puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt"

Transkriptio

1 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille x R. Lämmönjohtumisyhtälöllä on eräänä ratkaisuna (HT) ns. lämpöydin (tai lämmönjohtumisyhtälön perusratkaisu) k(x, t) 1 4πt e x2 /(4t). Vastaavasti, n-ulotteisella lämmönjohtumisyhtälöllä on ainakin ratkaisu (x, t) 1 (4πt) n/2 e x 2 /(4t). Tällöin myös (x, t) k(x ξ, t) on ratkaisu kaikille ξ R, joten yhtälön lineaarisuuden nojalla tällaisten ratkaisujen lineaarikombinaatiot ovat ratkaisuja. Kun f : R R on annettu funktio, niin sen avulla rakennettu lineaarikombinaatio on (8.2) (K t f)(x) k(x ξ, t)f(ξ) dξ 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) f(ξ) dξ. Tässä funktioista k t : x k(x, t) ja x f(x) muodostettu funktio K t f on nimeltään funktioiden k t ja f konvoluutio, ja sitä merkitään tavallisesti (k t f)(x) Funktiolla k t on seuraavat tärkeät ominaisuudet: k t (x) ja k t (x ξ)f(ξ) dξ. k t (x) dx 1. Jälkimmäinen seuraa muuttujanvaihdolla x 4t y, kun muistetaan, mitä Sir William Thomson on lausunut (ks. kuvaa 5; vrt. [27, Problem 3 41]). Lisäksi k t lähestyy varsin nopeasti nollaa, kun x. Yksinkertaisempi konvoluutio saadaan, kun k t :n sijasta käytetään funktiota { 1/δ, kun x δ/2, g(x), kun x > δ/2. Tällöin nimittäin (g f)(x) g(x ξ)f(ξ) dξ 1 δ x+δ/2 x δ/2 f(ξ) dξ. Tässä tapauksessa konvoluutio on siis funktion f liikkuva keskiarvo. Lisäksi tämäkin konvoluutio on hieman sileäpi kuin f: jos f on integroituva, on g f jatkuva, ja 1 Viimeksi muutettu

2 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 47 WHAT EVERY YOUNG MATHEMATICIAN SHOULD KNOW LORD K. ELVIN The purpose of this paper is to call attention to a result of which many mathematicians seem to be ignorant. Theorem 1. The value of e x2 dx is Proof. We have ( 2 ( e dx) x2 2π 2π 2π 2π π. e x2 dx π. ) ( e x2 dx e x2 e y2 dx dy e (x2 +y 2) dx dy e r2 r dr dθ [ ] e r2 r dr dθ [ r ] e r2 dθ 2 r [ ] 1 dθ 2 e y2 dy ) by Fubini using polar coordinates Remark 2. A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Date: April 1, Kuva 5

3 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 48 jos f on jatkuva, on g f jatkuvasti derivoituva. Lisäksi, koska g(x) dx 1 ja (g f)(x) g(ξ)f(x ξ) dξ, on jatkuvalle funktiolle f (g f)(x) f(x) g(ξ) f(x ξ) f(x) dξ sup{ f(x ξ) f(x) ξ δ/2}, kun δ. Kun konvoluutiossa käytetään lämpöydintä, saadaan seuraava tulos: Lause 8.1. Olkoon f : R R jatkuva ja rajoitettu. Tällöin kaavan (8.2) avulla määritelty funktio u: R [, ) R, { u(x, t) Kt f(x), kun t >, ja u(x, ) f(x), on jatkuva ja rajoitettu, kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva joukossa R (, ), ja toteuttaa alkuarvotehtävän (8.1). Todistus. Rajoitetulle funktiolle g : R R olkoon Funktiolle ξ k(x ξ, t)f(ξ) on joten epäoleellinen integraali suppenee itseisesti, ja g sup{ g(x) x R}. k(x ξ, t)f(ξ) k(x ξ, t) f, K t f(x) Siis x K t f(x) on rajoitettu, ja k(x ξ, t)f(ξ) dξ K t f(x) f k(x ξ, t) dξ f. K t f f. Seuraavat aputulokset, jatkuvuuslemma ja derivointilemma, on differentiaali- ja integraalilaskennan kursseilla todistettu tapauksessa, missä integroimisjoukko on kompakti. Tapauksessa, missä integroimisjoukko ei ole kompakti tai missä integraali on epäoleellinen, tulokset on helpointa todistaa Lebesguen integraalin avulla. Klassisempia, epäoleelliseen Riemannin integraaliin pohjautuvia tuloksia löytyy mm. kirjasta [14, II/1, 4.12]. Lause 8.2 (Jatkuvuuslemma). Olkoot X R n ja Y R m avoimia joukkoja sekä f : X Y R jatkuva funktio siten, että (i) kaikille y Y funktio x f(x, y) on (itseisesti) integroituva X:ssä, t.s. f(x, y) dx < ; ja X (ii) on olemassa funktio h: X R siten, että h on (itseisesti) integroituva ja f(x, y) h(x) kaikille x X, y Y.

4 Tällöin funktio ϕ: Y R, on jatkuva. 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 49 ϕ(y) X f(x, y) dx Lause 8.3 (Derivointilemma). Olkoot X R n ja Y R m avoimia joukkoja sekä f : X Y R jatkuva funktio siten, että (i) kaikille y Y funktio x f(x, y) on (itseisesti) integroituva X:ssä, t.s. f(x, y) dx < ; X (ii) kaikille x X ja kaikille y Y funktiolla y f(x, y) on osittaisderivaatta f (x, y); ja y j (iii) on olemassa funktio h: X R siten, että h on (itseisesti) integroituva ja f (x, y) h(x) kaikille x X, y Y. y j Tällöin funktiolla ϕ: Y R, on osittaisderivaatta ϕ y j (x, y) ja Koska ϕ(y) ϕ y j (y) X X f(x, y) dx f y j (x, y) dx. Jatketaan lauseen 8.1 todistusta. Kiinnitetään < t < t 1 <. Tällöin k(ξ, t) 1 e ξ2 /(4t) 1 e ξ2 /(4t 1 ) kaikille ξ R ja t (t, t 1 ). 4πt 4πt K t f(x) 1 4πt e ξ2 /(4t) f(x ξ) dξ. toteutuvat jatkuvuuslemman oletukset (valitaan h(ξ) 1 4πt e ξ2 /(4t 1 ) f, X R ja Y R (t, t 1 )). Funktio u(x, t) K t f(x) on siis jatkuva joukossa R (t, t 1 ). Koska t ja t 1 ovat mielivaltaiset, on u jatkuva joukossa R (, ). Derivoituvuus: Arvioidaan derivaattaa k 1 (ξ, t) t 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t) + 1 ξ 2 /(4t) 4πt 4t 2 e ξ2 vastaavaan tapaan kuin edellä funktiota k: Kiinnitetään < t < t 1 <. Tällöin kaikille x R ja t (t, t 1 ) on 1 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t) 1 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t 1 )

5 ja Siis 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 5 1 ξ 2 /(4t) 4πt 4t 2 e ξ2 1 ξ 2 e ξ2 /(4t 1 ). 4πt 4t 2 k 1 (ξ, t) t 2 4π t 3/2 e ξ2 /(4t 1 ) + 1 ξ 2 e ξ2 /(4t 1 ) : h(ξ). 4πt 4t 2 Käyttämällä kuvan 5 tietoa apuna on helppo näyttää, että h on integroituva. Derivointilemman nojalla joukossa R (t, t 1 ) on on Derivaatalle u (x, t) t k (ξ, t)f(x ξ) dξ. t k 1 2ξ /(4t) (ξ, t) x 4πt 4t e ξ2 k x (x ξ, t) 1 x ξ e (x ξ)2 /(4t 1 ) 4πt 2t 1 4πt x + ξ 2t e x2 /(4t 1 ) e 2xξ/(4t 1) e ξ2 /(4t 1 ) 1 A + ξ e 2A ξ]/(4t1) e ξ2 /(4t 1 ) : h(ξ) 4πt 2t kun x < A, ξ R ja t (t, t 1 ). Koska h on integroituva, on derivointilemman nojalla joukossa ( A, A) (t, t 1 ) u (x, t) x k (x ξ, t)f(ξ) dξ. x Toisen kertaluvun derivaattojen olemassaolo ja integraalin derivoitavuus integraalin sisällä osoitetaan vastaavalla tavalla (HT). Derivaattojen jatkuvuus saadaan jatkuvuuslemmasta. Koska funktio k toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön, on funktiolle u u (x, t) t k (ξ, t)f(x ξ) dξ t 2 k x (x ξ, t)f(ξ) dξ 2 u (x, t). 2 x2 2 k (ξ, t)f(x ξ) dξ x2 Funktion u jatkuvuus pisteissä (x, ), x R: Edellä käytetty menetelmä (jatkuvuuslemma) ei sovellu tässä tapauksessa, joten jatkuvuus pitää todeta suoraan määritelmästä. Olkoon x R. Osoitetaan, että Koska lim u(x, t) f(x ). (x,t) (x,) k(x ξ, t) dξ 1,

6 on Siis 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 51 u(x, t) f(x ) k(x ξ, t)(f(ξ) f(x ) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x )) dξ + ξ x η u(x, t) f(x ) + ξ x η ξ x η ξ x η k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x )) dξ. k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ : I 1 + I 2. Olkoon ε >. Koska f on jatkuva pisteessä, on olemassa δ(ε) > siten, että f(ξ) f(x ) ε/2, kun ξ x < δ(ε). Valitaan η δ(ε)/2. Tällöin I 1 k(x ξ, t) f(ξ) f(x ) dξ on ξ x η ξ x η Olkoon nyt x x < η/2. Koska I 2 ξ x η/2 ξ x η k(x ξ, t)ε/2 dξ ε/2 k(x ξ, t) dξ ε/2. R {ξ R ξ x η} {ξ R ξ x η/2}, k(x ξ, t)( f(ξ) + f(x ) ) dξ 2 f ξ x η/2 Muuttujanvaihdolla (x ξ)/(2 t) u saadaan k(x ξ, t) dξ 1 e (x ξ)2 /(4t) dξ 1 4πt π Siis I 2 2 f π ξ x η/2 u η/(4 t) e u2 du. k(x ξ, t) dξ. u η/(4 t) Koska u η/(4 t) e u2 du, kun t +, on olemassa t(ε) > siten, että I 2 ε/2, Siis, kun x x < η/2 ja < t < t(ε), on Väite seuraa tästä. kun < t < t(ε). u(x, t) f(x ) I 1 + I 2 ε. e u2 dξ. Lause 8.4. Olkoon u: R [, ) R jatkuva ja rajoitettu funktio, jolla joukossa R (, ) on jatkuvat osittaisderivaatat u, u ja 2 u. t x x 2 Oletetaan, että joukossa R (, ) funktio u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön u t 2 u x. 2 Jos u(x, ) kaikille x R, niin u(x, t) kaikille x R ja t.

7 Todistus. Asetetaan 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 52 g(x, t) e t cosh x. Tällöin g toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön g 2 g koko tasossa R 2. t x 2 Olkoon ε >. Tällöin on olemassa N N siten, että missä u(x, t) + εg(x, t) joukossa R [, ) \ Q N, Q N {(x, t) R 2 x N, t N 2 }. Nimittäin, (x, t) R [, ) \ Q N, jos ja vain jos x > N tai t > N 2. Koska u on rajoitettu ja g(x, t), jos x, tai jos t, seuraa väitetty epäyhtälö välittömästi. Sovelletaan lausetta 5.1 funktioon u + εg ja joukkoon Q N. Lauseen 5.1 nojalla on u(x, t) + εg(x, t) joukossa Q N, kun näytetään, että u(x, t) + εg(x, t) joukon Q N reunan osalla Γ. Kun t ja x N, on u(x, ) + εg(x, ) u(x, ) + ε cosh x. Muilla reunan Γ osilla voidaan käyttää edellä todistettua epäyhtälöä ja funktion u + εg jatkuvuutta. Siis u(x, t) + εg(x, t) joukossa Q N. Toisaalta, u(x, t) + εg(x, t) joukossa R [, ) \ Q N, joten u(x, t) + εg(x, t) koko puolitasossa R [, ). Koska tämä on voimassa kaikille ε >, on u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Toistamalla päättely funktiolle u + εg, saadaan u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Siis u(x, t) koko puolitasossa R [, ). Seuraus 8.5. Olkoon u: R [, ) R jatkuva ja rajoitettu funktio, jolla joukossa R (, ) on jatkuvat osittaisderivaatat u, u ja 2 u. t x x 2 Oletetaan, että joukossa R (, ) funktio u toteuttaa lämmönjohtumisyhtälön u t 2 u x. 2 Tällöin kaikille x R ja t > on voimassa niin u(x, t) 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) u(ξ, ) dξ. Huomautus 8.6. Lämpöyhtälön ratkaisuun läheisesti liittyy virhefunktio Esimerkiksi, jos erf x 2 x e ξ2 dξ. π f(x) K t f(x) 1 x/ 4t π { 1, kun x, ja, kun x <, e ξ2 dξ erf ( x 4t ). Tästä nähdään, että alkuehdolla f lämpöyhtälön ratkaisu u(x, t) K t f(x) > kaikille t >. Tämä voidaan tulkita esimerkiksi niin, että lämmön etenemisnopeus on ääretön.

8 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 53 Kuva 6. Lämpöyhtälön ratkaisu välillä 2 x 2, < t 3, kun alkuehtona on f(x) 1, kun x, ja f(x), kun x <. Vasemmassa kuvassa aika-akseli on kuvasta poispäin kulkeva akseli, oikeassa kuvassa vasemmalta oikealla kulkeva akseli. Toisaalta, jos tarkastellaan lämpötilan u(x, t) tasa-arvokäyriä, voidaan esittää toisenkinlainen tulkinta. Nimittäin, funktiolla u(x, t) erf( x 4t ) on vakioarvo jokaisella käyrällä x/ 4t vakio c. Olkoon u c funktion u arvo käyrällä x c 4t. Funktion u lausekkeesta nähdään, että u c on c:n aidosti kasvava funktio. Lisäksi jokaiselle t > käyrällä u(x, t) u c on täsmälleen yksi piste x X(t). Tämä piste liikkuu nopeudella X (t) c t. Tämä nopeus on äärellinen, ja se kuvaa lämpötilan tasa-arvokäyrät liikkumisnopeutta pisteessä (X(t), t) Operaattoripuoliryhmä. Olkoon C b (R) kaikkien rajoitettujen, jatkuvien funktioiden f : R R muodostama vektoriavaruus. Funktion f C b (R) supremumnormi on f sup{ f(x) x R}. Lauseen 8.1 todistuksen alussa näytettiin, että K t f on hyvinmääritelty kaikille f C b (R), ja että K t f f. Funktion K t f määritelmän (K t f)(x) k(x ξ, t)f(ξ) dξ 1 4πt e (x ξ)2 /(4t) f(ξ) dξ nojalla on selvää, että K t on riippuu funktiosta f lineaarisesti, t.s. K t : C b (R) C b (R) on lineaarikuvaus (eli K t (αf + βg) αk t f + βk t g). Edellisestä normiepäyhtälöstä seuraa helposti, että K t on jatkuva: On luonnollista asettaa vielä K t f K t g K t (f g) f g. K f f. Siis kaikille t kuvaus K t : C b (R) C b (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Yleensä tällaisia nimitetään operaattoreiksi.

9 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 54 Osoitetaan, että operaattoriperheellä (K t ) t on seuraava ominaisuus: kaikille s, t ja f C b (R) on K s+t f K s (K t f) ja K f f. Operaattoriperhettä (K t ) t, jolla on yllä kuvattu ominaisuus, kutsutaan operaattoripuoliryhmäksi. Jälkimmäinen ominaisuus on selvä. Ensimmäisen toteamiseksi olkoot u(x, t) K t f(x) ja u s (x, t) u(x, t + s) K t+s f. Funktio u s toteuttaa alkuehdon u s (x, ) u(x, t) ja, kuten on helppo todeta, lämpöyhtälön u s 2 u s t x. Koska myös funktio v(x, s) K sg(x), missä g(x) 2 u(x, t) toteuttaa lämpöyhtälön ja saman alkuehdon, on yksikäsitteisyyslauseen nojalla u s (x, t) v(x, s) K s g(x). Siis K t+s f K s g K s (K t f). Lauseen 8.1 todistuksessa osoitettiin, että Osoitetaan, että K t f f pisteittäin, kun t +. K t f f normin suhteen, kun t +, kun rajoitutaan tasaisesti jatkuviin funktioihin. Olkoot f : R R rajoitettu ja tasaisesti jatkuva ja u(x, t) K t f(x). Todistus on enimmiltä osiltaan saman kuin lauseen 8.1 todistus. Olkoon ε >. Koska f on tasaisesti jatkuva, on olemassa δ > siten, että Nyt ξ x <δ f(x) f(ξ) < ε/2, kaikille x, ξ R, joille x ξ < δ. u(x, t) f(x) k(x ξ, t)(f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t)(f(ξ) f(x)) dξ + k(x ξ, t)(f(ξ) f(x)) dξ. Siis u(x, t) f(x) Normille saadaan + ε 2 ξ x <δ ξ x δ ξ x <δ ε f π ξ x δ k(x ξ, t) f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t) f(ξ) f(x) dξ k(x ξ, t) dξ + 2 f u δ/ 4t e u2 du. ξ x δ K t f f sup{ u(x, t) f(x) x R} ε f e u2 du. π u δ/ 4t k(x ξ, t) dξ

10 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 55 Koska u δ/ 4t e u2 du, kun t +, on olemassa t(ε) > siten, että K t f f ε 2 + ε 2 ε, kun < t < t(ε). Huomautus 8.7. Lauseen 8.1 todistuksesta ilmenee, että K t f(x) on hyvinmääritelty, jos f on mitallinen ja oleellisesti rajoitettu eli jos f L (R). Tällöin K t f C b (R) kaikille t > ja K t f f, kun oikealla puolella normi f tulkitaan L -normiksi. Tästä epäyhtälöstä seuraa, että K t : L (R) C b (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi funktiolle u(x, t) K t f(x) on u C (R (, )). Lauseen 8.1 todistuksesta nähdään myös, että jos f L (R) ja f on jatkuva pisteessä x R, niin K t f(x) f(x), kun t +. Vastaavankaltaiset tulokset ovat voimassa myös funktioille f L p (R), kun 1 p <. Ensinnäkin K t f(x) on hyvinmääritelty, jos f L (R), ja K t f L p (R) kaikille t > sekä K t f p f p, missä f p ( R f(x) p dx ) 1/p. Tästä epäyhtälöstä seuraa, että Kt : L p (R) L p (R) on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi funktiolle u(x, t) K t f(x) on u C (R (, )). Alkuehto toteutuu tässä tilanteessa L p -normin mielessä: K t f f p, kun t Matriisin eksponenttifunktio. Olkoot a, u R. Alkuarvotehtävän { u (t) a u(t) reaaliakselilla R, u() u, ratkaisu on tavallinen eksponenttifunktio u(t) e at u. Vastaava alkuarvotehtävä vektoriarvoiselle funktiolle u (u 1,..., u n ) on differentiaaliiyhtälöryhmä u 1(t) a 1,1 u 1 (t) + + a 1,n u n (t). u n(t) a n,1 u 1 (t) + + a n,n u n (t) u 1 () u,1. u n () u,n Merkitään A (a i,j ) n i,j1 ja u (u,1,..., u,n ). Tällöin alkuarvotehtävä voidaan esittää vektorimuotoisena yhtälönä, missä A u(t) on tavallinen matriisin ja vektorin

11 tulo 11 : (8.3) 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 56 { u (t) A u(t), u() u. Neliömatriisille A voidaan määritellä eksponenttifunktio asettamalla exp(a) e A 1 j! Aj, missä A I on yksikkömatriisi ja matriisiin A potenssit määritellään normaaliin tapaan rekursiivisesti A j+1 A j A (matriistulo). Jotta määritelmä olisi hyvä, pitäisi osoittaa, että sarja suppenee. Sarjan suppenevuus tulkitaan suppenevuudeksi euklidisessa avaruudessa R n2. Suppenevuuden toteaminen käy vastaavaan tapaan kuin reaalimuuttujan eksponenttifunktion, kun huomataan käyttää lineaarikuvausnormia apuna, Lineaarikuvausnormille on voimassa j A sup{ Ax x R n, x 1}. AB A B, kun A ja B ovat samankokoisia neliömatriiseja. Erityisesti neliömatriisin A potensseille on A j A j. Matrisin eksponenttifunktion sarjalla on näin majoranttina lukusarja j 1 j! Aj j 1 j! A j e A. Tästä seuraa, että matrisin eksponenttifunktion sarja suppenee itseisesti. Matrisin eksponenttifunktion avulla voidaan määritellä reaalimuuttujan funktio t e ta 1 j! tj A j. j Tämä sarja voidaan derivoida termeittäin (perustelu kuten reaalimuuttujan eksponenttifunktiolle), jolloin saadaan d 1 d dt eta j! dt tj A j 1 j! jtj 1 A j 1 A (j 1)! tj 1 A j 1 A e ta. j1 j1 Kun tätä sovelletaan funktioon u(t) e ta u, missä u R n on annettu vektori, saadaan j1 u (t) d dt eta u A e ta u A u(t). Lisäksi u() e A u I u u. Matriisin eksponenttifunktion avulla siis saadaan ratkaisu alkuarvotehtävälle (8.3). Matriisin eksponenttifunktiolla vielä seuraavaa operaattoriryhmäominaisuus e (s+t)a e sa e ta kaikille s, t R. 11 Banachin avaruuksia tunteva lukija huomaa, että vastaava ongelma Banachin avaruudessa E on: Kun A: E E on jatkuva lineaarikuvaus, niin määrää derivoituva funktio u: R E siten, että u (t) A u(t) ja u() u.

12 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 57 Matriisin eksponenttifunktion avulla on helppo ratkaista myös epähomogeeninen alkuarvotehtävä { v (t) A v(t) + f(t), v() v, missä f : R R on annettu jatkuva funktio. Käytetään apuna vakion variointia: Koska homogeenisella yhtälölla ratkaisuna on v(t) e ta v, tehdään yrite v(t) e ta u(t), missä u(t) on nyt tuntematon funktio. Derivoimalla saadaan v (t) A e ta u(t) + e ta u (t) A v(t) + e ta u (t). Sijoittamalla tämä v differentiaaliyhtälöön, saadaan A v(t) + f(t) v (t) A v(t) + e ta u (t) joten e ta u (t) f(t). Matriisilla e ta on käänteismatriisi e ta (vrt. operaattoriryhmäominaisuuteen), joten u (t) e ta f(t). Integroimalla puolittain välin [, s] yli, saadaan u(s) u() + s e ta f(t) dt. Koska v() v, on u() v, ja ratkaisuksi v(t) saadaan t v(t) e ta u(t) e ta v + e ta e sa f(s) ds e ta v + t e (t s)a f(s) ds. Lämpöyhtälön ratkaisun u(x, t) K t f(x) operaattoriperhe (K t ) t käyttäytyy monessa kohtaa samalla tavalla kuin matriisin eksponenttifunktio. Kuitenkin operaattoriperhe muodostaa vain operaattoripuoliryhmän ja derivaattayhtälönä saadaan d dt K tf 2 x 2 K tf kun t >. Matriisin A tilalla on siis nyt osittaisdifferentiaalioperaattori 2. Analogia on muuten x 2 hyvä, mutta operaattori 2 ei ole jatkuva juuri minkään hyvän normin suhteen, eikä x 2 operaattori 2 eksponettifunktiota voi määrätä sarjan avulla kuten yllä. x 2 Sen sijaan edellä löydetty tulos toimii myös epähomogeeniselle lämpöyhtälölle u t 2 u + f(x, t) x puolitasossa 2 R2 + R (, ), u(x, ) u (x) kaikille x R. Tämän ratkaisu on u(x, t) K t u (x) + t K t s f(x, s) ds. Matriisiin eksponenttifunktiosta ja operaattoripuoliryhmistä lisätietoa löytyy mm. seuraavista kirjoista: [11, 14 2], [12, Ch. 3], [13, Ch. VII], [32, Ch. Nine], [34, Ch. X], [38, Ch. IX].

13 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II Ratkaisun monotonisuudesta. Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on riittävän sileä. Olkoon u lämpöyhtälön u n t u 2 u x 2 j ratkaisu alueessa Q (, ) siten, että se toteuttaa jommankumman seuraavista reunaehdoista u(x, t) j1 kaikille x ja t >, tai n u(x, t) kaikille x ja t >. Tässä n u on u:n suuntaisderivaatta reunan yksikkönormaalin n suuntaan. Ratkaisusta u oletetaan, että u C 2 (). Kaikille k Z + asetetaan I k (t) u(x, t) 2k dx. Väite 8.8. Funktio I k : [, ) R on vähenevä. j1 Todistus. Koska funktio u ja alue ovat sileitä, voidaan I k :n derivaatta laskea derivoimalla integrandi. Kun lisänä käytetään divergenssilausetta, saadaan I k(t) t u(x, t)2k 2k 1 u dx 2k u(x, t) (x, t) dx t n 2k u 2k 1 u dx 2k u 2k 1 2 u dx x 2 j1 j n ( 2k 1 u ) n ( u ) 2 2k u dx 2k(2k 1) u 2k 2 dx x j x j x j 2k u 2k 1 n u dx 2k(2k 1) n j1 j1 u 2k 2 ( u x j ) 2 dx Koska reunaehtojen nojalla reunaintegraali on nolla, saadaan n ( u ) 2 I k(t) 2k(2k 1) u 2k 2 dx. x j Väite seuraa tästä. Lause 8.9. Kun t, olkoon Tällöin M : [, ) R on vähenevä. j1 M(t) max{ u(x, t) x }. Todistus. Olkoot s < t. Edellisen väitteen nojalla kaikille k Z + on (I k (t)) 1/(2k) (I k (s)) 1/(2k). Riittää siis osoittaa, että lim k (I k (t)) 1/(2k) M(t).

14 8. LÄMMÖNJOHTUMISYHTÄLÖ II 59 Lemma 8.1. Olkoon v : R jatkuva funktio. Tällöin ( 1/(2k). max{ v(x) x } lim v(x) dx) 2k k Todistus. Olkoon M max{ v(x) x }. Tällöin ( ) 1/(2k) ( 1/(2k) v(x) 2k dx M dx) 2k M 1/(2k), missä on joukon tilavuus. Olkoon x 1 piste, jolle v(x 1 ) M. Olkoon ε > siten, että ε < M. Funktion v jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > siten, että v(x) v(x 1 ) < ε, kun x x 1 < δ, joten v(x) > M ε kun x x 1 < δ. Olkoon 1 {x x x 1 < δ}. Tällöin ( ) 1/(2k) ( ) 1/(2k) ( ) 1/(2k) v(x) 2k dx v(x) 2k dx (M ε) 2k dx (M ε) 1 1/(2k). 1 1 Siis ( 1/(2k) (M ε) 1 1/(2k) v(x) dx) 2k M 1/(2k). Kun k, saadaan ( 1/(2k) M ε lim v(x) dx) 2k M k Koska ε > on mielivaltainen, väite seuraa.

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä . Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.

Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä. Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0. 6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Yleisiä integroimissääntöjä

Yleisiä integroimissääntöjä INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

= 0 y oleva yhtälö. Vastaavasti yhtälö. x, u

= 0 y oleva yhtälö. Vastaavasti yhtälö. x, u 1. Määritelmiä Ensimmäisen ja toisen kertaluvun ratkaisemattomassa muodossa olevat tavalliset differentiaaliyhtälöt ovat tuntemattomalle funktiolle y = y(x) muotoa F (x, y, y ) = 0 ja G(x, y, y, y ) =

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot