Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1B. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Transkriptio

1 Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1B Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

2 2

3 Sisältö 1 Vektoriavaruudet 4 11 Määritelmä 4 12 Aliavaruudet 8 13 Virittäjät 9 14 Lineaarinen riippumattomuus Kanta Dimensio Koordinaatit Kannan vaihto 21 2 Sisätuloavaruudet Määritelmä Algebrallisia ominaisuuksia Pituus kulma Ortonormaalit joukot 29 3 Lineaarikuvaukset Määritelmä perusominaisuuksia Ydin kuva-avaruus Dimensiolause Vektoriavaruuksien isomorfia Lineaarikuvaukset R n R m Lineaarikuvauksen matriisi kantojen suhteen Ominaisarvot ominaisvektorit 52 3

4 Luku 1 Vektoriavaruudet 11 Määritelmä Määritelmä 111 Olkoon V epätyhjä joukko, jossa on määritelty kaksi operaatiota: yhteenlasku u + v (kuvaus V V V ) skalaarilla kertominen ku (kuvaus R V V ) Kolmikkoa (V, +, ) sanotaan vektoriavaruudeksi, jos (1) u + v = v + u (kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus) (2) u + (v + w) = (u + v) + w (assosiatiivisuus eli liitännäisyys) (3) 0 V : u V : u + 0 = 0 + u = u (nolla-alkio) (4) u V : u V : u + ( u) = ( u) + u = 0 (vasta-alkio) (5) k(u + v) = ku + kv (6) (k + l)u = ku + lu (7) k(lu) = (kl)u (8) 1u = u aina, kun u, v, w V k, l R Alkioita u V sanotaan vektoreiksi Vektori 0 V on nollavektori Vektori u V on vektorin u vastavektori Lukua k R sanotaan skalaariksi Huomautus Kuten edellä skalaarilla kertomista merkitään usein k u = ku Huomautus Usein puhutaan vektoriavaruuden (V, +, ) sista lyhyesti vain vektoriavaruudesta V 4

5 Esimerkki 111 Euklidinen avaruus R n on vektoriavaruus, jossa laskutoimitukset ovat u + v = (u 1 + v 1,, u n + v n ) kun u, v R n k R ku = (ku 1,, ku n ), Esimerkki 112 Kokoa m n olevien matriisien joukko R m n on vektoriavaruus laskutoimituksilla A + B = [a ij + b ij ] ka = [ka ij ], kun A, B R m n k R Kyseessä on ns matriisiavaruus Esimerkki 113 Funktiojoukko on vektoriavaruus laskutoimituksilla V = {f f : R R kuvaus} (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = k(f(x)), kun f, g V k R Kyseessä on ns funktioavaruus Merkitään V = R R Esimerkki 114 Vektoriavaruuksia ovat myös mm tiettyjen differentiaaliyhtälöiden differenssiyhtälöiden lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuavaruudet Esimerkki 115 Olkoon V = R 2 Määritellään tässä joukossa laskutoimitukset u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) kun u, v R 2 k R Onko V vektoriavaruus? ku = (ku 1, u 2 ), 5

6 Ratkaisu Tarkastellaan määritelmän 111 kohtaa (6) Nyt mutta (k + l)u = ((k + l)u 1, u 2 ) = (ku 1 + lu 1, u 2 ), ku + lu = (ku 1, u 2 ) + (lu 1, u 2 ) = (ku 1 + lu 1, 2u 2 ) Tällöin valitsemalla esimerkiksi vektori u = (0, 1) saadaan (k + l)u = (0, 1) (0, 2) = ku + lu Siis kohta (6) ei ole voimassa, joten V ei ole vektoriavaruus Esimerkki 116 Olkoon V = R 2 Määritellään tässä joukossa laskutoimitukset u + v = (u 1 + v 1, 0) ku = (ku 1, ku 2 ), kun u, v R 2 k R Onko V vektoriavaruus? Ratkaisu Tarkastellaan määritelmän 111 kohtaa (3) Tehdään vastaoletus, että v = (v 1, v 2 ) on avaruuden V nollavektori Tällöin Toisaalta u + v = u u + v = (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) = (u 1 + v 1, 0) Tällöin valitsemalla esimerkiksi vektori u = (0, 1) saadaan u + v = u = (0, 1) (v 1, 0) = v + u, mikä on ristiriita Siis kohta (3) ei ole voimassa, joten V ei ole vektoriavaruus Algebraa Lause 111 Olkoon V vektoriavaruus Silloin (1) u + v = u + w v = w, (2) 0u = 0, (3) k0 = 0, 6

7 (4) ( k)u = (ku) = k( u), (5) ku = 0 k = 0 tai u = 0, (6) ku = kv k 0 u = v, (7) ku = lu u 0 k = l aina, kun u, v, w V k, l R Todistus Todistetaan kohta (6) Olkoon ku = kv k 0 Silloin ku = kv k 1 (ku) = k 1 (kv) (k 1 k)u = (k 1 k)v 1u = 1v u = v Todistetaan sitten kohta (7) Olkoon ku = lu u 0 Silloin ku = lu ku + ( (lu)) = lu + ( (lu)) ku + ( l)u = 0 (k + ( l))u = 0 k + ( l) = 0 Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä k = l Määritelmä 112 Olkoon V vektoriavaruus Silloin vektoreiden u, v V erotus on u v = u + ( v) Esimerkki 117 Olkoot f g reaalifunktiota Voidaan todistaa, että ( g)(x) = (g(x)) Näin ollen (f g)(x) = (f + ( g))(x) = f(x) + ( g)(x) = f(x) + ( g(x)) = f(x) g(x) Esimerkki 118 Olkoot A B m n matriise Silloin A B = A + ( B) = [a ij ] + [ b ij ] = [a ij + ( b ij )] = [a ij b ij ] 7

8 12 Aliavaruudet Määritelmä 121 Olkoon V vektoriavaruus W V Silloin W on avaruuden V aliavaruus, jos W on vektoriavaruus avaruuden V operaatioiden suhteen Lause 121 (Aliavaruuskriteeri) Olkoon V vektoriavaruus W V sen osajoukko Silloin W on avaruuden V aliavaruus, jos vain jos (i) u + v W, (ii) ku W aina, kun u, v W k R Todistus Oletetaan ensin, että W on avaruuden V aliavaruus Tällöin saadaan operaatiot + : W W W : R W W, joten kohdat (i) (ii) ovat voimassa Oletetaan sitten, että kohdat (i) (ii) ovat voimassa Määritelmän 111 kohdat (1) (2) sekä (5) (6) ovat selvästi voimassa, koska ne pätevät alkuperäisen avaruuden V operaatioille Pitää siis tutkia kohtia (3) (4) Oletuksesta seuraa, että rajoittamalla alkuperäisen avaruuden V operaatioita saadaan operaatiot + : W W W : R W W Nyt W, joten on olemassa jokin u W Tällöin 0u W 0u = 0, joten 0 W Lisäksi kaikilla u W pätee, että ( 1)u W Koska ( 1)u = u, niin u W Esimerkki 121 Vektoriavaruuden V aliavaruuksia ovat esimerkiksi V {0} Esimerkki 122 Olkoon Onko W avaruuden R 2 aliavaruus? W = {(x, 2x) x R} Ratkaisu Olkoot (s, 2s), (t, 2t) W olkoon k R Silloin (s, 2s) + (t, 2t) = (s + t, 2s + 2t) = (s + t, 2(s + t)) W k(s, 2s) = (ks, k(2s)) = (ks, 2(ks)) W, joten lauseen 121 nolla W on aliavaruus 8

9 Esimerkki 123 Olkoon Onko W avaruuden R 2 aliavaruus? W = {(x, 2x + 1) x R} Ratkaisu 1 Olkoon (s, 2s + 1) W Jos s = 0, niin 2s + 1 = 1 0 Siis 0 = (0, 0) / W, joten W ei ole aliavaruus Ratkaisu 2 Vektori (0, 1) = (0, ) W skalaari 2 R Kuitenkin 2(0, 1) = (0, 2) / W, joten lauseen 121 nolla W ei ole aliavaruus Esimerkki 124 Lauseen 121 avulla voidaan osoittaa, että 2 2 diagonaalimatriisit muodostavat matriisiavaruuden R 2 2 aliavaruuden Esimerkki 125 Lauseen 121 avulla voidaan osoittaa, että polynomifunktiot muodostavat funktioavaruuden {f f : R R kuvaus} aliavaruuden Esimerkki 126 Homogeenisen lineaarisen yhtälöryhmän AX = 0 ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden R n 1 aliavaruuden, ns ratkaisuavaruuden Todistus Olkoot X 1 X 2 yhtälöryhmän ratkaisu Silloin A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 = = 0, joten X 1 + X 2 on yhtälöryhmän ratkaisu Olkoon sitten X yhtälöryhmän ratkaisu k R Silloin A(kX) = kax = k0 = 0, joten kx on yhtälöryhmän ratkaisu Siis lauseen 121 ehdot täyttyvät eli yhtälöryhmän ratkaisut muodostavat aliavaruuden 13 Virittäjät Määritelmä 131 Olkoon V vektoriavaruus S = {v 1, v 2,, v n } V Merkitään Vektoreita lin(s) = {k 1 v 1 + k 2 v k n v n k 1,, k n R} k 1 v 1 + k 2 v k n v n sanotaan vektoreiden v 1, v 2,, v n lineaarikombinaatioiksi 9

10 Lause 131 Olkoon V vektoriavaruus S = {v 1, v 2,, v n } V Silloin lin(s) on suppein avaruuden V aliavaruus, joka sisältää joukon S Todistus Osoitetaan ensin, että lin(s) on aliavaruus Sovelletaan aliavaruuskriteeriä (lause 121) Asettamalla k 1 = k 2 = = k n = 0 saadaan, että 0 lin(s), joten lin(s) Koska vektoriavaruus on suljettu yhteenlaskun skalaarilla kertomisen suhteen, lin(s) V Siis aliavaruuskriteerin perusehto lin(s) V on voimassa Todistetaan sitten aliavaruuskriteerin ehdot (i) (ii) Olkoot u, v lin(s), olkoon k R Silloin u + v = (k 1 v 1 + k 2 v k n v n ) + (l 1 v 1 + l 2 v l n v n ) = (k 1 + l 1 )v 1 + (k 2 + l 2 )v (k n + l n )v n lin(s) ku = k(k 1 v 1 + k 2 v k n v n ) = (kk 1 )v 1 + (kk 2 )v (kk n )v n lin(s), joten lauseen 121 nolla lin(s) on aliavaruus Osoitetaan sitten, että lin(s) sisältää joukon S Olkoon v i S Silloin v i = 0v v i 1 + 1v i + 0v i v n lin(s), joten lin(s) sisältää joukon S Osoitetaan lopuksi, että lin(s) on suppein avaruuden V aliavaruus, joka sisältää joukon S Olkoon W avaruuden V sellainen aliavaruus, että W sisältää joukon S Valitaan mielivaltainen u lin(s) Siis u = k 1 v 1 + k 2 v k n v n Nyt v i W k i R, joten k i v i W aina, kun i {1,, n} Edelleen tällöin k 1 v 1 + k 2 v k n v n W, joten u W Siis lin(s) W eli lin(s) on suppein avaruuden V aliavaruus, joka sisältää joukon S Määritelmä 132 Vektoriavaruutta lin(s) sanotaan joukon S virittämäksi vektoriavaruudeksi Merkitään myös span(s) = lin(s) 10

11 Esimerkki 131 Olkoot i, j R 2 sellaiset, että i = (1, 0) j = (0, 1) Silloin lin{i, j} = {ki + lj k, l R} = {(k, 0) + (0, l) k, l R} = {(k, l) k, l R} = R 2 Esimerkki 132 Olkoot d, u, v R 3 \ {0} sellaiset, että u v Silloin on origon kautta kulkeva suora on origon sisältävä taso lin{d} = {sd s R} lin{u, v} = {su + tv t, s R} 14 Lineaarinen riippumattomuus Määritelmä 141 Olkoon S = {v 1,, v n } V Silloin S on lineaarisesti riippumaton, jos k 1 v k n v n = 0 k 1 = = k n = 0 Muussa tapauksessa S on lineaarisesti riippuva Esimerkki 141 Joukot {i, j} R 2, {i, j, k} R 3 {(1, 0, 0,, 0, 0), (0, 1, 0,, 0, 0),, (0, 0, 0,, 0, 1)} R n ovat lineaarisesti riippumattomia Esimerkki 142 Onko lineaarisesti riippumaton? Ratkaisu Oletetaan, että Siis Saadaan yhtälöryhmä S = {(1, 1, 1), (1, 2, 1)} R 3 k(1, 1, 1) + l(1, 2, 1) = (0, 0, 0) (k, k, k) + (l, 2l, l) = (0, 0, 0) (k + l, k + 2l, k l) = (0, 0, 0) k + l = 0 k + 2l = 0 k l = 0, josta ratkaistaan k = l = 0 Siis S on lineaarisesti riippumaton 11

12 Esimerkki 143 Onko S = {(1, 2), (5, 6), (3, 2)} R 2 lineaarisesti riippumaton? Ratkaisu Oletetaan, että k 1 (1, 2) + k 2 (5, 6) + k 3 (3, 2) = (0, 0) Siis (k 1, 2k 1 ) + (5k 2, 6k 2 ) + (3k 3, 2k 3 ) = (0, 0) (k 1 + 5k 2 + 3k 3, 2k 1 + 6k 2 + 2k 3 ) = (0, 0) Saadaan yhtälöryhmä { k1 + 5k 2 + 3k 3 = 0 2k 1 + 6k 2 + 2k 3 = 0, josta ratkaistaan k 1 = 2k 3 k 2 = k 3 Siis esimerkiksi joten S on lineaarisesti riippuva 2(1, 2) 1(5, 6) + 1(3, 2) = (0, 0), Esimerkki 144 Olkoon V = R R = {f f : R R} S = {f, g} V, missä f(x) = x g(x) = cos x Onko S lineaarisesti riippumaton? Ratkaisu Oletetaan, että kf + lg = 0 Siis aina, kun x R Täten erityisesti (kf + lg)(x) = 0 kf(x) + lg(x) = 0 kx + l cos x = 0 { k0 + l cos 0 = 0 k π 2 + l cos π 2 = 0 Tästä saadaan ratkaistua k = l = 0 Siis S on lineaarisesti riippumaton Esimerkki 145 Olkoot vektorit u, v V lineaarisesti riippumattomia Todista, että vektorit u + v, u v V ovat lineaarisesti riippumattomia 12

13 Todistus Oletetaan, että k(u + v) + l(u v) = 0 Siis ku + kv + lu lv = 0 (k + l)u + (k l)v = 0, josta saadaan yhtälöryhmä { k + l = 0 k l = 0 Tästä saadaan ratkaistua k = l = 0 Siis S on lineaarisesti riippumaton Esimerkki 146 Olkoot u, v, z V Todista, että vektorit u v, v z, z u V ovat lineaarisesti riippuvia Todistus Harjoitustehtävä Lause 141 Olkoon S äärellinen joukko (a) Joukko S on lineaarisesti riippuva, jos vain jos ainakin yksi sen vektori voidaan esittää muiden sen vektorien lineaarikombinaationa (b) Joukko S on lineaarisesti riippumaton, jos vain jos mitään sen vektoria ei voida esittää muiden sen vektorien lineaarikombinaationa Todistus Merkitään S = {v 1,, v n } Tapaus n = 1 käsitellään luennolla/harjoituksissa Oletetaan tkossa, että n 2 Todistetaan ensin kohta (a) Oletetaan ensin, että S on lineaarisesti riippuva Määritelmän mukaan on olemassa sellaiset luvut k 1,, k n, että k 1 v k n v n = 0, missä k j 0 jollain indeksin j {1,, n} arvolla Tällöin k j v j = k 1 v k j 1 v j 1 + k j+1 v j k n v n v j = k 1 k j v 1 k j 1 k j v j 1 k j+1 k j v j+1 k n k j v n Siis v j voidaan esittään vektorien v 1,, v j 1, v j+1,, v n lineaarikombinaationa Oletetaan sitten, että ainakin yksi joukon S vektori voidaan esittää muiden sen vektorien lineaarikombinaationa Merkitään, että tämä vektori on v j Siis v j = k 1 v k j 1 v j 1 + k j+1 v j k n v n 0 = k 1 v k j 1 v j 1 v j + k j+1 v j k n v n 0 = k 1 v k j 1 v j 1 + ( 1)v j + k j+1 v j k n v n Nyt 0 on esitetty joukon S lineaarikombinaationa siten, että k j = 1 0, joten S on lineaarisesti riippuva Kohta (b) yhtäitävä kohdan (a) kanssa 13

14 15 Kanta Määritelmä 151 Olkoon S = {v 1,, v n } V ( {0}) Silloin S on vektoriavaruuden V kanta, jos (1) S virittää vektoriavaruuden V, (2) S on lineaarisesti riippumaton Esimerkki 151 Joukko {i, j} on avaruuden R 2 kanta, joukko {i, j, k} on avaruuden R 3 kanta joukko {(1, 0, 0,, 0, 0), (0, 1, 0,, 0, 0),, (0, 0, 0,, 0, 1)} on avaruuden R n kanta, ns luonnollinen kanta Esimerkki 152 Joukko on avaruuden R 2 kanta S = {(1, 2), (3, 2)} Todistus Osoitetaan ensin, että S virittää avaruuden R 2 Valitaan mielivaltainen (x, y) R 2 merkitään (x, y) = k(1, 2) + l(3, 2) Saadaan yhtälöryhmä { k + 3l = x 2k + 2l = y, josta saadaan ratkaistua { k = 1 2 x y l = 1 2 x 1 4 y Siis (x, y) lin(s), joten lin(s) = R 2 Joukon S lineaarisen riippumattomuuden todistus on harjoitustehtävä Esimerkki 153 Määritä yhtälöryhmän AX = 0 ratkaisuavaruus sen kanta, kun A =

15 Ratkaisu Ratkaistaan yhtälöryhmä { 2x1 + 5x 2 + 3x 3 + 8x 4 = 0 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 0 { 2x1 + 5x 2 + 3x 3 + 8x 4 = 0 2x 1 + x 2 x 3 = 0 { 4x 2 + 4x 3 + 8x 4 = 0 2x 1 + x 2 x 3 + = 0 { x4 = 1 2 x x 3 x 1 = 1 2 x x 3 Nyt parametrisoimalla x 2 = 2t x 3 = 2s saadaan ratkaisuksi Siis ratkaisumatriisi X on x 1 = t + s x 2 = 2t x 3 = 2s x 4 = t s t + s t s 1 1 2t X = 2s = 2t s = t s 0 2 t + s t s 1 1 Tästä saadaan ratkaisuavaruus V = t 0 + s 0 t, s R, jonka kanta on S = 0, Esimerkki 154 Olkoon A kuten edellisessä esimerkissä Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää AX = B, missä B =

16 Tälle yhtälöryhmälle saadaan helposti yksittäisratkaisu 1 0 X p = 1 0 Edellisestä esimerkistä puolestaan saadaan homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu X h Siis yhtälöryhmän AX = B ratkaisu on (harj) X = X p + X h = 1 + t s Esimerkki 155 Matriisiavaruuden R 2 2 "luonnollinen"kanta on { } ,,, Esimerkki 156 Olkoon S lineaarisesti riippumaton joukko Silloin S on avaruuden lin(s) kanta 16 Dimensio Määritelmä 161 Olkoon V vektoriavaruus Jos avaruudella V on äärellinen kanta, niin sanotaan, että V on äärellisdimensioinen (tai äärellisulotteinen) Muussa tapauksessa V on ääretöndimensioinen (tai ääretönulotteinen) Esimerkki 161 Avaruus R n on äärellisdimensioinen avaruus on ääretöndimensioinen R = {(a 1, a 2, ) a 1, a 2, R} Merkintä Äärellisen joukon S alkioiden lukumäärää merkitään notaatiolla S Apulause 161 Olkoon V vektoriavaruus, S sen kanta Olkoon S V äärellinen Tällöin S = n < (1) jos S > S = n, niin S on lineaarisesti riippuva, (2) jos S on lineaarisesti riippumaton, niin S S = n 16

17 Todistus Todistetaan kohta (1) Oletetaan, että S > S = n Merkitään S = {v 1,, v n } S = {w 1,, w m } Joukko S on kanta, joten jokainen joukon S vektori voidaan lausua muodossa w 1 = a 11 v a n1 v n Oletetaan, että w 2 = a 12 v a n2 v n w m = a 1m v a nm v n k 1 w k m w m = 0 Kirjoittamalla joukon S vektorit joukon S vektoreiden avulla saadaan a 11 v a n1 v n + a 12 v a n2 v n + a 1m v a nm v n = 0, joka voidaan edelleen muokata muotoon (k 1 a k m a 1m )v 1 + (k 1 a k m a 2m )v 2 + (k 1 a n1 + + k m a nm )v n = 0 Koska S on lineaarisesti riippumaton, niin edellinen yhtälö on yhtäpitävä seuraavan yhtälöryhmän kanssa a 11 k 1 + a 12 k a 1m k m = 0 a 21 k 1 + a 22 k a 2m k m = 0 a n1 k 1 + a n2 k a nm k m = 0 Tuntemattomia muuttujia k i (m kpl) on oletuksen mukaan enemmän kuin yhtälöitä (n kpl), joten yhtälöryhmällä on epätriviaale ratkaisu Siis S on lineaarisesti riippuva Kohta (2) on loogisesti ekvivalentti kohdan (1) kanssa Lause 161 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus Silloin sen jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria Todistus Olkoot S S avaruuden V kanto Nyt S on kanta S lineaarisesti riippumaton, joten apulauseen 161 nolla S S 17

18 Vastaavasti S on kanta S lineaarisesti riippumaton, joten apulauseen 161 nolla S S Siis S = S Määritelmä 162 Olkoon V vektoriavaruus, S sen kanta S = n < Sanotaan, että vektoriavaruuden V dimensio (ulottuvuus) on n tai että V on n dimensioinen (tai n ulotteinen) Merkitään Esimerkki 162 Esimerkiksi dim(v ) = n dim(r n ) = n dim(r m n ) = mn Jälkimmäisen todistus on harjoitustehtävä Esimerkki 163 Olkoon P n korkeintaan n asteisten polynomien vektoriavaruus Silloin sen yksi kanta on {1, x, x 2,, x n }, joten dim(p n ) = n + 1 Esimerkki 164 Olkoot u, v R 3 \ {0} sellaiset, että u v Silloin jos V = lin{u}, niin dim(v ) = 1, jos U = lin{u, v}, niin dim(u) = 2 Apulause 162 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus dim(v ) > 1 Olkoon S vektoriavaruuden V sellainen lineaarisesti riippumaton osajoukko, joka ei viritä avaruutta V Olkoon v V \ lin(s) Silloin S {v} on lineaarisesti riippumaton Apulause 163 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus Olkoon S vektoriavaruuden V sellainen äärellinen osajoukko, joka virittää avaruuden V Oletetaan, että joukon S jokin vektori v voidaan esittää joukon S muiden vektoreiden lineaarikombinaationa Todista, että S \ {v} virittää avaruuden V Lause 162 Olkoon V vektoriavaruus, dim(v ) = n S V Silloin jos ehdoista 18

19 (1) lin(s) = V, (2) S lineaarisesti riippumaton, (3) S = n kaksi on voimassa, niin S on kanta Todistus Oletetaan ensin, että kohdat (1) (2) ovat voimassa Tällöin määritelmän 151 nolla S on kanta Oletetaan sitten, että ehdot (2) (3) ovat voimassa Pitää siis osoittaa, että lin(s) = V Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen v V, että v / lin(s) Tällöin apulauseen 162 nolla S {v} on lineaarisesti riippumaton apulauseen 161 nolla n + 1 = S {v} n, mikä on ristiriita Siis vastaoletus on väärin väite pätee Oletetaan lopuksi, että kohdat (1) (3) ovat voimassa Tämän osan todistus on harjoitustehtävä Esimerkki 165 Olkoon u = (1, 0) v = (1, 1) Silloin on avaruuden R 2 kanta S = {u, v} Todistus Koska S = 2, niin lauseen 162 nolla riittää osoittaa, että S on lineaarisesti riippumaton Oletetaan tätä varten, että Siis saadaan yhtälö ku + lv = 0 (k + l, l) = (0, 0), jonka ainoa ratkaisu on k = l = 0, joten S on lineaarisesti riippumaton Lause 163 Olkoon V vektoriavaruus, dim(v ) = n S V 1 Jos S on lineaarisesti riippumaton S < n, niin joukko S voidaan täydentää avaruuden V kannaksi 2 Jos lin(s) = V S > n, niin on olemassa joukon S osajoukko, joka on avaruuden V kanta Todistus Luennoilla Esimerkki 166 Joukko S = {i, i + j} on lineaarisesti riippumaton S = 2 < 3 = dim(r 3 ), joten S voidaan täydentää avaruuden R 3 kannaksi Esimerkiksi S {i + j + k} = {i, i + j, i + j + k} on avaruuden R 3 kanta Esimerkki 167 Olkoon S = {i, i + k, j, k} Silloin lin(s) = R 3 S = 4 > 3 = dim(r 3 ), joten on olemassa joukon S osajoukko, joka on avaruuden R 3 kanta Esimerkiksi S = {i, j, k} S on avaruuden R 3 kanta 19

20 17 Koordinaatit Lause 171 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus S = {v 1,, v n } sen kanta Silloin jokaista vektoria v V kohti on olemassa sellaiset yksikäsitteiset luvut c 1,, c n R, että v = c 1 v c n v n Todistus Kanta S virittää avaruuden V, joten lukujen c 1,, c n olemassaolo on selvä Oletetaan, että v = c 1 v c n v n v = k 1 v k n v n Vähentämällä nämä puolittain saadaan 0 = (c 1 k 1 )v (c n k n )v n Kanta S on lineaarisesti riippumaton, joten mistä edelleen seuraa, että Siis c 1,, c n ovat yksikäsitteiset c 1 k 1 = 0,, c n k n = 0, c 1 = k 1,, c n = k n Määritelmä 171 Olkoon V vektoriavaruus S = {v 1,, v n } sen järjestetty kanta Lauseen 171 skalaare c 1,, c n sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannan S suhteen Koordinaattivektori kannan S suhteen on c 1 (v) S = Rn 1 c n Huomautus Tästä lähtien kannasta puhuttaessa tarkoitetaan aina järjestettyä kantaa Huomautus Vektori v = (v 1,, v n ) R n samaistetaan matriisin v 1 Rn 1 v n kanssa Siis merkitään v 1 (v 1,, v n ) = v n 20

21 Esimerkki 171 Joukot S 1 = {i, j} S 2 = {(2, 0), (0, 3)} ovat avaruuden R 2 kanto Silloin v = (x, y) = xi + yj, joten joten (v) S1 = x, y v = (x, y) = x 2 (0, 2) + y (0, 3), 3 (v) S2 = x 2 y 3 Huomautus Jos kantaa ei erikseen mainita, tutkitaan luonnollista kantaa Esimerkki 172 Tarkastellaan avaruuden R 2 2 luonnollista kantaa { } S =,,, Tällöin () a 0 = 0 b S a 0 0 R4 1 b 18 Kannan vaihto Olkoot S = {v 1,, v n } S kantaa Silloin, kun v V, = {v 1,, v n} kaksi vektoriavaruuden V missä (v) S = P (v) S, P = [ (v 1 ) S (v 2 ) S (v n ) S ] Matriisia P sanotaan kannanmuunnosmatriisiksi kannalta S kannalle S Todistus Todistetaan tapaus n = 2 Olkoot S = {v 1, v 2 } S = {v 1, v 2} vektoriavaruuden V kaksi kantaa Merkitään { v1 = av 1 + bv 2 v 2 = cv 1 + dv 2, jolloin (v 1 ) S = a b (v 2 ) S = c d 21

22 Siis Merkitään jolloin Nyt a c P = b d v = k 1 v 1 + k 2 v 2, ] (v) S = [ k1 k 2 v = k 1 v 1 + k 2 v 2 = k 1 (av 1 + bv 2) + k 2 (cv 1 + dv 2) = (k 1 a + k 2 c)v 1 + (k 1 b + k 2 d)v 2, joten (v) S = k1 a + k 2 c = k 1 b + k 2 d a c k1 = P (v) b d S k 2 Esimerkki 181 Joukot S = {v 1, v 2 } = {(1, 1), (2, 1)} S = {v 1, v 2} = {(1, 0), (0, 1)} ovat avaruuden R 2 kaksi kantaa Silloin kannanmuunnosmatriisi kannalta S kannalle S on Nyt joten joten Siis Tällöin esimerkiksi P = [ (v 1 ) S (v 2 ) S ] v 1 = (1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1) = 1v 1 + 1v 2, (v 1 ) S = 1, 1 v 2 = (2, 1) = 2(1, 0) + 1(0, 1) = 2v 1 + 1v 2, P (v 2 ) S = (v 1 ) S = P = = 2 = (v 1 2 ) S 22

23 Lause 181 Olkoon P kannanmuunnosmatriisi kannalta S kannalle S Silloin (1) P on kääntyvä, (2) P 1 kannanmuunnosmatriisi kannalta S kannalle S Todistus Kohdan (1) todistus sivuutetaan Todistetaan kohta (2) Nyt (v) S = P (v) S P 1 (v) S = P 1 P (v) S P 1 (v) S = (v) S (v) S = P 1 (v) S 23

24 Luku 2 Sisätuloavaruudet 21 Määritelmä Määritelmä 211 Olkoon V vektoriavaruus Silloin kuvausta, : V V R sanotaan sisätuloksi, jos (1) u, v = v, u, (2) u + v, w = u, w + v, w, (3) ku, v = k u, v, (4) u, u 0 u, u = 0 u = 0 aina, kun u, v, w V k R Vektoriavaruutta sanotaan sisätuloavaruudeksi, jos siinä on määritelty sisätulo Esimerkki 211 Olkoon V = R n euklidinen avaruus Määritellään u, v = u v = u 1 v u n v n, missä u = (u 1,, u n ) v = (v 1,, v n ) Silloin, on sisätulo, ns euklidinen sisätulo, R n on sisätuloavaruus Todistus Oletetaan, että u, v, w V k R Tällöin (1) u, v = u v = v u = v, u, (2) u + v, w = (u + v) w = u w + v w = u, w + v, w, (3) ku, v = (ku) v = k(u v) = k u, v, (4) v, v = v v 0 v, v = v v = 0 v = 0 24

25 Esimerkki 212 Olkoon V = R 2 Silloin painotettu pistetulo u, v = u 1 v 1 + 2u 2 v 2 on sisätulo Todistus Oletetaan, että u, v, w V k R Tällöin (1) u, v = u 1 v 1 + 2u 2 v 2 = v 1 u 1 + 2v 2 u 2 = v, u Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä Esimerkki 213 Olkoon V = {f f : R R kuvaus} sopiva funktioavaruus Tällöin f, g = on sisätulo Todistus Sivuutetaan b a f(x)g(x)dx 22 Algebrallisia ominaisuuksia Lause 221 Olkoon V sisätuloavaruus Silloin (a) 0, v = v, 0 = 0, (b) u, v + w = u, v + u, w, (c) u, kv = k u, v aina, kun u, v, w V k R Todistus Oletetaan, että u, v, w V k R Osoitetaan ensin (a) kohta Nyt 0, v = 0 + 0, v = 0, v + 0, v, joten 0, v = 0 Koska 0, v = v, 0, niin (a) kohta pätee Kohtien (b) (c) todistukset ovat harjoitustehtäviä 25

26 23 Pituus kulma Oletetaan tästä eteenpäin, että vektoriavaruus V on aina sisätuloavaruus Määritelmä 231 Vektorin u normi (eli pituus) u on u = u, u 1 2 = u, u Vektoreiden u v välinen etäisyys d(u, v) on d(u, v) = u v Esimerkki 231 Olkoon V = R n euklidinen avaruus Tällöin u = u, u 1 2 = (u u) 1 2 = (u u 2 n) 1 2 d(u, v) = u v = ((u 1 v 1 ) (u n v n ) 2 ) 1 2 Esimerkki 232 Olkoon V = R 2 sisätuloavaruus, jossa sisätulona on painotettu pistetulo u, v = u 1 v 1 + 2u 2 v 2 Silloin Esimerkiksi u = u, u 1 2 = u u 2 2 (1, 1) = = 3 Apulause 231 (Cauchy-Schwarz) Olkoot u, v V Silloin Todistus Sivuutetaan u, v u v Esimerkki 233 Euklidisessa avaruudessa R n pätee u v = u, v u v Lause 231 Olkoot u, v V, olkoon k R Silloin (1) u 0 u = 0 u = 0, (2) ku = k u, (3) u + v u + v (kolmioepäyhtälö) 26

27 Todistus Kohtien (1) (2) todistukset ovat harjoitustehtäviä Todistetaan kohta (3) Nyt u + v 2 = u + v, u + v = u, u + v + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u, u + u, v + u, v + v, v = u u, v + v 2 u u v + v 2 = ( u + v ) 2, josta saadaan u + v u + v Määritelmä 232 Vektoreiden u 0 v 0 välinen kulma θ määritellään kaavalla u, v cos θ =, θ [0, π] u v Huomautus Oletuksen nolla u, v = 0, joten Cauchy-Schwarzin mukaan u, v [1, 1] u v Siis määritelmä 232 on mielekäs Määritelmä 233 Vektorit u v ovat ortogonaaliset (kohtisuorat), jos u, v = 0 Merkitään Lisäksi merkitään jos u v aina, kun v S u v u S, Huomautus Vektorien välisen kulman määritelmästä seuraa, että kun u, v 0 u v θ = π 2, 27

28 Esimerkki 234 Olkoon V = R 2 euklidinen avaruus Silloin (1, 1) ( 1, 1), koska Itse asiassa (1, 1), ( 1, 1) = (1, 1) ( 1, 1) = 0 (1, 1) ( x, x) aina, kun x R, sillä (1, 1), ( x, x) = (1, 1) ( x, x) = 1( x) + 1x = 0 Esimerkki 235 Olkoon V = R 2 varustettuna painotetulla pistetulolla u, v = u 1 v 1 + 2u 2 v 2 Silloin koska Nyt joten Siis (1, 1) ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1) = 1( 1) + 2(1 1) = 1 0 cos θ = (1, 1) = 3 = ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1) (1, 1) ( 1, 1) = 1 = θ 70, 5 Lause 232 (Yleistetty Pythagoraan lause) Jos u v, niin u + v 2 = u 2 + v 2 Todistus Oletetaan, että u v Tällöin u + v 2 = u + v, u + v = u, u + v + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u, u + u, v + u, v + v, v = u u, v + v 2 = u v 2 = u 2 + v 2 28

29 24 Ortonormaalit joukot Määritelmä 241 Olkoon = S V Silloin joukko S on ortogonaali joukko, jos u v aina, kun u, v S, u v Jos lisäksi u = 1 aina, kun u S, niin S on ortonormaali joukko Huomautus Usein sanotaan vain lyhyesti, että S on ortogonaali tai ortonormaali Esimerkki 241 Olkoon S ortogonaali 0 / S Silloin joukko on ortonormaali Todistus Harjoitustehtävä { 1 u u } u S Esimerkki 242 Olkoon R 3 euklidinen avaruus Tällöin joukko {i, j, k} on ortonormaali Yleisesti euklidisen avaruuden R n luonnollinen kanta on ortonormaali Lause 241 Olkoon S = {v 1,, v n } avaruuden V ortonormaali kanta Silloin u = u, v 1 v 1 + u, v 2 v u, v n v n aina, kun u V Todistus Oletetaan, että u V Koska S on avaruuden V kanta, vektori u voidaan lausua muodossa Nyt saadaan, että u = c 1 v c n v n u, v i = c 1 v c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c i v i, v i + + c n v n, v i = c c i v i c n 0 = c i = c i, missä i {1,, n} Tällöin u = u, v 1 v 1 + u, v 2 v u, v n v n 29

30 Huomautus Ortonormaalin kannan tapauksessa vektorille u saadaan koordinaattivektori u, v 1 (u) S = u, v n eli ns Fourier-kertoimet Esimerkin 241 avulla saadaan, että vektorin u koordinaattivektori ortogonaalin kannan suhteen on (u) S = u,v 1 v 1 2 u,v n v n 2 Esimerkki 243 Olkoon R 2 vektoriavaruus S = {i, j} sen ortonormaali kanta Tällöin u = (u 1, u 2 ) voidaan lausua muodossa u = (u i)i + (u j)j Lause 242 Olkoon S = {v 1,, v m } ortogonaali joukko, olkoot v 1,, v m 0 Silloin S on lineaarisesti riippumaton Todistus Oletetaan, että Silloin kun i {1,, m} Toisaalta k 1 v k m v m = 0 k 1 v k m v m, v i = 0, v i = 0, k 1 v k n v m, v i = k 1 v 1, v i + + k i v i, v i + + k m v m, v i = k k i v i k m 0 = k i v i 2, joten yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan, että k i v i 2 = 0, kun i {1,, n} Koska v i 2 0, niin k i = 0 Siis S on lineaarisesti riippumaton Projektio Määritelmä 242 Olkoon {v 1,, v m } avaruuden V ortogonaali joukko, missä v 1,, v m 0 Olkoon W = lin{v 1,, v m } Vektorin u V projektio aliavaruudelle W on proj W (u) = u, v 1 v 1 2 v u, v m v m 2 v m 30

31 Huomautus Olkoon S vektoriavaruuden V ortogonaali kanta R S Silloin proj lin(r) (u) tarkoittaa, että vektorin u koordinaateista häviävät (eli saavat arvoksi 0) ne, jotka vastaavat joukosta R pois jääneitä vektoreita Esimerkki 244 Olkoon V = R 3, W = lin{i, j} u = (x, y, z) = xi + yj + zk Silloin proj W (u) = u i i 2 i + u j j 2 j = xi + yj Lause 243 Olkoon u V W = lin(s), missä S = {v 1,, v m } on ortogonaali joukko v 1,, v m 0 Silloin Todistus Osoitetaan, että aina, kun w W Harjoitustehtävä (u proj W (u)) W u proj W (u), w = 0 Lause 244 Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella ( {0}) on ortonormaali kanta Gram-Schmidtin prosessi Olkoon {u 1, u 2,, u n } avaruuden V kanta Ortogonaali kanta {v 1, v 2,, v n } saadaan seuraavasti: Vaihe 1 Asetetaan v 1 = u 1 Vaihe 2 Asetetaan Vaihe 3 Asetetaan W 1 = lin{v 1 } v 2 = u 2 proj W1 (u 2 ) W 2 = lin{v 1, v 2 } v 3 = u 3 proj W2 (u 3 ) W 3 = lin{v 1, v 2, v 3 } 31

32 Vaihe n-1 Asetetaan Vaihe n Asetetaan v n 1 = u n 1 proj Wn 2 (u n 1 ) W n 1 = lin{v 1, v 2,, v n 1 } v n = u n proj Wn 1 (u n ) Lauseen 243 perusteella joukko {v 1, v 2,, v n } on ortogonaali Lauseen 242 mukaan se on lineaarisesti riippumaton, joten lauseen 162 nolla se on avaruuden V kanta Lopuksi normeerataan saatu ortogonaali kanta, jolloin saadaan ortonormaali kanta { 1 v 1 v 1, 1 v 2 v 2,, } 1 v n v n Huomautus Vektorit v 1, v 2,, v n voidaan vaihtoehtoisesti normeerata kussakin eri vaiheessa yksi kerrallaan Esimerkki 245 Olkoon V = R 3 S = {i, i + j, i + j + k} Ortogonalisoidaan avaruuden R 3 kanta S Vaihe 1 Asetetaan Vaihe 2 Asetetaan v 1 = u 1 = i W 1 = lin{i} v 2 = u 2 proj W1 (u 2 ) = (i + j) i = j Vaihe 3 Asetetaan W 2 = lin{i, j} v 3 = u 3 proj W2 (u 3 ) = (i + j + k) (i + j) = k On saatu avaruuden R 3 ortogonaali kanta {i, j, k} Tämä kanta on itse asiassa ortonormaali, sillä i = j = k = 1 32

33 Luku 3 Lineaarikuvaukset 31 Määritelmä perusominaisuuksia Määritelmä 311 Olkoot U V vektoriavaruuksia Kuvausta T : U V sanotaan lineaarikuvaukseksi, jos (1) T (u + u ) = T (u) + T (u ), (2) T (ku) = kt (u) aina, kun u, u U k R Esimerkki 311 Olkoon T : U U, T (u) = ku Voidaan osoittaa, että T on lineaarikuvaus Jos k > 1, niin sanotaan, että T on dilaatio Jos 0 < k < 1, niin sanotaan, että T on kontraktio Esimerkki 312 Olkoon T : R 2 R 2, T (u) = T (u 1, u 2 ) = ( u 1, u 2 ) Olkoot u, u R 2, olkoon k R Silloin T (u + u ) = T ((u 1, u 2 ) + (u 1, u 2)) = T (u 1 + u 1, u 2 + u 2) = ( u 1 u 1, u 2 + u 2) = ( u 1, u 2 ) + ( u 1, u 2) = T (u 1, u 2 ) + T (u 1, u 2) = T (u) + T (u ) 33

34 T (ku) = T (k(u 1, u 2 )) = T (ku 1, ku 2 ) = ( ku 1, ku 2 ) = (k( u 1 ), ku 2 ) = k( u 1, u 2 ) = kt (u 1, u 2 ) = kt (u), joten T on lineaarikuvaus Esimerkki 313 (Matriisikuvaus) Olkoon A m n matriisi Silloin T : R n R m, T (u) = Au on lineaarikuvaus, sillä T (u + u ) = A(u + u ) = Au + Au = T (u) + T (u ) T (ku) = A(ku) = k(au) = kt (u) Esimerkki 314 Olkoon A = I 2 Silloin joten T on identtinen kuvaus 1 0 u1 u1 T (u) = Au = I 2 u = = = u, 0 1 u 2 u 2 Lause 311 Olkoon T : U V lineaarikuvaus Silloin (a) T (0 U ) = 0 V, (b) T ( u) = T (u), (c) T (u 1 u 2 ) = T (u 1 ) T (u 2 ), (d) T (k 1 u k m u m ) = k 1 T (u 1 ) + + k m T (u m ) aina, kun u, u 1,, u m U k 1,, k m R Todistus Harjoitustehtävä Esimerkki 315 Onko lineaarikuvaus? T : R 2 R 3, T (x, y) = (x + 1, y + 1, 0) 34

35 Ratkaisu Ei ole, sillä Esimerkki 316 Onko lineaarikuvaus? T (0, 0) = (1, 1, 0) (0, 0, 0) T : R 2 R 3, T (x, y) = (xy, 0, 0) Ratkaisu Lauseen 311 kohta (a) on voimassa Kuitenkin T (1, 1) + T (1, 1) = (1, 0, 0) + (1, 0, 0) = (2, 0, 0) joten T ei ole lineaarikuvaus T ((1, 1) + (1, 1)) = T (2, 2) = (4, 0, 0), Huomautus Lineaarikuvaus tunnetaan täydellisesti, jos tunnetaan kantavektoreiden kuvat Todistus Olkoon T : U V lineaarikuvaus {u 1,, u n } avaruuden U kanta Olkoon u U Silloin u on muotoa jolloin u = k 1 u k n u n, T (u) = T (k 1 u k n u n ) = k 1 T (u 1 ) + + k n T (u n ) Kuvausten yhdistäminen Määritelmä 312 Olkoon T 1 : U V, T 2 : V W Silloin yhdistetty kuvaus T 2 T 1 on T 2 T 1 : U W, (T 2 T 1 )(u) = T 2 (T 1 (u)) Lause 312 Jos T 1 T 2 ovat lineaarikuvauksia, niin T 2 T 1 on lineaarikuvaus Todistus Määritelmän 311 kohta (1) on harjoitustehtävä Todistetaan kohta (2) Oletetaan tätä varten, että u U k R Tällöin (T 2 T 1 )(ku) = T 2 (T 1 (ku)) = T 2 (kt 1 (u)) = kt 2 (T 1 (u)) = k(t 2 T 1 )(u) 35

36 Lause 313 Olkoon T : U U I : U U, missä I(u) = u, kun u U Silloin T I = I T = T Todistus Oletetaan, että u U Tällöin (T I)(u) = T (I(u)) = T (u) (I T )(u) = I(T (u)) = T (u) Esimerkki 317 Olkoot T 1 : R 2 R 2 T 2 : R 2 R 2 sellaiset, että T 1 (x, y) = (x, y) T 2 (x, y) = ( x, y) Silloin T 2 T 1 : R 2 R 2 (T 2 T 1 )(x, y) = T 2 (T 1 (x, y)) = T 2 (x, y) = ( x, y) 32 Ydin kuva-avaruus Määritelmä 321 Olkoon T : U V lineaarikuvaus Silloin kuvauksen T ydin on ker(t ) = {u U T (u) = 0 V } kuvauksen T kuva-avaruus on ran(t ) = {T (u) u U} = {v V u U : T (u) = v} Huomautus Määritelmästä 321 seuraa, että Esimerkki 321 Olkoon Silloin 0 U ker(t ) 0 V ran(t ) T : R 2 R, T (x, y) = x + y ker(t ) = {(x, y) T (x, y) = 0} = {(x, y) x + y = 0} = {(x, y) y = x} = {(x, x) x R} 36

37 eli ydin on suora y = x Edelleen Esimerkki 322 Olkoon Silloin Edelleen ran(t ) = R n m eli ran(t ) = {T (x, y) x, y R} = {x + y x, y R} = R T : R m n R n m, T (A) = A T ker(t ) = {A R m n T (A) = 0} = {A R m n A T = 0} = {0} B R n m : A R m n : T (A) = B Todistus Valitaan mielivaltainen B R n m Olkoon A = B T, jolloin A R m n Silloin T (A) = A T = (B T ) T = B Lause 321 Olkoon T : U V lineaarikuvaus Silloin (a) ker(t ) on avaruuden U aliavaruus, (b) ran(t ) on avaruuden V aliavaruus Todistus Todistetaan kohta (a) soveltamalla aliavaruuskriteeriä (lause 121) Selvästi ker(t ) U Oletetaan sitten, että u, u ker(t ) k R Nyt oletuksen nolla T (u) = 0 T (u ) = 0, joten T (u + u ) = T (u) + T (u ) = = 0 Siis u + u ker(t ) eli kriteerin kohta (i) pätee Edelleen T (ku) = kt (u) = k0 = 0, joten ku ker(t ) eli kriteerin kohta (ii) on voimassa Todistetaan sitten kohta (b) käytetään myös tähän aliavaruuskriteeriä Selvästi ran(t ) V Oletetaan, että v, v ran(t ) k R Kohta (i) on harjoitustehtävä Käydään läpi kohta (ii) Oletuksen mukaan on olemassa sellainen u U, että T (u) = v 37

38 Nyt T (ku) = kt (u) = kv, joten on olemassa sellainen u = ku U, että T (u ) = kv Siis kv ran(t ) eli kriteerin kohta (ii) pätee Esimerkki 323 Olkoon T : R n R m, T (X) = AX Silloin ker(t ) = {X R n T (X) = 0} = {X R n AX = 0} on homogeenisen lineaarisen yhtälöryhmän AX = 0 ratkaisuavaruus 33 Dimensiolause Määritelmä 331 Olkoon T : U V lineaarikuvaus Silloin (1) kuvauksen T nulliteetti on dim(ker(t )), (2) kuvauksen T aste on dim(ran(t )) Huomautus Määritellään, että dim({0}) = 0 Lause 331 (Dimensiolause) Olkoon T : U V lineaarikuvaus dim(u) = n Silloin dim(ker(t )) + dim(ran(t )) = n eli kuvauksen T nulliteettin asteen summa on n Todistus Jos n = 0, niin U = {0} Tällöin ker(t ) = {0} ran(t ) = {0}, joten dim(ker(t )) + dim(ran(t )) = = 0 = n Oletetaan, että n > 0 Merkitään dim(ker(t )) = r 38

39 Olkoon S = {u 1, u r } ytimen ker(t ) kanta, jos r > 0, olkoon S =, jos r = 0 Jos r = n, niin lauseen 162 nolla ker(t ) = U Tällöin T (U) = T (ker(t )) = {0}, joten dim(ran(t )) = 0 Siis dim(ker(t )) + dim(ran(t )) = n + 0 = n Oletetaan, että r < n Nyt S on lineaarisesti riippumaton S U Lauseen 163 nolla S voidaan täydentää avaruuden U kannaksi Olkoon S {u r+1,, u n } avaruuden U kanta Todistetaan lauseen 162 avulla, että S = {T (u r+1 ),, T (u n )} on kuva-avaruuden ran(t ) kanta Osoitetaan aluksi, että S virittää kuva-avaruuden ran(t ) ts ran(t ) = lin(s ) Oletetaan ensin, että a ran(t ) Siis on olemassa sellainen u U, että T (u) = a Merkitään Nyt T (u) = T (c 1 u c n u n ) u = c 1 u c n u n a = c 1 T (u 1 ) + + c r T (u r ) + c r+1 T (u r+1 ) + + c n T (u n ) a = c r+1 T (u r+1 ) + + c n T (u n ) a = c r+1 T (u r+1 ) + + c n T (u n ), joten a lin(s ) Siis ran(t ) lin(s ) Koska S ran(t ) ran(t ) on vektoriavaruus, niin lin(s ) ran(t ) Siis ran(t ) = lin(s ) eli kohta (i) pätee Osoitetaan sitten, että S on lineaarisesti riippumaton Oletetaan, että Koska T on lineaarikuvaus, niin k r+1 T (u r+1 ) + + k n T (u n ) = 0 T (k r+1 u r k n u n ) = 0 Siis k r+1 u r k n u n ker(t ), 39

40 jolloin se voidaan lausua ytimen kannan alkioiden lineaarikombinaationa Saadaan k 1 u k r u r = k r+1 u r k n u n k 1 u k r u r k r+1 u r+1 k n u n = 0 k 1 u k r u r + ( k r+1 )u r ( k n )u n = 0 Koska {u 1,, u r, u r+1,, u n } on avaruuden U kanta, edellisestä yhtälöstä seuraa, että k 1 = = k r = k r+1 = = k n = 0 Tästä saadaan edelleen, että k r+1 = = k n = 0 Täten S on lineaarisesti riippumaton On siis osoitettu, että S on kuva-avaruuden ran(t ) kanta, joten dim(ran(t )) = S = n r Lisäksi S on ytimen ker(t ) kanta tai ker(t ) = {0} S =, joten dim(ker(t )) = S = r Tällöin dim(ker(t )) + dim(ran(t )) = r + n r = n Esimerkki 331 Olkoon T : R 2 R, T (x, y) = x + y Silloin ker(t ) = {(x, x) x R} = {x(1, 1) x R}, joten Edelleen dim(ker(t )) = {(1, 1)} = 1 dim(ran(t )) = dim(r) = 1 dim(u) = dim(r 2 ) = 2 40

41 Esimerkki 332 Olkoon T : R m n R n m, T (A) = A T Silloin dim(ker(t )) = dim({0}) = 0 dim(ran(t )) = dim(r n m ) = nm Esimerkki 333 Olkoon T : R n R m, T (X) = AX Silloin ker(t ) on yhtälöryhmän AX = 0 ratkaisuavaruus dim(ker(t )) = n dim(ran(t )) 34 Vektoriavaruuksien isomorfia Määritelmä 341 Olkoon f : A B kuvaus Silloin f on injektio, jos f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2 Kuvaus f on surjektio, jos f(a) = B eli b B : a A : f(a) = b Jos f on injektio surjektio, niin f on bijektio Lause 341 Olkoon T : U V lineaarikuvaus Silloin T injektio ker(t ) = {0} Todistus Oletetaan ensin, että T on injektio Olkoon u ker(t ) Silloin T (u) = 0 T (u) = T (0) u = 0 Siis vain 0 ker(t ) eli ker(t ) = {0} Oletetaan sitten, että ker(t ) = {0} Olkoon Silloin joten u v ker(t ) Siis joten T on injektio T (u) = T (v) T (u) T (v) = 0 T (u v) = 0, u v = 0 u = v, 41

42 Esimerkki 341 Olkoon Onko T injektio? T : R m n R n m, T (A) = A T Ratkaisu 1 Koska ker(t ) = {0}, niin T on injektio Ratkaisu 2 Olkoon Silloin joten T on injektio T (A) = T (B) A T = B T (A T ) T = (B T ) T A = B, Lause 342 Olkoon T : U V lineaarikuvaus dim(v ) = n Silloin T surjektio dim(ran(t )) = n Todistus Oletetaan ensin, että T on surjektio Tällöin ran(t ) = V, joten dim(ran(t )) = dim(v ) = n Oletetaan sitten, että dim(ran(t )) = n Tällöin kuva-avaruudella ran(t ) on sellainen kanta S, että S = n Koska S V, S on lineaarisesti riippumaton S = dim(v ), niin S on avaruuden V kanta Siis ran(t ) = lin(s) = V, joten T on surjektio Lause 343 Olkoon T : U V lineaarikuvaus dim(u) = dim(v ) = n Silloin T surjektio T injektio Todistus Oletetaan ensin, että T on surjektio Tällöin dim(ran(t )) = dim(v ) = n, joten dim(ker(t )) = dim(u) dim(ran(t )) = n n = 0 Siis ker(t ) = {0}, joten T on injektio Toinen suunta on harjoitustehtävä Määritelmä 342 Vektoriavaruudet U V ovat isomorfiset, jos on olemassa T : U V, joka on bijektio lineaarikuvaus Merkitään Kuvaus T on isomorfismi U V 42

43 Huomautus Isomorfismissa alkioilla on 1 1 vastaavuus laskutoimitukset säilyvät Esimerkki 342 Kuvaus a b T : R 4 R 2 2, T (a, b, c, d) = c d on isomorfismi, joten Kuvaus on isomorfismi, joten Kuvaus on isomorfismi, joten R 4 R 2 2 T : R 3 P 2, T (a, b, c) = a + bx + cx 2, R 3 P 2 T : R 2 lin{e x, e 2x }, T (a, b) = ae x + be 2x, R 2 lin{e x, e 2x } Esimerkki 343 Olkoon det A 0 Silloin kuvaus on isomorfismi T : R n R n, T (X) = AX, Todistus Aiemmin ollaan jo todistettu, että T on lineaarikuvaus Osoitetaan ensin, että T on injektio Olkoon Silloin T (X) = T (Y ) AX = AY A 1 (AX) = A 1 (AY ) (A 1 A)X = (A 1 A)Y IX = IY X = Y, joten T on injektio Osoitetaan sitten, että T on surjektio Valitaan mielivaltainen Y R n Olkoon X = A 1 Y Silloin joten T on surjektio T (X) = AX = A(A 1 Y ) = (AA 1 )Y = IY = Y, 43

44 Lause 344 Olkoot U V äärellisulotteisia vektoriavaruuksia Silloin U V dim(u) = dim(v ) Todistus Oletetaan ensin, että U V Tällöin on olemassa isomorfismi T : U V Kuvaus T on injektio, joten ker(t ) = {0} Siis dim(ker(t )) = 0, jolloin dim(ran(t )) = dim(u) 0 = dim(u) Toisaalta T on surjektio, joten ran(t ) = V Siis dim(ran(t )) = dim(v ), jolloin saadaan, että dim(u) = dim(v ) Oletetaan sitten, että dim(u) = dim(v ) = n Olkoon S = {u 1,, u n } avaruuden U kanta S = {v 1,, v n } avaruuden V kanta Silloin sääntö T (u) = c 1 v c n v n, kun u = c 1 u c n u n, määrittelee isomorfismin avaruudelta U avaruudelle V (harjoitustehtävä) Siis U V Esimerkki 344 Voidaan todistaa, että R 4 R 2 2 P 3 R 4 1 sekä R 2 {(x, y, z) R 3 z = 0} R {(x, y) R 2 y = 0} {(x, y) R 2 x = 0} Huomautus Isomorfisuus on ekvivalenssirelaatio Todistus Harjoitustehtävä 35 Lineaarikuvaukset R n R m Olkoon A m n matriisi Silloin T : R n R m, T (X) = AX, on lineaarikuvaus, ns matriisikuvaus Tässä luvussa todistetaan, että jokainen lineaarikuvaus T : R n R m on matriisikuvaus että jokaisen kuvauksen matriisi on yksikäsitteinen 44

45 Lause 351 Olkoon T : R n R m lineaarikuvaus Silloin missä T (X) = AX, A = [ T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n ) ] {e 1, e 2,, e n } on avaruuden R n luonnollinen kanta Matriisia A sanotaan kuvauksen T matriisiksi tai luonnolliseksi matriisiksi Todistus Merkitään a 11 a 21 a n1 a 12 T (e 1 ) =, T (e a 22 2) =,, T (e a n2 n) = a 1m a 2m a nm Siis a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Todistetaan, että T (X) = AX, kun X R n Olkoot vektorin X koordinaatit x 1, x 2, x 3,, x n Silloin x x X = x 3 = x 1 + x x n = x 1 e 1 + x 2 e x n e n Silloin x n T (X) = T (x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = x 1 T (e 1 ) + x 2 T (e 2 ) + + x n T (e n ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n AX = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = x 1 a 11 a 21 a m1 + x 2 a 12 a 22 a m2 + + x n a 1n a 2n a mn = x 1 T (e 1 ) + x 2 T (e 2 ) + + x n T (e n ), joten T (X) = AX 45

46 Lause 352 Olkoon T A : R n R m, T A (X) = AX, Silloin T B : R n R m, T B (X) = BX T A = T B A = B Todistus Oletetaan ensin, että A = B Tällöin kun X R n Siis AX = BX, T A (X) = T B (X), kun X R n, joten T A = T B Toinen suunta on harjoitustehtävä Esimerkki 351 Olkoon T : R 3 R 2 2x1 + x, T (X) = 2 Kirjoita T muodossa T (X) = AX, ts etsi kuvauksen T luonnollinen matriisi Ratkaisu Matriisi A on Esimerkki 352 Olkoon x 3 A = [ T (e 1 ) T (e 2 ) T (e 3 ) ] = [ T (i) T (j) T (k) ] = T : R n R n, T (X) = X Silloin T (X) = IX Esimerkki 353 Olkoon T A : R n R m, T (X) = AX T B : R l R n, T (X) = BX 46

47 Silloin (T A T B )(X) = T A (T B (X)) = T A (BX) = A(BX) = (AB)X Siis kuvauksen T A T B luonnollinen matriisi on tulo AB Huomautus Matriisien kertolaskun tavoin kuvausten yhdistäminen ei ole kommutatiivinen eli yleisesti Esimerkki 354 Olkoon Silloin T A T B T B T A T 1 : R 2 R 2, T 1 ([ x y ]) = () x 2 0 x T 1 = y 0 1 y 2x y Geometrisesti tämä tarkoittaa laajennusta x akselin suunnassa Esimerkki 355 Olkoon Silloin T 2 : R 2 R 2, T 2 ([ x y ]) = () x 1 1 x T 2 = y 0 1 y x + y y Geometrisesti tämä tarkoittaa viistotusta x akselin suunnassa Esimerkki 356 Olkoot T 1 T 2 kuten edellisissä kahdessa esimerkissä Koska = niin (T 2 T 1 ) (T 1 T 2 ) () x = y () x = y = [ [ , 0 1 ] x 2x + y = y y ] x 2x + 2y = y y 47

48 Esimerkki 357 Matriisi cos θ sin θ A = sin θ cos θ välittää kierron kulman θ verran Esimerkki 358 Olkoon Silloin T 3 : R 2 R 2, T 3 ([ x y ]) = () x 1 0 x T 3 = y 0 1 y x y Geometrisesti tämä tarkoittaa peilausta y akselin suhteen Esimerkki 359 Olkoon Silloin T 4 : R 2 R 2, T 4 ([ x y ]) = () x 0 1 x T 4 = y 1 0 y y x Geometrisesti tämä tarkoittaa peilausta suoran y = x suhteen Esimerkki 3510 Olkoot T 2 T 4 kuten aiemmissa esimerkeissä Koska niin (T 4 T 2 ) (T 2 T 4 ) () x = y () x = y = = [ [ , 1 0 ] x = y ] x = y y 2x 2y x 48

49 36 Lineaarikuvauksen matriisi kantojen suhteen Lause 361 Olkoon T : U V lineaarikuvaus Olkoon S = {u 1, u 2,, u n } avaruuden U kanta S = {v 1, v 2,, v m } avaruuden V kanta Silloin (T (u)) S = [T ] S,S (u) S, missä [T ] S,S = [ (T (u 1 )) S (T (u 2 )) S (T (u n )) S ] Todistus Vrt lauseen 351 todistus Määritelmä 361 Matriisi [T ] S,S S suhteen on kuvauksen T matriisi kantojen S Esimerkki 361 Olkoon T : R n R m, T (X) = AX Olkoon S avaruuden R n luonnollinen kanta S avaruuden R m luonnollinen kanta Silloin [T ] S,S = A Ts kuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen on kuvauksen luonnollinen matriisi Esimerkki 362 Olkoon T : R 3 R 2 2x1 + x, T (X) = 2 Olkoon S = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} S = {(1, 0), (1, 1)} Silloin S on avaruuden R 3 kanta S on avaruuden R 2 kanta Mikä on [T ] S,S? Matriisi [T ] S,S on x 3 (T (u1 )) S (T (u 2 )) S (T (u 3 )) S Nyt joten joten T (u 1 ) = T (1, 0, 0) = (2, 0) = 2(1, 0) + 0(1, 1), (T (u 1 )) S = (2, 0), T (u 2 ) = T (1, 1, 0) = (3, 0) = 3(1, 0) + 0(1, 1), (T (u 2 )) S = (3, 0), 49

50 joten Siis T (u 3 ) = T (1, 1, 1) = (3, 1) = 2(1, 0) + 1(1, 1), Olkoon X = (2, 1, 1) Silloin (T (u 3 )) S = (2, 1) [T ] S,S = X = 1(1, 0, 0) + 0(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1), joten Nyt (X) S = (1, 0, 1) (T (X)) S = [T ] S,S (X) S = = Toisaalta jolloin T (X) = (5, 1) = 4(1, 0) + 1(1, 1), (T (X)) S = (4, 1) Merkintä Kun S = S, merkitään [T ] S,S = [T ] S Esimerkki 363 Olkoon T : U U, T (u) = u Olkoon dim(u) = n S avaruuden U kanta Silloin (T (u)) S = [T ] S (u) S Siis [T ] S = I 50

51 Kannan vaihto Olkoon T : U U lineaarikuvaus, olkoot S S äärellisulotteisen avaruuden U kaksi kantaa Silloin (T (u)) S = [T ] S (u) S (T (u)) S = [T ] S (u) S Toisaalta P (u) S = (u) S P (T (u)) S = (T (u)) S, missä P on kannanmuunnosmatriisi kannalta S kannalle S Siis P (T (u)) S = [T ] S P (u) S (T (u)) S = P 1 ([T ] S P (u) S ) (T (u)) S = (P 1 [T ] S P )(u) S Näin ollen [T ] S = P 1 [T ] S P Määritelmä 362 Olkoot A B n n matriise Silloin B on similaarinen matriisin A kanssa, jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi P, että B = P 1 AP Lause 362 Similaarisuus on ekvivalenssirelaatio Todistus Tiedetään, että A = I 1 AI, joten relaatio on refleksiivinen Oletetaan, että B = P 1 AP Tällöin A = (P 1 ) 1 BP 1, joten similaarisuus on symmetrinen Transitiivisuuden osoittaminen on harjoitustehtävä Huomautus Voidaan sanoa, että A B ovat similaariset, merkitä A B Huomautus Huomataan, että [T ] S [T ] S 51

52 37 Ominaisarvot ominaisvektorit Määritelmä 371 Olkoon A n n matriisi Silloin λ R on matriisin A ominaisarvo, jos X R n \ {0} : AX = λx Vektoria X sanotaan ominaisarvoa λ vastaavaksi ominaisvektoriksi Huomautus Jos X = 0, niin on aina voimassa AX = λx Huomautus Kutakin ominaisarvoa vastaa useita ominaisvektoreita Huomautus Jos jokin ominaisvektori vastaa kahta kahta ominaisarvoa eli AX = λ 1 X AX = λ 2 X, niin nämä ominaisarvot ovat samat eli λ 1 = λ 2 Esimerkki 371 Olkoon Silloin A A = 1 = = Siis luku 3 on yksi matriisin A ominaisarvo vektori (1, 2) yksi tätä ominaisarvoa vastaava ominaisvektori Lause 371 Olkoon A n n matriisi Silloin λ R on matriisin A ominaisarvo, jos vain jos det(a λi) = 0 eli det(λi A) = 0 Todistus Nyt λ on matriisin A ominaisarvo, jos vain jos X R n \ {0} : AX = λx X R n \ {0} : AX = λix X R n \ {0} : AX λix = 0 X R n \ {0} : (A λi)x = 0 Kurssilla Lineaarialgebra 1A on todettu, että yhtälöryhmällä BX = 0 on vain triviaali ratkaisu X = 0, jos vain jos det B 0 Koska tällaisella 52

53 yhtälöryhmällä on aina vähintään yksi ratkaisu, niin yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu X 0, jos vain jos det B = 0 Asettamalla B = A λi saadaan, että Lisäksi X R n \ {0} : (A λi)x = 0 det(a λi) = 0 det(a λi) = 0 det( 1(λI A)) = 0 ( 1) n det(λi A) = 0 det(λi A) = 0 Määritelmä 372 Olkoon A R n n Silloin det(λi A) on matriisin A karakteristinen polynomi Yhtälö on matriisin A karakteristinen yhtälö det(λi A) = 0 Huomautus Karakteristinen polynomi det(λi A) on n asteen polynomi, joten sillä on korkeintaan n reaalista juurta Siis matriisilla A on korkeintaan n ominaisarvoa Huomautus Kompleksijuuria ei käsitellä tällä kurssilla Huomautus Olkoon n = 2 Silloin λ a det(λi A) = 11 a 12 a 21 λ a 22 Esimerkki 372 Olkoon Silloin Nyt karakteristinen yhtälö on josta saadaan λ = 1 tai λ = 2 = (λ a 11 )(λ a 22 ) a 12 a 21 A = λ 3 2 det(λi A) = 1 λ = (λ 3)λ + 2 = λ 2 3λ + 2 λ 2 3λ + 2 = 0, 53

54 Esimerkki 373 Olkoon A = I 2 Silloin λ 1 0 det(λi 2 I 2 ) = 0 λ 1 = (λ 1)2, joten matriisin I 2 ainoa ominaisarvo on 1 Esimerkki 374 Olkoon A = Silloin λ det(λi A) = 5 λ 2 = (λ + 2)(λ 2) + 5 = λ = λ Karakteristisella polynomilla ei ole reaalijuuria, joten matriisilla ei ole yhtään ominaisarvoa Lause 372 Jos A on kolmiomatriisi, niin ominaisarvot ovat a 11, a 22,, a nn eli diagonaalialkiot Todistus Olkoon A kolmiomatriisi Merkitään λi A = B Nyt b ij = a ij, kun i j, joten B on kolmiomatriisi Koska b ii = λ a ii, kun i {1,, n}, niin det(λi A) = det B = b 11 b 22 b nn = (λ a 11 )(λ a 22 ) (λ a nn ) Tästä saadaan ratkaistua λ = a 11, λ = a 22,, λ = a nn Lause 373 Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot Todistus Todistetaan lause osoittamalla, että similaarisilla matriiseilla on 54

55 sama karakteristinen polynomi Olkoon A B Silloin det(λi A) = det(λi P 1 BP ) = det(λp 1 P P 1 BP ) = det(p 1 (λp ) P 1 (BP )) = det(p 1 (λp BP )) = det(p 1 ) det(λp BP ) = det(p 1 ) det(λip BP ) = det(p 1 ) det((λi B)P ) = det(p 1 ) det(λi B) det P = det(p 1 ) det(λi B) det P = 1 det(λi B) det P det P = det(λi B) Lause 374 Olkoon A R n n λ R sen jokin ominaisarvo Merkitään E λ = {X R n X on ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori } {0} Silloin E λ on homogeenisen yhtälöryhmän AX = λx eli ratkaisuavaruus (λi A)X = 0 Todistus Seuraa suoraan määritelmistä esimerkistä 126 Määritelmä 373 Joukko E λ on omainaisarvon λ ominaisavaruus Huomautus Ominaisavaruus E λ on avaruuden R n aliavaruus Esimerkki 375 Olkoon A = Tämän matriisin ominaisarvoiksi saatiin aiemmin λ = 1 λ = 2 Ratkaistaan yhtälöryhmä AX = 1X 3 2 x x = y y 55

56 eli Ratkaisuksi saadaan joten { 3x + 2y = x x = y y = x, E λ = E 1 = {(x, y) R 2 y = x} = {(x, x) R 2 x R} = {x(1, 1) R 2 x R} = lin{(1, 1)} Ratkaistaan sitten yhtälöryhmä AX = 2X 3 2 x x = y y eli Ratkaisuksi saadaan joten { 3x + 2y = 2x x = 2y x = 2y, Esimerkki 376 Olkoon E λ = E 2 = {(x, y) R 2 x = 2y} = {( 2y, y) R 2 y R} = {y( 2, 1) R 2 y R} = lin{( 2, 1)} A = Matriisi A on kolmiomatriisi, joten sen ominaisarvot saadaan diagonaalilta Siis sen ainoa ominaisarvo on λ = 2 Ratkaistaan yhtälöryhmä AX = 2X x x y = 2 y z z 56

57 eli Ratkaisuksi saadaan joten Siis 2x + y 2y = 2x = 2y 2z = 2z x = t y = 0, t, s R, z = s x t 1 0 y = 0 = t 0 + s 0, t, s R z s 0 1 E λ = E 2 = lin{(1, 0, 0), (0, 0, 1)} Lause 375 Olkoot λ 1, λ 2,, λ m matriisin A erisuuret ominaisarvot v 1, v 2,, v m jotkin niitä vastaavat ominaisvektorit Silloin {v 1, v 2,, v m } on lineaarisesti riippumaton Todistus Tehdään vastaoletus, että {v 1, v 2,, v m } on lineaarisesti riippuva Koska v 1 0, niin {v 1 } on lineaarisesti riippumaton Olkoon r suurin sellainen kokonaisluku, että {v 1, v 2,, v r } on lineaarisesti riippumaton Vastaoletuksen nolla 1 r < m {v 1, v 2,, v r, v r+1 } on lineaarisesti riippuva Siis on olemassa sellaiset k 1,, k r+1, että ainakin yksi k i 0 Nyt Toisaalta k 1 v k r+1 v r+1 = 0 A(k 1 v k r+1 v r+1 ) = A0 k 1 Av k r+1 Av r+1 = 0 k 1 λv k r+1 λv r+1 = 0 λ r+1 (k 1 v k r+1 v r+1 ) = λ r+1 0 k 1 λ r+1 v k r+1 λ r+1 v r+1 = 0 57