Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Transkriptio

1 Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden R m suljettu joukko. Todistus. Määritelmän nojalla S on suljetun joukon {C} R alkukuva F 1 ({C}), missä F : R m R on jatkuva kuvaus. Tällöin komplementtijoukko {C} C = R\{C} on avoin ja jokaisella x {C} C löytyy sellainen r x > 0, että B(x, r x ) {C} C. Erityisesti {C} C = B(x, r x ). x {C} C Selvästi F 1 ({C} C ) = F 1 (B(x, r x )) x {C} C Meidän tulee näyttää, että avoimen pallon alkukuva jatkuvassa kuvauksessa on avoin. Olkoon a F 1 (B(x, r x )). Slloin d := x F (a) < r x. Kun valitaan ε = r x d, niin jatkuvuuden nojalla löytyy sellainen δ = δ(a, ε), että F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x jolloin F (y) B(x, r x ) aina kun y B(a, δ).

2 C 1 -sileä pinta S voi olla joko rajoitettu joukko tai rajoittamaton joukko. (Joukko S on rajoitettu, jos 0 < R <, että S B(0, R). Muutoin S on rajoittamaton). Esimerkki a) Olkoon F (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 kaikilla x 1, x 2, x 3 R. Silloin F C 1 (R 3 ) ja Tällöin C 1 -sileä pinta F (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 0) (0, 0, 0), x 1, x 2, x 3 R. S = {x R 3 : F (x) = 0} = {x R 3 : x (1, 1, 0) = 0} on taso, joka on rajoittamaton joukko. Esimerkiksi vektorit (0, 0, k), misssä k N, ovat pinnan S alkioita. b) Äärettömän korkea sylinterivaippa (lieriö) S = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x 2 2 = 1} on C 1 -pinta. Selvästi F (x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 2 on C 1 -funktio. Lisäksi F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1, 2x 2, 0) 0 kun (x 1, x 2, x 3 ) S.

3 c) Torus on C 1 -pinta (HT). T = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : ( 2 ) 2 x x2 2 + x 2 3 = 1} Kuva 2.8: Torus on C 1 -pinta

4 Seuraavan lauseen avulla on mahdollista generoida eräitä C 1 -sileitä pintoja ilman yhtälönratkaisua. Lause Olkoon f C 1 (R m ). Tällöin funktion f kuvaaja on avaruuden R m+1 C 1 -sileä pinta. Todistus. Määrätään funktio F : R m+1 R, jonka eräs tasa-arvojoukko on kuvaaja Olkoon kaikilla x 1,..., x m+1 R. Silloin S = {(x, f(x)) : x R m }. F (x 1,..., x m+1 ) = f(x 1,... x m ) x m+1 F 1 ({0}) = {(x 1,..., x m+1 ) R m+1 : f(x 1,..., x m ) = x m+1 } = S. Lisäksi F on C 1 -funktio, sillä sen gradientti F (x 1,..., x m+1 ) = ( f(x 1,..., x m ), 1) on jatkuva funktio. Lisäksi F 2 = f > 0.

5 Esimerkki Katso Esimerkki (kuvaajat piirretty osajoukossa) Kuva 2.9: Funktion f(x 1, x 2 ) = e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) kuvaaja on avaruuden R 3 sileä pinta.

6 Seurava lause kertoo, että C 1 -sileät pinnan ovat aina lokaalisti C 1 -funktioiden kuvaajia. Lause perustuu implisiittifunktiolauseeseen, joka käsitellään myöhemmin. Lause Olkoon S R m C 1 -sileä pinta. Silloin jokaisella a S löytyy sellainen r = r a > 0, avoin joukko D = D a R m 1 ja sellainen C 1 -funktio f = f a : D R, että (mahdollisen koordinaatiston vaihdon jälkeen) B(a, r) S = {(x 1,..., x m ) : x m = f(x 1,..., x m 1 ), (x 1,..., x m 1 ) D}, missä B(a, r) on a-keskinen r-säteinen avoin pallo. Todistus. Sivuutetaan. Lauseen avulla on mahdollista tunnistaa sellaisia joukkoja, jotka eivät ole C 1 - funktioita. Yleisesti C 1 -sileissä joukoissa ei ole teräviä kulmia tai piikkejä.

7 Kuva 2.10: Fraktaalit, kutan Kochin lumihiutale, eivät ole C 1 -sileitä (todistus sivuutetaan).

8 Esimerkki Olkoon S joukon [0, 1] [0, 1] reuna. Tarkastellaan joukkoa S origon lähellä. Yksinkertaistetaan tarkastelua kiertämällä koordinaatistoa. Kuva 2.11: Kuvaaja ei ole C 1 -funktion kuvaaja, sillä se käyttäytyy kuten funktion f(t) = t, t [ 1, 1], kuvaaja, joka ei ole differentioituva pisteessä t = 0.

9 2.7.1 Pinnat ja tangenttiavaruudet Ryhdytään seuraavaksi määrittelemään C 1 -pinnoille tangenttiavaruuksia. Aluksi tarkastellaan gradientin geometrista tulkintaa.

10 Huomautus (Gradientin geometrinen tulkinta) Kun f on C 1 (D)-funktio, missä D R m on avoin, niin sen suunnattu derivaatta pisteessä a D yksikkövektorin u R m suuntaan on f (a) = u f(a). u Cauchy-Schwartzin epäyhtälön nojalla f u (a) }{{} u f(a), missä yhtäsuuruus pätee vain jos cu = f(a) jollakin c R. 1. Suunnatun derivaatan f u (a) suurin mahdollinen itseisarvo on f(a) 2. Kun f(a) 0, niin f u (a) saa suurimman arvonsa, kun u = f(a) f(a). =1 3. Kun f(a) 0, niin funktio f muuttuu voimakkaimmin vektorin f(a) suunnassa pisteessä a. 1. Suunnatu derivaatta häviää sellaisten yksikkövektorien u suuntaan, joilla u f(a) = 0 eli u f(a). 2. Kun f(a) 0, niin funktio f muuttuuu vähiten vektorien u f(a) suunnassa.

11 Seuraava esimerkki on mahdollista yleistää C 1 -funktoille ns. implisiittifunktiolauseen avulla (joka käsitellään myöhemmin tällä kurssilla). Esimerkki (Gradientin geometrinen tulkinta) Olkoon f(x 1, x 2 ) = g(x 1 ) x 2. Tällöin f(x 1, x 2 ) = (g (x 1 ), 1) (0, 0) ja u f(x 1, x 2 ) jos ja vain jos 0 = (u 1, u 2 ) f(x 1, x 2 ) = g (x 1 )u 1 u 2 (u 1, u 2 ) = (u 1, g (x 1 )u 1 ) (2.1) Yhtälöstä (2.1) seuraa, että vektorit (x, y) R 2, jotka toteuttavat ehdot y = g (a 1 )x, x R (2.2) ovat kohtisuorassa gradienttia f(a 1, a 2 ) vastaan. Valitaan C = f(a 1, a 2 ). Tasa-arvojoukko f 1 ({C}) = {(x 1, x 2 ) R 2 : f(x 1, x 2 ) = C g(x 1 ) x 2 = C} voidaan esittää eksplisiittisesti funktion g(x 1 ) := g(x 1 ) C kuvaajana, jolle voidaan piirtää pisteeseen (a 1, g(a 1 )) = (a 1, g(a 1 ) (g(a 1 ) a 2 )) = (a 1, a 2 ) tangenttisuora: y = g (a 1 )(x a 1 ) + a 2, x R. (2.3) Kun suora (2.2) siirretään kulkemaan pisteen (a 1, a 2 ) kautta, niin se yhtyy tangenttisuoraan (2.3). Gradientti on kohtisuorassa tasa-arvojoukolle f 1 ({C}) piirrettyä tangenttisuoraa vastaan.

12 Kuva 2.12: Funktio saa vakio-arvon (musta käyrä) tasa-arvojoukossa (punainen käyrä). Gradientti (sininen nuoli) on kohtisuorassa tasa-arvojoukon kuvaajan tangenttia vastaan.