Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Black-Scholes-optiohinnoittelumalli"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN, JONNE: Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Pro gradu -tutkielma, 46 s., 2 liites. Matematiikka Elokuu 2012 Tiivistelmä Optiot ovat yhä merkittävämpi osa rahoitusmarkkinoita, mutta niiden hinnoittelu nojaa edelleen pitkälti Black-Scholes-optiohinnoittelumalliin, joka esitettiin jo vuonna Rajoitteistaan huolimatta tämän mallin ymmärtäminen on erittäin tärkeää rahoitusalasta kiinnostuneille. Tämän tutkielman tavoitteena on avata Black-Scholes-optiohinnoittelumallin matemaattista taustaa. Mallin matematiikan ymmärtämistä yritetään helpottaa erityisesti tuomalla esiin sen yhteys myöhemmin julkaistuun binomimalliin, joka voidaan nähdä Black-Scholes-optiohinnoitelumallin yksinkertaistuksena. Tutkielma etenee seuraavasti. Aluksi käydään läpi optioihin liittyviä käsitteitä ja perustietoja. Sitten siirrytään optioiden hinnoitteluun binomimallin avulla, jossa osakkeen hinnalle annetaan askeleittain kaksi mahdollista arvoa ja tutkitaan askelmäärää nostaen miten option hinta käyttäytyy. Sen jälkeen esitellään osakkeen hinnan prosessi ja muut tarvittavat esitiedot Black- Scholes-optiohinnoittelukaavalle, jonka kaksi eri todistusta päättävät tutkielman. 2

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Optiot Option positiot Optioiden hinnoittelun perusteet Optioiden hinnoittelu - binomimalli Yhden askeleen binomimalli Kahden askeleen binomimalli Useamman askeleen binomimalli Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli Taustatiedot Martingaalit Markov-prosessi Wiener-prosessi Itô-prosessi Osakkeen hinnan prosessi Itôn lemma Osakkeen hinnan lognormaalisuus Black-Scholes-differentiaaliyhtälö Black-Scholes-optiohinnoittelukaava Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen binomimallista Viitteet 44 A Black-Scholes-differentiaaliyhtälön vaihtoehtoinen todistus 47 3

4 1 Johdanto Optiot ovat johdannaisinstrumentteja, jotka antavat haltijalleen oikeuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa tai myydä kohde-etuutena olevan hyödykkeen ennalta sovitulla hinnalla ja mahdollisesti määrättynä ajankohtana. Kohdeetuutena voivat olla esimerkiksi osakkeet, valuutat tai raaka-aineet. Optioiden merkitystä rahoitusmarkkinoiden instrumentteina kuvastaa hyvin 40% tasainen vuosikasvu amerikkalaisten listattujen optioiden määrässä, jonka uskotaan edelleen kaksinkertaistuvan vuoden 2012 aikana [11]. Optioiden hinnoitteluun on kehitetty useita malleja ja niitä on edelleen muokattu sopiviksi erilaisille optioille. Huolimatta sen paljon keskustelluista rajoitteista, tärkeimpänä on vielä tänä päivänäkin säilynyt Fisher Blackin ja Myron Scholesin vuonna 1973 esittämä malli, jonka kehittämiseen on ratkaisevasti osallistunut myös Robert C. Merton samana vuonna julkaistulla artikkelillaan. Merton ja Scholes saivat työstään myös Nobelin taloustieteen palkinnon vuonna Black oli valitettavasti kuollut jo vuonna Tämän tutkielman tavoitteena on esitellä optioiden hinnoittelun tärkein tulos, Black-Scholes-optiohinnoittelumalli, tiiviisti ja selkeästi. Hinnoittelumallin ymmärrystä pyritään selkeyttämään esittelemällä optioiden hinnoittelussa käytetyn binomimallin (Cox, Ross ja Rubinstein, 1979) ja Black- Scholes-mallin välinen yhteys, joka usein jää oppikirjoissa vähemmälle huomiolle. Hinnoittelukaavojen johtaminen on pyritty tekemään tarpeeksi yksityiskohtaisesti, jotta lukija pystyy sitä seuraamaan. Vieraimpiin käsitteisiin on lisätty viittaukset lähteisiin, joista lukija löytää lisää tietoa. Tutkielma jäsentyy seuraavasti. Luvussa 2 kerrotaan yleisesti optioista, sekä käydään läpi terminologiaa ja optiopositiot. Optioiden hinnoittelun käsittely aloitetaan kolmannessa luvussa binomimallilla. Ensin aloitetaan yksinkertaisimmasta yhden askeleen mallista, josta jatketaan kahden askeleen mallin kautta useamman askeleen binomimalliin. Lisäämällä askeleiden lukumäärää option hinnoittelun tarkkuus paranee. Luvun lopuksi saavutaan useamman askeleen binomimallilla saatuun optiohinnoittelukaavaan. Luku 4 käsittelee Black-Scholes-optiohinnoittelumallia. Ensimmäisen alaluku johdattaa lukijan aiheeseen tarvittavien taustatietojen kautta. Näistä tärkeimmät ovat osakkeen hinnan prosessi, sen lognormaalisuus sekä Itôn lemma. Seuraavassa alaluvussa johdetaan keskeinen tulos: Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Tutkielma päättyy Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtamiseen kahdella eri tavalla. Tutkielman päälähteinä on käytetty tunnettuja taloustieteen oppikirjoja Hull: Options, futures, and other derivatives ja Luenberger: Investment Science, hieman matemaattisempaa kirjaa Neftci: An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives sekä Cox, Ross ja Rubinsteinin kir- 1

5 joittamaa tieteellistä artikkelia Option Pricing: A Simplified Approach. Kaikki tutkielman teossa käytetyt lähteet on listattu tutkielman lopussa. Esitietoina lukijalla olisi hyvä olla perustiedot todennäköisyyslaskennasta sekä differentiaali- ja integraalilaskennasta. 2 Optiot Optio on johdannaisinstrumentti, eli johdannainen, joka toimii sopimuksena kahden osapuolen välillä. Sen erityispiirteenä on, että se tarjoaa option ostajalle (haltija) mahdollisuuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa (osto-optio) tai myydä (myynti-optio) sopimuksen kohteena oleva hyödyke (kohde-etuus) sovittuun hintaan (lunastushinta) ennalta määrättynä ajankohtana (lunastusajankohta). Vrt. [3, s. 229] & [12, s. 320]. Option ostaja maksaa option hinnan (preemio) option myyjälle edellä määritellystä oikeudesta. Jos optio voidaan lunastaa vain ennalta määrättynä lunastusajankohtana, on kyseessä eurooppalainen optio. Sitä vastoin amerikkalainen optio voidaan lunastaa milloin tahansa sen voimassaoloaikana (juoksuaika, myös maturiteetti). Vrt. [14, s. 142] & [1, s. 1]. Molemmilla optiotyypeillä, osto- ja myyntioptiolla, on kaksi näkökulmaa: kumpikin optio voidaan joko ostaa (pitkä positio) tai myydä (lyhyt positio). Pitkässä positiossa olevaa henkilöä kutsutaan option haltijaksi ja lyhyessä positiossa olevaa henkilöä option asettajaksi. Optioilla voi olla siis neljä eri positiota 1 : 1. Osto-option pitkä positio: Maksamalla preemion option ostajalla, eli haltijalla, on oikeus hankkia kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. 2. Osto-option lyhyt positio: Option myyjällä, eli asettajalla, on velvollisuus luovuttaa kohde-etuus haltijan maksaessa ennalta sovittu lunastushinta. Asettaja saa velvollisuudestaan korvaukseksi option preemion. 3. Myyntioption pitkä positio: Preemion maksaminen antaa haltijalle oikeuden myydä kohde-etuus option asettajalle ennalta sovittuun lunastushintaan. 4. Myyntioption lyhyt positio: Myyntioption asettaja on velvoitettu ostamaan kohde-etuus ennalta sovitulla hinnalla. Option preemio on korvaus asettajan ostovelvollisuudesta. 1 Optiopositioista käytetään useasti myös niiden englanninkielisiä termejä: 1. Long Call, 2. Short Call, 3. Long Put ja 4. Short Put. 2

6 Vrt. [7, s. 8 9] & [2, s ]. Optio voi olla kolmessa asemassa voimassaolonsa aikana. Näin luokiteltuna optiot voidaan jakaa plus-, tasa- ja miinusoptioihin. Option sanotaan olevan plusoptio, kun sen välitön lunastaminen johtaisi voittoihin haltijalle. Osto-option tapauksessa tämä tarkoittaa, että lunastushinnan on oltava kohde-etuuden arvoa alemmalla tasolla. Vastaavasti tilanteessa, missä ostooption lunastushinta on korkeampi kuin kohde-etuuden arvo, optiota kutsutaan miinusoptioksi. Kolmas mahdollinen asema optiolle on, kun sen lunastushinta on yhtäsuuri kuin kohde-etuuden arvo. Tällöin on kyseessä tasaoptio. Vrt. [2, s ]. Option arvo voidaan jakaa kahteen osaan. Option perusarvo ilmaisee, kuinka paljon suurempi kohte-etuuden sen hetkinen arvo on verrattuna option lunastushintaan. Se ei saa koskaan negatiivisia arvoja. Vastaavasti option aika-arvo on option hinnan ja sen perusarvon välinen erotus. Se perustuu osakkeen hinnan mahdollisiin tuleviin positiivisiin liikkeisiin option voimassaoloaikana. Se saa arvon nolla, kun option voimassaoloaika päättyy tai on optimaalinen hetki lunastaa optio välittömästi (amerikkalaisen option tapauksessa). Tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä, jossa osto-option hinta on 5 euroa ja juoksuaika kaksi kuukautta, osakkeen hinta on 40 euroa ja lunastushinta 37 euroa. Option perusarvo on = 3 euroa ja aika-arvo 5 3 = 2 euroa. Vrt. [7, s. 154]. 2.1 Option positiot Kuten jo aiemmin mainittiin, optiolla voi olla neljä eri positiota: 1) ostooption pitkä positio, 2) osto-option lyhyt positio, 3) myyntioption pitkä positio, sekä 4) myyntioption lyhyt positio. Eri positioiden ymmärtäminen auttaa hahmottamaan optioiden dynamiikkaa ja siten ymmärtämään niiden hinnoittelua. Osto-option ostajalla on osto-option pitkä positio. Osto-option pitkässä positiossa option haltija odottaa kohde-etuuden hinnan nousevan. Voimassaolon päättyessä haltija lunastaa option, jos sillä on perusarvo. Osto-option pitkässä positiossa optio tuottaisi haltijalle voittoa, mikäli lunastushinnan ja option hinnan yhteenlaskettu summa on pienempi kuin kohde-etuuden sen hetkinen arvo. 2 Toisaalta, jos optiolla ei ole perusarvoa (kohde-etuuden arvo < lunastushinta) lunastuspäivänä, option haltijan tappio on maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 6 7]. 2 Tarkastellaan esimerkkiä. Oletetaan, että option voimassaolon loppuessa kohdeetuuden markkina-arvo on 12 euroa ja, että option lunastushinta on 7 euroa ja preemio 3 euroa. Nyt option perusarvo on 5 euroa (12-7). Tällöin optio tuottaisi haltijalleen voittoa 2 euroa (12-(7+3)). 3

7 20 Osto option pitkän position tuottokaavio Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta Kuva 1: Tuottokaavio - Osto-option pitkä positio Yllä olevassa kuvassa 1 option lunastushinta on 50 euroa ja option hinta eli preemio 3 euroa. Osakkeen hinnan ollessa lunastushetkellä 53 euroa ei option haltija saa voittoa eikä koe tappiota. Hinnan ollessa alempi, option haltija kokee tappion, joka rajoittuu preemion hintaan, 3 euroa. Optio alkaa tuottamaan voittoa, kun osakkeen hinta on yli 53 euroa. Vrt. [7, s. 6 7]. Teoriassa option haltijan voitto voi olla rajaton, koska osakkeen hinta voi nousta rajattomasti, kun taas tappio on rajattu optiosta maksettuun hintaan. Vastaavasti osto-option myyjälle tappio on rajaton, koska jokainen osakkeen hinnan nousu kasvattaa hänen tappiotaan. Hänen voittonsa on taas rajattu optiosta saatuun hintaan. Osto-option myyjällä on osto-option lyhyt positio, jonka tuottokaavio on esitetty kuvassa 2. Osto-option lyhyen position ottaja odottaa siis osakkeen hinnan laskevan option voimassaoloaikana. Vrt. [7, s. 6 10]. 4

8 10 Osto option lyhyen position tuottokaavio 5 0 Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 2: Tuottokaavio - Osto-option lyhyt positio 20 Myyntioption pitkän position tuottokaavio Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 3: Tuottokaavio - Myyntioption pitkä positio Kolmas mahdollinen positio on myyntioption pitkä positio, jossa option myyjä hyötyy kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan laskusta. Myyntiop- 5

9 tion ostaja maksaa preemion oikeudesta myydä osake ennalta sovitulla lunastushinnalla option voimassaolon päättyessä (eurooppalainen optio). Hänen voittonsa kasvaa sitä mukaa, kun osakkeen hinta laskee. Tuotto voi periaatteessa olla rajaton, mutta osakkeen hinta ei voi kuitenkaan laskea alle nollan. Tämän position tuottokaavio on esitetty kuvassa 3. Vrt. [7, s. 7 10]. Myyntioption myyjä saa option ostajalta preemion, jota vastaan myyjällä on velvollisuus ostaa kohde-etuutena oleva osake ennalta sovitulla hinnalla option voimassaolon päättyessä. Tämä viimeinen mahdollinen positio on nimeltään myyntioption lyhyt positio ja sen tuottokaavio on esitetty kuvassa 4. Myyntioption myyjän tappio kasvaa, kun osakkeen hinta laskee, mutta hänen voittonsa on enintään maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 7 10]. 10 Myyntioption lyhyen position tuottokaavio 5 0 Tuotto/Tappio Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 4: Tuottokaavio - Myyntioption lyhyt positio 2.2 Optioiden hinnoittelun perusteet Optioiden hinnoilla on yhteys edellä esitettyihin tuottokaavioihin. Tässä luvussa esitellään perusteet option hinnan määrittämiselle, joka valmistaa lukijaa seuraavissa luvuissa olevaan syvempään tarkasteluun. Oletetaan, että omistetaan osakkeen osto-optio, jonka lunastushinta on K. Olkoon osakkeen hinta option erääntymishetkellä S T. On helppo huomata, että jos S T < K, niin option arvo on nolla. Tässä tapauksessa osto-option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta halvemmalla hinnalla S T kuin lu- 6

10 nastamalla optio ja maksamalla osakkeesta hinta K. Jos taas S T > K, niin optiolla on arvoa. Nyt option omistaja voi lunastaa option ja ostaa osakkeen hintaan K. Hän voi samantien myydä osakkeen markkinoilla korkeammalla hinnalla S T, jolloin hänen voittonsa on S T K. Vrt. [12, s. 322]. Yhdistämällä nämä kaksi tapausta option arvo voidaan esittää kaavana C = max[s T K, 0]. (2.1) Tämä tarkoittaa, että option arvo C on yhtä suuri kuin suurempi arvoista 0 ja S T K. Kaava (2.1) antaa eksplisiittisen kaavan osto-option arvon määrittämiseen option erääntymishetkellä osakkeen hinnan S T funktiona. Ostooption lyhyessä positiossa kaava on vastaavasti max[s T K, 0] = min[k S T, 0]. Vrt. [12, s. 322] & [7, s. 9]. Myyntioption kohdalla tulos on vastakkainen, koska optio antaa omistajalleen oikeuden myydä kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. Oletetaan, että omistetaan myyntioptio, jonka lunastushinta on K. Tässä tapauksessa, jos osakkeen hinta S T on suurempi kuin option lunastushinta K, siis S T > K, niin optio on arvoton. Option omistaja voi lunastamalla option myydä osakkeen hintaan K, kun markkinoilla hän voi myydä sen suoraan korkeampaan hintaan S T. Toisaalta, jos S T < K, niin option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta hinnalla S T ja sitten lunastaa option ja myydä osakkeen korkeammalla hinnalla K. Hänen voittonsa on tällöin K S T. Yleinen kaava myyntioption arvolle sen erääntymishetkellä on P = max[k S T, 0], ja vastaava kaava myyntioption lyhyessä positiossa on Vrt. [12, s ] & [7, s. 10]. max[k S T, 0] = min[s T K, 0]. 3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli Binomimalli on yksinkertaisin ja käytännöllisin optioiden hinnoittelumalli. Binomimalli on itse asiassa yksinkertaistettu versio Black-Scholes-optiohinnoittelumallista ja kehitetty vasta tämän jälkeen. Sen luojat olivat Cox, Ross ja Rubinstein (1979). 7

11 3.1 Yhden askeleen binomimalli Binomimallin rakentaminen alkaa diskreetin yhden askeleen binomimallin esittelemisellä. Olkoon osakkeen hinta S hetkellä t. Yhden askeleen jälkeen, hetkellä t+1 osakkeen hinnan kehityksellä on kaksi mahdollista arvoa: todennäköisyydellä q osakkeen hinta nousee arvoon us, missä u > 1 ja 0 < q < 1, tai todennäköisyydellä 1 q hinta laskee arvoon ds, missä 0 < d < 1. Vrt. [3, s. 232]. Asia on havainnollistettu kuvassa 5. S q us 1 q ds Kuva 5: Osakkeen hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 232]. Binomimalliin kuuluu useita oletuksia. Korkokanta on vakio ja lainan antaminen sekä lainaaminen ovat rajoituksettomia. Suurempaa varallisuutta pidetään parempana kuin pienempää, joten tuottavat riskittömät arbitraasimahdollisuudet käytetään välittömästi. Arbitraasi on mahdollisuus tuottoihin ilman riskiä. Tämä voidaan saavuttaa esimerkiksi hyödyntämällä osakkeen hintaeroja eri markkinoilla. Alla oleva todistus auttaa ymmärtämään arbitraasin käsitettä. Veroja, marginaalivaatimuksia sekä transaktioista aiheutuvia kuluja ei oteta mallissa huomioon. Lyhyeksimyymisestä saatavat tuotot jäävät siis kokonaisuudessaan käyttöön. Binomimallia käyttäen, kun rakennetaan salkku, joka koostuu osakkeesta ja sen optiosta tietyillä painoilla, tarkastelujakson lopussa, hetkellä t + 1, ei ole epävarmuutta salkun arvosta. Koska salkku on riskitön, täytyy tuoton olla yhtäsuuri riskittömän korkokannan kanssa ja täten pystytään laskemaan salkun rakentamisesta aiheutuvat kustannukset sekä edelleen option hinta. Vrt. [3, s ] & [7, s. 201]. Olkoon r = 1 + r f, missä r f on riskitön korkokanta. Oletetaan lisäksi, että u > r > d. Jos yhtälö u > r > d ei päde, on olemassa arbitraasimahdollisuuksia käyttäen ainoastaan osaketta ja riskitöntä lainan antamista ja lainanottoa. Vrt. [3, s. 232]. 8

12 Todistetaan tämä väite käsittelemällä kaksi eri tapausta: d < u r ja r d < u. Olkoon d < u r. Tällöin osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa huonompi kuin lainan tuotto. Nyt arbitraasi muodostetaan myymällä osake lyhyeksi ja sijoittamalla myyntitulot riskittömään korkokantaan (esim. valtion obligaatio). Tällöin tuotto on joko r u tai r d osakkeen loppuhinnan mukaan. Vrt. [12, s. 327]. Tapaus r d < u käsitellään samalla tavalla. Nyt osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa vähintään yhtä hyvä kuin lainan tuotto, joten arbitraasi muodostetaan ottamalla laina riskittömällä korolla r ja sijoittamalla rahat osakkeeseen. Tuotto on joko u r tai d r osakkeen loppuhinnan mukaan. Seuraavaksi paneudutaan osto-option hinnoitteluun yhden askeleen binomimallin avulla. Oletetaan, että osakkeille ei makseta osinkoja, jolloin eurooppalaisen ja amerikkalaisen option käsittelyllä ei ole eroa. Optiotyyppien eroja on tarkasteltu tarkemmin lähteessä [12, s ]. Vaikka jatkossa keskitytään ainoastaan osto-optioon, pienillä muutoksilla käsittely voidaan laajentaa käsittämään useita muita johdannaisia. Oletetaan, että osto-optio erääntyy yhden periodin kuluttua. Tämän option kohde-etuutena on edellä mainittu osake, jonka hinta noudattaa edellä esitettyä mallia. Olkoon C osto-option arvo hetkellä t. Jos periodin lopussa osakkeen hinta on us, olkoon option arvo C u hetkellä t+1. Jos osakkeen hinta on periodin lopussa ds, olkoon option arvo C d hetkellä t + 1. Kun K on osto-option lunastushinta, option arvon kaavasta (2.1) seuraa C u = max[0, us K] ja (3.1) C d = max[0, ds K]. (3.2) Vrt. [3, s ]. Osto-option arvonmuutos on havainnollistettu kuvassa 6. C q C u = max[0, us K] 1 q C d = max[0, ds K] Kuva 6: Osto-option hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 233]. 9

13 Kun arbitraasia ei ole, voidaan rakentaa replikoiva salkku, jonka loppuarvo on sama kuin osto-option. Se sisältää osaketta ja B euron arvosta riskittömiä obligaatioita. Vrt. [12, s. 329]. Obligaatiota käytetään kuvaamaan sijoitusta riskittömään korkokantaan. Koska option ja salkun loppuarvot ovat yhtäsuuret, on oltava us + rb = C u ja (3.3) ds + rb = C d. (3.4) Seuraavaksi ratkaistaan muuttuja vähentämällä yhtälö (3.4) yhtälöstä (3.3). us + rb ( ds + rb) = C u C d (us ds) = C u C d = C u C d (u d)s. (3.5) Sijoittamalla yhtälöstä (3.5) saatu muuttuja yhtälöön (3.3), joka on ratkaistu muuttujalle B, saadaan B = C u us r = C u u Cu C d u d r u d u d = C u u Cu C d u d = uc u dc u u d r ucu uc d u d r = uc d dc u (u d)r. (3.6) Kun ja B valitaan tällä tavoin, kutsutaan salkkua suojautumissalkuksi (hedging portfolio). Vrt. [3, s ]. 10

14 Koska arbitraasia ei ole, on oltava C = S + B (3.7) = C u C d u d ( r = r ) Cu C d u d + uc d dc u (u d)r + uc d dc u (u d)r = rc u rc d + uc d dc u (u d)r = rc u dc u + uc d rc d (u d)r = pc u + (1 p)c d, (3.8) r missä p = r d, 1 p = u r ja r > 1. Vrt. [3, s. 234]. Yhtälö 3.8 on binomimallilla johdettu yhden askeleen optiohinnoittelukaava. u d u d Jos yhtälö (3.7) ei olisi voimassa, arbitraasi olisi mahdollista. Jos C < S +B, myymällä salkku ja ostamalla osto-optio saavutetaan riskitön tuotto ilman nettoinvestointia. Jos C > S + B, arbitraasi saavutetaan myymällä osto-optio ja ostamalla salkku. Vrt. [3, s. 233]. Mielenkiintoinen seikka yllä esitellyssä optioiden hinnoittelukaavassa on sen yhteys riskineutraaliin hinnoitteluun. Optioiden hinnoittelukaava ei sisällä todennäköisyyttä q. Tämä voi tuntua logiikan vastaiselta, mutta tarkemmin ajateltuna osto-option arvo on saatu sovittamalla täydellisesti yhteen option sekä riskittömän korkokannan ja osakkeen yhdistelmän tuotot, missä todennäköisyydellä q ei ole mitään roolia. Riippumatta yksittäisten sijoittajien näkemyksestä osakkeen hinnannousun todennäköisyydestä, osto-option hinta C voidaan siis perustaa muuttujiin S, u, d ja r. Option arvo ei riipu sijoittajan asenteesta riskiin vaan aiemmin esitetystä oletuksesta, että sijoittajat pitävät suurempaa varallisuutta pienempää parempana ja tästä johtuen hyödyntävät riskittömät arbitraasimahdollisuudet. Optioden hinnoittelukaavan ainoa satunnaismuuttuja on osakkeen hinta S. Vrt. [3, s. 235] & [12, s. 330]. Huomataan kuitenkin, että 0 < p < 1, missä p = r d. Siis muuttujalla p u d on todennäköisyyden ominaisuudet. Itse asiassa p on arvo, jonka muuttuja q saisi, jos sijoittajat olisivat riskineutraaleja. Tässä tapauksessa osakkeen 11

15 odotettu tuotto vastaisi riskitöntä korkokantaa. Siis q(us) + (1 q)(ds) = rs qu + (d qd) = r (u d)q = r d q = r d u d = p. Muuttujaa p kutsutaankin riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. On kuitenkin hyvä huomata, että option tuoton ei odoteta olevan yhtäsuuri kuin riskittömän korkokannan tuotto, vaan luodun suojautumissalkun tuotto. Vrt. [3, s ] & [12, s ]. 3.2 Kahden askeleen binomimalli Seuraavaksi siirrytään yhden askeleen binomimallista useamman askeleen binomimalliin. Askelien lisääminen parantaa option hinnoittelun tarkkuutta. Aloitetaan yksinkertaisimmasta, eli kahden askeleen binomimallista, jossa option lunastusajankohta on kahden periodin kuluttua. Kuvissa 7 ja 8 on määritelty osakkeen ja osto-option hintakehitys kahden askeleen binomimallissa. C uu on option arvo, kun osakkeen hinta on kohonnut molempina periodeina ja näin päätynyt hintaan u 2 S. Luvut C du ja C dd määritellään vastaavasti. Vrt. [3, s ]. S us ds uus = u 2 S dus = uds dds = d 2 S Kuva 7: Osakkeen hinta kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236]. Kahden askeleen binomimallissa osto-option arvo lasketaan yhden askeleen binomimallissa käytetyllä tavalla. Kuitenkin option arvo hetkellä t saadaan selville aloittamalla arvoista hetkellä t + 2 ja etenemällä takaperin arvoon hetkellä t + 1 ja edelleen hetkellä t. Hetkellä t + 2 option osakkeen 12

16 hintakehityksestä riippuvat arvot ovat C uu = max[0, u 2 S K], (3.9) C du = max[0, dus K] ja (3.10) C dd = max[0, d 2 S K]. (3.11) Osto-option arvot hetkellä t + 1 voidaan laskea yhden askeleen binomimallin optioiden hinnoittelukaavan (3.8) avulla. C u = pc uu + (1 p)c ud r ja (3.12) C d = pc du + (1 p)c dd, (3.13) r missä p on riskineutraali todennäköisyys. Option arvo hetkellä t lasketaan käyttämällä yhtälöä (3.8) vielä kerran. Näin saadaan Vrt. [12, s. 330]. C = pc u + (1 p)c d. (3.14) r C C u C d C uu = max[0, u 2 S K] C du = max[0, dus K] C dd = max[0, d 2 S K] Kuva 8: Osto-option arvo kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236]. Nyt osto-option nykyarvo hetkellä t saadaan sijoittamalla yhtälöön (3.14) option arvot hetkellä t+1 yhtälöistä (3.12) ja (3.13), ja edelleen sijoittamalla 13

17 tähän option arvot hetkellä t + 2 yhtälöistä (3.9) (3.11). C = pc u + (1 p)c d r = p pcuu+(1 p)c ud r + (1 p) pc du+(1 p)c dd r r = p2 C uu + 2p(1 p)c du + (1 p) 2 C dd r 2 = p2 max[0, u 2 S K] + 2p(1 p) max[0, dus K] r 2 + (1 p)2 max[0, d 2 S K] r 2. (3.15) Vrt. [3, s ]. Riskineutraali hinnoittelu toimii myös kahden askeleen binomimallissa. Muuttujat p 2, 2p(1 p) ja (1 p) 2 ovat riskineutraalit todennäköisyydet option arvoille hetkellä t + 2. Vrt. [7, s. 208]. Yhtälöön (3.8) liittyvät huomiot pätevät myös yhtälöön (3.15). Erona kahden askeleen binomimallin optioden hinnoittelu kaavassa on se, että uutena muuttujana huomioon on otettava myös option erääntymiseen jäljellä olevan periodien määrä n, jonka arvo on tässä tapauksessa 2. Kaikki option arvon C määräävät muuttujat ovat siis S, K, r, u, d ja n. Vrt. [3, s. 238]. 3.3 Useamman askeleen binomimalli Kahden askeleen binomimallista voidaan siirtyä useamman askeleen binomimalliin käyttämällä rekursiivista päättelyä. Useamman askeleen binomimallista on esimerkki kuvassa 9. Replikoivan salkun arvo noudattaa option arvoa. Aloittamalla option erääntymishetkestä ja etenemällä takaperin voidaan johtaa universaali optioden hinnoittelukaava jokaiselle muuttujan n arvolle: C = nj=0 ( n! j!(n j)! )pj (1 p) n j max[0, u j d n j S K] r n. (3.16) Vrt. [3, s. 238]. Useamman askeleen optiohinnottelukaava saadaan käyttökelpoisempaan muotoon muokkaamalla yhtälöä (3.16) hieman. Olkoon a minimimäärä hinnannousuja, joka osakkeen on tehtävä seuraavan n periodin aikana, jotta ostooptiolla olisi reaaliarvoa erääntymispäivänä, eli se olisi plusoptio. Tällöin a on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, jolla on voimassa u a d n a S > K. Ot- 14

18 tamalla luonnollinen logaritmi molemmilta puolilta epäyhtälöä, saadaan ln(u a d n a S) > ln K a ln u + (n a) ln d + ln S > ln K a ln u a ln d + n ln d + ln S > ln K a(ln u ln d) + ln Sd n > ln K a ln u d > ln K ln Sdn a > ln K Sd n ln u. d Nyt a voidaan kirjoittaa pienimpänä ei-negatiivisena kokonaislukuna, joka on suurempi kuin (ln K )/(ln u ). Vrt. [3, s. 238]. Sd n d S u 3 S u 2 S us u 2 ds uds ds ud 2 S d 2 S d 3 S u 4 S u 3 ds u 2 d 2 S ud 3 S d 4 S Kuva 9: Osakkeen hinta useamman askeleen binomimallissa. Vrt. [7, s. 394]. Jokaista j < a kohti, max[0, u j d n j S K] = 0, ja jokaista j a kohti, max[0, u j d n j S K] = u j d n j S K. Siis, C = nj=a ( n! j!(n j)! )pj (1 p) n j (u j d n j S K) r n. (3.17) 15

19 Jos a > n, osto-optio on miinusoptio, eli sillä ei ole reaaliarvoa erääntymispäivänä vaikka osake nousisi joka periodilla, joten osakkeen tämänhetkinen arvo täytyy olla nolla. Vrt. [3, s ]. Jakamalla C kahteen termiin saadaan ( ) ( n n! C =S u p j (1 p) n j j d n j ) j!(n j)! r n j=a ( n Kr n j=a n! j!(n j)! ) p j (1 p) n j. (3.18) Nyt jälkimmäinen suluissa oleva esitys on komplementäärinen binomijakaumafunktio Φ[a; n, p] (binomijakaumafunktio tarkoittaa binomijakauman kertymäfunktiota). Ensimmäinen suluissa oleva esitys voidaan myös tulkita binomijakauman kertymäfunktioksi Φ[a; n, p ], missä p = u r p ja 1 p = d (1 p). r Koska 0 < p < 1, niin p on todennäköisyys. Huomaa, että p < r u ja ( u p j (1 p) n j j d n j ) ( ) ( ) u j n j d = r p r (1 p) = p j (1 p ) n j. r n Vrt. [3, s. 239]. Siis useamman askeleen binomimallilla saatu optiohinnoittelukaava on missä C = SΦ[a; n, p ] Kr n Φ[a; n, p], (3.19) p = r d, p = u u d r p ja a = pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin ln K Sd n ln u. d Jos a > n, niin C = 0. Vrt. [3, s. 239]. 4 Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli 4.1 Taustatiedot Tässä luvussa esitellään taustatietoja Black-Scholes-optiohinnoittelumallin ja sen todistusten ymmärtämiseksi. Aluksi määritellään osakkeen hinnan 16

20 prosessi käyttäen apuna muiden prosessien määritelmiä. Kaiken pohjana on stokastinen prosessi, joka on diskreetti tai jatkuva indeksoitu satunnaismuuttujien kokoelma [15, s. 108]. Luvun lopussa esitellään Black-Scholesdifferentiaaliyhtälön keskeinen aputulos, Itôn lemma, sekä osakkeen hinnan lognormaalisuus Martingaalit Martingaalit ovat keskeinen osa modernia finanssiteoriaa. Martingaaliteorian laajuuden vuoksi tässä luvussa keskitytään käsittelemään ainoastaan tutkielman kannalta kiinnostavia tietoja. Martingaaliteoria luokittelee havaitut aikasarjat niiden trendien mukaan. Stokastinen prosessi käyttäytyy kuten martingaali, jos siinä ei esiinny havaittavia trendejä tai jaksollisuutta. Vrt. [15, s. 120]. Oletetaan, että havaitaan satunnaismuuttujakokoelma, joka on indeksoitu aikaindeksillä t. Käsitellään jatkuvia stokastisia prosesseja. Olkoon {S t, t [0, ]} havaittu prosessi ja {I t, t [0, ]} kokoelma informaatiojoukkoja, jotka tulevat tietoon jatkuvasti ajan kuluessa. Käytännössä informaatiota I t voidaan pitää esimerkiksi informaationa, joka on saatavilla finanssimarkkinoiden hinnoista hetkellä t. Kun s < t < T, tämä informaatiojoukkokokoelma toteuttaa ehdon I s I t I T... (4.1) Joukkoa {I t, t [0, ]} kutsutaan filtraatioksi. Vrt. [15, s. 120]. Valitaan sellainen jono {t i }, että 0 = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k = T (4.2) kuvastaa aikajaksoja jatkuvalla aikavälillä [0, T]. Symbolilla t 0 kuvataan alkupistettä ja symbolilla t k loppupistettä. Nyt kun k ja (t i t i 1 ) 0 kaikilla i = 1,..., k, aikaväli [0, T] jakautuu yhä pienempiin osiin. Vrt. [15, s. 120]. Olkoon S t satunnainen hintaprosessi äärellisellä aikavälillä [0, T]. Määrätyllä hetkellä t i hintaprosessin arvo on S ti. Jos hintaprosessin arvo S t kuuluu informaatiojoukkoon I t jokaisella t 0, niin sanotaan, että prosessi {S t, t [0, T]} sopii filtraatioon {I t, t [0, T]}. Siis arvo S t tunnetaan, kun informaatiojoukko I t on annettu. Vrt. [15, s. 120]. Käyttämällä eri informaatiojoukkoja voidaan tuottaa eri ennusteita prosessista {S t }. Näiden ennusteiden ilmaisussa käytetään ehdollisia odotusarvoja. Erityisesti, E t [S t ] = E [S t I t ], t < T, (4.3) 17

21 on muodollinen tapa merkitä tulevan arvon ennustetta käyttäen saatavissa olevaa informaatiota hetkellä t. Vrt. [15, s. 121]. Määritelmä 4.1. [15, s. 121] Prosessia {S t, t [0, ]} kutsutaan martingaaliksi filtraation {I t } ja todennäköisyyden P suhteen, jos jokaisella luvulla t > 0 1. S t tunnetaan, kun I t on annettu (S t on I t -sopiva), 2. ehdottomat ennusteet ovat äärellisiä: E [S t ] <, (4.4) 3. paras ennuste tulevista arvoista on viimeinen saatu arvo S t : todennäköisyydellä 1. E t [S T ] = S t jokaisella t < T, (4.5) Kaikki odotusarvot E [ ], E t [ ] lasketaan todennäköisyyden P suhteen. Havainnollistetaan martingaalin määritelmää esimerkin avulla. Olkoon S t martingaali ja E t [S t+u S t ] = E t [S t+u ] E t [S t ] (4.6) ennuste prosessin S t muutoksesta välillä [t, t + u], missä u > 0. Koska martingaalin määritelmän kohdan 1 mukaan S t on I t -sopiva, E t [S t ] = S t. Lisäksi, martingaalin määritelmän kohdan 3 mukaan, jos S t on martingaali, niin E t [S t+u ] = S t. Siis E t [S t+u S t ] = 0. (4.7) Vrt. [15, s. 121]. Edellisestä esimerkistä voidaan huomata martingaaliprosessien keskeinen ominaisuus: martingaalien liikettä on mahdotonta ennustaa. On hyvä muistaa, että martingaalit määritellään aina suhteessa tiettyyn informaatiojoukkoon ja todennäköisyyteen. Näitä muuttamalla voidaan ei-martin-gaalista prosessista tehdä martingaali ja päin vastoin. Vrt. [15, s ] Markov-prosessi Markov-prosessi on sellainen stokastinen prosessi, jono satunnaismuuttujia, jossa muuttujan tulevat arvot riippuvat ainoastaan muuttujan tämänhetkisestä arvosta. Aiemmat arvot ja aiempi arvon kehitys ovat prosessin kannalta merkityksettömiä. Vrt. [15, s. 109]. 18

22 Osakkeiden hintojen oletetaan yleisesti noudattavan Markov-prosessia. Eugene Faman muotoilema markkinoiden heikko tehokkuus (weak form of market efficiency) sanoo, että osakkeen tämänhetkinen hinta sisältää kaiken tiedon osakkeen menneistä hinnoista. Jos näin ei olisi, käyttämällä hyväksi osakkeen historiatietoja taitava analyytikko voisi jatkuvasti saavuttaa keskiarvoa parempia tuottoja. Tällaisesta toiminnasta ei kuitenkaan ole pitkäkestoisia havaintoja. Vrt. [7, s ]. Seuraavaksi annetaan Markov-prosessin matemaattinen määritelmä. Ensin täytyy kuitenkin määritellä termit sigma-algebra sekä todennäköisyysavaruus. Määritelmä 4.2. [18, s. 9] Kokoelma F joukon Ω osajoukkoja on sigmaalgebra, jos 1. Ω F, 2. A F A c F, 3. A n F kaikilla n N A n F. Määritelmä 4.3. [17, s. 30] Todennäköisyysavaruus (Ω, F, P) sisältää kolme objektia 1. Ω on epätyhjä joukko, jota kutsutaan otosavaruudeksi. Se sisältää kaikki mahdolliset satunnaiskokeesta saadut ratkaisut. 2. F on otosavaruuden Ω osajoukkojen sigma-algebra. 3. P on parille (Ω, F) määriteltävä todennäköisyys (kutsutaan myös todennäköisyysmitaksi). P on siis funktio, joka antaa jokaiselle joukolle A F luvun P(A) [0, 1], joka edustaa todennäköisyyttä, että satunnaiskokeen ratkaisu sisältyy joukkoon A. Määritelmä 4.4. [17, s. 70] Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus ja {F k } n k=0 filtraatio sigma-algebralla F. Olkoon lisäksi {X k } n k=0 todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P) stokastinen prosessi. Tämä prosessi on Markov 3, jos 1. stokastinen prosessi {X k } sopii filtraatioon {F k }, ja 2. (Markov-ominaisuus) jokaisella k = 0, 1,..., n 1 satunnaismuuttujan X k+1 jakauma ehdolla F k on sama kuin ehdolla X k. 3 Markov-prosessiin liittyvä tekninen oletus: Käsitellään ainoastaan joukon R ja sen osajoukkojen funktioita, jotka ovat Borel-mitallisia. Siis käsitellään ainoastaan joukon R osajoukkoja A, jotka ovat joukossa B, ja funktioita g : R R, joilla g 1 : B B. Vrt. [17, s. 70]. Tarkemmin Borel-joukoista esimerkiksi [18, s. 11]. 19

23 4.1.3 Wiener-prosessi Wiener-prosessi 4 on Markov-prosessi, jonka muutoksen odotusarvo on 0 ja yhdessä aikayksikössä tapahtuvan muutoksen varianssi 1. Muutoksen tiheysfunktio on φ(0, 1), missä φ(µ, σ) on normaalijakauman tiheysfunktio odotusarvolla µ ja keskihajonnalla σ. Vrt. [7, s ]. Määritelmä 4.5. [15, s. 177] Wiener-prosessi z t, filtraation {I t } suhteen on sellainen stokastinen prosessi, jossa seuraavat ehdot täyttyvät. 1. Wiener-prosessi z t on neliöintegroituva martingaali 5 ja z 0 = 0. Lisäksi E [(z t z s ) 2 ] = t s, s t. 2. Wiener-prosessin z t kuvaaja on jatkuva pisteessä t. Käytettäessä martingaaleihin perustuvaa määritelmää Wiener-prosessin todennäköisyysjakauman normaalius seuraa määritelmän oletuksista Lévyn lauseen 6 mukaan. Wiener-prosessi voidaan myös määritellä sen ominaisuuksien mukaan. Muuttuja z noudattaa Wiener-prosessia, jos sillä on seuraavat ominaisuudet. 1. Muutos δz lyhyen ajanjakson δt aikana on δz = ǫ t δt, (4.8) missä ǫ t on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta φ(0, 1). 2. Muutoksen δz arvot millä tahansa kahdella eri lyhyellä aikavälillä δt ovat toisistaan riippumattomia. Nyt ensimmäisestä ominaisuudesta seuraa, että muutoksella δz on normaalijakauma, jonka odotusarvo on 0, keskihajonta on δt, varianssi on δt. 4 Osa kirjallisuudesta käyttää Wiener-prosessista termiä Brownin liike. Lévyn lauseen mukaan näillä kahdella prosessilla ei ole tässä yhteydessä eroa. Lisää tietoa aiheesta löytyy esimerkiksi lähteestä [15, s ]. 5 Neliöintegroituvan martingaalin erityisominaisuus on, että sen varianssi on äärellinen. Tarkempi käsittely löytyy esimerkiksi lähteestä [9]. 6 Esimerkiksi [4, s ] tarkastelee Lévyn lausetta tarkemmin. 20

24 Toisesta ominaisuudesta seuraa, että muuttuja z noudattaa Markov-prosessia. Vrt. [7, s. 218]. Matematiikassa yleisesti edetään pienistä muutoksista, joita merkitään edellä symbolilla δ, raja-arvoihin, kun muutokset lähestyvät nollaa. Stokastisten prosessien kanssa voidaan menetellä samoin. Wiener-prosessi määritellään raja-arvona, kun δt 0 yllä kuvaillussa prosessissa muuttujalle z. Vrt. [7, s. 219]. Wiener-prosessi voidaan siis muodollisesti kuvata yhtälöllä dz = ǫ t dt. Satunnaismuuttujat ǫ t ja ǫ s ovat korreloimattomia aina, kun t s. Vrt. [12, s. 306]. Wiener-prosessin pohjalta voidaan rakentaa kokoelma yleisempiä prosesseja. Yksinkertaisin laajennus, yleistetty Wiener-prosessi, on muotoa dx = adt + bdz, (4.9) missä x on satunnaismuuttuja ja a ja b ovat vakioita. Lukua a sanotaan suuntakertoimeksi. Suuntakerroin kuvastaa muuttujan arvonkehityksen yleistä trendiä, kun taas varianssi on satunnainen muutos trendin ympärillä. Yllä kuvaillun Wiener-prosessin dz suuntakerroin on nolla. Tämä on selvää, koska myös prosessin odotusarvo on nolla. Vrt. [7, s. 219]. Ensimmäinen termi yhtälön oikealla puolella kuvastaa suuntakerrointa ja toinen termi häiriöitä suuntakertoimen määräämällä reitillä. Koska tämä häiriö on b kertaa Wiener-prosessi ja Wiener-prosessin keskihajonta on 1 hetkellä 1, on häiriön keskihajonta b hetkellä 1. Ilman häiriötekijää yhtälö on dx = adt, mistä seuraa, että dx dt = a. Kun yhtälö integroidaan ajan suhteen, saadaan x = x 0 + at, missä x 0 on muuttujan x arvo hetkellä nolla. Jos ajanjakson pituus on T, kasvaa muuttujan x arvo summalla at. Vrt. [7, s. 219]. Muuttujan x muutos δx lyhyellä aikavälillä δt seuraa yhtälöistä (4.8) ja (4.9): δx = aδt + bǫ t δt. 21

25 Koska ǫ t on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta, muutoksella δz on normaalijakauma, jonka odotusarvo on aδt, keskihajonta on b δt, varianssi on b 2 δt. Yleistetyn Wiener-prosessin suuntakerroin on a ja sen varianssiparametri (häiriö) on b 2. Vrt. [7, s ] Itô-prosessi Rahoitusomaisuuden liikkeiden kuvaamisessa käytetään usein Itô-prosessia. Se on yleistetty Wiener-prosessi, jossa parametrit a ja b ovat funktioita muuttujan x ja ajan t suhteen. Itô-prosessi voidaan ilmaista yhtälönä dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz. (4.10) Itô-prosessin suuntakertoimen sekä varianssiparametrin tulisi muuttua ajan kuluessa. Lyhyellä aikavälillä (t, t + δt) muuttuja x kehittyy arvoon x + δx, missä δx = a(x, t)δt + b(x, t)dz. Suuntakertoimen a(x, t) ja varianssiparametrin b(x, t) 2 oletetaan pysyvän vakioina aikavälillä (t, t + δt). Vrt. [7, s. 222] & [12, s. 308] Osakkeen hinnan prosessi Edellä esiteltyjen prosessien kautta päästään lopulta määrittelemään prosessi, jota käytetään osakkeiden hintojen kuvaamiseen. Esimerkiksi yleistetty Wiener-prosessi ei kykene ottamaan huomioon osakkeen hinnan kannalta tärkeää ominaisuutta, sijoittajan edellyttämää tuottoa. Jos sijoittaja edellyttää 10 prosentin tuottoa, kun osakkeen hinta on 10 euroa, edellyttää hän 10 prosentin tuottoa myös, kun osakkeen hinta on 100 euroa. Tästä johtuen oletus vakiona pysyvästä suuntakertoimesta on hylättävä. Uusi oletus on, että edellytetty tuotto (suuntakerroin jaettuna osakkeen hinnalla) on vakio. Vrt. [7, s. 222]. Jos osakkeen hinnan volatiliteetti asetetaan (pysyvästi) nollaksi seuraa, että ds = µsdt 22

26 tai ds S = µdt. Kun nyt otetaan integraali aikavälin [0, T] yli, saadaan T 0 / 0 T 1 T S ds = 0 ln S = / 0 T µ dt µt ln S T ln S 0 = µt µ0 ( ) ST ln = µt S 0 S T S 0 = e µt S T = S 0 e µt, (4.11) missä S 0 on osakkeen hinta hetkellä 0 ja S T on osakkeen hinta hetkellä T. Yhtälöstä (4.11) nähdään, että varianssin ollessa nolla osakkeen hinta kasvaa jatkuvasti maksettavalla korkoasteella µ aikayksikköä kohden. Vrt. [7, s. 222]. Koska käytännössä osakkeen hinta kuitenkin vaihtelee satunnaisesti, oletetaan, että prosentuaalisen tuoton stokastisen muutoksen odotusarvo lyhyellä aikavälillä δt pysyy vakiona riippumatta osakkeen hinnasta. Muutoksen keskihajonnan tulisi lyhyellä aikavälillä δt olla suoraan verrannollinen osakkeen hintaan. Tämä johtaa malliin ds = µsdt + σsdz (4.12) tai ds = µdt + σdz, (4.13) S missä muuttuja σ on osakkeen hinnan volatiliteetti ja muuttuja µ on osakkeen odotettu tuottoaste. Yhtälö (4.13) on suosituin osakkeen hinnan kuvaamiseen käytetty malli. Yleisesti tällaista mallia kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Vrt. [7, s. 223] & [12, s ] Itôn lemma Nyt tiedetään, että osakeoption hinta määräytyy ajan sekä kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan funktiona. Johdannaisten hinnan voidaan yleistäen sanoa määräytyvän johdannaisen perustana olevien stokastisten prosessien 23

27 sekä ajan funktiona. Seuraavaksi tarkastellaan stokastisten funktioiden kannalta tärkeää tulosta, Itôn lemmaa 7. Vrt. [7, s. 226]. Oletetaan, että muuttuja x noudattaa Itô-prosessia dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, (4.14) missä dz on Wiener-prosessi ja a ja b ovat muuttujan x ja ajan t funktioita. Muuttujan x suuntakerroin on a ja varianssiparametri b 2. Itôn lemma osoittaa, että muuttujan x ja ajan t funktio G noudattaa prosessia dg = ( G x a + G t ) G 2 x 2 b2 dt + G b dz, (4.15) x missä dz on sama Wiener-prosessi kuin yhtälössä (4.14). Funktio G noudattaa siis Itô-prosessia. Sen suuntakerroin on ja varianssiparametri G x a + G t G 2 x 2 b2 ( ) 2 G b 2. x Vrt. [7, s. 226]. Vaikka Itôn lemman yksityiskohtainen todistus ei ole option hinnan määrityksen kannalta tässä yhteydessä välttämätön, on sen idea hyvä ymmärtää. Lemma voidaan nähdä differentiaalilaskennan tunnettujen tulosten laajennuksena. Olkoon G muuttujan x jatkuva ja derivoituva funktio. Jos δx on pieni muutos muuttujassa x ja δg on siitä seuraava pieni muutos funktiossa G, niin Taylorin 8 sarjan approksimaation mukaan δg dg δx. (4.16) dx Tämän approksimaation virhe sisältää astetta δx 2 olevia termejä. Mikäli funktion δg arviota halutaan tarkentaa, voidaan käyttää Taylorin sarjakehitelmää: δg = dg dx δx + 1 d 2 G 2 dx 2 δx2 + 1 d 3 G 6 dx 3 δx3 + Vrt. [7, s. 232]. 7 Itôn lemman kehitti Kiyosi Itô vuonna Katso alkuperäinen julkaisu [8]. 8 Brook Taylor, englantilainen matemaatikko Tarkemmin Taylorin sarjakehitelmästä esimerkiksi lähteessä [10, s. 108]. 24

28 Nämä tulokset voidaan myös laajentaa kahden muuttujan x ja y jatkuvalle ja derivoituvalle funktiolle G. Yhtälöä (4.16) vastaava tulos on δg G G δx + x y δy ja funktion δg Taylorin sarjakehitelmä δg = G G δx + x y δy G 2 x 2 δx2 + 2 G x y δxδy G 2 y 2 δy2 + (4.17) Kun δx ja δy lähestyvät nollaa, yhtälöstä (4.17) saadaan dg = G G dx + dy. (4.18) x y Vrt. [7, s. 232]. Edellä esitetty yhtälö (4.18) voidaan nyt laajentaa kattamaan funktioita, joiden muuttujat noudattavat Itô-prosesseja. Olkoon x muuttuja, joka noudattaa yhtälön (4.18) Itô-prosessia, siis dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz (4.19) ja olkoon G muuttujan x ja ajan t funktio. Vastaavasti kuin yhtälö (4.17), voidaan nyt kirjoittaa δg = G G δx + x t δt G 2 x 2 δx2 + 2 G x t δxδt G 2 t 2 δt2 + (4.20) Yhtälö (4.19) voidaan esittää epäjatkuvassa muodossa δx = a(x, t)δt + b(x, t)ǫ δt tai jättämällä argumentit merkitsemättä muodossa δx = aδt + bǫ δt. (4.21) Vrt. [7, s. 232]. Tämä yhtälö paljastaa tärkeän eron yhtälöiden (4.20) ja (4.17) välillä. Kun rajaavien muuttujien avulla siirryttiin yhtälöstä (4.17) yhtälöön (4.18), astetta δx 2 olevat termit sivuutettiin, koska ne olivat toisen asteen termejä. Yhtälöstä (4.21) saadaan δx 2 = b 2 ǫ 2 δt + korkeampaa astetta olevia δt-termejä. (4.22) 25

29 Tästä huomataan, ettei yhtälön (4.20) termiä, jossa esiintyy δx 2 (siis termiä 1 2 G δx 2 ) voida sivuuttaa, koska se sisältää ensimmäistä astetta olevan δttermin. Vrt. [7, s ]. 2 x 2 Standardinormaalijakauman varianssi on 1. Siis E (ǫ 2 ) [E (ǫ)] 2 = 1, missä E tarkoittaa odotusarvoa. Koska E (ǫ) = 0, seuraa, että E (ǫ 2 ) = 1. Nyt E (ǫ 2 δt) = E (ǫ 2 )δt = δt. Siis termin ǫ 2 δt odotusarvo on δt. Voidaan osoittaa, että termin ǫ 2 δt varianssi on astetta δt 2 ja että sen seurauksena termiä ǫ 2 δt voidaan käsitellä ei-stokastisena. Se lähenee odotusarvoaan, δt, kun δt lähenee nollaa. Yhtälöstä (4.22) seuraa, että termistä δx 2 tulee ei-stokastinen ja yhtäsuuri kuin b 2 dt, kun δt lähenee nollaa. Kun δx ja δt lähestyvät nollaa yhtälössä (4.20) ja käytetään viimeistä tulosta, saadaan dg = G G dx + x t dt G 2 x 2 b2 dt. (4.23) Tämä on Itôn lemma. Se saadaan muokattua tutumpaan muotoon korvaamalla termi dx yhtälöllä (4.19). Näin yhtälöstä (4.23) tulee Vrt. [7, s. 233]. dg = G G dx + x t dt G 2 = G G (a dt + b dz) + = ( x G x a + G t x 2 b2 dt t dt ) G x 2 b Osakkeen hinnan lognormaalisuus 2 G x 2 b2 dt dt + G x b dz. Kuten aiemmin todettiin, osakkeen hinnan oletetaan seuraavan stokastista prosessia, jota kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Tästä oletuksesta seuraa, että osakkeen hinnan hajonta on lognormaali. Olkoon osakkeen hinnan prosessi siis yhtälössä (4.12) esitetty ds = µsdt + σsdz. Itôn lemmasta seuraa, että muuttujien S ja t funktio G noudattaa prosessia ( G G dg = µs + S t ) G 2 S 2 σ2 S 2 dt + G σs dz, (4.24) S 26

30 missä dz on sama Wiener-prosessi kuin yllä olevassa osakkeen hinnan prosessissa. Määritellään G = ln S. Tällöin G S = 1 S, 2 G S = 1 2 S, G 2 t = 0. Sijoittamalla nämä yllä olevaan yhtälöön (4.24) seuraa, että funktion G noudattama prosessi on ( ) dg = µ σ2 dt + σdz. 2 Vrt. [7, s ]. Koska odotusarvo µ ja keskihajonta σ ovat vakioita, noudattaa silloin funktio G = ln S yleistettyä Wiener-prosessia. Sen suuntakerroin on µ σ2 2 ja varianssiparametri σ 2, molemmat vakioita. Funktion ln S muutos hetken nolla ja tulevan hetken T välillä noudattaa siten normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on (µ σ2 )T ja varianssi 2 σ2 T. Tämä tarkoittaa, että ln S T ln S 0 φ [( µ σ2 2 ) T, σ T ] tai vastaavasti ln S T φ [ ln S 0 + ( µ σ2 2 ) T, σ T ], (4.25) missä S T on osakkeen hinta tulevana hetkenä T, S 0 osakkeen hinta hetkellä nolla ja φ(m, s) merkitsee normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on m ja keskihajonta s. Yhtälöstä (4.25) nähdään, että funktio ln S T noudattaa normaalijakaumaa. Tästä seuraa, että osakkeen hinnan prosessi, siis osakkeen hinta tulevana hetkenä T, noudattaa lognormaalia jakaumaa. Vrt. [7, s ]. Lognormaalijakauma on oikealle vino jakauma. Sen keskiarvo, moodi ja mediaani ovat kaikki erisuuria. Kun osakkeen hinnan todellista käyttäytymistä ajatellaan tarkemmin, on sen lognormaalisuus aivan looginen. Muuttuja, joka noudattaa lognormaalia jakaumaa, ei voi saada nollaa pienempiä arvoja, mutta ylärajaa arvoilla ei ole. Osakkeen hinnan tapauksessa nousu voi periaatteessa olla rajatonta, mutta osakkeen hinta ei voi koskaan olla negatiivinen. Osakkeen omistaja ei ole vastuussa yhtiön veloista tai muista maksuvelvotteista konkurssin sattuessa, joten osakkeen haltijan riski rajoittuu yhtiöön sijoitettuun pääomaan. 27

31 Yhtälöstä (4.25) ja lognormaalijakauman ominaisuuksista voidaan osoittaa, että osakkeen hinnan odotusarvo on E (S T ) = ( = e ln S 0+ σ2 e µ+ 2 µ σ2 2 σ2 µt = S 0 e 2 T + σ2 2 T )T + (σ T ) 2 2 = S 0 e µt, (4.26) missä µ on normaalijakaumaa noudattavan muuttujan ln S T odotusarvo ja σ sen keskihajonta, jotka saadaan yhtälöstä (4.25). Muuttuja µ määriteltiin aiemmin osakkeen odotetuksi tuottoasteeksi, mikä sopii hyvin yllä olevaan tulokseen. Vrt. [7, s. 236] & [16]. 4.2 Black-Scholes-differentiaaliyhtälö Black-Scholes-optiohinnoittelumalli on yksi modernin rahoitusteorian tärkeimmistä askelista. Sen julkaisu synnytti valtavan määrän tutkimusta ja itse asiassa Black-Scholes-hinnoittelumalli edelsi myös edellä esiteltyä optioden hinnoitteluun käytettävää binomimallia, joka onkin sen yksinkertaistus. Black-Scholes-mallin logiikka on käsitteellisesti sama kuin binomimallin: jokaisella hetkellä kahdesta arvopaperista rakennetaan salkku (portfolio), joka jäljittelee johdannaisen sen hetkistä käyttäytymistä. Tässä luvussa esitetään Black-Scholes-differentiaaliyhtälö, jonka avulla johdetaan seuraavassa luvussa Black-Scholes-optiohinnoittelukaava. Vrt. [12, s. 351]. Black-Scholes-differentiaaliyhtälöllä on seuraavat oletukset: 1. Osakkeen hinta noudattaa aiemmin esitettyä yhtälöä (4.12), missä odotusarvo µ ja keskihajonta σ ovat vakioita. 2. Arvopaperin lyhyeksi myynti ja siitä saatujen tuottojen vapaa käyttö on sallittu. 3. Kaupankäyntikuluja ja veroja ei oteta huomioon. Kaikki arvopaperit ovat täydellisesti jaettavissa. 4. Johdannaisen voimassaoloaikana ei makseta osinkoja. 5. Riskittömiä arbitraasimahdollisuuksia ei ole. 6. Arvopapereiden kaupankäynti on jatkuvaa. 7. Riskitön korkokanta r on vakio ja se tunnetaan. 28

32 Vrt. [7, s. 242]. Seuraavaksi johdetaan Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Yhtälön johtaminen perustuu luvussa 3.1 käytettyyn replikoivan salkun luomiseen. Alla olevassa todistuksessa salkku rakennetaan sisältämään osakkeita sekä riskittömiä obligaatioita. Vaihtoehtoinen todistus toisenlaisella salkulla on esitetty liitteessä A. Olkoon osakkeen hinnan prosessi yhtälön (4.12) mukaisesti ds = µsdt + σsdz. (4.27) Olkoon f osakkeen hinnasta S riippuvan johdannaisen hinta, joka on hinnan S ja ajan t funktio. Nyt Itôn lemmasta johdetusta yhtälöstä (4.24) saadaan df = ( f f µs + S t ) f S 2 σ2 S 2 dt + f σs dz, (4.28) S joka on johdannaisen hinnan Itô-prosessi. Hinta vaihtelee satunnaisesti osakkeen hinnan S ja Brownin-liikkeen dz mukaan. Vrt. [7, s ] & [12, s. 354]. Muodostetaan osakkeita S ja riskittömiä obligaatioita B sisältävä salkku, joka replikoi johdannaisen käyttäytymistä. Tämä tehdään niin, että jokaisella hetkellä t valitaan määrä x t osakkeita ja määrä y t obligaatioita, jolloin koko salkun arvo on G = x t S + y t B. (4.29) Määrät x t ja y t pyritään valitsemaan siten, että salkku G replikoi johdannaisen arvoa f. Salkun arvon osakkeen hinnan muutoksista johtuva hetkellinen nousu on dg = x t ds + y t db. (4.30) Kun osakkeen hinnan prosessin tiedetään seuraavan yhtälöä (4.12) ja obligaation riskitöntä korkokantaa r, saadaan salkun arvon muutokseksi lyhyellä aikavälillä dg = x t ds + y t db = x t (µsdt + σsdz) + y t rbdt = (x t µs + y t rb)dt + x t σsdz. (4.31) Vrt. [12, s. 354]. Koska salkun arvon muutoksen G halutaan käyttäytyvän täsmälleen samoin kuin johdannaisen arvon f, asetetaan muutosten dt ja dz kertoimet 29

33 yhtä suuriksi. Kertoimet saadaan yhtälöistä (4.28) ja (4.31). Asettamalla muutoksen dz kertoimet yhtäsuuriksi saadaan x t σs = f S σs x t = f S. (4.32) Koska vaaditaan, että G = x t S + y t B (yhtälö (4.29)) ja G = f, niin f = x t S + y t B y t B = f x t S y t = 1 B (f x ts) y t = 1 ( f S f ). (4.33) B S Sijoittamalla kertoimet x t ja y t yhtälöistä (4.32) ja (4.33) yhtälöön (4.31) saadaan dg = (x t µs + y t rb)dt + x t σs dz [ f = S µs + 1 ( f S f ) ] rb B S dt + f σsdz. (4.34) S Vrt. [12, s. 354]. Koska yhtälöiden f ja G halutaan olevan yhtä suuret lyhyellä aikavälillä, asettamalla muutoksien dt kertoimet yhtälöistä (4.28) ja (4.34) yhtä suuriksi, saadaan f S µs + 1 ( B ( 1 B f S f ) S f S f ) rb = f S t ( f S f ) r = f S t rb = f f µs + S t f S 2 σ2 S 2 2 f S 2 σ2 S 2, 2 f S 2 σ2 S 2 josta edelleen 9 f t + f S rs f S 2 σ2 S 2 = rf. (4.35) 9 Todistusta on hieman yksinkertaistu, sillä yhtälön (4.30) tulisi sisältää termi x ts+y tb. Tämän summan voidaan kuitenkin osoittaa olevan nolla. 30

Optiot 1. Tervetuloa webinaariin!

Optiot 1. Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 Tervetuloa webinaariin! Optiot 1 on peruskurssi optioista kiinnostuneelle sijoittajalle. Webinaarissa käydään läpi mm. mikä optio on, miten sitä voi käyttää ja mistä kannattaa lähteä liikkeelle.

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 2 Termiini- ja futuurihintojen määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 2 ermiini- ja futuurihintojen määräytyminen 1. ermiinien hinnoittelusta Esimerkki 1 Olkoon kullan spot -hinta $ 300 unssilta, riskitön korko 5 % vuodessa

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot