OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS

Transkriptio

1 OPTIMAALINEN INESTOINTIPÄÄTÖS Keskiarvoon palautuvalle prosessille ja Poissonin hyppyprosessille Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1

2 I. KESKIAROON PALAUTUA PROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo seuraa keskiarvoon palautuvaa prosessia: d = η ( ) dt σdz Kohde-etuuden osinkofunktio : 1 d δ ( ) = µ E[ ] = µ η( ) dt,missä µ on projektin kokonaistuottovaatimus: µ = r φρ xm σ m Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /

3 Ratkaisu johdannaisanalyysillä Muodostetaan riskitön portfolio: Pidetään optio investoida kohde-etuuteen: F() Lainataan n = F () kappaletta kohdeetuutta Portfolion arvo alkuhetkellä: F ( ) F'( ) Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 3

4 Ratkaisu johdannaisanalyysillä Portfolion tuotto aikavälillä dt: df F'( ) d 1 = σ F''( ) dt δ ( ) F'( ) dt = δ ( ) F'( ) dt... Portfolio riskitön, joten portfolion tuotto = riskitön korko portfolion alkuarvolle: r[ F F'( ) ] dt 1 = σ F''( ) dt δ ( ) F'( ) dt Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 4

5 Ratkaisu johdannaisanalyysillä Sieventämällä saadaan differentiaaliyhtälö: 1 σ F''( ) Reunaehdot: [ r µ η( )] F'( ) rf = 0 F( * ) = F(0) = 0 F'( *) = 1 * I Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 5

6 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 6 Ratkaisu Ratkaisu johdannaisanalyysillä johdannaisanalyysillä DY:n ratkaisu muotoa: missä: ),, ( ) ( b H A F σ η =... )3! 1)( ( ) 1)( ( 1)! ( 1) ( 1 ),, ( ) ( ] 1 ) ( [ ) ( 1 3 = = = b b b x b b x x b b x H r b r r r σ η µ σ σ η µ σ η µ

7 Ratkaisuja η = 0.05 µ = 0.08 r = 0.04 σ = 0. I =1.5 =1.0 = 0. 5 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 7

8 Ratkaisuja η = 0.5 µ = 0.08 r = 0.04 =1. 5 σ = 0. I =1.0 = 0.5 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 8

9 Ratkaisuja µ = 0.08 r = 0.04 σ = 0. =1.5 =1.0 = 0.5 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 9

10 Ratkaisuja µ = 0.04 r = 0.04 σ = 0. =1.5 =1.0 = 0.5 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 10

11 Päätelmiä Muiden tekijöiden pysyessä ennallaan: Mitä suurempi projektin kohde-etuuden arvon keskiarvo, sitä suurempi investointioption arvo ja sitä suurempi investoinnin toteuttamisen kriittinen arvo. Kohde-etuuden arvon keskiarvon ylittäessä (alittaessa) alkuinvestoinnin, nopea keskiarvoon palautuminen kasvattaa (pienentää) investointioption arvoa. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 11

12 Päätelmiä Investoinnin kohde-etuuden riskikorjatun tuottovaatimuksen kasvaessa kriittinen arvo projektin toteuttamiselle laskee. Mitä nopeammin kohde-etuuden arvo palautuu keskiarvoon, sitä pienempi riskikorjatun tuottovaatimuksen vaikutus. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1

13 II. POISSONIN HYPPYPROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo seuraa yhdistettyä Brownin liikettä ja Poissonin hyppyprosessia: d = αdt σdz dq missä dq on Poissonin prosessi siten, että kiinteä prosentuaalinen pudotus φ tapahtuu aikavälillä dt todennäköisyydellä λ., Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 13

14 Prosessin ominaisuuksia Prosentuaalisen muutoksen odotusarvo: 1 dt arianssi käyttäen apuna diskreettiä prosessia: 1 d E[ d ] =α σ = σ λφ dt, tn : llä (1 λdt) 1 dt, tn : llä (1 λdt) φ, tn : llä λdt Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 14

15 Prosessin ominaisuuksia arianssiksi saadaan: [ d ] =σ dt λφ Odotusarvo ajalle, jolloin ensimmäinen Poisson-hyppy tapahtuu: E[ T ] = 0 λte λ T dt = 1 λ dt Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 15

16 Ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Oletetaan, että yrityksen riskikorjattu tuottovaatimus ρ, jolloin Belmannin yhtälö: ρfdt = E[dF] Kirjoitetaan df käyttäen Ito n lemmaa: 1 ρfdt = αf'( ) dt σ λ{ F( ) F( φ)} dt F''( ) dt Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 16

17 Ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Projektin kokonaistuottovaatimus 1 d ρ = δ E[ ] = δ α dt λφ jolloin sijoittamalla α = ρ δ λφ : 1 σ F''( ) ( ρ δ λφ ) F'( ) ( ρ λ) F( ) λf ( φ) = 0 Ratkaisu muotoa: F ( ) = A β1 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 17

18 Ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Sijoittamalla DY:öön parametrille β saadaan yhtälö: 1 β σ β( β 1) ( ρ δ λφ ) β ( ρ λ) λ(1 φ ) = Lisäksi reunaehdot: F( F'( *) = 1 Parametrit β, *, A ratkeavat numeerisesti. * ) F(0) = = 0 * I 0 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 18

19 Ratkaisuja I = 1 φ = 1 ρ = δ = σ = * Lambda Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 19

20 Päätelmiä Muiden tekijöiden ollessa ennallaan Poisson-hypyn todennäköisyyden kasvaminen vaikuttaa kahdella tavalla: Se pienentää kohde-etuuden tuotto-odotusta Investointioption arvo laskee. Se kasvattaa kohde-etuuden varianssia => Investointioption arvo nousee. Edellisen kalvon kuvassa 1. dominoi. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 0

21 KOTITEHTÄÄ Johda johdannaisanalyysin menetelmällä differentiaaliyhtälö ja reunaehdot optimaaliselle investoinnille, kun kohdeetuuden arvo seuraa edellä esitettyä yhdistettyä Brownin liikettä ja Poissonin hyppyprosessia: d = αdt σdz dq Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1