Sobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen
|
|
- Tuomas Virtanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007
2 Sisältö 1. Johdattelua Perusmerkintöjä L p -avaruudet Yleistä Silotus Heikko derivaatta eli distributiivinen derivaatta bsoluuttinen jatkuvuus Sobolev-avaruudet, osa II Perusepäyhtälöt Sobolevin epäyhtälöt Poincaré-epäyhtälöt Muuttujanvaihto ja ekstensio Muuttujanvaihto Laajentaminen Heikko konvergenssi Erotusosamäärät ja W 1,p Kapasiteetti ja Sobolev-funktiot Liite: L p -avaruuden duaalista Heikko konvergenssi
3 1 1. Johdattelua Mikä on derivaatta? Funktion f :]a, b[ R derivaatta pisteessä x on f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h (jos raja-arvo on olemassa). Seuraavassa kolme tapaa yleistää derivaatta:. nalyysin peruslause Jos f C 1 (I), I R, niin f(x) = f(x 0 ) + [x 0,x] f (y) dy Leb. mitta kaikilla x 0, x I Kääntäen, jos on olemassa sellainen v L 1 (I), jolle f(x) = f(x 0 ) + v(y) dy, [x 0,x] niin f on m.k. derivoituva, f (x) = v(x) m.k. x I ja f on absoluuttisesti jatkuva 1 kaikilla [a, b] I. Siten eräs f:n derivaatta-käsitteen yleistys olisi tällainen funktio v. 1 f on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b], jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että ehdoista seuraa, että a a 1 < b 1 a 2 < b 2 < b k < b ja k f(b i ) f(a i ) < ε. i=1 k b i a i < δ i=1
4 2 B. Osittaisintegrointi Jos f, g C 1 (I), niin [a,b] f(x)g (x) dx = [a,b] f (x)g(x) dx + / b a f(x)g(x) kaikilla a, b I, a < b. Erityisesti, jos spt g = {x : g(x) 0} on kompakti, niin I f(x)g (x) dx = I f (x)g(x) dx kaikilla g C 1 0(I). Huomaa: jos f on absoluuttisesti jatkuva, niin I fg dx = I vg dx kaikilla g C 1 0(I), missä v on kuten kohdassa. [HT. Todista käänteinen: v on derivaatta.] Esimerkki. Olkoon f(x) = 1 x, ja g C 1 0(] 1, 1[). Tällöin f(x)g (x) dx = f(x)g (x) dx + f(x)g (x) dx ] 1,1[ os.int. = = ] 1,0[ ] 1,1[ ] 1,0[ 1 g(x) dx + v(x)g(x) dx, / 0 1 ]0,1[ f(x)g(x) ]0,1[ ( 1)g(x) + / 1 0 f(x)g(x) missä v(x) = { 1, jos x < 0 1, jos x 0.
5 3 C. Täydentymä Pari (Cb 1 (I), ), missä normi on esimerkiksi f = f dx + f dx, I I ei ole täydellinen metrisenä avaruutena. Täydennetään ko. avaruus L 1 (I) L 1 (I):ssä. Sulkeumassa olevat parit (f, v) yleistävät derivoituvuuden, v f. Miksi derivaatan käsitettä halutaan yleistää? Tarkastellaan esimerkkiä: Jos u C 2 (), avoin, on sellainen funktio, jolle u = n jju 2 = 0, j=1 niin 0 = Käyttämällä yhtälöä u(x) ϕ(x) dx ϕ C0 () = os.int. u ϕ dx. y + z 2 = (y + z) (y + z) = y 2 + 2y z + z 2 kaikilla y, z, saadaan tästä u + ϕ 2 dx = u 2 dx + 2 u 2 dx. u ϕ dx } {{ } =0 + ϕ 2 dx Saamme siten, että jos u = 0, niin u 2 dx u + ϕ 2 dx kaikilla ϕ C0 (). Toisin, sanoen funktiolla t u + t ϕ 2 dx on minimi, kun t = 0. Lasketaan tämän funktion derivaatta t:n suhteen, kun t = 0; se on 2 u ϕ dx = 2 u(x) ϕ(x) dx
6 4 äsken tehdyn osittais integroinnin nojalla. Tästä näemme helposti: Jos u C 2 (), niin u = 0 :ssa täsmälleen silloin, kun u 2 dx u + ϕ 2 dx kaikilla ϕ C 0 (). Huomaa, että u 2 dx on L 2 ()-normin neliö u:lle joten 2. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälön u = 0 ratkaisemiseksi voidaan tutkia normiavaruutta (X, Y ) L 2 () L 2 (, ), joka on joukon { (ψ, ψ) : (ψ, ψ) C 1 () L 2 () L 2 (; ) } sulkeuma. Tällä tavalla ongelma, joka sisältää toisen kertaluvun derivaattoja voidaan käsitellä pelkästään tutkimalla ensimmäisen kertaluvun derivaattoja. Lisäksi ratkaisukandidaatteja löydetään helpommin suljetusta normiavaruudesta kuin eisuljetusta. Palaamme tähän esimerkkiin myöhemmin. Muista. Funktio f : R, Lebesgue-mitallinen, on mitallinen, jos joukot {x : f(x) > λ} ovat Lebesgue-mitallisia kaikilla λ R ja tällöin f dx = {x : f(x) > t} dt, 0 missä = joukon Lebesgue-mitta. Edelleen, muuttujanvaihdolla näemme, että f p dx = p t p 1 { f(x) > t} dt, kunhan p > 0. 0 Konvekseista funktioista Olkoon I R väli. Funktio f : I R on konveksi, jos f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) kaikilla x, y I ja t [0, 1] Esimerkiksi e x on konveksi.
7 Lemma. Jos f : I R on derivoituva ja f on kasvava, on f konveksi. Todistus: Olkoon a < z < b. Tällöin väliarvolauseen nojalla on sellaiset η ]a, z[ ja ξ ]z, b[, joille f(z) f(a) =f (η) f (ξ) = z a Merkitsemällä z = ta + (1 t)b saadaan f(z) tf(a) + (1 t)f(b). f(b) f(z) b z Seuraus. Jos f 0, niin f on konveksi Huomautus. a) Konveksi funktio on jatkuva välin I sisäpisteissä. b) Äskeinen todistus näyttää, että f on konveksi, jos ja vain, jos f(z) f(x) z x f(y) f(z) y z kaikilla x < z < y. Merkintä. Jos > 0, merkitsemme funktion f keskiarvoa f dx := 1 f(x) dx Lause. (Jensenin epäyhtälö) Olkoon f : R integroituva,, <. Jos ϕ : I R on konveksi, missä I R on sellainen väli, jolle f() I, niin ( ) ϕ f(x) dx ϕ f(x) dx.
8 6 Esimerkki. Kun ϕ(t) = t p q, missä 1 q < p <, saadaan Jensenin epäyhtälöstä ( ) ϕ f(x) q dx ϕ( f q ) dx = f p dx eli ( ) 1 f q q dx ( ) 1 f p p dx. Todistus: Koska ϕ on jatkuva, on ϕ f mitallinen. Olkoon t = f(x) dx. Tällöin t I ja on olemassa 2 β = β(t), jolle ϕ(t) ϕ(s) t s β ϕ(u) ϕ(t) u t kaikilla s < t < u. Siten Erityisesti joten ϕ(z) ϕ(t) + β(z t) kaikilla z I. ϕ(f(x)) ϕ(t) + β(f(x) t) kaikilla x, ϕ(f(x)) dx ϕ(t) ϕ( R f(x) dx) +β (f(x) t) dx = R f(x) dx R R f(x) dx= Lause. (Youngin epäyhtälö) Olkoot a, b 0, p > 1 ja 1 p + 1 q = 1. Tällöin ab 1 p ap + 1 q b2. 2 Esimerkiksi ϕ(t) ϕ(s) β = sup. s<t t s
9 Seuraus. Kaikilla ε > 0 ja a, b 0 kun p > 1 ja 1 p + 1 q = 1. ab ε ap p + q bq ε p q εap + ε q p b q, Multi-indeksit Olkoon n N. Vektoria α := (α 1, α 2,..., α n ) N n sanotaan multi-indeksiksi. α := α 1 + α α n on α:n pituus, normi tms. α! := α 1!α 2! α n!. Jos x (x = (x 1,..., x n )), niin x α = x α 1 1 x α 2 2 x α n n. Erityisesti multiindeksointia käytetään derivoinnin yhteydessä: D α u(x) = α 1 α2 α n x α 1 1 x α 2 2 x α n n u(x) = α 1 x α 1 1 α 2 x α 2 2 α n u(x), x α n n missä ja esim. u(x) x j = lim h 0 u(x + h(j)) u(x) h x j = 2. x j x 2 j Tällä kurssilla klassista osittaisderivointia harrastetaan vain funktioihin, jotka ovat α kertaa jatkuvasti derivoituvia, jolloin derivointijärjestyksellä ei ole väliä Huomautus. Huomaa, että D 0 u = u ja u(x) = (D (1,0,0...0) u, D (0,1,0...0) u,..., D (0,...,0,1) u). Esimerkki. (x x n ) m = α =m m! α! xα, m N, α N n, x = (x 1,..., x n ).
10 Perusmerkintöjä Käytämme seuraavia funktioavaruuksia. 3 C() := {f : R : f jatkuva} C 1 () := {f : R : f jatkuvasti derivoituva} C k+1 () = {f C k () : on olemassa D α f C() kaikilla α N n, α = k + 1} C () = C k (), C = C. k N Jos u : R, niin u:n kantaja on joukon {x : f(x) 0} sulkeuma ( :ssä), merkitään supp f tai spt f, ts. supp f := {x : u(x) 0}. Jos supp u on kompakti :n osajoukko, niin sanotaan, että u on kompaktikantajainen :ssa. C0 k () = {u C k () : spt u kompakti} C0 () = C0 k () k N 1.7. Huomautus. Jos u C k 0 (), niin D α u on rajoitettu :ssa kaikilla α, joille α k. 3 f jatkuvasti derivoituva tarkoittaa, että f:llä on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat.
11 9 2. L p -avaruudet 2.1. Yleistä Olkoon mitallinen ja p [1, ]. Tällöin L p () := {f : R : f mitallinen ja f L p () < }, missä ( f L p () = f p := ) 1 f p p dx, kun 1 p < ja f L () = f := ess sup f(x) x := inf{t > 0 : {x : f(x) > t} = 0} Siis f(x) f m.k. x Huomautus. Oikeasti L p ():n alkiot ovat ekvivalenssiluokkia [f], missä ekvivalenssirelaatio määritellään f g f(x) = g(x) m.k. x ja L p -avaruus on L p ()/ Huomautus. Puhetapa f L p () tarkoittaa, että edustaja eli funktio on valittu/kiinnitetty Lause. (Hölderin epäyhtälö) Olkoot 4 p, q 1, 1 p + 1 q = 1 sekä f Lp () ja g L q (). Tällöin fg L 1 () ja fg 1 f p g q. 4 1 p + 1 q = 1 eli p = q q 1 eli pq = p + q; huomaa myös: jos p < p, niin q > q.
12 10 Todistus: Tapaus p = 1, q = ei vaikea, HT. Olkoon siis 1 < p <, todistuksessa käytetään Youngin epäyhtälöä. Voidaan olettaa, että f p > 0 ja g q > 0. Merkitään F = f ja G = g, f p g q jolloin F p = 1 = G q. Edelleen F (x)g(x) dx Young F (x) p dx + p = 1 p q 1 = 1. G(x) q dx q Koska F (x)g(x) dx = väitteen epäyhtälö on todistettu. 1 f p g q fg dx, 2.4. Lause. (Minkowskin epäyhtälö) Olkoot f, g L p (). Tällöin f + g p f p + g p. Todistus: Tapaukset p = 1 ja p = ovat selviä. Olkoon siis 1 < p <. Tällöin kolmioepäyhtälöstä seuraa, että f + g p ( f + g ) p 1 ( f + g ) = f ( f + g ) p 1 + g ( f + g ) p 1, mistä integroimalla f + g p p = f + g p dx f f + g p 1 dx + g f + g p 1 dx Hölder f p ( = ( f p + g p ) f + g p 1 p. ) p 1 f + g (p 1) p p p 1 dx + g p f + g p 1 p
13 Lause. (Yleistetty Hölder). Jos p i [1, ] s.e. k i=1 niin k i=1 f i L 1 () ja 1 p i = 1 ja f i L p i (), f 1 f 2 f k dx k f i pi. i=1 Todistus: HT, Hölder ja induktio. Hölderissä oleellista, että 1 p + 1 q = 1, p 1. Muista, että pari (X, ) on normiavaruus, jos X on lineaariavaruus ja : X R on normi eli x 0 x = 0 x = 0 X λx = λ x ja x + y x + y kaikilla x, y X, λ R. Minkowskin epäyhtälöstä seuraa, että L p () on normiavaruus. Banach-avaruus on normi-avaruus (X, ), joka on metrisenä avaruutena täydellinen eli kaikki Cauchy-jonot suppenevat. Jono (x j ) on Cauchy, jos kaikilla ε > 0 on olemassa n N : x j x k < ε kaikilla j, k > n. Jono (x j ) suppenee, jos on olemassa x 0 X s.e. lim x j x 0 = 0. j 2.6. Lause. L p () on Banach-avaruus. Todistus: Olkoon 1 p < ja olkoon (f j ) L p () Cauchy-jono, ts. f j f k p < ε, kun k, j N ε. Riittää osoittaa, että on olemassa osajono, joka suppenee. Siis tarvittaessa valitaan (f j ):n osajono, jolle pätee f j f j+1 p 1. j=1
14 12 Tällöin Siis ts. sarja ( Fatou k=1 f k f k+1 ) 1 p p dx l lim inf f k f k+1 p l k=1 m.k. x : = lim l l f k f k+1 p k=1 f k f k+1 p 1. k+1 f k (x) f k+1 (x) <, k=1 (f k (x) f k+1 (x)) k=1 suppenee itseisesti m.k. x. Siis f(x) := f 1 (x) + k=1 on m.k. määritelty m.k äärellinen funktio. Edelleen Fatoun lemmasta seuraa f f k p = lim f j f k p j ( = lim inf j ε, Siten f k f L p ():ssa. f k+1 (x) f k (x) = lim j f j (x) lim f j f j (x) k (x) p dx ( kun k iso. ) 1 p ) 1 f j (x) f k (x) p p dx = lim inf j f j f k p Todistus antoi hyödyllisen lisätiedon: 2.7. Lause. Jos f j f L p ():ssa, niin on olemassa f j :n osajono (f jk ), jolle f jk (x) f(x) m.k. x. Lisäksi on olemassa sellainen h L p (), jolle f jk (x) f(x) h(x) m.k. x.
15 Huomautus. Kun 1 p <, niin osajonoon siirtymistä lauseessa 2.7 ei voida yleensä välttää. f 1,1 = χ [0, 1 ], f 1,2 = χ 2 ] 1 2,1] Induktiivisesti jatketaan ja jaetaan k. vaiheessa väli [0, 1] 2 k yhtäsuureen osaväliin I k,1, I k,2,..., I k,2 k ja f k,j = χ Ik,j. Silloin ( [0,1] ) 1 f k,j (x) p p dx = Ik,j 1 p = 2 k p 0, k ts. jono f 1,1, f 1,2, f 2,1,..., f 2,4 (x), f 3,1 (x),... suppenee kohti 0:aa L p ([0, 1]):ssä, mutta kuitenkaan pisteittäinen jono f 1,1 (x), f 1,2 (x), f 2,1 (x),..., f 2,4 (x), f 3,1 (x),... ei suppene millään x [0, 1] Huomautus. Tapaus p = 2 on erityinen sillä L 2 () on Hilbert-avaruus eli Banach-avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f, g) := fg dx. Kun p 2, L p () ei ole Hilbert, mikä seuraa helposti suunnikasyhtälöstä. Jos 1 < p <, niin L p () on kuitenkin siedettävä avaruus ja L 1 () melko siedettävä. Muistetaan, että L p ():t ovat sisäkkäin, jos < : Lause. Jos <, niin L p () L s () kun 1 s p ja f s p s sp f p f L s (.) Todistus: Tapaus p =, HT. Kun 1 p <, niin josta ( ) 1 f s s Jensen, t t p s konveksi ( f s 1 s 1 p f p. ) 1 f p p dx,
16 14 Harjoitustehtävä. Osoita, että L p () L s (), jos p > s ja 0 < < Lause. Olkoon <. Tällöin f p = lim f q. q p q<p Todistus: Tapaus p = demoissa. Olkoon sitten 1 p < ja q j p. Tälloin saamme monotonisen konvergenssin lauseen avulla f q j dx = laskeva {}}{ f q j dx + nouseva {}}{ f q j dx { f 1} f p dx + { f >1} f p dx = f p dx. { f 1} { f >1} Huomautus. Erityisesti Lause 2.11 antaa: Jos < ja f q M kaikilla q < p, niin f p M. Kuitenkin (HT) L p () L q (). q<p Lause. (Interpolointi) Olkoon 1 p q r. Tällöin L r () L p () L q () kaikilla mitallisilla ja f q f λ p f 1 λ r, missä 1 q = λ p + 1 λ. r Todistus: Voidaan olettaa, että p < q < r.
17 15 Tapaus r =. Tällöin λ = p q. ( f q = f p q f 1 p q q = ( f p q p q f q ) q dx ) 1 q f 1 p q ( f p dx ) 1 q = f 1 λ f λ p. Tapaus r <. f q q = f λ f 1 λ q q = f λq f (1 λ)q dx Hölder ( f p dx ) λq p ( ) p λq f (1 λ) p p p λq dx = f λq p f q(1 λ) r, sillä p p λq > 1 ja λq p 1 = λq p p λq = r q(1 λ) Huomautus. Merkitään L p loc () = L p (E) lokaali L p -avaruus. E kompakti Lause. (L p -normin jatkuvuus) Jos f L p ( ), 1 p <, niin lim f(x + h) f(x) p dx = 0. h 0 Siis g h (x) := f(x + h) f(x) L p :ssä.
18 16 Todistus: Helppo todistaa lähtemällä avoimen joukon karakteristisista funktioista ja sitä rataa yksinkertaisille funktioille. Toinen tapa käyttää tietoa C 0 ( ) L p ( ) on tiheä (ks. demot): 1. Olkoon ensin f C 0 ( ). Tällöin asia on selvä, koska f on tasaisesti jatkuva ja integrointi väitteessä koskee vain kompakteja joukkoja. B f(x + h) f(x), kun h 0. <ε 2. Olkoon sitten f L p ( ) mielivaltainen. Valitaan sellainen ϕ C 0 ( ), jolle ϕ f p < ε. Silloin f(x + h) f(x) p f(x + h) ϕ(x + h) p + ϕ(x + h) ϕ(x) p + ϕ(x) f(x) p = 2 f ϕ p + ϕ(x + h) ϕ(x) p < 3ε, <ε 0 missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa Lebesguen mitan siirtoinvarianssista Silotus Olkoon η C 0 ( ) ei-negatiivinen funktio, jolle i) η(x) = 0 kaikilla x, joille x 1 ii) η(x) dx = 1. Tällaiseksi funktioksi käy esimerkiksi η(x) = missä c > 0, valitaan s.e. η(x) dx = 1 ts. {e 1 1 x 2 c, kun x < 1 0, kun x 1, 1 c = B(0,1) e 1 1 x 2 dx.
19 17 Huomaa, että tämä η on symmetrinen origon suhteen, mikä on kivaa. Jatketaan: Kun ε > 0, asetetaan η ε (x) = ε n η( x ε ) Tällöin spt η ε B(0, ε), η ε C0 ( ), η ε 0 ja η ε (x) dx = ε n x η( ε ) dx = ε n ε n η(y) dy = ε n n = 1. Tällaisia funktioita η ja η ε sanotaan silottajaytimiksi. Jos u L 1 loc (Rn ), määritellään konvoluutio u ε (x) := (η ε u)(x) := u(y)η ε (x y) dy. Konvoluutiota u ε sanotaan myös funktion u silotukseksi Huomautus. Kun u L 1 loc (Rn ), on silotus u ε hyvinmääritelty funktio u ε : R: u ε (x) = u(y)η ε (x y) dy = u(y)η ε (x y) dy ε n sup η u dy <. B(x,ε) B(x,ε) Huomautus. Konvoluutio on symmetrinen: η ε u(x) = u(y)η ε (x y) dy z=x y y=x z = u(x z)η ε (z)dz = u η ε (x). Edelleen u ε (x) = u(y)η ε (x y) dy B(x,ε) on keskiarvointegraali mitan η ε dx suhteen, jolloin pallon B(x, ε) mitta on 1.
20 Lause. Olkoon u L 1 loc (Rn ) ja olkoot η ε silottajaytimiä, ε > 0. Tällöin (i) η ε u C ( ) ja D α (η ε u)(x) = (D α η ε ) u(x) kaikilla α N n ja kaikilla x (ii) Jos u L p ( ), niin u ε = η ε u L p ( ) ja u ε p u p. Lisäksi lim u ε u p = 0 jos 1 p <. ε 0 (iii) Jos u C() ( avoin), niin u ε u tasaisesti jokaisella kompaktilla K. (Tässä u nollajatketaan :ään.) Todistus: (i): Induktiolla voidaan olettaa, että α = 1. Olkoon e 1, e 2,... e n tavallinen :n kanta. Tällöin u ε (x + te i ) u ε (x) = Fubini = t 0 ( u(y) ηε (x + tε i y) η ε (x y) ) dy u(y) η ε (x + se i y) dy ds x i } {{ } on jva s:n funktio (kun s 0) Sisempi integraali on jatkuva, kun s 0, sillä R t 0 x i η ε (x+se i y)ds u(y) i η ε (x + se i y) dy u(y) i η ε (x y) dy Ms u(y) i η ε (x + se i y i η ε (x y)) dy M s VL, koska i ηε on rajoitettu u(y) dy s 0 0. B(x,2ε)
21 19 Näin ollen saamme u ε (x + te i ) u ε (x) t = 1 t jvuus t 0 t 0 u(y) η ε (x + se i y) dy ds x i u(y) η ε (x y) dy = ( η ε u ) (x). x i x i (ii): Jos p > 1 ja 1 p + 1 q = 1, niin u ε (x) = Hölder η ε (x y) ( 1 q ηε (x y) 1 p u(y) dy ) 1 q η ε (x y) dy } {{ } =1 ( ) 1 η ε (x y) u(y) p p dy ja siten u ε (x) p η ε (x y) u(y) p dy = η ε u p (x). Tämä epäyhtälö on tosi myös kun p = 1. Siten kaikilla 1 p < u ε p dx η ε (x y) u(y) p dy dx Fubini = u(y) p η ε (x y) dx dy = u p dx, } {{ } =1 eli (2.1) u ε p u p ; epäyhtälö (2.1) on voimassa myös, kun p = (miksi?).
22 20 Koska u ε (x) u(x) = u(y)η ε (x y) dy u(x) η ε (x y) dy = (u(y) u(x))η ε (x y) dy, } {{ } =1 η ε saadaan kuten yllä (kun! p < ) u ε (x) u(x) p dx (x y) u (y) u(x) p dy dx ( z x z ) Fubini = η ε (z) u(x z) u(x) p dx 0, kun z 0 eli jos ε 0 dz 0 ε 0 L2.15 (iii): Estimoidaan u ε (x) u(x) η ε (x y) u(y) u(x) dy ε n sup η (sup η) ε n u(y) u(x) dy M δ, <δ tas. K:ssa B(x,ε) kun ε on tarpeeksi pieni, sillä u on tasaisesti jatkuva K:ssa Huomautus. 1. Kohdan (ii) todistuksessa edellä käytettiin L p -normin jatkuvuutta (Lause 2.15). Se voitaisiin ohittaa (HT) käyttämällä kaavaa (2.1), kohtaaa (iii) ja tietoa: C 0 ( ) L p ( ) tiheä. 2. Kohdan (iii) todistuksesta nähdään, että kaikilla u L 1 loc (Rn ) u ε (x) u(x) kun ε 0 jokaisella x, jolle u(y) u(x) dy = 0. lim ε 0 ε n B(x,ε)
23 21 Tällaista pistettä x sanotaan u:n Lebesgue-pisteeksi. Voidaan osoittaa (reaalianalyysi) että m.k. x ovat u:n Lebesgue-pisteitä js siten u ε (x) u(x) m.k. x. Huomaa, että L 1 -konvergensista (Lause 2.18 (ii)) seuraa, että on osajono u εk, joka suppenee m.k. x kohti u(x):ää Lemma. Jos on avoin ja u L p () on sellainen, että on kompakti K s.e. u(x) = 0 kaikilla x \K, niin η ε u C 0 (), kunhan ε < dist(k, ) ja η ε u u L p ():ssa. Todistus: Jos x, jolle dist(x, K) > ε, niin u(y) = 0 kaikilla B(x, ε) ja siten η ε u(x) = B(x,ε) η ε (x y)u(y) dy = 0. Toisin sanoen, spt(η ε u) {x : dist(x, K) ε} Seuraus. Olkoon avoin ja 1 p <. Tällöin C 0 () on tiheä L p ():n osajoukko, ts. kaikilla f on olemassa jono ϕ j C 0 () s.e. Todistus: HT. lim ϕ j f p = 0. j 0 PYSYVÄISSOPIMUS: Jatkossa on avoin.
24 Seuraus. Jos K on kompakti, niin on olemassa ϕ C 0 () s.e. 0 ϕ 1 ja ϕ = 1 K:ssa. Lisäksi voidaan valita ϕ s.e. ϕ(x) 7 dist(k, ), jos Rn. Tällaista funktiota ϕ kutsutaan cut-off-funktioksi. Todistus:. [ (dist(x, ) δ u(x) = min δ 2 2 ) + ], 1 missä δ = dist(k, ) > 0. v(x) = 2 min(u(x), 1 2 ). Etsitty funktio on esimerkiksi v:n silotus v ε, kun ε tarpeeksi pieni. (Toinen tapa tehtdä tämä, on yhdistää u:n päälle sopiva sileä funktio.) Loput HT Huomautus. Tapaus p =. Ei päde (miksei?), että u ε u L :ssä, mutta kuitenkin u ε u Lemma. (Variaatiolemma.) Olkoon u L 1 loc () sellainen funktio, jolle uϕ dx = 0 kaikilla ϕ C 0 (). Tällöin u(x) = 0 m.k. x. Todistus: Olkoon K {x : u(x) > 0} kompakti. Valitaan avoimet D 1 D 2 K s.e. D 1 ja D j \K < 1 j. Olkoon ϕ j C 0 (D j ) s.e. 0 ϕ j 1, ϕ j = 1 K:ssa (tällainen on olemassa Seurauksen 2.21 nojalla.) Nyt uϕ j dx = 0. Lisäksi uϕ j u ja uϕ j (x) (uχ K )(x) m.k. x,
25 23 koten dominoidun konvergenssilauseen nojalla saamme uϕ j dx uχ K dx = u dx. K Niinpä K = 0, koska u > 0 K:ssa, joten {u > 0} = 0.
26 24 3. Heikko derivaatta eli distributiivinen derivaatta Esimerkki. Olkoon u C 1 () ja ϕ C0 (). Tällöin uϕ C0() 1 (voidaan olettaa, että uϕ C0(R 1 n )). Olkoon x. Tarkastellaan kuvausta t (uϕ)(x+te j ). nollajatko Tällöin voidaan valita t 1, t 2 R, joille ϕ(x + te j ) = 0 kaikilla t t 1 ja t t 2. Siten saamme (yksiulotteisesta) analyysin peruslauseesta: 0 = (uϕ)(x + t 1 e j ) (uϕ)(x + t 2 e j ) = = = t 1 t 2 ( j u)ϕ(x + te j )dt + ( j u)ϕ(x + te j )dt + t 1 t 2 t 1 t 2 u j ϕ(x + te j )dt u( j ϕ)(x + te j )dt. j (uϕ)(x + te j )dt Toisin sanoen, ( j u)ϕ(x + te j )dt = u j ϕ(x + te j )dt. R Integroidaan nyt yli muuttujien dx 1, dx 2,..., R dx j ei integroida tämän suhteen j uϕ(x + te j )dt dx 1... dx j... dx n = u j ϕ(x + te j )dt dx 1... jolloin Fubinin lauseesta seuraa j uϕ(x) dx = u j ϕ(x) dx,..., dx n dx j... dx n,
27 25 Siis (3.1) j uϕ(x) dx = u j ϕ(x) dx kaikilla ϕ C 0 () Huomautus. Tarkkaan ottaen yo. laskussa käytetään tietoa, että u C 1 ( ). Tämä ei ole oleellista (3.1):n aikaansaamiseksi: kun ϕ C 0 () on kiinnitetty, voidaan u korvata funktiolla (u, ψ), missä ψ C 0 (), 0 ϕ 1 ja ψ = 1 spt ϕ:ssä. Tällöin u:lle ja uψ:lle (3.1):n integraalit ovat samat. Kääntäen, on helppo nähdä, että jos v on sellainen jatkuva funktio, jolle vϕdv = u j ϕ dx kaikilla ϕ C0 (), niin v = j u, mikäli u C 1 () Määritelmä. (Heikko derivaatta) Olkoon u L 1 loc () ja α Nn. Jos on olemassa sellainen v L 1 loc (), jolle pätee osittaisintegrointikaava (3.2) ud α ϕ dx = ( 1) α vϕ dx kaikilla ϕ C0 (), niin v on u:n α. (heikko) derivaatta :ssa (distributiivinen, yleistetty tai Sobolev derivaatta) ja merkitään v = D α u. (Jos α = 1, D (0,...,0,1,0,...,0) u = j u ja u = ( 1 u, 2 u,..., n u).) 3.3. Huomautus. (1) iemmin merkittiin klassisia derivaattoja symbolilla D α u. Tästä ei aiheudu suurta sekaannusta sillä, jos u C α (), niin D α u = D α u m.k., ts. α. heikko derivaatta on m.k. α. (klassinen) derivaatta. (2) Variaatiolemman (Lemma 2.3) nojalla heikko derivaatta on m.k. yksikäsitteinen: Jos v 1, v 2 ovat heikkoja α. derivaattoja, niin (v 1 v 2 )ϕ dx = ( 1) α (ud α ϕ ud α ϕ) dx = 0 kaikilla ϕ C0 ().
28 Huomautus. Heikko derivaatta D α u on u:n distributiivinen derivaatta, mutta tässä vaaditaan erityisesti, että se on lokaali L 1 -funktio. Monesti jatkossa α = 1 ja silloin usein merkitään D α u = Du. Erityisesti u = (D (1,0,...,0) u, D (0,1,0,...,0) u,..., D (0,...,0,1) u) ja 0. derivaatta on funktio itse, D 0 u = u Huomautus. Jos v on D α u :ssa, niin v on u:n α. derivaatta D:ssä kaikilla D avoin. Esimerkki. a) Olkoon u(x) = { x, jos 0 < x 1 1, jos 1 x. =]0, 2[ u L 1 loc (). Koska heikko derivaatta yhtyy tavalliseen derivaattaan, kun jälkimmäinen on jatkuva, ainoa järkevä yrite derivaataksi on v(x) = { 1, jos 0 < x < 1 0,, jos x > 1. Nyt jos ϕ C 0 (]0, 2[), niin osittaisintegroimalla 1 2 uϕ dx = xϕ (x) dx + ϕ (x) dx ]0,2[ = / 1 0 xϕ(x) ϕ(x) dx + = ϕ(1) + ϕ(2) ϕ(1) =0 ]0,2[ 1 / 2 1 ϕ(x) v(x)ϕ(x) dx eli v = D 1 u :ssa. b) Olkoon =]0, 2[ ja u(x) = { x, jos 0 < x < 1 2, jos x 1
29 27 Taas ainoa järkevä yrite derivaataksi on { 1, jos 0 < x < 1 v(x) = 0, jos x > 1. Olkoon ϕ C 0 (), jolloin 1 2 uϕ 1 dx = xϕ 1 (x) dx + 2ϕ 1 (x) dx = ϕ(1) = ]0,2[ ϕ(x) dx + 2(ϕ(2) ϕ(11)) =0 v(x)ϕ(x) dx ϕ(1), joten valitsemalla sellainen funktio ϕ, jolle ϕ(1) 0, osittaisintegrointikaava ei päde. Siispä u:lla ei ole heikkoa derivaattaa :ssa. (Syy: u ei ole jatkuva pisteessä x = 1, ja kyseessä on 1-ulotteinen tilanne.) 1 Esimerkki. Olkoon, n 2. Jos u on rajoitettu eli u L () ja u:lla on \{x 0 }:ssa 1. kertaluvun heikko derivaatta v = Du L 1 loc (). Tällöin v on u:n heikko derivaatta :ssa: Oletuksen nojalla osittaisintegrointikaava (3.3) ud α ϕ dx = ( 1) α Duϕ dx pätee kaikilla ϕ C0 (\{x 0 }). Osoitetaan, että kaava (3.3) pätee kaikilla ϕ C 0 (). Olkoon ϕ C 0 (). Valitaan cut-off funktio ψ j C 0 (B(x 0, 1 j )) s.e. ψ j(x) = 1, kun x B(x 0, j ) ja 0 ψ j 1 sekä ψ j j (ks. Lemma 2.21). Tällöin ϕ(1 ψ j ) C 0 (\{x 0 }), joten sitä voidaan käyttää testifunktiona eo. kaavassa. Saamme spt ϕ 1m.k. {}}{ Du(ϕ (1 ψ j )) c Du L 1 dx = ud(ϕ(1 ψ j )) dx. Dominoidun konvergenssilauseen nojalla vasen puoli suppenee kohti integraalia Du ϕ dx
30 28 ja oikea puoli = udϕ (1 ψ j ) dx c u L 1 udϕ dx + 0, uϕdψ j dx sillä uϕdψ j dx B(x, 1 j ) <M <M j {}}{ u ϕ Dψ j dx cmj ( 1 j ) n = cj 1 n j 0. Näin ollen (3.3) on tosi kaikilla ϕ C 0 () ja siten v on u:n heikko derivaatta koko :ssa Huomautus. Heikko derivaatta (ja sen olemassaolo) on määritelmän mukaan globaali ominaisuus. Se on myös lokaali ominaisuus: u:lla on heikko derivaatta v = D α u :ssa, jos ja vain, jos jokaisella x on ympäristö B(x, r) s.e. u:lla on α. heikko derivaatta v B(x, r):ssä. Vain jos -suunta on triviaali. Jos-suunta seuraa seuraavasta lemmasta ja lauseesta tai käyttämällä ns. ykkösen ositusta (ks. Lause 4.12) Lemma. Olkoon u L 1 loc (), jolla on α. heikko derivaatta Dα u L 1 loc (). Olkoon η ε silottajaydin, jolle spt η ε B(0, ε). Tällöin D α (η ε u)(x) = η ε D α u(x) kaikilla x, joilla dist(x, ) > ε Todistus: Koska y η ε (x y) on C 0 -funktio, voidaan osittaisintegroida ja saadaan D α (η ε u)(x) L.2.18 = (D α η ε ) u(x) = D α η ε (x y) y D α η ε (x y) tai = u(y) dy os.int. = ( 1) α η ε (x y)d α u(y) dy = η ε D α u(x). ( 1) α η ε (x y)d α u(y) dy
31 Lause. Olkoon u, v L 1 loc (). Tällöin v = Dα u jos ja vain jos on olemassa jono ϕ j C () s.e. kaikilla avoimilla D : ϕ j u L 1 (D):ssä ja D α ϕ j v L 1 (D):ssä. Todistus: : harjoitustehtävä. : valitse ϕ j = η 1 u ja katso Lemmaa 3.4 sekä Lausetta j 3.8. Huomautus. Jos u:lla ja v:llä on heikot derivaatat, niin D α (λu + µv) = λd α u + µd α v, λ, µ, R, HT Lause. (Tulosääntö) Olkoot u, v L loc () sellaisia, että niillä on 1. kertaluvun yleistetty derivaatta Du L 1 loc () ja Dv L1 loc () (molemmilla samaan suuntaan). Tällöin tulo uv derivoituu heikosti ja D(uv) = udv + (Du)v. Todistus: Valitaan u j C () s.e. u j u ja u j u ja Du j Du L 1 (G):ssä kaikilla avoimilla G. Osoitetaan, että osittaisintegrointikaava pätee: Olkoon ϕ C 0 (). Valitaan G s.e. spt ϕ G. Nyt G = v D(u j ϕ) G =(Du j )ϕ+u j Dϕ dx = G v(du j ϕ + u j Dϕ) dx, Dv(u j ϕ) dx ts. G ( u j Dv +(Du j )v)ϕ dx = c Dv L 1 G vu j Dϕ dx M
32 30 Osajonoon siirtymällä u j (x) u(x) m.k., joten Dom. konvergenssista vasemmalle puolelle seuraa (udv Duv)ϕ dx = uvdϕ dx, sillä (Du Du j ) vϕ dx M Du Duj 1 0. <M Huomautus. Tulosäännön oletus u, v L loc () voidaan korvata oletuksella uv L 1 loc () ja udv + vdu L1 loc (), ks. Lause Huomautus. Jos α = (α 1,..., α n ), β = (β 1,..., β n ) N n, niin ( ) α = β α! β!(α β)! = α 1! α 2! α n! β 1! β n!(α 1 β 1 )! (α n β n )!, jos α i β i. Sileille funktioille u, v C () on voimassa ns. Leibnitzin kaava D α (u, v)(x) = β α ( ) α D β u(x)d (α β) v(x). β Sama kaava pätee myös heikoille derivaatoille mikäli kaikki esiintyvät termit ovat OK, erityisesti lokaalisti integroituvia (tässäpä harjoitustehtävää) Lause. Jos on alue ja funktion u L 1 loc () ensimmäiset heikot derivaatat häviävät :ssa, ts. u = 0 m.k. :ssa, niin on olemassa c R, jolle u(x) = c m.k. x. Todistus: Tyhjennetään : otetaan alueet D 1 D 2, joille = D j. j=1 Kiinnitetään j ja olkoon ε < dist(d j, \ ). Tällöin (η ε u)(x) = η ε u(x) kaikilla x D j
33 31 (voidaan tehdä koordinaateittain, Lemma 3.4). Koska η ε u C (D j ), seuraa tästä, että on olemassa vakio a ε R, jolle η ε u(x) ε 0 u(x) m.k. = a ε ε 0 c j kaikilla x D j. On siis c j R s.e. u(x) = c j m.k. x D j. Koska D 1 D 2..., niin c j = c k kaikilla k, j ja siten u(x) = c 1 m.k x D j =. j= Lause. (Ketjusääntö) Olkoon f C 1 (R) s.e. f L (R). Jos funktiolla u L 1 loc () on 1. kertaluvun heikko derivaatta Du L1 loc (), niin yhdistetyllä funktiolla f u on 1. kertaluvun heikko derivaatta ja D(f y)(x) = f (u(x))du(x) m.k. x Huomautus. Lauseen 3.13 funktio f on Lipshitz: f(x) f(y) = VL f (ξ)(x y) f x y kaikilla x, y R. Todistus: Huomaa, että f (u)du L 1 loc (). Olkoon u j C () sellaisia, että kaikilla G : u j u, Du j Du L(G):ssä. (Lause 3.7). Tällöin f u j (x) f u(x) dx G = f(u j (x)) f(u(x)) dx G f Lip. f G u j (x) u(x) dx j 0. Siispä f u j f u L 1 (G):ssä ja erityisesti f u L 1 (G). Siten f u L 1 loc ().
34 32 Osoitetaan lopuksi, että D(f u j ) f (u)du L 1 (G):ssä kaikilla G, jolloin väite seuraa Lausessta 3.7. Voidaan osoittaa, että u j (x) u(x) m.k. x (osajonoon siirtymällä). G = f (u)du D (f u j ) dx = f (u)du f (u j )Du j dx C 1 G f (u)(du Du j ) Du(f (u j ) f (u)) dx G G f (u) Du j Du dx + <M G f Du j Du G Du f (u j ) f (u) dx 0 m.k. x, koska f jva ja u j (x) u(x) Du f (u j ) f (u) dx j 0. Edellä käytettiin dominoidun konvergenssis lausetta; huomaa, että integrandeilla Du f (u j ) f (u) on majorantti 2 Du f L 1 (G). Merkintä. Funktioiden positiivi- ja negatiiviosat ovat { u + u(x), jos u(x) > 0 (x) := 0, jos u(x 0) { u u(x), jos u(x) < 0 (x) := 0, jos u(x) 0. Näiden avulla saadaan itseisarvo ja maksimi sekä minimi: u = u + + u, u = u + u. max(u, v)(x) = max(u(x), v(x)) = (u v) + (x) + v(x) min(u, v)(x) = min(u(x), v(x)) = v(x) (u v) (x).
35 Lause. Jos funktiolla u L 1 loc () on 1. kertaluvun heikko derivaatta Du :ssa, niin funktioilla u +, u ja u on myös 1. kertaluvun heikko derivaatta ja { Du + Du(x), jos u(x) > 0 (x) = 0, jos u(x) 0 { Du Du(x), jos u(x) < 0 (x) = 0, jos u(x) 0 Du(x), jos u(x) > 0 D u = Du + (x) + Du (x) = Du(x), jos u(x) < 0 0, jos u(x) = 0 Lisäksi: Du(x) = 0 m.k. x {y : u(y) = 0}. Todistus: Koska u = ( u) +, niin mikäli väite pätee u +, niin loput seuraavat siitä; huomaa, että tällöin Du = D(u + ) D(u ) = 0 0 = 0 m.k. joukossa {x : u(x) = 0}. Siten riittää osoittaa, että on olemassa Du + ja että väitteen kaava on sille voimassa. Olkoon f ε (t) = { t2 + ε 2 ε, jos t > 0 0, jos t 0, jolloin f ε(t) = { t t 2 +ε 2, jos t > 0 0, jos t 0 ja siis f C 1 (R) sekä f(t) 1 kaikilla t R. Ketjusäännön 3.13 nojalla f ε u on heikosti derivoituva ja D(f ε u) =f ε(u(x))du(x) { u(x) Du(x), jos u(x) > 0 = u(x) 2 +ε2 0, jos u(x) 0. Olkoon ϕ C 0 (). Tällöin D(f ε u)ϕ dx = f ε udϕ dx
36 34 Siis {x:u(x)>0} 1 {}}{ u(x) u2 + ε Du(x)ϕ(x) dx = } 2 {{} Duϕ L 1 {x:u(x)>0} u(x) { }}{ ( u(x)2 + ε 2 ε) dx. u+ε Dϕ L 1 Dϕ(x) Vasemmasta puoliskosta saadaan rajalla dominoidun konvergenssilauseen avulla {u(x)>0} Duϕ dx = Du + ϕ dx (missä Du + viittaa väitteen kaavalla määriteltyyn funktioon) ja oikeasta puoliskosta saadaan u(x)dϕ(x) dx = u + (x)dϕ(x) dx, {u(x)>0} joten Du + ϕ dx = u + (x)dϕ(x) dx Huomautus. = u + Dϕ dx Duϕ dx = udϕ dx u Dϕ dx = Duϕ dx Duϕ dx u + Dϕ dx + Duϕ dx = {u>0} u Dϕ dx + {u<0} ( Du)ϕ dx {u>0} } {{ } =0 {u 0} } {{ } =0
37 Seuraus. {(Hilaominaisuus)} Jos u, v heikosti 1. kertaa derivoituvia, niin max(u, v) ja min(u, v) ovat myös ja D max(u, v)(x) m.k.x = D min(u, v)(x) = { Du(x), Dv(x), { Dv(x), jos u(x) v(x) jos v(x) u(x) jos u(x) v(x) Du(x), jos u(x) v(x). Erityisesti Du = 0 m.k. joukossa {u(x) = λ} kaikilla λ R. Seurauksen 3.17 antama etuus on se, että voidaan typistellä eli tutkia leikattuja funktioita u max(min(u, k), k). Sen avulla useat väitteet riittää todistaa rajoitetuille funktioilla (ja huolehtia vain, että ominaisuudet eivät menehdy rajankäyntiin) bsoluuttinen jatkuvuus Muista, että jos [a, b] R, niin funktio f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos jokaisella ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että aina, kun poimitaan äärellisen monta pistevierasta välin [a, b] osaväliä, joiden yhteenlaskettu pituus on alle luvun δ, niin funktion f kokonaisheilahtelu po. välien päätepisteissä on alle ε, ts. jos a a 1 < b 1 a 2 < b 2 < a k < b k < b ovat sellaiset, että k (b j a j ) < δ, j=1 niin k f(b j ) f(a j ) < ε. j=1 Muista. (i) bsoluuttisesti jatkuva on jatkuva.
38 36 (ii) Reaalianalyysin kurssilla todistettanen: 5 f on absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain, jos on olemassa (tavallinen derivaatta) f (x) m.k. x [a, b], f L 1 ([a, b]) ja f(y) = f(a) + f (x) dx kaikilla y [a, b]. [a,y] Jos-suunnassa riittää, että eo. integrointikaava on voimassa, kun f korvataan integroituvalla funktiolla g (joka a posteriori on f:n derivaatta m.k.). Heikko derivaatta ja absoluuttinen jatkuvuus, kun n = Lause. Olkoon R avoin ja u L 1 loc () heikosti derivoituva (ts. on olemassa Du L 1 loc (). Tällöin on olemassa sellainen v : R, että v [a,b] on absoluuttisesti jatkuva jokaisella osavälillä [a, b] ja v(x) = u(x) m.k. x. Lisäksi Du(x) = Dv(x) m.k. x. Kääntäen, jos f L 1 loc () on sellainen funktio, jolle rajoittumat f [a,b] ovat absoluuttisesti jatkuvia kaikilla [a, b] ja jos f L 1 loc (), niin f on heikosti derivoituva ja Df = f m.k. Todistus: Riittää osoittaa, että f on f:n heikko derivaatta (tehtiin oleellisesti harjoituksissa). Olkoon ϕ C0 (). Tällöin (fϕ) on absoluuttisesti jatkuva kaikilla väleillä [a, b], joten spt fϕ 0 = (fϕ) dx = f ϕ dx + fϕ dx, ts. fϕ dx = ϕf dx kaikilla ϕ C 0 () eli f = Df. Voidaan olettaa, että on yhtenäinen. Otetaan ϕ j C () s.e. ϕ j u ja ϕ Du L 1 loc ():ssa ja ϕ j(x) u(x) m.k. x. Valitaan x 0, jolle ϕ j (x 0 ) u(x 0 ). Väite: Kaikilla x ϕ j (x) u(x 0 ) + [x 0,x] Du(y)dy. 5 katso esim. Bruckner, Bruckner, and Thomson: Real analysis.
39 37 Todistus: ϕ j dy Du(y) dy ϕ j Du dy 0. [x 0,x] [x 0,x] [x 0,x] Siten ϕ j (x) = ϕ j (x 0 ) + ϕ dy u(x 0 ) + Du(y) dy kaikilla x. [x 0,x] [x 0,x] Väitten nojalla rajafunktio v, v(x) = lim j ϕ j (x) on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b]. Koska ϕ j (x) u(x) m.k. x, on v(x) = u(x) m.k. x. Erityisesti siis heikosti derivoituvalla u L 1 loc (]a, b[) on (absoluuttisesti) jatkuva edustaja. Heikko derivaatta ja absoluuttinen jatkuvuus, kun n 2. Kun n 2, niin heikosti derivoituvalla funktiolla ei yleensä ole jatkuvaa edustajaa (esimerkiksi funktio x 3 2 n on tällainen) Määritelmä. Funktio u : R,, on CL :ssa (eli absoluuttisesti jatkuva m.k. suorilla), jos se on absoluuttisesti jatkuva melkein jokaisella koordinaattiakselin suuntaisella suoralla tarkasti: Olkoon L j. koordinaattiakselin suuntainen suora, ts. L = {x L + te j : t R} ja (x 1, x 2,..., x j 1, 0, x j+1,..., x n ), e j j. kantavektori. Jos J L on suljettu jana, ts. J = {x L + te j : t [a, b]}, niin t u(x l + te j ) on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b].
40 38 Melkein jokaisella suoralla tarkoittaa: m n 1 (P j (E)) = 0 kaikilla j = 1,..., n, missä E = {x L : ominaisuus ei päde suoralla {x L + te j : t R}} ja P j : 1 on j. projektio, ts. P j ((x 1,..., x n )) = (x 1,..., x j 1, x j+1,..., x n ) Huomautus. CL-funktio ei välttämättä ole edes mitallinen. Varo: Jotkut sisällyttävät jatkuvuuden CL-funktioiden määritelmään Lause. Olkoon u L 1 loc (), Rn. Tällöin u:lla on heikko derivaatta D i u L 1 loc (), jos ja vain, jos on olemassa sellainen CL-funktio v : R, jolle Tällöin i v = D i u m.k. :ssa. u(x) = v(x) m.k. x ja i v L 1 loc(). Tässä i v on osittaisderivaatta, joka on tavallisessa mielessä olemassa m.k. suorilla L, jolla v on absoluuttisesti jatkuva. Todistus: Kuten edellinen lause + Fubini. Voidaan olettaa, että = ja että u(x) = 0, kun x R. (Helppoa, kun käyttää cut-off -funktioita, palloja ja diagonaaliargumenttia.) Valitaan ϕ j C 0 ( ) (voidaan olettaa, että spt ϕ j B(0, 2R)), jolle ϕ j (x) u(x) m.k. x ja D i ϕ j (x) D i u L 1 ( ):ssä. Merkitään pistettä x symbolilla ( x, x i ), missä x 1. ( D i ϕ j ( x, x i ) D i u( x, x i ) dx i ) d x j 0. 1 R Osajonoon siirtymällä voidaan olettaa, että m.k. x 1 R D i ϕ j ( x, x i ) D i u( x, j x i ) dx i 0 x i 0 on Cauchy L 1 :ssä
41 39 Siispä m.k. x 1 : R D i ϕ j ( x, x i ) D i ϕ k ( x, j,k x i ) dx i 0. Cauchy Nyt kaikilla x B(0, 2R) pätee ϕ j ( x, x i ) ϕ k ( x, x i ) = x i D i ϕ j ( x, t) D i ϕ k ( x, x i )dt 2R alarajoilla sij =0 D i ϕ j ( x, t) D i ϕ k ( x, t) dt 0. R Näin ollen, jono x i ϕ j ( x, x i ) on tasaisesti Cauchy-jono R:ssä, joten se suppenee tasaisesti kohti jotain jatkuvaa funktiota x i v( x, x i ). Toisaalta x i D i ϕ j ( x, t)dt x i D i u( x, t)dt, joten 2R =ϕ j ( x,x i ) x i v( x, x i ) = 2R 2R D i u( x, t)dt. Toisin sanoen, x i v( x, x i ) on absoluuttisesti jatkuva välillä [ 2R, 2R]. Toisaalta ϕ j ( x, x i ) u( x, x i ) m.k. x, joten v on etsitty edustaja. Derivaatta saadaan suoraan integraalista Huomautus. Lokaalisti Lipschitz-funktio u : R on absoluuttisesti jatkuva kaikilla suorilla ja sen osittaisderivaatta on lokaalisti rajoitettu, joten u on heikosti derivoituva. Muista, että u on lokaalisti Lipschitz-funktio, jos kaikilla palloilla B(x 0, r) on vakio M B s.e. u(x) u(y) Mu B (x, y) kaikilla x, y B(x 0, r).
42 40 4. Sobolev-avaruudet, osa II 4.1. Määritelmä. Olkoon avoin ja k N ja 1 p. Sobolev-avaruus W k,p () koostuu kaikista funktioista u L p (), joilla on heikot derivaatat D α u :ssa kaikilla α N n, α k, ja D α u L p (). (k =kertaluku) Siinä käytetään normina 6 Vastaava lokaali avaruus on Huomaa, että samastuksella u k,p := u W k,p () = α N n α k D α u L p () W k,p loc () := {u : u W k,p (D) kaikilla D }. u (u, D (1,0,... ) u, D (0,1,0... ),... ) W k,p () voidaan tulkita tuloavaruuden L p () L p () L p () aliavaruudeksi. Muita käytettäviä ekvivalentteja normeja W k,p ():ssa on mm. ( u := α k ) 1 D α u p p dx (1 p < ) ; ekvivalenttius tarkoittaa sitä, että on olemassa sellainen vakio c R, jolle 1 c u k,p u c u k,p kaikilla u W k,p () Huomautus. Jos p = 2, niin avaruuteen W k,2 () tulee normi sisätulosta (u v) := D α ud α v dx α k ja (u u) = u 2, joka on siis ekvivalentti normin k,2 kanssa; tätä normia käytetään yleensä W k,2 ():ssa, koska tästä tulee tällöin Hilbert-avaruus. 6 Huomaa, että D 0 u eli u on summassa mukana.
43 Lause. (W k,p (), k,p ) on Banach-avaruus. Todistus: Demot Huomautus. Jatkossa ei yleensä ole väliä, mitä ekvivalenteista normeista W k,p ():ssa käytetään; ekvivalenttiusvakio on yleensä c = c(k, p, n). Lauseesta 3.21 saadaan 4.5. Lause. Olkoon u L p (). Tällöin u W 1,p () jos ja vain jos on olemassa sellainen CL-funktio v L p (), jolle j v L p () kaikilla j = 1,..., n ja v = u m.k. :ssa Huomautus. Monet ilmiöt W k,p ():ssa voidaan induktiivisella päättelyllä helposti palauttaa W 1,p ():aa koskeviksi ilmiöiksi. Tästä syystä jatkossa useimmiten rajoitumme tarkastelemaan avaruuksia W 1,p (). Selvästi C0 () C0 k () W k,p (); joukon C0 (): sulkeumaa W k,p ():ssa merkitään symbolilla W k,p 0 (). (Sanotaan, että u W k,p 0 () häviää :lla Sobolevmielessä.) Siis u W k,p 0 () jos ja vain jos on olemassa jono ϕ j C0 () s.e. lim u ϕ j k,p = 0. j Tällöin (W k,p 0 (), k,p ) on Banach-avaruuden suljettuna aliavaruutena itsekin Banach-avaruus Huomautus. W k,p 0 () W k,p (). Yleensä W k,p 0 () W k,p (), esimerkiksi kun rajoitettu. Intuitiivisesti W k,p 0 ():n funktiot häviävät :lla (ei ole tarkkaan ottaen totta, katso Lause 8.24). Jos u W k,p 0 (), niin (HT) v W k,p v(x) = 0 ( ) W k,p ( ), missä { u(x), jos x 0, jos x /. Käänteinen puoli ei ole selllaisenaan edes mielekäs kysymys (miksei?), vaan tarvitsee lisäpohdintaa (katso Lause 8.24).
44 Määritelmä. Olkoon, 1 p <, k N. Sobolev-avaruus H k,p () on joukon C () W k,p () sulkeuma W k,p ():ssa, ts. u H k,p () jos ja vain jos u L p (), D α u L p () kaikilla α : α k ja on olemassa jono ϕ j C (), jolle u ϕ j k,p 0, kun j Huomautus. (H k,p (), k,p ) on Banach-avaruus. u H k,p () jos ja vain jos u L p () ja on olemassa funktiot v α L p () kaikilla α N n, α k, ja ϕ j C () s.e. ϕ j u L p () : ssa ja D α ϕ j v α L p () kaikilla α N n, α k. Tällöin v α =: D α u. (Lause 3.7.) Huomautus. Jatkossa joskus merkitään vastaavasti H k,p 0 () := W k,p 0 () Huomautus. Kun p = 2, usein kirjallisuudessa merkitään H k,2 () = H k () ja H k,2 0 () = H k 0 (). HVINTO: Inkluusio H k,p () W k,p () tulee suoraan määritelmästä. Edelleen, H k,p ( ) = W k,p ( ). Syy: Jos u W k,p ( ), niin silotetaan ϕ j = η 1/j u, jolloin ϕ j L p ( ) ja ϕ j u L p ( ):ssa (Lause 2.5) ja D α ϕ j = D α (η 1 j u) Lemma 3.4 = η 1 D α u D α u j L p ( ) : ssä. Itse asiassa näin on kaikilla : H k,p () = W k,p ().
45 43 Eo. päättely osoittaa, että 7 W k,p () H k,p loc (). Yhtäsuuruuden H k,p () = W k,p () todistamiseksi tarvitsemme ns. ykkösen ositusta : Lause. (Ykkösen ositus) Jos E ja G kokoelma avoimia joukkoja U, joille E U G U. Tällöin on olemassa sellainen kokoelma Ψ C 0 ( ), että kaikilla ψ Ψ: 0 ψ(x) 1 kaikilla x, ψ C 0 ( ) ja i) kaikilla ψ Ψ on olemassa U G s.e. spt ψ U, ts. ψ C 0 (U) ii) jos K E kompakti, niin #{ψ Ψ : spt ψ K } < iii) ψ(x) = 1 kaikilla x E. ψ Ψ (Kokoelma Ψ on joukon E peitteeseen G liittyvä ykkösen ositus.) Todistus:. E kompakti: Tällöin on olemassa U 1, U 2,..., U k G s.e. E k ja on olemassa kompaktit E j U j s.e. E = k E k. j=1 U j j=1 (Esimerkiksi E j = {x E : dist(x, U j ) c pienellä c}.) Olkoon ϕ j C 0 (U j ), 0 ϕ j 1, ϕ j = 1 E j :ssä (Seuraus 2.21) ja olkoon ϕ = k ϕ j. j=1 7 H k,p loc () = {v Hk,p (D) : D }.
46 44 Tällöin Merkitään ϕ C0 () ja E {x : ϕ(x) 1}. on kompakti E := {x : ϕ(x) 1} {x : ϕ(x) > 1 2 } =: V, jolloin V on avoin. Valitaan h C ( ) s.e. h(x) > 0 kaikilla x ja h(x) = ϕ(x) kaikilla x E. (Tällainen h on olemassa: olkoon g C 0 (V ), 0 g 1 s.e. g = 1 E:ssa, jolloin esimerkiksi h = 1 + ϕ g käy.) Määritellään Ψ = { ϕ j h : j = 1, 2,..., k} C 0 ( ). Ehdot (i) ja (ii) ok tälle perheelle Ψ.. Jos x E, k j=1 joten (iii) on ok; tämä on siis etsitty perhe. B. E avoin: Valitaan ϕ j (x) h(x) = 1 ϕj (x) = 1, h(x) =ϕ(x) E i := B(0, i) {x E : dist(x, E) 1 }, i = 1, 2,... i Tällöin joukot E i ovat kompakteja ja Merkitään E 0 := =: E 1. Kun E i = E. i=1 U j := {U (inte j+1 )\E j 2 : U G}, j = 1, 2,..., on U j E j \inte }{{ j 1 :n avoin peite. } kompakti
47 45 Kohdan nojalla jokaisella j on olemassa sellainen Ψ j C 0 ( ), että #Ψ j < ja Ψ j on E j \inte j 1 :n peitteeseen U j liittyvä ykkösen ositus. Olkoon nyt 8 s(x) = j=1 ψ Ψ j ψ(x) Tällöin s(x) > 0 kaikilla x E ja s C ( ). Määritellään Ψ = j=1ψ Ψ j { f : missä f(x) = Tällöin Ψ C 0 ( ) on etsitty funktioperhe. C. E mielivaltainen: Tällöin { ψ(x) s(x) G = U U G }, jos x E,. f(x) = 0, jos x / E on avoin joukko ja sen peitteeseen G liittyvä ykkösen ositus on myös joukon E G peitteeseen G liittyvä ykkösen ositus Lause. (H = W, sileillä approksimointi) Kun 1 p <, niin H k,p () = W k,p (), ts. jokaisella u W k,p () on olemassa jono ϕ j C () W k,p () s.e. ϕ j u L p ():ssa ja D α ϕ j D α u L p ():ssa kaikilla α : α k. Todistus: Valitaan = s.e. = j. j=1 Olkoon Ψ :n peitteeseen { j+1 \ j 1 : j = 1, 2,... } liittyvä ykkösen ositus. Olkoon Ψ j = {ψ Ψ : spt ψ j+1 \ j 1 } 8 Huomaa, että summassa vain äärellisen monta nollasta eroavaa termiä kerrallaan annetulla kompaktilla joukolla.
48 46 Tällöin #Ψ j < ja ψ j C 0 ( j+1 \ j 1 ), missä ψ j = ψ Ψ j ψ. Lisäksi ψ j (x) = j=1 ψ(x) = ψ(x) = 1 kaikilla x. ψ Ψ j j=1 ψ Ψ Olkoon ε > 0, (ε < dist( j+1 \ j 1, ( j+2 \ j 2 ))). Nyt ε 0 η ε (ψ j u) ψ j u L p ():ssa. C0 ( j+2\ j 2 ) Edelleen D α (η ε (ψ j u)) :ssa = η ε D α (ψ j u) D α (ψ j u) L p ():ssa kaikilla α, joille α k. Olkoon δ > 0. On olemassa ϕ j C 0 ( j+2 \ j 2 ) s.e. Olkoon ϕ = j=1 ϕ j C () ja ϕ u k,p = ψ j u ψ j k,p < δ 2 j. ϕ j ( ) ψ j u k,p j=1 ϕ j ψ j u }{{ k,p < δ. } < δ 2 j j=1 j= Huomautus. Lauseessa 4.13 ei väitetä, että funktiota u W k,p () voitaisiin approksimoida funktioilla ϕ j C (). Tällaista approksimointia ei voida saavuttaa kuin poikkeustapauksissa. (HT) Yleensä W k,p 0 () W k,p (), mutta jos = avaruudet ovat samat:
49 Lause. Jos 1 p <, niin W k,p ( ) = W k,p 0 ( ). Todistus: Todistetaan yksinkertaisuuden vuoksi vain tapaus k = 1. Olkoon u W 1,p ( ) ja ε > 0. Pitää löytää ϕ C0 ( ) s.e. u ϕ 1,p < ε. Koska W 1,p 0 () on Banach, riittää löytää v W 1,p 0 () s.e. v u 1,p < ε. Valitaan r > 0 s.e. ( B(0,r) ) 1 u p p n dx + j=1 ( B(0,r) ) 1 D j u p p ε dx < n + 1. Valitaan (cut-off) ψ C 0 ( ) s.e. 0 ψ 1, ψ B(0,r) 1 ja ψ(x) 1 kaikilla x. Tällöin v = uψ W 1,p 0 ( ) (ks. Harj.) Lasketaan: koska ψ = 1 pallossa B(0, r) n u v 1,p = } u {{ v } p + D j u D j v p =(1 ψ)u j=1 =D j (1 ψ)u=(1 ψ)d j u ud j ψ = ( (1 ψ)u p dx ) n 1 p ( + (1 ψ)d j u p dx ) 1 p B(0,r) 1 j=1 B(0,r) 1 n ( + ud j ψ p dx ) 1 p j=1 (n + 1) ( B(0,r) B(0,r) ε (n + 1) n + 1 = ε. u p dx ) 1 p + n ( j=1 B(0,r) D j u p dx ) 1 p
50 48 5. Perusepäyhtälöt 5.1. Sobolevin epäyhtälöt 5.1. Lause. (Sobolevin epäyhtälö, kun p = k = 1) Olkoon avoin, n 2. Tällöin on olemassa vakio c = c(n) > 0 s.e. Huomaa, että n > 1. n 1 u n n 1 c u 1 kaikilla u C 1 0() Määritelmä. Olkoon 1 p < n. Tällöin p:n Sobolev-konjugaatti on luku Huomaa: p = np n p. p = np n p n n 1 p > p ja 1 p = 1 p 1 n sekä ( pn n + p ) = p Lause. (Sobolevin epäyhtälö/ Sobolevin upotuslause) Kun 1 < p < n, niin on olemassa vakio c = c(n, p) > 0 s.e. missä on avoin. u p c u p kaikilla u W 1,p 0 (), Lauseen 5.1 todistus: Voidaan olettaa, että u C 0 (). Koska spt u on kompakti, voidaan olettaa, että =. Nyt u(x) = x i i u(x 1, x 2,..., x i 1, t, x i+1,..., x n )dt x i u(x 1, x 2,..., x i 1, t, x i+1,..., x n ) dt
51 49 kaikilla i = 1, 2,..., n, joten u(x) n ( x 1 )( x2 u dy 1 ) ( x n u dy 2... u dy n ). Nyt integroimalla ja käyttämällä yleistettyä Hölderin epäyhtälöä eksponeneteilla n 1 saadaan u(x) n n 1 dx1 = ( n i=1 ( ( u dy i ) 1 n 1 dx 1 u dy 1 ) n n 1 u dy 1 ) 1 n 1 ( n i=2 ( n i=2 u dy i ) 1 n 1 dx 1 u dy i dx 1 ) 1 n 1.
52 50 Toistamalla tämä n 1 kertaa u(x) n n 1 dx1 dx 2... dx n = } {{ } n 1 kpl } {{ } n 2 kpl ( [( [( u dy 1 ) 1 n 1 u dx 1 ) 1 n 1 n i=2 ( u dy 2 dx 1 ) 1 n 1 n i=3 ( u dy i dx 1 ) 1 n 1 ] dx 2... dx n u dy i dx i ) 1 n 1 dx2 ( ) 1 Q n 1 n R R i=1 u dx 2 dx i... n i=3 (... ( ) 1 ( n 1 u dx 1 dx i u dx 1... dx n ) n n 1 = ( u dx ] dx 3... dx n u dx 1 dx 2 ) 2 n 1 dx3... dx n ) n n 1. Siispä saatiin haluttu epäyhtälö u n n 1 u Huomautus. Hieman huolellisemmalla arvioinnilla saisimme Lauseen 5.1 epäyhtälöön hieman paremman vakion 9 u n n 1 1 n u 1. Lauseen 5.3 vakio sen sijaan riippuu p:sta. (Ei ole totta, että voitaisiin antaa p n ja saada epäyhtälö ei tosi u c u n, 9 Ks. esim Gilbarg & Trudinger, Theorem 7.10.
53 51 sillä on olemassa u W 1,n 0 (B)\L (B) (HT).) 5.5. Huomautus. Lauseen 5.3 nojalla W 1,p loc () Lp loc (), kun p < n (ja lisäksi upotus on jatkuva). Lauseen 5.3 todistus: Riittää osoittaa epäyhtälö, kun u C 1 0(). (Jos ϕ j uw 1,p ():n ϕ j C 0 (), niin sovelletaan epäyhtälöä funktioihin ϕ j ϕ k, jolloin siis ϕ j ϕ k p c (ϕ j ϕ k ) = c ϕ j ϕ k. Siis ϕ j on Cauchy-jono, joten se suppenee L p ():ssa. Niinpä u L p ja ϕ j ul p ():ssa ja siten u p = lim ϕ j p lim c ϕ j p = u p.) Väite C 1 0():n funktioille, kun p = 1, todistettiin edellisessä lauseessa, joten voidaan olettaa, että 1 < p < n. Olkoon u C 1 0(), u 0, ja γ > 0. Olkoon v(x) = u(x) γ W 1,1 0 ( ) (voidaan olettaa, että = ). Sobolev epäyhtälö, kun p = 1 antaa Siis ( Hölder ) n 1 u γ n n n 1 dx ( γ v n n 1 v 1. ) p 1 (γ 1)p p u p 1 dx u γ dx = γ ( ) 1 u p p dx u dx p p p 1 u γ 1. } {{ } = u p Valitaan γ siten, että γn = n 1 p, jolloin (γ 1)p = p, ja siis edellinen epäyhtälö saa p 1 muodon ( ) n 1 ( ) p 1 n p(n 1) p =1 1 p u p dx u p dx u p. n p Siis ( = 1 p {}}{ ) 1 1 u p dx n (1 1 p ) p(n 1) n p u p.
54 Seuraus. Kun 1 p < n, niin W 1,p 0 () L p () ja upotus on jatkuva. Erityisesti W 1,p ( ) L p ( ). Funktioiden C 1 0():n sulkeuma gradientin L p -normin suhteen antaa avaruuden uppoaa L p ():n aliavaruudeksi Seuraus. Olkoon, < ja u W 1,p 0 (). Tällöin ( ) 1 u q q 1 dx c n ( ) 1 u p p dx, missä { 1 q np n p p, jos 1 p < n 1 q <, jos p n ja c = c(n, p, q.) > 0. Todistus: Helppo, ks. demot Seuraus. Jos on rajoitettu ja u W 1,p 0 (), 1 p <, niin u p dx c diam() p u p dx, missä c = c(n, p) > 0. Todistus: Olkoon x 0 ja r = diam(). Tällöin B(x 0, r), joten soveltamalla Seurausta 5.7 kun B(x 0, r) ja q = p, saadaan u p dx u:n nollajako = B(x 0,r) u:n nollajako = c diam() p u p dx c B(x 0, r) p n r n p n u p dx. B(x 0,r) u p dx
55 Seuraus. Jos < ja p n, niin W 1,p 0 () L q () kaikilla q [1, [ Lause. (Sobolevin epäyhtälö korkeammille kertaluvuille) Olkoon k N ja 1 pk < n. Jos u W k,p 0 (), niin u L np n kp () ja u np n kp c D α u p, α =k missä c = c(n, p, k) > 0. Todistus: Sovelletaan Sobolevin epäyhtälöä k kertaa. Voidaan olettaa, että u C 0 (). Nyt u q c u q, missä q = np n (k 1)p eli q = np n kp Siis 1 q = 1 q 1 n = np n (k 1)p p np = n kp, np u np n kp c D α u α =1 np n (k 1)p c D β u np... n (k 2)p β =2 Sovelletaan Sobolev epäyhtälöä funktioon D α u ja eksponenttiin voidaan tehdä, pitää olla np n (k 2)p < n. Näin on, kun (k 1)p < n, joten saamme edelleen np ; jotta niin n (k 2)p u np n kp c D γ u γ =k np n (k k)p = c D γ u p. γ =k
56 Poincaré-epäyhtälöt loitamme lemmalla: 5.1. Lemma. Olkoon 1 p < ja B(x 0, r) pallo. Tällöin on olemassa vakio c = c(n, p) > 0, jolle B(x 0,r) u(x) u(y) p dy cr n+p 1 kaikilla x B(x 0, r) ja u C 1 (B(x 0, r)). B(x 0,r) Todistus: Merkitään B = B(x 0, r). Jos x, y B, niin 1 u(x) u(y) = u p dy x y n 1 u(x + t(y x)) (y x)dt u(x + t(y x)) y x dt. Integroimalla epäyhtälöön molemmat puolet yli pallon saadaan Hölderin epäyhtälöstä 1 u(x) u(y) p dy u(x + t(y x)) p y x p dt dy B = B B u(x + t(y x) ) p y x p dydt =:z Muuttujanvaihdolla z := x + t(y x), J z = t n, z 0 := x + t(x 0 x) = tx 0 + (1 t)x, x y = 1 z x, joten t u(x) u(y) p dy = 1 u(z) p t (n+p) z x p dzdt B 0 B(z 0,t r) Huomaa, että B(z 0, t r ) B(x, 2r), sillä jos w B(z 0, tr), niin w x w z 0 + z 0 x tr + t x x 0 < 2rt.
57 55 B u(x) u(y) p dy = (2r) p 1 0 u(z) p B B(x,2rt) z x 2rt t z x 2r u(z) p t (n+p) z x p dzdt 2rt t n dtdz cr p 1+n B B(x,r2t) B z x 2r z x 1 n = 1 n 1 ( (2r 1 n ) u(z) p z x 1 n dz. 1) } {{ } z x 1 n (2r) 1 n Lause. (Poincarén epäyhtälö pallossa) Olkoon 1 p < ja B = B(x 0, r). Tällöin on olemassa vakio c = c(n, p) > 0 s.e. B u u B p dx cr p B u p dx kaikilla u W 1,p (B); tässä u B := u dx. B
58 56 Todistus: Voidaan olettaa, että (miksi?) u C 1 (B). Lasketaan: u u B p = u(x) u(y) dy p dx B B = R B B u(x) dy = u(x) u(y) dy p dx B B Jensen B B L.5.1 cr p 1 = cr p 1 c 2 r p B B u(x) u(y) p dy dx u(y) p dy dx x y n 1 B B u(y) p 1 1 dx r x y n 1 B u(y) p dy. 1 R r B(y,2r) x y 1 n dx= c R 2r r 0 t1 n t n 1 dt= c2r r = c (n) dy Huomautus. Ei pidä luulla, että Poincarén epäyhtälössä pallon voisi korvata mielivaltaisella rajoitetulla joukolla Lause. (Sobolev-Poincaré -epäyhtälö) Olkoon 1 p < n. On olemassa vakio c = c(n, p) > 0 s.e. ( B r u u B p ) 1 p ( ) 1 cr u p p dx B r kaikilla palloilla B r = B(x 0, r) ja kaikilla u W 1,p (B r ). Todistus: Todistetaan ensin apuväite: 5.2. Lemma. On olemassa c = c(n, p) > 0: ( B r v p kaikilla v W 1,p (B r ). ) 1 p dx ) 1 c (r p v p dx + v p p dx B r B r
59 57 Lemman todistus: Voidaan olettaa, että x 0 = 0. Skaalaamalla (v(y) korvataan funktiolla 1 v(ry)) voidaan olettaa, että r = 1. Myöhemmin todistamme, että on r olemassa sellainen w W 1,p ( ), jolle w B1 = v ja w W 1,p ( ) c v W 1,p (B 1 ), missä c = c(n, p) > 0. Siis ( v p ) 1 ( p dx = w p ) 1 p dx ( w p ) 1 p dx B 1 Sob.ey ( c w p dx B 1 ) 1 p ( c w 1,p c v p dx + B 1 B 1 ) 1 v p p dx (HT: a j 0 ja p > 0 ( k j=1 a j) p k p k j=1 ap j.) Varsinaisen väitteen todistus: Sovelletaan Lemmaa funktioon v = u u Br ( u u Br p B r c (r p ) 1 ( p dx = v p dx + B r B r = u p c (r p u p dx B r ) 1 p. W 1,p (B r ), siis B r v p v p dx = u u B r }{{ p } cr R p Poincaré Br u p ) 1 p dx ) 1 p Tapaus p = n ( konformi-invariantti tapaus ) Ei ole totta, että W 1,n 0 () L (). [Esim. log(( log( x )) + )] Kuitenkin jokainen u W 1,n ( ) on BMO-funktio: (rajoitettu keskiheilahtelu, Bounded Mean Oscillation) Määritelmä. f L 1 loc (Rn ) on BMO-funktio, jos on olemassa c > 0 s.e. f f B dx c kaikilla palloilla B. B
60 Lause. Jos u W 1,n ( ), niin u BMO. Todistus: Olkoon B pallo. B u u B dx Jensen Poincaré c B 1 n ( B ( B u n dx ) 1 u u B n n dx ) 1 n ( B 1 n = c B 1 n B ) 1 u n n dx c u 1,n Lause. (Trudingerin epäyhtälö) Olkoon rajoitettu. Tällöin on olemassa vakiot c 1 = c 1 (n), c 2 = c 2 (n) s.e. kaikilla u W 1,n 0 (). (n 2) ( ) ( u ) n n 1 exp dx c 2 c 1 u n Todistus: (Idea) Voidaan olettaa, että u n = 1. = exp ( u n n 1 ) dx = k=0 u kn n 1 k! k k=0 1 k! Sob.ey+Jensen dx ( u n n 1 k=0 ) k dx 1 k! c k k u kn n 1 n Käytetään Rieszin potentiaalia ja osoitetaan, että c k voidaan valita s.e. sarja suppenee. = Lause. (Morreyn epäyhtälö) Olkoon 1 < n < p < ja B r = B(x 0, r) pallo. Tällöin on olemassa vakio c = c(n, p) > 0 s.e. m.k. x, y B r ja kaikilla u W 1,p (B r ). ( ) 1 u(x) u(y) cr u p p dx B r
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotSOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015
SOBOLEV-AVARUUDET Pekka Koskela Kevät 2015 Luennot: Ti 1416 MaD 380, Ke 1214, MaD 302. Demot: To 1416, MaD 380. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Sergei L. Sobolev 1908-1989: On some
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotSymmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö
Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Arttu Yli-Sorvari Pro gradu -tutkielma 218 matematiikan ja tilastotieteen laitos Tiivistelmä Yli-Sorvari, Arttu Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Matematiikan
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotVariaatiolaskenta. Petri Juutinen
Variaatiolaskenta Petri Juutinen 25. lokakuuta 25 Sisältö Johdanto 2 2 Ääriarvo-ongelmista R n :ssä 2. Puolijatkuvuus................................ 2.2 Konveksit joukot ja funktiot.........................
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedotvan der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma
van der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma Miikka Kuisma Pro Gradu-tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2019 Tiivistelmä: Miikka Kuisma,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedoton Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.
f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Lisätiedot