2 Funktion derivaatta

Transkriptio

1 ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva pisteessä = 0. Myönteisessä tapauksessa määritä derivaatan arvo. 3. Määritä f (0), kun 4. Määritä f (0), kun e 22 1, kun 0, 0, kun = , kun 0, 0, kun = Olkoon f sellainen funktio, että f (0) = 3. Määritä 0 f( 2 ) f( 2 ) Oletetaan, että f(0) = 0 ja f (0) = 1. Osoita, että on olemassa sellainen h > 0, että 1 2 < f() < 3 2 aina, kun 0 < < h. 7. Olkoon f sellainen pisteessä = 0 derivoituva funktio, että f (0) = c (c R) ja f( + y) = f()f(y), y R. Oletetaan lisäksi, että f ei ole vakiofunktio. Osoita, että f on derivoituva kaikilla R ja että f () = cf() R.

2 8. Osoita toispuoleisia derivaattoja tutkimalla, että funktio ei ole derivoituva pisteessä = Tutki, onko funktio + derivoituva pisteessä = 1. Jos funktio ei ole derivoituva pisteessä = 1, niin tutki oikean- ja vasemmanpuoleisen derivaatan olemassaoloa. 10. Määritä sellainen vakio a R, että jos { a + 2, kun 1, a a, kun > 1, niin raja-arvo 1 f () on olemassa. Onko f tällöin derivoituva kaikilla R? 11. Olkoon e. Määritä lauseke derivaatalle f (n) (). Todista saatu tulos induktiolla. 12. Osoita, että funktio { sin, kun > 0, 2 +, kun 0, on derivoituva mutta ei ole kahdesti derivoituva pisteessä = Osoita, että funktio { 3, kun 0, 0, kun < 0, on kahdesti mutta ei kolmesti derivoituva pisteessä = Olkoon Ratkaise yhtälö f () = 0. ( ) sin 2 tan 1 + sin Osoita, että funktiolle tan(3) pätee f () > 18 f() ]0, π 6 [.

3 16. Määritä funktion 2 1 ( > 1 2 ) derivaatta sekä käyttämällä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä että käyttämällä käänteisfunktion derivoimissääntöä. 17. Määritä funktion käänteisfunktion f 1 () derivaatta pisteissä = 1 ja = 4. Voit olettaa tunnetuksi, että f on aidosti kasvava koko reaalilukujoukossa. 18. Määritä f (0), kun 19. Määritä f (π) ja g (0), kun (a) arc tan(sin ), (b) ( 2 + 1) arc tan. arc tan(sin ) ja g() = ( 2 + 2) f(). 20. Määritä f (π), kun ( 2 + 1) cos Olkoon f : ]0, π[ R, (sin ) cos. Määritä f () ja tutki, missä välin ]0, π[ pisteissä f () = Olkoot f : R R ja g : R R sellaisia funktioita, että f(0) = g(0) ja f (0) > g (0). Osoita, että on olemassa a > 0 siten, että f() g() kaikilla [0, a]. 23. Olkoon f : R R sellainen välillä [a, b] jatkuva ja välillä ]a, b[ derivoituva funktio, että f(a) = f(b) = 0. Osoita, että on olemassa sellainen välin ]a, b[ piste ξ, että f (ξ) = f(ξ). Vihje: Sovella Rollen lausetta sopivaan apufunktioon. 24. Olkoon k R. Osoita, että jos f on sellainen välillä [a, b] derivoituva funktio, että f (a) < k < f (b), niin on olemassa sellainen välin ]a, b[ piste c, että f (c) = k. Vihje: Tarkastele funktiota g() = f() k( a).

4 25. Osoita, että funktiolla ( 1 2 ) arc tan arc sin on korkeintaan yksi positiivinen nollakohta. 26. Osoita, että funktiolla arc sin on korkeintaan yksi nollakohta välillä ]0, 1[. 27. Osoita, että funktiolla arc tan (a) , (b) log(e + 1) 2 on korkeintaan kaksi nollakohtaa. 28. Osoita, että funktiolla on täsmälleen kaksi positiivista nollakohtaa. 29. Osoita, että funktiolla on täsmälleen kolme nollakohtaa. 30. Määritä täsmällisesti perustellen funktion nollakohtien lukumäärä (a) e 3, (b) 2 log Todista Cauchyn väliarvokaavaa käyttäen, että 3 > > 1. Vihje: Vähennä epäyhtälön molemmilta puolilta sopiva vakio. 32. Olkoon f sellainen funktio, että f(1) = 1 ja Osoita, että f(4) 7. f () 2 [1, 4].

5 33. Anna esimerkki sellaisesta funktiosta f : R R, että f(0) = 0, f(4) = 5 ja f () 1 [0, 4], tai osoita, että tällaista funktiota ei voi olla olemassa. 34. Osoita väliarvolausetta käyttäen, että sin <, kun 0 < Osoita, että kaikilla, y R. sin sin y y 36. Osoita, että arc tan arc tan y y, y R. 37. Määritä väliarvolausetta käyttämällä ( ) Oletetaan, että funktio f on derivoituva jossakin pisteen 0 puhkaistussa ympäristössä ja 0 f () = A (A R). Todista, että jos f on jatkuva pisteessä 0, niin f on derivoituva pisteessä 0 ja f ( 0 ) = A. 39. Olkoon f sellainen koko reaalilukujoukossa jatkuva funktio, että f on derivoituva kaikilla 0 ja f () 3 0. Osoita, että funktio g() = f( 2 ) on derivoituva pisteessä = 0, ja määritä g (0). 40. Olkoon f koko reaalilukujen joukossa derivoituva funktio. Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn (ja väliarvolauseeseen) perustuen, että jos f () = 0, niin 41. Osoita, että funktio f() = 0. arc sin(2 2 1) + 2 arc cos on vakio välillä ]0, 1[, ja määritä tämä vakio.

6 42. Osoita, että 2 arc sin = π 2 + arc sin(2 1) [0, 1]. 43. Osoita, että funktio ( 1 ) arc tan + arc tan 1 + on vakio kaikilla > 1, ja määritä tämä vakio. 44. Olkoon f sellainen funktio, että f(0) = 1 ja f () = f() R. Osoita, että e kaikilla R. Vihje: Sovella integraalilaskennan peruslausetta sopivaan apufunktioon. 45. Osoita integraalilaskennan peruslausetta käyttäen, että ( log + ) ( 2 1 = log )