Isoperimetrisestä epäyhtälöstä

Transkriptio

1 Isoperimetrisestä epäyhtälöstä Jukka Koivistoie Pro gradu -tutkielma Matematiika ja tilastotietee laitos Kesä 29

2 Sisältö 1. Johdato 2 2. Isoperimetrie epäyhtälö tasossa Todistus kompleksitasossa Todistus sarjateoria avulla Todistus Wirtigeri epäyhtälö avulla 8 3. Pohjustusta L p avaruudet Silotus Sobolev avaruuksista Sobolevi epäyhtälö Co-area kaava Isoperimetrise epäyhtälö ja Sobolevi epäyhtälö ekvivalessi Yhteeveto 46 Viitteet 46 1

3 2 1. Johdato Klassisessa isoperimetrisessä ogelmassa tehtävää o löytää kaikista sama ympärysmita omaavista taso yhteäisistä alueista se, joka sulkee sisääsä suurimma mahdollise pita-ala. Atiiki taria kertoo prisessa Didosta, jolle luvattii muiaise Karthago perustamista varte mere raasta ii suuri maa-alue, kui hä saisi rajattua härä taljaa apua käyttäe. Dido leikkasi taljasta ohuita suikaleita, joista hä muodosti pitkä auha. Hä oistui rajaamaa suoraa rataviivaa apua käyttäe suurimma mahdollise pitaala asettamalla auha puoliympyrä muotoo. Myöhemmi atiiki kreikkalaiset tusivat isoperimetrise ogelma ja että ympyrä o se ratkaisu, mutta eivät osaeet todistaa sitä. atkaisu isoperimetriselle ogelmalle kirjoitetaa usei isoperimetriseä epäyhtälöä, joka mukaa kaikille tasoalueille pätee 4πA L 2, missä L o tasoaluee ympärysmitta ja A aluee pita-ala, yhtäsuuruude pätiessä vai ja aioastaa, jos tasoalue o ympyrä. Esimmäiseä epäyhtälö todisti 1838 J. Steier, joka käytti todistuksessaa Steieri symmetrisaatioksi myöhemmi imettyä geometriaa perustuvaa meetelmää. Esimmäise puhtaasti aalyyttise ratkaisu isoperimetriselle epäyhtälölle esitti saksalaie matemaatikko Adolf Hurwitz 19-luvu alussa. Tutkielma toie luku keskittyy esittelemää tämä Hurwitzi keksimä todistukse, sekä kaksi muuta aalyyttistä todistusta. Isoperimetrie epäyhtälö o voimassa myös korkeampiulotteisissa euklidisissa avaruuksissa, jolloi jouko ympärysmita korvaa jouko reua Hausdorff-mitta ja käyrä sisäpuole pita-ala tilalle tulee avaruude dimesiota vastaava Lebesgue mitta. Myös korkeammissa ulottuvuuksissa yhtäsuuruus epäyhtälössä pätee vai ja aioastaa, jos kyseie joukko o pallo. O olemassa epäyhtälöitä, joide voimassaolosta isoperimetrie epäyhtälö seuraa. Toisessa luvussa esiteltävässä Hurwitzi todistuksessa isoperimetriselle epäyhtälölle havaitaa, että isoperimetrie epäyhtälö seuraa Wirtigeri epäyhtälöstä. Tässä tutkielmassa päätavoitteea o osoittaa, että -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa isoperimetrie epäyhtälö seuraa Sobolevi epäyhtälöstä ja toisaalta Sobolevi epäyhtälö seuraa isoperimetrisestä epäyhtälöstä. Samalla saadaa myös osoitettua, että ii saottu isoperimetrie vakio, joka o taso tapauksessa 2 π, o yhtä suuri kui Sobolevi vakio. Luvussa kolme luodaa pohjaa tulevia lukuja varte. Silotus ja sille todistettavat perusomiaisuudet ovat tärkeitä esimerkiksi myöhemmi luvussa määriteltäviä Sobolevi avaruuksii kuuluvia fuktioita approksimoitaessa. Luvu loppuosassa aetaa todistus myös myöhemmi tarvittavalle ademacheri lauseelle. Neljäessä luvussa keskitytää todistamaa Sobolevi epäyhtälö. Epäyhtälö todistetaa esi sileille fuktioille, joka jälkee se laajeetaa koskemaa laajempaa fuktioluokkaa. Todistuksessa saadaa arvio myös Sobolevi vakiolle, joka ei kuitekaa ole paras mahdollie. Ee varsiaista Sobolevi epäyhtälö ja isoperimetrise epäyhtälö ekvivalessi todistamista todistetaa viideessä luvussa tärkeässä osassa oleva co-area kaava, joka luo yhteyde fuktio tasa-arvojoukkoje ja derivaata itegraali välille. Lause todistetaa

4 aluksi lieaarikuvauksille, mikä jälkee se laajeetaa koskemaa sileitä fuktioita. Lopuksi lause todistetaa myös epäyhtälö muodossa koskemaa Lipschitz kuvauksia. Kuudeessa luvussa osoitetaa lopulta epäyhtälöide ekvivalessi, sekä osoitetaa isoperimetrie vakio yhtä suureksi Sobolevi vakio kassa. Oleaista todistusmeelmie kaalta o, millaise reua omaavia joukkoja tarkastellaa. Tässä tutkielmassa joukkoje reuat ovat jatkuvasti differetioituvia. Sekä isoperimetrie epäyhtälö, Sobolevi epäyhtälö ja iide välie ekvivalessi o voimassa myös laajemmalle kokoelmalle joukkoja, imittäi äärellise perimeetteri omaaville joukoille. 3

5 4 2. Isoperimetrie epäyhtälö tasossa Aloitetaa esittelemällä muutama isoperimetrise epäyhtälö todistus taso 2 joukoille, joide reua koostuu suljetusta C 1 Jorda käyrästä. Esimmäie, kompleksitasossa tehtävä todistus, perustuu erityisesti Greei lauseesee, jolla saadaa yhteys suljetu käyrä ja se sisältämä pita-ala välille, sekä kompleksiaalyysissa keskeisee Cauchy lauseesee, joka puolestaa luo kytkökse kompleksiarvoise fuktio ja suljetu käyräitegraali välille. Toisessa todistuksessa pysytää edellee kompleksitasolla, mutta yt lähestymistapa o lähellä sarjateoriaa. Todistuksessa tärkeässä osassa o huomio, että C 1 Jorda käyrä sisältämä alue o yhdesti yhteäie, mikä vuoksi tarkastelu voidaa iemai kuvauslausee avulla ikääkui siirtää yksikköpalloo. Kolmas todistus o seurausta Wirtigeri epäyhtälöä tuetusta lauseesta, joka todistetaa ee varsiaise epäyhtälö todistamista. Wirtigeri epäyhtälö avulla saadaa myös todistettua, että yhtäsuuruus epäyhtälössä pätee jos ja vai jos kyseessä o ympyrä. Wirtigeri epäyhtälö avulla tehtävä todistukse esitteli esimmäise kerra saksalaie matemaatikko Adolf Hurwitz. Lähteiä todistuksissa o käytetty teoksia [11, s.11-13] ja [6, s.8-11]. Määritelmä 2.1 (C 1 -reua). Fuktiota u saotaa C 1 -kuvaukseksi, jos se o jatkuvasti differetioituva, eli se kaikki osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Joukkoa S kutsutaa p-ulottoiseksi C 1 -piaksi, jos o olemassa U p ja jatkuvasti differetioituva homeomorfismi ϕ : U S, jota kutsutaa myös pia parametriesitykseksi. Kuvaus o edellee sileä p-ulotteie pita, jos lisäksi kuvausta ϕ vastaava Jacobi matriisi asteluku o p. Tapauksessa p 1 pitaa kutsutaa käyräksi [2, s.29]. Jouko reuaa kutsutaa C 1 -reuaksi, jos se o 1-ulotteie C 1 -pita Todistus kompleksitasossa. Lemma 2.2. Olkoo C joukko C 1 reualla ja ζ. Tällöi 1 ζ z dzdz ζ z ζ z dz. Todistus. Merkitää z x + iy. Määritellää koordiaattimuuos g(z, z) (x + iy, x iy), jolloi Jacobi determiatiksi tulee J g 2i ja dz dz J g dx dy 2i dx dy. Soveltamalla yt muuosta todistettava yhtälö vasempaa puolee, saadaa kompleksie itegraali palautettua kahdeksi reaaliseksi itegraaliksi seuraavalla tavalla (2.1 ζ z dzdz 2i ζ z dxdy 2(b y) (a x) 2 + (b y) dxdy + i 2(a x) 2 (a x) 2 + (b y) dxdy, 2 missä ζ a + ib.

6 5 Greei lausee [2, s.81] mukaa pätee Valitsemalla yt f ds ( x f 2 y f 1 ) dxdy. F(x, y) (a x)2 (b y) 2 2(a x)(b y) ja G(x, y) (a x) 2 + (b y) 2 (a x) 2 + (b y) 2 voidaa Greei lausetta soveltaa kohda (2.1) itegraaleihi, sillä ja x ( G) y F 2(b y)((b y)2 (a x) 2 ) 4(b y)(a x) 2 ((a x) 2 + (b y) 2 ) 2 ((a x) 2 + (b y) 2 ) 2 2(b y) (a x) 2 + (b y) 2 4(a x)(b y)2 x F y G ((a x) 2 + (b y) 2 ) 2(a x)((a x)2 (b y) 2 ) 2 ((a x) 2 + (b y) 2 ) 2 2(a x) (a x) 2 + (b y). 2 Nyt kohta (2.1) tulee muotoo (F, G) ds + i (G, F) ds (F + ig, G + if) ds F + ig dz, missä viimeie o kompleksie käyräitegraali. Edellee jote väite seuraa. F(x, y) + ig(x, y) (a x)2 (b y) 2 2(a x)(b y) + i (a x) 2 + (b y) 2 (a x) 2 + (b y) 2 (a x i(b y))(a x i(b y)) (a x) 2 + (b y) 2 a x i(b y) a x + i(b y) a ib (x iy) a + ib (x + iy) ζ z ζ z, Lause 2.3 (Isoperimetrie epäyhtälö). Olkoo C rajoitettu joukko C 1 reualla. Tällöi 4πA L 2, missä A o jouko pita-ala ja L ympärysmitta, eli reuaa vastaava parametrikäyrä pituus.

7 6 Todistus. Merkitää z x + iy. Tekemällä muuos (2.2) (2.3) g(x, y) saadaa jouko pita-alalle A esitys A ( z + z 2, z z ) 2i J g dzdz 1 2 i dzdz. Cauchy lokaali itegraalikaava mukaa (kts. kompleksiaalyysi) 2πi dζ ζ z. Näi olle käyttämällä edellisiä kohtia, Fubii lausetta ja lemmaa 2.2 saadaa 2πi dzdz (2.3) dζ ζ z dzdz Fubii 1 lemma 2.2 dzdz dζ ζ z ζ z ζ z dz dζ ζ z dz dζ ζ z } {{ } 1 4πA (2.2) mikä oli todistettava. L dζ L 2, ζ z dz dζ ζ z 2.2. Todistus sarjateoria avulla. Seuraavassa o toiselaie todistus isoperimetriselle epäyhtälölle 2.3: Olkoo B {z : z < 1} C ja f : B iemai kuvauslausee [5, s.42] mukaie koformikuvaus. Kuvaukselle f pätee siis, että f joukossa B, jote voidaa valita aalyyttie kuvaus g f. Koska fuktio f u + iv o aalyyttie, saadaa muuosta z f (z) vastaavalle Jacobi determiatille esitys Cauchy-iemai yhtälöide avulla (2.4) J f }{{} ux v y u y }{{} v x v 2 x + v 2 y f (z) 2. v y u y Tällöi jouko pita-alalle A ja ympärysmitalle L saadaa esitykset ja A 1 f (z) 2 g(z) 2 2 g(z) 4 g(z) 2 g(z) 2 f (B) B B B B

8 7 (2.5) L dζ B f (z) dz B g(z) 2 dz Fuktio g voidaa ilmaista sarjaa g(z) a z. Merkitää B g(z) 2 dz. Nyt alalle (2.4) saadaa esitys s : a i a i ja t m : i m a j a m j. j (2.6) A B ( a z ) 2( a m z m ) 2 B m m s t m z z m m B ( s z )( t m z m ) s t m B z z m. Arvioidaa seuraavaksi edellise kohda (2.6) lopussa olevaa itegraalia lukuje ja m eri arvoilla. Jos m, ii apakoordiaattimuuoksella (x, y) (r cos(θ), r si(θ)) saadaa, että B z z m 1 2π jote kohda (2.6) tuplasarja termit häviävät. Jos taas m, ii (2.7) B z z m 1 2π Näi olle kohda (2.6) ala saadaa muotoo A π π k k s k t k 1 + k π ( k ( k k k a i a k i i m r +m+1 e i( m)θ dθ dr, r +m+1 dθ dr k a i a k i i π + 1. k ) a j a k j j k ) a j a k j π j k k Vastaavasti ympärysmitalle (2.5) saadaa sarjakehitelmä avulla k 2 a i a k i. i (2.8) sillä ku m L a a m z z m dz 2π m B a j a j 2π j a j 2, j z z m dz 2π B e i( m)θ dθ

9 8 ja ku m B z z m dz 2π 1 dθ 2π. Koska kohdassa (2.8) oleva sarja suppeee itseisesti, voidaa kyseie sarja eliöö korotettua ilmaista ii saottua Cauchy tuloa [13, Lause 4.2.] seuraavaa tapaa (2.9) a j 2 j 2 k k a i 2 a k i 2. Yhdistämällä kohtie (2.7), (2.8) ja (2.9) tulokset, saadaa Cauchy-Schwarzi epäyhtälö avulla lopulta arvio 4πA 4π 2 eli se, mitä haettiiki k k 2.3. Todistus Wirtigeri epäyhtälö avulla. i k 2 a i a k i 4π 2 i 4π 2 ( 2π k k k 2 a i a k i i k a i 2 a k i 2 i a k 2) 2 L 2, Lause 2.4 (Wirtigeri epäyhtälö). Olkoo fuktio u C 1 () jaksollie jaksoaa 2π. Määritellää fuktio u keskiarvo k Tällöi u : 1 2π 2π u(θ) dθ. 2π missä yhtäsuuruus pätee jos ja vai jos (u(θ) u) 2 dθ 2π ( u (θ) )2 dθ, joillaki a, b. u(θ) u + a cos(θ) + b si(θ) Todistus. Fuktio u o jatkuvasti derivoituva ja jaksollie, jote sillä o olemassa esitys Fourier sarjaa [3, s.64] u(θ) a 2 + [a k cos(kθ) + b k si(kθ)], k1

10 9 missä a 2u, a m 1 π 2π u(θ) cos(kθ) dθ ja b m 1 π 2π u(θ) si(kθ) dθ. Derivaata u Fourier kertoimille c k ja d k saadaa osittaisitegroimalla esitykset ja c k 2π u (θ) cos(kθ) dθ [ u (θ) cos(kθ) ] 2π 2π + k u (θ) si(kθ) dθ kb k d k 2π u (θ) si(kθ) dθ [ u (θ) si(kθ) ] 2π 2π k u (θ) cos(kθ) dθ ka k. Koska fuktiot u a 2 u u ja u ovat jatkuvia ja 2π jaksollisia, voidaa iihi molempii soveltaa Parsevali yhtälöä [3, s.614], jolloi saadaa (2.1) ja 2π π (a 2 k + b2 k ) (u(θ) u) 2 dθ k1 (2.11) π (c 2 k + d2 k ) π ((kb k ) 2 + ( ka k ) 2 ) π k1 k1 Nyt yhtäsuuruuksie (2.1) ja (2.11) avulla saadaa (2.12) 2π (u (θ)) 2 dθ 2π (u(θ) u) 2 dθ [ 2π (k 2 (a 2 k + b2 k )] (u (θ)) 2 dθ. k1 (k2 1)(a 2 k + b2 k } {{ } ), mistä haettu epäyhtälö seuraa. Edellee yhtäsuuruus pätee kohdassa (2.12) aioastaa, jos a 2 k + b2 k, ku k > 1, eli ku a k b k kaikilla k > 1. Tällöi k1 u(θ) u + a 1 cos(θ) + b 1 si(θ). Jos taas u(θ) u + a cos(θ) + b si(θ) joilleki a, b, ii yhtäsuuruus pätee, sillä a 1 a, b 1 b ja a k b k, ku k > 1 ja fuktio u site toteuttaa kohdassa (2.12) yhtäsuuruude. Lause 2.5 (Isoperimetrie epäyhtälö tasossa). Olkoo joukko 2 sellaie, jota rajaa C 1 reuaviiva. Tällöi 4πA L 2, missä L o reuaviiva pituus ja A se sisälle jäävä aluee pita-ala. Jos yhtäsuuruus o voimassa, ii joukko o ympyrä.

11 1 Todistus. Olkoo γ : [a, b] 2 reuaa vastaava C 1 polku, jolloi L b a γ (t) dt. Käyrä γ([a, b]) esitys pituusparametri s [, L] suhtee [2, s.61], o käyrä σ(s) (u(s), v(s)), σ γ, jolle pätee (2.13) σ (s) 2 u (s) 2 + v (s) 2 1. Muuetaa fuktio 2π jaksolliseksi asettamalla kaikille θ [, 2π] x(θ) u ( Lθ) 2π Ehto (2.13) tulee yt muotoo ja y(θ) v ( Lθ). 2π (2.14) x (θ) 2 + y (θ) 2 L2 4π. 2 Soveltamalla Greei lausetta kuvauksee (x 1, x 2 ) (, x 1 ), saadaa (2.15) A ( (x 1 ) ) () dx 1 dx 2 x 1 x 2 2π Koska käyrä σ([, 2π]) o umpiaie, ii (, x(θ)) (x (θ), y (θ)) dθ 2π x(θ)y (θ) dθ. (2.16) 2π y (θ) dθ y(2π) y(). Fuktio x : [, 2π] o jaksollie C 1 -fuktio jaksoaa 2π, jote siihe voidaa soveltaa Wirtigeri epäytälöä 2.4. Saadaa (2.17) 2π 2A (2.15) 2 2 2π 2π 2π Lause 2.4 2π x(θ)y (θ) dθ (2.16) 2 x(θ)y (θ) dθ 2x (x(θ) x)y (θ) dθ 2π y (θ) dθ (x(θ) x) 2 + y (θ) 2 ( 2(x(θ) x)y (θ) + (x(θ) x) 2 + y (θ) 2) dθ (x(θ) x) 2 + y (θ) 2 (x(θ) x y (θ)) 2 dθ 2π x (θ) 2 + y (θ) 2 dθ (2.14) 2π L2 4π 2 L2 2π, eli isoperimetrie epäyhtälö. Jos edellisessä kohdassa (2.17) vallitsee yhtäsuuruus, saadaa sitä suoraa muokkaamalla

12 11 2π (x(θ) x) 2 dθ 2π } {{ } :α 2π x ( (θ) dθ x(θ) x y (θ) )2 dθ. } {{ } Wirtigeri epäyhtälö 2.4 mukaa α ja toisaalta β, jote aioa vaihtoehto o, että α β. Tällöi Wirtigeri epäyhtälössä 2.4 pätee yhtäsuuruus fuktiolle x, jote :β x(θ) x + a cos(θ) + b si(θ) kaikilla θ [, 2π] ja joillaki vakioilla a, b. Koska myös β, ii eli y (θ) x(θ) x a cos(θ) + b si(θ), y(θ) a si(θ) b cos(θ) + C kaikilla θ [, 2π] ja jollai C. Käyrä σ(θ) (x(θ), y(θ)) esittää ympyrää, joka keskipiste o (x, C) ja säde L 2π, sillä kaikilla θ [, 2π] ja väite seuraa. (x(θ) x) 2 + (y(θ) C) 2 y (θ) 2 + x (θ) 2 (2.14) ( L 2π) 2

13 12 3. Pohjustusta Merkiällä L () tarkoitetaa Lebesgue -ulotteista mittaa avaruudessa. Itegraalit ovat Lebesgue itegraaleja, ku itegraali perässä o dx tai dy. Differetiaali- ja itegraalilaskeasta [2] oletetaa tuetuiksi reaaliarvoise fuktio gradietti ja vektoriarvoise fuktio divergessi u(x) ( 1 u(x),..., u(x)) div u(x) 1 u 1 (x) u (x). Fuktio u Jacobi determiattia merkitää J u ja muuttuja vaihtolause oletetaa tuetuksi. Määritelmä 3.1 (Hausdorff mitta). Asetetaa kaikille γ, ɛ > ja Hɛ γ () : if ω(γ)2 γ diam(a i ) γ i1 A i, diam A i < ɛ, missä diam A i o jouko A i halkaisija ja ω(γ) πγ/2. Fuktio Γ o yleisesti tuettu Γ(γ/2+1) Gammafuktio. Edellä määritelty γ o Hausdorff mita dimesio. aja-arvoa i1 H γ () : lim ɛ H γ ɛ () saotaa Hausdorffi γ-ulotteiseksi mitaksi. Näi määriteltyä Hausdorffi mitta H yhtyy Lebesgue mittaa L avaruudessa. Toisi saoe kaikille o voimassa L () H () (ks. [7, s.16]). Hausdorffi mitalle o voimassa seuraavat perusomiaisuudet (ks. [1, s.63]) (i) H γ (λ) λ γ H γ () kaikilla λ >,, (ii) H γ (L()) H γ () jokaisella affiiilla isometrialla L :, L p avaruudet. Olkoo L -mitallie. Mitallise fuktio u : p- ormi (p 1) o ( 1/p u p u dx) p. Merkitää L p () {u : u o mitallie, u p < }. Asetetaa joukkoo L p () ekvivalessirelaatio u v u(x) v(x) melkei kaikilla x. Ekvivalessiluokkie [u] {v L p () u v} joukko

14 13 L p () {[u] u L p ()} varustettua p-ormilla p o Baach avaruus (L p (), p ). Lause 3.2. Jos L () < ja 1 p < r, ii ja L r () L p () u p (m()) r p rp u r kaikilla u L r (). Seuraavaksi aettavaa yleistettyy Hölderi epäyhtälöö viitataa jatkossa kirjoittamalla lyhyesti Hölder. Lause 3.3 (yleistetty Hölderi epäyhtälö). Olkoo p i [1, ] site, että k i1 1 p i 1 ja u L p i (). Tällöi k i1 u i L 1 () ja u 1 u 2 u k dx Jos L () >, määritellää fuktio u keskiarvo u dx : k u i pi. i1 1 u dx. L () Määritellää multi-ideksi α (α 1,..., α ), missä α i o kokoaisluku ja α α i o multi-ideksi pituus. Merkiällä D α u tarkoitetaa D α α u u x α 1 1. xα Fuktio u : kataja spt u o jouko {x u(x) } sulkeuma Määritellää seuraavat fuktioavaruudet C() {u : u jatkuva}, spt u {x u(x) }. C 1 () {u : u o jatkuvasti differetioituva}, C k+1 () {u C k () o olemassa D α u C() kaikilla α N, joille α k + 1}, C k () Ck () {u spt u kompakti, spt u }, L p loc () {u : u Lp (K) jokaisella kompaktilla K }. Näistä C () o avaruude L p () tiheä aliavaruus, ku 1 p <.

15 Silotus. Myöhemmi määriteltäviä Sobolevi avaruuksii kuuluvia fuktioita o voitava approksimoida sopivilla siisteillä fuktioilla. Tätä varte määritellää fuktio silotus ja todistetaa silotuksille pätevät perustulokset. Määritelmä 3.4 (Silotus). Olkoo ϕ C ( ) epäegatiivie fuktio, joka täyttää seuraavat vaatimukset: i) ϕ(x) kaikilla x ii) ϕ(x), ku x 1 iii) ϕ(x) dx 1. Eräs esimerkki ehdot täyttävästä fuktiosta o ϕ :, ϕ(x) { Ce 1 1 x 2, ku x < 1,, ku x 1, missä C > o valittu site, että ϕ(x) dx 1. Ku ɛ >, asetetaa ϕ ɛ (x) ɛ ϕ( x ɛ ), jolloi spt ϕ ɛ B(, ɛ), ϕ ɛ C ( ) ja ϕ(x) dx 1. Edellä määriteltyjä fuktioita ϕ ja ϕ ɛ kutsutaa silottajaytimiksi. Määritellää fuktiolle u L 1 loc ( ) kovoluutio u ɛ (x) : (ϕ ɛ u)(x) : ϕ ɛ (x y)u(y) dy. Tätä kovoluutiota u ɛ kutsutaa fuktio u silotukseksi. Lause 3.5 (Silotukse perusomiaisuuksia). Olkoo u L 1 loc ( ) ja fuktiot u ɛ silottajaytimiä, ɛ >. Tällöi a) u ɛ C ( ) ja D α (ϕ ɛ u) (D α ϕ ɛ ) u jokaisella multi-ideksillä α. b) Jos u o jatkuva, ii u ɛ u tasaisesti jokaisessa kompaktissa joukossa K. c) Jos u L p ( ), 1 p <, ii u ɛ L p ( ), u ɛ p u p ja u ɛ u p, ku ɛ.

16 Todistus. a) Tekemällä iduktio multi-ideksi α pituude suhtee, voidaa olettaa, että α 1. Tällöi u ɛ (x + te i ) u ɛ (x) ϕ ɛ (x + te i y)u(y) dy ϕ ɛ (x y)u(y) dy (ϕ ɛ (x + te i y) ϕ ɛ (x y))u(y) dy t i (ϕ ɛ (x + se i y))u(y) ds dy t Fubii i (ϕ ɛ (x + se i y))u(y) dy ds. Koska ϕ ɛ o kompaktikatajaie, voidaa edellä suoritettu itegraali yli : tulkita rajoitetu jouko yli otetuksi, sillä itegroitava fuktio häviää tämä jouko ulkopuolella. Apulause: Kuvaus s i (ϕ ɛ (x + se i y))u(y) dy o jatkuva. Apulausee todistus: eaaliarvoise fuktio väliarvolausee ja Cauchy-Bujakovski-Schwarzi epäyhtälö avulla saadaa 15 (3.1) i ϕ ɛ (x + se i y) i ϕ ɛ (x + re i y) ( i ϕ ɛ (ξ) (s r)e i ) i ϕ ɛ (ξ) s r M s r, missä M > löytyy sillä perusteella, että i ϕ ɛ o rajoitettu. Näi olle i (ϕ ɛ (x + se i y))u(y) dy i (ϕ ɛ (x + re i y))u(y) dy i ϕ ɛ (x + se i y) i ϕ ɛ (x + re i y) u(y) dy (3.1) s r M s r u(y) dy m.o.t. } {{ } < Apulauseessa todettua jatkuvuutta ja itegraalilaskea väliarvolausetta käyttäe seuraa u ɛ (x + te i ) u ɛ (x) 1 t t (t ) i (ϕ ɛ (x + s t e i y))u(y) dy t i (ϕ ɛ (x y))u(y) dy, sillä < s t < t ja site myös s t, ku t. b) Olkoo δ > ja V K avoi site, että V o kompakti. Koska u o jatkuva, o se tasaisesti jatkuva joukossa V. Siispä o olemassa r > site, että

17 16 u(x) u(y) < δ, ku x y < r. Asetetaa ɛ < mi(r, dist(k, V) 2 ). Tällöi B(x, ɛ) V kaikilla x K ja 1 { }} { u ɛ (x) u(x) ϕ ɛ (x y)u(y) dy ϕ ɛ (x y) dy u(x) ϕ ɛ (x y)(u(y) u(x)) dy ϕ ɛ (x y) u(x) u(y) dy ϕ ɛ (x y) u(x) u(y) dy } {{ } B(x,ɛ) <δ 1 { }} { δ ϕ ɛ (x y) dy δ. B(x,ɛ) Koska äi o kaikille x K, väite seuraa ottamalla supremum puolittai yli kaikkie x K. c) Koska (3.2) u ɛ (x) ϕ ɛ (x y)u(y) dy u(y) ϕ ɛ (x y p ϕɛ (x y) p 1 p dy Hölder ( 1p u(y) p ϕ ɛ (x y) dy) ϕ ɛ (x y) dy } {{ } 1 ( p u(y) p ϕ ɛ (x y) dy, p 1 p ii

18 17 ( p u ɛ p u ɛ (x) p ( ( ) (3.2) p u(y) p ϕ ɛ (x y) dy dx Fubii u(y) p ϕ ɛ (x y) dx dy } {{ } 1 u p. Olkoo δ > mielivaltaie. Koska jatkuvat fuktiot ovat tiheässä avaruudessa L p, ii o olemassa f C ( ) site, että u f p < δ. Nyt (3.3) u ɛ u p u ɛ f ɛ + f ɛ f + f u p -ey u ɛ f ɛ p + f ɛ f p + f u p. Koska u ɛ f ɛ (u f ) ɛ, ii u ɛ f ɛ p u f p < δ. Joukko spt( f ) o kompakti, jote löytyy pallo B : B(, r) site, että f (x) f ɛ (x) kaikilla x \B, ku ɛ < 1. Näi olle 1 p kohda b) ojalla. Site ( f ɛ f p f ɛ (x) f (x) p dx B(,r) L (B p p sup f ɛ (x) f (x) x B(,r) ɛ lim sup u ɛ u p 2δ ɛ ja koska äi o kaikille δ >, ii lim ɛ u ɛ u p ja väite seuraa Sobolev avaruuksista. Määritelmä 3.6 (Heikko derivaatta). Olkoo avoi, u L p loc () ja α multi-ideksi. Fuktio v L p loc () o fuktio u α. heikko derivaatta, jos se toteuttaa yhtälö ϕv dx ( 1) α ud α ϕ dx kaikilla ϕ C () ja merkitää v Dα u. Jos α 1, saadaa heikot osittaisderivaatat, joille käytetää lyhyempää merkitää D i u : D α u,

19 18 missä multi-ideksi α (,...,, i. 1,,..., ). Jos fuktio u heikot osittaisderivaatat ovat olemassa, määritellää fuktio heikko gradietti Du(x) : (D 1 u(x), D 2 u(x),..., D u(x)). Jos f ja g ovat fuktio u heikkoja derivaattoja, ii tällöi f g melkei kaikkialla. Heikko derivaatta o siis yksikäsitteie, ku ajatellaa yksikäsitteisyyttä L p -avaruuksie ekvivalessiluokkie mielessä [14, s.25]. Lemma 3.7. Olkoo u L 1 ( ) sellaie fuktio, jolla o olemassa rajoitettu osittaisderivaatta k u melkei kaikkialla ja k u L 1 ( ). Tällöi k u D k u, eli fuktio u osittaisderivaatta o se heikko osittaisderivaatta. Todistus. Olkoo ϕ C ( ). O olemassa L > site, että k u L melkei kaikkialla. Yksikertaisella bijektiivisella siirrolla x x + e k / j saadaa yhtäsuuruus (3.4) Olkoo u(x + e k / j)ϕ(x) dx u(x)ϕ(x e k / j) dx u(x + e k / j) u(x) ϕ(x) dx u(x) ϕ(x) ϕ(x e k/ j) 1/ j 1/ j B : j1 spt( ϕ(x) ϕ(x e k/ j) ). 1/ j Fuktiot L ϕ ja u(x) sup x k ϕ(x) χ B ovat itegroituvia ja ovat kohdassa (3.4) itegroitavie fuktioide itseisarvoje ylärajoia. Site domioidu kovergessi lausetta voidaa soveltaa ja saadaa k u(x)ϕ(x) dx u(x) k ϕ(x) dx. Koska äi o kaikille ϕ C (), ii määritelmä ojalla ku o fuktio u heikko derivaatta todistae väittee. Edellise lemma seurauksea saadaa, että jos jatkuvasti differetioituva fuktio osittaisderivaatat kuuluvat avaruutee L 1 ( ), ii e vastaavat fuktio heikkoja osittaisderivaattoja. Määritelmä 3.8 (Sobolev avaruudet). Olkoo avoi ja k N ja 1 p. Sobolev-avaruus W k,p () koostuu kaikista fuktioista u L p (), joilla o heikot derivaatat D α u joukossa ja D α u L p () kaikilla multi-idekseillä α, joide pituus α k. Varustamalla avaruus W k,p () ormilla dx.

20 19 u k,p; u k,p D α u p dx α k saadaa Baach avaruus (W k,p (), k,p ). Avaruus W k,p () määritellää avaruude C () sulkeumaa ormi k,p; suhtee. Lause 3.9. W 1,1 ( ) W 1,1 ( ). Todistus. Osoitetaa esi, että W 1,1 ( ) W 1,1 ( ): Olkoo u W 1,1 ( ). O osoitettava, että löytyy joo (u k ) C ( ) site, että 1/p, Toisi saoe, o äytettävä, että lim u k u 1,1. k lim u k u 1 ja lim i u k D i u 1 k k kaikilla i 1,...,. Näytetää, että jooksi käy fuktio u silottajista muodostettu joo asettamalla kaikille k u k : u ɛk, missä u ɛk o silotus site, että ɛ k 1 k. Fuktio u k osittaisderivaatoille saadaa (3.5) 3.5: (i) i u k (x) xi (ϕ ɛk u(x)) ( xi ϕ ɛk ) u(x) xi ϕ ɛk (x y)u(y) dy yi ϕ ɛk (x y)u(y) dy 3.6 ϕ ɛk (x y)d i u(y) dy (D i u) ɛk (x). Koska D i u L 1 ( ), ii lausee 3.5 kohda c) perusteella (D i u) ɛk D i u ormi 1 suhtee. Kohda (3.5) perusteella i u k (D i u) ɛk, jote myös i u k D i u ja ikluusio o todistettu. Osoitetaa sitte, että W 1,1 ( ) W 1,1 ( ): Olkoo u W 1,1 ( ). O olemassa joo (u i ) C ( ), jolle u i u 1,1 i. Fuktioide u i osittaisderivaatat k u i suppeevat kohti jotai fuktiota v k L 1 ( ) ormi 1 mielessä kaikilla k 1,...,. Näytetää, että fuktiot v k vastaavat fuktio u heikkoja osittaisderivaattoja D k u. Olkoo ϕ C ( ). Fuktioide u i osittaisderivaatoille k u i pätee

21 2 (3.6) Ku i, ii ϕ k u i dx u i k ϕ dx. (3.7) ϕ k u i dx ϕv k dx ja u i k ϕ dx u k ϕ dx, sillä o olemassa vakio M > site, että ϕ M ja k ϕ M kaikilla k 1,..., ja site ja ϕ k u i dx ϕv k dx i k u i v k ϕ dx M }{{} k u i v k 1 M u i k ϕ dx u k ϕ dx i u i u k ϕ dx M u }{{} i u 1. M Ku kohda (3.6) molemmat puolet korvataa kohdasta (3.7) saaduilla raja-arvoilla, saadaa ϕv k dx u k ϕ dx, jote heiko derivaata määritelmä ja yksikäsitteisyyde perusteella v k D k u. Fuktio u siis kuuluu avaruutee L 1 ( ) ja se heikot osittaisderivaatat ovat olemassa ja kuuluvat avaruutee L 1 ( ), eli u W 1,1 ( ). Molemmi puoliset ikluusiot yhdessä todistavat väittee. Luvu loppuosa lauseet tähtäävät ademacheri lausee 3.15 todistamisee. Lause 3.1. Jos fuktio f : [a, b] o absoluuttisesti jatkuva, ii se o derivoituva melkei kaikilla x [a, b]. Todistus. eaaliaalyysi [15, Lause 3.73.] Lause Olkoo avoi ja u : Lipschitz. Tällöi u W 1,p loc () kaikilla p 1. Todistus. Fuktio u o jatkuva, jote u L p loc (). O äytettävä, että heikot osittaisderivaatat D i u kuuluvat avaruutee L p loc (), missä i 1,...,. Olkoo joukko U avoi, jolle U o kompakti. Merkitää x (t, y) 1. Valitaa y 1 site, että {y} U. Tällöi fuktio ϕ y : I, ϕ y (t) u(t, y) o absoluuttisesti jatkuva jokaisella suljetulla välillä I, sillä fuktio u o Lipschitz. Lauseesta 3.1 seuraa yt, että derivaatta (3.8) ϕ y(t) 1 u(t, y) o olemassa melkei kaikilla t I. Lisäksi derivaata ollessa olemassa, o sille voimassa

22 21 (3.9) 1 u(t, y) ϕ y (t) L, missä L o fuktio u Lipschitz kerroi. Tämä seuraa erotusosamäärälle tehdystä arviosta u(t + h, y) u(t, y) h atamalla h: meä ollaa. Määritellää L he 1 h L 1 u(x) : lim sup j 1 u(x) : lim if j u(t + 1/ j, y) u(t, y), 1/ j u(t + 1/ j, y) u(t, y). 1/ j Fuktiot 1 u ja 1 u ovat mitallisia, sillä erotusosamäärät ovat jatkuvia mitallisia ja site myös iistä otetut lim sup ja lim if. Niipä joukko o mitallie. Merkitää A : ( 1 u 1 u) 1 {} {x 1 u(x) o olemassa.} A c y {t (t, y) A c }. Kohda (3.14) perusteella L 1 (A c y) kaikilla y, jote Fubii mukaa L (A c ) (L 1 L 1 )(A c ) L 1 (A c y) dy, 1 } {{ } eli 1 u(x) o olemassa melkei kaikilla x. Lisäksi kohda (3.9) perusteella 1 u L melkei kaikkialla, jote 1 u L p (U) kaikilla p 1 ja 1 u L p loc () kaikilla p 1. Lemmasta 3.7 seuraa, että 1 u D 1 u. Sama päättely saadaa tehtyä fuktio u kaikille osittaisderivaatoille. Lause 3.12 (Lebesgue differetioituvuuslause). Olkoo u L p loc ( ), 1 p <. Tällöi melkei kaikilla x. Todistus. [1, s.43] lim u(y) u(x) r B(x,r) p dy Lause 3.13 (Morrey epäyhtälö). Jokaiselle < p < o olemassa vakio c c(, p) site, että ( p u(y) u(z) cr Du(w) p dw B(x,r)

23 22 kaikilla suljetuilla palloilla B(x, r), u W 1,p (U(x, r)) ja melkei kaikilla y, z U(x, r), missä U(x, r) merkitsee avoita palloa. Todistus. [1, s.143] Lause Olkoo avoi ja u W 1,p loc () jollai p >. Tällöi u o differetioituva melkei kaikilla x. Todistus. Olkoo B avoi pallo, jolle B. Tällöi u W 1,p (B). Koska L (B) < ja p > 1, ii L p -avaruuksie ikluusio 3.2 mukaa fuktio u heikot osittaisderivaatat D i L 1 (B) kaikilla i 1,...,. Koska itseisarvoormi o suurempaa tai yhtä suurta kui tavallie euklidie ormi, ii Du(y) Du(w) D i u(y) D i u(w). i1 Näi olle, soveltamalla Lebesgue differetioituvuuslausetta 3.12 jokaisee fuktio u heikkoo derivaattaa, saadaa (3.1) lim Du(y) Du(w) dy lim r B(w,r) r B(w,r) melkei kaikilla w B. Valitaa tällaie w B ja määritellää lim r i1 D i u(y) D i u(w) dy i1 v(x) u(x) u(w) Du(w) (x w). D i u(y) D i u(w) dy B(w,r) } {{ } Fuktio v W 1,p (B) ja Dv(x) Du(x) Du(w) melkei kaikilla x B. Nyt u(y) u(w) Du(w) (y w) v(y) v(y) v(w) ( cr L (B(w, 2r)) ( 1 cr L (B(w, 2r)) missä r y w. Site kohda (3.1) ojalla B(w,2r) B(w,2r) p Dv(x) p dx Du(x) Du(w) p dx p, u(y) u(w) Du(w) (y w), y w ku r ja koska kuvaus t Du(w) t o lieaarikuvaus avaruudesta avaruutee, o u differetioituva pisteessä w ja site melkei kaikkialla joukossa. Lause 3.15 (ademacher). Olkoo u : Lipschitz. Tällöi u o differetioituva melkei kaikkialla.

24 Todistus. Lausee 3.11 perusteella u W 1,p loc ( ) erityisesti kaikilla p >, jote väite seuraa lauseesta Sobolevi epäyhtälö Lemma 3.7 seurauksea tiedetää, että jatkuvasti differetioituva fuktio gradietti yhtyy heikkoo gradiettii, jote voidaa käyttää merkitää Du myös tarkoittae tavallista gradiettia. Lemma 4.1. Olkoo avoi, > 1, ja u C (). Tällöi pätee (4.1) u(x) 1 i1 D i u(x) dx i Todistus. Koska spt(u), ii myös spt(d i u) ja (4.2) Edellee lim D iu(x). x i u(x) lim (u(x) u(x 1,..., x i 1, a, x i+1,..., x )) a xi lim D i u(x) dx i a a xi xi D i u(x) dx i D i u(x) dx i D i u(x) dx i. Koska (4.2) pätee jokaiselle koordiaatille x i, saadaa kertomalla e keskeää lopullie arvio u(x) i1 D i u(x) dx i u(x) 1 i1 D i u(x) dx i Lause 4.2. Olkoo avoi, missä > 1. O olemassa vakio C C() site, että jos u W 1,1 (), ii (4.3) u /( 1); C Du 1;. Todistus. Olkoo aluksi u C (). Osoitetaa iduktio avulla, että 1 1. (4.4) u(x) 1 dx1 dx j j ( i1 ( i j+1 D i u(x) dx 1 dx j 1 D i u(x) dx i dx 1 dx j 1

25 24 kaikilla j {1,..., 1}. Alkuaskel, j 1: Itegroii mootoisuude perusteella saadaa lemma (4.1) epäyhtälöstä itegroimalla puolittai koordiaati x 1 suhtee u(x) 1 dx1 ( i1 D i u(x) dx i 1 dx1 ( 1 ( D 1 u(x) dx 1 } {{ } vakio x 1 : suhtee i2 ( 1 ( D 1 u(x) dx 1 Hölder ( D 1 u(x) dx 1 1 i2 ( i2 D i u(x) dx i 1 D i u(x) dx i 1 dx1 dx1 D i u(x) dx i dx 1 1. Alkuaskel siis toimii. Oletetaa sitte, että pätee (4.5) u(x) 1 k 1 ( dx1 dx k 1 i1 ( ik D i u(x) dx 1 dx k 1 1 D i u(x) dx i dx 1 dx k 1 1 ja osoitetaa, että (4.4) pätee myös, ku j k:

26 25 Itegroimalla epäyhtälö (4.5) puolittai x k : suhtee saadaa k 1 ( u(x) ( i1 ik+1 Hölder ( ( ( ik+1 Fubii ( ( ik+1 k ( i1 1 dx 1 dx k 1 dx k D i u(x) dx 1 dx k 1 1 D k u(x) dx k dx 1 dx k 1 1 ( ik k 1 ( i1 D i u(x) dx i dx 1 dx k 1 1 dxk D k u(x) dx k dx 1 dx k 1 1 D i u(x) dx i dx 1 dx k 1 D k u(x) dx 1 dx k 1 k 1 ( i1 k 1 ( i1 D i u(x) dx i dx 1 dx k 1 D i u(x) dx 1 dx k 1 ( ik+1 D i u(x) dx i dx 1 dx k 1 1 dxk D i u(x) dx 1 dx k 1 1 D i u(x) dx 1 dx k 1 D i u(x) dx 1 dx k 1 D i u(x) dx i dx 1 dx k 1. Näi iduktio o valmis. Sovelletaa juuri todistettua tulosta (4.4), ku j 1 ja sovelletaa tulo viimeisee jäseee Fubii lausetta (4.6) u(x) 1 1 ( dx1 dx 1 i1 ( D i u(x) dx 1 dx 1 1 D u(x) dx 1 dx 1. Ku (4.6) itegroidaa puolittai x : suhtee, saadaa lopulta

27 26 u(x) 1 dx1 dx 1 ( ( 1 Hölder mikä o Fubii mukaa sama kui ( i1 ( i1 ( 1 ( i1 ( i1 D i u(x) dx 1 dx 1 1 D u(x) dx 1 dx 1 dx D u(x) dx 1 dx 1 D i u(x) dx 1 dx 1 1 dx D u(x) dx 1 dx 1 D i u(x) dx 1 dx 1 D i u(x) dx 1 dx 1, (4.7) ( u(x) 1 dx D i u(x) dx i1 1. Aritmeettie keskiarvo o aia suurempaa tai yhtä suurta, kui geometrie keskiarvo, jote (4.8) a1 a 2 a a 1 + a a (a 1 a 2 a 1 ( a1 + a a ) 1. Jos luvut a i ovat positiivisia, o Hölderi diskreeti epäyhtälö mukaa (4.9) Hölder a 1 + a a 1 a a a 1 (a 1 + a a ) a a2 a a2. Soveltamalla kohtia (4.8) ja (4.9) saadaa epäyhtälö (4.7) oikeaa puolta arvioitua

28 27 (4.1) ( i1 D i u(x) dx 1 1 D i u(x) dx i1 1 1 D i u(x) dx i1 ( ) (4.9) 1 1 Du(x) dx. 1 (4.8) Väite seuraa yt huomioimalla arvio (4.1) kohdassa (4.7) u(x) 1 dx ( 1 ( ) 1 Du(x) dx u(x) 1 ) 1 u /( 1); 1 Du 1. dx 1 Du(x) dx Olkoo sitte u W 1,1 (). O olemassa joo (u i) C () site, että u i u ormi 1,1; suhtee. Site myös Du i Du ja u i u avaruudessa L 1 (). Erityisesti joot (u i ) ja (Du i ) ovat Cauchy-jooja. Sovelletaa yt tulosta (4.3) erotuksee u i u j C () u i u j /( 1) C D(ui u j ) 1 C Dui Du j 1 i, j. Tästä ähdää, että (u i ) o Cauchy-joo myös avaruudessa L 1 (). Mutta koska L 1 () o täydellie, ii joo (u i ) suppeee, u i u. Nyt u u, sillä L () < ja lausee 3.2 mukaa u u i 1 m(/ u u i /( 1) i, eli u i u avaruudessa L 1 (), mistä suppeemise yksikäsitteisyyde perusteella seuraa, että u u. Lopullie tulos saadaa yt arvioimalla u /( 1) u u i + u i /( 1) -ey u u i /( 1) + u i /( 1) (4.3) u i :lle i { }} { u u i /( 1) +C Du i 1 i C Du 1.

29 28 5. Co-area kaava Ee varsiaista isoperimetrise epäyhtälö ja Sobolevi epäyhtälö ekvivalessi todistusta tarvitaa tärkeä työkalu, jota kutsutaa co-area kaavaksi. Tulos todistetaa esi lieaarikuvauksille, joide avulla todistus laajeetaa koskemaa laajempaa fuktioluokkaa. Lopuksi todistetaa tulos myös epäyhtälö muodossa Lipschitz kuvauksille, mikä o riittävää tulevii tarpeisii. Co-area kaava mukaa reaaliarvoiselle Lipschitz kuvaukselle u : pätee u(x) dx H 1 [ u 1 (t) ] dt, missä o mitallie. Jos rajoitutaa tarkastelemaa, mitä co-area kaava tarkoittaa geometrisessa mielessä esimerkiksi avaruudessa 2, o H 1 [ u 1 (t) ] se käyrä pituus, joka sytyy, ku fuktio graafi leikkaa hypertaso z t kassa. Co-area kaava siis luo yhteyde fuktio derivaata 1-ormi ja fuktio tasa-arvojoukkoje välille. Määritelmä 5.1. (Lieaarikuvaukset). (i) Lieaarikuvaus O : m o ortogoaalie, jos (Ox) (Oy) x y kaikilla x, y. (ii) Lieaarikuvaus S : o symmetrie, jos x (S y) (S x) y kaikilla x, y. (iii) Kuvaus L : m o kuvaukse L adjugaatti, jos x (L y) (Lx) y kaikilla x ja y m. Edellise tyyppisille lieaarikuvauksille pätee ([1, s.86]) (i) L L. (ii) (L M) M L. (iii) O O 1, jos O : o ortogoaalie. (iv) S S, jos S : o symmetrie. Lause 5.2. Olkoo L : lieaarikuvaus. Tällöi o olemassa symmetrie lieaarikuvaus ja ortogoaalie lieaarikuvaus site, että Lisäksi S : O : L S O. O P Q, missä P : o ortogoaalie projektio ja Q : o ortogoaalie.

30 Todistus. iittää osoittaa, että kuvaukselle K : L : o olemassa symmetrie kuvaus S : ja ortogoaalie O : site, että K O S, sillä tällöi 29 K L (O S ) S O S O. Jos K, ii väite pätee valitsemalla S ja Ox (x,,..., ). Voidaa siis olettaa, että K x aioastaa, ku x. Määritellää C : K K :. Nyt Cx kx, missä k >, sillä kaikilla x Olkoo yt k Cx x [K (Kx)]x x 2 Kx K x x 2 Kx Kx x 2 >. S x kx ja Ox 1 k Kx, jolloi S o symmetrie Kuvaus O o ortogoaalie, sillä x(s y) x ky kxy (S x)y. Lisäksi (Ox) (Oy) 1 k Kx Ky 1 k Kx K y 1 k [K (Kx)]y 1 k (Cx)y 1 kxy xy. k kute pitiki. O S x O( kx) 1 k L kx 1 k klx Lx, Olkoo {O(1) x 1, x 2,..., x } ortoormaali joukko. Asetetaa Q e i x i kaikilla i {1,..., }, jolloi Q ja Q ovat ortogoaalisia lieaarikuvauksia ja kaikilla x Lisäksi kaikilla x Q (x,,..., ) Ox. Näi olle P x (x,,..., ).

31 3 eli O Q P ja site Q P x Q (x,,..., ) Ox kaikilla x, O (Q P ) P Q. Lause 5.3 (Co-area kaava lieaarikuvauksille). Olkoo L : lieaarie. Tällöi kaikilla mitallisilla. Todistus. Lausee 5.2 mukaa L dx H 1 [ L 1 (t)] dt missä L S P Q, S : P : Q : o symmetrie, o ortogoaalie projektio ja o ortogoaalie. Jokaiselle y, P 1 y o hypertaso, joka o yhdesuutaie hypertaso P 1 () kassa. Alkukuvat P 1 y siis jakavat : yhdesuutaisii ( 1)-ulotteisii siivuihi. Joukko 1 o L L 1 L H 1 L mitallie, jote Fubii mukaa joukko y {x (y, x) } o H 1 -mitallie melkei kaikilla y ja (5.1) L () H 1 ( y ) dy H 1 ( P 1 (y)) dy. Koska ortogoaaliset kuvaukset Q ja Q 1 säilyttävät etäisyydet, säilyttävät e myös mita ja site kohdasta (5.1) saadaa (5.2) L () L (Q()) H 1 (Q() P 1 (y)) dy H 1 [ Q 1 ( Q() P 1 (y) )] dy H 1 [ Q 1 (Q()) Q 1 ( P 1 (y) )] dy H 1 [ Q 1 ( P 1 (y) )] dy. Muuttujavaihdolla z S y saadaa edellise kohda (5.2) perusteella

32 31 (5.3) H [ 1 L 1 (z) ] dz zs y S S H 1 [ Q 1 (P 1 (S 1 (z))) ] dz H 1 [ Q 1 (P 1 (S 1 (S (y)))) ] dz H 1 [ Q 1 ( P 1 (y) )] dy S L (). Kaikille i {1,..., } pätee yhdistety kuvaukse derivoitisääö mukaa jote D i Lx D i (S O )(x) S D i O x, (5.4) (5.5) L S O. Koska O o ortogoaalie, ii O 1. Site kohdasta (5.4) seuraa L S O S O S. Ku yhdistetää (5.5) kohtaa (5.3), johtaa se lopputuloksee L dx L L () S L () H 1 [ L 1 (t) ] dt H 1 [ L 1 (t) ] dt. Lause 5.4 (Gauss-Gree). Olkoo joukko, jolla o C 1 reua ja ν : pia yksikköormaalivektori, sekä u : vektoriarvoie C 1 -fuktio. Tällöi o voimassa Todistus. Ks. [9] div u(x) dx u(x) ν (x) dh 1 (x). Lause 5.5 (Morse-Sard). Olkoo f : C -fuktio. Tällöi Todistus. Ks. [8]. H 1 [ { f (x) f (x) } ]. Lause 5.6 (Fatou). Olkoot f k : [, ] mitallisia fuktioita. Tällöi lim if k f k(x) dx lim if k Todistus. Mitta- ja itegraaliteoria [1, s.37]. f k (x) dx. Lause 5.7. Olkoo avoi ja rajoitettu joukko, jolla o C 2 reua. Tällöi { } sup div ϕ dx ϕ C 1 ( ; ), sup ϕ 1 H 1 [ ].

33 32 Todistus. Todistetaa väite kahdessa osassa: 1 sup { div ϕ dx ϕ C1 ( ; ), sup ϕ 1 } H 1 [ ] : Gauss-Greei lausee 5.4 mukaa kaikille pätee div ϕ dx ϕ C 1 ( ; ), sup ϕ 1 ϕ(x) ν(x) dh } {{ } 1 (x) 1 1 dh 1 (x) H 1 [ ], jote kohta 1 seuraa ottamalla supremum yli kaikkie tällaiste ϕ fuktioide. 2 sup { div ϕ dx ϕ C1 ( ; ), sup ϕ 1 } H 1 [ ] : Koska ν o C 1 yksikkövektorikettä pialla ja o suljettu, voidaa se Whitey laajeuslausee [4, Theorem I] perusteella laajetaa C 1 -ketäksi kattamaa site, että ν(x) 1 kaikilla x. Olkoo sitte φ C ( ) site, että φ(x) 1 kaikilla x, jolloi määrittelemällä ϕ φν saadaa div ϕ dx Näi olle kohta 2 seuraa arvioimalla { sup { sup { sup { φ(x) ν(x) ν(x) dh } {{ } 1 (x) φ(x) dh 1 (x). 1 } div ϕ dx ϕ C 1 ( ; ), sup ϕ 1 } div ϕ dx ϕ C 1 ( ; ), ϕ φν, sup ϕ 1 } φ(x) dh 1 (x) ϕ C 1 ( ; ), ϕ φν, sup ϕ 1 } sup φ(x) dh 1 (x) φ C ( ), sup φ 1 H 1 [ ]. Väite seuraa kohdista 1 ja 2. Yleistetää seuraavaksi co-area kaava koskemaa C -fuktioita. Lause 5.8. Olkoo u C ( ). Tällöi

34 33 u(x) dx Todistus. Osoitetaa väite kahdessa osassa. 1 u(x) dx H 1 [ u 1 (t) ] dt : Olkoo H 1 [ u 1 (t) ] dt. ja (5.6) Tällöi t {x u(x) > t}, N {x u(x) } f t :, f t (x) u(x) { χt, t, χ (t ) c, t <. f t (x) dt, kaikilla x, sillä jos u(x) >, ii f t (x) 1, ku t [, u(x)[ ja muulloi f t (x), jote f t (x) dt u(x) dt u(x) u(x). Jos taas u(x), ii f t (x) 1, ku t [u(x), ] ja muulloi f t (x), jolloi ja site (5.6) pätee. f t (x) dt u(x) 1 dt ( u(x)) u(x) (5.7) Olkoo sitte ϕ C ( \N), jolloi Fubii perusteella ϕ(x)u(x) dx (5.6) ϕ(x) f t (x) dt dx ϕ(x) f t (x) dx dt ϕ(x) dx dt + t ( t ) c ϕ(x) dx dt. Implisiittifuktiolausee perusteella u 1 (t) ( \N) o C -hyperpita, sillä u(x) joukossa \N. Oletetaa sitte, että ϕ C ( \N; ) ja sup ϕ 1. Gauss-Greei 5.4 perusteella

35 34 (5.8) Tulo derivoiista seuraa div ϕ(x) dx t t ( \N) ϕ(x) ν(x) dx. (5.9) div(uϕ) u ϕ + u div ϕ. Siispä, koska spt(uϕ) o kompakti, häviää se riittävä iso jouko reualla ja site Gauss- Greei lauseesta 5.4 seuraa (5.1) Nyt div(uϕ) dx (5.9) u ϕ dx + u div ϕ dx u ϕ dx u div ϕ dx. (5.11) u ϕ dx (5.1) (5.8) + u div ϕ dx (5.7) div ϕ dx dt + t ϕ(x) ν(x) dh t } {{ } 1 (x) dt ( \N) 1 t ( \N) ϕ(x) ν(x) dh } {{ } 1 (x) dt 1 H 1 [ u 1 (t) ( \N) ] dt + H 1 [ u 1 (t) ] dt. Edellise kohda (5.11) epäyhtälöstä seuraa, että ( t ) c div ϕ dx dt H 1 [ u 1 (t) ( \N) ] dt (5.12) Koska { } sup u ϕ dx ϕ C ( \N; ), sup ϕ 1 H [ 1 u 1 (t) ] dt. u(x) dx u(x) dx \N ja u ϕ dx u ϕ dx, \N ii kohda 1 todistamiseksi riittää siis eää osoittaa, että

36 35 (5.13) Olkoo \N { } u(x) dx sup u ϕ dx ϕ C ( \N; ), sup ϕ 1. \N K i Määritellää g i : \N, { x \N dist(x, N) < 1 }. i Nyt g i : silotus {, x Ki g i (x), muulloi. u(x) u(x) ja f i ϕ i/2 g i C ( \N; ) f i (x) u(x) kaikilla x \N. u(x) Voidaa olettaa, että sup f i (x) 1 kaikilla x \N ja kaikilla i. Niipä Lebesgue domioidu kovergessi mukaa lim u(x) f i (x) dx u(x) i u(x) (5.14) \N \N u(x) dx u(x) dx. \N Kohdasta (5.14) ähdää yt, että (5.13) pitää paikkaasa. Site 1 o todistettu. 2 u(x) dx H 1 [ u 1 (t) ] dt : Olkoo (L k ) joo paloittai lieaarisia fuktioita L k : site, että (5.15) ja (5.16) Merkitää Kohdasta (5.15) seuraa, että (5.17) lim L k (x) u(x) dx k lim L k (x) dx u(x) dx. k k t {x L k (x) > t}, χ k t χ k t ja χ t χ t. L k (x) u(x) melkei kaikilla x. O olemassa umeroituva joukko S site, että kaikille t \S pätee

37 36 lim χt (x) χ k t (x) (5.18) dx. k Osoitetaa S umeroituvaksi tekemällä atiteesi, että S o yliumeroituva: Haetulle raja-arvolle o voimassa mita subadditiivisuude ja kohda (5.17) perusteella (5.19) lim χt (x) χ k t (x) dx k lim L ( {L k (x) > t u(x)} {L k (x) > t > u(x)} {u(x) > t > L k (x)} {u(x) > t L k (x)} ) k lim L ({L k (x) > t u(x)}) + lim L ({L k (x) > t > u(x)}) k k + lim L ({u(x) > t > L k (x)}) } k {{ } } {{ } + lim k L ({u(x) > t L k (x)}) } {{ } lim k L ({x L k (x) > t u(x)}) L ({x u(x) t}). O olemassa α > site, että lim χt (x) χ k t (x) (5.2) dx > α k umeroituva moella t t i, i N. Olettamalla, että t ja soveltamalla mita täysadditiivisuutta saadaa (5.2) lim χt (x) χ k t (x) dx k t (5.19) < L ({x u(x) t} ) } {{ } t pistevieraita L ( {x u(x) t}) < L (spt(u)). t Tämä o ristiriidassa se kassa, että L (spt(u)) <, jote (5.18) pitää paikkaasa. Morse-Sardi lausee 5.5 mukaa o ollamittaie joukko N site, että (5.21) u(x) ku u(x) \N. Numeroituva joukko o ollamittaie, jote joukko S voidaa sisällyttää edellä määriteltyy joukkoo N se silti pysyessä ollamittaisea. Siis u 1 (t) o implisiittifuktiolausee mukaa ( 1)-ulotteie suljettu C hyperpita kaikilla t \N. Olkoo ɛ >.

38 Koska t u 1 (t), ii lausee 5.7 mukaa löytyy kaikille t \N fuktio ϕ C ( ; ), jolle sup ϕ 1 ja (5.22) Merkitää (5.23) H [ 1 u 1 (t) ] div ϕ dx + ɛ t 2. M sup div ϕ. Kohdasta (5.18) seuraa, että löytyy K N site, että (5.24) Nyt (5.25) div ϕ(x) dx t ku k K ja t \N. Edellee (5.26) χt (x) χ k t (x) dx k t ɛ 2M kaikilla k K ja t \N. div ϕ(x) dx χ t (x) div ϕ(x) dx χ k t (x) div ϕ(x) dx div ϕ(x)(χ t (x) χ k t (x)) dx div ϕ(x) χt (x) χ k t (x) dx (5.23) M χt (x) χ k t (x) (5.24) dx ɛ 2, H [ 1 u 1 (t) ] (5.22) (5.25) Lause 5.4 div ϕ dx + ɛ t 2 div ϕ dx + ɛ k t k t H [ 1 L 1 k (t)] + ɛ ϕ(x) ν(x) dh } {{ } 1 (x) + ɛ 1 kaikilla k K ja t \N. Koska (5.26) pätee kaikilla ɛ > ja kaikilla k K, ii 37 ja (5.27) H [ 1 u 1 (t) ] H [ 1 L 1 k (t)] H 1 [ u 1 (t) ] lim if k H 1 [ L 1 k (t)].

39 38 Lopulta saadaa pääteltyä H [ 1 u 1 (t) ] dt (5.27) jote kohta 2 o täte todistettu. Fatou, 5.6 Lause 5.3 (5.16) lim if k lim if k H 1 [ L 1 k (t)] dt H [ 1 L 1 k (t)] dt lim if L k (x) dx k u(x) dx, Kohdat 1 ja 2 yhdessä todistavat väittee. Itse asiassa co-area kaava pätee myös lievemmi oletuksi, imittäi kaikille Lipschitz kuvauksille. Tätä tulosta ei kuitekaa yt tulla tarvitsemaa koko hieoudessaa, vaa aioastaa epäyhtälö muodossa. Ee todistusta tarvitaa kaksi apulausetta varsiaise todistukse tueksi. Lemma 5.9. Olkoo mitallie ja u : Lipschitz. Tällöi (a) u 1 {y} o H 1 -mitallie L 1 melkei kaikilla y ja (b) kuvaus y H 1 ( u 1 {y}) o L 1 -mitallie. Todistus. Evas [1, s.15, lemma 2]. Lemma 5.1. Olkoo t > 1 ja h : Lipschitz. Asetetaa B : {x Dh(x) o olemassa ja J h (x) > }. Tällöi löytyy umeroituva kokoelma {D k } k1 : Borel-joukkoja site, että (i) L (B \ k1 D k ), (ii) h Dk o bijektio kaikilla k ja (iii) kaikilla k o olemassa symmetrie automorfismi S k : site, että yhdistetyt kuvaukset S 1 k h Dk ja (h Dk ) 1 S k ovat t-lipschitz kuvauksia. Todistus. Evas [1, s.19, lemma 3]. Edellisessä lemmassa voidaa kokoelma {D k } k1 olettaa myös pistevieraaksi, sillä lemma omiaisuudet saadaa voimaa kokoelmalle {B k } k1, missä B k D k \ k 1 j1 D j. Joukot B k ovat Borel-joukkoje joukkoerotuksia myös Borel-joukkoja. Lause Olkoo u : Lipschitz fuktio ja mitallie. Tällöi u(x) dx H 1 [ u 1 (t) ] dt.

40 Todistus. Joukolle {x u(x) } epäyhtälö vasemmasta puolesta tulee olla, jote epäyhtälö pätee. Voidaa siis olettaa, että 39 Määritellää fuktiot {x u(x) > }. P k : 1, P k (x) (x 1,..., x k 1, x k+1,..., x ), h k : 1, h k (x) (u(x), P k (x)) (u(x), x 1,..., x k 1, x k+1,..., x ) ja q : 1, q(y, z) y, jolloi u q h k kaikilla k 1,...,. Asetetaa B k {x det Dh k } {x k u(x) }, jolloi k1 B k. Joukot B k ovat mitallise fuktio k u(x) : lim if j u(x + e k / j) u(x) 1/ j alkukuvia ( k u) 1 ( \ {}) mitallisia, jote myös o mitallie. Olkoo k 1 k B k \ B j, jolloi joukot k ovat pareittai pistevieraita ja k1 k. Oletetaa merkitöje yksikertaistamiseksi, että : k kiiitetyllä k. Kiiitetää t > 1. Koska h : h k o selvästi Lipschitz, o lemma 5.1 mukaa pareittai pistevieras kokoelma {D k } k1 Borel-joukkoja ja symmetrisiä automorfismeja S k : täyttäe lemma 5.1 kohdat (i)-(iii). Asetetaa G k : D k. Väitetää, että j1 (5.28) Väittee todistus: u(x) t (q S k )(x) melkei kaikilla x G k. Fuktio u o ademacheri lausee 3.15 mukaa differetioituva melkei kaikkialla. Koska u q h ja lieaarikuvaukse differetiaali o kuvaus itse, saadaa yhdistety fuktio derivoitisäätöä käyttäe

41 4 (5.29) Du(x) q Dh(x) q S k S 1 k Dh(x) q S k D((S 1 k h)(x)). } {{ } :C(x) Lemma 5.1 mukaa S 1 k h ja h 1 S k ovat t-bi-lipschitz kuvauksia joukossa G k, mistä seuraa, että (5.3) C(x) D(S 1 k h(x)) t melkei kaikilla x Gk, missä merkitsee kuvausormia. Lausee 5.2 mukaa (5.31) Du(x) S O ja q S k T P, missä kuvaukset T, S : ovat symmetrisiä ja kuvaukset O, P : ovat ortogoaalisia. Yhdistelemällä kohtie (5.29) ja (5.31) fuktioita, saadaa (5.32) S T P C(x) O. Koska det S S u(x), ii kohda (5.32) perusteella myös det T T. Olkoo sitte z, jolloi (5.33) T 1 S z (5.32) P C(x) Oz P C(x) Oz }{{} 1 (5.3) C(x) } {{ } t Oz }{{} z t z. Fuktiot S ja T ovat lieaarisia reaalifuktioia muotoa S z kz ja Tz lz, missä k, l, jote (5.34) T 1 S z k (5.33) z t z k t l. l Koska S u(x) ja T (q S k )(x), ii väite (5.28) seuraa kohdasta (5.34), sillä t > t. Arvioimalla saadaa yt

42 41 (5.35) u(x) dx (5.28) t (q S k )(x) dx G k G k t L (G k ) (q S k )(x) t t L ((S 1 k Lause 5.3 t 2 t 2 t 1 h)(g k )) (q S k )(x) H 1 [ (S 1 k H 1 [ (h 1 S k )((S 1 k t 3 1 H [ 1 G k (q h) 1 (y) ] dy t 3 1 H [ 1 G k u 1 (y) ] dy. h)(g k ) (q S k ) 1 (y) ] dy h)(g k ) (q S k ) 1 (y)) ] dy Koska kokoelma {G k } k1 o pareittai pistevieras ja k1 G k, saadaa arvio (5.35) perusteella (5.36) m u(x) dx t mk1 3 1 H 1 G k u 1 (y) dy Gk k1 t 3 1 H [ 1 u 1 (y) ] dy kaikilla m 1. Erityisesti arvio (5.36) pätee, ku m ja koska lemma 5.1 kohda (i) mukaa L ( \ G k ), k1 ii u(x) dx u(x) dx k1 G k ja site väite seura epäyhtälöstä (5.36), ku m ja t Isoperimetrise epäyhtälö ja Sobolevi epäyhtälö ekvivalessi Olkoo joukko K o kompakti, jolla o C 1 -reua. Klassise isoperimetrise epäyhtälö mukaa (ks. [12]) pätee (6.1) missä [L (K)] 1 I()H 1 [ K], I() 1, ω 1 ω 1 1 : 2π 2 Γ( ) Yksikköpallo S 1 pia ala :ssä. 2 1

43 42 Vakiota I() kutsutaa isoperimetriseksi vakioksi [6, s.44] ja voidaa osoittaa, että se o piei ja site paras mahdollie vakio yhtälölle (6.1). Toisi saoe tälle vakiolle pätee H 1 [ K] I() if, K [L (K)] 1 missä K o määritelty kute edellä. Määritellää lauseessa 4.2 todistetulle Sobolevi epäyhtälölle piei ja paras mahdollie vakio S() imeltää Sobolevi vakio [6, s.44] asettamalla u /( 1) S() if. u W 1,1 ( ) Du 1 Tarkoituksea o äyttää, että isoperimetrie epäyhtälö (6.1) ja Sobolevi epäyhtälö seuraavat toisistaa ja lisäksi parhaat mahdolliset vakiot I() ja S() ovat yhtäsuuret (6.2) I() S(). Lause 6.1. Jos isoperimetrie epäyhtälö (6.1) pätee, ii Sobolevi epäyhtälö 4.2 pätee ja I() S(). Todistus. Olkoo u C ( ). Määritellää jokaiselle t > joukot S t {x u(x) > t} ja t {x u(x) t}. Fuktio u t:he liittyvä katkaisufuktio u t määritellää Olkoo u t (x) u(x),jos u(x) < t, t,jos u(x) t, t,jos u(x) t. ( f : [, ) [, ), f (t) u t (x) 1 Katkaisufuktiolle u t pätee kaikilla x ) 1 dx u t 1. (6.3) Edellisestä seuraa suoraa u t+h (x) t + h u t (x) + h χ S t (x). (6.4) f (t + h) u t+h 1 (6.3) ut + h χ S t 1 -ey u t + 1 h χs t 1 f (t) + h (L (S t )) 1.

44 43 Osoitetaa, että f o absoluuttisesti jatkuva: Olkoo ɛ >. Olkoot välit [x k, y k ], k 1,..., m pareittai pistevieraita. Tällöi m k1 Väite seuraa asettamalla f (y k ) f (x k ) (6.4) m k1 (L (S )) 1 m y k x k < δ : k1 y k x k ( L (S yk ) ) 1 } {{ } (L (S )) 1 m ɛ k1 (L (S )) 1 y k x k. Lauseesta 3.1 seuraa, että fuktio f o derivoituva melkei kaikilla t [, ). Kohta (6.4) o yhtäpitävä se kassa, että f (t + h) f (t) (L (S t )) 1, h jote derivaata f ollessa olemassa, saadaa sille arvio (6.5) f (t) (L (S t )) 1. Morse-Sardi lausee 5.5 ja implisiittifuktiolausee perusteella S t t u 1 (t) o C -hypertaso melkei kaikilla t. Isoperimetrise epäyhtälö 6.1 mukaa pätee yt melkei kaikille t (6.6) Co-area-kaavasta 5.8 ja edellisistä seuraa [L (S t )] 1 I()H 1 [ t ].. u 1 lim t f (t) lim ( f (t) f ()) (6.5) t f (t) dt (L (S t )) 1 (6.6) I() H 1 Lause 5.8 [ t ] dt I() u dx. Todistukse loppuosa o idettie lausee 4.2 todistukse loppuosa kassa, missä valitaa fuktiolle u W 1,1 ( ) joo (u i ) C ( ) site, että u i u ormi 1,1 suhtee. Koska väite pätee isoperimetriselle vakiolle I(), ii paras vakio C() o site yhtä suuri tai pieempi, jote väite o todistettu. dt

45 44 Lause 6.2. Jos Sobolevi epäyhtälö 4.2 pätee, ii isoperimetrie epäyhtälö (6.1) pätee ja I() S(). Todistus. Olkoo K kompakti joukko, jolla o C -reua. Määritellää etäisyysfuktio (6.7) (6.8) (6.9) δ K (x) if x y. y K Koska K o kompakti, ii etäisyyde miimoija löytyy aia. Todistetaa fuktiolle δ K seuraavat omiaisuudet: (6.1) δ K o 1-Lipschitz. δ K o differetioituva melkei kaikilla x. δ K (x) 1 melkei kaikilla x \K. (6.8): Olkoot x 1, x 2. O olemassa etäisyyde miimoivat y 1, y 2 K site, että (6.11) δ K (x 1 ) x 1 y 1 ja δ K (x 2 ) x 2 y 2. Voidaa olettaa, että x 1 y 1 x 2 y 2. Väite seuraa yt arvioimalla δ K (x 2 ) δ K (x 1 ) x 2 y 2 x 1 y 1 x 2 y 1 x 1 y 1 ( -ey) 1 (x 2 y 1 ) (x 1 y 1 ) x 2 x 1, missä ( -ey) 1 tarkoittaa kääteistä kolmioepäyhtälöä. (6.9): Koska δ K o kohda (6.8) mukaa 1-Lipschitz, seuraa (6.9) ademacheri lauseesta (6.1): Olkoo δ K differetioituva pisteessä x \K, jolloi suutaisderivaatta o olemassa ja sille pätee (6.12) δ K (x + te) δ K (x) e δ K (x) lim t t (6.8) x + te x lim t t 1 kaikilla e, e 1, jote myös yksikkövektorille e δ K(x) δ K (x) δ K (x) δ K (x) e e δ K (x) 1. iittää siis eää äyttää, että e δ K (x) 1 jollai yksikkövektorilla e, sillä suutaisderivaatalle pätee

46 45 e δ K (x) δ K (x). Olkoo y K sellaie, että δ K (x) x y. Valitaa e x y. Pieillä t > vektori x y x + te kuuluu pisteide x ja y väliselle jaalle. Kaikille x: ja y: välise jaa pisteille z o δ K (z) z y. Site δ K (x + te) x + te y. Vektorit x + te y ja x y ovat yhdesuutaiset, jote suutaisderivaataksi saadaa mikä todistaa kohda (6.1). Olkoo δ K (x + te) d K (x) e δ K (x) lim t t x + te y x y lim t t yhdesuutaisuus x + te y x y lim t t 1, Fuktiolle f h pätee: f h : [, 1], f h (x) 1 mi {h, δ K(x)}. h (6.13) (6.14) (6.15) (6.16) f h (x) 1, jos x K f h (x), jos δ K (x) h f h (x) 1 δ K(x) h, jos < δ K(x) < h f h (x) 1 h, melkei kaikilla x. Kohdat (6.13), (6.14) ja (6.15) ovat selviä. Viimeie kohta (6.16) seuraa, sillä gradietti o selvästi olla, ku x K tai δ K (x) h ja kohda (6.1) perusteella f h (x) 1 h melkei kaikilla x {x < δ K (x) < h}. Fuktio f h o siis melkei kaikkialla differetioituva ja spt( f h ) o kompakti. Erityisesti fuktio f h osittaisderivaatat ovat rajoitettuja kohda (6.16) perusteella ja koska spt( f h ) o kompakti, ovat myös osittaisderivaattoje katajat kompakteja. Näi olle k f h L 1 ( ) kaikilla k 1,...,. Lemmasta 3.7 seuraa, että fuktio f h osittaisderivaatat ovat myös heikkoja osittaisderivaattoja ja aiemma perustelu seurauksea kuuluvat avaruutee L 1 ( ). Näi olle f h W 1,1 ( ), eli lausee 3.9 perusteella f h W 1,1 ( ). Sobolevi epäyhtälö 4.2 mukaa fuktiolle f h pätee

47 46 (6.17) f h (6.16) C() f h 1 C( h L {x < δ K (x) < h} } {{ }. : Arvioidaa edellee kohda (6.17) epäyhtälö loppuosaa (6.18) 1 h L () (6.1) 1 h (5.11)+(6.8) 1 h t δ K (x) dx } {{ } 1 h 1 H 1 [ δ 1 K (t) ] dt H 1 [ δ 1 K (t) ] dt 1 h H 1 [ δ 1 K (t h ) ] (h ) H 1 [ δ 1 K (t h ) ], missä t h (, h) itegraalilaskea väliarvolausee ojalla. Ku h, ii t h. Erityisesti, koska K o sileä, ii H [ 1 δ 1 K (t h ) ] δ 1 Saatii siis (6.19) Lause 5.4 K (t h) δ 1 δ K (x) δ 1 K ([,t h]) } {{ } H 1 [ K] K () div δ K (x) dx δ K (x) δ K (x) dh 1 (x) div δ K (x) dx + δ 1 K ((,t h]) div δ K (x) dx H 1 [ K], ku h. } {{ },h H 1 [ δ 1 K (t h ) ] H 1 [ K], ku h. Ku arvio (6.18) sijoitetaa aiempaa arvioo (6.17) ja suoritetaa kohda (6.19) rajakäyti, seuraa isoperimetrie epäyhtälö, kute pitiki. 7. Yhteeveto Ollaa osoitettu, että isoperimetrie epäyhtälö ja Sobolevi epäyhtälö ovat keskeää ekvivaletteja ja iille pätevät ii saotut parhaat vakiot ovat yhtä suuria. Tarkastelussa rajoituttii tutkimaa sileäpitaisia, eli C 1 -reuallisia joukkoja. Vastaava tulos pätee myös, jos tutkittavie joukkoje avaruutta laajeetaa äärellise perimeetteri omaavii joukkoihi [1, s.166 ]. Viitteet [1] Evas, L. C. ja Gariepy,. F., Measure theory ad fie properties of fuctios, CC Press, Boca ato, FL, [2] Purmoe, V. T., Differetiaali- ja itegraalilasketaa osa II, Jyväskylä yliopisto, 25. [3] Courrat,. ja Joh, F., Itroductio to Calculus ad Aalysis I, Spriger-Verlag, 1989.