysmatriisit. Tulossi sijoittlusummaussta tul lmntin jäyyysmatriisi. Kuva 7. Avaruushän lmntin loaali- ja globaalimittaus Kuvassa 8 sittty vääntöuormitusn jäyyysmatriisi suraa vapaan väännön toriasta, jolloin loaali - asli on vääntösiön ohdalla. Kosa uvan 8 muissa uormitustapausissa loaali -asli on pintasiön ohdalla, on jäyyysmatriisi tarasti voimassa vain, un vääntösiö yhtyy pintasiöön, utn simrisi asoissymmtrisillä poiiliausilla. iausvoimin vaiutus taipumaan voidaan 8

19 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) ottaa liimääräissti huomioon liausrtoimilla φ ja φ y muuttamalla jäyyysmatriisissa ummanin päätason taivutusta ja liausta vastaavat aliot aavan (40) muaisisi. Kuva 8. Sijoittlusummattavat jäyyysmatriisit Suorittamalla sijoittlusummaus saadaan vapausastn palilmntin jäyyysmatriisi. 9

20 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) EA EA EI 6EI EI 6EI EI y 6EI y EI y 6EI y GIv GIv EI y 4EI y 6EI y EI y EI 4EI 6EI EI EA EA EI 6EI EI 6EI EI y 6EI y EI y 6EI y GIv GIv EI y EI y 6EI y 4EI y EI EI 6EI 4EI Palilmntin globaali jäyyysmatriisi Palilmntin loaalioordinaatiston jäyyysmatriisi on muunnttava globaalioordinaatistoon. Tällöin saadaan jäyyysmatriisi y, joa antaa globaalioordinaatiston solmusuurvtoridn välisn yhtydn. Koordinaatiston muunnos avaruudn pistll Tarastllaan nsin avaruudn pistttä r, jona omponntit ( r ) T ry r tunntaan yoordinaatistossa. Taroitusna on lausua pistn omponntit ( r ) T r y r y -oordinaatistossa. Mritään y -oordinaatiston antavtorita, ja, joidn omponntit (suuntaosinit) ( l m n ) T ( l m n ) ( l m n ) T T (4) 0

21 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) tunntaan y-oordinaatistossa. y' y r r r r y ' ' Kuva 9. Avaruudn pist r Halutut omponntit saadaan pistn r pisttuloina antavtoridn suhtn r ri r l + r m + r n y r ri r l + r m + r n y y r ri r l + r m + r n y (4) joa voidaan lausua matriisimuodossa r l m n r r r l m n r Tr (4) y y r l m n r Koordinaatiston muunnos palilmntin siirtymäll Palilmntin siirtymä y-oordinaatistossa on ( q q q q q q q q q q q q ) T q (44) Ryhmittlmällä trmjä siirtymä voidaan lausua d φ q d φ (45)

22 Khärantt hum 4.0. (muutttu alupräisstä Matti ähtnmäi) missä siirtymätrmit on lausuttu solmuittain rottan translaatiosiirtymät d ja irtymät ϕ. Kantavtoridn, ja määräämässä suunnassa siirtymäomponntit saadaan q d T d φ 0 T 0 0 φ d 0 0 T 0 d φ T φ q (46) Globaalista solmumittausta vastaava jäyyysmatriisi on y T (47) missä palilmntin loaali jäyyysmatriisi. Evivalnttist solmuuormitusvtorit tul oota palin paiallisoordinaatistossa sauva- ja paliosill ja n muunntaan globaalisn y-oordinaatistoon aavalla f v y T fv (48)

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti. / EEMEIMEEEMÄ PERSEE SESSIO : Avasistion savalmntti. AVARSRISIKO EEMEIVERKKO Avasistion taaan ataisn päästään ättämällä lmnttivoa jona solmt ovat istion nivlin ohdilla in istion sava on lmntti. Kvassa

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2. / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

Ax 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0

Ax 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0 Tamprn tknillinn yliopisto Tknisn suunnittlun laitos EDE-00 Elmnttimntlmän prustt. Harjoitus 6 Syksy 0. F 00 OpNro 859 L 800 mm M T 85 K K 9 E 05000 MPa Kulmat ja pituudn lämpölaajnmiskrroin α 0.60865

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Sauvaelementti hum

Sauvaelementti hum Sauvalmntti hum.9. Yhdn solmuvapausastn sauvalmntti akastllaan kuvan mukaista sauvalmnttiä. Sauvan vasmmassa päässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja vastaavasti oikassa päässä lokaalisolmu

Lisätiedot

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta) ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1. 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017 KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa. / ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

Jäykistävän seinän kestävyys

Jäykistävän seinän kestävyys Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 13: Avaruuskehän palkkielementti.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 13: Avaruuskehän palkkielementti. / EEMENIMENEEMÄN PERUSEE SESSIO : Aarskhän palkkilmntti. AARUUSKEHÄN EEMENIERKKO solm solm Ka. Aarskhän lmnttirkko ja sn lmntti. Jos khä sisältää ain tasapaksja ja soria osia, sn tarkka ratkais saaaan

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

76132S Sähkömagneettinen säteily 1

76132S Sähkömagneettinen säteily 1 763 ähkömagnttinn säti. MAXWELLIN YHTÄLÖT Kaikki sähkömagnttisia knttiä koskvat kassist imiöt voidaan johtaa njästä htäöstä. Thjössä nämä sähköknttää E ja magnttiknttää B kuvaavat htäöt saavat suraavan

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Välipohjan kestävyys. CrossLam Kuhmo CLT. Esimerkki Kuormitus. 2.0 Poikkileikkaus

Välipohjan kestävyys. CrossLam Kuhmo CLT. Esimerkki Kuormitus. 2.0 Poikkileikkaus simeri Välipohjan estävyys.0 Kuormitus Asuinraennusen välipohjan ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Seuraamusluoa on CC K FI,0 (ei esitetä laselmassa. Tässä laselmassa tarastetaan vain ysi

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Exam III 10 Mar 2014 Solutions

Exam III 10 Mar 2014 Solutions TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions. Compute the dection at right end o the y,v / F structure using the potential

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafitoriaan Syksy 2017 Lauri Hlla Tamprn yliopisto Luonnontitidn tidkunta 2 Luku 1 Pruskäsittitä 1.1 Määritlmiä 1.2 Esimrkkjä 1.3 Trminologiaa 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja 1.5

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS Leiauslujuuen ja poiittaisen etolujuuen ansiosta Kertotuotteisiin on mahollista tehä reiiä. Erityisesti ristiiiluraenteinen soeltuu ohteisiin, joissa

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä

Lisätiedot

Nelisolmuinen levyelementti

Nelisolmuinen levyelementti Lv hm 6..3 Nliolminn lvlmntti arkatllaan kvan nliolmita lvlmnttiä. q 6 q 8 η 3 q 5 ( 3, 3 q 7 (, q (, v P q ξ (, q q 3 Pitn P koordinaatit voidaan laa mokoordinaattin ξ ja η avlla, jotka ovat normratt

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt:

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt: 84 RDIOTKNIIKN PRUSTT aois. Las a gadini f, n f,, b divgnssi, n c oooi, n on n b- ohdassa.. Ti oaao saava vapaassa ilassa olva nä Mawllin hälö:.. Oloon vapaassa ilassa sähönä oplsivoina sinä. Määiä a aallon

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

1 4πε. S , FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 2005, LHSf5. Ratkaisut

1 4πε. S , FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 2005, LHSf5. Ratkaisut S-4.46, YSIIKKA IV (Sf Kvät 005, LHSf5. Rataisut LHSf5- (a Litiufluoridilla, Li, on NaCl-rann. Lähinaapuritäisyys on 0,04 n. Las Li:n ohsionrgia olttan, ttä rpulsiosponntti on n = 9. (b Li:n ohsionrgian

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

PVC-IKKUNOIDEN ASENNUS

PVC-IKKUNOIDEN ASENNUS OHJE Tarvittavat työkalut Asnnusraudat Sorkkar auta Ruuvja / ruuvja ja tulppia, jos sinä on btonia Vsivaaka Ruuvinväännin Saumausvaahtoa, laajnvaa saumanauhaa, villakaistaa jn. Taivutu spihdit Kiiloja

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

18. SIPOREX-VAAKAELEMENTTISEINÄN SUUNNITTELU

18. SIPOREX-VAAKAELEMENTTISEINÄN SUUNNITTELU E 18. SIPOREX-VAAKAELEMENTTISEINÄN SUUNNITTELU 18.1 Rakntllinn suunnittlu Kuormaluokka Siporx-vaakasinälmntit mitoittaan ylnsä vaakasuorall kuormall (usimmitn tuulikuormall) yksiaukkoisna palkkina. Valmistaja

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET 28.4.2015 1.0 JOHDANTO Tässä osassa esitetään primäärirungon voimaliitosia ja niien mitoitusohjeita. Voimaliitoset mitoitetaan tapausohtaisesti määräävän uormitusyhistelmän

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä

Lisätiedot

Ulvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY

Ulvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY Ulvilan kaupunki Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmän ja Faporin pohjoispuoln liito-oravaslvitys 204 AHLN GROUP OY RAPORTTEJA 3/204 SISÄLLYSLUETTELO Johdanto... 3 Raporsta... 3 Slvitysaluidn yliskuvaukst...

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä ... /, t,.. OSATIH Rauhankatu 0070 Puhlin SELOSTE 90-8 /97 AURA UKS E N METSÄMAAN T HELSINKI 7 YÖ V A I KE US T ~ K I J ÖI S T Ä TTS-METSÄ-ÄESTÄ KÄYTETTÄESSÄ Mtsätho kräsi syksyllä 97 Thdaspuu Oy:n aikatutkimusainistoa

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1) 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:

Lisätiedot

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä Eimerilaelma Jäyitävä CLT-einä 30.5.014 Siällyluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - LEVYJÄYKISTEEN TIEDOT... - 3-3 ATERIAALI... - 4-4 PANEELILEIKKAUSKESTÄVYYS... - 4-5 LAELLIN LEIKKAUSKESTÄVYYS... - 5-6 LAELLIEN

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia

Lisätiedot

Aukkopalkin kestävyys

Aukkopalkin kestävyys simeri 3 Auopain estävyys 1.0 Kuormitus Auopain ominaisuormat on esitetty aa oevassa uvassa. Tarasteaan paia ysiauoisena nivepäisenä paina. Seuraamusuoa on CC K FI 1,0 (ei esitetä asemassa). Tässä asemassa

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot