Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1"

Transkriptio

1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

2 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2

3 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat: Mitä opimme? 1/3 Tässä luvussa tarkastellaan seuraavia ongelmia: (i) (ii) (iii) Jos satunnaismuuttujan jakauma tunnetaan, mitä voidaan sanoa sen muunnoksen jakaumasta? Jos satunnaismuuttujien jakaumat tunnetaan, mitä voidaan sanoa niiden summan jakaumasta? Jos satunnaismuuttujien jakaumat tunnetaan, mitä voidaan sanoa niiden minimin ja maksimin jakaumasta? Ei ole mahdollista löytää yleistä tulosta, joka antaa satunnaismuuttujan mielivaltaisen muunnoksen jakauman (ongelma (i)), mutta ongelma (i) voidaan ratkaista monissa erikoistilanteissa esittämällä lisäehtoja, jotka rajoittavat sallittujen muunnosten luokkaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3

4 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat: Mitä opimme? 2/3 Ongelmalle (i) löytyy ratkaisu, jos rajoitutaan muunnoksiin, joilla on käänteismuunnos. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan ja osamäärän jakaumat saadaan erikoistapauksena ongelman (i) ratkaisusta kaksiulotteisten satunnaismuuttujien tapauksessa. Useamman satunnaismuuttujan summan jakauma (ongelma (ii)) voidaan löytää käyttämällä apuna momenttiemäfunktiota; lisätietoja momenttiemäfunktiosta: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Ongelma (iii) voidaan ratkaista käyttämällä pelkästään kertymä- ja tiheysfunktion määritelmiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4

5 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat: Mitä opimme? 3/3 Sovelluksina esitettävälle teorialle tässä luvussa johdetaan mm. χ 2 -, F- ja t-jakaumien tiheysfunktioiden lausekkeet (jakaumien määrittely: ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia). Lisäksi tarkastellaan mm. seuraavia esimerkkejä: satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma erikoistapauksenaan normaalijakautuneen satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) Bernoulli- ja binomijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) Poisson-jakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5

6 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6

7 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat: Lisätiedot Esitettyä teoriaa sovelletaan mm. satunnaismuuttujien lineaarimuunnoksien ja riippumattomien satunnaismuuttujien summien jakaumia koskevissa tarkasteluissa seuraavissa luvuissa: Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7

8 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat >> Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8

9 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Avainsanat Aidosti monotoninen muunnos Cauchyn jakauma Ei-monotoninen muunnos Kertymäfunktio χ 2 (1)-jakauma Käänteismuunnos Lineaarimuunnos Muunnos Satunnaismuuttuja Studentin t-jakauma Tiheysfunktio Todennäköisyysjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9

10 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Muodostetaan satunnaismuuttujan X lineaarimuunnos Y = a + bx jossa a ja b 0 ovat vakioita. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 y a fy( y) = fx b b TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10

11 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Kommentti Satunnaismuuttujan X lineaarimuunnoksen Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) jakauma on aina samaa tyyppiä kuin satunnaismuuttujan X jakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11

12 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 1/4 Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x). Olkoon Y = a + bx jossa a ja b 0 ovat vakioita. Muodostetaan ensin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio, josta satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio saadaan derivoimalla. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: (i) b > 0 (ii) b < 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12

13 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 2/4 Jos b > 0, satunnaismuuttujan Y = a + bx kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( a+ bx y) Y y a = Pr X b y a = FX b Derivoimalla satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan d d y a fy( y) = FY( y) = FX dy dy b 1 y a = f X b b TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13

14 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 3/4 Jos b < 0, satunnaismuuttujan Y = a + bx kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( a+ bx y) Y y a = Pr X b y a = 1 Pr X b y a = 1 FX b Derivoimalla satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan d d y a fy( y) = FY( y) = FX dy dy b 1 y a = f X b b TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14

15 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 4/4 Kalvoilla 2/4 ja 3/4 johdetut kaavat satunnaismuuttujan Y tiheysfunktiolle f Y (y) voidaan yhdistää yhdeksi kaavaksi: Satunnaismuuttujan Y = a + bx tiheysfunktio on kaikille b 0: 1 y a fy( y) = fx b b TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15

16 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Välillä (0,1) jatkuvaa tasaista jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (0,1): X ~ Uniform(0,1) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on fx ( x) = 1,0 x 1 Olkoon Y = a + bx (a ja b > 0 vakioita) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan 1 fy ( y) =, a y a+ b b Siten Y noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (a, a + b): Y ~ Uniform(a, a + b) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16

17 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Standardoitua normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): X ~N(0, 1) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on 1 1 fx ( x) = exp x 2π 2 Olkoon Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan y a fy ( y) = exp b 2π 2 b Siten Y noudattaa normaalijakaumaa parametrein a ja b 2 : Y ~N(a, b 2 ) 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17

18 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2 (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): X ~N(µ, σ 2 ) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on x µ fx ( x) = exp σ 2π 2 σ Olkoon Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan y a bµ fy ( y) = exp b σ 2π 2 bσ Siten Y noudattaa normaalijakaumaa parametrein a + bµ ja b 2 σ 2 : Y ~N(a + bµ, b 2 σ 2 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18

19 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Muodostetaan satunnaismuuttujan X muunnos Y = h(x) jossa funktio h on aidosti monotoninen ja jatkuvasti derivoituva. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 1 dh ( y) fy( y) = fx( h ( y)) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19

20 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 1/4 Olkoon jatkuva satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x). Olkoon Y = h(x) jossa h on aidosti monotoninen ja jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( h( X) y) Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: (i) (ii) Y Funktio h on aidosti vähenevä. Funktio h on aidosti kasvava. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20

21 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 2/4 Oletetaan ensin, että funktio h on aidosti vähenevä. Koska funktio h oletettiin aidosti väheneväksi, sillä on käänteisfunktio h 1, joka myös on aidosti vähenevä. Siten satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( h( X) y) Y = 1 1 Pr( h ( h( X)) h ( y)) = 1 Pr( X h ( y)) = 1 1 Pr( X h ( y)) = 1 1 FX ( h ( y)) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21

22 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 3/4 Derivoimalla satunnaismuuttujan Y kertymäfunktion lauseke saadaan satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi d d f y F y F h y dy dy 1 Y( ) = Y( ) = X( ( )) 1 1 dh ( y) = fx( h ( y)) dy Koska funktion h käänteisfunktio h 1 oletettiin aidosti väheneväksi, niin dh 1 ( y) < 0 dy Voimme siis kirjoittaa: f ( y) = f ( h ( y)) Y X 1 1 dh ( y) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22

23 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 4/4 Jos funktio h on aidosti kasvava, myös käänteisfunktio h 1 on aidosti kasvava, jolloin dh 1 ( y) dy > 0 Siten myös tässä tapauksessa pätee 1 1 dh ( y) fy( y) = fx( h ( y)) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23

24 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnos monotonisena muunnoksena Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Muodostetaan satunnaismuuttujan X lineaarimuunnos Y = a + bx jossa a ja b 0 ovat vakioita. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 y a fy( y) = fx b b TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 24

25 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnos monotonisena muunnoksena: Todistus Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x). Olkoon Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) Tällöin y = h( x) = a+ bx, b 0 joten = ( ) = 1 x h y dh( x) dx = b y a b 1 1 dh ( y) 1 y a fy( y) = fx( h ( y)) = fx dy b b TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25

26 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä ( π/2, +π/2): X ~ Uniform( π/2, +π/2) Muodostetaan satunnaismuuttujan X muunnos Y = tan(x) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on fy 1 1 ( y) = π 1+ y 2 Satunnaismuuttujan Y jakaumaa kutsutaan Cauchyn jakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 26

27 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma: Tiheysfunktion johto 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä ( π/2, +π/2), jolloin sen tiheysfunktio on f X (x) = 1/π, π/2 x +π/2 Olkoon Muunnos Y = h(x) = tan(x) y = h(x) = tan(x) on aidosti kasvava ja sen käänteismuunnoksen x = h 1 (y) = arctan(y) derivaatta on 1 dh y d y ( ) arctan( ) 1 = = dy dy 1 + y 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 27

28 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma: Tiheysfunktion johto 2/2 Siten satunnaismuuttujan Y = tan(x) tiheysfunktioksi saadaan 1 1 dh ( y) 1 1 fy( y) = fx( h ( y)) = 2 dy π 1+ y Satunnaismuuttujan Y jakaumaa kutsutaan Cauchyn jakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 28

29 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma ja Studentin t-jakauma Voidaan osoittaa, että Cauchyn jakauma on sama kuin Studentin t-jakauma yhdellä vapausasteella (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) eli, jos ja niin X ~ Uniform( π/2, +π/2) Y = tan(x) Y ~ t(1) Huomautus: Cauchyn jakaumalla ei ole momentteja eli sillä ei ole edes odotusarvoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 29

30 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Ei-monotonisten muunnosten jakaumat Jos satunnaismuuttujaan sovelletaan ei-monotonista muunnosta, ei ole mahdollista löytää yleistä muunnoksen jakaumaa ja sen tiheysfunktiota koskevaa tulosta. Ei-monotonisten muunnosten tapauksessa joudutaan tarkastelu tekemään tapauskohtaisesti. Seuraavassa tarkastellaan esimerkkinä χ 2 (1)-jakauman (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tiheysfunktion johtoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 30

31 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat χ 2 (1)-jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa: X ~ N(0, 1) Määritellään satunnaismuuttuja Y = X 2 Satunnaismuuttuja Y noudattaa χ 2 -jakauman määritelmän mukaan χ 2 -jakaumaa yhdellä vapausasteella: Y ~ χ 2 (1) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 y fy ( y) = y e 2π TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 31

32 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat χ 2 (1)-jakauma: Tiheysfunktion johto 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa: Tällöin X ~N(0, 1) Y = X 2 ~ χ 2 (1) Olkoon Φ( ) standardoidun normaalijakauman N(0, 1) kertymäfunktio. Satunnaismuuttujan Y = X 2 kertymäfunktio on F y Y y X y 2 Y ( ) = Pr( ) = Pr( ) = Pr( X y) = Pr( y X + y) =Φ( y) Φ( y) = 2 Φ( y) 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 32

33 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat χ 2 (1)-jakauma: Tiheysfunktion johto 2/2 Standardoidun normaalijakauman N(0, 1) tiheysfunktio on 1 2 d 1 x 2 Φ ( x) = Φ ( x) = e dx 2π jossa Φ( ) on standardoidun normaalijakauman N(0, 1) kertymäfunktio. Siten satunnaismuuttujan Y = X 2 ~ χ 2 (1) tiheysfunktioksi saadaan d d fy( y) = FY( y) = 2 Φ( y) 1 dy dy =Φ ( y) = 1 y 2π 1 y 1 y 2 2 e TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 33

34 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat >> Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 34

35 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Avainsanat Boxin ja Müllerin muunnos Jacobin determinantti Käänteismuunnos Muunnos Normaalijakauma Satunnaisluvut Satunnaismuuttuja Tasainen jakauma Tiheysfunktio Todennäköisyysjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 35

36 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Bijektiivisten muunnosten jakaumat 1/3 Olkoot X ja Yjatkuviasatunnaismuuttuja, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY (x, y) Määritellään satunnaismuuttujat U = g(x, Y) V = h(x, Y) Tehdään muunnoksesta u = g( x, y) () v = h( x, y) seuraavalla kalvolla esitettävät oletukset. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 36

37 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Bijektiivisten muunnosten jakaumat 2/3 Oletukset muunnoksesta ( ): (i) Muuttujat x ja y voidaan ratkaista yhtälöryhmästä ( ) yksikäsitteisesti muuttujien u ja v funktioina. (ii) Funktioilla g ja h on jatkuvat osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen. (iii) Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti on nollasta poikkeava alueella, jossa tiheysfunktio f XY (x, y) on positiivinen: ( uv, ) u v u v = 0 ( xy, ) x y y x kaikille x ja y, joille f XY (x, y) > 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 37

38 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Bijektiivisten muunnosten jakaumat 3/3 Jos oletukset (i)-(iii) pätevät, satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauman tiheysfunktio on ( uv, ) fuv ( u, v) = fxy ( x, y) ( xy, ) jossa x ja y ratkaistaan kalvon 1/3 yhtälöryhmästä ( ). 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 38

39 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia ja noudattavat jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (0, 1): X ~ Uniform(0, 1) Y ~ Uniform(0, 1) X Y Määritellään satunnaismuuttujat U = cos(2 π X) 2log( Y) V = sin(2 π X) 2log( Y) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 39

40 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 2/2 Satunnaismuuttujat U ja V ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): U ~ N(0, 1) V ~ N(0, 1) U V TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 40

41 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 1/5 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia ja noudattavat jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (0, 1): X Y Olkoot X ~ Uniform(0, 1) Y ~ Uniform(0, 1) U = cos(2 π X) 2log( Y) V = sin(2 π X) 2log( Y) Tarkastellaan yhtälöryhmää u = cos(2 π x) 2log( y) () v = sin(2 π x) 2log( y) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 41

42 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 2/5 Yhtälöryhmän u = cos(2 π x) 2log( y) () v = sin(2 π x) 2log( y) ratkaisut muuttujien x ja y suhteen saadaan yhtälöistä u cos(2 π x) = 2 2 u + v v sin(2 π x) = 2 2 u + v y = exp ( u + v ) 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 42

43 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 3/5 Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti on ( uv, ) u v u v = ( xy, ) x y y x 2π = y Koska y > 0, niin ( uv, ) ( xy, ) sin(2 π x) = 2πsin(2 πx) 2log( y) y 2log( y) 0 cos(2 π x) 2πcos(2 πx) 2log( y) y 2log( y) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 43

44 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 4/5 Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY (x, y) = 1, 0 < x < 1, 0 < y < 1 Siten satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauman tiheysfunktio on 1 ( uv, ) y fuv ( u, v) = fxy ( x, y) =,0< x< 1,0< y< 1 ( xy, ) 2π Sijoittamalla tähän x ja y lausuttuna muuttujien u ja v funktiona saadaan fuv ( u, v) = exp ( u + v ) 2π 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 44

45 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 5/5 Nyt 1 1 2π = exp u exp v 2π 2 2π 2 = f ( u) f ( v) 2 2 ( ) fuv ( u, v) = exp ( u + v ) U V jossa f U (u) ja f V (v) ovat standardoidun normaalijakauman N(0, 1) tiheysfunktioita. Koska satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauman tiheysfunktio voidaan esittää satunnaismuuttujien U ja V reunajakaumien tiheysfunktioiden tulona, satunnaismuuttujat U ja V ovat riippumattomia. Yhtälöstä( ) nähdään lisäksi se, että satunnaismuuttujat U ja V noudattavat standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1). TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 45

46 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Kommentteja Muunnosta u = cos(2 π x) 2log( y) () v = sin(2 π x) 2log( y) kutsutaan tavallisesti Boxin ja Müllerin muunnokseksi. Boxin ja Müllerin muunnos tarjoaa erään keinon generoida normaalijakautuneita satunnaislukuja tasaista jakaumaa välillä (0, 1) noudattavista satunnaisluvuista. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 46

47 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat >> Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 47

48 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Avainsanat Binomijakauma Jacobin determinantti Kertymäfunktio χ 2 -jakauma Momenttiemäfunktio Normaalijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttujien summan jakauma Tiheysfunktio Todennäköisyysjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 48

49 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Satunnaismuuttujien riippumattomuus Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin niiden yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) voidaan esittää satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien tiheysfunktioiden f X (x) ja f Y (y) tulona: f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 49

50 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Muodostetaan satunnaismuuttujien X ja Y summa U = X + Y Satunnaismuuttujan U tiheysfunktio on + fu( u) = fy( u x) fx( x) dx TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 50

51 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: Todistus 1/3 Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Koska satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, Olkoot f XY (x, y) = f Y (y)f X (x) U = X + Y V = X Satunnaismuuttujien X ja Y summan jakauma saadaan määräämällä satunnaismuuttujan U reunajakauma satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakaumasta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 51

52 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: Todistus 2/3 Tarkastellaan muunnosta u = x+ y () v = x Muunnoksen ( ) käänteismuunnos: y = u v x = v Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti: ( uv, ) u v u v = ( xy, ) x y y x = = 1 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 52

53 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: Todistus 3/3 Siten satunnaismuuttujien U = X + Y ja V = X yhteisjakauman tiheysfunktio on 1 ( uv, ) fuv ( u, v) = fxy ( x, y) ( xy, ) = f ( x) f ( y) 1 X = f () v f ( u v) X Y Y Summan U = X + Y tiheysfunktio saadaan tästä satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktiona: + + f ( u) = f ( u, v) dv= f ( v) f ( u v) dv U UV X Y + = f ( x) f ( u x) dx X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 53

54 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma 1/3 Tarkastellaan riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakaumaa koskevan yleisen tuloksen sovelluksena χ 2 -jakauman (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tiheysfunktion lausekkeen johtoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 54

55 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma 2/3 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X 1, X 2,, X n X i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n Määritellään satunnaismuuttuja Y = X + X +! + X n Satunnaismuuttuja Y n noudattaa χ 2 -jakauman määritelmän mukaan χ 2 -jakaumaa n:llä vapausasteella: Y n ~ χ 2 (n) n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 55

56 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma 3/3 Satunnaismuuttujan Yn tiheysfunktio on 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n χ 2 ( n) n Normeerausvakio C n saadaan kaavasta 1 Cn = 1 n 2 n 2 Γ 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t z t e dt Γ ( ) = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 56

57 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 1/10 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: Tällöin X 1, X 2,, X n X i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n Yn = X1 + X2 +! + Xn χ ( n) Käytetään satunnaismuuttujan Y n tiheysfunktion lausekkeen 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n n perustelemiseen täydellistä induktiota ja yleistä tulosta riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakaumalle. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 57

58 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 2/10 Olkoon n = 1. Tässä luvussa on jo todettu (ks. kappaletta Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat), että 2 2 Y1 = X1 χ (1) ja satunnaismuuttujan Y 1 tiheysfunktio on y 2 2 f1( y) = y e 2π Koska 1 1 C1 = = π 2 Γ 2 satunnaismuuttujan Yn = X1 + X2 +! + Xn χ ( n) tiheysfunktion lauseke pätee, kun n = 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 58

59 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 3/10 Tarkastellaan seuraavaksi tapausta n = 2. Koska satunnaismuuttujat X 1 ja X 2 on oletettu riippumattomiksi, myös 2 2 satunnaismuuttujat X ja X ovat riippumattomia. 1 2 Siten voimme soveltaa satunnaismuuttujaan Y = X + X χ (2) riippumattomien satunnaismuuttujien summan tiheysfunktion kaavaa: jossa C on muuttujan y suhteen vakio ( y z) z f ( y) = f ( y z) f ( z) dz = C ( y z) e z e dz y = Ce ( y z) z dz 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 59

60 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 4/10 Tapaus n = 2 jatkuu... Sijoituksella z = yt integraali y f ( y) = C e ( y z) z dz saadaan muokatuksi muotoon y f ( y) = C e ( y yt) ( yt) ydt y = Ce (1 t) t dt = Ce 0 1 y jossa 2 2 C2 = C 2 (1 t) t dt on muuttujan y suhteen vakio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 60

61 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 5/10 Tapaus n = 2 jatkuu... Siten satunnaismuuttujan Yn = X1 + X2 +! + Xn χ ( n) tiheysfunktion lauseke pätee, kun n = 2: 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n n f ( y) = C e y 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 61

62 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 6/10 Induktio-askel n 1 n. Induktio-oletus: Satunnaismuuttujan Yn 1 = X1 + X2 +! + Xn 1 χ ( n 1) tiheysfunktio on n 1 n ( n 1) 1 y 2 2 f ( y) = C y e TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 62

63 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 7/10 Induktio-askel n 1 n jatkuu Koska satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n on oletettu riippumattomiksi, myös satunnaismuuttujat Yn = X + X +! + X 2 ja ovat riippumattomia. X n Siten voimme soveltaa satunnaismuuttujaan Yn = Yn 1+ Xn = X1 + X2 +! + Xn 1 + Xn χ ( n) riippumattomien satunnaismuuttujien summan tiheysfunktion kaavaa: + n 1 n 1 n 0 jossa C on muuttujan y suhteen vakio ( y z) ( n 1) 1 z f ( y) = f ( y z) f ( z) dz= C ( y z) e z e dz n y n = Ce ( y z) z dz n n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 63

64 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 8/10 Induktio-askel n 1 n jatkuu Sijoituksella z = yt integraali saadaan muokatuksi muotoon y n f ( y) = C e ( y yt) ( yt) ydz n n n 1 y n = Cy e (1 t) t dt n = Cy n y n f ( y) = C e ( y z) z dz n n n 1 y 2 2 e n jossa C = C (1 t) t dt on muuttujan y suhteen vakio. n n 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 64

65 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 9/10 Induktiopäättely jatkuu... Yhdistämällä kalvojen 2/10-8/10 tulokset nähdään, että satunnaismuuttujan Yn = X1 + X2 +! + Xn χ ( n) tiheysfunktion lauseke 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n pätee kaikille n = 1, 2, 3, n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 65

66 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 10/10 Määrätään vielä normeerausvakio C n. Todetaan ensin, että tiheysfunktio f n toteuttaa seuraavan ehdon: n n n y 2 f ( y) dy = C y e dy = 1 Sijoituksella y = 2t tämä integraali saadaan muokatuksi muotoon n n 2 n 0 t 2 C t e dt = 1 Siten normeerausvakion C n arvoksi saadaan 1 Cn = 1 n 2 n 2 Γ 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t Γ ( z) = t e dt 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 66

67 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Momenttiemäfunktio Olkoon X satunnaismuuttuja. Oletetaan, että odotusarvo m X (t) = E(e tx ) on olemassa kaikille t ( h, +h) jossa h > 0 on vakio. Tällöin funktiota m X (t) kutsutaan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman momenttiemäfunktioksi eli momentit generoivaksi funktioksi. Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 67

68 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio Olkoot X 1, X 2,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden momenttiemäfunktiot ovat m 1 (t), m 2 (t),, m n (t) Tällöin summan X = X 1 + X X n momenttiemäfunktio on satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n momenttiemäfunktioiden tulo: m X (t) = m 1 (t)m 2 (t) m n (t) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 68

69 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat samaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p: X 1, X 2,, X n X i ~ Bernoulli(p), i = 1, 2,, n Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n summa Y = X 1 + X X n noudattaa binomijakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrein (n, p): Y ~ Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 69

70 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X n X i ~ Bernoulli(p), i = 1, 2,, n Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n momenttiemäfunktio on muotoa m () t = q+ pe t, i = 1,2,, n i Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n summa: Y = X 1 + X X n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 70

71 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X n momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t! m () t Y 1 2 t t t = ( q+ pe )( q+ pe )!( q+ pe ) t n = ( q+ pe ) Koska m Y (t) on binomijakauman Bin(n, p) momenttiemäfunktio, niin Y = X 1 + X X k ~ Bin(n, p) n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 71

72 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia parametrein (n 1, p), (n 2, p),, (n k, p): X 1, X 2,, X k X i ~ Bin(n i, p), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa binomijakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrein (n 1 + n n k, p): Y ~ Bin(n 1 + n n k, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 72

73 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X k X i ~ Bin(n i, p), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k momenttiemäfunktiot ovat muotoa t m () t = ( q+ pe ) n i, i = 1,2,, k i Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa: Y = X 1 + X X k TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 73

74 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X k momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t! m () t Y 1 2 = k t n1 t n2 t nk ( q pe ) ( q pe )!( q pe ) t n1+ n2+! + nk = ( q+ pe ) Koska m Y (t) on binomijakauman Bin(n 1 + n n k, p) momenttiemäfunktio, niin Y = X 1 + X X k ~ Bin(n 1 + n n k, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 74

75 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia parametrein λ 1, λ 2,, λ k : X 1, X 2,, X k X i ~ Poisson(λ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa Poisson-jakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrilla λ 1 + λ λ k : Y ~ Poisson(λ 1 + λ λ k ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 75

76 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X k X i ~ Poisson(λ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k momenttiemäfunktiot ovat muotoa i ( e 1) m () t e λ t =, i = 1,2,, k i Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa: Y = X 1 + X X k TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 76

77 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X k momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t! m () t Y = 1 2 t 1 e λ2 t λ ( 1) ( e 1) λk ( e 1) e e! e t k ( λ1+ λ2+! + λ1)( e 1) = e Koska m Y (t) on Poisson-jakauman Poisson(λ 1 + λ λ k ) momenttiemäfunktio, niin Y = X 1 + X X k ~ Poisson(λ 1 + λ λ k ) t TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 77

78 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat normaalijakaumia parametrein ( µ, σ ),( µ, σ ),,( µ, σ ): X 1, X 2,, X k 2 X N( µ, σ ), i = 1, 2,, k i i i Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrein ( µ + µ +! + µ, σ + σ +! + σ ): 1 2 k k k Y N( µ µ! µ, σ σ! σ ) k k k TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 78

79 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X k 2 X i N( µ i, σ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k momenttiemäfunktiot ovat muotoa m () t = exp( µ t+ σ t ), i = 1,2,, k i i 2 i Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa: Y = X 1 + X X k TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 79

80 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X k momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t! m () t Y 1 2 k = exp( µ t+ σ t )exp( µ t+ σ t )! exp( µ t+ σ t ) k 2 k = exp(( µ 1+ µ 2 +! + µ k) t+ 2 ( σ1 + σ2 +! + σk) t ) Koska m Y (t) on normaalijakauman N( µ + µ +! + µ, σ + σ +! + σ ) momenttiemäfunktio, niin 1 2 k 1 2 k Y = X1+ X2 +! + X k µ 1+ µ 2 +! + µ k σ1 + σ2 +! + σk N(, ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 80

81 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma >> Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 81

82 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Avainsanat F-jakauma Jacobin determinantti Kertymäfunktio Normaalijakauma Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Studentin t-jakauma Tiheysfunktio Todennäköisyysjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 82

83 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien riippumattomuus Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin niiden yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) voidaan esittää satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien tiheysfunktioiden f X (x) ja f Y (y) tulona: f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 83

84 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Olkoot X ja Y > 0 riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Määritellään satunnaismuuttuja U = X / Y Osamäärän U = X / Y tiheysfunktio on + fu( u) = yf X( uy) fy( y) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 84

85 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma: Todistus 1/3 Olkoot X ja Y > 0 riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Koska satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, Olkoot f XY (x, y) = f Y (y)f X (x) U = X / Y V = Y Satunnaismuuttujien X ja Y osamäärän jakauma saadaan määräämällä satunnaismuuttujan U reunajakauma satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakaumasta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 85

86 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma: Todistus 2/3 Tarkastellaan muunnosta u = x y () v = y Muunnoksen ( ) käänteismuunnos: x= uv y = v Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti: ( uv, ) u v u v = ( xy, ) x y y x 1 x = y y = 1 y 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 86

87 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma: Todistus 3/3 Siten satunnaismuuttujien U = X / Y ja V = Y yhteisjakauman tiheysfunktio on 1 ( uv, ) fuv ( u, v) = fxy ( x, y) ( xy, ) = f ( x) f ( y) y X X Y = vf ( uv) f ( v) Y Osamäärän U = X / Y tiheysfunktio saadaan tästä satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktiona: + + f ( u) = f ( uvdv, ) = vf ( uv) f ( vdv ) U UV X Y = + yf ( uy) f ( y) dy X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 87

88 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 1/4 Tarkastellaan riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakaumaa koskevan yleisen tuloksen sovelluksena F-jakauman (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tiheysfunktion lausekkeen johtoa. Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X m, Y 1, Y 2,, Y n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X 1, X 2,, X m, Y 1, Y 2,, Y n X i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, m Y i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 88

89 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 2/4 Määritellään satunnaismuuttujat X = X + X +! + X Y = Y1 + Y2 +! + Yn Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia ja χ 2 - jakauman määritelmän mukaan X noudattaa χ 2 -jakaumaa m:llä vapausasteella ja Y noudattaa χ 2 -jakaumaa n:llä vapausasteella: X Y X 2 χ ( m) 2 χ ( n) Y m TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 89

90 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 3/4 Määritellään satunnaismuuttuja X / m n X F = Y / n = m Y jossa siis X 2 χ ( m) 2 Y χ ( n) X Y Satunnaismuuttuja F noudattaa F-jakauman määritelmän mukaan F-jakaumaa vapausastein m ja n: F ~ F(m, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 90

91 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 4/4 Satunnaismuuttujan F ~ F(m, n) tiheysfunktio on m+ n Γ m m 2 m 1 2 m ff ( y) = y 1 y m n + n n Γ Γ 2 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t z t e dt Γ ( ) = 0 m+ n 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 91

92 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 1/6 Määritellään satunnaismuuttuja n X F = m Y jossa 2 2 X χ ( m), Y χ ( n), X Y Tällöin F ~ F(m, n) Käytetään satunnaismuuttujan F tiheysfunktion lausekkeen m+ n Γ m m+ n m 2 m m ff ( y) = y 1 y m n + n n Γ Γ 2 2 perustelemiseen yleistä tulosta riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakaumalle. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 92

93 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 2/6 Määritellään satunnaismuuttuja X Z = Y jossa 2 2 X χ ( m), Y χ ( n), X Y χ 2 (n)-jakauman tiheysfunktio on muotoa (ks. kappaletta Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma): 1 n n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n C n = 2 z 1 t z t e dt Γ ( ) = 0 n 1 n Γ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 93

94 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 3/6 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän tiheysfunktion kaavan mukaan satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktio on + Z X Y m n 0 m 1 n 1 1 zy 1 y f ( z) = yf ( zy) f ( y) dy= C C y( zy) e y e dy m n (1 + z) y = CC yzy ( ) y e dy Kun integraalissa tehdään sijoitus (1 + y)z = t, saadaan 0 m n 0 m n t 2 t t t 1 fz( z) = CmCn z e dt 1+ z 1+ z 1+ z 1+ z m m+ n ( m+ m) 1 t = CCz (1 + z) t e dt m n 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 94

95 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 4/6 Satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktion lausekkeen integraalin m m+ n ( m+ m) 1 t fz( z) = CmCnz (1 + z) t e dt ( m+ m) 1 t 2 2 t e dt integroitava on χ 2 (m + n)-jakauman tiheysfunktion ydin. Siten ( m+ m) 1 t 2 2 t e dt 1 = C m+ n 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 95

96 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 5/6 Sijoittamalla vakioiden C m, C n ja C m + n lausekkeet paikoilleen saadaan satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktioksi m+ n m m+ n Γ m m+ n CC 1 1 m n fz ( z) = z (1 + z) = z (1 + z) C m n m+ n Γ Γ 2 2 Satunnaismuuttujan n X F = Fmn (, ) m Y saadaan satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktiosta lineaarimuunnoksella F = n m Z TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 96

97 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 6/6 Soveltamalla satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen tiheysfunktion kaavaa (ks. kappaletta Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat) saadaan F(m, n)-jakauman tiheysfunktioksi m+ n Γ m m+ n m 2 m 2 1 m 2 2 ff ( y) = y 1 y m n + n n Γ Γ 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 97

98 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 1/4 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X, Y 1, Y 2,, Y n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X, Y 1, Y 2,, Y n X ~ N(0, 1) Y i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 98

99 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 2/4 Määritellään satunnaismuuttuja Y = Y + Y +! + Y Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1) ja Y noudattaa χ 2 -jakauman määritelmän mukaan χ 2 -jakaumaa n:llä vapausasteella: X Y X Y 1 2 n N(0,1) 2 χ ( n) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 99

100 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 3/4 Määritellään satunnaismuuttuja t = X = Y / n n jossa siis X X Y Satunnaismuuttuja t noudattaa t-jakauman määritelmän mukaan Studentin t-jakaumaa vapausastein n (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia): t ~ t(n) N(0,1) 2 Y χ ( n) X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 100

101 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 4/4 Satunnaismuuttujan t ~ t(n) tiheysfunktio on n + 1 Γ ft ( y) = 1 y nπ n + n Γ 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t z t e dt Γ ( ) = 0 n+ 1 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 101

102 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 1/4 Määritellään satunnaismuuttuja X t = n Y jossa Tällöin 2 X N(0,1), Y χ ( n), X Y t ~ t(n) Käytetään satunnaismuuttujan t tiheysfunktion lausekkeen n + 1 Γ n ft ( y) = 1 y nπ n + n Γ 2 perustelemisessa hyväksi sitä, että t 2 ~ F(1, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 102

103 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 2/4 Jakauman F(1, n) tiheysfunktio on n + 1 Γ ff ( z) = z 1 z 1 n + n n Γ π Γ 2 2 n + 1 Γ = 1 z nπ n + z n Γ 2 1 n n+ 1 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 103

104 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 3/4 Koska jossa t = z z ~ F(1, n) pätee seuraava tulos, kun y > 0: Pr(0 t y) = Pr(0 t y) Pr(0 t y ) = Pr(0 z y ) = 1 2 = 2 F ( F y ) jossa F F on jakauman F(1, n) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 104

105 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 4/4 Derivoimalla yhtälö 1 2 Pr(0 t y) = 2 FF ( y ) saadaan satunnaismuuttujan t tiheysfunktioksi, kun y > 0: 2 f ( y) = yf ( y ) t F Siten jakauman t(n) tiheysfunktioksi saadaan lopulta n + 1 Γ n ft ( y) = 1 y nπ n + n Γ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 105

106 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma >> Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 106

107 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Avainsanat Eksponenttijakauma Kertymäfunktio Maksimi Minimi Satunnaismuuttuja Tiheysfunktio Todennäköisyysjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 107

108 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa, jonka kertymäfunktio on F(x): X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n Olkoon satunnaismuuttuja X (1) satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n minimi: X (1) =min{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 108

109 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma 2/2 Satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktio on F (1) = 1 [1 F(x)] n Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat lisäksi jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) niin satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio on f (1) = n[1 F(x)] n 1 f(x) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 109

110 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Perustelu 1/3 Oletetaan, että Olkoon X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n X (1) =min{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 110

111 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Perustelu 2/3 Soveltamalla kertymäfunktion määritelmää, komplementtitodennäköisyyden kaavaa ja satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n riippumattomuutta satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktioksi saadaan: F ( x) = Pr( X x) (1) (1) = 1 Pr( X > x) (1) = 1 Pr( X > x ja X > x ja ja X > x) 1 2 = 1 Pr( X > x)pr( X > x)! Pr( X > x) 1 2 = 1 [1 Pr( X x)][1 Pr( X x)]![1 Pr( X x)] 1 2 = 1 [1 F( x)][1 F( x)]![1 F( x)] = 1 [1 F( x)] n n n n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 111

112 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Perustelu 3/3 Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) Tällöin satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio saadaan derivoimalla satunnaismuuttujan X (1) kertymäfunktion lauseke: d n f(1) ( x) = F (1) ( x) = {1 [1 F( x)] } dx n 1 = n[1 F( x)] [ F ( x)] n 1 [1 ( )] ( ) = n F x f x TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 112

113 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Eksponenttijakauma 1/2 Oletetaan, että riippumattomat satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n noudattavat samaa eksponenttijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrinaan λ : X 1, X 2,, X n X i ~ Exp(λ), i = 1, 2,, n Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n kertymäfunktio: F( x) = 1 e λx Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n tiheysfunktio: f( x) = F ( x) = e λx λ TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 113

114 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Eksponenttijakauma 2/2 Määritellään satunnaismuuttuja X (1) =min{x 1, X 2,, X n } Satunnaismuuttujan X (1) kertymäfunktio: λ F ( x) = 1 [1 F( x)] = 1 [1 (1 e )] (1) nλx = 1 e Satunnaismuuttujan X (1) tiheysfunktio: d nλ x f(1) ( x) = F (1) ( x) = (1 e ) dx nλ x = nλe Siten samaa eksponenttijakaumaa Exp(λ) noudattavien satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n minimi X (1) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan nλ : X (1) ~ Exp(nλ) n x n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 114

115 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa, jonka kertymäfunktio on F(x): X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n Olkoon satunnaismuuttuja X (n) satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n maksimi: X (n) =max{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 115

116 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma 2/2 Satunnaismuuttujan X (n) =max{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktio on F (n) = [F(x)] n Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat lisäksi jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) niin satunnaismuuttujan X (n) =max{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio on f (n) = n[f(x)] n 1 f(x) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 116

117 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Perustelu 1/3 Oletetaan, että Olkoon X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n X (n) = max{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 117

118 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Perustelu 2/3 Soveltamalla kertymäfunktion määritelmää ja satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n riippumattomuutta satunnaismuuttujan X (n) = max{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktioksi saadaan: F ( x) = Pr( X x) ( n) ( n) = Pr( X xjax xja jax x) 1 2 = Pr( X x)pr( X x)! Pr( X x) = [ F( x)] 1 2 = F( x) F( x)! F( x) n n n TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 118

119 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Perustelu 3/3 Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) Tällöin satunnaismuuttujan X (n) =max{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio saadaan derivoimalla satunnaismuuttujan X (n) kertymäfunktion lauseke: d n f( n) ( x) = F ( n) ( x) = [ F( x)] dx n 1 = nfx [ ( )] F ( x) = nfx f x n 1 [ ( )] ( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 119

120 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Eksponenttijakauma 1/2 Oletetaan, että riippumattomat satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n noudattavat samaa eksponenttijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrinaan λ : X 1, X 2,, X n X i ~ Exp(λ), i = 1, 2,, n Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n kertymäfunktio: F( x) = 1 e λx Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n tiheysfunktio: f( x) = F ( x) = e λx λ TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 120

121 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Eksponenttijakauma 2/2 Määritellään satunnaismuuttuja X (n) =max{x 1, X 2,, X n } Satunnaismuuttujan X (n) kertymäfunktio: n x n F ( x) = [ F( x)] = (1 e λ ) ( n) Satunnaismuuttujan X (n) tiheysfunktio: d λx n f( n) ( x) = F ( n) ( x) = (1 e ) dx = nλe (1 e ) λx λx n 1 Siten samaa eksponenttijakaumaan Exp(λ) noudattavien satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n maksimi X (n) ei noudata mitään tavanomaista jakaumaa toisin kuin niiden minimi X (1), joka noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan nλ. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 121

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R. Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Satunnaislukujen generointi

Satunnaislukujen generointi Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5 1. Näytä, että X t := Bt 3 3tB t on martingaali Brownin liikkeen B historian suhteen. Ratkaisuehdotus:

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot