Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21."

Transkriptio

1 Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta

2 Sisältö 1 Euklidinen avaruus Euklidinen avaruus R n Karteesinen tulo Vektoriavaruus R n Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruuden R n sisätulo Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Täydellinen metrinen avaruus Joukon halkaisijan merkintä Vektorifunktioista Määritelmä: funktion graafi Funktion tasa-arvojoukko Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Reaaliarvoiset vektorifunktiot Raja-arvo Määritelmä: raja-arvo Jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Määritelmä: kahden muuttujan funktion osittaisderivaatat Suunnatuista derivaatoista Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä Gradientista Derivaatasta Ääriarvotehtäviä 19 1

3 Esimakua (a) x x 3 (b) x x 2 (c) x x Kuva 1: Funktioiden f R R kuvaajia analyysin kursseilta. (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva 2: Reaaliarvoisten vektorifunktioiden kuvaajia. Vasemmanpuoleinen } graafi on tarkemmin joukko S = {x R 3 x = (u, u 2 ) u R 2. (a,b,c) b c a } Kuva 3: Pinta S = {(x, y, z) R 3 z = x 2 y (x, y) R2 vektoriavaruudessa R 3 ja pinnan piste (a, b, c). 2

4 Kertaus Kaksiuloitteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja eli: R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R} missä R on reaalilukujen joukko. Siellä meillä on kaikilla tason lukupareilla (x 1, x 2 ) ja (u 1, u 2 ) määritelty luonnollinen vektorisumma eli yhteenlasku: (x 1, x 2 ) + (u 1, u 2 ) = (x 1 + u 1, x 2 + u 2 ) ja reaalisella skalaarilla λ R kertominen: λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Muistutus! (R 2, +) on Abelinryhmä, nolla-alkiona 0 = ( 0, 0 ) ja vasta-alkiona a kun a R 2. 1 Euklidinen avaruus 1.1 Euklidinen avaruus R n Karteesinen tulo Joukko R n = R R R on R avaruuden n-kertoiminen karteesinen tulo. Euklidinen avaruus R n, n = 1, 2,, n määritellään joukkona: R n = {(x 1,, x n ) x k R, k = 1, 2,, n} (1) missä x 1,, x n on reaalilukujono, jossa on n-termiä. Vektori: x = (x 1,, x n ) on avaruuden R n alkio, kunhan x 1,, x n R. Luku x k on x-alkion k. koordinaatti eli k. komponentti Vektoriavaruus R n Olkoot (x 1,, x n ) R n ja (y 1,, y n ) R n. Tällöin vektroreille määritellään: (a) yhteenlasku (b) skalaarilla kertominen x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λx = (λx 1,, λx n ) λ R (c) sekä nolla-alkio 0 = (0,, 0) R n ; x + 0 = x. 3

5 1.1.3 Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruus R n on n-uloitteinen eli dim R n = n. Yksikkövektorit: e 1 = (1, 0,, 0) e 2 = (0, 1,, 0) e n = (0, 0,, 1) muodostavat avaruuden R n luonnollisen kannan eli kanonisen kannan. Jokaisella vektorilla x = (x 1, x 2,, x n ) R n on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden avulla: x = x 1 e 1 + x n e n = x k e k Avaruuden R n sisätulo x=1 1. Kuvaus (x, y) x y, R n R n R, joka määritellään: x y = x 1 y x n y n = x k y k (2) kun x = (x 1,, x n ) R n ja y = (y 1,, x n ) R n on sisätulo (eli skalaaritulo eli pistetulo) avaruudessa R n. Merkitään myös (x y). 2. Vektoriavaruus R n varustettu edellä mainitulla sisätulolla on euklidinen n-ulotteinen avaruus R n. 3. Euklidinen sisätulo määrää euklidisen normin. Avaruuden R n euklidinen normi on kuvaus: R n R + = {t R t 0} Huomaa! x = x x, x R n. x=1 x x = x x x2 n ja luku x x määrittelee vektorin x euklidisen pituuden. 4. Kanoninen kanta on ortonormeerattu: { 1, kun i = j e i e j = S ij = 0, kun i j, kun i, j = 1, 2, 3,, n. (3) Lisäksi: n n ( ) x = x k e k = xk e k ek k=1 k=1 5. Cauchyn Schwarzin epäyhtälö x y x y, kun x, y R n. 4

6 1.1.5 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys Avaruuteen R n tulee normin kautta määritellyksi etäisyysfunktio eli metriikka. Avaruuden R n euklidinen metriikka on sellainen kuvaus d, d R n R n R +, että d(x, y) = x y, kun x, y R n. Huomautus 1. Kaava d(x, y) = x y määrittelee vektoreiden x ja y välisen etäisyyden euklidisen metriikan suhteen. Huomautus 2. Muitakin normeja voidaan käyttää vektoriavaruudessa R n. Näille pätee, että x max = max x i 1 i n n x abs = x i i=1 x max x x abs n x max Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Avaruuden R n topologiset käsitteet tulkitaan aina edellä mainitun euklidisen metriikan kautta. 1. Olkoon x 0 R. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = B n (x 0, r) = {x R n x x 0 < r} (4) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen avoin pallo. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = {x R n x x 0 r} (5) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen suljettu pallo. r r x 0 x 0 Kuva 4: Avoin pallo B n (x 0, r) ja suljettu pallo B(x 0, r). 5

7 2. Joukon A R n sisus eli sisäpisteiden joukko inta määritellään: inta = {x A r > 0 s.e. B(x, r) A}. Joukko A on avoin, jos ja vain jos A = inta. Merkitään: A R n. 3. Mitä tahansa avointa joukkoa, johon piste x kuuluu, kutsutaan pisteen x ympäristöksi (ystö). Pallo B n (x, r) on erikoistapaus tästä. 4. Piste x R n on joukon A kasautumispiste, jos jokaisella r > 0 pallo B n (x, r) sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. 5. Piste x on joukon A reunapiste, jos jokainen pallo B n (x, r) sisältää joukon A ja joukon A kompelementin R n A pisteitä. Reunaa merkitään A = {x R n x on joukon A reunapiste}. Joukon A sulkeuma on A = inta A. A x r A y x 0 Kuva 5: Joukon A reunapiste x 0. x A B n (x 0, r) ja y (R n A) B n (x 0, r) Täydellinen metrinen avaruus Avaruus R n on täydellinen metrinen avaruus eli jokainen avaruuden R n Cauchyn jono suppenee. 6

8 1.1.8 Joukon halkaisijan merkintä Epätyhjän joukon A R n, A, halkaisija diam (A) määritellään diam (A) = sup d(x, y) = sup x y x,y A x,y A Joukko on rajoitettu, jos A = tai jos diam (A) < 1.2 Vektorifunktioista. 8 8 Kuvaus f R n R p, n > 1 tai p > 1 on vektorifunktio. Erityisesti (a) f on vektoriarvoinen funktio, jos p 2, (b) f on reaaliarvoinen funktio, jos p = 1.. (6) Esimerkki Olkoon g R 2 R, kuvaus (x 1, x 2 ) Kuvauksen määrittelyjoukko on 9 x 2 1 x2 2. D = {(x 1, x 2 ) 9 x 2 1 x2 2 0} = {x2 1 + x2 2 9} = B2 (0, 3). Kuvajoukko on {x 3 x 3 = 9 x 2 1 x2 2 ; (x 1, x 2 ) D}. Koska x 3 0 ja 9 x 2 1 x2 2 9, eli 9 x 2 1 x Siis kuvauksen arvojoukko on [ 0, 3 ]. Graafi = {(x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D}. x 3 (0, 0, 3) (3, 0, 0) (0, 3, 0) x 1 x 2 Kuva 6: Esimerkin graafi = {(x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D}. 7

9 1.2.2 Määritelmä: funktion graafi Jos f on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on D, niin funktion f graafi on joukko {(x 1, x 2, x 3 ) R n x 3 = f(x 1, x 2 ) ; (x 1, x 2 ) D}. Esimerkki Kuvaus f R 2 R, u u 2 määrittelee avaruuteen R 3 pinnan { } S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2 Esimerkki Kuvaus H R 2 R, h(x) x. Kuvauksen h graafi on joukko { (x1, x 2, h(x 1, x 2 ) ) R 3 ( x 1, x 2 ) R 2 } (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva 7: Esimerkkien ja kuvauksien graafit Funktion tasa-arvojoukko Kuvauksen f A R, A R n, vakiota r f(a) vastaava tasa-arvojoukko on S f (r) = { x A f(x) = r }. Jos f on riittävän siisti (säännöllinen), niin S f (r) on (n 1) ulotteinen pinta avaruudessa R n. Esimerkki Määritä kuvauksen f R n R, x x 2 tasa-arvojoukko. Tasa-arvojoukko on S f (r 2 ) = {x R n f(x) = x 2 = r 2} S(0, r) eli origokeskinen r-säteinen pallopinta avaruudessa R n, 8

10 Esimerkki Määritä funktiolle f R 2 R, x x 1 x 2 tasa-arvokäyrät. Tasa-arvokäyrät { } S f (r) = x R 2 f(x) = x 1 x 2 = r ovat hyperbelejä. Huomautus! Tasa-arvokäyrä f(x 1, x 2 ) = k on kaikkien niiden määrittelyjoukon pisteiden joukko, joissa f antaa arvon k. Tasa-arvo näyttää missä graafilla on korkeus k. x 2 r = 1 r = 1 x 1 r = 1 r = 1 Kuva 8: Esimerkin tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Avaruuden R n jono on kuvaus φ N R n. Sen arvoja φ(k) merkitään alaindeksillä φ k eli φ(k) = φ k ja itse jonon merkintä on (φ k ) k=1. Yleensä jonon merkin tilalla on x eli vastaava jono on x k. Jonolle käytetään merkintää: (x k ) = (x k ) k=1, missä x k = φ(k) 8 8 Suppeneminen Olkoon (x k ) jono avaruudessa R n. Olkoon a R n. Jono (x k ) suppenee kohti vektoria alkiota pistettä a R n, jos jokaista pisteen a ympäristöä U kohti on olemassa luku k 0 N siten, että x k U kaikilla k k 0. 9

11 Merkitään x k a, kun k, lim x k = a tai k lim x k a = 0. k Alkiota a sanotaan jonon x k raja-arvoksi eli raja-alkioksi. Huomautus. 1. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. 2. Jos jono ei suppene, niin se hajaantuu. Cauchy-ehto. Avaruuden R n jono (x k ) on Cauchy-jono, jos jokaisella ε > 0 on olemassa k ε N siten, että x j x k < ε aina kun j, k > k ε. Huomautus. Suppeneva jono on Cauchy-jono. Avaruudessa R n on myös käänteinen tulos: Lause. Avaruus R n on täydellinen: Jokainen Cauchy-jono avaruudessa R n on suppeneva. Lisälukemista: Tom Apostol, Mathematical Analysis 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 2.1 Raja-arvo Määritelmä: raja-arvo Olkoon A R n ja piste a joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f A R on pisteessä a raja-arvo b R joukon A suhteen, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ a,ε = δ > 0 siten, että Merkitään f(y) b < ε, aina kun y A ja 0 < y a < δ. lim y a y a lim f(y) = b y A {a} Huomautus. Jos funktiolla on olemassa raja-arvo, niin raja-arvo on yksikäsitteinen. Huomautus. Olkoon A R n ja f A R ja a joukon A kasautumispiste. Olkoon b R. Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a A, jos jokaisella jonolla (x k ), jolla x k A ja x k a, pätee, että f(x k ) b. 10

12 Esimerkki Osoitetaan, että raja-arvoa x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ei ole olemassa. Ratkaisuehdotus: Olkoon f R 2 {0} R, f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2. Ensin lähestytään pistettä (0, 0) pitkin x-akselia, eli y = 0. Tällöin f(x, 0) = x2 = 1 kaikilla x 0. x Siis f(x, y) 1, kun (x, y) 0 pitkin x-akselia. Lähestytään 2 origoa nyt pitkin yakselia, eli x = 0. Silloin f(0, y) = y2 = 1, kaikilla y 0. Siis f(x, y) 1, y 2 z kun (x, y) (0, 0) pitkin y-akselia. Siis funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen. x y kuvaaja ja origon läh- Kuva 9: Esimerkin tilanne: funktion z = f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 estyminen sekä x- (punainen) että y- (oranssi) akseleita pitkin. Huomautus. Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvoa olemassa. Esimerkki Selvitä, onko raja-arvoa sin(x 2 + y 2 ) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) olemassa. Ratkaisuehdotus: Valitaan y = x 2. Silloin 3x 2 y 2 x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y = 3x4 2 x 2 + x = x2 3x 2 0, kun x 0 ja x 0. 4 x 2 (1 + x 2 ) 11

13 Valitaan x = y 2. Silloin 3x 2 y x 2 + y = 3y5 2 y 4 + y = y2 3y 3 0, kun y 0 ja x 0. 2 y 2 (y 2 + 1) Siis raja-arvo voisi ehkä olla olemassa! z y x Kuva 10: Esimerkin tilanne: funktion z = f(x, y) = 3x2 y 2 lähestyminen käyrää x = y 2 pitkin (punaisella). x 2 +y 2 Olkoon ε > 0 annettu ja kiinnitetty. Etsitään δ > 0 siten, että jos 0 < (x, y) (0, 0) < δ, niin 3x 2 y x 2 + y 0 < ε. 2 (Huomaa: (x, y) (0, 0) = (x, y) = x 2 + y 2 ) Siis etsitään δ ε > 0 siten, että jos 0 < x 2 + y 2 < δ ε, niin 3x2 y x 2 +y2 < ε. Nyt 3x 2 y 3 y = 3 y 2 3 x 2 + y 2, ** sillä x 2 x 2 + y 2. x 2 + y 2 Jos nyt valitaan δ ε = ε 3, niin Siis määritelmän nojalla lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 0 3 x 2 + y 2 < 3δ 2 ε = 3ε 3 = ε. 3x 2 y x 2 +y 2 = 0. kuvaaja ja origon 12

14 2.2 Jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä Olkoon A R n kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x A, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ x,ε = δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä. Huomautus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä x A R n, jos f(y) saadaan mielivaltaisen lähelle pistettä f(x) kaikilla y, jotka ovat riittävän lähellä pistettä x, eli f(y) f(x), kun y x. Huomautus. Jos x A ei ole erillinen piste, niin kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim f(y) = f(x). y x y A Kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä. x δ (l 1, l 2 ) Kuva 11: Jatkuvuudesta: kuvaus f on jatkuva pisteessä x, kts. määritelmä yllä. Lisäksi kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä (l 1, l 2 ). Lause. Olkoon A R n ja olkoon f A R kuvaus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä a A, jos ja vain jos Esimerkki Määrää f(x k ) f(a), kaikilla jonoilla (x k ), jolla x k a, x k A. lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y). Ratkaisuehdotus: Koska voidaan määritellä f(x, y) = x 2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y ja f on polynomi, niin f on jatkuva kaikkialla. Siis raja-arvo saadaan suoraan sijoituksella lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y) = =

15 Esimerkki Olkoon f R 2 {0} R, (x, y) x2 y 2 x 2 +y2. Tutki kuvauksen jatkuvuutta. Huomautus. Jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska f ei ole määritelty origossa! Ratkaisuehdotus: Tutkitaan jatkuvuutta, kun (x, y) (0, 0). Olkoon (x k, y k ) (x, y) ja (x k, y k ) (0, 0). Siis x k x ja y k y, kun k. Siis x 2 k x2 ja y 2 k y2, kun k. Näin ollen x 2 k y2 k x 2 k + y2 k x2 y 2 x 2 + y 2. Siis f(x k, y k ) f(x, y) x 2 = k y2 k x 2 k + x2 y 2 y2 x 2 + y 2 0, kun k. k Siis f on jatkuva pisteissä (x, y) (0, 0). Huomautus. Jos määritellään funktio f origossa siten, että f(0, 0) = 0, niin lim f(x, y) = 0 = f(0, 0) (x,y) (0,0). Siis funktio f tulee määritellyksi origossa siten, että f on jatkuva kaikkialla. Huomautus. Jos määritellään f(0, 0) = b 0, niin näin määritelty f ei ole jatkuva origossa. Esimerkki Onko kuvaus f R 2 R x 1 x 2 2, kun (x f(x 1, x 2 ) = x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0) jatkuva? Ratkaisuehdotus: Kuvaus f ei ole jatkuva origossa. Lähestymistie x 1 = kx 2, k 0, antaa f(x 1, x 2 ) = f(kx 2 2, x 2 ) = kx 4 2 k k 2 x = x4 1 + k

16 x 3 x 2 x 1 Kuva 12: Esimerkin kuvauksen x 3 = f(x 1, x 2 ) = x 1x 2 2 graafi. x 2 1 +x4 2 Esimerkki Olkoon funktio g R 2 R, x x g(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x2 2 2, kun (x x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0). Funktio g on jatkuva origossa. Lausutaan funktion g arvot napakoordinaateissa (eli x 1 = r cos φ ja x 2 = r sin φ): g(r, φ) = r 2 cos φ sin φ r2 cos 2φ r 2. ( cos 2 φ sin 2 φ = cos 2φ ja sin 2 φ + cos 2 φ = 1) Siis g(r, φ) r 2 0, kun r 0. 3 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Esimerkki On kehitetty ns. humidex (temperature humidity index), joka kuvaa lämpötilan ja kosteuden yhteisvaikutusta. Humidex I on koettu ilman lämpötila, kun T = oikea lämpötila ( C) ja H = kosteus eli I = f(t, H). 15

17 Suhteellinen ilmankosteus % T ( C ) H Taulukko 1: Humidex lämpötilan ja suhteellisen kosteuden funktiona. (Lähde: The Meteorological Service of Canada, James Stewart: Calculus, Early Transcendentals.) Kun H = 60%, niin Humidex iä katsotaan yhden muuttujan eli lämpötilan funktiona [kun siis H:n arvo kiinnitetty]. Merkitään g(t ) = f(t, 60). Silloin g(t ) kertoo, kuinka Humidex kasvaa, kun oikea lämpötila nousee ja suhteellinen kosteus on koko ajan 60%. Funktion g derivaatta, kun T = 30 C on Humidexin (hetkellinen) muutosnopeus lämpötilan suhteen: g g(30 + h) g(30) f(30 + h, 60) f(30, 60) (30) = lim = lim. Valitaan h = 2 ja tehdään approksimaatio g (30) Valitaan h = 2 ja nyt g (30) g(32) g(30) 2 g(28) g(30) 2 Otetaan keskiarvo, niin voidaan sanoa, että = = f(32, 60) f(30, 60) 2 f(28, 60) f(30, 60) 2 g (30) 1, 75. = = = 2. = 1, 5. Tämä tarkoittaa, että kun todellinen lämpötila on 30 C ja ilman suhteellinen kosteus on 60%, niin koettu lämpötila (Humidex) nousee noin 1, 75 C jokaisella asteella, jonka todelinen lämpötila nousee. Katsotaan sitten vaakariviä, joka vastaa kiinnitettyä todellista lämpötilaa T = 30 C. Luvut G(H) = f(30, H) ovat funktion arvot. Funktio G(H) = f(30, H) kuvaa kuinka Humidex kasvaa, kun suhteellinen kosteus kasvaa ja todellinen lämpötila on mittarissa 30 C. 16

18 Tämän funktion derivaatta, kun H = 60% on indexin I hetkellinen muutosnopeus luvun H suhteen: G G(60 + h) G(60) f(30, 60 + h) f(30, 60) (60) = lim = lim. Otetaan h = 5 ja h = 5 ja approksimoidaan lukua G (60) taulukon avulla. Saadaan G G(65) G(60) f(30, 65) f(30, 60) (60) = = = 2 = 0, 4 ja G G(55) G(60) f(30, 55) f(30, 60) (60) = = = 1 = 0, Siis G (60) 0, 3. Tämä kertoo, että kun lämpötila mittarissa on 30 C ja suhteellinen kosteus on 60%, niin Humidex nousee noin 0, 3 C jokaista kosteuden prosentin nousua kohden. Olkoon nyt f kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y). Kiinnitetään y, olkoon y = b ja b on vakio, mutta annetaan vain muuttujan x vaihdella. Silloin meillä on yhden muuttujan funktio g(x) = f(x, b). Jos funktiolla g on olemassa derivaatta pisteessä a, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x suhteen pisteessä (a, b) ja merkitään f x (a, b). Siis Derivaatan määritelmän mukaan g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = g (a), kun g(x) = f(x, b). f(a + h, b) f(a, b), siis f x (a, b) = lim. Vastaavasti funktion f osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), merkitään f y (a, b), saadaan pitämällä x kiinni siten, että x = a ja etsimällä tavallinen derivaatta pisteessä b funktiolle G(y) = f(a, y). Jos raja-arvo on olemassa, niin f(a, b + h) f(a, b) f y (a, b) = lim. Siis esimerkissämme näillä merkinnöillä Humidexin I hetkellinen muutosnopeus lämpötilan suhteen kun T = 30 C ja H = 60% on f T (30, 60) 1, 75 ja Humidexin I muutosnopeus todellisen kosteuden suhteen, kun T = 30 C ja H = 60% on f H (30, 60) 0, 3. Jos nyt annetaan pisteen (a, b) vaihdella, niin f x ja f y tulevat olemaan kahden muuttujan funktiota. 17

19 3.1.2 Määritelmä: kahden muuttujan funktion osittaisderivaatat Jos f on kahden muuttujan funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y), niin sen osittaisderivaatat ovat f(x + h, y) f(x, y) lim lim h 0 f(x, y + y) f(x, y) h = f x (x, y) = f y (x, y) mikäli raja-arvot ovat olemassa. Merkinnöistä: Jos z = f(x, y) niin seuraavia merkintöjä käytetään f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = D 1 f = D f xf = x ja vastaavasti f y (x, y) = 2 f. y = 1 f = x f (7) Esimerkki Olkoon f R 2 R, (x, y) x 3 + x 2 y 3 2y 2. Määrää f x (2, 1) ja f y (2, 1). Ratkaisuehdotus: f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 4y f x (2, 1) = 16 f y (2, 1) = 8 Varoitus. Funktion osittaisderivaattojen olemassaolosta pisteessä a ei seuraa funktion jatkuvuutta pisteessä a. Esimerkki Laskuharjoitustehtävä. Jos määritellään g R 2 R, { xy g(x, y) = x 2 +y2, kun(x, y) (0, 0) 0, kun(x, y) = (0, 0). Silloin g x (0, 0) ja g y (0, 0) ovat olemassa, mutta g ei ole jatkuva origossa. Huomautus. Nyt h R, x R, y R, e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1); e 1 ja e 2 ovat avaruuden R 2 kanonisen kannan kantavektorit. Nyt f((x, y) + h(1, 0)) f(x, y) f((x, y) + he f x (x, y) = lim = lim 1 )) f(x, y) ; koska (x, y) + h(1, 0) = (x, y) + he 1 = (x + h, y + 0) = (x + h, y). Vastaavasti f((x, y) + h(0, 1)) f(x, y) f((x, y) + he f y (x, y) = lim = lim 2 )) f(x, y) ; koska (x, y) + h(0, 1) = (x, y) + he 2 = (x + 0, y + h) = (x, y + h). Sovelluksista Osittaisderivaatat esiintyvät myös osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, esim. jotka ilmaisevat tiettyjä fysikaalisia lakeja. 18

20 Esimerkki Laplacen yhtälö 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 Osoita, että funktio u(x, y) = e x sin y toteuttaa Laplacen yhtälön. [Pierre Laplace ] Ratkaisuehdotus: u x = e x sin y u xx = e x sin y u y = e x cos y u yy = e sin y Siis u xx + u yy = 0. Esimerkki Osoita, että funktio u(x, t) = sin(t at), a > 0, toteuttaa aaltoyhtälön. Ratkaisuehdotus: u x = cos(x at) u xx = sin(x at) 2 u t = 2 u 2 a2 x 2 u y = a cos(x at) u yy = a 2 sin(x at) = a 2 u xx 3.2 Suunnatuista derivaatoista 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä 3.5 Gradientista 3.6 Derivaatasta 4 Ääriarvotehtäviä 19

Vektorianalyysi I MAT21003

Vektorianalyysi I MAT21003 Vektorianalyysi I MAT21003 Ritva Hurri-Syrjänen Helsingin yliopisto 3. syyskuuta 2018 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus 6 1.1 Euklidinen avaruus R n...............................

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. lokakuuta 2017 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328

Perusasioita. Vektorianalyysi I. opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 Vektorianalyysi I opettajat Ritva Hurri-Syrjänen sairaslomalla Sirkka-Liisa Eriksson B328 sirkka-liisa.eriksson@helsinki.fi Perusasioita Kurssissa on loppukoe Harjoituksista saa bonuspisteitä seuraavasti

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

Usean muuttujan differentiaalilaskenta

Usean muuttujan differentiaalilaskenta Usean muuttujan differentiaalilaskenta Taneli Huuskonen 19. syyskuuta 2014 1 Merkintöjä ja käytäntöjä Seuraavassa listassa on lueteltu merkintöjä ja ilmauksia, joiden kohdalla eri teksteissä on erilaisia

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Metriset avaruudet ja Topologia

Metriset avaruudet ja Topologia Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

Metriset avaruudet ja Topologia

Metriset avaruudet ja Topologia Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Luentotiivistelmä syksy 2016 R reaalilukujen joukko [a; b] suljettu väli fx 2 R : a x bg ]a; b[ avoin väli fx 2 R : a < x < bg [a; b[ puoliavoin väli fx 2 R : a x < bg

Lisätiedot

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1 Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot