1 Sovelluksia. Sovelluksia 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Sovelluksia. Sovelluksia 1"

Transkriptio

1 Sovelluksia 1 1 Sovelluksia 1.1 Tausta ja tärkeimpiä määritelmiä Kalvo 1 Aloitetaan tutustumaan luennolla tarkasteltaviin prosesseihin. Tarkempia selityksiä, esimerkiksi Brownin liikkestä, löytyy kertauksesta, jota suositellaan vahvasti opiskeltavaksi ennen kurssia, ja johdannosta. Lisäksi myös kirjallisuudesta kannattaa asiat katsoa ja selvittää itselleen. Luennon johdannon pohjana on ollut John C. Hullin teos Options, Futures and Other Derivatives. Luennon ymmärtämiseksi on kertausluennoista ymmärrettävä hyvin ainakin seuraavat käsitteet ja ominaisuudet: Ehdollinen odotusarvo σ-algebra, filtraatio Kalvo 2 Martingaalit Lisäksi ymmärtämisessä auttaa, jos muutkin asiat ovat jo tuttuja. Tällä luennolla keskeisiä käsitteitä ovat: Stokastinen prosessi on joukko satunnaismuuttujia, jotka saavat erilaisia arvoja ajan muuttuessa jatkuvia diskreettejä Markov prosessi on stokastinen prosessi, jossa ainoastaan nykyinen arvo on relevantti ennustettaessa tulevaisuuden arvoa. Osakkeiden hintaprosessia pidetään usein stokastisena prosessina. Esimerkisi, jos Nokian osakkeen hinta olisi tänään 10 euroa ja haluttaisiin tietään, mitä se on viikon päästä. Ajateltaessa prosessin olevan Markov -prosessi hintaan ei vaikuta hinta eilen tai hinta viikko sitten vain ainoastaan hinta tänään. Näin

2 Sovelluksia 2 Kalvo 3 ajateltaessa osakkeen hinnan jakauma, millä tahansa tulevaisuuden hetkellä, ei ole riippuvainen siitä polusta, jota hinta on seurannut menneisyydessä. Vain tarkasteluhetki on tärkeä. Standardi Brownin liike on useilla eri tieteen aloilla käytetty Markov prosessi, jolla odotusarvo on 0 ja varianssi t, prosessi on jatkuva, ei missään differentioituva ja prosessin lisäyksille W ti W ti 1 pätee E(W ti W ti 1 ) = 0 V ar ( ) W ti W ti 1 = ti t i 1 keskihajonta = V ar ( ) W ti W ti 1 = ti t i 1 Yleistetty Brownin liike voidaan määritellä dx = adt + bdw t, missä W t on Brownin liike. Merkitään usein myös W (t). Termi adt antaa muutokselle suunnan, nyt x kasvaa/vähenee a aikayksikköä kohti. Muuttujaa a kutsutaan kasvukertoimeksi Ensimmäisestä termistä saadaan Kalvo 4 ja integroimalla dx = adt dx dt = a x = x 0 + at ajanjaksolla [0, T ] x kasvaa arvoon x 0 + at Toinen termi bdw t on kohina termi, satunnaisuutta kuvaava termi, missä kohinan määrä on b kertaa Brownin liikkeen muutos. Pienellä aikavälillä δt := t i 1 t i (merkitään pientä väliä nyt δ) muutos δx on δx = aδt + b δtɛ, (1.1)

3 Sovelluksia 3 Kalvo 5 missä ɛ noudattaa standardinormaalijakaumaa ɛ N(0, 1). Tällöin saadaan odotusarvo ja varianssi seuraavasti E(δx) = aδt V ar(δx) = b 2 δt. Kalvo 6 KUVA YLEISTETYSTÄ BM:stä

4 Sovelluksia 4 Kalvo 7 Esimerkki Tarkastellaan tilannetta, jossa yrityksen varallisuus (k e) noudattaa yleistettyä Brownin liike prosessia kasvukertoimella 20 ja varianssilla 900 vuotta kohti. Alkuhetkellä varallisuus on 50 ja vuoden jälkeen varallisuuden odotusarvo on 70 ja hajonta 900 eli 30. Kuuden kuukauden jälkeen varallisuuden odotusarvo on 60 ja hajonta 30 0, 5 = Edellä kuvatunlaisia prosesseja voidaan kutsua myös Ito prosesseiksi. Tällöin yleistetyn Brownin liikkeen kertoimet a ja b ovat funktioita, eli dx = a(x, t)dt + b(x, t)dw t. Pienellä aikavälillä [t, δt] muuttuu prosessi arvosta x arvoon x + δx, missä δx = a(x, t)dt + b(x, t) ɛ. Muutoksen δx arviointi vaatii samanlaista päättelyä, kuin kaavassa (1.1), lisäksi oletetaan, että kasvukerroin ja varianssi pysyvät vakioina, samoina kuin a(x, t) ja b(x, t), ajan muuttuessa hetkestä t hetkeen t + δt. Kalvo Osakkeiden hintojen käyttäytymisen mallintaminen Osakkeen hintaprosessi Osakkeen hintaprosessin voidaan olettaa noudattavan yleistettyä Brownin liikettä, jossa kasvukerroin (usein kutsutaan driftiksi) ja varianssi ovat vakioita. Oletetaan aluksi, että S on osakkeen hinta hetkellä t ja µs on osakkeen kasvunopeus. Toisin sanoen pienellä välillä δt hinnanmuutos on µsδt.

5 Sovelluksia 5 Kalvo 9 Osakkeen hinnan keskihajontaa aikayksikköä kohti kutsutaan osakkeen hinnan volatiliteetiksi. Se on tulevaisuuden hinnan muutosten epävarmuuden mitta. Volatiliteetin arvioimiseen käytetään apuna mm. aikasarja-analyysiä. Jos osakkeen hinnan volatiliteetti on nolla, niin tälloin epävarmuutta ei ole (vakiokorkoiset määräaikaistalletukset yms.) ja malli typistyy muotoon δs = µsδt ja välin pienetessä, kun δt 0 ds = µsdt tai ds S = µdt. Integroimalla nollasta arvoon T saakka saadaan S T = S 0 e µt, missä S 0 ja S T ovat osakkeen hintoja hetkillä nolla ja T. Toisin sanoen kun volatiliteetti on nolla, niin osakkeen hinta kasvaa kasvukertoimen mukaisesti. Kalvo 10 Käytännössä osakkeen hinnoissa on epävarmuutta eli niissä ilmenee volatiliteettiä. Tässä mallissa oletetaan, että hinnat seuraavat kasvukerrointa (odotusarvoa), mutta vaihtelevat sen ympärillä satunnaisesti normaalijakauman mukaisesti. Se, että epävarmuutta kuvataan normaalijakaumalla perustuu keskeiseen raja-arvolauseeseen. Normaalijakaumaa noudattavan satunnaisuuden ottamiseksi mukaan malliin lisäämme yhtälöön uuden termin ds = µsdt + σsdw t,

6 Sovelluksia 6 Kalvo 11 eli ds S = µdt + σdw t. Edelliset yhtälöt ovat käytetyimpiä osakkeen hinnan kehitysta kuvaavia malleja. Mallissa σ on osakkeen hinnan volatiliteetti ja µ on kasvukerroin. Esimerkki 1.1. Tarkastellaan osaketta ilman osto yms. kuluja, vuotuinen volatiliteetti on 30% vuotuinen korko on 15% (jatkuva) eli σ = 0.3 ja µ = Prosessi on ds S = 0.15dt + 0.3dW t. Jos S on osakkeen hinta tietyllä hetkellä ja δt on hinnan kasvu Kalvo 12 seuraavalla pienellä aikavälillä, niin missä ɛ N(0, 1). δs S = 0.15δt δtɛ, Tarkastellaan viikkoa ( vuotta) ja oletetaan, että osakkeen hinta alussa on 100 e. Tällöin δt = , S = 100e ja δs = 100 ( ) e = 0.288e e, josta nähdään, että hinnankasvu viikossa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla 0,288 e ja keskihajonnalla 4.17 e. Osakkeen hinnankehityksen malli tunnetaan geometrisenä Brownin liikkeenä. Kertausluennoissa ko. malli johdettiin osakkeen

7 Sovelluksia 7 hintakehtyksen binomimallista. Mallin diskreettiaikainen versio on eli δs S = µδt + σ δtɛ (1.2) Kalvo 13 δs = µsδt + σs δtɛ. (1.3) Muuttuja δs kuvaa muutosta pienellä aikavälillä δt, ɛ N(0, 1), µ on osakkeen hinnan kasvukerroin aikayksikköä kohti ja σ on osakkeen hinnan volatiliteetti. Kaavassa 1.2 vasen puoli kuvaa osakkeen tuottoa ajan suhteen, ilman osakkeen hinnan vaikutusta, termi µδt on tuoton odotusarvo ja σs δtɛ on tuoton stokastinen komponentti. Toisin sanoen yhtälöstä 1.2 nähdään, että δs S on normaalijakautunut odotusarvolla µδt ja hajonnalla σ δt eli δs S N(µδt, σ δt). Kalvo Monte Carlo simulaatio Stokastisten prosessien Monte Carlo simulaatio on keino laskea otoksen tuloksia. Kurssilla myöhemmissä luennoissa tullaan tutustumaan enemmän myös Monte Carlo simuloinnin ideaan. Esimerkki 1.2. Oletetaan, että vuotuinen kasvukerroin tai odotusarvo on 14% ja volatiliteetti 20 %. Eli µ = 0.14 ja σ = 0.2. Tarkastellaan tilannetta, jossa δt = 0.1 eli tarkastelu tehdään 0.05 vuoden välein (18.25 päivää). Kaavasta (1.3) saadaan δs = S Sɛ. Osakkeen hinnan polku saadaan standardinormaalijakauman avulla ottamalla useita otoksia ɛ:lle. Seuraava taulukko selventää asiaa. Idea on se, että ensimmäisellä kierroksella tarkastellaan osakkeen hintaa ja

8 Sovelluksia 8 Kalvo 15 lasketaan seuraavan hetken hinta ensimmäisen hinnan ja normaalijakaumasta saatavan otoksen avulla. Näin saadaan toinen hinta. Kolmatta hintaa laskettaessa käytetään apuna toista hintaa ja normaalijakaumasta saatavaa otosta jne. Tutustu itsenäisesti ideaan ja erilaisiin polkuihin Matlabin m-tiedoston MCS.m avulla. Kalvo 16 Taulukko ja kuva

9 Sovelluksia Koonta Tarkastellaan nyt vielä hieman käsiteltyjen asioiden ideoita, että niistä jää selkeä mielikuva Kalvo 17 Stokastinen prosessi kuvaa satunnaisten ilmiöiden muuttumista ajan kuluessa. Simuloimalla voidaan tarkastella yhtä prosessin polun mahdollisuutta. Markov prosessi on tärkeä ja kiinnostava prosessi, jonka tulevaisuuden arvoon ei vaikuta menneisyys vaan ainoastaan nykyhetki. Brownin liike kuvaa normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien käytöstä. Jos Brownin liike lähtee liikkeelle ajan hetkellä nolla paikasta x, niin prosessin odotusarvo ja varianssi ajanhetkellä T ovat x ja T. Kalvo 18 Yleistetty Brownin liike kuvaa kasvukertoimisten (driftillisten) normaalijakautuneitten satunnaismuuttujien käytöstä. Jos esimerkiksi kasvukerroin on vakio a ja varianssi aikayksikköä kohti vakio b 2, niin yleistetyn Brownin liikkeen, joka lähtee liikkeelle hetkellä 0 pisteestä x, odotusarvo ja varianssi hetkellä T ovat x + at ja b 2 T. Ito prosessi dt taas yleistää nämä edelliset. Se on prosessi, jolla kasvukerroin ja varianssi voivat olla itse muuttujan x ja ajan funktioita. Muuttujan x muutoksia hyvin pienillä aikaväleillä voidaan approksimoida normaalijakautuneiksi, mutta suurilla aika väleillä tämä ei ole mahdollista.

10 Sovelluksia 10 2 Black-Scholesin kaava Tämän kappaleen pohjana on osittain käytetty Paavo Salmisen ja Esko Valkeilan artikkelia, joka on julkaistu lehdessä Arkhimedes 3/99. Suosittelen artikkeliin tutustumista. Artikkeli löytyi ainakin internetistä osoitteesta Kalvo 19 Luennossa asia johdatellaan diskreetin mallin avulla ja paljon olennaista asiaa on jätetty pois. Siksi suosittelen tutustumaan tarkasti alan kirjallisuuteen. Asiaa on kuvattu luentoa tarkemmin mm. kirjassa J.Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer 2000, kappaleessa 14. Tarkastellaan Black-Scholesin markkinamallia ja heidän luomaansa kaavaa. 2.1 Ongelma Eurooppalainen osto-optio A haluaa osakkeen ja hänellä on K euroa vasta 30 päivän kuluttua. Kalvo 20 B lupaa myydä A:lle osakkeen 30 päivän kuluttua hintaan K euroa, korvausta vastaan. Eli A ostaa option B:ltä. Jos osakkeen hinta ko. päivänä < K, A ostaa pörssistä. > K, A:lle (S 30 K) euron etu Toisin sanoen option myyjä B lupaa maksaa A:lle rahasumman, jonka suuruus riippuu osakkeen hintavaihtelusta. Esimerkki 2.1. Ω = {ω 1, ω 2 } Todennäköisyysmitta

11 Sovelluksia 11 P : P (Ω) [0, 1] P (ω 1 ) = 0.8 P (ω 2 ) = 0.2 Osakkeen hinta on stokastinen prosessi Kalvo 21 S 0 = , jos ω 1 tapahtuu S 1 = 90, jos ω 2 tapahtuu Eurooppalaisen osakkeen S osto-optio X : Lunastusaika T = 1 Lunastushinta K = 105 A:lla oikeus lunastaa osake S hetkellä t = T = 1 hintaan K = 105. Option omistaminen on stokastista tuloa hetkellä T = 1 ja sen arvo on X = max {0, S 1 105} Mikä on option oikea hinta hetkellä t = 1? Kalvo 22 Odotusarvo hetkellä t = ( ) (0) = = 16. Oletetaan, että korko on 10% ja diskontataan nykyhetkeen, niin 1 16 = Saadaan yksi mahdollisuus hinnalle 14.5.

12 Sovelluksia Ratkaisusta Kehittivät Fisher Black ja Myron Scholes 1973 Robert Merton laajensi ratkaisun myös amerikkalaisile optioille. Kalvo 23 Scholes ja Merton (Black kuoli v. 1995) saivat taloustieteen Nobelin palkinnon vuonna Malli Kahdenlaisia sijoituksia: Oblikaatiot, riskitön tuotto korkoprosentin mukaan, B t Osake, riskillinen tuotto/tappio, S t Oletetaan nyt, että osakkeen hintaprosessi on edellä käsitellyn mallin mukainen ds t = µs t dt + σs t dw t, S 0 = s, (2.1) Kalvo 24 missä W on Brownin liike, σ > 0 on volatilitetti (keskihajonta ajan suhteen) ja µ on osakkeen tuottavuus, kasvukerroin. Differentiaaliyhtälö on mahdollista ratkaista, jolloin saadaan S t = se (µ 1 2 σ2 )t+σw t, W 0 = 0. Oblikaation hinta saadaan differentiaaliyhtälöstä db t = rb t dt, B 0 = b, (2.2) missä r > 0 on korkokerroin.

13 Sovelluksia Strategia Määritellään, että Y T on myyjän lupaama rahasumma hetkellä t = T. Hintakehitys määrää Y T :n arvon. β t oblikaatioiden määrä Kalvo 25 γ t osakkeiden määrä. Se kuinka paljon osakkeita ja oblikaatioita myyjän kannattaa pitää vaikuttaa myyjällä olevaan varallisuuteen. Stokastista prosessia π t = (β t, γ t ), t 0, joka kertoo näiden lukumäärät eri ajan hetkillä, kutsutaan strategiaksi. Varallisuus saadaan strategiasta V π t = β t B t + γ t S t. Oletetaan, että varallisuus voidaan kirjoittaa integraalimuotoon Kalvo 26 V π t = v + t 0 β s db s + t 0 γ s ds s, missä V π 0 = v. Jos näin voidaan tehdä, niin strategia on omavarainen. Lisäksi oletetaan, että omavarainen strategia on alhaalta rajoitettu. Näillä oletuksilla strategia on sallittu. 2.4 Diskreetti markkinamalli t = 1, 2,.... r = oblikaation korkokerroin ja B t+1 = (1 + r) B t, t = 0, 1, 2,...

14 Sovelluksia 14 Osakkeen hinta nousee tai laskee: S t+1 = (1 + a) S t tai S t+1 = (1 + y) S t, t = 0, 1, 2,... (2.3) missä a < 0 < r < y. Ko. teoria pätee vain, kun hinnalla on mahdollisuus saada vain kaksi arvoa. Kalvo 27 Y T on rahasumma, jonka option myyjä lupaa maksaa, kun t = T, merkitään Y T = f (S T ). Myyjä tekee suojausstrategian π = {(β i, γ i ) : i = 1, 2,... T }, s.e. varallisuus on sama kuin myyjän lupaama hinta V π T = β T B T + γ T S T, = Y T (2.4) = f (S T ). Kalvo 28 Suojauksen rakentaminen t = T 1, tiedetään S T 1, hinnan kaksi mahdollista arvoa hetkellä T sekä korkokerroin r. Yhtälöstä (2.5) saadaan yhtälöryhmä β T B T + γ T S T 1 (1 + a) = f (S T 1 (1 + a)). β T B T + γ T S T 1 (1 + y) = f (S T 1 (1 + y)) Ja varallisuus V π T 1 = β T B T 1 + γ T S T 1. (2.5) t = T 2 tiedetään S T 2, korkokerroin r sekä osakkeen hinnan kaksi arvoa hetkellä T 1. Option myyjän varallisuus hetkellä T 1 pitäisi olla V π T 1. voidaan rarkaista β T 1 ja γ T 1. Rekursiota jatkamalla saadaan selville V0 π, joka on tasapuolinen option hinta.

15 Sovelluksia 15 V π 0 : laskeminen Oletetaan P(hinta nousee) = q ja P(hinta laskee) = 1 q. Hinnanlasku tai -nousu ei riipu osakkeen aikaisemmasta historiasta. Olkoon Q todennäköisyysmitta, jolle Yhtälö (2.5) voidaan kirjoittaa q = r a y a. Kalvo 29 VT π 1 = (1 r) 1 E Q (f (S T ) S T 1 ), (2.6) Riippumattomuusoletuksen perusteella voidaan S T 1 n paikalle laittaa koko historia E Q (f (S T ) S T 1 ) = E Q ( f (S T ) FT S ) 1 missä Ft S on osakkeen hinnan generoima σ-algebra, eli osakkeen hinnan koko historia hetkeen t saakka. Induktiolla saadaan V π t = (1 r) (T t) E Q ( f (S T ) F S t ), ja strategialle pätee, että että diskontattu varallisuusprosessi on martingaali mitan Q suhteen. Optiosopimuksen tasapuolinen hinta V π 0 saadaan V π 0 = (1 r) T E Q (f (S T )). (2.7) Kalvo Black-Scholesin kaava eurooppalaiselle osto-optiolle Jatkuva kaava saadaan diskreetistä mallista, kaava (2.7). Kaava (2.7) kirjoitetaan binomitodennäköisyyden avulla ja binomijakauma suppenee kohti normaalijakaumaa, jolloin saadaan option oikea hinta V π 0 = e rt E Q (f(s T )).

16 Sovelluksia 16 Eurooppalaisen option arvoksi saadaan tällöin V π 0 = e rt E (max {S T K, 0}) (2.8) ( { }) = e rt E max se (r 1 2 σ2 )T +σw T K, 0, (2.9) Kalvo 31 missä W T N(0, T ) ja T on varianssi. Ratkaisu voidaa ilmaista käyttäen normaalijakauman kertymäfunktiota Φ. Laskuissa korko ja volatiliteetti pitäisi tuntea. Reilu hinta saadaan laskettua muotoon missä ja V π 0 = sφ (α + ) Ke rt Φ (α ), α ± = 1 σ T (log sk ) ) (r + ± σ2 T 2 Φ (z) = 1 2π z e u2 2 du. Kalvo 32 Termeistä: B&S:n kaavassa käytetään kreikkalaisia kirjamia kuvaamaan osittaisderivaattoja funktion muuttujien suhteen. Niillä kuvataan option arvon herkkyyttä (muutosta) parametrin arvon muutoksen suhteen. Esimerkiksi: = Φ(α + ) = (f(s T )) S T kuvaa option arvon herkkyyttä osakkeen hinnan muutoksien suhteen. Γ = Φ (α + ) S T σ = 2 (f(s T )) taas kuvaa option arvon kaarevuutta T ST 2 osakkeen hinnan suhteen eli deltan herkkyyttä osakkeen hinnan muutoksien suhteen. Θ on option hinnan aikaderivaatta ja se kuvaa option hinnan herkkyttä ajan suhteen.

17 Sovelluksia 17 Esimerkki 2.2. Osakkeen hinta 80e Kalvo 33 Volatiliteetti 0.40 Aika T=4 kk Toteutushinta 85e Mikä on option reilu hinta, jos korko on 8%? Kalvo 34 Lasketaan aluksi α + ja α α + = 1 (ln σ sk (r T + + σ2 2 ( 1 = ln ) ) T ( = α = 1 (ln σ sk (r T + σ2 2 = = ( ln ) ) T ( ) ) 1 3 ) ) 1 3

18 Sovelluksia 18 Sijoitetaan saadut tulokset kaavaan v = sφ (α + ) Ke rt Φ (α ) Kalvo 35 = 80Φ ( 0.031) 85e 0.08( 1 3) Φ ( ) = e = 6.18 Arvot funktiolle Φ saa taulukosta tai laskemalla koneella. Kalvo Muita stokastisiin prosesseihin perustuvia malleja Edellä käytettiin malleja, jotka pohjautuvat Brownin liikkeeseen. Useissa tilanteissa ei Markov prosessi ole kuitenkaan riittävä kuvaamaan malleja, koska Markov prosesseissa ei tulevaisuus perustu, yhtä hetkeä lukuunottamatta, menneisyyteen. Menneisyyttä tarvitsevista malleista voidaan ottaa esimerkkinä Gaussinen prosessi, Fraktionaalinen Brownin liike, jolla on mallinnettu tietoliikennepakettien kulkua verkossa. Kyseessä on Brownin liikkeen yleistys, jolla ei ole riippumattomia lisäyksiä, kuten Brownin liikkeellä, vaan lisäykset ovat ainoastaan stationaarisia. Molemmat prosessit ovat kuitenkin itse-similaarisia, joka tarkoittaa, että tarkennettaessa (zoomatessa) polkua tarkemmaksi näyttää prosessin polku koko ajan samanlaiselta. Fraktionaarisella Brownin

19 Sovelluksia 19 Kalvo 37 liikkeellä on kuitenkin paksuhäntäinen jakauma, jota Brownin liikkeellä ei ole. Eli fraktionaarisella Brownin liikkeellä voidaan mallintaa informaatiota, jossa ominaisuutena on pitkän aikavälin riippuvuus. Lisätietoa teleliikenteen mallintamisesta ja fraktionaarisesta Brownin liikkeestä voit aluksi vilkaista mm. Ilkka Norroksen artikkelista ja sen jälkeen etsiä itsenäisesti vaikka VTT:n verkkosivuilta. Kalvo 38 3 Lähdeluettelo Luentomateriaali pohjautuu pääosin seuraavaan kirjallisuuteen Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives, Fifth edition. Prentice Hall, New Jersey, Shreve, S. Lectures on Stochastic Calculus and Finance, chal/shreve.html Klebaner, F. C, Introduction to Stochastic Calculus with application. Imperial College Press, London Salminen P.,Valkeila E. Matemaattisen rahoitusteorian peruselementti: Black-Scholesin kaava. Arkhimedes 3/99. Steele J.M., Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer 2000.

20 Sovelluksia 20 Kalvo 39 Williams, D. Probability with Martingales. Cambridge University Press, The Pitt Building, Trumpington Street Cambridge CB2 1RP Öksendal,B. Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, 1998

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että

Lisätiedot

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN,

Lisätiedot

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 ) 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta http://www.math.hut.fi/teaching/rahoitus/ Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2

ln S(k) = ln S(0) + w(i) E[ln S(k)] = ln S(0) + vk V ar[ln S(k)] = kσ 2 Moniperiodisten investointitehtäviä tarkasteltaessa sijoituskohteiden hintojen kehitystä mallinnetaan diskeetteinä (binomihilat) tai jatkuvina (Itô-prosessit) prosesseina. Sijoituskohteen hinta hetkellä

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH 8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat

Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat Tommi Sottinen, Helsingin yliopisto Yhteistyössä C. Bender, TU Braunschweig E. Valkeila, Teknillinen korkeakoulu 10. lokakuuta 2006

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 12. maaliskuuta 2002 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Stokastinen analyysi, miksi? Tavallinen Petri-verkkojen saavutettavuusanalyysi

Lisätiedot

BS-kaava ja lama. Lama 2007. Johdannaiset ja BS-kaava. Matematiikka finanssikriisin syyllisenä. Tommi Sottinen

BS-kaava ja lama. Lama 2007. Johdannaiset ja BS-kaava. Matematiikka finanssikriisin syyllisenä. Tommi Sottinen Tommi Sottinen BS-kaava ja lama Lama 007 Countries don t owe money to each other, countries owe money to banks. If the countries owe money to banks how stupid are the countries to pay. Like the country

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio

Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit 4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Finanssisitoumusten suojaamisesta

Finanssisitoumusten suojaamisesta Finanssisitoumusten suojaamisesta Harri Nyrhinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Vakuutusmatematiikan seminaari 4.5.2017 Esitelmän sisältö Teoreettisluonteisia poimintoja kirjallisuudesta

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset

Lisätiedot

Korkomarkkinoiden mallintaminen arbitraasiteorian pohjalta

Korkomarkkinoiden mallintaminen arbitraasiteorian pohjalta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Miika Aromaa Korkomarkkinoiden mallintaminen arbitraasiteorian pohjalta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 15. maaliskuuta 2004 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Mihin tarvitaan stokastista analyysiä? Saavutettavuusanalyysissä

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 115

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 115 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 115 7. Stokastiset differentiaaliyhtälöt Kävimme läpi edellisessä kappaleessa kaksi reuna-arvotehtävää, jotka voidaan ratkaista stokastisen integroinnin avulla käyttäen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Esimerkki: Tietoliikennekytkin

Esimerkki: Tietoliikennekytkin Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi

Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva

Lisätiedot

MS-C2111 Stokastiset prosessit

MS-C2111 Stokastiset prosessit Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos toimisto: Y241, vastaanotto: pe 13:30-14:30 2017, periodi I KURSSIN JÄRJESTELYT Kurssin järjestelyt Luennot ja harjoitusryhmät Luennot tiistaisin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

12. Korkojohdannaiset

12. Korkojohdannaiset 2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS

OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS OPTIMAALINEN INESTOINTIPÄÄTÖS Keskiarvoon palautuvalle prosessille ja Poissonin hyppyprosessille Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 1 I. KESKIAROON PALAUTUA PROSESSI Investoinnin kohde-etuuden arvo

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia. SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(5) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen

Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot