Sobolevin epäyhtälön parhaasta vakiosta

Transkriptio

1 Sobolevi eäyhtälö arhaasta vakiosta Markus Helé Matematiika ro gradu -tutkielma Kevät 22

2 Sisältö Sivu Johdato Esitietoja 2 Perusmerkitöjä 2 2 Kovekseista fuktioista 3 3 L -avaruudet 4 4 Sobolev-avaruudet 2 Sobolevi eäyhtälö 7 3 Schwarzi symmetrisaatio 2 3 Fuktio uudelleeryhmittely 2 32 Schwarzi symmetrisaatio 26 4 Heikko L eli avaruus L weak 29 5 Sobolevi eäyhtälö aras vakio 3 5 Päätulos Sobolevi eäyhtälö 53 Lähdeluettelo 57 i

3 Johdato Tässä oiäytetyössä tutkitaa Sobolevi eäyhtälöä Tavoitteea o ee kaikkea löytää Sobolevi eäyhtälössä esiityvälle vakiolle aras arvo Sobolevi eäyhtälö mukaa kaikille riittävä siisteille fuktioille u : R R ätee S, u L u L, missä u o u: gradietti, < <, riiuva vakio ja S, o :stä ja :stä Luvussa kerrataa lyhyesti L -avaruuksie ja Sobolev-avaruuksie erusomiaisuudet Sobolevi eäyhtälö todistetaa esimmäise kerra luvussa 2 esi sileille fuktioille ja se jälkee laajemmalle fuktioluokalle Tässä yhteydessä saadaa myös arvio vakiolle S,, joka ei kuitekaa ole lähelläkää otimia Etsittäessä arasta vakiota osoittautuu, että voidaa rajoittua tarkastelemaa allosymmetrisiä, sätee ituude suhtee väheeviä fuktioita Fuktio u voidaa korvata Schwarzi symmetrisaatiolla u #, jolla o hyvät geometriset omiaisuudet ja joka säilyttää aljo iformaatiota u:sta Luvussa 3 määritellää tämä käsite tarkasti Luvussa 4 erehdytää lyhyesti Marcikiewiczi avaruuksii Luvut 3 ja 4 toimivat johdatoa lukuu 5, jossa uudella tavalla todistetaa Sobolevi eäyhtälö ja samalla osoitetaa, mikä o vakio S, aras arvo Luku 5 erustuu Agelo Alvio vuoa 29 julkaistuu artikkelii [], jossa hä esittää todistukse ääiirteissää Päätuloksea saadaa eäyhtälö, joka voidaa tulkita Sobolevi eäyhtälö yleistykseksi Siitä saadaa helosti johdettua Sobolevi eäyhtälö ja samalla vakiolle S, saadaa aras arvo

4 Esitietoja Perusmerkitöjä Multi-ideksit Olkoo N Vektoria α : α, α 2,, α N saotaa multi-ideksiksi α : α + α α o α: ituus Erityisesti multi-ideksoitia käytetää derivoii yhteydessä: D α ux α x α x α 2 2 x α ux α x α α 2 x α 2 2 α x α ux Huomautus D u u ja ux D,, u, D,, u,, D,,, u Fuktioavaruuksista Olkoo Ω R Määritellää seuraavat fuktioavaruudet CΩ : { u : Ω R : u jatkuva Ω:ssa } C Ω : { u : Ω R : u jatkuvasti derivoituva Ω:ssa } C k+ Ω : { u C k Ω : o olemassa D α u CΩ kaikille α N, α k + } C Ω : C k Ω, C : C k N Jos u : Ω R, ii u: kataja o jouko { x Ω : ux } sulkeuma R :ssä, merkitää st u, ts st u : { x Ω : ux } Ω Jos st u o komakti Ω: osajoukko, ii saotaa, että u o komaktikatajaie Ω:ssa C k Ω : { u C k Ω : st u Ω komakti } C Ω : C k Ω k N Huomautus Jos u C k Ω, ii D α u o rajoitettu Ω:ssa kaikille α, joille α k sillä D α u saavuttaa suurimma ja ieimmä arvosa st u:ssa ja st u: ulkouolella D α u u jatkuvasti derivoituva tarkoittaa, että u:lla o jatkuvat esimmäise kertaluvu osittaisderivaatat 2

5 2 Kovekseista fuktioista Olkoo I R väli Fuktio f : I R o koveksi, jos fλx + λy λfx + λfy kaikille x, y I ja λ [, ] Lemma Olkoo f : I R derivoituva Tällöi f o koveksi jos ja vai jos f o kasvava Todistus Olkoot x, y I, y < x ja λ ], [ Merkitää z λx + λy y + λx y Väliarvolausee mukaa o olemassa η ]y, z[ ja ξ ]z, x[ site, että gz gy z y g η ja g ξ Koska g o kasvava, o g η g ξ, ja site gz gy z y gx gz x z eli gz gy λx y gx gz x z gx gz λx y Kertomalla uolittai termillä x y ja sievetämällä, seuraa tästä gz λgx + λgy Kiiitetää x, y ]a, b[ site, että y < x Koska yt oletukse mukaa g o koveksi, ätee gz λgx + λgy kaikille z λx + λy, λ ], [, joka o yhtäitävää se kassa, että gz gy λ Kertomalla uolittai x y:llä, seuraa tästä gz gy z y Ku yllä z x eli λ, saadaa gx gy x y gx gz λ gx gz x z g x Vastaavasti, ku z y eli λ, saadaa eäyhtälö Näi olle siis g y g x g y gx gy x y 3

6 3 L -avaruudet Jos A R o Lebesgue-mitallie, ii A jouko A Lebesgue-mitta Olkoo A R mitallie ja [, ] Tällöi L A : { f : A R : f mitallie ja f L A < }, missä ja f L A f : f dx A ku < f L A f : ess su fx : if { M : fx M mk A:ssa } x A Lyhee mk tarkoittaa melkei kaikkialla, so ollamittaise jouko ulkouolella 2 Huomautus fx f mk x A Seuraava keskeise tulokse todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [, Lause 73] 3 Lause Hölderi eäyhtälö Olkoot 2, q, + q sekä f L A ja g L q A Tällöi fg L A ja fg f g q 4 Lause Yleistetty Hölder Jos i [, ] se m i i m f i L A ja i m f f 2 f m dx f i i A i ja f i L i A, ii Todistus Todistetaa väite iduktiolla Väite o selvästi voimassa ku m tällöi Iduktio-oletus: väite ätee arvolla m k Osoitetaa, että väite ätee arvolla m k + Olkoot, 2,, k+ ], [ se k+ i i ja f i L i A Olkoo ], [ luvu k+ kojugoitu eksoetti, so 2 + q eli q eli q + q + k+ 4

7 Koska k+ i i k i i + k+, ii k i 2 k i Koska f i L i A, ii f i L i, missä i k i ], [, sillä < i Lisäksi k i / + + +, i i 2 k }{{} jote iduktio-oletukse ojalla f f 2 f k L A ja f f 2 f k dx f f 2 f k dx A A idol f dx f2 2 2 dx fk k k dx A A A [ f dx f 2 2 ] 2 dx f k k k dx < A A A Siis f f 2 f k L, ja koska o k+ : kojugoitu eksoetti, ii Hölderi eäyhtälö ojalla f f 2 f k f k+ L A ja f f 2 f k+ dx Hölder A f dx A k+ i f i i A f f 2 f k dx A f 2 2 dx 2 A A f k k dx f k+ k+ dx k A k+ f k+ k+ dx k+ Pari E, o ormiavaruus, jos E o lieaariavaruus ja kuvaus : E [, [ o ormi E:ssä eli N x + y x + y kaikille x, y E N2 ax a x kaikille x E, a R kolmioeäyhtälö homogeeisuus N3 x x olla-alkio E:ssä Normiavaruude E joo x o Cauchy-joo, jos jokaista ε > vastaa sellaie luku ε N, että x k x j < ε ku k, j ε Erityisesti jokaie sueeva joo o Cauchy-joo 5

8 Normiavaruus E o täydellie eli Baach-avaruus, jos se jokaie Cauchy-joo o sueeva Avaruus L o vektoriavaruus, jolle ormiehdot N ja N2 toteutuvat, mutta ei ormiehto N3: fx mk x A f! Pulmasta selvitäksemme, samaistamme kaikki e fuktiot, jotka ovat samoja mk x Täsmällistä määrittelyä varte saotaa, että fuktiot f, g L ovat ekvivaletit, merk f g, jos f g mk x Fuktio f L määrää eli virittää yt ekvivalessiluoka [f] : { g L : g f } 5 Lause Ekvivalessiluokkie joukko L A { [f] : f L A } varustettua ormilla [f] [f] L A : f L A o Baach-avaruus Todistus tälle ja seuraavalle lauseelle, ks [7, Lauseet 26 ja 2] L A:t ovat sisäkkäi, jos A < : 6 Lause Jos A < ja s, ii L A L s A ja f s A s s f kaikille f L A Lokaali L -avaruus määritellää L loca { f : A R : f L E aia ku E A komakti } 7 Lause L -ormi jatkuvuus Jos f L R, <, ii Siis g h x : fx + h fx L :ssä lim fx + h fx dx h R Todistus [7, Lause 25] Silotus Sobolev-avaruude fuktioita täytyy voida aroksimoida soivilla sileillä fuktioilla Tätä varte määritellää seuraavaksi fuktio silotus Olkoo η C R site, että i ηx kaikille x R ii ηx kaikille x, joille x, ts st η B, 6

9 iii ηx dx R B, ηx Tällaiseksi fuktioksi käy esimerkiksi C e x ηx 2 ku x < ku x, missä C > valitaa site, että R ηx dx Ku ε >, asetetaa x η ε x ε η, ε jolloi η ε C R, st η ε B, ε, η ε ja R η εx dx Tällaisia fuktioita η ja η ε saotaa silottajaytimiksi Jos u L locr, määritellää fuktio u silotus eli kovoluutio u ε x : η ε ux : uyη ε x y dy R 8 Lause Olkoo u L locr ja olkoot η ε silottajaytimiä, ε > Tällöi i u ε η ε u C R ja D α η ε ux D α η ε ux kaikille α N ja kaikille x R ii Jos u L R,, ii u ε η ε u L R ja u ε u Lisäksi lim u ε u ε jos < iii Jos u CΩ, Ω R avoi, ii u ε x ux tasaisesti jokaisessa komaktissa osajoukossa K Ω Tässä u ollajatketaa R :ää Todistus i Oletetaa, että α Olkoo e, e 2,, e tavallie R : kata Kiiitetää x R Tällöi u ε x + te i u ε x uyη ε x + te i y dy uyη ε x y dy R R uy [ η ε x y + te i η ε x y ] dy R t uy i η ε x y + se i ds dy R t Fubii uy i η ε x y + se i dy ds R 7

10 Sisemi itegraali o jatkuva, sillä koska η ε o komaktikatajaie, ii itegraali voidaa tulkita rajoitetu jouko yli otetuksi, jolloi Näi olle saamme uy i η ε x y + se i dy uy i η ε x y + s e i dy R R uy i η ε x y + se i i η ε x y + s e i dy R }{{} M s s VAL, koska i η ε o rajoitettu s s M s s uy dy B }{{} < koska u L loc R u ε x + te i u ε x t t VAL, jvuus t jvuus :ssa t uy i η ε x y + se i dy ds R t t uy i η ε x y + ξe i dy, ξ ], t[ R uy i η ε x y dy i η ε u x R Siis osittaisderivaatta uε x i o olemassa ja uε x i ηε x i u Soveltamalla samaa äättelyä fuktio u ε sijaa se esimmäise kertaluvu osittaisderivaattoihi saadaa osoitettua toise kertaluvu osittaisderivaattoje olemassaolo Jatkamalla iduktiivisesti ähdää, että u ε C R ii Olkoo x R Jos < < ja + q, ii u ε x uyη ε x y dy R R uyη ε x y dy η εx y q η ε x y uy R }{{}}{{} dy L q L Hölder q η ε x y dy η ε x y uy dy, R } R {{} ja site u ε x η ε x y uy dy η ε u x R Tämä eäyhtälö o tosi myös ku Site kaikille < u ε dx η ε x y uy dy dx R R R Fubii uy η ε x y dx dy u dx R R } R {{} 8

11 eli u ε u Eäyhtälö o voimassa myös, ku, sillä kaikille x R ätee u ε x uyη ε x y dy R uy η ε x y dy R }{{} u u η ε x y dy u R } {{} Koska u ε x ux uyη ε x y dy ux η ε x y dy R R } {{} uy ux ηε x y dy uy ux ηε x y dy, R saadaa kute edellä ku < I : u ε x ux dx R yx z R Bx,ε η ε z ux z ux dz dx R R Fubii η ε z ux z ux dx dz R R η ε z ux z ux dx dz B,ε R } {{}, ku z eli jos ε R η ε x y uy ux dy dx ε Kohda todistus: Olkoo δ > Tällöi Lausee 7 ojalla löytyy r > site, että sisemi itegraali < δ ku z B, r Jos yt ε < r, ii I B,ε η ε z δ dz δ η ε z dz δ B,ε }{{} Siis jokaiselle δ > löytyy r > site, että I δ ku ε < r iii Olkoo K Ω komakti Tällöi kaikille x K löytyy r x > site, että Bx, r x Ω Nyt { } Bx, rx o K: avoi eite ja komaktisuude erusteella 3 x K sillä o äärellie osaeite: K Bx k, r k 3 Merkitää r mi { } r 3,, r 3 Tällöi kaikille x K o Bx, r k k B x k, 2r k Ω 3 9

12 Olkoo δ > Koska u o jatkuva, ii u o tasaisesti jatkuva komaktissa joukossa k B x k, 2r k, 3 jote o olemassa ε > site, että ux uy < δ ku x, y B x k, 2r k 3, k x y < ε Nyt kaikille x K ja kaikille < ε mi{ε, r} o u ε x ux uyη ε x y dy ux η ε x y dy R R } {{} uy ux ηε x y dy Bx,ε uy ux η ε x y dy Bx,ε }{{} <δ δ η ε x y dy δ Bx,ε } {{ } Näi olle u ε u tasaisesti komaktissa joukossa K 9 Lemma Jos K Ω o komakti, ii o olemassa ϕ C Ω se ϕ ja ϕ K:ssa Lisäksi voidaa valita ϕ se ϕx 7 distk, Ω, jos Ω R Tällaista fuktiota ϕ kutsutaa cut-off-fuktioksi Todistus [7, Seuraus 22] 4 Sobolev-avaruudet Määritelmä Heikko derivaatta Olkoo Ω R avoi, u L locω ja α N Fuktio v L locω o fuktio u α heikko derivaatta yleistetty tai distributiivie derivaatta, jos se toteuttaa osittaisitegroitikaava 2 ud α ϕ dx α vϕ dx kaikille ϕ C Ω Tällöi merkitää v D α u Ω Ω Jos α, ii D α u i u, missä α,,, i:s,,, Edellee u u, 2 u,, u Jos u C α Ω, ii α heikko derivaatta o melkei kaikkialla α klassie derivaatta Lisäksi, jos v ja v 2 ovat fuktio u heikkoja α derivaattoja, ii v v 2 melkei kaikkialla [7, s 24 25]

13 Lemma Olkoo u L locω, jolla o α heikko derivaatta D α u L locω Olkoo η ε silottajaydi, jolle st η ε B, ε Tällöi D α η ε ux η ε D α ux kaikille x, joille distx, Ω > ε Todistus Koska y η ε x y o C Ω-fuktio ja se α osittaisderivaatta o α D α η ε x y, voidaa osittaisitegroida Määritelmä ja saadaa D α Lause 8 η ε ux D α η ε ux uyd α η ε x y dy R tai Bx,ε tai Ω α uy α D α η ε x y }{{} Ω fuktio y η εx y α osderiv osit α α D α uyη ε x y dy }{{} Ω D α uyη ε x y dy η ε D α ux R 2 Lause Olkoot u, v L locω, α N ja λ, µ R Jos u:lla ja v:llä o α heikot derivaatat, ii λu + µv:llä o α heikko derivaatta ja D α λu + µv λd α u + µd α v Todistus Koska u, v L locω, ii myös λu + µv L locω Samoi, koska D α u, D α v L locω, ii λd α u + µd α v L locω Olkoo ϕ C Ω Tällöi λu + µvd α ϕ dx λ ud α ϕ dx + µ vd α ϕ dx Ω Ω Ω u ja v heikosti derivoituvia λ α D α uϕ dx + µ α D α vϕ dx Ω Ω α λd α u + µd α v ϕ dx, jote väite o todistettu Ω 3 Lause Tulosäätö Olkoot u, v L locω sellaisia, että iillä o kertaluvu yleistetty derivaatta Du L locω ja Dv L locω molemmilla samaa suutaa Tällöi tulo uv derivoituu heikosti ja Duv udv + Duv Todistus [7, Lause 39] Tulosääö oletus u, v L locω voidaa korvata oletuksella uv L locω ja udv + vdu L locω dy

14 4 Lause Ketjusäätö Olkoo f C R se f L R Jos fuktiolla u L locω o kertaluvu heikko derivaatta Du L locω, ii yhdistetyllä fuktiolla f u o kertaluvu heikko derivaatta ja Df ux f uxdux mk x Todistus [7, Lause 33] 5 Lause Jos fuktiolla u L locω o kertaluvu heikko derivaatta Du Ω:ssa, ii fuktiolla u o myös kertaluvu heikko derivaatta ja Dux ku ux > D u Dux ku ux < ku ux Lisäksi Dux mk x { y Ω : uy } Todistus [7, Lause 35] Sobolev-avaruuksista 6 Määritelmä Olkoo Ω R avoi ja k N ja Sobolev-avaruus W k, Ω koostuu kaikista fuktioista u L Ω, joilla o heikot derivaatat D α u Ω:ssa kaikille α N, α k, ja D α u L Ω k kertaluku Sobolev-avaruudessa W k, Ω käytetää ormia 3 u k, u W k, Ω : α N α k 7 Lause W k, Ω, k, o Baach-avaruus D α u L Ω Todistus Lausee 2 avulla o helo osoittaa, että W k, Ω o vektoriavaruus avaruude L Ω aliavaruus ja lisäksi ormiavaruus Riittää siis osoittaa, että avaruude W k, Ω jokaie Cauchy-joo sueee Aluksi huomataa, että jos v W k, Ω, ii kaikille α N, α k, ätee 3 D α v L Ω D β v v L Ω W k, Ω β N β k Olkoo u j j Cauchy-joo W k, Ω:ssa ja ε > Tällöi löytyy ε Z + site, että 4 u j u i W k, Ω < ε ku j, i ε 3 D u eli u o summassa mukaa 2

15 Tästä seuraa 3: ojalla, että u j u i L Ω u j u i W k, Ω < ε ku j, i ε, jote u j j o Cauchy-joo L Ω:ssa Koska L Ω o Baach-avaruus, ii joo sueee, ts o olemassa u L Ω site, että 5 u j u L Ω ku j Osoitetaa yt, että i u W k, Ω ja ii u j u W k, Ω ku j i: Kiiitetää α N, α k Tällöi 3: ja 4: ojalla D α u j D α u i L Ω Dα u j u i L Ω u j u i W k, Ω < ε ku j, i ε, jote D α u j j o Cauchy-joo L Ω:ssa L Ω: täydellisyyde ojalla joo sueee, eli o olemassa v α L Ω site, että 6 D α u j v α L Ω ku j Osoitetaa seuraavaksi, että u:lla o α heikko derivaatta ja 7 D α u v α Olkoo ϕ C Ω Koska u j W k, Ω, ii kaikille j, 2, ätee 8 Koska ks Lause 6 sivulla 6 Ω u j D α ϕ dx α Ω D α u j ϕ dx u j D α ϕ dx u D α ϕ dx Ω Ω st u j u D α ϕ dx ϕ }{{} M M u j u L st ϕ Lause 6 M st ϕ 5 u j u L st ϕ j ja D α u j ϕ dx v α ϕ dx Ω Ω st D α u j v α ϕ dx ϕ }{{} N N D α u j v α L st ϕ Lause 6 N st ϕ D α u j v α 6 L st ϕ, j 3

16 ii kohdasta 8 seuraa Ω u D α ϕ dx α Ω v α ϕ dx Näi olle heiko derivaata määritelmä ojalla v α D α u Siis u:lla o heikot derivaatat D α u Ω:ssa kaikille α N, α k, ja D α u L Ω Site määritelmä mukaa u W k, Ω ii: Kohtie 5, 6 ja 7 ojalla jokaiselle α N, α k, löytyy j α Z + site, että D α u j D α u L Ω < ε K, ku j j α, missä K o jouko { α N : α k } alkioide lukumäärä Nyt u j u W k, Ω ku j j ε : max α k {j α} α N α k α N α k D α u j u L Ω D α u j D α u L Ω < K ε K ε, Siis Cauchy-joo u j j sueee avaruudessa W k, Ω Huomautus Selvästi C Ω C k Ω W k, Ω 8 Määritelmä Avaruus W k, Ω o avaruude C Ω sulkeuma W k, Ω:ssa Siis u W k, Ω jos ja vai jos o olemassa joo ϕ j C Ω site, että lim ϕ j u j k, Huomautus W k, Ω, k, o Baach-avaruude suljettua aliavaruutea itseki Baach-avaruus Yleesä W k, Ω W k, Ω, mutta jos Ω R, ii avaruudet ovat samat: 9 Lause Jos <, ii W k, R W k, R Todistus Todistetaa yksikertaisuude vuoksi vai taaus k Olkoo u W, R ja ε > Pitää löytää ϕ C R site, että u ϕ, < ε A Osoitetaa aluksi, että riittää löytää v W, R site, että v u, < ε Jos imittäi tällaie v löytyy, ii löytyy myös joo v j j W, R site, että v j u, < Tällöi v j j o Cauchy-joo W, R :ssä, jote koska W, R o Baach-avaruus, ii joo sueee W, R :ssä, so o olemassa v W, R site, että v j v, Toisaalta v j u,, jote rajaarvo yksikäsitteisyyde ojalla u v, ja siis u W, R 4

17 B Etsitää yt v W, R site, että v u, < ε Merkitää E i : R \ B, i, i, 2, Tällöi fuktioille f i : χ Ei u, i, 2,, ätee f i x kaikille x R ja f i u L, jote domioidu kovergessi lausee ojalla lim f i dx i R lim i u dx R \B,i Kiiitetää j,, Nyt fuktioille g i : χ Ei D j u, i, 2,, ätee g i x kaikille x R ja g i D j u L, jote domioidu kovergessi lausee ojalla lim g i dx i R Näi olle löytyy sellaie r >, että u dx R \B,r lim i D j u dx R \B,i + D j u dx j R \B,r < ε + Lemma 9 sivulla ojalla voidaa valita cut-off fuktio ψ C R site, että ψ, ψ B,r ja ψx kaikille x R Osoitetaa seuraavaksi, että v : uψ W, R Koska u L R ja D j u L R, j,,, ii myös uψ L R ja Lausee 3 sivulla ojalla uψ:llä o heikot derivaatat D j uψ D j u ψ + u D j ψ L R, j,, Site uψ W, R Nyt, jos ϕ j η uψ, ii j ϕ j C R ja Lausee 8 sivulla 7 ja Lemma sivulla ojalla ϕ j uψ ja Dϕ j Duψ η j Duψ Duψ ku j, jote Näi olle v uψ W, R ϕ j uψ W, R ku j 5

18 Koska ψ allossa B, r, ii u v, u v + D j u D j v u ψ + D j u ψ j j u ψ + D j u ψ u D j ψ }{{} j }{{} B,r:ssä B,r:ssä u ψ dx + D j u ψ dx }{{}}{{} R \B,r j R \B,r + u D j ψ dx j }{{} R \B,r + u dx + D j u dx R \B,r j R \B,r ε < + + ε 6

19 2 Sobolevi eäyhtälö Tässä luvussa todistetaa esimmäise kerra Sobolevi eäyhtälö Eäyhtälössä esiityvälle vakiolle ei kuitekaa saada arasta arvoa 2 Lemma Olkoo Ω R avoi ja 2 Tällöi u u kaikille u C Ω Todistus Jatkamalla u ollaa Ω: ulkouolelle voidaa olettaa, että u C R Tällöi kaikille x Ω o jote ux xi ux i ux,, x i, t, x i+,, x dt, i,,, xi kaikille i,,, sillä u i ux,, x i, y i, x i+,, x dy i ux,, x i, y i, x i+,, x dy i u u 2 i u Site ux ux,, y i,, x dy i i Itegroimalla x : suhtee tämä ataa ux dx yleistetty Hölder i u dy }{{} vakio x : suhtee u dy i u dy dx i2 i2 u dy i missä viimeisi eäyhtälö saadaa yleistettyä Hölderi eäyhtälöä dx u dy i dx, g g 2 g g g 2 g käyttäe Lause 4 sivulla 4 7

20 Itegroimalla samaa taaa muuttuja x 2 suhtee saadaa [ u dx dx 2 u dy i2 u dy 2 dx u dy i3 u dx dy 2 u dy dx 2 i3 u dy i dx ] dx 2 u dy i dx dx2 u dx dx 2 dy i, missä viimeisi eäyhtälö seuraa jällee yleistetystä Hölderi eäyhtälöstä ja lisäksi Fubii lauseesta Jatkamalla muuttujie x 3,, x osalta vastaavasti saadaa loulta Ω u dx Siisä saatii haluttu eäyhtälö i u dx Ω u u u dx dx 2 dx u dx dx 22 Määritelmä Olkoo < N ja 2 Tällöi : Sobolevkojugaatti o luku Huomataa, että > 8

21 23 Lause Sobolevi eäyhtälö/sobolevi uotuslause Olkoo Ω R avoi Ku <, ii o olemassa vakio c c, > site, että u c u kaikille u W, Ω Todistus A Olkoo ja u W, Ω Tällöi u W, Ω ja löytyy ϕ j j C Ω site, että ϕ j u avaruudessa W, Ω Lemma 2 ojalla ϕ j ϕ k ϕ j ϕ k ϕ j ϕ k ku j, k, jote ϕ j o Cauchy-joo L Ω:ssa ja koska L Ω o Baach, löytyy v L Ω site, että ϕj v ku j Site Lause 6 sivulla 6 ϕ j v L K:ssa aia ku K Ω o komakti Toisaalta ϕ j u L Ω:ssa, jote v u Siis u L Ω ja u v ormi jatkuva lim j ϕ j Lemma 2 lim ϕ j j u B Olkoo < < ja u CR, u Olkoo v u γ, missä γ > Tällöi Lauseide 4, 5 ja 9 ojalla v W, R Nyt u γ Ω dx Lause 4 Hölder γ v Ω Luvu γ valia erusteella γ dx γ u γ u dx Ω u γ Ω v Lause 5 γ dx A-kohta v Ω u dx Ω Ω u γ u dx v dx ja γ, jote missä u dx Ω Näi olle γ u dx Ω, u u 9

22 C Olkoo < < ja u W, Ω Tällöi u W, Ω ja löytyy ϕ j j C Ω site, että ϕ j u avaruudessa W, Ω Kohda B ojalla ϕ j ϕ k c ϕ j ϕ k c ϕ j ϕ k ku j, k, jote ϕ j o Cauchy-joo L Ω:ssa ja koska L Ω o Baach, löytyy v L Ω site, että ϕ j v ku j Site, koska >, ii Lause 6 sivulla 6 ϕ j v L K:ssa aia ku K Ω o komakti Toisaalta ϕ j u L Ω:ssa, jote v u Siis u L Ω ja B-kohta u v lim ϕ j j lim c ϕ j j c u 24 Seuraus Ku <, ii W, Ω L Ω Huomautus Lauseessa 23 oletettii, että < ja Ω R o mikä tahasa avoi joukko Jatkossa kuiteki oletetaa, että < < ja Ω R Lausee 9 ojalla W, R W, R Siisä Sobolevi eäyhtälö voidaa kirjoittaa muotoo 2 S, u u kaikille u W, R, missä Lausee 23 todistukse erusteella 22 S, Tämä vakio ei ole lähelläkää arasta mahdollista Luvussa 5 osoitetaa, että eäyhtälössä 2 esiityvä vakio S, aras arvo o 23 π 2 / / / / / / Jos esimerkiksi 2 ja 3, ii lauseke 23 saa arvo π 3 Γ 2 4 /3 π 3 π 4 ku taas lauseke 22 saa vai arvo 4,25 /3 Γ Γ ΓΓ 2 2,34, / 2

23 3 Schwarzi symmetrisaatio Tämä luku erustuu ääosi lähteesee Kesava [6, s 5] Lisäksi ole käyttäyt lähdettä Ziemer [3, s 26 27] 3 Fuktio uudelleeryhmittely Olkoo Ω R ja f : Ω R Kostruoidaa fuktio f #, jolla o seuraavat omiaisuudet: f # o määritelty origokeskisessä allossa, joka mitta o Ω: mitta f # o allosymmetrie ja väheevä sätee ituude suhtee f: ja f # : distribuutiofuktiot ovat samat ks määritelmä alla Fuktiota f # imitetää fuktio f Schwarzi symmetrisaatioksi Ee Schwarzi symmetrisaatio määrittelyä kostruoidaa aetulle fuktiolle yksiulotteie väheevä uudelleeryhmittely egl uidimesioal decreasig rearragemet 3 Määritelmä Olkoo Ω R mitallie Mitallise fuktio u : Ω R distribuutiofuktio o fuktio µ u : [, [ [, ], µ u t : { x Ω : ux > t } { u > t} 32 Lemma Distribuutiofuktio o väheevä ja site mitallie Todistus A µ u o väheevä, sillä jos t < t 2, ii { x Ω : ux > t2 } { x Ω : ux > t }, jote { x Ω : ux > t2 } { x Ω : ux > t } eli µ u t 2 µ u t B Edellisestä kohdasta seuraa, että µ u o mitallie Olkoo I R väli Koska µ u o väheevä, ii µ u I o R: väli, ja site µ u I o Lebesgue-mitallie Näi olle µ u o Lebesgue-mitallie ks [, Seuraus 86] 33 Huomautus Jos t ess su u, ii µ u t, ja jos t < ess if u, ii µ u t Ω Näi olle µ u : arvojoukko sisältyy välii [, Ω ] 34 Lemma Distribuutiofuktio o oikealta jatkuva 2

24 Todistus Kiiitetää t [, [ Olkoo t i i väheevä joo site, että t i > t kaikille i, ja t i t ku i Tällöi µ u t { u > t} { u > t i } lim { u > t i} lim µ u t i i i i Tästä seuraa helosti väite 35 Määritelmä Olkoo u : Ω R mitallie fuktio Määritellää fuktio u : [, Ω ] [, ] asettamalla u ess su u, u s if { t [, [ : µ u t < s } ku s > Fuktiota u saotaa u: yksiulotteiseksi väheeväksi uudelleeryhmittelyksi 36 Huomautus i Oleaisesti u o distribuutiofuktio µ u kääteisfuktio Kuiteki µ u :lla voi olla hyyeäjatkuvuuskohtia Jos t o tällaie µ u : eäjatkuvuuskohta, ii u saa koko välillä [µ u t+, µ u t ] arvo t ii Jos Ω, ii sovitaa u : määrittelyjoukoksi [, [ 37 Esimerkki Olkoo Ω ] 2, 2[ R Määritellää u : Ω R asettamalla 2 + x, 2 x, x ux + x, x 2 2 x, x 2 2 Tällöi 4 2t, t < µ u t 3 2t, t 2, t 2 3 s/2, s ja u s, s 2 4 s/2, 2 s 4 22

25 38 Lemma Olkoo u : Ω R mitallie Tällöi i u o väheevä ii µ u u s s kaikille s iii u o vasemmalta jatkuva Todistus jote ii Koska i Olkoo s < s 2 Tällöi { t : µu t < s } { t : µu t < s 2 }, u s if { t : µ u t < s } if { t : µu t < s 2 } u s 2 u s if { t : µ u t < s }, ii löytyy väheevä joo t i i { t : µ u t < s } site, että t i > u s ja t i u s ku i Koska µ u o oikealta jatkuva, ii µ u u s lim µ u t i s i }{{} <s iii Kiiitetää s ], Ω [ ja olkoo ε > Tällöi u : määritelmä ojalla löytyy t site, että u s t < u s + ε ja µ u t < s Valitaa h > site, että µ u t < s h < s Tällöi kaikille < h h o jote kaikille < h h o u s u väheevä µ u t < s h < s, u s h µut<s h t < u s + ε µ u t < s h u s h if { r : µ u r < s h } t Näi olle u o vasemmalta jatkuva 23

26 39 Lemma Olkoot u ja v mitallisia fuktioita Ω R Jos u v, ii u v Todistus Kiiitetää s ], Ω ] Jos t [, [, ii { u > t} { v > t}, ja site { u > t} { v > t} Näi olle { } { } t : { v > t} < s t : { u > t} < s, jote v s if { t : { v > t} < s } if { t : { u > t} < s } u s 3 Lemma Fuktioide u : Ω R ja u : [, Ω ] [, ] distribuutiofuktiot ovat samat, so { u > t} {u > t} kaikille t [, [ Todistus Kiiitetää t [, [ Koska u o väheevä, ii {u > t} { s [, Ω ] : u s > t } su { s [, Ω ] : u s > t } A Jos u s > t, ii s { u > t} sillä jos µ u t { u > t} < s, ii määritelmä ojalla u s t Site kohda ojalla {u > t} su { s : u s > t } { u > t} B Jos s > {u > t}, ii kohda ojalla u s t, ja koska µ u o väheevä, ii µ u t µ u u s s, missä viimeie eäyhtälö seuraa Lemma 38 kohdasta ii Näi olle { u > t} {u > t} sillä jos äi ei ole, ii löytyy h > se µ u t > µ u t h > {u > t}, jolloi eo äättely ojalla µ u t µ u t h, rr! 3 Lemma Jos f : A [, ] o Lebesgue-mitallie ja < <, ii A { } f dx t x A : fx > t dt Todistus A Olkoo f : A [, [ yksikertaie ja f k α i χ Ai se ormaaliesitys, missä α < α 2 < < α k Tällöi i k f dx α i A i, A i missä A i { } x A : fx α i f α i, i,, k 24

27 Edellee α / α t { } x A : fx > t dt t { } x A : fx > t dt t A + t A + α 2 / α2 α t A \ A + + α t A \ A + + α k / A + A 2 + A A k α α k t A k + A 2 + A A k α 2 α + A A k α 3 α 2 + A k α k α k αk k A α + A 2 α A k α k α i A i jote väite ätee ku f o yksikertaie i α k t A k A f dx, B Olkoo f : A [, ] mitallie Tällöi f o yksikertaiste fuktioide ouseva joo raja-arvo joukossa A: o olemassa yksikertaiset fuktiot f f 2, joille f lim f i joukossa A Tällöi myös fuktiot f i ovat yksikertaisia, i f f 2, ja f lim f i joukossa A Nyt i A f dx A lim f i dx MK-lause lim i i A-kohta lim i A f i dx { t x A : fi x > t } dt } {{ } :g i t Koska fuktiot g i : [, [ [, ] : t t { x A : fi x > t } muodostavat kasvava joo, so g g 2, ii voidaa jällee soveltaa mootoise kovergessi lausetta, jolloi A f dx lim i t i t { x A : fi x > t } dt { t lim x A : fi x > t } dt i { x A : fi x > t } dt t { x A : fx > t } dt 25

28 32 Seuraus Olkoo A R ja f : A R Lebesgue-mitallie Tällöi Edellee A A f dx { x A : fx > t } dt f dx t { } x A : fx > t dt, kuha < < 33 Seuraus Jos u L Ω,, ii u L ], Ω [ ja u L Ω u L ], Ω [ Todistus A Väite ätee ku, sillä u if { c : { u > c} } if { c : {u > c} } u B Olkoo < Koska u: ja u : distribuutiofuktiot ovat samat, ii Seuraukse 32 avulla saadaa u u dx t { u > t} dt Ω Ω t {u > t} dt u ds u 32 Schwarzi symmetrisaatio Olkoo E R mitallie Merkitää E :lla R : origokeskistä avoita alloa, joka tilavuus eli mitta E E jos E, ii E R Merkitää edellee avaruude R yksikköallo tilavuutta ω :llä 34 Huomautus i ω π 2 Γ 2 +, missä Γ o yleisesti tuettu Gamma-fuktio, Γ : ], [ R : s ii Avaruude R r-säteise allo tilavuus o ω r e x x s dx 26

29 35 Määritelmä Fuktiota f : R R saotaa allosymmetriseksi, jos se riiuu vai muuttuja x etäisyydestä origoo r x eli fx F x 36 Huomautus i Pallosymmetrie fuktio fx voidaa itegroida aakoordiaateissa x rθ eli käyttämällä kaavaa R fx dx S frθ dθr dr, missä S : { x R : x } o yksikköallo ita ii Avaruude R yksikköallo ita-ala o dθ ω S 37 Määritelmä Olkoo Ω R mitallie Mitallise fuktio u : Ω R Schwarzi symmetrisaatio o fuktio u # : Ω [, ], u # x u ω x, x Ω 38 Huomautus i u # o selvästi allosymmetrie ii Koska u o väheevä, ii u # o väheevä sätee ituude suhtee iii Jos R o Ω : säde eli Ω B, R, ii u # x dx Ω R B,R u ω x dx u ω r ω r dr Ω R 39 Lause Olkoo u : Ω R mitallie Tällöi u ω r u s ds S Ω i Fuktioide u, u ja u # distribuutiofuktiot ovat samat ii Jos u L Ω, <, ii u # L Ω ja Todistus i Koska u L Ω u# L Ω 3 {u > t} su { s [, Ω ] : u s > t } ja u o väheeä, ii {u # > t} { x Ω : u # x > t } { x Ω : u ω x > t } 3 { x Ω : ω x < {u > t} }, dθ r dr u s ds 27

30 missä ω x o x -säteise allo tilavuus Koska Ω o origokeskie allo, ii ylläoleva ojalla {u # > t} {u > t} ii Koska u: ja u # : distribuutiofuktiot ovat samat, ii Seuraukse 32 avulla saadaa u u dx t { u > t} dt Ω t {u # > t} dt u # dx u # Ω 32 Esimerkki Olkoo Ω ] 2, 2[ R ja olkoo u : Ω R kute Esimerkissä 37 Tällöi Ω ] 2, 2[ Koska ja ii kaikille x 2 o 3 s, s u 2 2 s, s 2 2 s, 2 s 4 2 u # x u ω x u 2 x, 3 x, x u # x u # x u 2 2 2x, x 2 2 x, x 2 28

31 4 Heikko L eli avaruus L weak 4 Määritelmä Oletetaa, että fuktio f : R R o mitallie ja olkoo < Saotaa, että f kuuluu heikkoo L -avaruutee ja merkitää f L weakr, mikäli o olemassa sellaie vakio c <, että { x R : fx > t } c kaikille t > t Fuktio f L weakr ormi f o iei vakio C, joka toteuttaa eäyhtälö { x R : fx > t } C kaikille t > t 42 Huomautus i L R L weakr, sillä jos t >, ii t { x R : fx >t } fx dx }{{} t { x R : fx > t } ja t { x R : fx >t } fx dx t R fx dx t f, jote { x R : fx > t } f t Tästä ähdää myös, että f f ii ei oikeasti ole ormi, sillä se ei toteuta kolmioeäyhtälöä iii Avaruutta L weakr imitetää myös Marcikiewiczi avaruudeksi iv Avaruus L weakr voidaa määritellä myös seuraavalla tavalla: L weakr koostuu mitallisista fuktioista f : R R, joille f : su t { x R : fx > t } t> su t { f > t} < t> Selvästi yo määritelmä o yhtäitävä määritelmä 4 kassa 43 Lause Olkoo f : R R mitallie ja olkoo < Tällöi f: Schwarzi symmetrisaatiolle v : f # ätee [ v ω / r / vr ], missä ω o R : yksikköallo tilavuus su r> 29

32 Todistus Koska v o ei-egatiivie ja allosymmetrie, ii v su t {v > t} t> su t {v t} t> su vr {v vr} r> Edellee, koska v o väheevä muuttuja ituude suhtee, ii {v vr} r-säteise allo mitta r ω, jote v su r> vrr ω ω / [ su r / vr ] r> 44 Lause Olkoo f : R R mitallie ja < Tällöi f f # Todistus samat Väite seuraa suoraa siitä, että f: ja f # : distribuutiofuktiot ovat 3

33 5 Sobolevi eäyhtälö aras vakio Tässä luvussa esitety todistukse idea o eräisi lähteestä Alvio [, s ] Lisäksi ole käyttäyt lähdettä Ewig [3, s 55 58] Palautetaa mielee Sobolevi eäyhtälö 5 Lause Sobolevi eäyhtälö Ku < <, o olemassa vakio S, > site, että 5 S, u L u L kaikille u W, R, missä Tämä luvu äätarkoituksea o osoittaa, että kaavassa 5 esiityvä vakio S, aras arvo o 52 π 2 / / / / / / missä Γ o yleisesti tuettu Gamma-fuktio: Γ : ], [ R : α Siis 52 o fuktioaali ], [ F u u L u L ifimum Itse asiassa ifimum saavutetaa, ku 53 ux e x x α dx h + k x / /, Γ Γ ΓΓ 2 /, missä h ja k ovat ositiivisia vakioita ks Lause 52 sivulla 54 ja se todistus Todistus eteee vaiheittai Esimmäie vaihe koostuu symmetrisaatiorosessista: u korvataa Schwarzi symmetrisaatiolla u #, joka o allosymmetrie ja väheevä x: ituude suhtee Edellee u: ja u # : distribuutiofuktiot ovat samat, jote myös iide L -ormit ovat samat Toisaalta gradieti L -ormi väheee seuraava Pólya Szegö eriaattee ojalla tämä tulos seuraa klassisesta isoerimetrisestä eäyhtälöstä ja todistus löytyy lähteistä Kesava [6, Theorem 23, s 35 37] ja Taleti [2, Lemma, s ]: 54 R u # dx R u dx Näi olle F u F u #, jote etsittäessä arasta vakiota eäyhtälössä 5, voidaa rajoittua tarkastelemaa allosymmetrisiä, ositiivisia ja muuttuja ituude suhtee väheeviä fuktioita 3

34 5 Päätulos Olkoo a > Tarkastellaa seuraavaa -arametrista ekstremaalie ääriarvokäyrie erhettä 55 u ε x u ε x ε / + aε x / / 52 Proositio Fuktioilla 55 o sama L -ormi kaikille ε > : Todistus u ε L a 2π 2 A Olkoo ε > Tällöi u ε L R ε [ + aε x Γ Γ Γ 2 Γ ] R ε [ ] dx ε + aε x { ε t x R : dx, missä R + aε x + aε x > t } dt dx Koska + aε x > t + aε x < t aε x < t aε x < t x < t aε, ja t < ku t >, sekä r-säteise allo mitta o ω r, ii 56 u ε L { ε t x R : x < ε ε ω aε ω a t ω t aε t t t dt t t t dt, 32 dt aε } dt

35 missä 57 ω a π 2 a Γ + π 2 a 2 2 Γ 2 a 2π 2 Γ 2 B Osoitetaa seuraavaksi, että kaava 56 viimeise yhtäsuuruusmerki jälkee esiityvälle itegraalille ätee 58 t t Γ Γ dt Γ Aluksi huomataa, että koska Γα + αγα 59 Γ + Γ Γ Lasketaa seuraavaksi, mitä o Γ Γ + Saadaa Γ Γ + e x x dx e y y dy 5 Sijoituksella saadaa itegraali 5 muotoo e x+y x y dx dy x u 2, y v 2 2u, J 2v 4uv e u2 +v 2 u 2 v 2 4uv du dv, ja edellee sijoituksella u r cos θ, v r si θ, J r π/2 e r2 r 2 cos 2 θ r 2 si 2 θ 4r 2 cos θ si θ r dr dθ π/2 π/2 e r2 r 2 r 2 r 2 cos 2 θ si 2 θ 4r cos θ si θ dr dθ e r2 r 2 cos 2 θ cos 2 θ 4r cos θ si θ dr dθ Tehdää louksi sijoitus z r 2, w cos 2 2r θ, J 4r cos θ si θ, 2 cos θ si θ jolloi 5 Γ Γ + e z z w w dz dw e z z dz w w dw Γ + w w dw 33

36 Koska Γ + Γ, ii jakamalla uolittai Γ:llä seuraa kaavasta 5 kaava 59 avulla kaava 58 Kaavoista 56, 57 ja 58 seuraa väite 53 Proositio Fuktiot 55 toteuttavat eälieaarise osittaisdifferetiaaliyhtälö u ε a u ε, missä u : div u 2 u o -Lalace oeraattori Todistus A Fuktiolle u ε x ε / + aε x / / o isteissä x R \ {} u ε x x i [ ε + aε x [uε x ] ] ε aε x aε x i + aε x 2 aε x aε 2 x i + aε x x 2 x 52 Site [uε x ] aε x a x i x ε aε x }{{} a [ u ε x ] + aε x x i x a [ u ε x ] aε x x i x 2 [u εx] u ε 2 [ ] u ε uε x 2 i x i [ a [ u ε x ] aε x x ] i i x [ a [ u ε x ] ] 2 aε x 2 a 2[ u ε x ] 2 aε x 2 34

37 ja 53 Näi olle missä 54 Siisä i u ε 2 u ε x i [ u ε div u ε 2 u ε x i [ 52 a i [uε x ] εx i i [ i [uε x ] 2 a 2[ u ε x ] 2 aε x 2 a [ u ε x ] aε x x ] i x a [ u ε x ] aε x x i x a [ u ε x ] εx i x i [uε x ] εx i, a [ u ε x ] aε x x i x εx i + [ u ε x ] [ u ε x ] aε x x 2 aε i x + [ u ε x ] ε [ u ε x ] [ aε x aε x + uε x ] ε [ u ε x ] [ aε x + uε x ] ε [ u ε x ] [ aε x + uε x ] ε 55 u ε [ u ε x ] aε x + ε + aε x ε } {{ } ] ε ] u ε a u ε a u ε B Negatiivisella ormi otessilla itää sigulariteettiisteessä käyttää heikkoa tulkitaa: u ε ϕ dx uε 2 u ε ϕ dx kaikille ϕ C R R R 35

38 Olkoo ϕ C R Tällöi uε 2 u ε ϕ dx R 53 R i a i R osit a a [ u ε x ] i a 54 a 55 R u ε ϕ dx R R i [ uε x ] ϕx εx i x i R x i εx i ϕx x i dx dx [uε x ] εx i ϕx dx x i [uε x ] εx i ϕx dx [ u ε x ] ϕx dx R a [ u ε x ] ϕx dx 54 Määritelmä Olkoo F F x, s, ξ C 2 R R R Osittaisdifferetiaaliyhtälö div ξ F x, ux, ux + F x, ux, ux s o fuktioaalia Ju R F x, u, u dx vastaava Euler Lagrage yhtälö 55 Määritelmä Olkoo F F x, s, ξ C R R R Fuktio u W, R toteuttaa fuktioaalia Ju R F x, u, u dx vastaava Euler Lagrage yhtälö heikossa muodossa, jos R F s x, ux, uxϕx + ξf x, ux, ux ϕx dx kaikille ϕ C R 56 Proositio Fuktioaali 56 Ju R u dx a u R missä u, Euler Lagrage yhtälö o vahvassa muodossa u a u 36 dx,

39 ja heikossa muodossa R kaikille ϕ C R Todistus Merkitää a u ϕ dx u 2 u ϕ dx R F x, s, ξ ξ a s, x, s, ξ R R R Tällöi Ju R F x, u, u dx Koska F x, s, ξ s s ξ a s a s s s ja u o ositiivie, ii a s s s F x, ux, Dux a u s Koska F x, s, ξ ξ i ξ i ξ i ξ ξ a s ξ ξ i ξ ξ 2 ξ i, ii ξ F x, ux, Dux u 2 u Näi olle määritelmie 54 ja 55 ojalla väite ätee Huomautus Proositioide 53 ja 56 ojalla fuktiot 55 ratkaisevat siis fuktioaalia 56 vastaava Euler Lagrage yhtälö 57 Proositio Jos u o allosymmetrie fuktio, ii fuktioaalille 56 ätee 57 Ju ω u r dr ω missä ω o R : yksikköallo tilavuus 37 a u r dr,

40 Todistus Naakoordiaattie avulla eli käyttämällä kaavaa fx dx frθ dθ r dr, R S missä S o yksikköallo ita ja S Ju u dx R dθ u r dr S ω u r dr ω a u R dθ ω, saadaa dx a a S dθ u u r dr r dr 58 Proositio Käyrie y u ε r, ε, kuvaajat eittävät koordiaatisto esimmäisestä eljäeksestä osuude, joka o käyrä 58 y alauolella /2 / ar / γ a r, r >, Huomautus Merkitää T :llä ositiiviste koordiaattiakseleide ja käyrä y γ a r rajoittamaa aluetta Todistus A Käyrie y u ε r kuvaajat sijaitsevat selvästi koordiaatisto esimmäisessä eljäeksessä B Osoitetaa, että käyrät y u ε r sijaitsevat käyrä y γ a r alauolella Kiiitetää ε > Tällöi γ a r u ε r /2 ar / ε / / [ / + aεr / ] [ ] / / [ ] / ε, ar + aεr / jote o osoitettava, että kaikille r > o / ar ε + aεr / eli [ ] + aεr aεr Yllä oleva eäyhtälö o tosi, jos fuktiolle [ gx ] + x x 38

41 ätee gx kaikille x > Koska täsmällee silloi ku g x x x x x, x sekä g x x 2 > kaikille x >, ii x g o fuktio g miimikohta Koska [ + } {{ } ii gx kaikille x > Näi olle väite o todistettu, Olkoo yt v C R ei-egatiivie, allosymmetrie ja väheevä muuttuja ituude suhtee Olkoo ks Lause 43 sivulla 29 ja valitaa Tällöi v, : ω / a [ v su r / vr ] r> / v /, 59 Proositio Verhokäyrälle 58 ätee y v, r /, r > Todistus γ a r /2 ar / / /2 / v, r / / v /, / r Huomautus Merkitää γr : v, r / 39

42 5 Proositio vr γr kaikille r > Todistus Kaikille r > o [ γr v, su r / r / vr ] r> r / vr Proositio 58 todistuksesta käy ilmi, että jokaie käyrä y u ε r koskettaa verhokäyrää y γ a r kohdassa r / Siis yllä olevalla a: valialla aε käyrä y u ε r koskettaa verhokäyrää y γr kohdassa r / ε v / /, ε v /, Tämä iste jakaa käyrä y u ε r kahdeksi käyräksi C ε ja C 2 ε Siis fuktioaali 57 ekstremaaleista muodostuu alueesee T kaksi eri kettää Käyräerheet C ε ja C 2 ε ovat ekstremaalie ratoja kahdessa eri ketässä, jotka molemmat o määritelty alueessa T ks Kuva 5 Merkitää, q r, y:llä edellistä ja, q 2 r, y:llä jälkimmäistä Tässä q r, y o ketä se ekstremaali, joka kulkee istee r, y kautta, kulmakerroi isteessä r, y Vastaavasti q 2 r, y o 2 ketä se ekstremaali, joka kulkee istee r, y kautta, kulmakerroi isteessä r, y Kuva 5 4

43 5 Proositio Verhokäyrä y γr koskettaa v: kuvaajaa vähitää yhdessä kohdassa r α > Todistus Koska v C R, ii fuktio r r / vr saavuttaa suurimma arvosa eräässä kohdassa r α > Site tässä kohdassa [ γα v, su α / r / vr ] r> α / [ α / vα ] α / vα Verhokäyrä koskettaa siis v: kuvaajaa vähitää isteessä P α, γα, joka jakaa v: kuvaaja kahdeksi kaareksi Γ, Γ 2 Merkitää C :lla ja C 2 :lla käyräerheide C ε ja C 2 ε iitä kaaria, jotka kulkevat istee P kautta ks Kuvat 52 ja 53 Kuva 52 Asetetaa fr, v, v ω [ ] r v a v 4

44 Tällöi kaava 57 ojalla Jv ω v r dr ω a v a v dr ω r fr, v, v dr α fr, v, v dr + Estimoidaa seuraavaksi J v:tä alhaalta α v r dr 52 Proositio Fuktio f : [, [ [, [ ], ] R : fr, y, ξ ω [ ] r ξ a y o koveksi viimeise muuttuja suhtee fr, v, v dr J v + J 2 v Todistus Kiiitetää r, y ja olkoo gξ fr, y, ξ Kaikille ξ < o ja g ξ ω r ξ ω r ξ g ξ ω r ξ 2 >, jote derivaatta g o kasvava välillä ], [ Koska g o jatkuva välillä ], ], ii Lausee sivulla 3 ojalla g o koveksi välillä ], ] Koska f o koveksi viimeise muuttuja suhtee, ii ja f v r, v, q : f ξ r, v, q fr, v, v fr, v, q v q ku q < v f v r, v, q fr, v, q fr, v, v q v fr, v, v fr, v, q v q ku q > v, jote aia ätee Er, v, q, v : fr, v, v fr, v, q v q f v r, v, q Huomautus Fuktio E o Weierstrassi ylijäämäfuktio egl Weierstrass excess fuctio Näi olle 59 J v α fr, v, v dr α [ fr, v, q + v q f v r, v, q ] dr 42

45 Kuva 53 Määritellää F : T R 2, F r, v fr, v, q q f v r, v, q, f v r, v, q, missä siis q q r, v o istee r, v kautta kulkeva ketä ekstremaali kulmakerroi isteessä r, v Olkoo ϕ : [, α] R 2 : r r, vr Tällöi fuktio F käyräitegraali olu ϕ suhtee o α α F dϕ F ϕr ϕ r dr F r, v, v dr ϕ 52 α [ fr, v, q + v q f v r, v, q ] dr 53 Proositio Fuktiolle F ätee F 2 F eli r v r f v r, v, q fr, v, q q f v r, v, q v Todistus Jaetaa todistus eljää osaa Merkitöje helottamiseksi merkitää tämä todistukse aja q q A Tarkastellaa ketä ekstremaalie erhettä u ε r ε / + aεr / /, r 43

46 Yhtälö u ε r y määrittelee imlisiittisesti fuktio ε : T R, missä εr, y se yksikäsitteie ε, jolle ketä ekstremaali u ε kulkee istee r, y kautta Kulmakerroifuktiolle q : T R ätee ja qr, y u εr,yr r, y: kautta kulkeva ketä ekstremaali u ε kulmakerroi isteessä r, y 52 qr, u ε r u εr Imlisiittifuktiolausee [9, Lause 54] avulla voidaa osoittaa, että ε o jatkuvasti differetioituva Site q:lla o jatkuvat osittaisderivaatat q r q, q r y q y Derivoimalla 52 saadaa ketjusääö ojalla josta edellee 52: avulla seuraa q r r, u εr + q y r, u εru εr u εr, q r r, u εr + q y r, u εrqr, u ε r u εr Kirjoitetaa tämä hiema lyhyemmillä merkiöillä muotoo q r r, u ε + qr, u ε q y r, u ε u ε B Koska F v fr, v, qr, v qr, vf v r, v, qr, v v ketjusäätö f v r, v, q + f v r, v, qq v q v f v r, v, q + q f v vr, v, q + f v v r, v, qq v f v r, v, q q f v vr, v, q + f v v r, v, qq v ja ii F 2 F r v F 2 r r f ketjusäätö v r, v, qr, v f v rr, v, q + f v v r, v, qq r, täsmällee silloi ku f v r, v, q q f v vr, v, q + f v v r, v, qq v f v rr, v, q + f v v r, v, qq r 44

47 eli 522 f v r, v, q f v rr, v, q + f v vr, v, q q + f v v r, v, qq r + qq v C Osoitetaa seuraavaksi, että 523 f v f v r + f v v u εr + f v v u εr, missä f v f v r, u ε r, u εr, samoi f v r, f v v ja f v v Koska ii Näi olle ja Siisä ja fr, v, v ω [ ] r v a v, f v r, v, v ω r v v v ω r v f v rr, v, v ω r 2 v, f v vr, v, v f v v r, v, v ω r v 2 ω r v 2 f v rr, u ε, u ε + f v vr, u ε, u ε u εr + f v v r, u ε, u εu εr ω r 2 u ε + ω r u ε 2 u εr [ ] ω r 2 u ε r u ε u εr } {{ } :B f v r, u ε, u ε ω [ ] r a u ε ω r 2 r a u ε }{{} :A O siis osoitettava, että A B Koska u εr 52 a [ u ε r ] aεr u εr u εr a ja [ [ uε r ] u εraεr + [ u ε r ] [ [ u ε r ] aaεr 45 aεr + r ], aε ]

48 ii B u ε [ r ] εr u εr u [ u ε r ] aaεr u ε [ r [ u ε [ u ε r ] ] araεr ] r [ a u ε aεr ] uε araεr a [ ] uε aεr uε araεr [ r a u ε u ] ε ε uε araεr A, }{{} :K missä viimeie yhtäsuuruus seuraa siitä, että K u ε [ ε ] uε araεr uε ε aεr ε + aεr Näi olle 523 o voimassa ε aεr + D Olkoo yt r, v T Tällöi löytyy yksikäsitteie ε site, että ketä ekstremaalille u ε ätee u ε r v, jolloi u εr qr, v q Nyt C-kohda ojalla f v r, u ε, u ε f v rr, u ε, u ε + f v vr, u ε, u ε u εr + f v v r, u ε, u εu εr Tämä voidaa kirjoittaa muotoo missä A-kohda ojalla Site saadaa f v r, v, q f v rr, v, q + f v vr, v, q q + f v v r, v, qu ε, u ε q r r, u ε r + qr, u ε rq v r, u ε r q r r, v + qr, vq v r, v f v r, v, q f v rr, v, q + f v vr, v, q q + f v v r, v, qq r + qq v eli kaava 522 o voimassa Siisä B-kohda ojalla todistus o valmis Proositio 53 erusteella ks [, Lauseet 5 ja 8] itegraali 52 o riiumato olu ϕ valiasta Voidaa siis itegroida y-akselia itki käyrä C ja y-akseli leikkausisteesee saakka ja tästä edellee itegroida käyrää C itki isteesee P α, γα saakka ks Kuva 52 sivulla 4 Edellie itegraali o 46

49 olla, sillä y-akselia itki meevä olku o muotoa ηt, t, jolloi η t, ja b [ f, F dη t, fv, t, ] + f v, t, dt η a }{{}}{{} Edellee käyrä C arametriesitys o ϑ : [, α] R 2 : r r, u ε r eräälle ε >, jote itegraali 52 saadaa muotoo 524 ϕ F dϕ ϑ α α F dϑ α F r, u ε r, u εr dr [ fr, uε, u ε u εf v r, u ε, u ε + f v r, u ε, u ε u ε fr, u ε, u ε dr J u ε Yhdistämällä tulokset 59, 52 ja 524 saadaa loulta 525 J v J u ε ] dr Vastaavalla tavalla voidaa arvioida J 2 v:tä Nyt J 2 v α fr, v, v dr α [ fr, v, q2 + v q 2 f v r, v, q 2 ] dr ϕ F dϕ, missä F : T R 2, F r, v fr, v, q 2 q 2 f v r, v, q 2, f v r, v, q 2, ja ϕ : [α, [ R 2 : r r, vr Ku Proositio 53 todistuksessa q korvataa q 2 :lla ja ekstremaalikettä C ε korvataa 2 ekstremaaliketällä C 2 ε, ii saadaa Proositiota 53 vastaava tulos myös F :lle, so F2 F r ϕ dϕ o riiumato olu ϕ valiasta F Site itegraali v Koska v o komaktikatajaie, ii voidaa itegroida käyrää C 2 itki isteesee β, u ε β ja tästä y-akseli suutaista jaaa S β itki x-akselille ja tästä edellee x-akseli suutaisesti äärettömää ks Kuva 53 sivulla 43 Viimeie itegraali o olla Lisäksi, ku β, ii itegraali itki jaaa S β meee ollaa, sillä olu S β arametriesitys o muotoa η : [, u ε β] R 2 : ηt β, u ε β t, jolloi η t, ja η F dη uεβ uεβ uεβ F β, u ε β t, dt f v β, u ε β t, q 2 dt ω β q 2 dt ω β u }{{} εβ u ε β, u ε β 47

50 missä [ β u εβ u ε β β [ uε β ] + β C C }{{} C vakio C β ε + aεβ / β C β a [ u ε β ] aεβ ] u ε β [uε β ] β β C C β ε β aεβ / β, sillä < Käyrä C 2 arametriesitys o ϑ : [α, ] R 2 : r r, u ε r, jote edellä oleva ojalla F dϕ F dϑ F r, u ε r, u εr dr ϕ Näi olle ϑ α 526 J 2 v α α [ fr, uε, u ε u εf v r, u ε, u ε + f v r, u ε, u ε u ε fr, u ε, u ε dr J 2 u ε Yhdistämällä 525 ja 526 saadaa α fr, u ε, u ε dr J 2 u ε 54 Proositio Jv Ju ε, missä ε o kaaria C ja C 2 vastaava ε 55 Proositio Todistus ii R u ε dx a 2π /2 A Koska u ε x x i u ε [ u ε 2 2 [ Γ Γ 2 Γ 2 Γ a [ u ε x ] aε x x i x, a [ u ε x ] ] aε x a [ u ε x ] aε x, 48 a [ u ε x ] ] 2 aε x x 2 i ] dr x 2 i }{{} 2

51 missä aε x Näi olle 527 u ε B Proositio 52 ojalla 528 C Edellee Koska R + aε x + aε x ε ε ε [ u ε x ] a ε [ u ε x ] [ u ε x ] [ uε x ] dx u ε L a 2π 2 R ε [ u ε x ] dx R ε ε R ε [ + aε x ε [ ] dx ε + aε x { ε t 2 x R : + aε x R > t x < Γ Γ Γ 2 Γ ] dx + aε x + aε x t aε > t } dt ja t < ku t >, sekä r-säteise allo mitta o ω r, ii, dx 529 missä 53 R ε [ u ε x ] dx { ε t 2 x R : x < ε ε ω aε ω a ω a a t 2 ω t aε t t t 2 dt t t 2 t dt, π 2 Γ + 2 a dt π 2 2 Γ 2 aε } dt a 2π 2 Γ 2 49

52 Osoitetaa seuraavaksi, että 53 Γ t 2 t Γ + dt Γ Aluksi huomataa, että koska Γα + αγα 532 Γ + ja Γ Γ 533 Γ Γ + Γ Γ Lasketaa seuraavaksi, mitä o Γ Γ + Saadaa Γ Γ + e x x 2 dx e y y dy 534 Sijoituksella saadaa itegraali 534 muotoo e x+y x 2 y dx dy x u 2, y v 2 2u, J 2v 4uv e u2 +v 2 u 2 2 v 2 4uv du dv, ja edellee sijoituksella u r cos θ, v r si θ, J r π/2 e r2 r 2 cos 2 θ 2 r 2 si 2 θ 4r 2 cos θ si θ r dr dθ π/2 π/2 e r2 r 2 2 r 2 r 2 cos 2 θ 2 si 2 θ 4r cos θ si θ dr dθ e r2 r 2 cos 2 θ 2 cos 2 θ 4r cos θ si θ dr dθ Tehdää louksi sijoitus z r 2, w cos 2 2r θ, J 4r cos θ si θ, 2 cos θ si θ jolloi 535 Γ Γ + e z z w 2 w dz dw e z z dz w 2 w dw Γ w 2 w dw 5

53 Ku kaava 535 jaetaa uolittai Γ:llä, saadaa kaava 53 Nyt kaavoje ojalla 536 R ε [ u ε x ] dx a 2π 2 Γ Γ Γ + Γ 2 a 2π 2 Γ Γ Γ Γ 2 Γ a 2π 2 Γ Γ 2 Γ D Yhdistämällä kaavat 527, 528 ja 536 saadaa loulta u ε dx a ε [ u ε x ] [ dx uε x ] dx R R R a a 2π /2 Γ Γ [ Γ ], 2 Γ }{{} :C missä Näi olle C 56 Seuraus Todistus [ ] R u ε dx a 2π /2 2 Γ Γ 2 Γ 2 Γ Ju ε a /2 Γ Γ 2π 2 Γ 2 Γ Koska R Ju ε u ε dx a u ε R missä Proositio 52 ojalla a u ε R dx ii Proositio 55 ojalla väite seuraa a a 2π /2 a 2π /2 2 Γ dx, Γ Γ Γ 2 Γ Γ Γ, 2 Γ 5

54 57 Seuraus R v dx a v + L a /2 Γ Γ 2π 2 Γ 2 Γ Todistus Proositio 54 mukaa Jv Ju ε eli Jv Ju ε, jote R v dx a mistä Seuraukse 56 avulla saadaa väite v + Ju L ε, 58 Lemma Jos v C R ja < <, ii missä ja Todistus Koska v 2 /, v A, v + B, v,, A, B, 2π /2 a / Γ / v /, Γ Γ Γ 2 ii kertomalla Seuraukse 57 eäyhtälö uolittai v 2 /, :llä, saadaa missä ja v 2 /, v A, v + B, v,, A, v 2 /, / B, v 2, v, 2π /2 v v 2 /, 2, } {{ } 2π /2 Γ / v /, v 2 /, v /, 2 Γ Γ 2 Γ 52, /2 Γ 2π 2 Γ Γ Γ 2 Γ Γ Γ 2 Γ

55 59 Lause Jos v W, R ja < <, ii 537 v 2 /, v A, v + B, v,, missä ja A, B, 2π /2 Γ / Γ Γ Todistus Seuraa edellisestä lemmasta ja siitä, että C R W, R o tiheä ks Lause 9 sivulla 4 Γ 2 52 Sobolevi eäyhtälö Eäyhtälö 537 voidaa ähdä Sobolevi eäyhtälö yleistykseä Siitä saadaa johdettua Sobolevi eäyhtälö 5 jakamalla v 2 /, :llä ja miimoimalla oikea uoli v, : suhtee 52 Lemma Olkoo A, B ja y > Fuktio f : ], [ R, fx saavuttaa ieimmä arvosa kohdassa x [ x 2 / Ay + Bx ], / B y A Todistus Koska fx Ay x 2 + Bx 2 Ay x 2 + Bx, ii f x Ay 2 x 2 + Bx x B Ay x täsmällee silloi ku Ay x B eli x B Ay / / B y A Lisäksi kaikille x > o f 2 2 x Ay x B x 2 >, jote väite o todistettu 53

56 52 Lause Sobolevi eäyhtälö aras vakio Ku < <, ii o olemassa vakio S, > site, että 538 S, v L v L kaikille v W, R, missä Vakio S, aras arvo o 539 π 2 / / / / / / Γ Γ ΓΓ 2 / Todistus A Olkoo v W, R ja v Eäyhtälöstä 537 saadaa jakamalla uolittai v 2 /, :lla v [ v 2 / A, v + B, v, ], Lemma 52 ojalla tästä edellee seuraa v / B, A, + B, / B, v 2 / A, / B, A, A, 2 / v A, v / B, A, A, v + v Ottamalla :et juuret uolittai saadaa v / / B, 54 v A, / v A, }{{} :S, Lausee 59 ojalla B, A, 2π /2 2π /2 / Γ A, v Γ Γ / Γ 2 Γ Γ Γ, 2 Γ 54

57 jote eäyhtälössä 54 esiityvä vakio S, saadaa muotoo / S, 2 / π /2 / / Γ / Γ Γ Γ 2 / π 2 / / / / / / Γ Γ ΓΓ 2 Siisä eäyhtälö 538 o todistettu ja lisäksi o osoitettu, että vakio S, aras arvo o suuremi tai yhtäsuuri kui 539 B Osoitetaa vielä, vakio S, aras arvo o täsmällee 539, so että 539 o fuktioaali F u u L u L ifimum Kohda A ojalla 539 o F : alaraja, jote riittää osoittaa, että F saavuttaa arvo 539, ku ux ε / + aε x / /, a, ε > / Proositio 55 ojalla u R u dx a 2π /2 Γ Γ 2 Γ, 2 Γ jote u a / 2 / /2 / / π / 2/ Γ / Γ Γ 2 Γ Proositio 52 ojalla jote u a 2π 2 Γ Γ Γ, 2 Γ u a / 2 / π /2 Γ Γ Γ Γ 2 55

58 Näi olle u a /+/ 2 / / π /2 /2 u / / Γ Γ / 2/ Γ Γ a 2 / π /2 / / / / / 2 Γ Γ Γ Γ 2 π 2 / / / / / / Γ Γ ΓΓ 2 / / 56

59 Lähdeluettelo [] Alvio, A, Calculus of Variatios O a Sobolev-tye iequality, Red Licei Mat Al 2 29, [2] Evas, L C, Partial Differetial Equatios, America Mathematical Society, Providece, RI, 998 [3] Ewig, G M, Calculus of Variatios with Alicatios, Dover, 985 [4] Holoaie, I, Reaaliaalyysi I, Helsigi ylioisto, 24 Elektroie luetomoiste osoitteessa htt://wwwhelsikifi/~iholoai/rea2df luettu [5] Juutie, P, Variaatiolasketa, Jyväskylä ylioisto, 25 Elektroie luetomoiste osoitteessa htt://usersjyufi/~eaju/vllueotdf luettu [6] Kesava, S, Symmetrizatio & Alicatios, World Scietific, 26 Luku elektroisea osoitteessa htt://wwwworldscibookscom/etextbook/67/ 67_chadf luettu [7] Kileläie, T, Sobolev avaruudet, Jyväskylä ylioisto, 27 Elektroie luetomoiste osoitteessa htt://usersjyufi/~terok/oetus/sobolev/ sobolevdf luettu [8] Kiue, J, Moderi reaaliaalyysi, Aalto-ylioisto, 2 Elektroie luetomoiste osoitteessa htt://ccoulufi/~hasto/teach/mra/moderaal df luettu [9] Purmoe, V T, Differetiaalilasketaa euklidisissa avaruuksissa, Jyväskylä ylioisto, 997 [] Purmoe, V T, Itegraalilasketaa, Jyväskylä ylioisto, 997 [] Purmoe, V T, Mitta- ja itegraaliteoriaa, Jyväskylä ylioisto, 997 [2] Taleti, G, Best Costat i Sobolev Iequality, A Mat Pura Al 4 976, [3] Ziemer, W P, Weakly Differetiable Fuctios: Sobolev Saces ad Fuctios of Bouded Variatio, Sriger-Verlag,