u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;"

Transkriptio

1 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun tarkasteltava kappale on rajoitettu, esimerkiksi väli a x b, voidaan siirron x x a avulla yhtälö siirtää x-akselin välillä [, c]. Venytyksen x xπ/c avulla tarkasteltavan x-akselin välin voidaan olettaa olevan [, π] ( u(xπ/c, t) = (π /c ) u(xπ/c, t); kerroin γ siis muuttuu). x x Lämpötilajakauman määräämiseksi tarvitaan lämmönjohtumisyhtälön lisäksi seuraavaa tietoa: a) Mitä tapahtuu sauvan päissä t.s. välin [, π] päätepisteissä? Esimerkiksi seuraavankaltaiset ehdot voidaan asettaa: u(, t) = kaikille t > : lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = ; u (, t) = kaikille t > : lämpövuo pisteessä x = on nolla eli sauvan pää x = on eristetty. b) Millainen on sauvan lämpöjakauma alkuhetkellä t =? Oletetaan, että sauvan lämpöjakauman hetkellä t = määrää funktio f. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan alkuarvo- reuna-arvotehtävän ratkaisu u = u(x, t): (3.1) (3.) (3.3) u t = u γ alueessa Q = (, π) (, ), x u(, t) = u(π, t) = kaikille t >, ja u(x, ) = f(x) kaikille x (, π). Käytetään apuna muuttujien erottamis- eli separointimenetelmää: sijoittamalla yrite u(x, t) = V (x)w (t) yhtälöön (3.1) saadaan yhtälö 1 W (t) γ W (t) = V (x) V (x) Tarkastellaan aluksi paikkariippuvaa yhtälöä V (x) = λv (x). = vakio = λ. Funktiolle u asetettujen reunaehtojen (3.) nojalla funktion V pitää toteuttaa ehdot V () = V (π) =. Nollasta eroavia, reunaehdot toteuttavia ratkaisuja on olemassa vain, jos λ = λ k = k ja k Z +. (HT: totea, että jos λ, niin ainoa ratkaisu on V.) Ratkaisut ovat tällöin V (x) = V k (x) = sin(kx). Aikariipuvan yhtälön ratkaisuksi saadaan nyt W (t) = e γ k t. Yhtälön ja reunaehtojen lineaarisuuden ja homogeenisuuden takia myös jokainen lineaarikombinaatio u n (x, t) = a k sin(kx) e γ k t, 6 Viimeksi muutettu

2 4. FOURIER N SARJOISTA 16 missä n Z + ja a 1,...,a n R, toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön (3.1) ja reunaehdot (3.). Alkuehdon (3.3) toteutumiseksi tulisi olla u n (x, ) = a k sin(kx) = f(x). Tämä ehto toteutuu vain harvoille funktioille f. Jotta alkuehto (3.3) toteutuisi helpommin, tarkastellaan voidaanko raja-arvona lim n u n (x, t) = u(x, t) saada funktio, joka toteuttaisi lämmönjohtumisyhtälön (3.1), reunaehdot (3.) ja ehdon u(x, ) = a k sin(kx) = f(x). Tämän ongelman ratkaisemiseksi tarkastelemme hieman Fourier n sarjojen teoriaa. 4. Fourier n sarjoista Määritelmä 4.1. Olkoot f, g : [, π] R jatkuvia funktioita. Asetetaan (f g) = f(x)g(x) dx, funktioiden f ja g sisätulo. Lisäksi asetetaan f = (f f) = f(x) dx, funktion f L -normi. Määritelmä 4.. Funktiot f ja g ovat ortogonaaliset (tai kohtisuorassa toisiaan vastaan), jos (f g) =. Joukko {g j j J} jatkuvia funktioita g j : [, π] R on ortogonaalinen, jos kaikille j, i J, missä j i, funktiot g j ja g i ovat ortogonaaliset. Joukko {g j j J} on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja g j = 1 kaikille j J. Lause 4.3. Sisätulolla ja normilla on seuraavat ominaisuudet: Kun f, g, h: [, π] R ovat jatkuvia funktioita ja a, b R, on (i) (g f) = (f g) (symmetrisyys); (ii) (af +bh g) = a (f g)+b (h g) (lineaarisuus ensimmäisen muuttujan suhteen); (iii) (f g) f g (Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö); (iv) af = a f (positiivihomogeenisuus); (v) f + g f + g (kolmioepäyhtälö); (vi) f ja f = vain, kun f = (definiittisyys). Lause 4.4. Olkoot kun k Z +. f (x) = 1, f k (x) = cos kx, f k 1 (x) = sin kx,

3 Tällöin joukko {f k n N} on ortogonaalinen. 4. FOURIER N SARJOISTA 17 Todistus. Väite saadaan suoraan integroimalla seuraavien trigonometristen identiteettien avulla: cos a cos b = 1 ( cos(a + b) + cos(a b) ), sin a sin b = 1 ( cos(a b) cos(a + b) ), sin a cos b = 1 ( sin(a + b) + sin(a b) ). Kun k Z, k, on cos(kx) dx = π k 1 sin(kx) =, ja sin(kx) dx = Olkoon n > m >. Tällöin ( ) (f n f m ) = 1 cos(nx + mx) + cos(nx mx) dx = (f n 1 f m 1 ) = 1 (f n 1 f m ) = 1 (f n f n ) = 1 (f n 1 f n 1 ) = 1 (f f m ) = (f f m 1 ) = (f f ) = Erityisesti, funktiot ( cos(nx mx) cos(nx + mx) ) dx = ( sin(nx mx) + sin(nx + mx) ) dx = ( ) π cos(nx + nx) + cos(nx nx) dx = 1 ( cos(nx nx) cos(nx + nx) ) dx = 1 cos(nx) dx = sin(nx) dx = 1 dx = π π k 1 ( cos(kx)) =. e (x) = 1 π, e n (x) = 1 π cos nx, e n 1 (x) = 1 π sin nx, kun n Z +, muodostavat ortonormeeratun joukon. Määritelmä 4.5. Trigonometrinen polynomi on muotoa ( s(x) = α + αk cos kx + β k sin kx ), missä n Z +, α,..., α n R, β 1,..., β n R, oleva funktio. 1 dx = π 1 dx = π

4 4. FOURIER N SARJOISTA 18 Määritelmä 4.6. Olkoon f : [, π] R jatkuva funktio. Lukuja a k, k N, ja b k, k Z +, a k = 1 π f(x) cos(kx) dx, b k = 1 π f(x) sin(kx) dx, kutsutaan funktion f Fourier n kertoimiksi. Kun luvut a k ja b k ovat funktion f Fourier n kertoimet, merkitään f(x) a + ( ak cos kx + b k sin kx ). Oikealla esiintyvää sarjaa kutsutaan funktion f Fourier n sarjaksi. Sinin parittomuudesta seuraa, että parittoman funktion f (t.s. f( x) = f(x)) Fourier n kertoimet a k =, joten parittoman funktion f Fourier n sarja on sinisarja f(x) b k sin kx. Vastaavasti kosinin parillisuudesta seuraa, että parillisen funktion f (t.s. f( x) = f(x)) Fourier n kertoimet b k =, joten parillisen funktion f Fourier n sarja on kosinisarja f(x) a + a k cos kx. Lemma 4.7. Olkoot f : [, π] R jatkuva funktio sekä e, e 1, e,... edellä määritelty ortonormaali funktiojono. Tällöin f (f e k )e k = f (f e k ). Lisäksi kaikille λ,..., λ n R on voimasssa f λ k e k = f (f e k )e k + Todistus. Suoraan laskemalla: ( f (f e k )e k = f ((f e k ) λ k ). ) (f e k )e k f (f e j )e j = (f f) + j= (f e j )(f e j ) j= (f e k )(f e j )(e k e j ) j, = f (f e k ). (f e k )(e k f)

5 4. FOURIER N SARJOISTA 19 Jälkimmäistä väitettä varten merkitään c k = (f e k ). Tällöin f λ k e k = f λ k (f e k ) λ k (e k f) + Toisaalta, Siis (c k λ k ) = f = f λ k c k c k λ k c k + c k λ k λ k e k = f + λ k c k + (c k λ k ) joten väite seuraa ensiksi todistetusta kaavasta. λ k c k, Huomautus 4.8. Funktion f Fourier n sarjan avulla funktiolle f saadaan paras mahdollinen approksimaatio L -normin mielessä; kaikkien, enintään astetta n olevien trigonometristen polynomien n λ ke k joukossa polynomi n (f e k)e k minimoi normin f n λ ke k : f λ k e k = f (f e k )e k + ((f e k ) λ k ) f (f e k )e k. Seuraus 4.9 (Besselin epäyhtälö). Olkoot a k, b k jatkuvan funktion f : [, π] R Fourier n kertoimet. Tällöin π ( a + π a k + bk) = (f e k ) f. joten Todistus. Edellisen lemman nojalla kaikille n Z + on voimassa f (f e k ) = f (f e k )e k, (f e k ) f. Epäyhtälö seuraa, kun n. Yhtäsuuruus saadaan, kun muistetaan, että a k = 1 π (f e k ), b k = 1 π (f e k 1 ), kun k >, ja a = λ k λ k π (f e ). Lemma 4.1. Olkoon f : R R jatkuvasti derivoituva, π-jaksoinen funktio. Tällöin derivaatan f Fourier n kertoimet a k ja b k ovat a =, a k = k b k, b k = k a k.

6 4. FOURIER N SARJOISTA Todistus. Kun k >, saadaan osittaisintegroinnilla πa k = f (x) cos(kx) dx = π π cos(kx) + f(x)k sin(kx) dx = πkb k. f(x) Jälkimmäinen väite seuraa vastaavasti. Lause Olkoon f : R R jatkuvasti derivoituva, π-jaksoinen funktio. Tällöin f:n Fourier n sarja suppenee tasaisesti ja sen summa on f(x). Todistus. Olkoon s n funktion f Fourier n sarjan n. osasumma, t.s. s n (x) := a + ( ak cos kx + b k sin kx ). Edellisestä lemmasta seuraa, että derivaatan f Fourier n sarja on ( f (x) kak sin kx + kb k cos kx ), joten f :n Fourier n sarjan n. osasumma on s n. Funktioiden e k ortogonaalisuusominaisuudesta saadaan ( ) s n = (s n s n) = π k a k + k b k. Besselin epäyhtälön nojalla on s n f, joten ( ) π k a k + k b k f. Siis positiiviterminen sarja ( k a k + k bk) suppenee. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nojalla ( ak + b k ) 1 ( = kak + kb k ) ( 1 ) 1/( ( k a k k k + k bk) ) 1/ Koska yliharmoninen sarja 1 suppenee, seuraa edellisestä, että positiiviterminen sarja k ( ak + b k ) suppenee. Weierstrassin M-testin perusteella Fourier n sarja g(x) := a + ( ak cos kx + b k sin kx ) suppenee tasaisesti. Sen summa g on tällöin jatkuva funktio. Koska funktion g Fourier n sarja suppenee tasaisesti, voidaan g:n Fourier n kertoimet laskea integroimalla sarja termeittäin. Ortogonaalisuusominaisuuksien nojalla kertoimet ovat juuri a k ja b k. Siis funktioiden f ja g Fourier n kertoimet ovat keskenään yhtäsuuret. Väite seuraa, josta tästä ehdosta voidaan osoittaa seuraavan f = g. Tätä varten tarvitaan kuitenkin yksi aputulos. Lause 4.1 (Weierstrassin approksimointilause). Olkoot f : R R jatkuva, πjaksoinen funktio ja ε >. Tällöin on olemassa trigonometrinen polynomi s siten, että f(x) s(x) ε kaikille x R.

7 4. FOURIER N SARJOISTA 1 Todistus. Löytyy esimerkiksi kirjoista [8], [1], [], [31], [8]. Lauseen 4.11 todistuksen loppuosa. Riittää osoittaa, että jos f on jatkuva, π-jaksoinen funktio, jolle (f e n ) = kaikille n N, niin f =. Ehdosta (f e n ) = kaikille n N seuraa, että (f s) = kaikille trigonometrisille polynomeille s. Weierstrassin approksimointilauseen nojalla on olemassa jono trigonometrisia polynomeja (s j ) j=1 siten, että s j f tasaisesti, kun j (valitse ε = 1/j ja s j = vastaava s). Tällöin (f s j ) = kaikille j Z +. Toisaalta, (f s j ) = f(x)s j(x) dx f(x)f(x) dx = (f f), kun j. Siis (f f) = eli f(x)f(x) dx =. Koska f on jatkuva, on f =. Lause 4.13 (Parseval). Ainakin jatkuvasti derivoituvien, π-jaksoisten funktioiden f ja f : R R Fourier n kertoimille a k, b k ja ã k, b k on voimassa π a ( ) ã + π ak ã k + b k bk = (f e k ) ( f e k ) = (f f). Huomautus Lukujonojen käyttäytymistä kuvataan usein ns. Landaun O- symbolin avulla. Olkoot (c k ) ja (d k) annettuja lukujonoja. Merkitään c k = O(d k ), kun k, jos on olemassa vakiot M R ja K Z + siten, että c k M d k, kun k K. Jatkuvan funktion Fourier n kertoimien jonot (a k ) ja (b k) ovat rajoitettuja, a k = O(1) ja b k = O(1) (esimerkiksi a k 1 π f(x) cos(kx) dx 1 π f(x) dx). π π Käyttämällä lausetta 4.1 toistuvasti, saadaan: Jos f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, niin a k = O(k l ) ja b k = O(k l ). Käyttämällä samankaltaista menettelyä kuin lauseen 4.11 todistuksessa, saadaan osittain käänteinen tulos: Jos f:n Fourier n kertoimille on voimassa a k = O(k s ) ja b k = O(k s ), missä s >, niin f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, missä l = s, jos s on kokonaisluku, ja l = s 1, jos s ei ole kokonaisluku. Erityisen kaunis yhteys saadaan C -funktioiden ja nopeasti vähenevien jonojen välille: π-jaksoisen funktion f : R R, jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat, Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä eli toteuttavat kaikille s Z + on a k = O(k s ) ja b k = O(k s ). Kääntäen, jos π-jaksoisen funktion f : R R Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä, niin f on C -funktio.

8 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 5. Lämmönjohtumisyhtälö: ratkaisun yksikäsitteisyys Olkoot a, b R siten, että a < b, ja τ >. Merkitään Q = (a, b) (, τ). Olkoon Γ se reunan Q osa, joka saadaan, kun reunasta poistetaan [a, b] {τ}, t.s. Γ = ([a, b] {}) ({a} [, τ)) ({b} [, τ)). Lause 5.1. Olkoon u = u(x, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u ja u. t x Oletetaan, että (i) u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön u (ii) u(x, t) kaikille (x, t) Γ. Tällöin u(x, t) kaikille (x, t) Q. Todistus. Olkoot ε > siten, että ε < τ, ja Olkoot δ > ja Q ε = (a, b) (, τ ε). v(x, t) = u(x, t) + δt. t = u x, ja Jatkuva funktio v saavuttaa kompaktissa joukossa Q ε pienimmän arvonsa. Olkoon (x, t ) jokin tällainen piste. Osoitetaan, että (x, t ) Γ, t.s. x = a, x = b tai t =. Tehdään antiteesi: a < x < b ja < t τ ε. Funktio x v(x, t ) saavuttaa siis pienimmän arvonsa välin [a, b] sisäpisteessä x, joten v (x x, t ). Tarkastelemalla funktiota t v(x, t) saadaan: Jos t < τ ε, niin v(x t, t ) =. Jos taas t = τ ε, niin v(x t, t ). Siis funktiolle v on v x (x, t ) v t (x, t ). Toisaalta, koska u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, on v v (x, t) x t (x, t) = u u (x, t) (x, t) δ = δ <. x t Antiteesi on siis väärä, ja (x, t ) Γ. Oletuksen mukaan u(x, t) kaikille (x, t) Γ, joten u(x, t ). Nyt kaikille (x, t) Q ε on u(x, t) = v(x, t) δt v(x, t ) δt = u(x, t ) + δ(t t) δ(t t) δt. Koska δ on mielivaltainen, seuraa edellisestä, että u(x, t) kaikille (x, t) Q ε. Koska ε on mielivaltainen, seuraa tästä ja u:n jatkuvuudesta, että u(x, t) kaikille (x, t) Q. Kun edellistä lausetta soveltaan kahden funktion u 1 ja u erotukseen u u 1, saadaan Seuraus 5.. Olkoot u 1 ja u sulkeumassa Q jatkuvia funktioita, joilla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u j ja u j. t x Oletataan, että funktiot u 1 ja u toteuttavat joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön ja u 1 (x, t) u (x, t) kaikille (x, t) Γ. Tällöin u 1 (x, t) u (x, t) kaikille (x, t) Q.

9 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 3 Seurauslauseen 5. nojalla lämmönjohtumisyhtälön ratkaisu u määräytyy yksikäsitteisesti arvoistaan joukossa Γ: Jos u 1 (x, t) = u (x, t) kaikille (x, t) Γ, niin u 1 = u joukossa Q. Tästä ratkaisujen yksikäsitteisyysominaisuudesta puolestaan seuraa, että lämmönjohtumisyhtälölle ns. Dirichlet n reuna-arvotehtävä u t = u alueessa Q = (a, b) (, τ), ja x u(x, ) = f(x) reunalla Q, missä f : Q R on annettu funktio, on ylimäärätty: ratkaisun u arvot määräytyvät reunan osalle [a, b] {τ} niistä arvoista, jotka f määrää jo reunan osalla Γ. Vakiofunktio toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, joten edellisestä seurauksesta saadaan: Jos u toteuttaa lauseen 5.1 oletukset ja niin Soveltamalla tätä vakioihin saadaan m u(x, t) M kaikille (x, t) Γ, m u(x, t) M kaikille (x, t) Q. M = sup{u(x, t) (x, t) Γ} ja m = inf{u(x, t) (x, t) Γ}. Seuraus 5.3 (Maksimiperiaate lämmönjohtumisyhtälölle). Olkoon u = u(x, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u ja u. t x Oletetaan, että u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön. Tällöin u saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa reunan Q osajoukossa Γ. Asetetaan u,q = sup{ u(x, t) (x, t) Q}, u,γ = sup{ u(x, t) (x, t) Γ}. Tällöin u,q on normi joukossa C(Q). Vastaavasti u,γ on normi joukossa C(Γ). Seuraus 5.4. Olkoon u = u(x, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u ja u. t x Oletetaan, että u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön. Tällöin u,q u,γ. Huomautus 5.5. Edelliset päättelyt on suoraan yleistettävissä useampiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön tilanteeseen. Muotoillaan lausetta 5.1 vastaava tulos uudestaan tähän tapaukseen. Olkoot Ω R n rajoitettu alue ja τ >. Merkitään Q = Ω (, τ). Olkoon Γ se reunan Q osa, joka saadaan, kun reunasta poistetaan Ω {τ}, t.s. Γ = (Ω {}) ( Ω [, τ)).

10 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 4 Lause 5.6. Olkoon u = u(x 1,..., x n, t) joukon Q sulkeumassa Q jatkuva funktio, jolla on joukossa Q jatkuvat osittaisderivaatat u,..., u. t x n ja u x 1 Oletetaan, että (i) u toteuttaa joukossa Q lämmönjohtumisyhtälön u t u t = u x 1 (ii) ja u(x, t) kaikille (x, t) Γ. Tällöin u(x, t) kaikille (x, t) Q. + + u, x n = u eli Huomautus 5.7. Olkoot Ω R n alue, Q = Ω (, ), sekä f : Ω R, g : Ω (, ) R ja h: Q R annettuja funktioita. Edellä on tarkasteltu lämmönjohtumisyhtälöön liittyen seuraavan ongelman erikoistapausta: On määrättävä funktio u: Q R (5.1) u u = h(x, t) alueessa Q, t (5.) u(x, t) = g(x, t) kaikille x Ω ja t >, sekä (5.3) u(x, ) = f(x) kaikille x Ω. Tässä (5.) on yhtälöön (5.1) liittyvä reunaehto ja (5.3) vastaavasti alkuehto. Reunaehdon (5.) sijasta muunkinlaisia ehtoja voidaan tarkastella (myöhemmin). Edellisissä yhtälöissä on ollut h ja g (vrt. esimerkiksi tehtävään (3.1) (3.3) ja lauseeseen 5.1). Tehtävää (5.1) (5.3) sanotaan (Hadamardin mielessä) hyvin asetetuksi, jos a) ratkaisu u on olemassa; b) funktio h, reunaehto g ja alkuehto f määräävät ratkaisun yksikäsitteisesti; c) ratkaisu u riippuu jatkuvasti suureista (f, g, h). Tässä ennenkaikkea viimeinen kohta riippuu jatkuvasti jää epämääräiseksi. Edellä yksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön maksimiperiaateen yhteydessä osoitettu normiepäyhtälö pätee myös useampiulotteisessa tapauksessa: u,q u,γ. Tarkastellaan erityisesti yhtälöä (5.1), missä h ja g. Oletetaan, että kahta alkuehtofunktiota f 1 ja f vastaavat ratkauisut u 1 ja u ovat olemassa. Tällöin u 1 u,q f 1 f,γ. Kun tässä f 1 f,γ, niin myös u 1 u,q Ratkaisun olemassaolo. Tarkoitus on osoittaa, että sopivin funktiota f koskevin oletuksin sarja u(x, t) = a k sin(kx) e γ k t toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön (3.1) u t = u γ x alueessa Q = (, π) (, ),

11 reunaehdot (3.) ja alkuehdon (3.3) 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 5 u(, t) = u(π, t) = kaikille t >, u(x, ) = a k sin(kx) = f(x). Oletetaan, että f : [, π] R on jatkuvasti derivoituva ja f() = f(π) = (reunaehtojen vuoksi). Asetetaan f : R R siten, että f on π-jaksoinen ja pariton f:n laajennus, t.s. f( x) = f(x) kaikille x [, π]. Tällöin f on jatkuvasti derivoituva, joten sen Fourier n sarja suppenee kohti funktiota f. Lisäksi, koska f on pariton, on sen Fourier n sarja sinisarja. Erityisesti siis a k sin(kx) = f(x) kaikille x [, π]. Funktion u sarja suppenee joukossa [, π] [, ) tasaisesti, koska a k sin(kx) e γ k t a k <. Funktio u on siis jatkuva joukossa [, π] [, ). Erityisesti u toteuttaa reunaehdot (3.) ja alkuehdon (3.3). Koska kaikille t > ja s Z + on k s e γ k t, kun k, suppenevat myös u:n sarjasta termeittäin derivoimalla saadut sarjat tasaisesti. Tarkemmin: Olkoon t >. Tällöin kaikille t t ja x R on a k sin(kx) ( γ k ) e γ k t a k ( k ) sin(kx) e γ k t a k γ k e γ k t < ja a k k e γ k t <. Tästä seuraa, että u:n sarja voidaan derivoida termeittäin, jolloin derivaatoiksi saadaan u t (x, t) = a k sin(kx) ( γ k ) e γ k t u x (x, t) = a k ( k ) sin(kx) e γ k t. Tästä seuraa, että u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön (3.1). Seurauslauseen 5. nojalla löydetty ratkaisu on yksikäsitteinen. ja

12 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 6 On helppo todeta, että funktiot x sin(kx) ovat ortogonaaliset myös välillä [, π], t.s. silloin, kun funktioiden f ja g sisätulo määritellään kaavalla Siis Funktion f normille on tällöin f = (f g) = f(x)g(x) dx. f(x) dx = π Vastaavasti ratkaisun x u(x, t) normille on u(, t) = u(, t) = π u(x, t) dx = π a k e γ k t π a k. a k e γ k t. a k = f. Tästä seuraa, että ratkaisu u riippuu jatkuvasti myös L -normin mielessä. Edellisestä epäyhtälöstä saadaan vielä tarkempi epäyhtälö u(, t) = π a k e γ k t π t e γ a k = e γt f, joten u(, t) e γt f. Tämä sanoo, että ratkaisu vaimenee nollaan L -normin mielessä varsin nopeasti, kun t. Huomautus 5.8. a) Funktion f Fourier n sarja suppenee varsin väljin oletuksin; jatkuva derivoituvuus on usein liian rajoittava oletus. Fourier n kertoimet c j = (f e j ) = f(x)e j(x) dx voidaan määritellä funktiolle f, joka on Lebesgue-integroituva välillä [, π]. Jos f on lisäksi neliöintegroituva, t.s. jos f on Lebesgue-integroituva, niin f:n Fourier n sarja suppenee L -normin mielessä kohti funktiota f, f (f e j )e j, kun n. j= Myös L -funktion Fourier n kertoimien jono on rajoitettu (itse asiassa Parsevalin kaavan nojalla j= (f e j) = f <, joten kerroinjono suppenee kohti nollaa). b) Olkoon f neliöintegroituva välillä [, π] ja f : R R siten, että f on π-jaksoinen ja pariton laajennus. Olkoot a k funktion f Fourier n kertoimet, jolloin f(x) = a k sin(kx) L -normin mielessä.

13 Kun on kaikille N Z + u(, t) f = π 5. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ: RATKAISUN YKSIKÄSITTEISYYS 7 a k u(x, t) = a k sin(kx) e γ k t ( e γ k t 1 ) = π N a k ( e γ k t 1 ) + π k=n+1 Olkoon ε >. Koska j= a j <, on olemassa N Z + siten, että π ( a k e γ k t 1 ) ε kaikille t >. Kun t +, on k=n+1 π N ( a k e γ k t 1 ). Siis, kun t +, on u(, t) f, joten alkuehto u(x, ) = f(x) toteutuu L -normin mielessä. a k ( e γ k t 1 ). c) Vaikka f ei olisikaan jatkuvasti derivoituva, niin edellä määritellyllä funktiolla u, u(x, t) = a k sin(kx) e γ k t, on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat alueessa R (, ). Tähän kelpaa aiemmmin esitetty todistus. Itse asiassa Fourier n kerroinjonon (a k ) ei tarvitse olla edes rajoitettu. Riittää, että jono kasvaa enintään polynomiaalisesti. Tällä tarkoitetaan, että on olemassa M, d R siten, että a k M k d kaikille k Z +. Tämä ominaisuus on esimerkiksi jaksolllisen distribuution Fourier n kertoimilla.

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0. 6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä . Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Diskreetti derivaatta

Diskreetti derivaatta Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta Susanna Vähämäki Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205 Tiivistelmä: Susanna Vähämäki, Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta,

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista

7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista 7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)

2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2) 3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen

Lisätiedot

Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.

Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä. Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Toispuoleiset raja-arvot

Toispuoleiset raja-arvot Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot