MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

Transkriptio

1 MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

2 Motivaatio Seuraavaksi tutkitaan ketjusäännön d dx f ( g(x) ) = f ( g(x) ) g (x) yleistämistä usean muuttujan funktioille. Ketjusääntö liittyy suoraan myös moniin käytännön sovelluksiin. Esimerkiksi voidaan ajatella suuretta, joka riippuu useasta eri muuttujasta, ja tarkastella sen muutosta yhden muuttujan arvon (mahdollisesti epälineaarisissa) muutoksissa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

3 Esimerkki 1 1/2 Retkeilijä liikkuu karttaa käyttäen mäkisessä maastossa. Olkoon (x, y) retkeilijän paikka kartalla ja z = f (x, y) kulloinenkin korkeus meren pinnasta. Olkoon r(t) = ( u(t), v(t) ) retkeilijän paikka kartalla hetkellä t. Retkeilijän paikan korkeus eli etäisuus meren pinnan tasosta hetkellä t on siis yhdistetty funktio z = f ( u(t), v(t) ) = g(t). Kuinka nopeasti retkelijän paikan korkeus muuttuu ajan kuluessa? Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

4 Esimerkki 1 2/2 Ilmeisestikin vastaus kysymykseen on funktion g(t) derivaatta. Lasketaan: g(t + h) g(t) f (u(t + h), v(t + h)) f (u(t), v(t)) lim = lim h 0 h h 0 h f (u(t + h), v(t + h)) f (u(t), v(t + h)) = lim h 0 h f (u(t), v(t + h)) f (u(t), v(t)) + lim h 0 h Yhden muuttujan ketjusäännön perusteella g (t) = f 1 ( u(t), v(t) ) u (t) + f 2 ( u(t), v(t) ) v (t). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

5 Ketjusäännöt Olkoon z muuttujien x, y jatkuvasti derivoituva funktio (eli funktio, jolla on jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat). Jos x, y ovat muuttujan t jatkuvasti derivoituvia funktioita, niin dz dt = z dx x dt + z dy y dt. Jos x, y ovat kahden muuttujan s, t jatkuvasti derivoituvia funktioita, niin z s = z x x s + z y y s ja z t = z x x t + z y y t. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

6 Huomautus (matriisimuoto) Edelliset kaavat voidaan kirjoittaa matriisimuodossa [ z s ] [ z t = z x z y ] [ x s y s x t y t Tämä esitystapa liittyy läheisesti myöhemmin esiteltävään Jacobin matriisiin. Matriisimuodosta voidaan myös helposti nähdä, miten kahdelle muuttujalle johdettu kaava yleistyy useamman muuttujan tapaukseen. ]. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

7 Esimerkki 2 1/2 Olkoon f : R 2 R jatkuvasti derivoituva. Etsitään Saadaan x f (x2 y, x + 2y) ja y f (x2 y, x + 2y). x f (x2 y, x + 2y) = f 1 (x 2 y, x + 2y) x (x2 y) +f 2 (x 2 y, x + 2y) (x + 2y) x = 2xyf 1 (x 2 y, x + 2y) + f 2 (x 2 y, x + 2y). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

8 Esimerkki 2 2/2 Vastaavasti voidaan laskea y f (x2 y, x + 2y) = f 1 (x 2 y, x + 2y) y (x2 y) +f 2 (x 2 y, x + 2y) (x + 2y) y = x 2 f 1 (x 2 y, x + 2y) + 2f 2 (x 2 y, x + 2y). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

9 Esimerkki 3 1/3 Lämpötila ilmakehässä ( C) riippuu paikasta (x, y, z) sekä ajasta t. Mallinnetaan lämpötilaa näistä parametreista riippuvana funktiona T (x, y, z, t). (a) Jos funktio T esittää sääpalloon liitetyn lämpömittarin mittaamaa lämpotilaa, määritetään T :n muutos ajan suhteen. (b) Määritetään lämpötilan muutos hetkellä t = 1, kun T (x, y, z, t) = xy (1 + t), 1 + z ja sääpallo etenee reittiä r(t) = (t, 2t, t t 2 ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

10 Esimerkki 3 2/3 (a) Koska lämpömittarin lukeman muutos riippuu kaikista neljästä parametrista, mitään niistä ei voida jättää huomiotta Lämpötilan muutoksen kaavaksi saadaan siten dt dt = T dx x dt + T dy y dt + T dz z dt + T t. (b) Koordinaattifunktioiden arvot hetkellä t = 1 ovat x = 1, y = 2 ja z = 0. Koordinaattifunktioiden derivaattojen arvot hetkellä t = 1 ovat dx dt = 1, dy dt = 2 ja dz dt = 1. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

11 Esimerkki 3 3/3 Siten hetkellä t = 1 saadaan Näin ollen, T x = T z = dt dt y 1 + z (1 + t) = 4, T y = xy (1 + z) 2 (1 + t) = 4, T t = x (1 + t) = 2, 1 + z xy 1 + z = 2. = ( 4) ( 1) + 2 = 14. t=1 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

12 Lineaariset approksimaatiot Yksiulotteisessa tapauksessa muotoa y = f (x) olevan funktion kuvaajan tangenttisuora L(x) pisteessä a saadaan kaavasta L(x) = f (a) + f (a)(x a). Tangenttisuoran lauseke antaa myös tavan approksimoida funktiota f pisteen a lähellä: f (x) L(x). Tapauksessa n = 2 saadaan funktiota f (x, y) approksimoiva tangenttitaso L(x, y), joka voidaan laskea osoittaisderivaattojen avulla kaavasta f (x, y) L(x, y) = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

13 Esimerkki 4 1/2 Etsitään approksimaatio funktiolle pisteessä (2.2, 0.2). f (x, y) = 2x 2 + e 2y Approksimaation löytämiseksi on käytännöllistä linearisoida funktio pisteessä (2, 0). Aluksi saadaan f (2, 0) = 3. Funktion osittaisderivaatat ovat f 1 (x, y) = 2x 2x 2 + e 2y, f 1(2, 0) = 4 3. f 2 (x, y) = e 2y 2x 2 + e 2y, f 2(2, 0) = 1 3. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

14 Esimerkki 4 2/2 Siten L(x, y) = (x 2) + 1 (y 0). 3 Haluttu approksimaatio siis on f (2.2, 0.2) L(2.2, 0.2) = (2.2 2) + 1 ( 0.2 0) = Vertailun vuoksi funktion f (x, y) todellinen arvo pisteessä (2.2, 0.2) on noin Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

15 Huomautuksia Toisin kuin yksiulotteisessa tapauksessa pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo ei riitä takaamaan edes funktion f (x, y) jatkuvuutta. Esim. Esim. { 0, kun x = 0 tai y = 0, f (x, y) = 1, muuten. f (x, y) = { 2xy x 2 + y 2, kun x 2 + y 2 > 0, 0, kun (x, y) = (0, 0). Siksi tilannetta on tarpeen analysoida tarkemmin. Halutaan ehto, joka kertoo milloin tangenttitaso L(x, y) on mielekäs approksimaatio funktiolle f (x, y) pisteen (a, b) lähellä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

16 Differentioituvuus Lause Funktiota f (x, y) sanotaan differentioituvaksi pisteessä (a, b), jos f (a + h, b + k) f (a, b) h f 1 (a, b) k f 2 (a, b) lim = 0. (h,k) (0,0) h 2 + k 2 Saadaan seuraava tulos: Jos f 1, f 2 ovat jatkuvia jossakin pisteen (a, b) ympäristössä, niin f on differentioituva pisteessä (a, b). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17

17 Esimerkki 5 Lasketaan virhetermi f (x + h, y + k) f (x, y) h f 1 (x, y) k f 2 (x, y), kun f (x, y) = x 3 + xy 2. Osittaisderivaatoiksi saadaan f 1 (x, y) = 3x 2 + y 2 ja f 2 (x, y) = 2xy. Saadaan f (x + h, y + k) f (x, y) h f 1 (x, y) k f 2 (x, y) = (x + h) 3 + (x + h)(y + k) 2 x 3 xy 2 (3x 2 + y 2 )h 2xyk = 3xh 2 + h 3 + 2yhk + hk 2 + xk 2. Lausekeen h/k-termit lähestyvät nollaa samalla nopeudella kuin h 2 + k 2, kun (h, k) 0, joten differentioituvuuden määritelmä selvästi toteutuu. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy / 17