1 Sovelluksia. Sovelluksia 1

Transkriptio

1 Sovelluksia 1 1 Sovelluksia 1.1 Tausta ja tärkeimpiä määritelmiä Kalvo 1 Aloitetaan tutustumaan luennolla tarkasteltaviin prosesseihin. Tarkempia selityksiä, esimerkiksi Brownin liikkestä, löytyy kertauksesta, jota suositellaan vahvasti opiskeltavaksi ennen kurssia, ja johdannosta. Lisäksi myös kirjallisuudesta kannattaa asiat katsoa ja selvittää itselleen. Luennon johdannon pohjana on ollut John C. Hullin teos Options, Futures and Other Derivatives. Luennon ymmärtämiseksi on kertausluennoista ymmärrettävä hyvin ainakin seuraavat käsitteet ja ominaisuudet: Ehdollinen odotusarvo σ-algebra, filtraatio Kalvo 2 Martingaalit Lisäksi ymmärtämisessä auttaa, jos muutkin asiat ovat jo tuttuja. Tällä luennolla keskeisiä käsitteitä ovat: Stokastinen prosessi on joukko satunnaismuuttujia, jotka saavat erilaisia arvoja ajan muuttuessa jatkuvia diskreettejä Markov prosessi on stokastinen prosessi, jossa ainoastaan nykyinen arvo on relevantti ennustettaessa tulevaisuuden arvoa. Osakkeiden hintaprosessia pidetään usein stokastisena prosessina. Esimerkisi, jos Nokian osakkeen hinta olisi tänään 10 euroa ja haluttaisiin tietään, mitä se on viikon päästä. Ajateltaessa prosessin olevan Markov -prosessi hintaan ei vaikuta hinta eilen tai hinta viikko sitten vain ainoastaan hinta tänään. Näin

2 Sovelluksia 2 Kalvo 3 ajateltaessa osakkeen hinnan jakauma, millä tahansa tulevaisuuden hetkellä, ei ole riippuvainen siitä polusta, jota hinta on seurannut menneisyydessä. Vain tarkasteluhetki on tärkeä. Standardi Brownin liike on useilla eri tieteen aloilla käytetty Markov prosessi, jolla odotusarvo on 0 ja varianssi t, prosessi on jatkuva, ei missään differentioituva ja prosessin lisäyksille W ti W ti 1 pätee E(W ti W ti 1 ) = 0 V ar ( ) W ti W ti 1 = ti t i 1 keskihajonta = V ar ( ) W ti W ti 1 = ti t i 1 Yleistetty Brownin liike voidaan määritellä dx = adt + bdw t, missä W t on Brownin liike. Merkitään usein myös W (t). Termi adt antaa muutokselle suunnan, nyt x kasvaa/vähenee a aikayksikköä kohti. Muuttujaa a kutsutaan kasvukertoimeksi Ensimmäisestä termistä saadaan Kalvo 4 ja integroimalla dx = adt dx dt = a x = x 0 + at ajanjaksolla [0, T ] x kasvaa arvoon x 0 + at Toinen termi bdw t on kohina termi, satunnaisuutta kuvaava termi, missä kohinan määrä on b kertaa Brownin liikkeen muutos. Pienellä aikavälillä δt := t i 1 t i (merkitään pientä väliä nyt δ) muutos δx on δx = aδt + b δtɛ, (1.1)

3 Sovelluksia 3 Kalvo 5 missä ɛ noudattaa standardinormaalijakaumaa ɛ N(0, 1). Tällöin saadaan odotusarvo ja varianssi seuraavasti E(δx) = aδt V ar(δx) = b 2 δt. Kalvo 6 KUVA YLEISTETYSTÄ BM:stä

4 Sovelluksia 4 Kalvo 7 Esimerkki Tarkastellaan tilannetta, jossa yrityksen varallisuus (k e) noudattaa yleistettyä Brownin liike prosessia kasvukertoimella 20 ja varianssilla 900 vuotta kohti. Alkuhetkellä varallisuus on 50 ja vuoden jälkeen varallisuuden odotusarvo on 70 ja hajonta 900 eli 30. Kuuden kuukauden jälkeen varallisuuden odotusarvo on 60 ja hajonta 30 0, 5 = Edellä kuvatunlaisia prosesseja voidaan kutsua myös Ito prosesseiksi. Tällöin yleistetyn Brownin liikkeen kertoimet a ja b ovat funktioita, eli dx = a(x, t)dt + b(x, t)dw t. Pienellä aikavälillä [t, δt] muuttuu prosessi arvosta x arvoon x + δx, missä δx = a(x, t)dt + b(x, t) ɛ. Muutoksen δx arviointi vaatii samanlaista päättelyä, kuin kaavassa (1.1), lisäksi oletetaan, että kasvukerroin ja varianssi pysyvät vakioina, samoina kuin a(x, t) ja b(x, t), ajan muuttuessa hetkestä t hetkeen t + δt. Kalvo Osakkeiden hintojen käyttäytymisen mallintaminen Osakkeen hintaprosessi Osakkeen hintaprosessin voidaan olettaa noudattavan yleistettyä Brownin liikettä, jossa kasvukerroin (usein kutsutaan driftiksi) ja varianssi ovat vakioita. Oletetaan aluksi, että S on osakkeen hinta hetkellä t ja µs on osakkeen kasvunopeus. Toisin sanoen pienellä välillä δt hinnanmuutos on µsδt.

5 Sovelluksia 5 Kalvo 9 Osakkeen hinnan keskihajontaa aikayksikköä kohti kutsutaan osakkeen hinnan volatiliteetiksi. Se on tulevaisuuden hinnan muutosten epävarmuuden mitta. Volatiliteetin arvioimiseen käytetään apuna mm. aikasarja-analyysiä. Jos osakkeen hinnan volatiliteetti on nolla, niin tälloin epävarmuutta ei ole (vakiokorkoiset määräaikaistalletukset yms.) ja malli typistyy muotoon δs = µsδt ja välin pienetessä, kun δt 0 ds = µsdt tai ds S = µdt. Integroimalla nollasta arvoon T saakka saadaan S T = S 0 e µt, missä S 0 ja S T ovat osakkeen hintoja hetkillä nolla ja T. Toisin sanoen kun volatiliteetti on nolla, niin osakkeen hinta kasvaa kasvukertoimen mukaisesti. Kalvo 10 Käytännössä osakkeen hinnoissa on epävarmuutta eli niissä ilmenee volatiliteettiä. Tässä mallissa oletetaan, että hinnat seuraavat kasvukerrointa (odotusarvoa), mutta vaihtelevat sen ympärillä satunnaisesti normaalijakauman mukaisesti. Se, että epävarmuutta kuvataan normaalijakaumalla perustuu keskeiseen raja-arvolauseeseen. Normaalijakaumaa noudattavan satunnaisuuden ottamiseksi mukaan malliin lisäämme yhtälöön uuden termin ds = µsdt + σsdw t,

6 Sovelluksia 6 Kalvo 11 eli ds S = µdt + σdw t. Edelliset yhtälöt ovat käytetyimpiä osakkeen hinnan kehitysta kuvaavia malleja. Mallissa σ on osakkeen hinnan volatiliteetti ja µ on kasvukerroin. Esimerkki 1.1. Tarkastellaan osaketta ilman osto yms. kuluja, vuotuinen volatiliteetti on 30% vuotuinen korko on 15% (jatkuva) eli σ = 0.3 ja µ = Prosessi on ds S = 0.15dt + 0.3dW t. Jos S on osakkeen hinta tietyllä hetkellä ja δt on hinnan kasvu Kalvo 12 seuraavalla pienellä aikavälillä, niin missä ɛ N(0, 1). δs S = 0.15δt δtɛ, Tarkastellaan viikkoa ( vuotta) ja oletetaan, että osakkeen hinta alussa on 100 e. Tällöin δt = , S = 100e ja δs = 100 ( ) e = 0.288e e, josta nähdään, että hinnankasvu viikossa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla 0,288 e ja keskihajonnalla 4.17 e. Osakkeen hinnankehityksen malli tunnetaan geometrisenä Brownin liikkeenä. Kertausluennoissa ko. malli johdettiin osakkeen

7 Sovelluksia 7 hintakehtyksen binomimallista. Mallin diskreettiaikainen versio on eli δs S = µδt + σ δtɛ (1.2) Kalvo 13 δs = µsδt + σs δtɛ. (1.3) Muuttuja δs kuvaa muutosta pienellä aikavälillä δt, ɛ N(0, 1), µ on osakkeen hinnan kasvukerroin aikayksikköä kohti ja σ on osakkeen hinnan volatiliteetti. Kaavassa 1.2 vasen puoli kuvaa osakkeen tuottoa ajan suhteen, ilman osakkeen hinnan vaikutusta, termi µδt on tuoton odotusarvo ja σs δtɛ on tuoton stokastinen komponentti. Toisin sanoen yhtälöstä 1.2 nähdään, että δs S on normaalijakautunut odotusarvolla µδt ja hajonnalla σ δt eli δs S N(µδt, σ δt). Kalvo Monte Carlo simulaatio Stokastisten prosessien Monte Carlo simulaatio on keino laskea otoksen tuloksia. Kurssilla myöhemmissä luennoissa tullaan tutustumaan enemmän myös Monte Carlo simuloinnin ideaan. Esimerkki 1.2. Oletetaan, että vuotuinen kasvukerroin tai odotusarvo on 14% ja volatiliteetti 20 %. Eli µ = 0.14 ja σ = 0.2. Tarkastellaan tilannetta, jossa δt = 0.1 eli tarkastelu tehdään 0.05 vuoden välein (18.25 päivää). Kaavasta (1.3) saadaan δs = S Sɛ. Osakkeen hinnan polku saadaan standardinormaalijakauman avulla ottamalla useita otoksia ɛ:lle. Seuraava taulukko selventää asiaa. Idea on se, että ensimmäisellä kierroksella tarkastellaan osakkeen hintaa ja

8 Sovelluksia 8 Kalvo 15 lasketaan seuraavan hetken hinta ensimmäisen hinnan ja normaalijakaumasta saatavan otoksen avulla. Näin saadaan toinen hinta. Kolmatta hintaa laskettaessa käytetään apuna toista hintaa ja normaalijakaumasta saatavaa otosta jne. Tutustu itsenäisesti ideaan ja erilaisiin polkuihin Matlabin m-tiedoston MCS.m avulla. Kalvo 16 Taulukko ja kuva

9 Sovelluksia Koonta Tarkastellaan nyt vielä hieman käsiteltyjen asioiden ideoita, että niistä jää selkeä mielikuva Kalvo 17 Stokastinen prosessi kuvaa satunnaisten ilmiöiden muuttumista ajan kuluessa. Simuloimalla voidaan tarkastella yhtä prosessin polun mahdollisuutta. Markov prosessi on tärkeä ja kiinnostava prosessi, jonka tulevaisuuden arvoon ei vaikuta menneisyys vaan ainoastaan nykyhetki. Brownin liike kuvaa normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien käytöstä. Jos Brownin liike lähtee liikkeelle ajan hetkellä nolla paikasta x, niin prosessin odotusarvo ja varianssi ajanhetkellä T ovat x ja T. Kalvo 18 Yleistetty Brownin liike kuvaa kasvukertoimisten (driftillisten) normaalijakautuneitten satunnaismuuttujien käytöstä. Jos esimerkiksi kasvukerroin on vakio a ja varianssi aikayksikköä kohti vakio b 2, niin yleistetyn Brownin liikkeen, joka lähtee liikkeelle hetkellä 0 pisteestä x, odotusarvo ja varianssi hetkellä T ovat x + at ja b 2 T. Ito prosessi dt taas yleistää nämä edelliset. Se on prosessi, jolla kasvukerroin ja varianssi voivat olla itse muuttujan x ja ajan funktioita. Muuttujan x muutoksia hyvin pienillä aikaväleillä voidaan approksimoida normaalijakautuneiksi, mutta suurilla aika väleillä tämä ei ole mahdollista.

10 Sovelluksia 10 2 Black-Scholesin kaava Tämän kappaleen pohjana on osittain käytetty Paavo Salmisen ja Esko Valkeilan artikkelia, joka on julkaistu lehdessä Arkhimedes 3/99. Suosittelen artikkeliin tutustumista. Artikkeli löytyi ainakin internetistä osoitteesta Kalvo 19 Luennossa asia johdatellaan diskreetin mallin avulla ja paljon olennaista asiaa on jätetty pois. Siksi suosittelen tutustumaan tarkasti alan kirjallisuuteen. Asiaa on kuvattu luentoa tarkemmin mm. kirjassa J.Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer 2000, kappaleessa 14. Tarkastellaan Black-Scholesin markkinamallia ja heidän luomaansa kaavaa. 2.1 Ongelma Eurooppalainen osto-optio A haluaa osakkeen ja hänellä on K euroa vasta 30 päivän kuluttua. Kalvo 20 B lupaa myydä A:lle osakkeen 30 päivän kuluttua hintaan K euroa, korvausta vastaan. Eli A ostaa option B:ltä. Jos osakkeen hinta ko. päivänä < K, A ostaa pörssistä. > K, A:lle (S 30 K) euron etu Toisin sanoen option myyjä B lupaa maksaa A:lle rahasumman, jonka suuruus riippuu osakkeen hintavaihtelusta. Esimerkki 2.1. Ω = {ω 1, ω 2 } Todennäköisyysmitta

11 Sovelluksia 11 P : P (Ω) [0, 1] P (ω 1 ) = 0.8 P (ω 2 ) = 0.2 Osakkeen hinta on stokastinen prosessi Kalvo 21 S 0 = , jos ω 1 tapahtuu S 1 = 90, jos ω 2 tapahtuu Eurooppalaisen osakkeen S osto-optio X : Lunastusaika T = 1 Lunastushinta K = 105 A:lla oikeus lunastaa osake S hetkellä t = T = 1 hintaan K = 105. Option omistaminen on stokastista tuloa hetkellä T = 1 ja sen arvo on X = max {0, S 1 105} Mikä on option oikea hinta hetkellä t = 1? Kalvo 22 Odotusarvo hetkellä t = ( ) (0) = = 16. Oletetaan, että korko on 10% ja diskontataan nykyhetkeen, niin 1 16 = Saadaan yksi mahdollisuus hinnalle 14.5.

12 Sovelluksia Ratkaisusta Kehittivät Fisher Black ja Myron Scholes 1973 Robert Merton laajensi ratkaisun myös amerikkalaisile optioille. Kalvo 23 Scholes ja Merton (Black kuoli v. 1995) saivat taloustieteen Nobelin palkinnon vuonna Malli Kahdenlaisia sijoituksia: Oblikaatiot, riskitön tuotto korkoprosentin mukaan, B t Osake, riskillinen tuotto/tappio, S t Oletetaan nyt, että osakkeen hintaprosessi on edellä käsitellyn mallin mukainen ds t = µs t dt + σs t dw t, S 0 = s, (2.1) Kalvo 24 missä W on Brownin liike, σ > 0 on volatilitetti (keskihajonta ajan suhteen) ja µ on osakkeen tuottavuus, kasvukerroin. Differentiaaliyhtälö on mahdollista ratkaista, jolloin saadaan S t = se (µ 1 2 σ2 )t+σw t, W 0 = 0. Oblikaation hinta saadaan differentiaaliyhtälöstä db t = rb t dt, B 0 = b, (2.2) missä r > 0 on korkokerroin.

13 Sovelluksia Strategia Määritellään, että Y T on myyjän lupaama rahasumma hetkellä t = T. Hintakehitys määrää Y T :n arvon. β t oblikaatioiden määrä Kalvo 25 γ t osakkeiden määrä. Se kuinka paljon osakkeita ja oblikaatioita myyjän kannattaa pitää vaikuttaa myyjällä olevaan varallisuuteen. Stokastista prosessia π t = (β t, γ t ), t 0, joka kertoo näiden lukumäärät eri ajan hetkillä, kutsutaan strategiaksi. Varallisuus saadaan strategiasta V π t = β t B t + γ t S t. Oletetaan, että varallisuus voidaan kirjoittaa integraalimuotoon Kalvo 26 V π t = v + t 0 β s db s + t 0 γ s ds s, missä V π 0 = v. Jos näin voidaan tehdä, niin strategia on omavarainen. Lisäksi oletetaan, että omavarainen strategia on alhaalta rajoitettu. Näillä oletuksilla strategia on sallittu. 2.4 Diskreetti markkinamalli t = 1, 2,.... r = oblikaation korkokerroin ja B t+1 = (1 + r) B t, t = 0, 1, 2,...

14 Sovelluksia 14 Osakkeen hinta nousee tai laskee: S t+1 = (1 + a) S t tai S t+1 = (1 + y) S t, t = 0, 1, 2,... (2.3) missä a < 0 < r < y. Ko. teoria pätee vain, kun hinnalla on mahdollisuus saada vain kaksi arvoa. Kalvo 27 Y T on rahasumma, jonka option myyjä lupaa maksaa, kun t = T, merkitään Y T = f (S T ). Myyjä tekee suojausstrategian π = {(β i, γ i ) : i = 1, 2,... T }, s.e. varallisuus on sama kuin myyjän lupaama hinta V π T = β T B T + γ T S T, = Y T (2.4) = f (S T ). Kalvo 28 Suojauksen rakentaminen t = T 1, tiedetään S T 1, hinnan kaksi mahdollista arvoa hetkellä T sekä korkokerroin r. Yhtälöstä (2.5) saadaan yhtälöryhmä β T B T + γ T S T 1 (1 + a) = f (S T 1 (1 + a)). β T B T + γ T S T 1 (1 + y) = f (S T 1 (1 + y)) Ja varallisuus V π T 1 = β T B T 1 + γ T S T 1. (2.5) t = T 2 tiedetään S T 2, korkokerroin r sekä osakkeen hinnan kaksi arvoa hetkellä T 1. Option myyjän varallisuus hetkellä T 1 pitäisi olla V π T 1. voidaan rarkaista β T 1 ja γ T 1. Rekursiota jatkamalla saadaan selville V0 π, joka on tasapuolinen option hinta.

15 Sovelluksia 15 V π 0 : laskeminen Oletetaan P(hinta nousee) = q ja P(hinta laskee) = 1 q. Hinnanlasku tai -nousu ei riipu osakkeen aikaisemmasta historiasta. Olkoon Q todennäköisyysmitta, jolle Yhtälö (2.5) voidaan kirjoittaa q = r a y a. Kalvo 29 VT π 1 = (1 r) 1 E Q (f (S T ) S T 1 ), (2.6) Riippumattomuusoletuksen perusteella voidaan S T 1 n paikalle laittaa koko historia E Q (f (S T ) S T 1 ) = E Q ( f (S T ) FT S ) 1 missä Ft S on osakkeen hinnan generoima σ-algebra, eli osakkeen hinnan koko historia hetkeen t saakka. Induktiolla saadaan V π t = (1 r) (T t) E Q ( f (S T ) F S t ), ja strategialle pätee, että että diskontattu varallisuusprosessi on martingaali mitan Q suhteen. Optiosopimuksen tasapuolinen hinta V π 0 saadaan V π 0 = (1 r) T E Q (f (S T )). (2.7) Kalvo Black-Scholesin kaava eurooppalaiselle osto-optiolle Jatkuva kaava saadaan diskreetistä mallista, kaava (2.7). Kaava (2.7) kirjoitetaan binomitodennäköisyyden avulla ja binomijakauma suppenee kohti normaalijakaumaa, jolloin saadaan option oikea hinta V π 0 = e rt E Q (f(s T )).

16 Sovelluksia 16 Eurooppalaisen option arvoksi saadaan tällöin V π 0 = e rt E (max {S T K, 0}) (2.8) ( { }) = e rt E max se (r 1 2 σ2 )T +σw T K, 0, (2.9) Kalvo 31 missä W T N(0, T ) ja T on varianssi. Ratkaisu voidaa ilmaista käyttäen normaalijakauman kertymäfunktiota Φ. Laskuissa korko ja volatiliteetti pitäisi tuntea. Reilu hinta saadaan laskettua muotoon missä ja V π 0 = sφ (α + ) Ke rt Φ (α ), α ± = 1 σ T (log sk ) ) (r + ± σ2 T 2 Φ (z) = 1 2π z e u2 2 du. Kalvo 32 Termeistä: B&S:n kaavassa käytetään kreikkalaisia kirjamia kuvaamaan osittaisderivaattoja funktion muuttujien suhteen. Niillä kuvataan option arvon herkkyyttä (muutosta) parametrin arvon muutoksen suhteen. Esimerkiksi: = Φ(α + ) = (f(s T )) S T kuvaa option arvon herkkyyttä osakkeen hinnan muutoksien suhteen. Γ = Φ (α + ) S T σ = 2 (f(s T )) taas kuvaa option arvon kaarevuutta T ST 2 osakkeen hinnan suhteen eli deltan herkkyyttä osakkeen hinnan muutoksien suhteen. Θ on option hinnan aikaderivaatta ja se kuvaa option hinnan herkkyttä ajan suhteen.

17 Sovelluksia 17 Esimerkki 2.2. Osakkeen hinta 80e Kalvo 33 Volatiliteetti 0.40 Aika T=4 kk Toteutushinta 85e Mikä on option reilu hinta, jos korko on 8%? Kalvo 34 Lasketaan aluksi α + ja α α + = 1 (ln σ sk (r T + + σ2 2 ( 1 = ln ) ) T ( = α = 1 (ln σ sk (r T + σ2 2 = = ( ln ) ) T ( ) ) 1 3 ) ) 1 3

18 Sovelluksia 18 Sijoitetaan saadut tulokset kaavaan v = sφ (α + ) Ke rt Φ (α ) Kalvo 35 = 80Φ ( 0.031) 85e 0.08( 1 3) Φ ( ) = e = 6.18 Arvot funktiolle Φ saa taulukosta tai laskemalla koneella. Kalvo Muita stokastisiin prosesseihin perustuvia malleja Edellä käytettiin malleja, jotka pohjautuvat Brownin liikkeeseen. Useissa tilanteissa ei Markov prosessi ole kuitenkaan riittävä kuvaamaan malleja, koska Markov prosesseissa ei tulevaisuus perustu, yhtä hetkeä lukuunottamatta, menneisyyteen. Menneisyyttä tarvitsevista malleista voidaan ottaa esimerkkinä Gaussinen prosessi, Fraktionaalinen Brownin liike, jolla on mallinnettu tietoliikennepakettien kulkua verkossa. Kyseessä on Brownin liikkeen yleistys, jolla ei ole riippumattomia lisäyksiä, kuten Brownin liikkeellä, vaan lisäykset ovat ainoastaan stationaarisia. Molemmat prosessit ovat kuitenkin itse-similaarisia, joka tarkoittaa, että tarkennettaessa (zoomatessa) polkua tarkemmaksi näyttää prosessin polku koko ajan samanlaiselta. Fraktionaarisella Brownin

19 Sovelluksia 19 Kalvo 37 liikkeellä on kuitenkin paksuhäntäinen jakauma, jota Brownin liikkeellä ei ole. Eli fraktionaarisella Brownin liikkeellä voidaan mallintaa informaatiota, jossa ominaisuutena on pitkän aikavälin riippuvuus. Lisätietoa teleliikenteen mallintamisesta ja fraktionaarisesta Brownin liikkeestä voit aluksi vilkaista mm. Ilkka Norroksen artikkelista ja sen jälkeen etsiä itsenäisesti vaikka VTT:n verkkosivuilta. Kalvo 38 3 Lähdeluettelo Luentomateriaali pohjautuu pääosin seuraavaan kirjallisuuteen Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives, Fifth edition. Prentice Hall, New Jersey, Shreve, S. Lectures on Stochastic Calculus and Finance, chal/shreve.html Klebaner, F. C, Introduction to Stochastic Calculus with application. Imperial College Press, London Salminen P.,Valkeila E. Matemaattisen rahoitusteorian peruselementti: Black-Scholesin kaava. Arkhimedes 3/99. Steele J.M., Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer 2000.

20 Sovelluksia 20 Kalvo 39 Williams, D. Probability with Martingales. Cambridge University Press, The Pitt Building, Trumpington Street Cambridge CB2 1RP Öksendal,B. Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, 1998