Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Black-Scholes-optiohinnoittelumalli"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN, JONNE: Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Pro gradu -tutkielma, 46 s., 2 liites. Matematiikka Elokuu 2012 Tiivistelmä Optiot ovat yhä merkittävämpi osa rahoitusmarkkinoita, mutta niiden hinnoittelu nojaa edelleen pitkälti Black-Scholes-optiohinnoittelumalliin, joka esitettiin jo vuonna Rajoitteistaan huolimatta tämän mallin ymmärtäminen on erittäin tärkeää rahoitusalasta kiinnostuneille. Tämän tutkielman tavoitteena on avata Black-Scholes-optiohinnoittelumallin matemaattista taustaa. Mallin matematiikan ymmärtämistä yritetään helpottaa erityisesti tuomalla esiin sen yhteys myöhemmin julkaistuun binomimalliin, joka voidaan nähdä Black-Scholes-optiohinnoitelumallin yksinkertaistuksena. Tutkielma etenee seuraavasti. Aluksi käydään läpi optioihin liittyviä käsitteitä ja perustietoja. Sitten siirrytään optioiden hinnoitteluun binomimallin avulla, jossa osakkeen hinnalle annetaan askeleittain kaksi mahdollista arvoa ja tutkitaan askelmäärää nostaen miten option hinta käyttäytyy. Sen jälkeen esitellään osakkeen hinnan prosessi ja muut tarvittavat esitiedot Black- Scholes-optiohinnoittelukaavalle, jonka kaksi eri todistusta päättävät tutkielman. 2

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Optiot Option positiot Optioiden hinnoittelun perusteet Optioiden hinnoittelu - binomimalli Yhden askeleen binomimalli Kahden askeleen binomimalli Useamman askeleen binomimalli Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli Taustatiedot Martingaalit Markov-prosessi Wiener-prosessi Itô-prosessi Osakkeen hinnan prosessi Itôn lemma Osakkeen hinnan lognormaalisuus Black-Scholes-differentiaaliyhtälö Black-Scholes-optiohinnoittelukaava Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen binomimallista Viitteet 44 A Black-Scholes-differentiaaliyhtälön vaihtoehtoinen todistus 47 3

4 1 Johdanto Optiot ovat johdannaisinstrumentteja, jotka antavat haltijalleen oikeuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa tai myydä kohde-etuutena olevan hyödykkeen ennalta sovitulla hinnalla ja mahdollisesti määrättynä ajankohtana. Kohdeetuutena voivat olla esimerkiksi osakkeet, valuutat tai raaka-aineet. Optioiden merkitystä rahoitusmarkkinoiden instrumentteina kuvastaa hyvin 40% tasainen vuosikasvu amerikkalaisten listattujen optioiden määrässä, jonka uskotaan edelleen kaksinkertaistuvan vuoden 2012 aikana [11]. Optioiden hinnoitteluun on kehitetty useita malleja ja niitä on edelleen muokattu sopiviksi erilaisille optioille. Huolimatta sen paljon keskustelluista rajoitteista, tärkeimpänä on vielä tänä päivänäkin säilynyt Fisher Blackin ja Myron Scholesin vuonna 1973 esittämä malli, jonka kehittämiseen on ratkaisevasti osallistunut myös Robert C. Merton samana vuonna julkaistulla artikkelillaan. Merton ja Scholes saivat työstään myös Nobelin taloustieteen palkinnon vuonna Black oli valitettavasti kuollut jo vuonna Tämän tutkielman tavoitteena on esitellä optioiden hinnoittelun tärkein tulos, Black-Scholes-optiohinnoittelumalli, tiiviisti ja selkeästi. Hinnoittelumallin ymmärrystä pyritään selkeyttämään esittelemällä optioiden hinnoittelussa käytetyn binomimallin (Cox, Ross ja Rubinstein, 1979) ja Black- Scholes-mallin välinen yhteys, joka usein jää oppikirjoissa vähemmälle huomiolle. Hinnoittelukaavojen johtaminen on pyritty tekemään tarpeeksi yksityiskohtaisesti, jotta lukija pystyy sitä seuraamaan. Vieraimpiin käsitteisiin on lisätty viittaukset lähteisiin, joista lukija löytää lisää tietoa. Tutkielma jäsentyy seuraavasti. Luvussa 2 kerrotaan yleisesti optioista, sekä käydään läpi terminologiaa ja optiopositiot. Optioiden hinnoittelun käsittely aloitetaan kolmannessa luvussa binomimallilla. Ensin aloitetaan yksinkertaisimmasta yhden askeleen mallista, josta jatketaan kahden askeleen mallin kautta useamman askeleen binomimalliin. Lisäämällä askeleiden lukumäärää option hinnoittelun tarkkuus paranee. Luvun lopuksi saavutaan useamman askeleen binomimallilla saatuun optiohinnoittelukaavaan. Luku 4 käsittelee Black-Scholes-optiohinnoittelumallia. Ensimmäisen alaluku johdattaa lukijan aiheeseen tarvittavien taustatietojen kautta. Näistä tärkeimmät ovat osakkeen hinnan prosessi, sen lognormaalisuus sekä Itôn lemma. Seuraavassa alaluvussa johdetaan keskeinen tulos: Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Tutkielma päättyy Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtamiseen kahdella eri tavalla. Tutkielman päälähteinä on käytetty tunnettuja taloustieteen oppikirjoja Hull: Options, futures, and other derivatives ja Luenberger: Investment Science, hieman matemaattisempaa kirjaa Neftci: An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives sekä Cox, Ross ja Rubinsteinin kir- 1

5 joittamaa tieteellistä artikkelia Option Pricing: A Simplified Approach. Kaikki tutkielman teossa käytetyt lähteet on listattu tutkielman lopussa. Esitietoina lukijalla olisi hyvä olla perustiedot todennäköisyyslaskennasta sekä differentiaali- ja integraalilaskennasta. 2 Optiot Optio on johdannaisinstrumentti, eli johdannainen, joka toimii sopimuksena kahden osapuolen välillä. Sen erityispiirteenä on, että se tarjoaa option ostajalle (haltija) mahdollisuuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa (osto-optio) tai myydä (myynti-optio) sopimuksen kohteena oleva hyödyke (kohde-etuus) sovittuun hintaan (lunastushinta) ennalta määrättynä ajankohtana (lunastusajankohta). Vrt. [3, s. 229] & [12, s. 320]. Option ostaja maksaa option hinnan (preemio) option myyjälle edellä määritellystä oikeudesta. Jos optio voidaan lunastaa vain ennalta määrättynä lunastusajankohtana, on kyseessä eurooppalainen optio. Sitä vastoin amerikkalainen optio voidaan lunastaa milloin tahansa sen voimassaoloaikana (juoksuaika, myös maturiteetti). Vrt. [14, s. 142] & [1, s. 1]. Molemmilla optiotyypeillä, osto- ja myyntioptiolla, on kaksi näkökulmaa: kumpikin optio voidaan joko ostaa (pitkä positio) tai myydä (lyhyt positio). Pitkässä positiossa olevaa henkilöä kutsutaan option haltijaksi ja lyhyessä positiossa olevaa henkilöä option asettajaksi. Optioilla voi olla siis neljä eri positiota 1 : 1. Osto-option pitkä positio: Maksamalla preemion option ostajalla, eli haltijalla, on oikeus hankkia kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. 2. Osto-option lyhyt positio: Option myyjällä, eli asettajalla, on velvollisuus luovuttaa kohde-etuus haltijan maksaessa ennalta sovittu lunastushinta. Asettaja saa velvollisuudestaan korvaukseksi option preemion. 3. Myyntioption pitkä positio: Preemion maksaminen antaa haltijalle oikeuden myydä kohde-etuus option asettajalle ennalta sovittuun lunastushintaan. 4. Myyntioption lyhyt positio: Myyntioption asettaja on velvoitettu ostamaan kohde-etuus ennalta sovitulla hinnalla. Option preemio on korvaus asettajan ostovelvollisuudesta. 1 Optiopositioista käytetään useasti myös niiden englanninkielisiä termejä: 1. Long Call, 2. Short Call, 3. Long Put ja 4. Short Put. 2

6 Vrt. [7, s. 8 9] & [2, s ]. Optio voi olla kolmessa asemassa voimassaolonsa aikana. Näin luokiteltuna optiot voidaan jakaa plus-, tasa- ja miinusoptioihin. Option sanotaan olevan plusoptio, kun sen välitön lunastaminen johtaisi voittoihin haltijalle. Osto-option tapauksessa tämä tarkoittaa, että lunastushinnan on oltava kohde-etuuden arvoa alemmalla tasolla. Vastaavasti tilanteessa, missä ostooption lunastushinta on korkeampi kuin kohde-etuuden arvo, optiota kutsutaan miinusoptioksi. Kolmas mahdollinen asema optiolle on, kun sen lunastushinta on yhtäsuuri kuin kohde-etuuden arvo. Tällöin on kyseessä tasaoptio. Vrt. [2, s ]. Option arvo voidaan jakaa kahteen osaan. Option perusarvo ilmaisee, kuinka paljon suurempi kohte-etuuden sen hetkinen arvo on verrattuna option lunastushintaan. Se ei saa koskaan negatiivisia arvoja. Vastaavasti option aika-arvo on option hinnan ja sen perusarvon välinen erotus. Se perustuu osakkeen hinnan mahdollisiin tuleviin positiivisiin liikkeisiin option voimassaoloaikana. Se saa arvon nolla, kun option voimassaoloaika päättyy tai on optimaalinen hetki lunastaa optio välittömästi (amerikkalaisen option tapauksessa). Tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä, jossa osto-option hinta on 5 euroa ja juoksuaika kaksi kuukautta, osakkeen hinta on 40 euroa ja lunastushinta 37 euroa. Option perusarvo on = 3 euroa ja aika-arvo 5 3 = 2 euroa. Vrt. [7, s. 154]. 2.1 Option positiot Kuten jo aiemmin mainittiin, optiolla voi olla neljä eri positiota: 1) ostooption pitkä positio, 2) osto-option lyhyt positio, 3) myyntioption pitkä positio, sekä 4) myyntioption lyhyt positio. Eri positioiden ymmärtäminen auttaa hahmottamaan optioiden dynamiikkaa ja siten ymmärtämään niiden hinnoittelua. Osto-option ostajalla on osto-option pitkä positio. Osto-option pitkässä positiossa option haltija odottaa kohde-etuuden hinnan nousevan. Voimassaolon päättyessä haltija lunastaa option, jos sillä on perusarvo. Osto-option pitkässä positiossa optio tuottaisi haltijalle voittoa, mikäli lunastushinnan ja option hinnan yhteenlaskettu summa on pienempi kuin kohde-etuuden sen hetkinen arvo. 2 Toisaalta, jos optiolla ei ole perusarvoa (kohde-etuuden arvo < lunastushinta) lunastuspäivänä, option haltijan tappio on maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 6 7]. 2 Tarkastellaan esimerkkiä. Oletetaan, että option voimassaolon loppuessa kohdeetuuden markkina-arvo on 12 euroa ja, että option lunastushinta on 7 euroa ja preemio 3 euroa. Nyt option perusarvo on 5 euroa (12-7). Tällöin optio tuottaisi haltijalleen voittoa 2 euroa (12-(7+3)). 3

7 20 Osto option pitkän position tuottokaavio Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta Kuva 1: Tuottokaavio - Osto-option pitkä positio Yllä olevassa kuvassa 1 option lunastushinta on 50 euroa ja option hinta eli preemio 3 euroa. Osakkeen hinnan ollessa lunastushetkellä 53 euroa ei option haltija saa voittoa eikä koe tappiota. Hinnan ollessa alempi, option haltija kokee tappion, joka rajoittuu preemion hintaan, 3 euroa. Optio alkaa tuottamaan voittoa, kun osakkeen hinta on yli 53 euroa. Vrt. [7, s. 6 7]. Teoriassa option haltijan voitto voi olla rajaton, koska osakkeen hinta voi nousta rajattomasti, kun taas tappio on rajattu optiosta maksettuun hintaan. Vastaavasti osto-option myyjälle tappio on rajaton, koska jokainen osakkeen hinnan nousu kasvattaa hänen tappiotaan. Hänen voittonsa on taas rajattu optiosta saatuun hintaan. Osto-option myyjällä on osto-option lyhyt positio, jonka tuottokaavio on esitetty kuvassa 2. Osto-option lyhyen position ottaja odottaa siis osakkeen hinnan laskevan option voimassaoloaikana. Vrt. [7, s. 6 10]. 4

8 10 Osto option lyhyen position tuottokaavio 5 0 Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 2: Tuottokaavio - Osto-option lyhyt positio 20 Myyntioption pitkän position tuottokaavio Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 3: Tuottokaavio - Myyntioption pitkä positio Kolmas mahdollinen positio on myyntioption pitkä positio, jossa option myyjä hyötyy kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan laskusta. Myyntiop- 5

9 tion ostaja maksaa preemion oikeudesta myydä osake ennalta sovitulla lunastushinnalla option voimassaolon päättyessä (eurooppalainen optio). Hänen voittonsa kasvaa sitä mukaa, kun osakkeen hinta laskee. Tuotto voi periaatteessa olla rajaton, mutta osakkeen hinta ei voi kuitenkaan laskea alle nollan. Tämän position tuottokaavio on esitetty kuvassa 3. Vrt. [7, s. 7 10]. Myyntioption myyjä saa option ostajalta preemion, jota vastaan myyjällä on velvollisuus ostaa kohde-etuutena oleva osake ennalta sovitulla hinnalla option voimassaolon päättyessä. Tämä viimeinen mahdollinen positio on nimeltään myyntioption lyhyt positio ja sen tuottokaavio on esitetty kuvassa 4. Myyntioption myyjän tappio kasvaa, kun osakkeen hinta laskee, mutta hänen voittonsa on enintään maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 7 10]. 10 Myyntioption lyhyen position tuottokaavio 5 0 Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 4: Tuottokaavio - Myyntioption lyhyt positio 2.2 Optioiden hinnoittelun perusteet Optioiden hinnoilla on yhteys edellä esitettyihin tuottokaavioihin. Tässä luvussa esitellään perusteet option hinnan määrittämiselle, joka valmistaa lukijaa seuraavissa luvuissa olevaan syvempään tarkasteluun. Oletetaan, että omistetaan osakkeen osto-optio, jonka lunastushinta on K. Olkoon osakkeen hinta option erääntymishetkellä S T. On helppo huomata, että jos S T < K, niin option arvo on nolla. Tässä tapauksessa osto-option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta halvemmalla hinnalla S T kuin lu- 6

10 nastamalla optio ja maksamalla osakkeesta hinta K. Jos taas S T > K, niin optiolla on arvoa. Nyt option omistaja voi lunastaa option ja ostaa osakkeen hintaan K. Hän voi samantien myydä osakkeen markkinoilla korkeammalla hinnalla S T, jolloin hänen voittonsa on S T K. Vrt. [12, s. 322]. Yhdistämällä nämä kaksi tapausta option arvo voidaan esittää kaavana C = max[s T K, 0]. (2.1) Tämä tarkoittaa, että option arvo C on yhtä suuri kuin suurempi arvoista 0 ja S T K. Kaava (2.1) antaa eksplisiittisen kaavan osto-option arvon määrittämiseen option erääntymishetkellä osakkeen hinnan S T funktiona. Ostooption lyhyessä positiossa kaava on vastaavasti max[s T K, 0] = min[k S T, 0]. Vrt. [12, s. 322] & [7, s. 9]. Myyntioption kohdalla tulos on vastakkainen, koska optio antaa omistajalleen oikeuden myydä kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. Oletetaan, että omistetaan myyntioptio, jonka lunastushinta on K. Tässä tapauksessa, jos osakkeen hinta S T on suurempi kuin option lunastushinta K, siis S T > K, niin optio on arvoton. Option omistaja voi lunastamalla option myydä osakkeen hintaan K, kun markkinoilla hän voi myydä sen suoraan korkeampaan hintaan S T. Toisaalta, jos S T < K, niin option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta hinnalla S T ja sitten lunastaa option ja myydä osakkeen korkeammalla hinnalla K. Hänen voittonsa on tällöin K S T. Yleinen kaava myyntioption arvolle sen erääntymishetkellä on P = max[k S T, 0], ja vastaava kaava myyntioption lyhyessä positiossa on Vrt. [12, s ] & [7, s. 10]. max[k S T, 0] = min[s T K, 0]. 3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli Binomimalli on yksinkertaisin ja käytännöllisin optioiden hinnoittelumalli. Binomimalli on itse asiassa yksinkertaistettu versio Black-Scholes-optiohinnoittelumallista ja kehitetty vasta tämän jälkeen. Sen luojat olivat Cox, Ross ja Rubinstein (1979). 7

11 3.1 Yhden askeleen binomimalli Binomimallin rakentaminen alkaa diskreetin yhden askeleen binomimallin esittelemisellä. Olkoon osakkeen hinta S hetkellä t. Yhden askeleen jälkeen, hetkellä t+1 osakkeen hinnan kehityksellä on kaksi mahdollista arvoa: todennäköisyydellä q osakkeen hinta nousee arvoon us, missä u > 1 ja 0 < q < 1, tai todennäköisyydellä 1 q hinta laskee arvoon ds, missä 0 < d < 1. Vrt. [3, s. 232]. Asia on havainnollistettu kuvassa 5. S q us 1 q ds Kuva 5: Osakkeen hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 232]. Binomimalliin kuuluu useita oletuksia. Korkokanta on vakio ja lainan antaminen sekä lainaaminen ovat rajoituksettomia. Suurempaa varallisuutta pidetään parempana kuin pienempää, joten tuottavat riskittömät arbitraasimahdollisuudet käytetään välittömästi. Arbitraasi on mahdollisuus tuottoihin ilman riskiä. Tämä voidaan saavuttaa esimerkiksi hyödyntämällä osakkeen hintaeroja eri markkinoilla. Alla oleva todistus auttaa ymmärtämään arbitraasin käsitettä. Veroja, marginaalivaatimuksia sekä transaktioista aiheutuvia kuluja ei oteta mallissa huomioon. Lyhyeksimyymisestä saatavat tuotot jäävät siis kokonaisuudessaan käyttöön. Binomimallia käyttäen, kun rakennetaan salkku, joka koostuu osakkeesta ja sen optiosta tietyillä painoilla, tarkastelujakson lopussa, hetkellä t + 1, ei ole epävarmuutta salkun arvosta. Koska salkku on riskitön, täytyy tuoton olla yhtäsuuri riskittömän korkokannan kanssa ja täten pystytään laskemaan salkun rakentamisesta aiheutuvat kustannukset sekä edelleen option hinta. Vrt. [3, s ] & [7, s. 201]. Olkoon r = 1 + r f, missä r f on riskitön korkokanta. Oletetaan lisäksi, että u > r > d. Jos yhtälö u > r > d ei päde, on olemassa arbitraasimahdollisuuksia käyttäen ainoastaan osaketta ja riskitöntä lainan antamista ja lainanottoa. Vrt. [3, s. 232]. 8

12 Todistetaan tämä väite käsittelemällä kaksi eri tapausta: d < u r ja r d < u. Olkoon d < u r. Tällöin osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa huonompi kuin lainan tuotto. Nyt arbitraasi muodostetaan myymällä osake lyhyeksi ja sijoittamalla myyntitulot riskittömään korkokantaan (esim. valtion obligaatio). Tällöin tuotto on joko r u tai r d osakkeen loppuhinnan mukaan. Vrt. [12, s. 327]. Tapaus r d < u käsitellään samalla tavalla. Nyt osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa vähintään yhtä hyvä kuin lainan tuotto, joten arbitraasi muodostetaan ottamalla laina riskittömällä korolla r ja sijoittamalla rahat osakkeeseen. Tuotto on joko u r tai d r osakkeen loppuhinnan mukaan. Seuraavaksi paneudutaan osto-option hinnoitteluun yhden askeleen binomimallin avulla. Oletetaan, että osakkeille ei makseta osinkoja, jolloin eurooppalaisen ja amerikkalaisen option käsittelyllä ei ole eroa. Optiotyyppien eroja on tarkasteltu tarkemmin lähteessä [12, s ]. Vaikka jatkossa keskitytään ainoastaan osto-optioon, pienillä muutoksilla käsittely voidaan laajentaa käsittämään useita muita johdannaisia. Oletetaan, että osto-optio erääntyy yhden periodin kuluttua. Tämän option kohde-etuutena on edellä mainittu osake, jonka hinta noudattaa edellä esitettyä mallia. Olkoon C osto-option arvo hetkellä t. Jos periodin lopussa osakkeen hinta on us, olkoon option arvo C u hetkellä t+1. Jos osakkeen hinta on periodin lopussa ds, olkoon option arvo C d hetkellä t + 1. Kun K on osto-option lunastushinta, option arvon kaavasta (2.1) seuraa C u = max[0, us K] ja (3.1) C d = max[0, ds K]. (3.2) Vrt. [3, s ]. Osto-option arvonmuutos on havainnollistettu kuvassa 6. C q C u = max[0, us K] 1 q C d = max[0, ds K] Kuva 6: Osto-option hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 233]. 9

13 Kun arbitraasia ei ole, voidaan rakentaa replikoiva salkku, jonka loppuarvo on sama kuin osto-option. Se sisältää osaketta ja B euron arvosta riskittömiä obligaatioita. Vrt. [12, s. 329]. Obligaatiota käytetään kuvaamaan sijoitusta riskittömään korkokantaan. Koska option ja salkun loppuarvot ovat yhtäsuuret, on oltava us + rb = C u ja (3.3) ds + rb = C d. (3.4) Seuraavaksi ratkaistaan muuttuja vähentämällä yhtälö (3.4) yhtälöstä (3.3). us + rb ( ds + rb) = C u C d (us ds) = C u C d = C u C d (u d)s. (3.5) Sijoittamalla yhtälöstä (3.5) saatu muuttuja yhtälöön (3.3), joka on ratkaistu muuttujalle B, saadaan B = C u us r = C u u Cu C d u d r u d u d = C u u Cu C d u d = uc u dc u u d r ucu uc d u d r = uc d dc u (u d)r. (3.6) Kun ja B valitaan tällä tavoin, kutsutaan salkkua suojautumissalkuksi (hedging portfolio). Vrt. [3, s ]. 10

14 Koska arbitraasia ei ole, on oltava C = S + B (3.7) = C u C d u d ( r = r ) Cu C d u d + uc d dc u (u d)r + uc d dc u (u d)r = rc u rc d + uc d dc u (u d)r = rc u dc u + uc d rc d (u d)r = pc u + (1 p)c d, (3.8) r missä p = r d, 1 p = u r ja r > 1. Vrt. [3, s. 234]. Yhtälö 3.8 on binomimallilla johdettu yhden askeleen optiohinnoittelukaava. u d u d Jos yhtälö (3.7) ei olisi voimassa, arbitraasi olisi mahdollista. Jos C < S +B, myymällä salkku ja ostamalla osto-optio saavutetaan riskitön tuotto ilman nettoinvestointia. Jos C > S + B, arbitraasi saavutetaan myymällä osto-optio ja ostamalla salkku. Vrt. [3, s. 233]. Mielenkiintoinen seikka yllä esitellyssä optioiden hinnoittelukaavassa on sen yhteys riskineutraaliin hinnoitteluun. Optioiden hinnoittelukaava ei sisällä todennäköisyyttä q. Tämä voi tuntua logiikan vastaiselta, mutta tarkemmin ajateltuna osto-option arvo on saatu sovittamalla täydellisesti yhteen option sekä riskittömän korkokannan ja osakkeen yhdistelmän tuotot, missä todennäköisyydellä q ei ole mitään roolia. Riippumatta yksittäisten sijoittajien näkemyksestä osakkeen hinnannousun todennäköisyydestä, osto-option hinta C voidaan siis perustaa muuttujiin S, u, d ja r. Option arvo ei riipu sijoittajan asenteesta riskiin vaan aiemmin esitetystä oletuksesta, että sijoittajat pitävät suurempaa varallisuutta pienempää parempana ja tästä johtuen hyödyntävät riskittömät arbitraasimahdollisuudet. Optioden hinnoittelukaavan ainoa satunnaismuuttuja on osakkeen hinta S. Vrt. [3, s. 235] & [12, s. 330]. Huomataan kuitenkin, että 0 < p < 1, missä p = r d. Siis muuttujalla p u d on todennäköisyyden ominaisuudet. Itse asiassa p on arvo, jonka muuttuja q saisi, jos sijoittajat olisivat riskineutraaleja. Tässä tapauksessa osakkeen 11

15 odotettu tuotto vastaisi riskitöntä korkokantaa. Siis q(us) + (1 q)(ds) = rs qu + (d qd) = r (u d)q = r d q = r d u d = p. Muuttujaa p kutsutaankin riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. On kuitenkin hyvä huomata, että option tuoton ei odoteta olevan yhtäsuuri kuin riskittömän korkokannan tuotto, vaan luodun suojautumissalkun tuotto. Vrt. [3, s ] & [12, s ]. 3.2 Kahden askeleen binomimalli Seuraavaksi siirrytään yhden askeleen binomimallista useamman askeleen binomimalliin. Askelien lisääminen parantaa option hinnoittelun tarkkuutta. Aloitetaan yksinkertaisimmasta, eli kahden askeleen binomimallista, jossa option lunastusajankohta on kahden periodin kuluttua. Kuvissa 7 ja 8 on määritelty osakkeen ja osto-option hintakehitys kahden askeleen binomimallissa. C uu on option arvo, kun osakkeen hinta on kohonnut molempina periodeina ja näin päätynyt hintaan u 2 S. Luvut C du ja C dd määritellään vastaavasti. Vrt. [3, s ]. S us ds uus = u 2 S dus = uds dds = d 2 S Kuva 7: Osakkeen hinta kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236]. Kahden askeleen binomimallissa osto-option arvo lasketaan yhden askeleen binomimallissa käytetyllä tavalla. Kuitenkin option arvo hetkellä t saadaan selville aloittamalla arvoista hetkellä t + 2 ja etenemällä takaperin arvoon hetkellä t + 1 ja edelleen hetkellä t. Hetkellä t + 2 option osakkeen 12

16 hintakehityksestä riippuvat arvot ovat C uu = max[0, u 2 S K], (3.9) C du = max[0, dus K] ja (3.10) C dd = max[0, d 2 S K]. (3.11) Osto-option arvot hetkellä t + 1 voidaan laskea yhden askeleen binomimallin optioiden hinnoittelukaavan (3.8) avulla. C u = pc uu + (1 p)c ud r ja (3.12) C d = pc du + (1 p)c dd, (3.13) r missä p on riskineutraali todennäköisyys. Option arvo hetkellä t lasketaan käyttämällä yhtälöä (3.8) vielä kerran. Näin saadaan Vrt. [12, s. 330]. C = pc u + (1 p)c d. (3.14) r C C u C d C uu = max[0, u 2 S K] C du = max[0, dus K] C dd = max[0, d 2 S K] Kuva 8: Osto-option arvo kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236]. Nyt osto-option nykyarvo hetkellä t saadaan sijoittamalla yhtälöön (3.14) option arvot hetkellä t+1 yhtälöistä (3.12) ja (3.13), ja edelleen sijoittamalla 13

17 tähän option arvot hetkellä t + 2 yhtälöistä (3.9) (3.11). C = pc u + (1 p)c d r = p pcuu+(1 p)c ud r + (1 p) pc du+(1 p)c dd r r = p2 C uu + 2p(1 p)c du + (1 p) 2 C dd r 2 = p2 max[0, u 2 S K] + 2p(1 p) max[0, dus K] r 2 + (1 p)2 max[0, d 2 S K] r 2. (3.15) Vrt. [3, s ]. Riskineutraali hinnoittelu toimii myös kahden askeleen binomimallissa. Muuttujat p 2, 2p(1 p) ja (1 p) 2 ovat riskineutraalit todennäköisyydet option arvoille hetkellä t + 2. Vrt. [7, s. 208]. Yhtälöön (3.8) liittyvät huomiot pätevät myös yhtälöön (3.15). Erona kahden askeleen binomimallin optioden hinnoittelu kaavassa on se, että uutena muuttujana huomioon on otettava myös option erääntymiseen jäljellä olevan periodien määrä n, jonka arvo on tässä tapauksessa 2. Kaikki option arvon C määräävät muuttujat ovat siis S, K, r, u, d ja n. Vrt. [3, s. 238]. 3.3 Useamman askeleen binomimalli Kahden askeleen binomimallista voidaan siirtyä useamman askeleen binomimalliin käyttämällä rekursiivista päättelyä. Useamman askeleen binomimallista on esimerkki kuvassa 9. Replikoivan salkun arvo noudattaa option arvoa. Aloittamalla option erääntymishetkestä ja etenemällä takaperin voidaan johtaa universaali optioden hinnoittelukaava jokaiselle muuttujan n arvolle: C = nj=0 ( n! j!(n j)! )pj (1 p) n j max[0, u j d n j S K] r n. (3.16) Vrt. [3, s. 238]. Useamman askeleen optiohinnottelukaava saadaan käyttökelpoisempaan muotoon muokkaamalla yhtälöä (3.16) hieman. Olkoon a minimimäärä hinnannousuja, joka osakkeen on tehtävä seuraavan n periodin aikana, jotta ostooptiolla olisi reaaliarvoa erääntymispäivänä, eli se olisi plusoptio. Tällöin a on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, jolla on voimassa u a d n a S > K. Ot- 14

18 tamalla luonnollinen logaritmi molemmilta puolilta epäyhtälöä, saadaan ln(u a d n a S) > ln K a ln u + (n a) ln d + ln S > ln K a ln u a ln d + n ln d + ln S > ln K a(ln u ln d) + ln Sd n > ln K a ln u d > ln K ln Sdn a > ln K Sd n ln u. d Nyt a voidaan kirjoittaa pienimpänä ei-negatiivisena kokonaislukuna, joka on suurempi kuin (ln K )/(ln u ). Vrt. [3, s. 238]. Sd n d S u 3 S u 2 S us u 2 ds uds ds ud 2 S d 2 S d 3 S u 4 S u 3 ds u 2 d 2 S ud 3 S d 4 S Kuva 9: Osakkeen hinta useamman askeleen binomimallissa. Vrt. [7, s. 394]. Jokaista j < a kohti, max[0, u j d n j S K] = 0, ja jokaista j a kohti, max[0, u j d n j S K] = u j d n j S K. Siis, C = nj=a ( n! j!(n j)! )pj (1 p) n j (u j d n j S K) r n. (3.17) 15

19 Jos a > n, osto-optio on miinusoptio, eli sillä ei ole reaaliarvoa erääntymispäivänä vaikka osake nousisi joka periodilla, joten osakkeen tämänhetkinen arvo täytyy olla nolla. Vrt. [3, s ]. Jakamalla C kahteen termiin saadaan ( ) ( n n! C =S u p j (1 p) n j j d n j ) j!(n j)! r n j=a ( n Kr n j=a n! j!(n j)! ) p j (1 p) n j. (3.18) Nyt jälkimmäinen suluissa oleva esitys on komplementäärinen binomijakaumafunktio Φ[a; n, p] (binomijakaumafunktio tarkoittaa binomijakauman kertymäfunktiota). Ensimmäinen suluissa oleva esitys voidaan myös tulkita binomijakauman kertymäfunktioksi Φ[a; n, p ], missä p = u r p ja 1 p = d (1 p). r Koska 0 < p < 1, niin p on todennäköisyys. Huomaa, että p < r u ja ( u p j (1 p) n j j d n j ) ( ) ( ) u j n j d = r p r (1 p) = p j (1 p ) n j. r n Vrt. [3, s. 239]. Siis useamman askeleen binomimallilla saatu optiohinnoittelukaava on missä C = SΦ[a; n, p ] Kr n Φ[a; n, p], (3.19) p = r d, p = u u d r p ja a = pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin ln K Sd n ln u. d Jos a > n, niin C = 0. Vrt. [3, s. 239]. 4 Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli 4.1 Taustatiedot Tässä luvussa esitellään taustatietoja Black-Scholes-optiohinnoittelumallin ja sen todistusten ymmärtämiseksi. Aluksi määritellään osakkeen hinnan 16

20 prosessi käyttäen apuna muiden prosessien määritelmiä. Kaiken pohjana on stokastinen prosessi, joka on diskreetti tai jatkuva indeksoitu satunnaismuuttujien kokoelma [15, s. 108]. Luvun lopussa esitellään Black-Scholesdifferentiaaliyhtälön keskeinen aputulos, Itôn lemma, sekä osakkeen hinnan lognormaalisuus Martingaalit Martingaalit ovat keskeinen osa modernia finanssiteoriaa. Martingaaliteorian laajuuden vuoksi tässä luvussa keskitytään käsittelemään ainoastaan tutkielman kannalta kiinnostavia tietoja. Martingaaliteoria luokittelee havaitut aikasarjat niiden trendien mukaan. Stokastinen prosessi käyttäytyy kuten martingaali, jos siinä ei esiinny havaittavia trendejä tai jaksollisuutta. Vrt. [15, s. 120]. Oletetaan, että havaitaan satunnaismuuttujakokoelma, joka on indeksoitu aikaindeksillä t. Käsitellään jatkuvia stokastisia prosesseja. Olkoon {S t, t [0, ]} havaittu prosessi ja {I t, t [0, ]} kokoelma informaatiojoukkoja, jotka tulevat tietoon jatkuvasti ajan kuluessa. Käytännössä informaatiota I t voidaan pitää esimerkiksi informaationa, joka on saatavilla finanssimarkkinoiden hinnoista hetkellä t. Kun s < t < T, tämä informaatiojoukkokokoelma toteuttaa ehdon I s I t I T... (4.1) Joukkoa {I t, t [0, ]} kutsutaan filtraatioksi. Vrt. [15, s. 120]. Valitaan sellainen jono {t i }, että 0 = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k = T (4.2) kuvastaa aikajaksoja jatkuvalla aikavälillä [0, T]. Symbolilla t 0 kuvataan alkupistettä ja symbolilla t k loppupistettä. Nyt kun k ja (t i t i 1 ) 0 kaikilla i = 1,..., k, aikaväli [0, T] jakautuu yhä pienempiin osiin. Vrt. [15, s. 120]. Olkoon S t satunnainen hintaprosessi äärellisellä aikavälillä [0, T]. Määrätyllä hetkellä t i hintaprosessin arvo on S ti. Jos hintaprosessin arvo S t kuuluu informaatiojoukkoon I t jokaisella t 0, niin sanotaan, että prosessi {S t, t [0, T]} sopii filtraatioon {I t, t [0, T]}. Siis arvo S t tunnetaan, kun informaatiojoukko I t on annettu. Vrt. [15, s. 120]. Käyttämällä eri informaatiojoukkoja voidaan tuottaa eri ennusteita prosessista {S t }. Näiden ennusteiden ilmaisussa käytetään ehdollisia odotusarvoja. Erityisesti, E t [S t ] = E [S t I t ], t < T, (4.3) 17

21 on muodollinen tapa merkitä tulevan arvon ennustetta käyttäen saatavissa olevaa informaatiota hetkellä t. Vrt. [15, s. 121]. Määritelmä 4.1. [15, s. 121] Prosessia {S t, t [0, ]} kutsutaan martingaaliksi filtraation {I t } ja todennäköisyyden P suhteen, jos jokaisella luvulla t > 0 1. S t tunnetaan, kun I t on annettu (S t on I t -sopiva), 2. ehdottomat ennusteet ovat äärellisiä: E [S t ] <, (4.4) 3. paras ennuste tulevista arvoista on viimeinen saatu arvo S t : todennäköisyydellä 1. E t [S T ] = S t jokaisella t < T, (4.5) Kaikki odotusarvot E [ ], E t [ ] lasketaan todennäköisyyden P suhteen. Havainnollistetaan martingaalin määritelmää esimerkin avulla. Olkoon S t martingaali ja E t [S t+u S t ] = E t [S t+u ] E t [S t ] (4.6) ennuste prosessin S t muutoksesta välillä [t, t + u], missä u > 0. Koska martingaalin määritelmän kohdan 1 mukaan S t on I t -sopiva, E t [S t ] = S t. Lisäksi, martingaalin määritelmän kohdan 3 mukaan, jos S t on martingaali, niin E t [S t+u ] = S t. Siis E t [S t+u S t ] = 0. (4.7) Vrt. [15, s. 121]. Edellisestä esimerkistä voidaan huomata martingaaliprosessien keskeinen ominaisuus: martingaalien liikettä on mahdotonta ennustaa. On hyvä muistaa, että martingaalit määritellään aina suhteessa tiettyyn informaatiojoukkoon ja todennäköisyyteen. Näitä muuttamalla voidaan ei-martin-gaalista prosessista tehdä martingaali ja päin vastoin. Vrt. [15, s ] Markov-prosessi Markov-prosessi on sellainen stokastinen prosessi, jono satunnaismuuttujia, jossa muuttujan tulevat arvot riippuvat ainoastaan muuttujan tämänhetkisestä arvosta. Aiemmat arvot ja aiempi arvon kehitys ovat prosessin kannalta merkityksettömiä. Vrt. [15, s. 109]. 18

22 Osakkeiden hintojen oletetaan yleisesti noudattavan Markov-prosessia. Eugene Faman muotoilema markkinoiden heikko tehokkuus (weak form of market efficiency) sanoo, että osakkeen tämänhetkinen hinta sisältää kaiken tiedon osakkeen menneistä hinnoista. Jos näin ei olisi, käyttämällä hyväksi osakkeen historiatietoja taitava analyytikko voisi jatkuvasti saavuttaa keskiarvoa parempia tuottoja. Tällaisesta toiminnasta ei kuitenkaan ole pitkäkestoisia havaintoja. Vrt. [7, s ]. Seuraavaksi annetaan Markov-prosessin matemaattinen määritelmä. Ensin täytyy kuitenkin määritellä termit sigma-algebra sekä todennäköisyysavaruus. Määritelmä 4.2. [18, s. 9] Kokoelma F joukon Ω osajoukkoja on sigmaalgebra, jos 1. Ω F, 2. A F A c F, 3. A n F kaikilla n N A n F. Määritelmä 4.3. [17, s. 30] Todennäköisyysavaruus (Ω, F, P) sisältää kolme objektia 1. Ω on epätyhjä joukko, jota kutsutaan otosavaruudeksi. Se sisältää kaikki mahdolliset satunnaiskokeesta saadut ratkaisut. 2. F on otosavaruuden Ω osajoukkojen sigma-algebra. 3. P on parille (Ω, F) määriteltävä todennäköisyys (kutsutaan myös todennäköisyysmitaksi). P on siis funktio, joka antaa jokaiselle joukolle A F luvun P(A) [0, 1], joka edustaa todennäköisyyttä, että satunnaiskokeen ratkaisu sisältyy joukkoon A. Määritelmä 4.4. [17, s. 70] Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus ja {F k } n k=0 filtraatio sigma-algebralla F. Olkoon lisäksi {X k } n k=0 todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P) stokastinen prosessi. Tämä prosessi on Markov 3, jos 1. stokastinen prosessi {X k } sopii filtraatioon {F k }, ja 2. (Markov-ominaisuus) jokaisella k = 0, 1,..., n 1 satunnaismuuttujan X k+1 jakauma ehdolla F k on sama kuin ehdolla X k. 3 Markov-prosessiin liittyvä tekninen oletus: Käsitellään ainoastaan joukon R ja sen osajoukkojen funktioita, jotka ovat Borel-mitallisia. Siis käsitellään ainoastaan joukon R osajoukkoja A, jotka ovat joukossa B, ja funktioita g : R R, joilla g 1 : B B. Vrt. [17, s. 70]. Tarkemmin Borel-joukoista esimerkiksi [18, s. 11]. 19

23 4.1.3 Wiener-prosessi Wiener-prosessi 4 on Markov-prosessi, jonka muutoksen odotusarvo on 0 ja yhdessä aikayksikössä tapahtuvan muutoksen varianssi 1. Muutoksen tiheysfunktio on φ(0, 1), missä φ(µ, σ) on normaalijakauman tiheysfunktio odotusarvolla µ ja keskihajonnalla σ. Vrt. [7, s ]. Määritelmä 4.5. [15, s. 177] Wiener-prosessi z t, filtraation {I t } suhteen on sellainen stokastinen prosessi, jossa seuraavat ehdot täyttyvät. 1. Wiener-prosessi z t on neliöintegroituva martingaali 5 ja z 0 = 0. Lisäksi E [(z t z s ) 2 ] = t s, s t. 2. Wiener-prosessin z t kuvaaja on jatkuva pisteessä t. Käytettäessä martingaaleihin perustuvaa määritelmää Wiener-prosessin todennäköisyysjakauman normaalius seuraa määritelmän oletuksista Lévyn lauseen 6 mukaan. Wiener-prosessi voidaan myös määritellä sen ominaisuuksien mukaan. Muuttuja z noudattaa Wiener-prosessia, jos sillä on seuraavat ominaisuudet. 1. Muutos δz lyhyen ajanjakson δt aikana on δz = ǫ t δt, (4.8) missä ǫ t on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta φ(0, 1). 2. Muutoksen δz arvot millä tahansa kahdella eri lyhyellä aikavälillä δt ovat toisistaan riippumattomia. Nyt ensimmäisestä ominaisuudesta seuraa, että muutoksella δz on normaalijakauma, jonka odotusarvo on 0, keskihajonta on δt, varianssi on δt. 4 Osa kirjallisuudesta käyttää Wiener-prosessista termiä Brownin liike. Lévyn lauseen mukaan näillä kahdella prosessilla ei ole tässä yhteydessä eroa. Lisää tietoa aiheesta löytyy esimerkiksi lähteestä [15, s ]. 5 Neliöintegroituvan martingaalin erityisominaisuus on, että sen varianssi on äärellinen. Tarkempi käsittely löytyy esimerkiksi lähteestä [9]. 6 Esimerkiksi [4, s ] tarkastelee Lévyn lausetta tarkemmin. 20

24 Toisesta ominaisuudesta seuraa, että muuttuja z noudattaa Markov-prosessia. Vrt. [7, s. 218]. Matematiikassa yleisesti edetään pienistä muutoksista, joita merkitään edellä symbolilla δ, raja-arvoihin, kun muutokset lähestyvät nollaa. Stokastisten prosessien kanssa voidaan menetellä samoin. Wiener-prosessi määritellään raja-arvona, kun δt 0 yllä kuvaillussa prosessissa muuttujalle z. Vrt. [7, s. 219]. Wiener-prosessi voidaan siis muodollisesti kuvata yhtälöllä dz = ǫ t dt. Satunnaismuuttujat ǫ t ja ǫ s ovat korreloimattomia aina, kun t s. Vrt. [12, s. 306]. Wiener-prosessin pohjalta voidaan rakentaa kokoelma yleisempiä prosesseja. Yksinkertaisin laajennus, yleistetty Wiener-prosessi, on muotoa dx = adt + bdz, (4.9) missä x on satunnaismuuttuja ja a ja b ovat vakioita. Lukua a sanotaan suuntakertoimeksi. Suuntakerroin kuvastaa muuttujan arvonkehityksen yleistä trendiä, kun taas varianssi on satunnainen muutos trendin ympärillä. Yllä kuvaillun Wiener-prosessin dz suuntakerroin on nolla. Tämä on selvää, koska myös prosessin odotusarvo on nolla. Vrt. [7, s. 219]. Ensimmäinen termi yhtälön oikealla puolella kuvastaa suuntakerrointa ja toinen termi häiriöitä suuntakertoimen määräämällä reitillä. Koska tämä häiriö on b kertaa Wiener-prosessi ja Wiener-prosessin keskihajonta on 1 hetkellä 1, on häiriön keskihajonta b hetkellä 1. Ilman häiriötekijää yhtälö on dx = adt, mistä seuraa, että dx dt = a. Kun yhtälö integroidaan ajan suhteen, saadaan x = x 0 + at, missä x 0 on muuttujan x arvo hetkellä nolla. Jos ajanjakson pituus on T, kasvaa muuttujan x arvo summalla at. Vrt. [7, s. 219]. Muuttujan x muutos δx lyhyellä aikavälillä δt seuraa yhtälöistä (4.8) ja (4.9): δx = aδt + bǫ t δt. 21

25 Koska ǫ t on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta, muutoksella δz on normaalijakauma, jonka odotusarvo on aδt, keskihajonta on b δt, varianssi on b 2 δt. Yleistetyn Wiener-prosessin suuntakerroin on a ja sen varianssiparametri (häiriö) on b 2. Vrt. [7, s ] Itô-prosessi Rahoitusomaisuuden liikkeiden kuvaamisessa käytetään usein Itô-prosessia. Se on yleistetty Wiener-prosessi, jossa parametrit a ja b ovat funktioita muuttujan x ja ajan t suhteen. Itô-prosessi voidaan ilmaista yhtälönä dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz. (4.10) Itô-prosessin suuntakertoimen sekä varianssiparametrin tulisi muuttua ajan kuluessa. Lyhyellä aikavälillä (t, t + δt) muuttuja x kehittyy arvoon x + δx, missä δx = a(x, t)δt + b(x, t)dz. Suuntakertoimen a(x, t) ja varianssiparametrin b(x, t) 2 oletetaan pysyvän vakioina aikavälillä (t, t + δt). Vrt. [7, s. 222] & [12, s. 308] Osakkeen hinnan prosessi Edellä esiteltyjen prosessien kautta päästään lopulta määrittelemään prosessi, jota käytetään osakkeiden hintojen kuvaamiseen. Esimerkiksi yleistetty Wiener-prosessi ei kykene ottamaan huomioon osakkeen hinnan kannalta tärkeää ominaisuutta, sijoittajan edellyttämää tuottoa. Jos sijoittaja edellyttää 10 prosentin tuottoa, kun osakkeen hinta on 10 euroa, edellyttää hän 10 prosentin tuottoa myös, kun osakkeen hinta on 100 euroa. Tästä johtuen oletus vakiona pysyvästä suuntakertoimesta on hylättävä. Uusi oletus on, että edellytetty tuotto (suuntakerroin jaettuna osakkeen hinnalla) on vakio. Vrt. [7, s. 222]. Jos osakkeen hinnan volatiliteetti asetetaan (pysyvästi) nollaksi seuraa, että ds = µsdt 22

26 tai ds S = µdt. Kun nyt otetaan integraali aikavälin [0, T] yli, saadaan T 0 / 0 T 1 T S ds = 0 ln S = / 0 T µ dt µt ln S T ln S 0 = µt µ0 ( ) ST ln = µt S 0 S T S 0 = e µt S T = S 0 e µt, (4.11) missä S 0 on osakkeen hinta hetkellä 0 ja S T on osakkeen hinta hetkellä T. Yhtälöstä (4.11) nähdään, että varianssin ollessa nolla osakkeen hinta kasvaa jatkuvasti maksettavalla korkoasteella µ aikayksikköä kohden. Vrt. [7, s. 222]. Koska käytännössä osakkeen hinta kuitenkin vaihtelee satunnaisesti, oletetaan, että prosentuaalisen tuoton stokastisen muutoksen odotusarvo lyhyellä aikavälillä δt pysyy vakiona riippumatta osakkeen hinnasta. Muutoksen keskihajonnan tulisi lyhyellä aikavälillä δt olla suoraan verrannollinen osakkeen hintaan. Tämä johtaa malliin ds = µsdt + σsdz (4.12) tai ds = µdt + σdz, (4.13) S missä muuttuja σ on osakkeen hinnan volatiliteetti ja muuttuja µ on osakkeen odotettu tuottoaste. Yhtälö (4.13) on suosituin osakkeen hinnan kuvaamiseen käytetty malli. Yleisesti tällaista mallia kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Vrt. [7, s. 223] & [12, s ] Itôn lemma Nyt tiedetään, että osakeoption hinta määräytyy ajan sekä kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan funktiona. Johdannaisten hinnan voidaan yleistäen sanoa määräytyvän johdannaisen perustana olevien stokastisten prosessien 23

27 sekä ajan funktiona. Seuraavaksi tarkastellaan stokastisten funktioiden kannalta tärkeää tulosta, Itôn lemmaa 7. Vrt. [7, s. 226]. Oletetaan, että muuttuja x noudattaa Itô-prosessia dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, (4.14) missä dz on Wiener-prosessi ja a ja b ovat muuttujan x ja ajan t funktioita. Muuttujan x suuntakerroin on a ja varianssiparametri b 2. Itôn lemma osoittaa, että muuttujan x ja ajan t funktio G noudattaa prosessia dg = ( G x a + G t ) G 2 x 2 b2 dt + G b dz, (4.15) x missä dz on sama Wiener-prosessi kuin yhtälössä (4.14). Funktio G noudattaa siis Itô-prosessia. Sen suuntakerroin on ja varianssiparametri G x a + G t G 2 x 2 b2 ( ) 2 G b 2. x Vrt. [7, s. 226]. Vaikka Itôn lemman yksityiskohtainen todistus ei ole option hinnan määrityksen kannalta tässä yhteydessä välttämätön, on sen idea hyvä ymmärtää. Lemma voidaan nähdä differentiaalilaskennan tunnettujen tulosten laajennuksena. Olkoon G muuttujan x jatkuva ja derivoituva funktio. Jos δx on pieni muutos muuttujassa x ja δg on siitä seuraava pieni muutos funktiossa G, niin Taylorin 8 sarjan approksimaation mukaan δg dg δx. (4.16) dx Tämän approksimaation virhe sisältää astetta δx 2 olevia termejä. Mikäli funktion δg arviota halutaan tarkentaa, voidaan käyttää Taylorin sarjakehitelmää: δg = dg dx δx + 1 d 2 G 2 dx 2 δx2 + 1 d 3 G 6 dx 3 δx3 + Vrt. [7, s. 232]. 7 Itôn lemman kehitti Kiyosi Itô vuonna Katso alkuperäinen julkaisu [8]. 8 Brook Taylor, englantilainen matemaatikko Tarkemmin Taylorin sarjakehitelmästä esimerkiksi lähteessä [10, s. 108]. 24

28 Nämä tulokset voidaan myös laajentaa kahden muuttujan x ja y jatkuvalle ja derivoituvalle funktiolle G. Yhtälöä (4.16) vastaava tulos on δg G G δx + x y δy ja funktion δg Taylorin sarjakehitelmä δg = G G δx + x y δy G 2 x 2 δx2 + 2 G x y δxδy G 2 y 2 δy2 + (4.17) Kun δx ja δy lähestyvät nollaa, yhtälöstä (4.17) saadaan dg = G G dx + dy. (4.18) x y Vrt. [7, s. 232]. Edellä esitetty yhtälö (4.18) voidaan nyt laajentaa kattamaan funktioita, joiden muuttujat noudattavat Itô-prosesseja. Olkoon x muuttuja, joka noudattaa yhtälön (4.18) Itô-prosessia, siis dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz (4.19) ja olkoon G muuttujan x ja ajan t funktio. Vastaavasti kuin yhtälö (4.17), voidaan nyt kirjoittaa δg = G G δx + x t δt G 2 x 2 δx2 + 2 G x t δxδt G 2 t 2 δt2 + (4.20) Yhtälö (4.19) voidaan esittää epäjatkuvassa muodossa δx = a(x, t)δt + b(x, t)ǫ δt tai jättämällä argumentit merkitsemättä muodossa δx = aδt + bǫ δt. (4.21) Vrt. [7, s. 232]. Tämä yhtälö paljastaa tärkeän eron yhtälöiden (4.20) ja (4.17) välillä. Kun rajaavien muuttujien avulla siirryttiin yhtälöstä (4.17) yhtälöön (4.18), astetta δx 2 olevat termit sivuutettiin, koska ne olivat toisen asteen termejä. Yhtälöstä (4.21) saadaan δx 2 = b 2 ǫ 2 δt + korkeampaa astetta olevia δt-termejä. (4.22) 25

29 Tästä huomataan, ettei yhtälön (4.20) termiä, jossa esiintyy δx 2 (siis termiä 1 2 G δx 2 ) voida sivuuttaa, koska se sisältää ensimmäistä astetta olevan δttermin. Vrt. [7, s ]. 2 x 2 Standardinormaalijakauman varianssi on 1. Siis E (ǫ 2 ) [E (ǫ)] 2 = 1, missä E tarkoittaa odotusarvoa. Koska E (ǫ) = 0, seuraa, että E (ǫ 2 ) = 1. Nyt E (ǫ 2 δt) = E (ǫ 2 )δt = δt. Siis termin ǫ 2 δt odotusarvo on δt. Voidaan osoittaa, että termin ǫ 2 δt varianssi on astetta δt 2 ja että sen seurauksena termiä ǫ 2 δt voidaan käsitellä ei-stokastisena. Se lähenee odotusarvoaan, δt, kun δt lähenee nollaa. Yhtälöstä (4.22) seuraa, että termistä δx 2 tulee ei-stokastinen ja yhtäsuuri kuin b 2 dt, kun δt lähenee nollaa. Kun δx ja δt lähestyvät nollaa yhtälössä (4.20) ja käytetään viimeistä tulosta, saadaan dg = G G dx + x t dt G 2 x 2 b2 dt. (4.23) Tämä on Itôn lemma. Se saadaan muokattua tutumpaan muotoon korvaamalla termi dx yhtälöllä (4.19). Näin yhtälöstä (4.23) tulee Vrt. [7, s. 233]. dg = G G dx + x t dt G 2 = G G (a dt + b dz) + = ( x G x a + G t x 2 b2 dt t dt ) G x 2 b Osakkeen hinnan lognormaalisuus 2 G x 2 b2 dt dt + G x b dz. Kuten aiemmin todettiin, osakkeen hinnan oletetaan seuraavan stokastista prosessia, jota kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Tästä oletuksesta seuraa, että osakkeen hinnan hajonta on lognormaali. Olkoon osakkeen hinnan prosessi siis yhtälössä (4.12) esitetty ds = µsdt + σsdz. Itôn lemmasta seuraa, että muuttujien S ja t funktio G noudattaa prosessia ( G G dg = µs + S t ) G 2 S 2 σ2 S 2 dt + G σs dz, (4.24) S 26

30 missä dz on sama Wiener-prosessi kuin yllä olevassa osakkeen hinnan prosessissa. Määritellään G = ln S. Tällöin G S = 1 S, 2 G S = 1 2 S, G 2 t = 0. Sijoittamalla nämä yllä olevaan yhtälöön (4.24) seuraa, että funktion G noudattama prosessi on ( ) dg = µ σ2 dt + σdz. 2 Vrt. [7, s ]. Koska odotusarvo µ ja keskihajonta σ ovat vakioita, noudattaa silloin funktio G = ln S yleistettyä Wiener-prosessia. Sen suuntakerroin on µ σ2 2 ja varianssiparametri σ 2, molemmat vakioita. Funktion ln S muutos hetken nolla ja tulevan hetken T välillä noudattaa siten normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on (µ σ2 )T ja varianssi 2 σ2 T. Tämä tarkoittaa, että ln S T ln S 0 φ [( µ σ2 2 ) T, σ T ] tai vastaavasti ln S T φ [ ln S 0 + ( µ σ2 2 ) T, σ T ], (4.25) missä S T on osakkeen hinta tulevana hetkenä T, S 0 osakkeen hinta hetkellä nolla ja φ(m, s) merkitsee normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on m ja keskihajonta s. Yhtälöstä (4.25) nähdään, että funktio ln S T noudattaa normaalijakaumaa. Tästä seuraa, että osakkeen hinnan prosessi, siis osakkeen hinta tulevana hetkenä T, noudattaa lognormaalia jakaumaa. Vrt. [7, s ]. Lognormaalijakauma on oikealle vino jakauma. Sen keskiarvo, moodi ja mediaani ovat kaikki erisuuria. Kun osakkeen hinnan todellista käyttäytymistä ajatellaan tarkemmin, on sen lognormaalisuus aivan looginen. Muuttuja, joka noudattaa lognormaalia jakaumaa, ei voi saada nollaa pienempiä arvoja, mutta ylärajaa arvoilla ei ole. Osakkeen hinnan tapauksessa nousu voi periaatteessa olla rajatonta, mutta osakkeen hinta ei voi koskaan olla negatiivinen. Osakkeen omistaja ei ole vastuussa yhtiön veloista tai muista maksuvelvotteista konkurssin sattuessa, joten osakkeen haltijan riski rajoittuu yhtiöön sijoitettuun pääomaan. 27

31 Yhtälöstä (4.25) ja lognormaalijakauman ominaisuuksista voidaan osoittaa, että osakkeen hinnan odotusarvo on E (S T ) = ( = e ln S 0+ σ2 e µ+ 2 µ σ2 2 σ2 µt = S 0 e 2 T + σ2 2 T )T + (σ T ) 2 2 = S 0 e µt, (4.26) missä µ on normaalijakaumaa noudattavan muuttujan ln S T odotusarvo ja σ sen keskihajonta, jotka saadaan yhtälöstä (4.25). Muuttuja µ määriteltiin aiemmin osakkeen odotetuksi tuottoasteeksi, mikä sopii hyvin yllä olevaan tulokseen. Vrt. [7, s. 236] & [16]. 4.2 Black-Scholes-differentiaaliyhtälö Black-Scholes-optiohinnoittelumalli on yksi modernin rahoitusteorian tärkeimmistä askelista. Sen julkaisu synnytti valtavan määrän tutkimusta ja itse asiassa Black-Scholes-hinnoittelumalli edelsi myös edellä esiteltyä optioden hinnoitteluun käytettävää binomimallia, joka onkin sen yksinkertaistus. Black-Scholes-mallin logiikka on käsitteellisesti sama kuin binomimallin: jokaisella hetkellä kahdesta arvopaperista rakennetaan salkku (portfolio), joka jäljittelee johdannaisen sen hetkistä käyttäytymistä. Tässä luvussa esitetään Black-Scholes-differentiaaliyhtälö, jonka avulla johdetaan seuraavassa luvussa Black-Scholes-optiohinnoittelukaava. Vrt. [12, s. 351]. Black-Scholes-differentiaaliyhtälöllä on seuraavat oletukset: 1. Osakkeen hinta noudattaa aiemmin esitettyä yhtälöä (4.12), missä odotusarvo µ ja keskihajonta σ ovat vakioita. 2. Arvopaperin lyhyeksi myynti ja siitä saatujen tuottojen vapaa käyttö on sallittu. 3. Kaupankäyntikuluja ja veroja ei oteta huomioon. Kaikki arvopaperit ovat täydellisesti jaettavissa. 4. Johdannaisen voimassaoloaikana ei makseta osinkoja. 5. Riskittömiä arbitraasimahdollisuuksia ei ole. 6. Arvopapereiden kaupankäynti on jatkuvaa. 7. Riskitön korkokanta r on vakio ja se tunnetaan. 28

32 Vrt. [7, s. 242]. Seuraavaksi johdetaan Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Yhtälön johtaminen perustuu luvussa 3.1 käytettyyn replikoivan salkun luomiseen. Alla olevassa todistuksessa salkku rakennetaan sisältämään osakkeita sekä riskittömiä obligaatioita. Vaihtoehtoinen todistus toisenlaisella salkulla on esitetty liitteessä A. Olkoon osakkeen hinnan prosessi yhtälön (4.12) mukaisesti ds = µsdt + σsdz. (4.27) Olkoon f osakkeen hinnasta S riippuvan johdannaisen hinta, joka on hinnan S ja ajan t funktio. Nyt Itôn lemmasta johdetusta yhtälöstä (4.24) saadaan df = ( f f µs + S t ) f S 2 σ2 S 2 dt + f σs dz, (4.28) S joka on johdannaisen hinnan Itô-prosessi. Hinta vaihtelee satunnaisesti osakkeen hinnan S ja Brownin-liikkeen dz mukaan. Vrt. [7, s ] & [12, s. 354]. Muodostetaan osakkeita S ja riskittömiä obligaatioita B sisältävä salkku, joka replikoi johdannaisen käyttäytymistä. Tämä tehdään niin, että jokaisella hetkellä t valitaan määrä x t osakkeita ja määrä y t obligaatioita, jolloin koko salkun arvo on G = x t S + y t B. (4.29) Määrät x t ja y t pyritään valitsemaan siten, että salkku G replikoi johdannaisen arvoa f. Salkun arvon osakkeen hinnan muutoksista johtuva hetkellinen nousu on dg = x t ds + y t db. (4.30) Kun osakkeen hinnan prosessin tiedetään seuraavan yhtälöä (4.12) ja obligaation riskitöntä korkokantaa r, saadaan salkun arvon muutokseksi lyhyellä aikavälillä dg = x t ds + y t db = x t (µsdt + σsdz) + y t rbdt = (x t µs + y t rb)dt + x t σsdz. (4.31) Vrt. [12, s. 354]. Koska salkun arvon muutoksen G halutaan käyttäytyvän täsmälleen samoin kuin johdannaisen arvon f, asetetaan muutosten dt ja dz kertoimet 29

33 yhtä suuriksi. Kertoimet saadaan yhtälöistä (4.28) ja (4.31). Asettamalla muutoksen dz kertoimet yhtäsuuriksi saadaan x t σs = f S σs x t = f S. (4.32) Koska vaaditaan, että G = x t S + y t B (yhtälö (4.29)) ja G = f, niin f = x t S + y t B y t B = f x t S y t = 1 B (f x ts) y t = 1 ( f S f ). (4.33) B S Sijoittamalla kertoimet x t ja y t yhtälöistä (4.32) ja (4.33) yhtälöön (4.31) saadaan dg = (x t µs + y t rb)dt + x t σs dz [ f = S µs + 1 ( f S f ) ] rb B S dt + f σsdz. (4.34) S Vrt. [12, s. 354]. Koska yhtälöiden f ja G halutaan olevan yhtä suuret lyhyellä aikavälillä, asettamalla muutoksien dt kertoimet yhtälöistä (4.28) ja (4.34) yhtä suuriksi, saadaan f S µs + 1 ( B ( 1 B f S f ) S f S f ) rb = f S t ( f S f ) r = f S t rb = f f µs + S t f S 2 σ2 S 2 2 f S 2 σ2 S 2, 2 f S 2 σ2 S 2 josta edelleen 9 f t + f S rs f S 2 σ2 S 2 = rf. (4.35) 9 Todistusta on hieman yksinkertaistu, sillä yhtälön (4.30) tulisi sisältää termi x ts+y tb. Tämän summan voidaan kuitenkin osoittaa olevan nolla. 30

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

Optiot 1. Tervetuloa webinaariin!

Optiot 1. Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 on peruskurssi optioista kiinnostuneelle sijoittajalle. Webinaarissa käydään läpi mm. mikä optio on, miten sitä voi käyttää ja mistä kannattaa lähteä liikkeelle.

Lisätiedot

1 Sovelluksia. Sovelluksia 1

1 Sovelluksia. Sovelluksia 1 Sovelluksia 1 1 Sovelluksia 1.1 Tausta ja tärkeimpiä määritelmiä Kalvo 1 Aloitetaan tutustumaan luennolla tarkasteltaviin prosesseihin. Tarkempia selityksiä, esimerkiksi Brownin liikkestä, löytyy kertauksesta,

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2)

Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Markkinoilla kaupattavia sijoituskohteita (1/2) Sovelletun matematiikan jatko-opintoseminaari Johdannaissopimushinnoittelun matemaattinen mallinnus ja laskennalliset menetelmät Johdanto TkT Juho Kanniainen

Lisätiedot

Valuuttariskit ja johdannaiset

Valuuttariskit ja johdannaiset Valuuttariskit ja johdannaiset Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Sosiaali- ja terveysjohtamisen laitos, kansantaloustiede Lähde: Hull, Options, Futures, & Other

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 ) 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta http://www.math.hut.fi/teaching/rahoitus/ Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Black Scholes-malli ja volatiliteettihymy

Black Scholes-malli ja volatiliteettihymy Black Scholes-malli ja volatiliteettihymy Kansantaloustiede Pro gradu -tutkielma Taloustieteiden laitos Tampereen yliopisto 03.04.08 Antti Aho Ohjaaja: Jari Vainiomäki Tampereen yliopisto Taloustieteiden

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot

12. Korkojohdannaiset

12. Korkojohdannaiset 2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla

Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien

Lisätiedot

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

RBS Warrantit NOKIA DAX. SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011

RBS Warrantit NOKIA DAX. SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011 RBS Warrantit DAX NOKIA SIP Nordic AB Alexander Tiainen Maaliskuu 2011 RBS Warrantit Ensimmäiset warrantit Suomen markkinoille Kaksi kohde-etuutta kilpailukykyisillä ehdoilla ; DAX ja NOKIA Hyvät spreadit

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd

Mat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd .* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Optiot 2. Tervetuloa webinaariin!

Optiot 2. Tervetuloa webinaariin! Optiot 2 Tervetuloa webinaariin! Optiot 2 on jatkokurssi optioista kiinnostuneelle sijoittajalle. Webinaarissa jatketaan optioiden käsittelyä ja syvennymme johdannaisten maailmaan. Webinaarissa käydään

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Käy kauppaa RBS minifutuureilla FIM Direct Pro -palvelulla

Käy kauppaa RBS minifutuureilla FIM Direct Pro -palvelulla Käy kauppaa RBS minifutuureilla FIM Direct Pro -palvelulla Kaupankäynti RBS minifutuureilla on kasvanut voimakkaasti viimeisen kahden vuoden aikana. Haluamme tällä lyhyellä oppaalla lisätä ymmärrystä näihin

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla

Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla Matias Juslin Equity Derivatives Public Distribution 21. marraskuuta 2013 Bull & Bear -sertifikaatit: Johdanto Pörssissä treidattu sertifikaatti, jolla

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Lisätuottoa Bull- ja Bear-sertifikaateilla

Lisätuottoa Bull- ja Bear-sertifikaateilla Lisätuottoa Bull- ja Bear-sertifikaateilla Sisältö Commerzbank AG Bull & Bear perusteet Sertikaatin komponentit Esimerkkejä Vertailua muihin tuotteisiin Suojamekanismi Mahdollisuudet ja riskit 1 Commerzbank

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio

Johdannaisanalyysi. Contingent Claims Analysis Juha Leino S ysteemianalyysin. Laboratorio Johdannaisanalyysi Contingent Claims Analysis Juha Leino 11.10.2000 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Oletukset Yritys tuottaa tuotetta, jonka hinta on x x noudattaa geometrista Brownin liikettä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot