z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

Transkriptio

1 BM20A Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden juuret. z 25 z 5 z 5 z 1+i z 2 2i z 2 2z + 2 z 25 z 5 z 5 = (z 2 + 5)(z + 5)(z 5) z 5 z = 5 z (z 2 + 5)(z + 5) 5 = (5 + 5)( 5 + 5) = 10(2 5) = 20 5 z 1+i z 2 2i z 2 2z + 2 = (z 1 i)(z i) z 1+i (z 1 i)(z 1 + i) = (z i) ((1 + i) i) = z 1+i (z 1 + i) ((1 + i) 1 + i) = 2 + 2i = 1 i 2i 2. Laske seuraavient funktioiden derivaatat. f (z) = 3z 5z 3 + 2z f (z) = z z + 1 f (z) = 12z 3 15z f (z) = (z + 1) 2z z2 (z + 1) 2 = z2 + 2z (z + 1) 2 3. Olkoon määritelty kompleksiluku q = 0.9 [ cos(/6)+i sin(/6) ]. Päättele/piirrä/visualisoi miltä näyttää seuraavalla tavalla muodostettu kompleksilukujen jono: {1,1 q,1 q 2,1 q 3,,1 q n }, missä n on vaikkapa 20. Noheva opiskelija ei toki voi vastustaa kiusausta tehdä tämä tehtävä Matlabilla. Kyseessä on kompleksisen geometrinen jono (geometric sequence). Luvulla q kertominen lyhentää pituutta faktorilla 0.9, ja kääntää argumenttikulmaa positiiviseen suuntaan 30 astetta. Kun jonon alkiot piirretään (ja viivat jotka yhdistävät peräkkäisiä alkioita), saadaan alla oleva kuva. q = 0.9*(cos(pi/6) + i*sin(pi/6) ) z0 = 1; sequ = z0; for k = 1:300

2 sequ(k+1) = z0*q.ˆk; end plot( real(sequ), imag(sequ), m*-, linewidth, 2 ). Onko funktio f (z) = z jatkuva? Jokaiselle ε > 0 pitäisi löytyä sellainen δ > 0, että jos pätee 0 < z z 0 < δ, se johtaa siihen, että pätee f (z) w 0 < ε. Tässä siis w 0 on luvun z 0 kuva kyseessä olevan funktion läpi, mutta tämän pitäisikin olla tuttua luennolta. Nyt voidaan kirjoittaa f (z) w 0 = z z 0. Tiedetään z z 0 = z z 0 ; näin ollen jotta saadaan pätemään z z 0 < ε, riittää kunhan z z 0 < ε. Voimme kirjoittaa yksinkertaisesti δ = ε. Eli kyllä, funktio on kaikkialla jatkuva. Miksi tämä todistus riittää siihen, että funktio on jatkuva kaikkialla, eikä vain jossakin pisteessä? Siksi, että pisteeksi z 0 voidaan valita mikä tahansa piste kompleksitasolta, ja todistus on silti totta. On mielenkiintoinen ja tärkeä huomata, että funktio voi olla kaikkialla jatkuva, mutta ei missään derivoituva. Tutkittava funktio f (z) = z on juurikin tälläinen. Todistus sille, että tämä funktio ei ole missään derivoituva, löytyy kurssin luentokalvoista. 5. Kutsutaan alueeksi R sitä suljettua neliötä, jonka kärkipisteet ovat {0, 1, 1 + i, i}. Piirrä/visualisoi/päättele/selitä miltä näyttää tämän alueen kuva annetun lineaarisen kuvauksen läpi.

3 k = -5:.1:5; z = k*i ; fac = sqrt(2); w = (z-fac)*(cos(-pi/)+i*sin(-pi/) ); axis([ -5,5, -5,5 ]) f (z) = z + 3i (e) f (z) = 2 + 3i f (z) = 3iz (f) f (z) = (1 + i)z (c) f (z) = 2z i (g) f (z) = ( 1 i 3)z (d) f (z) = x (h) f (z) = y i Aluetta siirretään 3 yksikön verran ylöspäin. Pisteet {3i, 1 + 3i, 1 + i, i}. Aluetta skaalataan faktorilla 3, ja kierretään 90 astetta (positiiviseen kiertosuuntaan). Pisteet {0,3i, 3 + 3i, 3}. (c) Alue skaalataan faktorilla 2, ja skaalattua aluetta siirretään 1 yksikön verran alas. Pisteet { i,2 i,2 + i,i}. (d) Tämä kuvaus on projektio x-akselille. Kompleksiluvusta z = x + iy tavallaan heitetään menemään tieto siitä, mikä sen imaginääriosa (y-arvo) oli, ja vain reaaliosa (x-arvo) pidetään tallessa. Pisteet {0, 1, 1, 0}. (e) Varsin tylsä kuvaus. Tämä on funktio, joka palauttaa luvun 2 + 3i vaikka syötteenä olisi mitä tahansa. Kyseessä on siis kompleksinen vakiofunktio, vertaa vaikkapa reaaliseen funktioon f (x) = 3. Annetun neliön kuva tämän kuvauksen läpi on siis toki vain piste 2 + 3i. (f) Tämä kuvaus voidaan kirjoittaa muodossa f (z) = 2 [ cos ( ) ( + isin ) ] z. Annettua pistejoukkoa siis skaalataan faktorilla 2, ja käännetään 5 astetta (positiiviseen kiertosuuntaan). (g) Tämä kuvaus voidaan kirjoittaa muodossa f (z) = 2 [ cos ( 2 ) ( ) ] 3 + isin 2 3 z. Annettua pistejoukkoa siis skaalataan faktorilla 2, ja käännetään 120 astetta (miinusmerkki edessä, eli käännetään negatiiviseen kiertosuuntaan). (h) Kuvaus ei tee pisteen x-koordinaatilla mitään. Kuvaus ottaa pisteen y-koordinaatin, ja tekee siitä uuden x-koordinaatin. Sen jälkeen näin saatua pistettä siirretään kaksi yksikköä ylös ja kaksi oikealle. On syytä huomata, että jos kuvaus olisi kirjoitettu f (z) = iy i, kyseessä olisi ollut ensin projektio imaginääriakselille, ja sen jälkeen siirto kaksi yksikköä ylös ja kaksi oikealle. Pisteet {2 + 2i,2 + 2i,3 + 2i,3 + 2i}. 6. Tehtävän kussakin kohdassa on annettu jokin pistejoukko z-tasolta, ja tämän joukon kuva w-tasolla kuvauksen w = f (z) alla. Tehtävänäsi on päätellä, mikä kuvaus on kyseessä. Kukaan ei syytä epäurheilullisuudesta, jos ratkaiset tehtävän käyttäen Matlabia. Kolmio {0,1,1 + i} Kolmio {2i,3i, 1 + 3i}. Ympyrä z 1 = 3 Ympyrä w + i = 5. (c) Imaginääriakseli Suora, joka kulkee pisteiden i ja 1 + 2i kautta. (d) Neliö {1 + i, 1 + i, 1 i,1 i} Neliö {1,2 + i,1 + 2i,i}.

4 t = -pi:.1:pi; z = 1+3*( cos(t) + i*sin(t) ) ; w = (z-1)*(5/3)-i; axis([ -7,7, -7,7 ]) z = [ 1+i, 1-i, -1-i, -1+i ] ; w = (z+1+i)*(1/sqrt(2))*(cos(pi/) + i*sin(pi/)) +1 ; axis([ -3,3, -3,3 ]) f (z) = iz + 2i. f (z) = (z 1) 53 i. Alkuperäinen ympyrä siis siirretään origoon, skaalataan faktorilla 5 3, ja sen jälkeen sitä siirretään yhden yksikön verran alaspäin (tästä vastaa viimeinen operaatio, i). (c) f (z) = (z 2) [ cos ( ( ) ] ) + isin. Imaginääriakselia siis siirretään faktorilla 2 vasemmalle, ja tämän jälkeen kierretään 5 astetta negatiiviseen kiertosuuntaan. Toinen, varmaankin fiksumpi tapa, olisi ensin kiertää imaginääriakselia -5 astetta, ja tämän jälkeen siirtää yksi yksikkö ylöspäin. (d) f (z) = (z i) ( 1 2 ) [ cos ( ) ( + isin ) ] + 1. Alkuperäistä neliötä siis siirretään yhden verran ylös ja yhden verran oikealle, sen jälkeen se skaalataan faktorilla 1 2, sen jälkeen sitä kierretään 5 astettan positiiviseen suuntaan, ja lopuksi vielä siirretään yhden verran oikealle. 7. Osoita derivaatan määritelmän avulla, että f (z 0 ) = z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 d dz ( ) 1 = 1 z z 2, z 0 f f (z) f (z 0 ) (z 0 ) = z z0 z z 0 = z z0 1 z z 1 = 0 z z0 z z 0 z 0 z zz 0 z z 0 = z z0 z z 0 zz 0 (z z 0 ) 1 = = 1 z z0 zz 0 z 2 0 Täten f (z) = 1 z 2 kun z 0

5