MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

Transkriptio

1 MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z = + y i + + y i = + + (y + y )i = + (y + y )i = y i + y i = z + z (b) z z = ( + y i)( + y i) = y y + ( y + y )i = y y ( y + y )i = ( y i) + y ( y i) = ( y i) + y ( i + y )i = ( y i) + y i( + y i) = ( y i)( y i) = z z (c) z z = ( + y i)( y i) = y i + y i y i = y i = + y = z (d) Olkoon z. Edellisen kohdan nojalla z = z z z = z z. Toinen tapa (suoraan laskemalla): z = + y i = y i ( + y i)( y i) = y i + y. (Teht. 7 s. 4.) Sievennä (eli esitä muodossa + yi): = z z. (a) ( + i) 3, (b) i (+i)( 3i), (c), (d) 3 + ja (e) +. +i ( i)(3+i) i 5i +i i (a) (+i) 3 = (+i)(+i)(+i) = 3 +3 i+3 i +i 3 = 8+i 6 = +i (b) i + i = ( i) ( + i)( i) = i + i = 4 4i i 4 + = 3 4i 5 = i (c) (d) (e) ( + i)( 3i) ( i)(3 + i) 3i + 4i 6i = 6 + 4i 3i i = 8 + i 8 + i = (= + i) 3 i + 5i = 3i i + i 5i = 3i + i 5 = 5i 5 i 5 = 7i 5 = 7 5 i + i + i = i i + + i i = + i + i + =

2 3. (Teht. 3 s. 4.) Olkoon z = + 3i. Määrää (a) luvun z napakoordinaattiesitys, (b) luvut z, z 3 ja z sekä (c) luku w, jolle w = z. (a) Napakoordinaatit r ja θ ovat r = z = ( ) + ( 3) = = 4 ja θ = arg(z) eli sin θ = 3 = 3 ja cos θ = =, josta nähdään, että r r θ = π π = π. Siis napakoordinaattimuodossa z = 4(cos π + i sin π) (b) De Moivren kaavan ja kohdan (a) avulla ja z = r (cos θ + i sin θ) = 4 (cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) = 6(cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) = 6( 3 i) = 8 8 3i z 3 = r 3 (cos 3θ + i sin 3θ) = 4 3 (cos 6π + i sin 6π ) = 64(cos π + i sin π) = sekä vielä z = z (z 3 ) 3 = 64 3 ( + 3i) = i. (c) Arvataan (yksi) ratkaisu w = s(cos φ + i sin φ) de Moivren kaavan avulla: etsitään φ ja s, joille w = s (cos φ + i sin φ) = z. Käyttäen (a)-kohdan tulosta saadaan φ = θ = π 3, s = r = eli w = (cos π 3 + i sin π 3 ) = + 3i. Toinenkin ratkaisu löytyy, w = 3i. (Tarkista, että molemmat ovat ratkaisuja.) 4. (Teht. 4 s. 4.) Olkoon w C siten, että w = ja arg(w) = π. Osoita, että 5 (a) w toteuttaa yhtälön z 5 =, (b) myös luvut w, w,..., w 4 toteuttavat yhtälön z 5 =. Piirrä kuva. (a) Merkitsemällä r = w = ja θ = arg(w) = π saadaan de Moivren kaavan 5 avulla w 5 = r 5 (cos 5θ + i sin 5θ) = (cos π + i sin π) =. (b) Vastaavasti w n = r n (cos nθ + i sin nθ), joten edelleen de Moivren kaavaa soveltaen saadaan (w n ) 5 = (r n ) 5 (cos 5nθ + i sin 5nθ) = (cos nπ + i sin nπ) = kaikilla n =, 3,..., 4 ja itse asiassa muillakin n N, n. Kuvassa w punaisella, w vihreällä ja w 3,... w 4 sinisellä:

3 (Teht. 6 s. 4.) Määrää vakio a niin, että = on yhtälön 3 a +a = ratkaisu. Mitkä ovat tällöin muut ratkaisut (myös kompleksiset)? Kun =, yhtälö on a + a = eli a a =. Tästä saadaan ratkaistuksi arvot a = ja a =. Arvolla a = alkuperäinen yhtälö on 3 =, josta saadaan ratkaisut (ks. myös tehtävä 4 ja piirrä vastaava kuva ykkösen juurista) =, = cos π 3 + i sin π 3 tai = cos 4π 3 + i sin 4π 3. Arvolla a = alkuperäinen yhtälö on 3 + = ( ) + ( ) = ( + )( ) = + = tai = = tai = = ±i tai =. 6. (Teht. 7 s. 4.) Ratkaise yhtälöryhmä { + y =, + y = 3. Sijoittamalla ylemmästä yhtälöstä saatu y = alempaan saadaan + ( ) = = 3 = 6 =, josta joko jakamalla tekijöihin tai ratkaisukaavalla saadaan = 3 tai =. Yhtälön y = avulla saadaan siis yhtälöparin ratkaisuiksi parit = 3, y = ja =, y = 3. Miten tämä liittyy seuraavaan kuvaan?

4 (Opiskeluteht. s. 44.) Olkoon n = 3n, n =,,... 4n (a) Havainnollista jonoa ( n ) piirtämällä (i) funktion : {,,...} R, (n) = n kuvaaja sekä (ii) joukko { n : n =,,...}. (b) Onko jono ( n ) kasvava, vähenevä, monotoninen, aidosti kasvava, aidosti vähenevä, aidosti monotoninen, ylhäältä rajoitettu, alhaalta rajoitettu tai rajoitettu? (c) Suppeneeko jono, ja mitä raja-arvoa kohti? Perustele väitteesi kahdella tavalla: (i) laskusääntöjen avulla ja (ii) määritelmää käyttäen. (a) (Osa pisteistä puuttuu.) (b) Koska n = 3n 4n = 3 4 4n

5 ja >, on 4n 4(n+) n < n+ eli jono on (aidosti) kasvava ja siten aidosti monotoninen. Lisäksi < 3 < 3 kaikilla n =,,..., joten jono on 4 4n 4 sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu ja siten rajoitettu. (c) (i) laskusääntöjen avulla: Koska n, kun n, saadaan n = 3n = 3 = 3 3 = 3, kun n. 4n 4 4n 4 4 n (ii) määritelmää käyttäen: Olkoon ε >. Nyt n 3 4 = 3 4 4n 3 4 = 4n < ε aina, kun n > 4ε. 8. (Teht. 3 s. 59.) Määrää funktion f() = 3 toispuoleiset raja-arvot nollassa. 4 Onko f() olemassa? Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo nollassa on 3 f() = ja vasemmanpuoleinen raja-arvo 3 ( ) f() 4 =. 4 ( ) Koska + f() = 3 olemassa. f(), raja-arvoa f() ei ole 9. (Teht. 4, 7 ja 8 s. 59.) Määrää cos + cos (a), (b) ja (c). + sin (a) Kaksinkertaisen kulman kosinin ja Pythagoraan lauseen avulla saadaan joten cos = cos( ) = cos ( ) sin ( ) = sin ( ), cos sin ( ) sin ( = ) =, koska sin, kun (ja ). Toinen tapa: lavennetaan lausekkeella cos +, jolloin Pythagoraan lauseen avulla saadaan cos cos (cos + ) sin = sin cos + sin (cos + ) = =.

6 (b) Ensin huomataan, että + cos ( + cos ) ( + cos ) = + cos. Koska cos, on myös cos, ja koska, saadaan voileipälauseen nojalla myös Siis cos + cos, kun. = + cos (c) Koska sin, kun, on myös sin + sin + =. sin = = ja siten, kun (koska = kaikilla > ). Siten ( + sin + Toinen tapa: ) sin sin sin sin sin + sin = =. + sin + = = ( ) sin + sin + sin. (Teht., ja 3 s. 59.) Määrää ( ) (a) + ), (b) ja (c) ( (a) Koska on ( ) = = ( + ) =. ja =,

7 (b) Laventamalla sopivasti, jakamalla tekijöihin ja supistamalla nollaan menevä tekijä pois saadaan -tilanne käsiteltyä: 4 3 ( )( 3 + ) 4 ( 3 )( 3 + ) 3 + ) ( )( 4 4 ( )( 3 + ) 4 ( )( + ) ( 3 + ) 4 = 4 =. ( + ) (Voit myös laventaa lausekkeella + ja sen jälkeen supistaa, jos tekijöihin jakaminen ei tunnu luontevalta.) (c) Laventamalla sopivasti saadaan -tilanne muokattua muotoon, josta raja-arvo voidaan selvittää: ) ) ) ( + ( ( ) ( + + koska ja + + ( + ) ( ) , kun. =,