Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus"

Transkriptio

1 Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016

2 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi Signaali Z-muunnos Systeemi Stabiilisuus Lähdeluettelo 24 1

3 Johdanto Tutkielman tarkoituksena on esittää, kuten otsikkokin hieman kertoo, tapa määrittää diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus. Tätä varten tarvitaan kompleksianalyysin tuloksia, joten käytämme apuna teoksia [3] ja [4]. Teosta [2] käytetään apuna vain viimeisen lauseen todistukseen. Signaalianalyysin teoriaa varten käytämme teosta [1]. Systeemien määritelmä on hyvin yleinen, mutta systeemien avulla voidaan mallintaa esimerkiksi fysikaalisia prosesseja. Huomaa, että jos systeemiin ei syötetä minkäänlaista signaalia, ei systeemi ole käytössä. Näin ollen signaalit ja systeemit ovat erottamattomia. Sellaiset systeemit, jotka eivät ole BIBO-stabiileja, ovat käytännössä kelvottomia. Esimerkiksi, jos sähköjärjestelmä ei ole stabiili, niin voi tapahtua ylikuumenemista. Tästä syystä on tärkeää esittää tapa määrittää systeemin BIBO-stabiilisuus, mihin keskitymme tutkielman loppuosassa. Keskitymme tutkielmassa kausaalisiin signaaleihin, sillä ne helpottavat tarkastelua ja systeemiin syötettynä signaalin syöttäminen alkaa jostakin ajan hetkestä, jonka voi ajatella olevan 0. Lisäksi tarkastelemme lähinnä kausaalisia systeemejä, koska fysikaaliset järjestelmät eivät voi olla ei-kausaalisia. Palaamme loppuosassa tutkielmaa siihen, että mistä tämä johtuu. Lukijan oletetaan tuntevan perustiedot kompleksianalyysistä. Erityisesti sarjat ja niihin liittyvä teoria on hyvä olla tuttuja. Kuitenkin edellä mainittuja asioita, kuten signaalin, systeemin ja kausaalisuuden määritelmiä, otetaan esille myöhemmässä osassa tutkielmaa. Tutkielman alkupuolella käsitellään tarvittavia kompleksianalyysin tuloksia ja siirrymme myöhempänä signaaleihin ja systeemeihin. Lopuksi perehdymme systeemin stabiilisuuteen, kuten aiemmin hieman vihjattiin. Merkintöjä N = {0, 1, 2,...}. Z = {..., 2, 1}. Z + = {1, 2,...}. R + = {x R x > 0}. 2

4 1 Kompleksifunktiot Lause 1.1. Olkoon P polynomi, jonka aste on n N. Tällöin polynomilla P on n nollakohtaa ja se voidaan esittää muodossa P (z) = a n (z z i ), missä a C \ {0} ja z 1, z 2,..., z n C ovat polynomin P nollakohdat. Todistus. Katso [3, s ja s. 216, Theorem 22]. Lause 1.2. Jos R(z) = m i=0 a iz i r j=1 (z b j) d j on rationaalifunktio, missä a i, b j C, i = 0, 1,..., m, j = 1, 2,..., r, b i b j kaikilla i j ja deg( r (z b i) d i ) = r d i > m, niin rationaalifunktiolla R on osamurtokehitelmä muodossa R(z) = r d i k il (z b i ) l l=1 joillakin k il C, i = 1,..., r, l = 1,..., d i. Todistus. Katso [3, s. 105, Theorem 2]. Huomautus 1.3. Jos R(z) = m i=0 a iz i r j=1 (z b j) d j ja deg( r (z b i) d i ) = r d i = m, niin on olemassa sellaiset c i C, i = 0, 1,..., m 1, että a r m k=1 (z b k) d k + m 1 i=0 c iz i = m i=0 a iz i ja R(z) = m i=0 a iz i r j=1 (z b j) d j = a m r k=1 (z b k) d k + m 1 i=0 c iz i r j=1 (z b j) d j = a m + m 1 i=0 c iz i r j=1 (z b j) d j. Näin ollen rationaalifunktioon m 1 i=0 c iz i r j=1 (z b j) d j 3

5 voidaan soveltaa osamurtokehitelmää. Siis jos H(z) = l i=0 p iz i n j=1 (z q j) s j on sellainen rationaalifunktio, että deg( n j=0 (z q j) s j ) l, niin edellä mainitun ja osamurtokehitelmän avulla saadaan, että H(z) = a m + n s i k il (z q i ) l l=1 joillakin k il C, i = 1,..., n, l = 1,..., s i. Jos deg( n j=0 (z q j) s j ) > l, niin a m = 0. Lause 1.4. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C z z 0 < R} jollakin R R + ja z 0 C. Tällöin f voidaan esittää potenssisarjana f(z) = c j (z z 0 ) j j=0 kaikilla z {z C z z 0 < R}, missä kertoimet c j C, j = 0, 1,..., ovat yksikäsitteiset. Todistus. Katso [4, s. 84, Theorem 4]. Määritelmä 1.5. Lauseen 1.4 antamaa sarjaesitystä kutsutaan funktion f Taylorin sarjaksi pisteessä z 0. Lause 1.6. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C r < z z 0 < R}, missä 0 r < R, ja z 0 C. Jos z {z C r < z z 0 < R}, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kertoimet c j C, j = 0, ±1, ±2,..., että f(z) = j= Todistus. Katso [4, s. 89, Theorem 1]. c j (z z 0 ) j. Määritelmä 1.7. Lauseen 1.6 antamaa sarjaesitystä kutsutaan analyyttisen funktion f Laurentin sarjaksi joukossa {z C r < z z 0 < R}, missä 0 r < R. 4

6 Määritelmä 1.8. Olkoon r, R R sellaisia, että 0 r < R, ja olkoon analyyttisen funktion f Laurentin sarja joukossa {z C r < z z 0 < R} f(z) = j= c j (z z 0 ) j. Jos c m 0 jollekin m Z +, mutta c j funktion f kertalukua m oleva napa. = 0 kaikilla j < m, niin z 0 on Lause 1.9. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Jos funktiolla f on kertalukua m oleva napa pisteessä z 0 C, niin Todistus. Määritelmän nojalla f(z) = j= lim z z 0 f(z) =. c j (z z 0 ) j = kaikilla z {z C 0 < z z 0 < r}. Nyt j= m c j (z z 0 ) j F (z) := (z z 0 ) m f(z) = c j (z z 0 ) j+m = j= m c j m (z z 0 ) j. j=0 Koska edellä olevan perusteella F (z) voidaan esittää potenssisarjana, joka suppenee, kun z {z C 0 < z z 0 < r}, niin lim z z 0 F (z) = c m 0. Siis on olemassa sellainen 0 < δ < r, että kaikilla 0 < z z 0 < δ. Edelleen F (z) c m < c m 2 c m F (z) < F (z) c m < c m 2, mistä saadaan, että 0 < c m 2 < F (z) 5

7 kaikilla 0 < z z 0 < δ. Näin ollen f(z) > c m 2 z z 0 m kaikilla 0 < z z 0 < δ. Olkoon R > 0. Valitaan δ = min { r 2, m f(z) > c m 2 z z 0 m > R kaikilla 0 < z z 0 < δ. Siis lim z z0 f(z) =. c m }, jolloin 2R Lause Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Tällöin funktiolla f on kertalukua m oleva napa pisteessä z 0 C jos ja vain jos on olemassa sellainen δ > 0, että f(z) = g(z) (z z 0 ) m kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä g on analyyttinen funktio joukossa {z C z z 0 < δ} ja g(z 0 ) 0. Todistus. Oletetaan, että funktiolla f on kertalukua m oleva napa pisteessä z 0. Määritelmän nojalla f(z) = j= c j (z z 0 ) j = kaikilla z {z C 0 < z z 0 < r}. Nyt j= m c j (z z 0 ) j (z z 0 ) m f(z) = c j (z z 0 ) j+m = j= m c j m (z z 0 ) j =: g(z), j=0 jolloin f(z) = g(z) (z z 0 ) m kaikilla z {z C 0 < z z 0 < r} ja δ = r. Siis g(z) voidaan esittää potenssisarjana, ja se suppenee, kun z {z C 0 < z z 0 < r}. Navan määritelmän nojalla c m 0, joten asettamalla g(z 0 ) := c m saadaan, että g(z 0 ) 0. Lisäksi potenssisarjana funktio g on analyyttinen joukossa {z C z z 0 < r}. Oletetaan sitten, että on olemassa sellainen δ > 0, että f(z) = g(z) (z z 0 ) m 6

8 kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä g on analyyttinen funktio joukossa {z C z z 0 < δ} ja g(z 0 ) 0. Tällöin funktion g Taylorin sarja pisteessä z 0 on g(z) = b j (z z 0 ) j, kun z {z C z z 0 < δ}. Siis j=0 f(z) = = g(z) (z z 0 ) = 1 m (z z 0 ) m j= m b j+m (z z 0 ) j b j (z z 0 ) j = j=0 b j (z z 0 ) j m j=0 kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä b 0 = g(z 0 ) 0. Koska j= m b j+m (z z 0 ) j on Laurentin sarja funktiolle f ja se on yksikäsitteinen, niin z 0 on funktion f kertalukua m oleva napa. Seuraus Olkoon H(z) jokin rationaalifunktio. Tällöin piste z 0 C on funktion H kertalukua m oleva napa jos ja vain jos z 0 on funktion m-kertainen nollakohta. G(z) := 1 H(z) Todistus. Oletetaan, että z 0 on funktion H kertalukua m oleva napa. Merkitään H(z) = P (z) Q(z), missä P ja Q ovat polynomeja. Voidaan olettaa, että polynomeilla P ja Q ei ole yhteisiä tekijöitä. Rationaalifunktiona H on analyyttinen kaikkialla paitsi polynomin Q nollakohdissa. Tällöin on olemassa sellainen r > 0, että H on analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Siis Lauseen 1.9 perusteella on olemassa sellainen δ > 0, että H(z) = g(z) (z z 0 ) m 7

9 kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä g on analyyttinen funktio joukossa {z C z z 0 < δ} ja g(z 0 ) 0. Edelleen G(z) := 1 H(z) = (z z 0) m, g(z) joten koska g(z 0 ) 0, niin z 0 on funktion G m-kertainen nollakohta. Oletetaan sitten vastaavasti, että z 0 on funktion G(z) := 1 H(z) m-kertainen nollakohta. Merkitään taas H(z) = P (z) Q(z), missä P ja Q ovat polynomeja. Voidaan olettaa, että polynomeilla P ja Q ei ole yhteisiä tekijöitä. Koska funktiolla G(z) = Q(z) P (z) on m-kertainen nollakohta pisteessä z 0, niin P (z 0 ) 0 ja Q(z) = (z z 0 ) m q(z), missä q on sellainen polynomi, että q(z 0 ) 0. Siis Merkitään H(z) = 1 (z z 0 ) m P (z) q(z). g(z) = P (z) q(z). Nyt g on analyyttinen kaikkialla paitsi polynomin q nollakohdissa ja g(z 0 ) 0, joten on olemassa sellainen δ > 0, että funktio g on analyyttinen joukossa {z C z z 0 < δ}. Siis H(z) = g(z) (z z 0 ) m kaikilla z {z C z z 0 < δ}, missä g(z 0 ) 0. Lisäksi rationaalifunktiona H on analyyttinen kaikkialla paitsi polynomin Q nollakohdissa. Tällöin on olemassa sellainen r > 0, että H on analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Siis Lauseen 1.9 nojalla funktiolla H on pisteessä z 0 kertalukua m oleva napa. 8

10 2 Signaalianalyysi 2.1 Signaali Määritelmä 2.1. Signaalit ovat ajasta riippuvia funktioita, jotka sisältävät informaatiota. Signaaleja merkitään u(k), missä k Z. Signaali u(k), k Z, on kausaalinen, jos u(k) = 0, kun k < 0. Huomautus 2.2. Käsittelemme tekstissä vain diskreettejä signaaleja, jotka ovat signaaleja määritelty aikamuuttujan kokonaislukuarvoilla. Lisäksi diskreetit signaalit ovat periaatteessa jonoja, mutta suosimme kuitenkin edellä määriteltyä esitystapaa. Esimerkki 2.3. Funktiot q(k) = { 1, k 0 0, k < 0, ja ovat diskreettejä signaaleja. u 1 (k) = δ(k) = ( ) k 1 q(k) 2 { 1, k = 0 0, k 0, Huomautus 2.4. Edellä esiteltyä diskreettiä signaalia { 1, k = 0 δ(k) = 0, k 0 kutsutaan yksikköimpulssiksi. Määritelmä 2.5. Diskreetin signaalin u(k) sanotaan olevan rajoitettu, jos on olemassa sellainen K R +, että u(k) K kaikilla k Z. 2.2 Z-muunnos Määritelmä 2.6. Kausaalisen signaalin u(k) z-muunnos määritellään U(z) := Z[u(k)] = kaikilla z C, joilla sarja suppenee. u(k)z k 9

11 Lause 2.7. Olkoot u 1 (k) ja u 2 (k) kausaalisia signaaleja sekä R 1, R 2 R + sellaisia, että z-muunnos U 1 (z) = Z[u 1 (k)] = u 1 (k)z k suppenee, kun z 1 < R 1, ja hajaantuu, kun z 1 > R 1, sekä U 2 (z) = Z[u 2 (k)] = u 2 (k)z k suppenee, kun z 1 < R 2, ja hajaantuu, kun z 1 > R 2. Jos U 1 (z) = U 2 (z) kaikilla sellaisilla z C \ {0}, että z 1 < min{r 1, R 2 }, niin u 1 (k) = u 2 (k) kaikilla k Z. Todistus. Merkitään w = z 1 sekä U 3 (w) = ja U 4 (w) = kaikilla w < min{r 1, R 2 }, jolloin u 1 (k)w k u 2 (k)w k U 3 (w) = u 1 (k)w k = u 2 (k)w k = U 4 (w) kaikilla sellaisilla w C\{0}, että w < min{r 1, R 2 }. Kun w < min{r 1, R 2 }, niin sarjat u 1 (k)w k ja suppenevat tasaisesti. Tällöin u 2 (k)w k lim w 0 u 1 (k)w k = lim u 1(k)w k = u 1 (0) w 0 10

12 ja sekä lim U 3(w) = lim w 0 w 0 Näin ollen lim w 0 u 2 (k)w k = lim u 2(k)w k = u 2 (0) w 0 u 1 (k)w k = u 1 (0) = u 2 (0) = lim w 0 U 3 (0) = U 4 (0). Todistetaan induktiolla, että kun w < min{r 1, R 2 }, niin kaikilla m Z +. Koska kaikilla w < min{r 1, R 2 }, niin d m U 3 dw m (w) = dm U 4 dw m (w) U 3 (w) = U 4 (w) du 3 dw (w) = du 4 dw (w) u 2 (k)w k = lim w 0 U 4 (w). kaikilla w < min{r 1, R 2 }. Siis väite on voimassa, kun m = 1. Oletetaan, että d l U 3 dw (w) = dl U 4 l dw (w) l kaikilla w < min{r 1, R 2 }, kun m = l. Tällöin d l+1 U 3 d d l U 3 (w) = dwl+1 dw dw (w) = d d l U 4 l dw dw (w) = dl+1 U 4 l dw l+1 (w) kaikilla w < min{r 1, R 2 }. Siis väite on voimassa, kun m = l + 1. Induktioperiaatteen nojalla d m U 3 dw (w) = dm U 4 m dw (w) m kaikilla m Z +, kun w < min{r 1, R 2 }. Erityisesti d m U 3 dw m (0) = dm U 4 dw m (0) kaikilla m Z +. Olkoon n Z +. Kun w < min{r 1, R 2 }, niin sarjat u 1 (k)w k 11

13 ja u 2 (k)w k voidaan derivoida termeittäin. Näin ollen, koska niin eli d n U 3 dw n (0) = dn U 4 dw n (0), u 1 (k)0 k n = k=n u 2 (k)0 k n k=n u 1 (n) = u 2 (n). Siis u 1 (k) = u 2 (k) kaikilla k N. Koska signaalit u 1 (k) ja u 2 (k) ovat kausaalisia, niin u 1 (k) = u 2 (k) kaikilla k Z. Määritelmä 2.8. Olkoon U(z) jokin funktio ja u(k) sellainen kausaalinen signaali, että on olemassa sellainen R R +, että sarja suppenee, kun z 1 < R, ja u(k)z k Z[u(k)] = u(k)z k = U(z) kaikilla sellaisilla z C, että z 1 < R. Tällöin signaalia u(k) merkitään Z 1 [U(z)] = u(k) ja sanotaan, että u(k) on funktion U(z) z-käänteismuunnos. Huomautus 2.9. Lauseen 2.7 nojalla z-käänteismuunnos on hyvin määritelty. Lisäksi jonkin funktion U(z) z-käänteismuunnos saadaan etsimällä sellainen signaali u(k), että se toteuttaa Määritelmän 2.8 ehdot. Lause Olkoon u(k) ja v(k) kausaalisia signaaleja, U(z) = Z[u(k)], V (z) = Z[v(k)], α 1, α 2 C ja m Z +. Tällöin Z[α 1 u(k) + α 2 v(k)] = α 1 U(z) + α 2 V (z) 12

14 kaikilla z C, joilla U(z) ja V (z) ovat määriteltyjä, sekä ja Z[ku(k)] = z du(z) dz Z[u(k m)] = Z[u(k m)q(k m)] = z m U(z) kaikilla z C, joilla U(z) on määritelty. Todistus. Kun z C on sellainen, että U(z) ja V (z) ovat määriteltyjä, niin Z[α 1 u(k) + α 2 v(k)] = (α 1 u(k) + α 2 v(k))z k = α 1 u(k)z k + α 2 = α 1 U(z) + α 2 V (z). Todistetaan sitten seuraava väite. Sarjalle u(k)z k v(k)z k voidaan määritellä suppenemissäde R R niin, että edellä oleva sarja suppenee, kun z 1 < R, mutta hajaantuu, kun z 1 > R. Kun z 1 < R, niin sarja u(k)z k voidaan derivoida termeittäin, jolloin du(z) dz = ( ku(k)z k 1 ). Kertomalla edellinen yhtälö puolittain termillä z saadaan z du(z) dz = ku(k)z k. Näin ollen Z[ku(k)] = z du(z) dz 13

15 kaikilla z C, joilla U(z) on määritelty. Todistetaan seuraavaksi viimeinen väitteistä. Koska signaali u(k) on kausaalinen, niin korostamalla kausaalisuutta saadaan Z[u(k m)] = Z[u(k m)q(k m)] = = u(k m)z k = z m k=m u(k m)q(k m)z k k=m = z m u(k)z k = z m U(z) kaikilla z C, joilla U(z) on määritelty. u(k m)z (k m) Lause Olkoon m N, a C sekä δ(k) ja q(k) kuten Esimerkissä 2.3. Kausaalisten signaalien δ(k) ja z-muunnokset ovat u m (k) = kaikilla z C \ {0} ja m n=1 (k n) a k m 1 q(k m 1) m! Z[δ(k)] = 1 Z[u m (k)] = 1 (z a) m+1 kaikilla z 1 < 1 a. Todistus. Nyt Z[δ(k)] = δ(k)z k = 1 z 0 = 1 kaikilla z C\{0}. Todistetaan jälkimmäinen väite induktiolla. Kun az 1 < 1 eli z 1 < 1 a, niin Z[a k q(k)] = a k q(k)z k = (az 1 ) k = 1 1 az 1 = z z a. Lauseen 2.10 nojalla Z[u 0 (k)] = Z[a k 1 q(k 1)] = z 1 Z[a k q(k)] = z 1 z z a = 1 z a 14

16 kaikilla z 1 < 1. Siis väite on voimassa, kun m = 0. Oletetaan seuraavaksi, a että väite pätee, kun l N ja m = l. Merkitään U(z) = Z[u l (k)] = 1 (z a) l+1, jolloin käyttämällä Lausetta 2.10 uudestaan saadaan Z[ku l (k)] = ( z) du(z) dz (l + 1) (l + 1)z = ( z) = (z a) l+2 (z a) l+2 kaikilla z 1 < 1 a. Lisäksi l n=1 (k 1 n) (k 1)u l (k 1) = (k 1) a k 1 l 1 q(k 1 l 1) l! l n=1 (k (n + 1)) = (k 1) a k (l+1) 1 q(k (l + 1) 1) l! l+1 n=2 (k n) = (k 1) a k (l+1) 1 q(k (l + 1) 1) l! l+1 n=1 (k n) = (l + 1) a k (l+1) 1 q(k (l + 1) 1) (l + 1)! = (l + 1)u l+1 (k), joten Z[u l+1 (k)] = Z [ ] 1 l + 1 (k 1)u l(k 1) = 1 l + 1 Z[(k 1)u l(k 1)] = 1 l + 1 z 1 Z[ku l (k)] = 1 (l + 1)z z 1 l + 1 (z a) l+2 1 = (z a) l+2 kaikilla z 1 < 1. Näin ollen väite on voimassa, kun m = l + 1. Induktioperiaatteen nojalla a 1 Z[u m (k)] = (z a) m+1 pätee kaikilla z 1 < 1, kun m N. a 2.3 Systeemi Määritelmä Tässä tekstissä systeemin ajatellaan olevan musta laatikko, jolla on yksi tuloportti ja yksi lähtöportti. Laatikon sisällöstä tai sisäisestä struktuurista ei välttämättä ole tietoa, mistä johtuu nimitys musta laatikko. 15

17 Herätteeksi kutsutaan systeemiin syötettävää signaalia ja vasteeksi systeemin herätteen tuottamaa signaalia. Määritelmä Olkoon u 1 (k) sellainen heräte, että kun se syötetään johonkin tiettyyn systeemiin, niin se tuottaa vasteen y 1 (k), ja vastaavasti heräte u 2 (k) sellainen, että se tuottaa kyseiseen systeemiin syötettynä vasteen y 2 (k). Edellä olevaa voidaan merkitä ja u 1 (k) y 1 (k) u 2 (k) y 2 (k). Systeemin sanotaan olevan lineaarinen, jos α 1 u 1 (k) + α 2 u 2 (k) α 1 y 1 (k) + α 2 y 2 (k) kaikilla α 1, α 2 C. Aikainvariantti systeemi toteuttaa ehdon u 1 (k + k 1 ) y 1 (k + k 1 ) kaikilla k 1 Z. Jos systeemiin syötettävä diskreetti heräte u(k) tuottaa aina yksikäsitteisen diskreetin vasteen y(k), niin systeemiä kutsutaan diskreetiksi. Näin voidaan määritellä diskreetti lineaarinen aikainvariantti systeemi eli diskreetti LTI-systeemi. Määritelmä Diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(k) on vaste yksikköimpulssiin δ(k). Toisin sanoen, δ(k) h(k). Huomautus Yksikköimpulssin avulla voidaan diskreetin LTI-systeemin heräte u(k) esittää u(k) = u(i)δ(k i). Koska edellä olevassa yhtälössä u(i) ei riipu ajasta k, niin LTI-systeemin lineaarisuutta ja aikainvarianttisuutta hyväksi käyttäen saadaan u(k) = u(i)δ(k i) u(i)h(k i). Jos herätteen u(k) vaste on y(k), niin y(k) = u(i)h(k i) =: (u h)(k). Edellä (u h)(k) on herätteen u(k) ja impulssivasteen h(k) diskreetti konvoluutio. Siis herätteen vaste on esitettävissä herätteen ja impulssivasteen diskreettinä konvoluutiona. 16

18 u(k) h(k) y(k) = (u h)(k) Kuva 1: Diskreetti LTI-systeemi, jonka impulssivaste on h(k). Määritelmä Diskreetti systeemi on kausaalinen, jos herätteen arvot u(k 0 + n), n = 1, 2,..., eivät vaikuta vasteen arvoon y(k 0 ), kun k 0 Z. Huomautus Jos diskreetti systeemi ei olisi kausaalinen eli vasteen arvo y(k 1 ) jollakin ajanhetkellä k 1 Z riippuisi herätteen arvosta u(k 2 ) tulevaisuudessa hetkellä k 2 > k 1, niin systeemi pystyisi ennustamaan ajanhetkellä k 1, mitä syötetään hetkellä k 2. Tämä ei ole mahdollista millekään fysikaaliselle järjestelmälle. Tästä syystä tarkastelemme pelkästään kausaalisia systeemejä. Lemma Diskreetin LTI-systeemin herätteen u 0 (k) 0, vaste on y 0 (k) 0. Todistus. Merkitään herätteen u 0 (k) vastetta y 0 (k). LTI-systeemin lineaarisuuden nojalla u 0 (k) = 0 u 0 (k) 0 y 0 (k) = 0. Siis y 0 (k) = 0 kaikilla k Z. Lause Diskreetti LTI-systeemi on kausaalinen jos ja vain jos h(k) = 0 kaikilla k Z, missä h(k) on systeemin impulssivaste. Todistus. Oletetaan, että systeemi on kausaalinen. Olkoon k 0 Z. Koska kausaalisen systeemin määritelmän nojalla yksikköimpulssin arvot δ(k 0 + n), missä n Z +, eivät vaikuta sen vasteen arvoon h(k 0 ) ja δ(k) = 0 kaikilla k Z, niin Lemman 2.18 nojalla h(k) = 0 kaikilla k Z. Oletetaan sitten, että h(k) = 0 kaikilla k Z. Olkoon u(k) jokin systeemin heräte ja y(k) sitä vastaava vaste. Tällöin Huomautuksen 2.15 perusteella k y(k) = u(i)h(k i) = u(i)h(k i) kaikilla k Z, joten vasteen arvo y(k 0 ) ei riipu herätteen arvoista u(k 1 ), k 1 = k 0 + 1, k 0 + 2,..., kun k 0 Z. Siis systeemi on kausaalinen. 17

19 Lause Olkoon kausaalisen diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(k) sekä u(k) kyseisen systeemin kausaalinen heräte ja y(k) sitä vastaava vaste. Merkitään H(z) = Z[h(k)], U(z) = Z[u(k)] ja Y (z) = Z[y(k)]. Tällöin Y (z) = H(z)U(z) kaikilla z C, joilla H(z) ja U(z) ovat määriteltyjä. Todistus. Koska systeemi on kausaalinen ja u(k) = 0, kun k < 0, niin Lauseen 2.19 nojalla y(k) = u(i)h(k i) = k u(i)h(k i). i=0 Cauchyn tulosarjan [3, s. 247, Denition 4, ja s. 248, Theorem 6] perusteella Y (z) = Z[ = k u(i)h(k i)] = i=0 k u(i)h(k i)z k i=0 ( k ) ( ) u(i)h(k i)(z 1 ) k = u(i)z i h(j)z j i=0 = U(z)H(z) = H(z)U(z) i=0 kaikilla z C, joilla H(z) ja U(z) ovat määriteltyjä. Huomautus Kausaalisen diskreetin LTI-systeemin impulssivasteen h(k) z-muunnosta H(z) kutsutaan siirtofunktioksi. Lauseen 2.19 nojalla kun U(z) 0. H(z) = Y (z) U(z), j=0 2.4 Stabiilisuus Määritelmä Systeemin sanotaan olevan BIBO-stabiili (bounded-input bounded-output), jos vaste on rajoitettu jokaisella rajoitetulla herätteellä. Lause Diskreetti LTI-systeemi, jonka impulssivaste on h(k), on BIBOstabiili jos ja vain jos pätee jollakin M R +. k= h(k) M 18

20 Todistus. Oletetaan, että k= h(k) M jollakin M R +. Systeemin vaste voidaan esittää muodossa y(k) = u(i)h(k i). Jos heräte u(k) on rajoitettu eli on olemassa sellainen K R +, että u(k) K kaikilla k Z, niin y(k) = u(i)h(k i) u(i) h(k i) K h(k i) K h(i) K M. Siis vaste on rajoitettu jokaisella rajoitetulla herätteellä. Edelleen systeemi on BIBO-stabiili. Oletetaan sitten, että systeemi on BIBO-stabiili. Tällöin vaste on rajoitettu jokaisella rajoitetulla herätteellä. Valitaan rajoitetuksi herätteeksi { 1, h( k) 0 u(k) = 1, h( k) < 0, jolloin u(k) 1 kaikilla k Z. Tällöin on olemassa sellainen K R +, että y(0) = u(i)h( i) = h(i) = h(i) K. Esimerkki Olkoon jonkin diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(k) sellainen, että Tällöin h(k) = k= { 1 k k Z + 0, k Z \ Z +. h(k) = k=1 1 k M jokaisella M R +. Siis tällainen systeemi ei ole BIBO-stabiili. 19

21 Lause Olkoon kausaalisen diskreetin LTI-systeemin siirtofunktio rationaalifunktio H(z) = N(z) D(z), missä polynomeilla N ja D ei ole yhteisiä tekijöitä sekä deg N(z) deg D(z). Systeemi on stabiili jos ja vain jos jokainen siirtofunktion H(z) napa on kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä. Todistus. Oletetaan, että systeemi on stabiili eli k= h(k) = h(k) M jollakin M R +. Tällöin H(z) = h(k)z k, missä h(k) on systeemin impulssivaste. Jos z 1, niin H(z) = h(k)z k h(k)z k = h(k) z k = h(k) 1 k = h(k) <. h(k) z k Koska lim z z0 H(z) =, kun z 0 C on siirtofunktion H(z) napa, niin edellä olevan nojalla kaikille siirtofunktion H(z) navoille z 1 C pätee z 1 < 1. Siis jokainen siirtofunktion H(z) napa on kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä. Oletetaan sitten, että jokainen siirtofunktion H(z) napa on kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä eli kaikille siirtofunktion H(z) navoille z 0 C pätee z 0 < 1. Merkitään siirtofunktion H napoja a i, i = 1,..., m, ja kunkin navan a i kertalukua d i Z +, i = 1,..., m. Olkoon deg D(z) = n, jolloin Lauseen 1.1 mukaan polynomilla D on n kompleksista nollakohtaa. Polynomin D johtokertoimen a C \ {0} voidaan olettaa olevan 1, sillä jos a 1, niin polynomit N ja D voidaan jakaa luvulla a, jolloin saadaan H(z) = A(z) B(z), missä A(z) = N(z) a 20

22 sekä B(z) = D(z) a ja polynomin B johtokerroin on 1. Koska z 0 C on siirtofunktion H napa jos ja vain jos z 0 on polynomin D nollakohta, niin saadaan Huomautuksen 1.3 nojalla H(z) = N(z) D(z) = N(z) m (z a i) d i. H(z) = c 0 + m d i c il (z a i ), l l=1 missä c il C, i = 1,..., m, l = 1,..., d i. Nyt systeemin impulssivaste h(k) on kausaalinen, sillä tarkasteltava systeemi on kausaalinen. Edelleen Lauseen 2.11 ja Huomautuksen 2.9 perusteella systeemin impulssivaste on h(k) = c 0 δ(k) + = c 0 δ(k) + m d i l=1 l=0 c il l 1 n=1 (k n) (l 1)! a k (l 1) 1 i q(k (l 1) 1) m d i 1 c l i,l+1 n=0 (k n 1) a k l 1 i q(k l 1), l! 21

23 jonka z-muunnos on siirtofunktio H. Koska h(k) on kausaalinen signaali, niin h(k) = h(k) k= = Edellä sarjan c 0δ(k) + c 0 δ(k) + c 0 + c 0 + c 0 + c 0 + m d i 1 l=0 m d i 1 l=0 m d i 1 m l=0 d i 1 l=0 suppenemissäde on 1, sillä lim k m c l i,l+1 n=0 (k n 1) a k l 1 i q(k l 1) l! m d i 1 c l i,l+1 n=0 (k n 1) a k l 1 i q(k l 1) l! d i 1 l=0 l=0 c i,l+1 ln=0 k n 1 a i k l 1 q(k l 1) l! c i,l+1 l! c i,l+1 l! c i,l+1 l! n=0 n=0 k=l+1 n=0 l n=0 (k + l n) n=0 l k n 1 a i k l 1 q(k l 1) l k n 1 a i k l 1 l (k + l n) a i k. l (k + l n) a i k l n=0 ((k + 1) + l n) = lim k Koska lisäksi oletuksen nojalla a i < 1, niin n=0 jollakin M il R +. Näin ollen k= h(k) c 0 + c 0 + l (k + l n) a i k M il m m d i 1 l=0 d i 1 l=0 c i,l+1 l! n=0 c i,l+1 M il L l! 22 k k + l + 1 = 1. l (k + l n) a i k

24 jollakin L R +. Siis systeemi on BIBO-stabiili. Esimerkki Oletetaan, että dierenssiyhtälö y(k) = 1 y(k 2) + u(k) + u(k 1) u(k 2) 4 kuvaa jotakin tiettyä diskreettiä LTI-systeemiä, missä u(k) on heräte ja y(k) vaste. Tällöin, kun k 0 Z, niin vasteen arvo y(k 0 ) ei riipu herätteen arvoista u(k 1 ), missä k 1 = k 0 + 1, k 0 + 2,.... Siis tarkasteltava LTI-systeemi on kausaalinen. Z-muuntamalla saadaan Y (z) = 1 4 z 2 Y (z) + U(z) + z 1 U(z) z 2 U(z), missä U(z) = Z[u(k)] ja Y (z) = Z[y(k)]. Näin ollen systeemin siirtofunktio on H(z) = Y (z) U(z) = 1 + z 1 z = z2 + z 1 4 z 2 z Koska z = 0 4 jos ja vain jos z = ± i, niin siirtofunktion H(z) navat ovat 2 z 1 = i 2 ja z 2 = i 2. Edelleen z 1 = z 2 = 1 < 1 eli siirtofunktion H(z) navat 2 ovat kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä. Siis tarkasteltava systeemi on BIBO-stabiili. 23

25 Lähdeluettelo [1] C. Chen: System and signal analysis. Saunders College Publishing, New York, [2] K. Ruotsalainen: Kompleksianalyysi. Oulun yliopisto, Oulu, [3] E. B. Sa, A. D. Snider: Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science. Upper Saddle River: Pearson / Prentice Hall, New Jersey, [4] V. S. Serov: Complex analysis. University of Oulu, Oulu,

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 7

Kompleksianalyysi, viikko 7 Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

z-muunnos ja differenssiyhtälöt

z-muunnos ja differenssiyhtälöt TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Martti Helenius z-muunnos ja differenssiyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HELENIUS,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Residylause ja sen sovelluksia

Residylause ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Y (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin

Y (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 3. harjoituksen ratkaisut. Vapaan vasteen löytämiseksi asetetaan ohjaukseksi u(t)

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Kompleksinen Laplace-muunnos

Kompleksinen Laplace-muunnos TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

Julian joukot. Henna-Liisa Kivinen. Matematiikan pro gradu

Julian joukot. Henna-Liisa Kivinen. Matematiikan pro gradu Julian joukot Henna-Liisa Kivinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Henna-Liisa Kivinen Julian joukot, matematiikan pro gradu -tutkielma,

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista LuK-tutkielma Antti Kaasila 11706 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 017 Sisältö Johdanto 1 Historiaa 11 Fibonaccin elämä 1 Fibonaccin lukujen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot