1 Sovelluksia. Sovelluksia 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Sovelluksia. Sovelluksia 1"

Transkriptio

1 Sovelluksia 1 1 Sovelluksia 1.1 Tausta ja tärkeimpiä määritelmiä Kalvo 1 Aloitetaan tutustumaan luennolla tarkasteltaviin prosesseihin. Tarkempia selityksiä, esimerkiksi Brownin liikkestä, löytyy kertauksesta, jota suositellaan vahvasti opiskeltavaksi ennen kurssia, ja johdannosta. Lisäksi myös kirjallisuudesta kannattaa asiat katsoa ja selvittää itselleen. Luennon johdannon pohjana on ollut John C. Hullin teos Options, Futures and Other Derivatives. Luennon ymmärtämiseksi on kertausluennoista ymmärrettävä hyvin ainakin seuraavat käsitteet ja ominaisuudet: Ehdollinen odotusarvo σ-algebra, filtraatio Kalvo 2 Martingaalit Lisäksi ymmärtämisessä auttaa, jos muutkin asiat ovat jo tuttuja. Tällä luennolla keskeisiä käsitteitä ovat: Stokastinen prosessi on joukko satunnaismuuttujia, jotka saavat erilaisia arvoja ajan muuttuessa jatkuvia diskreettejä Markov prosessi on stokastinen prosessi, jossa ainoastaan nykyinen arvo on relevantti ennustettaessa tulevaisuuden arvoa. Osakkeiden hintaprosessia pidetään usein stokastisena prosessina. Esimerkisi, jos Nokian osakkeen hinta olisi tänään 10 euroa ja haluttaisiin tietään, mitä se on viikon päästä. Ajateltaessa prosessin olevan Markov -prosessi hintaan ei vaikuta hinta eilen tai hinta viikko sitten vain ainoastaan hinta tänään. Näin

2 Sovelluksia 2 Kalvo 3 ajateltaessa osakkeen hinnan jakauma, millä tahansa tulevaisuuden hetkellä, ei ole riippuvainen siitä polusta, jota hinta on seurannut menneisyydessä. Vain tarkasteluhetki on tärkeä. Standardi Brownin liike on useilla eri tieteen aloilla käytetty Markov prosessi, jolla odotusarvo on 0 ja varianssi t, prosessi on jatkuva, ei missään differentioituva ja prosessin lisäyksille W ti W ti 1 pätee E(W ti W ti 1 ) = 0 V ar ( ) W ti W ti 1 = ti t i 1 keskihajonta = V ar ( ) W ti W ti 1 = ti t i 1 Yleistetty Brownin liike voidaan määritellä dx = adt + bdw t, missä W t on Brownin liike. Merkitään usein myös W (t). Termi adt antaa muutokselle suunnan, nyt x kasvaa/vähenee a aikayksikköä kohti. Muuttujaa a kutsutaan kasvukertoimeksi Ensimmäisestä termistä saadaan Kalvo 4 ja integroimalla dx = adt dx dt = a x = x 0 + at ajanjaksolla [0, T ] x kasvaa arvoon x 0 + at Toinen termi bdw t on kohina termi, satunnaisuutta kuvaava termi, missä kohinan määrä on b kertaa Brownin liikkeen muutos. Pienellä aikavälillä δt := t i 1 t i (merkitään pientä väliä nyt δ) muutos δx on δx = aδt + b δtɛ, (1.1)

3 Sovelluksia 3 Kalvo 5 missä ɛ noudattaa standardinormaalijakaumaa ɛ N(0, 1). Tällöin saadaan odotusarvo ja varianssi seuraavasti E(δx) = aδt V ar(δx) = b 2 δt. Kalvo 6 KUVA YLEISTETYSTÄ BM:stä

4 Sovelluksia 4 Kalvo 7 Esimerkki Tarkastellaan tilannetta, jossa yrityksen varallisuus (k e) noudattaa yleistettyä Brownin liike prosessia kasvukertoimella 20 ja varianssilla 900 vuotta kohti. Alkuhetkellä varallisuus on 50 ja vuoden jälkeen varallisuuden odotusarvo on 70 ja hajonta 900 eli 30. Kuuden kuukauden jälkeen varallisuuden odotusarvo on 60 ja hajonta 30 0, 5 = Edellä kuvatunlaisia prosesseja voidaan kutsua myös Ito prosesseiksi. Tällöin yleistetyn Brownin liikkeen kertoimet a ja b ovat funktioita, eli dx = a(x, t)dt + b(x, t)dw t. Pienellä aikavälillä [t, δt] muuttuu prosessi arvosta x arvoon x + δx, missä δx = a(x, t)dt + b(x, t) ɛ. Muutoksen δx arviointi vaatii samanlaista päättelyä, kuin kaavassa (1.1), lisäksi oletetaan, että kasvukerroin ja varianssi pysyvät vakioina, samoina kuin a(x, t) ja b(x, t), ajan muuttuessa hetkestä t hetkeen t + δt. Kalvo Osakkeiden hintojen käyttäytymisen mallintaminen Osakkeen hintaprosessi Osakkeen hintaprosessin voidaan olettaa noudattavan yleistettyä Brownin liikettä, jossa kasvukerroin (usein kutsutaan driftiksi) ja varianssi ovat vakioita. Oletetaan aluksi, että S on osakkeen hinta hetkellä t ja µs on osakkeen kasvunopeus. Toisin sanoen pienellä välillä δt hinnanmuutos on µsδt.

5 Sovelluksia 5 Kalvo 9 Osakkeen hinnan keskihajontaa aikayksikköä kohti kutsutaan osakkeen hinnan volatiliteetiksi. Se on tulevaisuuden hinnan muutosten epävarmuuden mitta. Volatiliteetin arvioimiseen käytetään apuna mm. aikasarja-analyysiä. Jos osakkeen hinnan volatiliteetti on nolla, niin tälloin epävarmuutta ei ole (vakiokorkoiset määräaikaistalletukset yms.) ja malli typistyy muotoon δs = µsδt ja välin pienetessä, kun δt 0 ds = µsdt tai ds S = µdt. Integroimalla nollasta arvoon T saakka saadaan S T = S 0 e µt, missä S 0 ja S T ovat osakkeen hintoja hetkillä nolla ja T. Toisin sanoen kun volatiliteetti on nolla, niin osakkeen hinta kasvaa kasvukertoimen mukaisesti. Kalvo 10 Käytännössä osakkeen hinnoissa on epävarmuutta eli niissä ilmenee volatiliteettiä. Tässä mallissa oletetaan, että hinnat seuraavat kasvukerrointa (odotusarvoa), mutta vaihtelevat sen ympärillä satunnaisesti normaalijakauman mukaisesti. Se, että epävarmuutta kuvataan normaalijakaumalla perustuu keskeiseen raja-arvolauseeseen. Normaalijakaumaa noudattavan satunnaisuuden ottamiseksi mukaan malliin lisäämme yhtälöön uuden termin ds = µsdt + σsdw t,

6 Sovelluksia 6 Kalvo 11 eli ds S = µdt + σdw t. Edelliset yhtälöt ovat käytetyimpiä osakkeen hinnan kehitysta kuvaavia malleja. Mallissa σ on osakkeen hinnan volatiliteetti ja µ on kasvukerroin. Esimerkki 1.1. Tarkastellaan osaketta ilman osto yms. kuluja, vuotuinen volatiliteetti on 30% vuotuinen korko on 15% (jatkuva) eli σ = 0.3 ja µ = Prosessi on ds S = 0.15dt + 0.3dW t. Jos S on osakkeen hinta tietyllä hetkellä ja δt on hinnan kasvu Kalvo 12 seuraavalla pienellä aikavälillä, niin missä ɛ N(0, 1). δs S = 0.15δt δtɛ, Tarkastellaan viikkoa ( vuotta) ja oletetaan, että osakkeen hinta alussa on 100 e. Tällöin δt = , S = 100e ja δs = 100 ( ) e = 0.288e e, josta nähdään, että hinnankasvu viikossa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla 0,288 e ja keskihajonnalla 4.17 e. Osakkeen hinnankehityksen malli tunnetaan geometrisenä Brownin liikkeenä. Kertausluennoissa ko. malli johdettiin osakkeen

7 Sovelluksia 7 hintakehtyksen binomimallista. Mallin diskreettiaikainen versio on eli δs S = µδt + σ δtɛ (1.2) Kalvo 13 δs = µsδt + σs δtɛ. (1.3) Muuttuja δs kuvaa muutosta pienellä aikavälillä δt, ɛ N(0, 1), µ on osakkeen hinnan kasvukerroin aikayksikköä kohti ja σ on osakkeen hinnan volatiliteetti. Kaavassa 1.2 vasen puoli kuvaa osakkeen tuottoa ajan suhteen, ilman osakkeen hinnan vaikutusta, termi µδt on tuoton odotusarvo ja σs δtɛ on tuoton stokastinen komponentti. Toisin sanoen yhtälöstä 1.2 nähdään, että δs S on normaalijakautunut odotusarvolla µδt ja hajonnalla σ δt eli δs S N(µδt, σ δt). Kalvo Monte Carlo simulaatio Stokastisten prosessien Monte Carlo simulaatio on keino laskea otoksen tuloksia. Kurssilla myöhemmissä luennoissa tullaan tutustumaan enemmän myös Monte Carlo simuloinnin ideaan. Esimerkki 1.2. Oletetaan, että vuotuinen kasvukerroin tai odotusarvo on 14% ja volatiliteetti 20 %. Eli µ = 0.14 ja σ = 0.2. Tarkastellaan tilannetta, jossa δt = 0.1 eli tarkastelu tehdään 0.05 vuoden välein (18.25 päivää). Kaavasta (1.3) saadaan δs = S Sɛ. Osakkeen hinnan polku saadaan standardinormaalijakauman avulla ottamalla useita otoksia ɛ:lle. Seuraava taulukko selventää asiaa. Idea on se, että ensimmäisellä kierroksella tarkastellaan osakkeen hintaa ja

8 Sovelluksia 8 Kalvo 15 lasketaan seuraavan hetken hinta ensimmäisen hinnan ja normaalijakaumasta saatavan otoksen avulla. Näin saadaan toinen hinta. Kolmatta hintaa laskettaessa käytetään apuna toista hintaa ja normaalijakaumasta saatavaa otosta jne. Tutustu itsenäisesti ideaan ja erilaisiin polkuihin Matlabin m-tiedoston MCS.m avulla. Kalvo 16 Taulukko ja kuva

9 Sovelluksia Koonta Tarkastellaan nyt vielä hieman käsiteltyjen asioiden ideoita, että niistä jää selkeä mielikuva Kalvo 17 Stokastinen prosessi kuvaa satunnaisten ilmiöiden muuttumista ajan kuluessa. Simuloimalla voidaan tarkastella yhtä prosessin polun mahdollisuutta. Markov prosessi on tärkeä ja kiinnostava prosessi, jonka tulevaisuuden arvoon ei vaikuta menneisyys vaan ainoastaan nykyhetki. Brownin liike kuvaa normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien käytöstä. Jos Brownin liike lähtee liikkeelle ajan hetkellä nolla paikasta x, niin prosessin odotusarvo ja varianssi ajanhetkellä T ovat x ja T. Kalvo 18 Yleistetty Brownin liike kuvaa kasvukertoimisten (driftillisten) normaalijakautuneitten satunnaismuuttujien käytöstä. Jos esimerkiksi kasvukerroin on vakio a ja varianssi aikayksikköä kohti vakio b 2, niin yleistetyn Brownin liikkeen, joka lähtee liikkeelle hetkellä 0 pisteestä x, odotusarvo ja varianssi hetkellä T ovat x + at ja b 2 T. Ito prosessi dt taas yleistää nämä edelliset. Se on prosessi, jolla kasvukerroin ja varianssi voivat olla itse muuttujan x ja ajan funktioita. Muuttujan x muutoksia hyvin pienillä aikaväleillä voidaan approksimoida normaalijakautuneiksi, mutta suurilla aika väleillä tämä ei ole mahdollista.

10 Sovelluksia 10 2 Black-Scholesin kaava Tämän kappaleen pohjana on osittain käytetty Paavo Salmisen ja Esko Valkeilan artikkelia, joka on julkaistu lehdessä Arkhimedes 3/99. Suosittelen artikkeliin tutustumista. Artikkeli löytyi ainakin internetistä osoitteesta Kalvo 19 Luennossa asia johdatellaan diskreetin mallin avulla ja paljon olennaista asiaa on jätetty pois. Siksi suosittelen tutustumaan tarkasti alan kirjallisuuteen. Asiaa on kuvattu luentoa tarkemmin mm. kirjassa J.Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer 2000, kappaleessa 14. Tarkastellaan Black-Scholesin markkinamallia ja heidän luomaansa kaavaa. 2.1 Ongelma Eurooppalainen osto-optio A haluaa osakkeen ja hänellä on K euroa vasta 30 päivän kuluttua. Kalvo 20 B lupaa myydä A:lle osakkeen 30 päivän kuluttua hintaan K euroa, korvausta vastaan. Eli A ostaa option B:ltä. Jos osakkeen hinta ko. päivänä < K, A ostaa pörssistä. > K, A:lle (S 30 K) euron etu Toisin sanoen option myyjä B lupaa maksaa A:lle rahasumman, jonka suuruus riippuu osakkeen hintavaihtelusta. Esimerkki 2.1. Ω = {ω 1, ω 2 } Todennäköisyysmitta

11 Sovelluksia 11 P : P (Ω) [0, 1] P (ω 1 ) = 0.8 P (ω 2 ) = 0.2 Osakkeen hinta on stokastinen prosessi Kalvo 21 S 0 = , jos ω 1 tapahtuu S 1 = 90, jos ω 2 tapahtuu Eurooppalaisen osakkeen S osto-optio X : Lunastusaika T = 1 Lunastushinta K = 105 A:lla oikeus lunastaa osake S hetkellä t = T = 1 hintaan K = 105. Option omistaminen on stokastista tuloa hetkellä T = 1 ja sen arvo on X = max {0, S 1 105} Mikä on option oikea hinta hetkellä t = 1? Kalvo 22 Odotusarvo hetkellä t = ( ) (0) = = 16. Oletetaan, että korko on 10% ja diskontataan nykyhetkeen, niin 1 16 = Saadaan yksi mahdollisuus hinnalle 14.5.

12 Sovelluksia Ratkaisusta Kehittivät Fisher Black ja Myron Scholes 1973 Robert Merton laajensi ratkaisun myös amerikkalaisile optioille. Kalvo 23 Scholes ja Merton (Black kuoli v. 1995) saivat taloustieteen Nobelin palkinnon vuonna Malli Kahdenlaisia sijoituksia: Oblikaatiot, riskitön tuotto korkoprosentin mukaan, B t Osake, riskillinen tuotto/tappio, S t Oletetaan nyt, että osakkeen hintaprosessi on edellä käsitellyn mallin mukainen ds t = µs t dt + σs t dw t, S 0 = s, (2.1) Kalvo 24 missä W on Brownin liike, σ > 0 on volatilitetti (keskihajonta ajan suhteen) ja µ on osakkeen tuottavuus, kasvukerroin. Differentiaaliyhtälö on mahdollista ratkaista, jolloin saadaan S t = se (µ 1 2 σ2 )t+σw t, W 0 = 0. Oblikaation hinta saadaan differentiaaliyhtälöstä db t = rb t dt, B 0 = b, (2.2) missä r > 0 on korkokerroin.

13 Sovelluksia Strategia Määritellään, että Y T on myyjän lupaama rahasumma hetkellä t = T. Hintakehitys määrää Y T :n arvon. β t oblikaatioiden määrä Kalvo 25 γ t osakkeiden määrä. Se kuinka paljon osakkeita ja oblikaatioita myyjän kannattaa pitää vaikuttaa myyjällä olevaan varallisuuteen. Stokastista prosessia π t = (β t, γ t ), t 0, joka kertoo näiden lukumäärät eri ajan hetkillä, kutsutaan strategiaksi. Varallisuus saadaan strategiasta V π t = β t B t + γ t S t. Oletetaan, että varallisuus voidaan kirjoittaa integraalimuotoon Kalvo 26 V π t = v + t 0 β s db s + t 0 γ s ds s, missä V π 0 = v. Jos näin voidaan tehdä, niin strategia on omavarainen. Lisäksi oletetaan, että omavarainen strategia on alhaalta rajoitettu. Näillä oletuksilla strategia on sallittu. 2.4 Diskreetti markkinamalli t = 1, 2,.... r = oblikaation korkokerroin ja B t+1 = (1 + r) B t, t = 0, 1, 2,...

14 Sovelluksia 14 Osakkeen hinta nousee tai laskee: S t+1 = (1 + a) S t tai S t+1 = (1 + y) S t, t = 0, 1, 2,... (2.3) missä a < 0 < r < y. Ko. teoria pätee vain, kun hinnalla on mahdollisuus saada vain kaksi arvoa. Kalvo 27 Y T on rahasumma, jonka option myyjä lupaa maksaa, kun t = T, merkitään Y T = f (S T ). Myyjä tekee suojausstrategian π = {(β i, γ i ) : i = 1, 2,... T }, s.e. varallisuus on sama kuin myyjän lupaama hinta V π T = β T B T + γ T S T, = Y T (2.4) = f (S T ). Kalvo 28 Suojauksen rakentaminen t = T 1, tiedetään S T 1, hinnan kaksi mahdollista arvoa hetkellä T sekä korkokerroin r. Yhtälöstä (2.5) saadaan yhtälöryhmä β T B T + γ T S T 1 (1 + a) = f (S T 1 (1 + a)). β T B T + γ T S T 1 (1 + y) = f (S T 1 (1 + y)) Ja varallisuus V π T 1 = β T B T 1 + γ T S T 1. (2.5) t = T 2 tiedetään S T 2, korkokerroin r sekä osakkeen hinnan kaksi arvoa hetkellä T 1. Option myyjän varallisuus hetkellä T 1 pitäisi olla V π T 1. voidaan rarkaista β T 1 ja γ T 1. Rekursiota jatkamalla saadaan selville V0 π, joka on tasapuolinen option hinta.

15 Sovelluksia 15 V π 0 : laskeminen Oletetaan P(hinta nousee) = q ja P(hinta laskee) = 1 q. Hinnanlasku tai -nousu ei riipu osakkeen aikaisemmasta historiasta. Olkoon Q todennäköisyysmitta, jolle Yhtälö (2.5) voidaan kirjoittaa q = r a y a. Kalvo 29 VT π 1 = (1 r) 1 E Q (f (S T ) S T 1 ), (2.6) Riippumattomuusoletuksen perusteella voidaan S T 1 n paikalle laittaa koko historia E Q (f (S T ) S T 1 ) = E Q ( f (S T ) FT S ) 1 missä Ft S on osakkeen hinnan generoima σ-algebra, eli osakkeen hinnan koko historia hetkeen t saakka. Induktiolla saadaan V π t = (1 r) (T t) E Q ( f (S T ) F S t ), ja strategialle pätee, että että diskontattu varallisuusprosessi on martingaali mitan Q suhteen. Optiosopimuksen tasapuolinen hinta V π 0 saadaan V π 0 = (1 r) T E Q (f (S T )). (2.7) Kalvo Black-Scholesin kaava eurooppalaiselle osto-optiolle Jatkuva kaava saadaan diskreetistä mallista, kaava (2.7). Kaava (2.7) kirjoitetaan binomitodennäköisyyden avulla ja binomijakauma suppenee kohti normaalijakaumaa, jolloin saadaan option oikea hinta V π 0 = e rt E Q (f(s T )).

16 Sovelluksia 16 Eurooppalaisen option arvoksi saadaan tällöin V π 0 = e rt E (max {S T K, 0}) (2.8) ( { }) = e rt E max se (r 1 2 σ2 )T +σw T K, 0, (2.9) Kalvo 31 missä W T N(0, T ) ja T on varianssi. Ratkaisu voidaa ilmaista käyttäen normaalijakauman kertymäfunktiota Φ. Laskuissa korko ja volatiliteetti pitäisi tuntea. Reilu hinta saadaan laskettua muotoon missä ja V π 0 = sφ (α + ) Ke rt Φ (α ), α ± = 1 σ T (log sk ) ) (r + ± σ2 T 2 Φ (z) = 1 2π z e u2 2 du. Kalvo 32 Termeistä: B&S:n kaavassa käytetään kreikkalaisia kirjamia kuvaamaan osittaisderivaattoja funktion muuttujien suhteen. Niillä kuvataan option arvon herkkyyttä (muutosta) parametrin arvon muutoksen suhteen. Esimerkiksi: = Φ(α + ) = (f(s T )) S T kuvaa option arvon herkkyyttä osakkeen hinnan muutoksien suhteen. Γ = Φ (α + ) S T σ = 2 (f(s T )) taas kuvaa option arvon kaarevuutta T ST 2 osakkeen hinnan suhteen eli deltan herkkyyttä osakkeen hinnan muutoksien suhteen. Θ on option hinnan aikaderivaatta ja se kuvaa option hinnan herkkyttä ajan suhteen.

17 Sovelluksia 17 Esimerkki 2.2. Osakkeen hinta 80e Kalvo 33 Volatiliteetti 0.40 Aika T=4 kk Toteutushinta 85e Mikä on option reilu hinta, jos korko on 8%? Kalvo 34 Lasketaan aluksi α + ja α α + = 1 (ln σ sk (r T + + σ2 2 ( 1 = ln ) ) T ( = α = 1 (ln σ sk (r T + σ2 2 = = ( ln ) ) T ( ) ) 1 3 ) ) 1 3

18 Sovelluksia 18 Sijoitetaan saadut tulokset kaavaan v = sφ (α + ) Ke rt Φ (α ) Kalvo 35 = 80Φ ( 0.031) 85e 0.08( 1 3) Φ ( ) = e = 6.18 Arvot funktiolle Φ saa taulukosta tai laskemalla koneella. Kalvo Muita stokastisiin prosesseihin perustuvia malleja Edellä käytettiin malleja, jotka pohjautuvat Brownin liikkeeseen. Useissa tilanteissa ei Markov prosessi ole kuitenkaan riittävä kuvaamaan malleja, koska Markov prosesseissa ei tulevaisuus perustu, yhtä hetkeä lukuunottamatta, menneisyyteen. Menneisyyttä tarvitsevista malleista voidaan ottaa esimerkkinä Gaussinen prosessi, Fraktionaalinen Brownin liike, jolla on mallinnettu tietoliikennepakettien kulkua verkossa. Kyseessä on Brownin liikkeen yleistys, jolla ei ole riippumattomia lisäyksiä, kuten Brownin liikkeellä, vaan lisäykset ovat ainoastaan stationaarisia. Molemmat prosessit ovat kuitenkin itse-similaarisia, joka tarkoittaa, että tarkennettaessa (zoomatessa) polkua tarkemmaksi näyttää prosessin polku koko ajan samanlaiselta. Fraktionaarisella Brownin

19 Sovelluksia 19 Kalvo 37 liikkeellä on kuitenkin paksuhäntäinen jakauma, jota Brownin liikkeellä ei ole. Eli fraktionaarisella Brownin liikkeellä voidaan mallintaa informaatiota, jossa ominaisuutena on pitkän aikavälin riippuvuus. Lisätietoa teleliikenteen mallintamisesta ja fraktionaarisesta Brownin liikkeestä voit aluksi vilkaista mm. Ilkka Norroksen artikkelista ja sen jälkeen etsiä itsenäisesti vaikka VTT:n verkkosivuilta. Kalvo 38 3 Lähdeluettelo Luentomateriaali pohjautuu pääosin seuraavaan kirjallisuuteen Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives, Fifth edition. Prentice Hall, New Jersey, Shreve, S. Lectures on Stochastic Calculus and Finance, chal/shreve.html Klebaner, F. C, Introduction to Stochastic Calculus with application. Imperial College Press, London Salminen P.,Valkeila E. Matemaattisen rahoitusteorian peruselementti: Black-Scholesin kaava. Arkhimedes 3/99. Steele J.M., Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer 2000.

20 Sovelluksia 20 Kalvo 39 Williams, D. Probability with Martingales. Cambridge University Press, The Pitt Building, Trumpington Street Cambridge CB2 1RP Öksendal,B. Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, 1998

Black ja Scholes ilman Gaussia

Black ja Scholes ilman Gaussia Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli

Lisätiedot

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN,

Lisätiedot

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 )

) + T (r + ) + T (r. ) Ke rt Φ( log( s σ2. (1.1) sφ( log( s σ2 2 E. VALKEILA 2 ) 2 E. VALKEILA 1. Johdanto 1.1. Käytännöt. Kurssin kotisivu löytyy osoitteesta http://www.math.hut.fi/teaching/rahoitus/ Kurssi suoritetaan kahdella välikokeella; luennot ja seuraavan viikon harjoitustehtävät

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

BS-kaava ja lama. Lama 2007. Johdannaiset ja BS-kaava. Matematiikka finanssikriisin syyllisenä. Tommi Sottinen

BS-kaava ja lama. Lama 2007. Johdannaiset ja BS-kaava. Matematiikka finanssikriisin syyllisenä. Tommi Sottinen Tommi Sottinen BS-kaava ja lama Lama 007 Countries don t owe money to each other, countries owe money to banks. If the countries owe money to banks how stupid are the countries to pay. Like the country

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.

25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola

Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000

OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 OPTIOT Vipua ja suojausta - mutta mitä se maksaa? Remburssi Investment Group 23.5.2000 MARKKINAKATSAUS AGENDA Lyhyt johdanto optioihin Näkemysesimerkki 1: kuinka tehdä voittoa kurssien laskiessa Näkemysesimerkki

Lisätiedot

Korko optioiden volatiliteettirakenteen estimointi

Korko optioiden volatiliteettirakenteen estimointi Aalto yliopisto Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kevät 2010 Korko optioiden volatiliteettirakenteen estimointi Pohjola konserni Projektisuunnitelma Robert Huuhilo Juhana Joensuu Teppo

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT

STOKASTISET PROSESSIT TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.

laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia. SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(6) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari

Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla. Johannes Ankelo Arvopaperi Aamuseminaari Suojaa ja tuottoa laskevilla markkinoilla Commerzbank AG Saksan toiseksi suurin pankki Euroopan johtavia strukturoitujen tuotteiden liikkeellelaskijoita Yli 50 erilaista tuotetyyppiä listattuna Saksan

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit

r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Distance to Default. Agenda. listaamattomien yritysten analysoinnissa 5.5.2009. Riku Nevalainen HSE 8.5.2009

Distance to Default. Agenda. listaamattomien yritysten analysoinnissa 5.5.2009. Riku Nevalainen HSE 8.5.2009 Distance to Default Riku Nevalainen HSE 8.5.2009 Agenda 1. Distance to default malli osakemarkkinoilla 2. Osakemarkkinoiden informaation hyödyntäminen listaamattomien yritysten analysoinnissa 3. Moody

Lisätiedot

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia

8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

Korko-optioiden volatiliteetin mallintaminen

Korko-optioiden volatiliteetin mallintaminen Aalto-yliopisto Mat-2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kevät 2010 Korko-optioiden volatiliteetin mallintaminen Loppuraportti 2.5.2010 Robert Huuhilo 68931W (Projektipäällikkö) Juhana Joensuu

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Black Scholes-malli ja volatiliteettihymy

Black Scholes-malli ja volatiliteettihymy Black Scholes-malli ja volatiliteettihymy Kansantaloustiede Pro gradu -tutkielma Taloustieteiden laitos Tampereen yliopisto 03.04.08 Antti Aho Ohjaaja: Jari Vainiomäki Tampereen yliopisto Taloustieteiden

Lisätiedot

Hyödykebarrieroptioiden hinnoittelu

Hyödykebarrieroptioiden hinnoittelu Hyödykebarrieroptioiden hinnoittelu Kandidaattiseminaari 2010 1.11.2010 Esityksen rakenne Yleistä barrieroptioista Taustaa barrieroptioiden hinnoittelusta Työn tavoitteet ja rajaukset Sovellettava aineisto

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2 Aikasarjat:

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Valuuttariskit ja johdannaiset

Valuuttariskit ja johdannaiset Valuuttariskit ja johdannaiset Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Sosiaali- ja terveysjohtamisen laitos, kansantaloustiede Lähde: Hull, Options, Futures, & Other

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

TOMMI HÖRKKÖ HYPPY DIFFUUSIO-PROSESSIN RATKAISU SPEKTRIKOLLOKAATIOMENETELMÄLLÄ. Diplomityö

TOMMI HÖRKKÖ HYPPY DIFFUUSIO-PROSESSIN RATKAISU SPEKTRIKOLLOKAATIOMENETELMÄLLÄ. Diplomityö TOMMI HÖRKKÖ HYPPY DIFFUUSIO-PROSESSIN RATKAISU SPEKTRIKOLLOKAATIOMENETELMÄLLÄ Diplomityö Tarkastaja: professori Robert Piché Tarkastaja ja aihe hyväksytty Teknis-luonnontieteellisen osastoneuvoston kokouksessa

Lisätiedot

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia 6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

Tilayhtälötekniikasta

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka

Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)

Lisätiedot

Tietoa hyödykeoptioista

Tietoa hyödykeoptioista Tietoa hyödykeoptioista Tämä esite sisältää tietoa Danske Bankin kautta tehtävistä hyödykeoptiosopimuksista. Hyödykkeet ovat jalostamattomia tuotteita tai puolijalosteita, joita tarvitaan lopputuotteiden

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit

Lisätiedot

Erkki Laitinen, Oulun yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos. Mallien tyyppejä

Erkki Laitinen, Oulun yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos. Mallien tyyppejä Erkki Laitinen, Oulun yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos Mallien tyyppejä Mallin suunnittelusta Reaalimaailman systeemi Matemaattinen systeemi Tarkkailu Malli, laskenta, päätelmät populaation kehittyminen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN

KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN 00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla

Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla Päiväkohtaista vipua Bull & Bear -sertifikaateilla Matias Juslin Equity Derivatives Public Distribution 21. marraskuuta 2013 Bull & Bear -sertifikaatit: Johdanto Pörssissä treidattu sertifikaatti, jolla

Lisätiedot