4.3.7 Epäoleellinen integraali

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4.3.7 Epäoleellinen integraali"

Transkriptio

1 Esimerkki (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään integraalissa f(mx)dx A muuttujanvaihto y = Mx. Tätä varten asetetaan kuvaus x = M 1 y =: G(y), missä y M(A), joka on oletusten nojalla kompakti (sillä jatkuva funktio kuvaa kompaktin joukon kompaktiksi). Selvästi G : M(A) A on C 1 -bijektio ja kuvauksen G Jacobin matriisi missä tahansa pisteessä on M 1. Täten A f(mx)dx = M(A) f(mg(y)) det(m 1 ) dy = 1 det(m) M(A) f(y)dy.

2 4.3.7 Epäoleellinen integraali Tähän asti olemme integroineet funktioita vain rajoitettujen joukkojen yli. Määritellään (rajoittamattoma) funktion integraali yli rajoittamattoman joukon samaan tapaan kuin yksiulotteisessa tapauksessa käyttämällä raja-arvoja. Määritelmä Olkoon A R m. Olkoot f : A R sellainen funktio ja K N A, N N vapaasti valittu perhe sellaisia kompakteja joukkoja, että 1. K N on nollajoukko jokaisella N N, 2. K N K N+1 jokaisella N N ja N=1 K N = A, 3. K N f(x)dx on olemassa kaikilla N N. Jos raja-arvo lim f(x)dx N K N on olemassa ja sen arvo ei riipu joukkojen K N valinnasta, niin funktio f on epäoleellisesti integroituva yli joukon A ja funktion f (epäoleellinen) integraali yli joukon A on f(x)dx = lim f(x)dx. (4.3.16) A N K N Jos raja-arvoa (4.3.16) ei ole tai sen arvo riippuu joukkojen K j valinnasta, niin f ei ole epäoleellisesti integroituva yli joukon A.

3 Seuraava lause helpottaa epäoleellisen integroituvuuden tutkimista. Lause (i) Olkoon A ja f kuten määritelmässä Jos f 0 ja raja-arvo (4.3.16) on olemassa yhdellä kompaktien joukkojen perheellä {K N : N N}, niin silloin funktio f on epäoleellisesti integroituva yli joukon A. 2. (ii) Olkoon f, g : A R sellaisia funktioita, että f g ja molemmat funktiot ovat integroituvia samojen A:n kompaktien osajoukkojen yli. Jos g on epäoleellisesti integroituva yli joukon A, niin myös f on epäoleellisesti integroituva yli joukon A. Todistus. Sivuutetaan (katso esim. Zorich, Vladimir A.: Mathematical Analysis II. Springer (2004), s ). Huomautus Epäoleellisen integraalin raja-arvo kirjoitetaan esiin limes-merkintää käyttäen yleensä vain tarvittaessa. Esimerkiksi rajoittamattomien joukkojen yli integroitaessa, kuten yksiulotteisessa integraalissa / e t dt = e t 0 tehdään rajankäyni sijoituksen yhteydessä, eikä limestä ole välttämätöntä kirjoittaa. Seuraavissa esimereissä rajankäynti tehdään asian oppimisen edistämiseksi. 0

4 Esimerkki Laske [1, ) [1, ) x 2 exp( x 1 x 2 )dx 1 dx 2. Ratkaisu: Kyseessä on ei-negatiivinen funktio. Valitaan helpoin mahdollinen jono kasvavia kompakteja joukkoja: [1, N] [1, N], jolloin riittää tarkastella raja-arvoa N ( N ) Fubini lim exp( x 1 x 2 )dx 1 dx 2 = lim x 2 exp( x 1 x 2 )dx 1 dx 2 N N [1,N] [1,N] = lim N 1 N 1 = lim N = exp( 1) 1 exp( Nx 2 ) + exp( x 2 )dx 2 exp( N 2 ) N exp( N) exp( N) N + exp( 1)

5 Esimerkki Tutki, onko funktio f(x) = x 2, x R2, epäoleellisesti integroituva yli joukon R 2. Ratkaisu: Integrandi on ei-negatiivinen, joten riittää tarkastella yhtä kasvavien kompaktien joukkojen perhettä. Valitaan kompakteiksi joukoiksi suljetut origokeskiset pallot B(0, N), missä N N. Lasketaan 1 lim N 1 + x 2dx käyttämällä napakoordinaatteja eli 1 lim N 1 + x 2dx = lim N B(0,N) Fubini = lim N B(0,N) [0,N] [0,2π] N 0 r 1 + r 2dr r 1 + r 2 cos 2 (θ) + r 2 sin 2 (θ) drdθ 2π Täten funktio ei ole epäoleellisesti integroituva yli joukon R 2. 0 dθ = lim N 2π log(1 + N 2 ) = +

6 Kuva 4.8: Kochin lumihiutale Määritelmä Olkoon A R m. Jos (epäoleelinen) intgraali A 1dx on olemassa, niin lukua A 1dx nimitetään joukon A (hyper)tilavuudeksi (pinta-alaksi, kun m = 2). Esimerkki Olkoon A Kochin lumihiutaleen rajaama joukko Lasketaan Kochin lumihiutaleen sisään sulkema pinta-ala epäoleellisen Riemannin integraalin avulla. Valitaan kompakteiksi kasvaviksi joukoiksi iteraatiokäyrän rajaama joukko. Jokaisessa iteraatiossa tämän joukon pinta-ala kasvaa 3 4 N 1 kolmion pinta-alalla, joista kunkin ala on A 0 9 N. Tällöin kokonaisala on A = lim N A 0 + N k=1 3 4 N 1A 0 9 = lim A N N 1 N 3 A 0 k=0 ( ) N 4 = A 0

7

8 Huomautus On syytä huomata, että Kochin lumihiutale ei ole paloittain C 1 -käyrä. Näytetään tämä vastaoletuksen kautta: Oletetaan, että kyseessä on C 1 -käyrä. Arvioidaan Kochin lumihiutaleen kehän pituutta tarkastelemalla N:nen iteraation monitahokkaan kärkipisteiden etäisyyksiä. Koska kyseiset pisteet ovat myös Kochin lumihiutaleen pisteitä, niin selvästi koko Kochin lumihiutaleen pituus on suurempi kuin näiden pisteiden etäisyyksien summa. Toisin sanoen N:nen iteraation monitahokkaan kehän pituus antaa alarajan Kochin hiutaleen kehän pituudelle. Iteratiossa suora taivutetaan tasasivuiseksi kolmioksi, jolloin suoran pituus kasvaa tekijällä 4 3. Täten N + 1 :n iteraation jälkeen kehän pituus on kasvanut tekijällä ( 4 N 3) alkutilanteeseen nähden. Kun N kasvaa rajatta, nähdään että kehän pituuden alaraja kasvaa rajatta. Täten Kochin lumihiutale ei ole C 1 -polun kuvajoukko.

9 4.4 Vektoriarvoisen funktion integraali Seuraavasta määritelmästä on hyötyä esim. todennäköislaskennassa (odotusarvojen laskeminen) sekä vektoriarvoisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ratkottaessa. Määritelmä Olkoon A R m ja f : A R n. Funktio f on (epäoleelisesti) integroituva yli joukon A, jos sen jokainen koordinaattifunktio on (epäoleellisesti ) integroituva yli joukon A. Tällöin vektoria ( ) f(x)dx = f 1 (x)dx,..., f n (x)dx nimitetään funktion f integraaliksi yli joukon A. A A A Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, x 2 2) kaikilla x 1, x 2 R. Silloin ( ) f(x 1, x 2 )dx 1 dx 2 = x 1 x 2 dx 1 dx 2, x 2 2dx 1 dx 2 = [0,2] [0,1] [0,2] [0,1] [0,2] [0,1] ( 1, 2 ). 3

10 4.4.1 Pintaintegraali Tarkastellaan tässä luvussa rajoitettuja C 1 -sileitä pintoja avaruudessa R 2 tai R 3. Palautetaan mieleen, että joukko S R m on C 1 -sileä pinta, jos löytyy sellainen C 1 -funktio F, että S = F 1 ({0}) ja F (x) 0 jokaisella x S. Implisiittifunktiolauseen nojalla löytyy sellaiset avoimet joukot U i R m, että S U i voidaan esittää (mahdollisen koordinaattien uudelleenjärjestämisen jälkeen) C 1 -funktion φ i : V i R m 1 R kuvaajana. Kun Săon kompakti, äärellinen määrä joukkoja U i riittää peittämään koko joukon S. Määritellään ensin, mitä tarkoitetaan yksinkertaisen C 1 -sileän pinnan pinta-alalla. Määritelmä Olkoon S R 3 rajoitettu joukko, V R 2 sellainen rajoitettu avoin joukko, jonka reuna V on nollajoukko, ψ : V R 3 sellainen injektiivinen C 1 -funktio, että (y) (y) 0 kaikilla y V ja S = ψ(v ). Tällöin joukkoa S nimitetään yksinkertaiseksi pinnaksi ja funktiota ψ sen parametriesitykseksi. Yksinkertaisen pinnan pinta-ala on dy. V Huomautus Motivaatio pinta-alan määritelmään on samankaltainen kuin muuttujanvaihdossa. Oletetaan, että R ij V on suorakulmio, jonka mitat ovat hyvin pieniä. Linearisoidaan kuvaus G : y ψ(y) korvaamalla kuvaus sen 1. asteen Taylorin polynomilla G(y + h) G(y) + J G,y h, missä y R ij.

11 Kuvauksen G : y ψ(y) Jacobin matriisi on 3 2-matriisi 1 y 1 (y) 1 (y) J G,y = 1 (y) 2 (y) 3 (y) 3 (y) Lasketaan joukon G(R ij ) G(y)+J G,y (R ij ) pinta-ala. Tällöin päädytään tarkastelemaan suunnikasta J G,y (R ij ), jonka virittävät vektorit a (y) ja b (y) R 3, missä a ja b on suorakulmion R ij sivujen pituudet. Sen pinta-ala on (y) (y) R ij. Täten päädytään Riemannin summiin. Lause Olkoon S R 3. Jos U R 2 on sellainen rajoitettu avoin joukko, että U on nollajoukko ja g : U R on sellainen C 1 -funktio, että niin joukon S pinta-ala on S = {(y, g(y)) : y U}, U 1 + g(y) 2 dy. Todistus. Funktio ψ(y) = (y, g(y)), y U, on määritelmän mukainen, sillä (y) ( (y) = 1, 0, g ) ( (y) 0, 1, g ) ( (y) = g (y), g ) (y), 1.

12 Määritelmä Joukko S R 3 on paloittain yksinkertainen pinta, jos löytyy sellaiset yksinkertaiset käyrät C 1,..., C K R 3, että S\ K k=1 C k on yksinkertaisten pistevieraiden pintojen yhdiste. Paloittain yksinkertaisen pinnan pinta-ala on sen muodostavieen pistevieraiden yksinkertaisten pintojen pinta-alojen summa Esimerkki Olkoon c > 0. Laske puolipallon pinta-ala. S = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x x 2 3 = c 2, x 3 0} Ratkaisu: Joukko S on paloittain yksinkertainen pinta sillä pallokoordinaatit x 1 = c cos(φ) sin(θ) x 2 = c sin(φ) sin(θ) x 3 = c cos(θ) määrittelevät kuvauksen ψ(φ, θ) = c(cos(φ) sin(θ), sin(φ) sin(θ), cos(θ)) missä θ (0, π/2) ja φ (0, 2π). Tällöin kuvaus ψ on injektiivinen C 1 -kuvaus ja S\ψ((0, 2π) (0, π/2)) on C 1 -käyrien yhdiste.

13 Lasketaan puolipallon pinta-ala äsken opitulla tavalla: Tarvittava ristitulo on ja (θ, φ) = c( sin(φ) sin(θ), cos(φ) sin(θ), 0) φ (θ, φ) = c(cos(φ) cos(θ), sin(φ) cos(θ), sin(θ)) θ (θ, φ) φ θ (θ, φ) = ( c2 cos(φ) sin 2 (θ), sin(φ) sin 2 (θ), sin(θ) cos(θ)) ) (θ, φ) (θ, φ) φ θ cos = c2 2 (φ) sin 4 (θ) + sin 2 (φ) sin 4 (θ) + sin 2 (θ) cos 2 (θ) }{{} 1 sin 2 (θ) = c 2 sin(θ). Voimme laskea pinta-alan 2π (θ, φ) (θ, φ) φ θ dθdφ = (0,2π) (0,π/2) 0 dφ π/2 0 c 2 sin(θ)dθ = 2πc 2.

14 Skalaarifunktion pintaintegraali Skalaariarvoisen funktion pinta-integraali määritellään suoraviivaisesti. Määritelmä Olkoon S yksinkertainen pinta, jonka parametriesitys on ψ : V R 3. Jatkuvan funktion f : S R integraali yli pinnan S on f(x)dσ(x) = f(ψ(y)) (y) (y) dy (Muita merkitätapoja: S fda, S fda). S V Määritelmä Olkoon S paloittain yksinkertainen pinta, joka on pistevieraiden yksinkertaisten pintojen S 1,..., S K yhdiste. Kun pinnan S k parametriesitys on ψ (k) : V k R 3, niin jatkuvan funktion f : S R integraali yli pinnan S on S f(x)dσ(x) = K f(ψ (k) (y)) (k) (y) (k) (y) V k dy k=1 Huomautus Paloittain yksinkertaisen pinnan S pinta-ala on 1dσ(x) S

15 4.5 Integraalilaskennan klassisia tuloksia Gaussin divergenssilause Lemma Olkoon S R 3 yksinkertainen pinta, jonka parametriesitys on ψ : V R 3. Tällöin vektori y n(x) = 1 (y) (y) (y) (y on pinnan S normaalivektori. Todistus. Olkoon a = (a 1, a 2 ) V. Oletusten mukaan (y) (y) 0 kaikilla y S. Tällöin vektorit (a) ja (a) ovat lineaarisesti riippumattomia, jolloin ainakin jokin determinanteista i (a) i (a) j (a) j 0, (4.5.17) (a) missä i, j = 1, 2, 3. Oletetaan, että i = 1, j = 3 toteuttaa ehdon (4.5.17). Käänteiskuvauslauseen nojalla kuvaus on tällöin lokaalisti kääntyvä. ψ : (y 1, y 2 ) (ψ 1 (y 1, y 2 ), ψ 3 (y 1, y 2 ))

16 Toisin sanoen löytyy sellainen kuvaus g : (x 1, x 3 ) g(x 1, x 3 ), että (y 1, y 2 ) = g(ψ(y 1, y 1 )) = (x 1, x 3 ) kun pisteet (y 1, y 2 ) ovat riittävän lähellä pistettä a. Tällöin pinta S voidaan esittää pisteen ψ(a) pienessä ympäristössä funktion f(x 1, x 2, x 3 ) = ψ 2 (g(x 1, x 3 )) x 2 tasa-arvojoukkona. Derivoinnin ketjusäännön nojalla ( 2 f(x 1, x 2, x 3 ) = (g(x 1, x 3 )) g 1 (x 1, x 3 ) + 2 (g(x 1, x 3 )) g 2 (x 1, x 3 ), 1, x 1 x 1 2 (g(x 1, x 3 )) g 1 (g(x 1, x 3 )) + 2 (g(x 1, x 3 )) g ) 2 (x 1, x 3 ) x 3 x 3 Funktion g osittaisderivaatat saadaan Jacobin matriisista [ ] J g,x = J 1 ψ,g(x) = 1 3 (g(x 1, x 3 )) 1 (g(x 1, x 3 )) ( )(g(x 1, x 3 )) 3 (g(x 1, x 3 )) 1 (g(x 1, x 3 ))

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi . Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos

Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos 0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä . Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W

Monistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Pinnan tangenttivektorit

Pinnan tangenttivektorit LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

Sijoitus integraaliin

Sijoitus integraaliin 1 / 32 Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Viivaintegraali ja Greenin lause

Viivaintegraali ja Greenin lause TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Markus Vaajala Viivaintegraali ja Greenin lause Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 213 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Vaajala,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Tilastolliset inversio-ongelmat

Tilastolliset inversio-ongelmat Luku 4 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu ei niinkään vastaa kysymykseen "mikä tuntematon vektori x 0 on"vaan pikemminkin kysymykseen "mitä tiedämme tuntemattomasta

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot