Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
|
|
- Juha Ahola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
2 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat >> Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
3 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Muodostetaan satunnaismuuttujan X lineaarimuunnos Y = a + bx jossa a ja b 0 ovat vakioita. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 y a fy( y) = fx b b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
4 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Kommentti Satunnaismuuttujan X lineaarimuunnoksen Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) jakauma on siis aina samaa tyyppiä kuin satunnaismuuttujan X jakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
5 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 1/4 Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x). Olkoon Y = a + bx jossa a ja b 0 ovat vakioita. Muodostetaan ensin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio, josta satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio saadaan derivoimalla. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: (i) b > 0 (ii) b < 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
6 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 2/4 Jos b > 0, satunnaismuuttujan Y = a + bx kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( a+ bx y) Y y a = Pr X b y a = FX b Derivoimalla satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan d d y a fy( y) = FY( y) = FX dy dy b 1 y a = f X b b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
7 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 3/4 Jos b < 0, satunnaismuuttujan Y = a + bx kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( a+ bx y) Y y a = Pr X b y a = 1 Pr X b y a = 1 FX b Derivoimalla satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan d d y a fy( y) = FY( y) = FX dy dy b 1 y a = f X b b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
8 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnoksen jakauma: Todistus 4/4 Kalvoilla 2/4 ja 3/4 johdetut kaavat satunnaismuuttujan Y tiheysfunktiolle f Y (y) voidaan yhdistää yhdeksi kaavaksi: Satunnaismuuttujan Y = a + bx tiheysfunktio on kaikille b 0: 1 y a fy( y) = fx b b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
9 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Välillä (0,1) jatkuvaa tasaista jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (0,1): X ~ Uniform(0,1) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on fx ( x) = 1,0 x 1 Olkoon Y = a + bx (a ja b > 0 vakioita) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan 1 fy ( y) =, a y a+ b b Siten Y noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (a, a + b): Y ~ Uniform(a, a + b) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
10 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Standardoitua normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): X ~N(0, 1) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on fx ( x) = exp x 2π 2 Olkoon Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan y a fy ( y) = exp b 2π 2 b Siten Y noudattaa normaalijakaumaa parametrein a ja b 2 : Y ~N(a, b 2 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
11 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2 (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): X ~N(µ, σ 2 ) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on x µ fx ( x) = exp σ 2π 2 σ Olkoon Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi saadaan y a bµ fy ( y) = exp b σ 2π 2 bσ Siten Y noudattaa normaalijakaumaa parametrein a + bµ ja b 2 σ 2 : Y ~N(a + bµ, b 2 σ 2 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
12 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Muodostetaan satunnaismuuttujan X muunnos Y = h(x) jossa funktio h on aidosti monotoninen ja jatkuvasti derivoituva. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 1 dh ( y) fy( y) = fx( h ( y)) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
13 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 1/5 Olkoon jatkuva satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x). Olkoon Y = h(x) jossa h on aidosti monotoninen ja jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio on FY ( y) = Pr( Y y) = Pr( h( X) y) Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: (i) Funktio h on aidosti kasvava. (ii) Funktio h on aidosti vähenevä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
14 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 2/5 Oletetaan ensin, että funktio h on aidosti kasvava. Koska funktio h oletettiin aidosti kasvavaksi, sillä on käänteisfunktio h 1, joka myös on aidosti kasvava. Siten satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio on F ( y) = Pr( Y y) = Pr( h( X) y) Y = 1 1 Pr( h ( h( X)) h ( y)) 1 = Pr( X h ( y)) = F h y 1 X ( ( )) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
15 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 3/5 Derivoimalla satunnaismuuttujan Y kertymäfunktion lauseke saadaan satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi d d 1 fy( y) = FY( y) = FX( h ( y)) dy dy 1 1 dh ( y) = fx ( h ( y)) dy Koska funktion h käänteisfunktio h 1 oletettiin aidosti kasvavaksi, niin dh 1 ( y) > 0 dy Voimme siis kirjoittaa: f ( y) = f ( h ( y)) Y X 1 1 dh ( y) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
16 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 4/5 Jos funktio h on aidosti vähenevä, myös sen käänteisfunktio h 1 on aidosti vähenevä, jolloin dh 1 ( y) dy < 0 Tällöin F ( y) = Pr( Y y) = Pr( h( X) y) Y = 1 1 Pr( h ( h( X)) h ( y)) 1 = Pr( X h ( y)) = 1 1 Pr( X h ( y)) 1 1 FX ( h ( y)) = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
17 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Monotonisten muunnosten jakaumat: Todistus 5/5 Derivoimalla satunnaismuuttujan Y kertymäfunktion lauseke saadaan satunnaismuuttujan Y tiheysfunktioksi d d 1 fy( y) = FY( y) = [1 FX( h ( y))] dy dy 1 1 dh ( y) = fx( h ( y)) dy Koska funktion h käänteisfunktio h 1 oletettiin aidosti väheneväksi, niin dh 1 ( y) dy < 0 Voimme siis tässäkin tapauksessa kirjoittaa: 1 1 dh ( y) fy( y) = fx( h ( y)) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
18 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnos monotonisten muunnosten erikoistapauksena Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) Muodostetaan satunnaismuuttujan X lineaarimuunnos Y = a + bx jossa a ja b 0 ovat vakioita. Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 y a fy( y) = fx b b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
19 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Lineaarimuunnos monotonisten muunnosten erikoistapauksena: Todistus Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x). Olkoon Y = a + bx (a ja b 0 vakioita) Tällöin y = h( x) = a+ bx, b 0 1 y a x = h ( y) = b dh( x) = b dx joten 1 1 dh ( y) 1 y a fy( y) = fx( h ( y)) = fx dy b b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
20 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä ( π/2, +π/2): X ~ Uniform( π/2, +π/2) Muodostetaan satunnaismuuttujan X muunnos Y = tan(x) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on fy 1 1 ( y) = π 1+ y 2 Satunnaismuuttujan Y jakaumaa kutsutaan Cauchyn jakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
21 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma: Tiheysfunktion johto 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä ( π/2, +π/2), jolloin sen tiheysfunktio on f X (x) = 1/π, π/2 x +π/2 Olkoon Y = h(x) = tan(x) Muunnos y = h(x) = tan(x) on aidosti kasvava ja sen käänteismuunnoksen x = h 1 (y) = arctan(y) derivaatta on 1 dh ( y) d arctan( y) 1 = = 2 dy dy 1 + y TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
22 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma: Tiheysfunktion johto 2/2 Siten satunnaismuuttujan Y = tan(x) tiheysfunktioksi saadaan 1 1 dh ( y) 1 1 fy( y) = fx( h ( y)) = 2 dy π 1+ y Satunnaismuuttujan Y jakaumaa kutsutaan Cauchyn jakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
23 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Cauchyn jakauma ja Studentin t-jakauma Voidaan osoittaa, että Cauchyn jakauma on sama kuin Studentin t-jakauma yhdellä vapausasteella (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) eli, jos X ~ Uniform( π/2, +π/2) ja Y = tan(x) niin Y ~ t(1) Huomautus: Cauchyn jakaumalla ei ole momentteja eli sillä ei ole edes odotusarvoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
24 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Ei-monotonisten muunnosten jakaumat Jos satunnaismuuttujaan sovelletaan ei-monotonista muunnosta, ei ole mahdollista löytää yleistä muunnoksen jakaumaa ja sen tiheysfunktiota koskevaa tulosta. Ei-monotonisten muunnosten tapauksessa joudutaan tarkastelu tekemään tapauskohtaisesti. Seuraavassa tarkastellaan esimerkkinä χ 2 (1)-jakauman (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tiheysfunktion johtoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
25 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat χ 2 (1)-jakauma Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa: X ~ N(0, 1) Määritellään satunnaismuuttuja Y = X 2 Satunnaismuuttuja Y noudattaa χ 2 -jakauman määritelmän mukaan χ 2 -jakaumaa yhdellä vapausasteella: Y ~ χ 2 (1) Satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio on 1 y fy ( y) = y e 2π TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
26 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat χ 2 (1)-jakauma: Tiheysfunktion johto 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttuja X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa: X ~N(0, 1) Tällöin Y = X 2 ~ χ 2 (1) Olkoon Φ( ) standardoidun normaalijakauman N(0, 1) kertymäfunktio. Satunnaismuuttujan Y = X 2 kertymäfunktio on 2 F ( y) = Pr( Y y) = Pr( X y) Y = Pr( X y) = Pr( y X + y) =Φ( y) Φ( y) = 2 Φ( y) 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
27 Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat χ 2 (1)-jakauma: Tiheysfunktion johto 2/2 Standardoidun normaalijakauman N(0, 1) tiheysfunktio on 1 2 d 1 x 2 Φ ( x) = Φ ( x) = e dx 2π jossa Φ( ) on standardoidun normaalijakauman N(0, 1) kertymäfunktio. Siten satunnaismuuttujan Y = X 2 ~ χ 2 (1) tiheysfunktioksi saadaan d d fy( y) = FY( y) = 2 Φ( y) 1 dy dy 1 =Φ ( y) y = 1 y 2π 1 y 2 2 e TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
28 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat >> Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
29 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Bijektiivisten muunnosten jakaumat 1/3 Olkoot X ja Yjatkuviasatunnaismuuttuja, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY (x, y) Määritellään satunnaismuuttujat U = g(x, Y) V = h(x, Y) Tehdään muunnoksesta u = g( x, y) () v = h( x, y) seuraavalla kalvolla esitettävät oletukset. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
30 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Bijektiivisten muunnosten jakaumat 2/3 Oletukset muunnoksesta ( ): (i) Muuttujat x ja y voidaan ratkaista yhtälöryhmästä ( ) yksikäsitteisesti muuttujien u ja v funktioina. (ii) Funktioilla g ja h on jatkuvat osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen. (iii) Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti on nollasta poikkeava alueella, jossa tiheysfunktio f XY (x, y) on positiivinen: ( uv, ) u v u v = 0 ( xy, ) x y y x kaikille x ja y, joille f XY (x, y) > 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
31 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Bijektiivisten muunnosten jakaumat 3/3 Jos oletukset (i)-(iii) pätevät, satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauman tiheysfunktio on ( uv, ) fuv ( u, v) = fxy ( x, y) ( xy, ) jossa x ja y ratkaistaan kalvon 1/3 yhtälöryhmästä ( ). 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
32 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia ja noudattavat jatkuvaa tasaista jakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) välillä (0, 1): X ~ Uniform(0, 1) Y ~ Uniform(0, 1) X Y Määritellään satunnaismuuttujat U = cos(2 π X) 2log( Y) V = sin(2 π X) 2log( Y) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
33 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta 2/2 Satunnaismuuttujat U ja V ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia): U ~ N(0, 1) V ~ N(0, 1) U V TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
34 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 1/5 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia ja noudattavat jatkuvaa tasaista jakaumaa välillä (0, 1): X ~ Uniform(0, 1) Y ~ Uniform(0, 1) X Y Olkoot U = cos(2 π X) 2log( Y) V = sin(2 π X) 2log( Y) Tarkastellaan yhtälöryhmää u = cos(2 π x) 2log( y) () v = sin(2 π x) 2log( y) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
35 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 2/5 Yhtälöryhmän u = cos(2 π x) 2log( y) () v = sin(2 π x) 2log( y) ratkaisut muuttujien x ja y suhteen saadaan yhtälöistä u cos(2 π x) = 2 2 u + v v sin(2 π x) = 2 2 u + v y = exp ( u + v ) 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
36 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 3/5 Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti on ( uv, ) u v u v = ( xy, ) x y y x sin(2 π x) = 2πsin(2 πx) 2log( y) y 2log( y) cos(2 π x) 2πcos(2 πx) 2log( y) y 2log( y) 2π = y Koska y > 0, niin ( uv, ) 0 ( xy, ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
37 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 4/5 Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY (x, y) = 1, 0 < x < 1, 0 < y < 1 Siten satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauman tiheysfunktio on 1 ( uv, ) y fuv ( u, v) = fxy ( x, y) =,0< x< 1,0< y< 1 ( xy, ) 2π Sijoittamalla tähän x ja y lausuttuna muuttujien u ja v funktiona saadaan fuv ( u, v) = exp ( u + v ) 2π 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37
38 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Todistus 5/5 Nyt 1 1 2π = exp u exp v 2π 2 2π 2 = f ( u) f ( v) 2 2 ( ) fuv ( u, v) = exp ( u + v ) U V jossa f U (u) ja f V (v) ovat standardoidun normaalijakauman N(0, 1) tiheysfunktioita. Koska satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauman tiheysfunktio voidaan esittää satunnaismuuttujien U ja V reunajakaumien tiheysfunktioiden tulona, satunnaismuuttujat U ja V ovat riippumattomia. Yhtälöstä( ) nähdään lisäksi se, että satunnaismuuttujat U ja V noudattavat standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
39 Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumia Normaalijakauman generointi jatkuvasta tasaisesta jakaumasta: Kommentteja Muunnosta u = cos(2 π x) 2log( y) () v = sin(2 π x) 2log( y) kutsutaan tavallisesti Boxin ja Müllerin muunnokseksi. Boxin ja Müllerin muunnos tarjoaa erään keinon generoida normaalijakautuneita satunnaislukuja tasaista jakaumaa välillä (0, 1) noudattavista satunnaisluvuista. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
40 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat >> Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
41 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Satunnaismuuttujien riippumattomuus Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin niiden yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) voidaan esittää satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien tiheysfunktioiden f X (x) ja f Y (y) tulona: f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
42 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Muodostetaan satunnaismuuttujien X ja Y summa U = X + Y Satunnaismuuttujan U tiheysfunktio on + fu( u) = fy( u x) fx( x) dx TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42
43 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: Todistus 1/3 Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Koska satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, f XY (x, y) = f Y (y)f X (x) Olkoot U = X + Y V = X Satunnaismuuttujien X ja Y summan jakauma saadaan määräämällä satunnaismuuttujan U reunajakauma satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakaumasta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43
44 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: Todistus 2/3 Tarkastellaan muunnosta u = x+ y () v = x Muunnoksen ( ) käänteismuunnos: y = u v x = v Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti: ( uv, ) u v u v = ( xy, ) x y y x = = 1 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44
45 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: Todistus 3/3 Siten satunnaismuuttujien U = X + Y ja V = X yhteisjakauman tiheysfunktio on 1 ( uv, ) fuv ( u, v) = fxy ( x, y) ( xy, ) = fx( x) fy( y) 1 = f () v f ( u v) X Y Summan U = X + Y tiheysfunktio saadaan tästä satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktiona: + + f ( u) = f ( u, v) dv= f ( v) f ( u v) dv U UV X Y + = f ( x) f ( u x) dx X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45
46 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma 1/3 Tarkastellaan riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakaumaa koskevan yleisen tuloksen sovelluksena χ 2 -jakauman (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tiheysfunktion lausekkeen johtoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46
47 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma 2/3 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X 1, X 2,, X n X i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n Määritellään satunnaismuuttuja Yn = X1 + X2 + + Xn Satunnaismuuttuja Y n noudattaa χ 2 -jakauman määritelmän mukaan χ 2 -jakaumaa n:llä vapausasteella: Y n ~ χ 2 (n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47
48 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma 3/3 Satunnaismuuttujan χ 2 ( n) Yn tiheysfunktio on 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n n Normeerausvakio C n saadaan kaavasta 1 Cn = 1 n 2 n 2 Γ 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t z t e dt 0 Γ ( ) = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48
49 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 1/10 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X 1, X 2,, X n X i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n Tällöin Yn = X1 + X2 + + Xn χ ( n) Käytetään satunnaismuuttujan Y n tiheysfunktion lausekkeen 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n n perustelemiseen täydellistä induktiota ja yleistä tulosta riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakaumalle. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49
50 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 2/10 Olkoon n = 1. Tässä luvussa on jo todettu (ks. kappaletta Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat), että 2 2 Y1 = X1 χ (1) ja satunnaismuuttujan Y 1 tiheysfunktio on y 2 2 f1( y) = y e 2π Koska 1 1 C1 = = π 2 Γ 2 satunnaismuuttujan Yn = X1 + X2 + + Xn χ ( n) tiheysfunktion lauseke pätee, kun n = 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50
51 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 3/10 Tarkastellaan seuraavaksi erikseen tapausta n = 2. Koska satunnaismuuttujat X 1 ja X 2 on oletettu riippumattomiksi, myös 2 2 satunnaismuuttujat X1 ja X 2 ovat riippumattomia. Siten voimme soveltaa satunnaismuuttujaan Y2 = X1 + X2 χ (2) riippumattomien satunnaismuuttujien summan tiheysfunktion kaavaa: jossa C on muuttujan y suhteen vakio ( y z) z f ( y) = f ( y z) f ( z) dz = C ( y z) e z e dz y = Ce ( y z) z dz 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51
52 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 4/10 Tapaus n = 2 jatkuu... Sijoituksella z = yt integraali y f ( y) = C e ( y z) z dz saadaan muokatuksi muotoon y f ( y) = C e ( y yt) ( yt) ydt y = Ce (1 t) t dt = Ce 1 y jossa 2 2 C = C (1 t) t dt on muuttujan y suhteen vakio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52
53 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 5/10 Tapaus n = 2 jatkuu... Siten satunnaismuuttujan Yn = X1 + X2 + + Xn χ ( n) tiheysfunktion lauseke pätee, kun n = 2: 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n n f ( y) = C e y 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53
54 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 6/10 Yleinen induktio-askel n 1 n. Induktio-oletus: Satunnaismuuttujan Yn 1 = X1 + X2 + + Xn 1 χ ( n 1) tiheysfunktio on n 1 n ( n 1) 1 y 2 2 f ( y) = C y e TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54
55 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 7/10 Induktio-askel n 1 n jatkuu Koska satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n on oletettu riippumattomiksi, myös satunnaismuuttujat Yn 1 = X1 + X2 + + Xn 1 2 ja X n ovat riippumattomia. Siten voimme soveltaa satunnaismuuttujaan Yn = Yn 1+ Xn = X1 + X2 + + Xn 1 + Xn χ ( n) riippumattomien satunnaismuuttujien summan tiheysfunktion kaavaa: + n 1 n 1 n 0 jossa C on muuttujan y suhteen vakio ( y z) ( n 1) 1 z f ( y) = f ( y z) f ( z) dz= C ( y z) e z e dz n y n = Ce ( y z) z dz n 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55
56 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 8/10 Induktio-askel n 1 n jatkuu Sijoituksella z = yt integraali saadaan muokatuksi muotoon y n f ( y) = C e ( y yt) ( yt) ydz n n n 1 y n = Cy e (1 t) t dt n = Cy n y n f ( y) = C e ( y z) z dz n n n 1 y 2 2 e n jossa C = C (1 t) t dt on muuttujan y suhteen vakio. n n 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56
57 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 9/10 Induktiopäättely jatkuu... Yhdistämällä kalvojen 2/10-8/10 tulokset nähdään, että satunnaismuuttujan Yn = X1 + X2 + + Xn χ ( n) tiheysfunktion lauseke 1 1 n 1 y 2 2 f ( y) = C y e n pätee kaikille n = 1, 2, 3, n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57
58 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma χ 2 -jakauma: Tiheysfunktion johto 10/10 Määrätään vielä normeerausvakio C n. Todetaan ensin, että tiheysfunktio f n toteuttaa seuraavan ehdon: n n n y 2 f ( y) dy = C y e dy = 1 Sijoituksella y = 2t tämä integraali saadaan muokatuksi muotoon n n 2 n 0 Siten normeerausvakion C n arvoksi saadaan 1 Cn = 1 n 2 n 2 Γ 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t ( z) t e dt t 2 C t e dt = 1 Γ = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58
59 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Momenttiemäfunktio Olkoon X satunnaismuuttuja. Oletetaan, että odotusarvo m X (t) = E(e tx ) on olemassa kaikille t ( h, +h) jossa h > 0 on vakio. Tällöin funktiota m X (t) kutsutaan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman momenttiemäfunktioksi eli momentit generoivaksi funktioksi. Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59
60 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio Olkoot X 1, X 2,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden momenttiemäfunktiot ovat m 1 (t), m 2 (t),, m n (t) Tällöin summan X = X 1 + X X n momenttiemäfunktio on satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n momenttiemäfunktioiden tulo: m X (t) = m 1 (t)m 2 (t) m n (t) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60
61 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat samaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p: X 1, X 2,, X n X i ~ Bernoulli(p), i = 1, 2,, n Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n summa Y = X 1 + X X n noudattaa binomijakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrein (n, p): Y ~ Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61
62 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X n X i ~ Bernoulli(p), i = 1, 2,, n Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n momenttiemäfunktio on muotoa m () t i t = q+ pe, i = 1,2,, n Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n summa: Y = X 1 + X X n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62
63 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X n momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t m () t Y 1 2 n t t t = ( q+ pe )( q+ pe ) ( q+ pe ) t n = ( q+ pe ) Koska m Y (t) on binomijakauman Bin(n, p) momenttiemäfunktio, niin Y = X 1 + X X k ~ Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63
64 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia parametrein (n 1, p), (n 2, p),, (n k, p): X 1, X 2,, X k X i ~ Bin(n i, p), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa binomijakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrein (n 1 + n n k, p): Y ~ Bin(n 1 + n n k, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64
65 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X k X i ~ Bin(n i, p), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k momenttiemäfunktiot ovat muotoa t m () ( ) n i i t = q+ pe, i = 1,2,, k Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa: Y = X 1 + X X k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65
66 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X k momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t m () t Y 1 2 = k t n1 t n2 t nk ( q pe ) ( q pe ) ( q pe ) t n1+ n2+ + nk = ( q+ pe ) Koska m Y (t) on binomijakauman Bin(n 1 + n n k, p) momenttiemäfunktio, niin Y = X 1 + X X k ~ Bin(n 1 + n n k, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66
67 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia parametrein λ 1, λ 2,, λ k : X 1, X 2,, X k X i ~ Poisson(λ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa Poisson-jakaumaa (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) parametrilla λ 1 + λ λ k : Y ~ Poisson(λ 1 + λ λ k ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67
68 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X k X i ~ Poisson(λ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k momenttiemäfunktiot ovat muotoa i ( e 1) m () t i t e λ =, i = 1,2,, k Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa: Y = X 1 + X X k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68
69 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X k momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t m () t Y = 1 2 t 1 e λ2 t λ ( 1) ( e 1) λk ( e 1) e e e t k ( λ1+ λ2+ + λ1)( e 1) = e Koska m Y (t) on Poisson-jakauman Poisson(λ 1 + λ λ k ) momenttiemäfunktio, niin Y = X 1 + X X k ~ Poisson(λ 1 + λ λ k ) t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69
70 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat normaalijakaumia parametrein ( µ 1, σ 1 ),( µ 2, σ 2),,( µ k, σ k) : X 1, X 2,, X k 2 X i N( µ i, σ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa normaalijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrein ( µ 1+ µ µ k, σ1 + σ2 + + σk) : Y N( µ + µ + + µ, σ + σ + + σ ) 1 2 k 1 2 k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70
71 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 1/2 Oletetaan, että X 1, X 2,, X k 2 X i N( µ i, σ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k momenttiemäfunktiot ovat muotoa mi() t = exp( µ it+ 2 σ it ), i = 1,2,, k Lisätietoja: ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Muodostetaan satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa: Y = X 1 + X X k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71
72 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Normaalijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma: Perustelu 2/2 Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktiota koskevan tuloksen mukaan satunnaismuuttujan Y = X 1 + X X k momenttiemäfunktio on m () t = m () t m () t m () t Y 1 2 k µ 1t 2σ 1t µ 2t 2σ 2t µ kt 2σkt = exp( + )exp( + ) exp( + ) = exp(( µ 1+ µ µ k) t+ 2 ( σ1 + σ2 + + σk) t ) Koska m Y (t) on normaalijakauman N( µ 1+ µ µ k, σ1 + σ2 + + σk) momenttiemäfunktio, niin Y = X + X + + X N( µ + µ + + µ, σ + σ + + σ ) 1 2 k 1 2 k 1 2 k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72
73 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma >> Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73
74 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Satunnaismuuttujien riippumattomuus Olkoot X ja Y riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin niiden yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) voidaan esittää satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien tiheysfunktioiden f X (x) ja f Y (y) tulona: f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 74
75 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Olkoot X ja Y > 0 riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Määritellään satunnaismuuttuja U = X / Y Osamäärän U = X / Y tiheysfunktio on + fu( u) = yf X( uy) fy( y) dy TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 75
76 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma: Todistus 1/3 Olkoot X ja Y > 0 riippumattomia ja jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden tiheysfunktiot ovat f X (x) ja f Y (y). Koska satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, f XY (x, y) = f Y (y)f X (x) Olkoot U = X / Y V = Y Satunnaismuuttujien X ja Y osamäärän jakauma saadaan määräämällä satunnaismuuttujan U reunajakauma satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakaumasta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 76
77 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma: Todistus 2/3 Tarkastellaan muunnosta u = x y () v = y Muunnoksen ( ) käänteismuunnos: x= uv y = v Muunnoksen ( ) Jacobin determinantti: ( uv, ) u v u v = ( xy, ) x y y x 1 x = y y = 1 y 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 77
78 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma: Todistus 3/3 Siten satunnaismuuttujien U = X / Y ja V = Y yhteisjakauman tiheysfunktio on 1 ( uv, ) fuv ( u, v) = fxy ( x, y) ( xy, ) = fx( x) fy( y) y = vf ( uv) f ( v) X Y Osamäärän U = X / Y tiheysfunktio saadaan tästä satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktiona: + + f ( u) = f ( uvdv, ) = vf ( uv) f ( vdv ) U UV X Y = + yf ( uy) f ( y) dy X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 78
79 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 1/4 Tarkastellaan riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakaumaa koskevan yleisen tuloksen sovelluksena F-jakauman (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia) tiheysfunktion lausekkeen johtoa. Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X m, Y 1, Y 2,, Y n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X 1, X 2,, X m, Y 1, Y 2,, Y n X i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, m Y i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 79
80 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 2/4 Määritellään satunnaismuuttujat X = X + X + + X Y = Y1 + Y2 + + Yn Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia ja χ 2 - jakauman määritelmän mukaan X noudattaa χ 2 -jakaumaa m:llä vapausasteella ja Y noudattaa χ 2 -jakaumaa n:llä vapausasteella: 2 X χ ( m) 2 Y χ ( n) X Y m TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 80
81 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 3/4 Määritellään satunnaismuuttuja X / m n X F = Y / n = m Y jossa siis 2 X χ ( m) 2 Y χ ( n) X Y Satunnaismuuttuja F noudattaa F-jakauman määritelmän mukaan F-jakaumaa vapausastein m ja n: F ~ F(m, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 81
82 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma 4/4 Satunnaismuuttujan F ~ F(m, n) tiheysfunktio on m+ n Γ m m 2 m 1 2 m ff ( y) = y 1 y m n + n n Γ Γ 2 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t z t e dt Γ ( ) = 0 m+ n 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 82
83 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 1/6 Määritellään satunnaismuuttuja n X F = m Y jossa 2 2 X χ ( m), Y χ ( n), X Y Tällöin F ~ F(m, n) Käytetään satunnaismuuttujan F tiheysfunktion lausekkeen m+ n Γ m m+ n m 2 m m ff ( y) = y 1 y m n + n n Γ Γ 2 2 perustelemiseen yleistä tulosta riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakaumalle. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 83
84 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 2/6 Määritellään satunnaismuuttuja X Z = Y jossa 2 2 X χ ( m), Y χ ( n), X Y χ 2 (n)-jakauman tiheysfunktio on muotoa (ks. kappaletta Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma): 1 1 n 1 y 2 2 fn( y) = Cny e 1 Cn = 1 n 2 n 2 Γ 2 Γ ( ) = z 1 t z t e dt 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 84
85 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 3/6 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän tiheysfunktion kaavan mukaan satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktio on + Z X Y m n 0 m 1 n 1 1 zy 1 y f ( z) = yf ( zy) f ( y) dy= C C y( zy) e y e dy m n (1 + z) y = CC yzy ( ) y e dy Kun integraalissa tehdään sijoitus (1 + z)y = t, saadaan m n 0 m n t t 2 t 2 t 2 Z( ) = m n 0 m m+ n ( m+ n) 1 t = CCz m n (1 + z) t e dt 0 1 f z C C z e dt 1+ z 1+ z 1+ z 1+ z TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 85
86 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 4/6 Satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktion lausekkeen integraalin m m+ n ( m+ n) 1 t fz( z) = CmCnz (1 + z) t e dt ( m+ n) 1 t 2 2 t e dt integroitava on χ 2 (m + n)-jakauman tiheysfunktion ydin. Siten 1 1 ( m+ n) 1 t t e dt = C 0 m+ n 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 86
87 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 5/6 Sijoittamalla vakioiden C m, C n ja C m + n lausekkeet paikoilleen saadaan satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktioksi m+ n m m+ n Γ m m+ n CC 1 1 m n fz ( z) = z (1 + z) = z (1 + z) C m n m+ n Γ Γ 2 2 Satunnaismuuttujan n X F = Fmn (, ) m Y saadaan satunnaismuuttujan Z = X/Y tiheysfunktiosta lineaarimuunnoksella F = n m Z TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 87
88 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma F-jakauma: Tiheysfunktion johto 6/6 Soveltamalla satunnaismuuttujan lineaarimuunnoksen tiheysfunktion kaavaa (ks. kappaletta Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat) saadaan F(m, n)-jakauman tiheysfunktioksi m+ n Γ m m+ n m 2 m 2 1 m 2 2 ff ( y) = y 1 y m n + n n Γ Γ 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 88
89 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 1/4 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X, Y 1, Y 2,, Y n ovat riippumattomia ja noudattavat standardoitua normaalijakaumaa: X, Y 1, Y 2,, Y n X ~ N(0, 1) Y i ~ N(0, 1), i = 1, 2,, n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 89
90 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 2/4 Määritellään satunnaismuuttuja Y = Y1 + Y2 + + Yn Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, X noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1) ja Y noudattaa χ 2 -jakauman määritelmän mukaan χ 2 -jakaumaa n:llä vapausasteella: X N(0,1) 2 Y χ ( n) X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 90
91 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 3/4 Määritellään satunnaismuuttuja t = X = Y / n n jossa siis X N(0,1) 2 Y χ ( n) X Y X Y Satunnaismuuttuja t noudattaa t-jakauman määritelmän mukaan Studentin t-jakaumaa vapausastein n (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia): t ~ t(n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 91
92 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma 4/4 Satunnaismuuttujan t ~ t(n) tiheysfunktio on n + 1 Γ ft ( y) = 1 y nπ n + n Γ 2 jossa Γ( ) on Eulerin gammafunktio: z 1 t z t e dt Γ ( ) = 0 n+ 1 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 92
93 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 1/4 Määritellään satunnaismuuttuja X t = n Y jossa 2 X N(0,1), Y χ ( n), X Y Tällöin t ~ t(n) Käytetään satunnaismuuttujan t tiheysfunktion lausekkeen n + 1 Γ n ft ( y) = 1 y nπ n + n Γ 2 perustelemisessa hyväksi sitä, että selvästi t 2 ~ F(1, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 93
94 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 2/4 Jakauman F(1, n) tiheysfunktio on n + 1 Γ ff ( z) = z 1 z 1 n + n n Γ π Γ 2 2 n + 1 Γ n = 1 z nπ n + z n Γ 2 1 n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 94
95 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 3/4 Koska t = z jossa z ~ F(1, n) pätee seuraava tulos, kun y > 0: 1 Pr(0 t y) = Pr(0 t y) Pr(0 t y ) Pr(0 z y ) = = 1 2 = 2 F ( F y ) jossa F F on jakauman F(1, n) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 95
96 Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma t-jakauma: Tiheysfunktion johto 4/4 Derivoimalla yhtälö 1 2 Pr(0 t y) = 2 FF ( y ) saadaan satunnaismuuttujan t tiheysfunktioksi, kun y > 0: 2 ft( y) = yff( y ) Siten jakauman t(n) tiheysfunktioksi saadaan lopulta n + 1 Γ n ft ( y) = 1 y nπ n + n Γ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 96
97 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Kaksiulotteisten satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma Riippumattomien satunnaismuuttujien osamäärän jakauma >> Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 97
98 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa, jonka kertymäfunktio on F(x): X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n Olkoon satunnaismuuttuja X (1) satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n minimi: X (1) =min{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 98
99 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma 2/2 Satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktio on F (1) = 1 [1 F(x)] n Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat lisäksi jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) niin satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio on f (1) = n[1 F(x)] n 1 f(x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 99
100 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Perustelu 1/3 Oletetaan, että X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n Olkoon X (1) =min{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 100
101 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Perustelu 2/3 Soveltamalla kertymäfunktion määritelmää, komplementtitodennäköisyyden kaavaa ja satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n riippumattomuutta satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktioksi saadaan: F ( x) = Pr( X x) (1) (1) = 1 Pr( X > x) (1) = 1 Pr( X1 > x ja X 2 > x ja ja X n > x) = 1 Pr( X1 > x)pr( X2 > x) Pr( Xn > x) = 1 [1 Pr( X1 x)][1 Pr( X2 x)] [1 Pr( Xn x)] = 1 [1 F( x)][1 F( x)] [1 F( x)] = 1 [1 F( x)] n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 101
102 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Perustelu 3/3 Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) Tällöin satunnaismuuttujan X (1) =min{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio saadaan derivoimalla satunnaismuuttujan X (1) kertymäfunktion lauseke: d n f(1) ( x) = F (1) ( x) = {1 [1 F( x)] } dx n 1 = n[1 F( x)] [ F ( x)] = n F x f x n 1 [1 ( )] ( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 102
103 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Eksponenttijakauma 1/2 Oletetaan, että riippumattomat satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n noudattavat samaa eksponenttijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrinaan λ : X 1, X 2,, X n X i ~ Exp(λ), i = 1, 2,, n Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n kertymäfunktio: F( x) = 1 e λx Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n tiheysfunktio: f( x) = F ( x) = e λx λ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 103
104 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien minimin jakauma: Eksponenttijakauma 2/2 Määritellään satunnaismuuttuja X (1) =min{x 1, X 2,, X n } Satunnaismuuttujan X (1) kertymäfunktio: λ F ( x) = 1 [1 F( x)] = 1 [1 (1 e )] (1) n x n nλx = 1 e Satunnaismuuttujan X (1) tiheysfunktio: d nλ x f(1) ( x) = F (1) ( x) = (1 e ) dx nλ x = nλe Siten samaa eksponenttijakaumaa Exp(λ) noudattavien satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n minimi X (1) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan nλ : X (1) ~ Exp(nλ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 104
105 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa, jonka kertymäfunktio on F(x): X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n Olkoon satunnaismuuttuja X (n) satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n maksimi: X (n) =max{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 105
106 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma 2/2 Satunnaismuuttujan X (n) =max{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktio on F (n) = [F(x)] n Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat lisäksi jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) niin satunnaismuuttujan X (n) =max{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio on f (n) = n[f(x)] n 1 f(x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 106
107 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Perustelu 1/3 Oletetaan, että X 1, X 2,, X n X i ~ F(x), i = 1, 2,, n Olkoon X (n) = max{x 1, X 2,, X n } TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 107
108 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Perustelu 2/3 Soveltamalla kertymäfunktion määritelmää ja satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n riippumattomuutta satunnaismuuttujan X (n) = max{x 1, X 2,, X n } kertymäfunktioksi saadaan: F ( x) = Pr( X x) ( n) ( n) = Pr( X1 xjax2 xja jaxn x) = Pr( X1 x)pr( X2 x) Pr( Xn x) = F( x) F( x) F( x) = [ F( x)] n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 108
109 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Perustelu 3/3 Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n ovat jatkuvia ja niiden tiheysfunktio on f(x) = F (x) Tällöin satunnaismuuttujan X (n) =max{x 1, X 2,, X n } tiheysfunktio saadaan derivoimalla satunnaismuuttujan X (n) kertymäfunktion lauseke: d n f( n) ( x) = F ( n) ( x) = [ F( x)] dx n 1 = nfx [ ( )] F ( x) = nfx f x n 1 [ ( )] ( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 109
110 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Eksponenttijakauma 1/2 Oletetaan, että riippumattomat satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X n noudattavat samaa eksponenttijakaumaa (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) parametrinaan λ : X 1, X 2,, X n X i ~ Exp(λ), i = 1, 2,, n Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n kertymäfunktio: F( x) = 1 e λx Satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n tiheysfunktio: f( x) = F ( x) = e λx λ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 110
111 Satunnaismuuttujien minimin ja maksimin jakaumat Satunnaismuuttujien maksimin jakauma: Eksponenttijakauma 2/2 Määritellään satunnaismuuttuja X (n) =max{x 1, X 2,, X n } Satunnaismuuttujan X (n) kertymäfunktio: n x n F( n) ( x) = [ F( x)] = (1 e λ ) Satunnaismuuttujan X (n) tiheysfunktio: d λx n f( n) ( x) = F ( n) ( x) = (1 e ) dx λx λx n = nλe (1 e ) 1 Siten samaa eksponenttijakaumaan Exp(λ) noudattavien satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n maksimi X (n) ei noudata mitään tavanomaista jakaumaa toisin kuin niiden minimi X (1), joka noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan nλ. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 111
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotJATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotGenerointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista
S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Lisätiedot5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia
5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia Jakaumista löytyy lisätietoja ja kuvaajia Wikipediasta. Kirjallisuudessa käytetään useille näistä jakaumista monia erilaisia parametrointeja. Kussakin lähteessä käytetty
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotGeneroivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotF(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.
Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotMellin-muunnos ja sen sovelluksia
Mellin-muunnos ja sen sovelluksia LuK-tutkielma Eetu Leinonen 25645 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 28 Sisältö Johdanto 2 Esitiedot 2 2 Mellin-muunnos 3 2. Muunnoksen perusominaisuuksia................
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSatunnaislukujen generointi
Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot