Numeeriset menetelmät

Transkriptio

1 Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 1/44 p. 1/44

2 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että p(x) = f(x) tietyissä pisteissä x Yleisesti: Etsitään annetulle f V approksimaatio p Ṽ siten, että f p f q q Ṽ missä V on jokin normiavaruus ja Ṽ sen äärellisulotteinen aliavaruus Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 2/44 p. 2/44

3 Pienimmän neliön approksimointi Yleinen approksimaatiotehtävä epälineaarinen yhtälöryhmä Pienimmän neliön approksimointi lineaarinen yhtälöryhmä Etsitään f:lle approksimaatiota p siten, että f p on mahdollisimman pieni Pienimmän neliön : f p minimi f p 2 minimi Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 3/44 p. 3/44

4 Pienimmän neliön approksimointi Sisätuloavaruus V ja sen aliavaruus Ṽ Sisätulo, ja normi u = u, u 1/2 u + v 2 = u u, v + v 2 Tehtävä: Annetulle f V etsi p f p on mahdollisimman pieni Ṽ siten, että Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 4/44 p. 4/44

5 Pienimmän neliön approksimointi Lause: Funktio p Ṽ on funktion f V pienimmän neliön approksimaatio, jos ja vain jos f p, v = 0 v Ṽ Todistus : Olkoon p Ṽ funktion f V pienimmän neliön approksimaatio f p f q q Ṽ Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 5/44 p. 5/44

6 Todistus jatkuu Olkoot q Ṽ ja λ > 0 mielivaltaiset p λq Ṽ ja f p f (p λq) f p 2 (f p) + λq 2 = f p 2 + 2λ f p, q + λ 2 q 2 0 2λ f p, q + λ 2 q 2 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 6/44 p. 6/44

7 Todistus jatkuu 2λ f p, q + λ 2 q 2 0 1/(2λ) f p, q + λ 2 q 2 0 λ 0 f p, q 0 Vaihdetaan q:n paikalle q f p, q 0 Joten f p, q = 0 q Ṽ Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 7/44 p. 7/44

8 Todistus jatkuu Todistus : Olkoon f p, q = 0 q Ṽ f q 2 = (f p) + (p q) 2 = f p f p, p q } {{ } =0 f p 2 + p q 2 } {{ } 0 f p f q q Ṽ Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 8/44 p. 8/44

9 Todistus jatkuu Yksikäsitteisyys: Olkoot p 1 ja p 2 pienimmän neliön approksimaatioita f p 1, v = 0 v Ṽ f p 2, v = 0 v Ṽ p 2 p 1, v = 0 v Ṽ p 2 p 1, p 2 p 1 = p 2 p 1 2 = 0 p 1 = p 2 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 9/44 p. 9/44

10 Konstruointi kantafunktioilla Olkoon {ϕ 1,..., ϕ n } aliavaruuden Ṽ kanta, jolloin p = n j=1 c j ϕ j Riittää vaatia, että ehto f p, v = 0 on voimassa kantafunktioille: n f c j ϕ j, ϕ i = 0, i = 1, 2,..., n j=1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 10/44 p. 10/44

11 Konstruointi jatkuu n j=1 c j ϕ j, ϕ i } {{ } = f, ϕ i, } {{ } i = 1, 2,..., n =a ij =f i Ac = f Matriisia A sanotaan Gramin matriisiksi Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 11/44 p. 11/44

12 Esimerkki Kantafunktiot: ϕ 1 (x) = x, ϕ 2 (x) = x 3, ϕ 3 (x) = x 5 ϕ i (x) = x 2i 1, i = 1, 2, 3 Sisätulo: u, v = 1 1 u(x)v(x) dx f(x) = sinx, p(x) = c 1 x + c 2 x 3 + c 3 x 5 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 12/44 p. 12/44

13 Esimerkki jatkuu a ij = ϕ j, ϕ i = = = i + 2j 1 A = x 2i 1 x 2j 1 dx = 2/3 2/5 2/7 2/5 2/7 2/9 2/7 2/9 2/ x 2i+2j 2 dx Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 13/44 p. 13/44

14 Esimerkki jatkuu 1 f i = f, ϕ i = x 2i 1 sin x dx 1 2 sin 1 2 cos 1 = = 10 cos 1 6 sin sin cos 1 Ac = f c =... Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 14/44 p. 14/44

15 Kannan valinta Kanta on lineaarisesti riippumaton Gramin matriisi on aina kääntyvä Mutta sillä voi olla suuri häiriöalttius numeerisesti epästabiili Ortonormaali kanta: ϕ i, ϕ j = δ ij = { 1, i = j 0, i j Gramin matriisi A = I c = f Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 15/44 p. 15/44

16 Esimerkki Normeeratut Legendgen polynomit muodostavat ortonormeeratun kannan: ˆϕ 1 (x) = 1 2/3 x ˆϕ 2 (x) = 1 8/7 (5x 3 3x) ˆϕ 3 (x) = 1 128/11 (63x 5 70x x) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 16/44 p. 16/44

17 Esimerkki jatkuu Sama esimerkki kuin edellä: u, v = 1 1 u(x)v(x) dx f(x) = sinx ˆp(x) = ĉ 1 ˆϕ 1 (x) + ĉ 2 ˆϕ 2 (x) + ĉ 3 ˆϕ 3 (x)... ˆp(x) = sama polynomi kun edellä (mutta eri kertoimilla, koska eri kantafunktiot) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 17/44 p. 17/44

18 Pienimmän neliösumman appr. Pienimmän neliön approksimaation diskreetti vastine Havaintopisteet: x k, k = 1, 2,..., m Funktion f : R R arvot tunnetaan vain havaintopisteissä: ˆf k = f(x k ) Funktio f samaistetaan vektoriin ˆf R m Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 18/44 p. 18/44

19 Pienimmän neliösumman appr. Diskreetti sisätulo u, v = ja vastaava normi m k=1 u(x k )v(x k ) u = ( m k=1 u(x k ) 2 ) 1/2 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 19/44 p. 19/44

20 Konstruointi kantafunktioilla Kantafunktiot: ϕ j, j = 1, 2,..., n Approksimaation kehitelmä: p(x) = n j=1 c jϕ j (x) Tehtävä: Etsi c j :t siten, että f p = ( m ) 1/2 [f(x k ) p(x k )] 2 k=1 on mahdollisimman pieni Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 20/44 p. 20/44

21 Konstruointi jatkuu Kuten edellä: Riittää vaatia, että ehto f p, v = 0 on voimassa kantafunktioille: n f c j ϕ j, ϕ i = 0, i = 1, 2,..., n j=1 m [ f(x k ) n ] c j ϕ j (x k ) ϕ i (x k ) = 0 k=1 j=1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 21/44 p. 21/44

22 Konstruointi jatkuu m k=1 n j=1 [ n j=1 c j m k=1 ] c j ϕ j (x k ) ϕ i (x k ) = ϕ i (x k )ϕ j (x k ) } {{ } =a ij = Ac = f m k=1 m k=1 f(x k )ϕ i (x k ) f(x k )ϕ i (x k ) } {{ } =f i Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 22/44 p. 22/44

23 Konstruointi jatkuu Olkoon B R m n ja ˆf R m siten, että b ij = ϕ j (x i ), ˆfi = f(x i ) m m m a ij = ϕ i (x k )ϕ j (x k ) = b ki b kj = (b T ) ik b kj k=1 k=1 k=1 m m m f i = f(x k )ϕ i (x k ) = b ki ˆfk = (b T ) ik ˆfk k=1 k=1 k=1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 23/44 p. 23/44

24 Konstruointi jatkuu A = B T B, f = B T ˆf Ratkaistaan lineaarinen yhtälöryhmä Ac = f B T Bc = B T ˆf Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 24/44 p. 24/44

25 Pienimmän neliösumman appr. Havaintopisteitä yhtä monta kuin tuntemattomia kertoimia (m = n) interpolaatiotehtävä Yleensä pienimmän neliösumman approksimaatiota käytetään tilanteissa, joissa funktion arvot sisältävät epätarkkuuksia (mittausvirheitä tms.) Suuri määrä mittaustuloksia (m suuri), yksinkertainen malli (n pieni) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 25/44 p. 25/44

26 Esimerkki Havaintopisteet: (1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 6) Kantafunktiot: ϕ 1 (x) = 1, ϕ 2 (x) = x, ϕ 3 (x) = x 2 Approksimaatio: p 2 (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 b ij = ϕ j (x i ), i = 1, 2, 3, 4, 5, j = 1, 2, 3 ˆf i = f(x i ), i = 1, 2, 3, 4, 5 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 26/44 p. 26/44

27 Esimerkki jatkuu B = , ˆf = Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 27/44 p. 27/44

28 Esimerkki jatkuu B T B = , B T ˆf = Ac = f B T Bc = B T ˆf c =... Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 28/44 p. 28/44

29 Numeerinen integrointi Yksiulotteinen Riemannin integraali: b a f(x)dx Yleisessä tapauksessa ei voida laskea analyyttisesti Toisaalta f:n analyyttinen lauseke ei ole aina käytössä Numeerinen integrointi eli kvadratuuri Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 29/44 p. 29/44

30 Numeerinen integrointi Yleinen integrointikaava b a w(x)f(x)dx = k i=1 A i f(x i ) + E[f] f integroitava funktio w painofunktio (w > 0, voi olla w 1) x i integrointipisteet A i painokertoimet E[f] virhetermi Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 30/44 p. 30/44

31 Tarkkuusaste Määritelmä: Kaavan tarkkuusaste on d, jos se on tarkka (E[f] = 0) kaikilla polynomeilla, joiden asteluku on d jos on olemassa (d + 1)-asteinen polynomi, jolle se ei ole tarkka Lause: Jos on annettu integrointipisteet a x 1 < x 2 < < x k 1 < x k b, niin on olemassa painokertoimet A 1, A 2,..., A k siten, että kaavan tarkkuusaste on vähintään k 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 31/44 p. 31/44

32 Lauseen todistus Kaava on tarkka monomeille x m, jos k i=1 A i x m i = b a w(x)x m dx, m = 0, 1,..., k 1 Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa kerroinmatriisi on Vandermonden matriisi x 1 x 2... x k X =... x1 k 1 x2 k 1... x k 1 k Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 32/44 p. 32/44

33 Todistus jatkuu det X = k i=2 i 1 j=1 (x i x j ) Pisteet x i erisuuria det X 0 Yhtälöryhmällä yksikäsitteinen ratkaisu Kaava tarkka kaikille x m, m = 0, 1,..., k 1 Tarkka kaikille niiden lineaarikombinaatioille Tarkka (k 1)-asteisille polynomeille Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 33/44 p. 33/44

34 Painokertoimien laskeminen Vandermonden matriisi häiriöaltis Lasketaan painokertoimet suoraan Lagrangen kantafunktiot: l j (x) = k m=1 m j ( x xm ), j = 1, 2,..., k x j x m l j (x i ) = δ ij = { 1, i = j 0, i j Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 34/44 p. 34/44

35 Painokertoimien laskeminen Kantafunktiot l j :t korkeintaan (k 1)-asteisia polynomeja Kaava tarkka niille b a w(x)l j (x)dx = = k i=1 k A i l j (x i ) A i δ ij = A j i=1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 35/44 p. 35/44

36 Newtonin ja Cotesin kaavat Tehtävä: b a f(x)dx Tasavälinen pisteistö, jossa k + 1 pistettä Merkitään f i = f(x i ) Muodostetaan pisteistöön interpolaatiopolynomi p k Integroidaan interpolaatiopolynomi: b a p k(x)dx Approksimoidaan b a f(x)dx b a p k(x)dx Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 36/44 p. 36/44

37 Suljetut kaavat Suljetut kaavat: Välin [a, b] päätepisteet ovat mukana pisteistössä Pisteistö: a = x 0 < x 1 < < x k 1 < x k = b x i = x 0 + ih, (i = 0, 1,..., k) x 0 = a, x k = b, h = (b a)/k Muodostetaan p k :n lauseke etenevien differenssien avulla (Eteneviä differenssejä ei käsitelty) (Mutta: Interpolaatiopolynomi on yksikäsitteinen) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 37/44 p. 37/44

38 Suljettujen kaavojen virhe Olkoot f (k+1) ja f (k+2) jatkuvia välillä [a, b] E[f] = missä ξ ]0, k[ h k+3 (k + 2)! f(k+2) (x 0 + ξh) k 0 s 2 (s 1) (s k)ds, h k+2 (k + 1)! f(k+1) (x 0 + ξh) k 0 s(s 1) (s k)ds, k parillinen k pariton Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 38/44 p. 38/44

39 Tarkkuusaste ja menetelmävirhe Merkitään f (k) (x 0 + ξh) = f (k) (η), missä η ]a, b[ Tarkkuusaste: k = 1: E[f] =... f (η)... d = 1 k = 2: E[f] =... f (4) (η)... d = 3 k = 3: E[f] =... f (4) (η)... d = 3 Menetelmävirhe: k = 1: E[f] =... h 3... O(h 3 ) k = 2: E[f] =... h 5... O(h 5 ) k = 3: E[f] =... h 5... O(h 5 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 39/44 p. 39/44

40 Suljettuja kaavoja k = 1: Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f 1 ) h3 12 f (η) f(x) a b x Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 40/44 p. 40/44

41 Suljettuja kaavoja k = 2: Simpsonin kaava b a f(x)dx = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) h5 90 f(4) (η) k = 3: Simpsonin 3/8-kaava b a f(x)dx = 3h 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) 3h5 80 f(4) (η) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 41/44 p. 41/44

42 Avoimet kaavat Avoimet kaavat: Vain välin [a, b] sisäpisteet ovat mukana pisteistössä Pisteistö: a < x 0 < x 1 < < x k 1 < x k < b x i = x 0 + ih, (i = 0, 1,..., k) x 1 = a, x 0 = a + h, x k = b h, x k+1 = b h = (b a)/(k + 2) Muodostetaan p k :n lauseke etenevien differenssien avulla Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 42/44 p. 42/44

43 Avoimien kaavojen virhe Olkoot f (k+1) ja f (k+2) jatkuvia välillä [a, b] E[f] = h k+3 (k + 2)! f(k+2) (x 0 + ξh) k+1 1 s 2 (s 1) (s k)ds, h k+2 (k + 1)! f(k+1) (x 0 + ξh) k+1 1 missä ξ ] 1,k + 1[ s(s 1) (s k)ds, k parillinen k pariton Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 43/44 p. 43/44

44 Avoimia kaavoja k = 0: Keskipistesääntö b a f(x)dx = 2hf 0 + h3 3 f (η) f 0 f(x) a = x 1 x 0 b = x 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti p. 44/44 p. 44/44