HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Ylemmän puoliavaruuden analyyttiset funktiot ja Hardyn avaruus
|
|
- Jorma Myllymäki
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuta/Osasto Fakultet/Sektio Faculty Matemaattis-luootieteellie Laitos Istitutio Departmet Matematiika ja tilastotietee laitos Tekijä Författare Author Aleksi Harkko Työ imi Arbetets titel Title Ylemmä puoliavaruude aalyyttiset fuktiot ja Hardy avaruus Oppiaie Läroäme Subject Matematiikka Työ laji Arbetets art Level Aika Datum Moth ad year Sivumäärä - Sidoatal - Number of pages Pro gradu -tutkielma Syyskuu sivua Tiivistelmä Referat Abstract Fuktioteoriassa eräs keskeisimpiä kiiostukse kohteita o aalyyttiset fuktiot, jotka voidaa määritellä s. Cauchy-Riemai operaattori avulla. Tämä tutkielma tavoitteea o yleistää kompleksitaso fuktioteoria, aalyyttiset fuktiot ja iihi liittyvä Hardy avaruuksie teoria korkeampii ulottuvuuksii. Tämä oistuu määrittelemällä Diraci operaattori, joka o Cauchy-Riemai operaattori korkeampiulotteie yleistys ja joka operoi Cliffordi algebra -arvoisii fuktioihi. Cliffordi algebra alkiot voidaa taas ajatella kompleksilukuje korkeampiulotteisea yleistykseä. Diraci operaattori avulla määritellää Clifford-aalyyttiset fuktiot, joide kompoettifuktiot ovat aia myös harmoisia. Kute kompleksitasossa, myös korkeampiulotteisessa tapauksessa aalyyttisillä fuktioilla o hyödyllisiä omiaisuuksia, joita ei välttämättä ole sellaisilla fuktioilla, jotka ovat pelkästää harmoisia. Tästä syystä aalyyttiste fuktioide teoria tutkimie ja kehittämie o merkityksellistä. Eräs tällaie omiaisuus o se, että aalyyttisillä fuktioilla o voimassa Cauchy itegraalikaava, joka saa Clifford-aalyyttiste fuktioide tapauksessa yllättävä samakaltaise muodo kui taso tapauksessa. Cauchy itegraalikaava o tärkeässä roolissa tutkittaessa Hardy avaruuksia. Clifford-aalyyttie fuktio kuuluu Hardy avaruutee H p, mikäli se eräälaie H p -ormi o äärellie. Tämä tutkielma lopullie tavoite o tarkastella ylemmässä puoliavaruudessa aalyyttiste fuktioide muodostamaa Hardy avaruutta. Osoittautuu, että Hardy avaruude fuktio F voidaa esittää Cauchy-itegraalia fuktiosta f, joka o ei-tagetiaalie raja-arvo fuktio F lähestyessä avaruutta R. Tämä o tutkielma päätulos. Esitiedoiksi lukijalle riittää varsi maltilliset perusteet reaali- ja kompleksiaalyysista. Suuri osa käsitteistä ja tuloksista pyritää aia vähitääki kertaamaa ee iide käyttämistä. Avaisaat Nyckelord Keywords Hardy avaruus, Clifford-aalyysi, Poisso-itegraali, Cauchy itegraalikaava Säilytyspaikka Förvarigsställe Where deposited Kumpula tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additioal iformatio
2 Ylemmä puoliavaruude aalyyttiset fuktiot ja Hardy avaruus Aleksi Harkko Pro Gradu -tutkielma Ohjaaja: Petri Ola Toie tarkastaja: Has-Olav Tylli Matematiika ja tilastotietee laitos Matemaattis-luootieteellie tiedekuta HELSINGIN YLIOPISTO
3 Sisältö Johdato Cliffordi algebrat 3 2 Diraci operaattorit ja aalyyttiset fuktiot 7 3 Cauchy itegraalikaava 4 4 Harmoiset ja subharmoiset fuktiot 22 5 Poisso-ydi ja -itegraali 28 6 Hardy avaruudet 5 Viitteet 66
4 Johdato Fuktioteoriassa eräs keskeisimpiä kiiostukse kohteita o aalyyttiset fuktiot, jotka voidaa määritellä esimerkiksi Cauchy-Riemai operaattori (määritelmä 2.) avulla. Tämä tutkielma tavoitteea o yleistää kompleksitaso fuktioteoria, aalyyttiset fuktiot ja iihi liittyvä Hardy avaruuksie teoria korkeampii ulottuvuuksii. Tämä oistuu määrittelemällä Diraci operaattori (2.5), joka o Cauchy-Riemai operaattori korkeampiulotteie yleistys ja joka operoi Cliffordi algebra -arvoisii fuktioihi. Cliffordi algebra alkiot voidaa taas ajatella kompleksilukuje korkeampiulotteisea yleistykseä. Diraci operaattori avulla määritellää Clifford-aalyyttiset fuktiot, joide kompoettifuktiot ovat aia myös harmoisia. Kute kompleksitasossa, myös korkeampiulotteisessa tapauksessa aalyyttisillä fuktioilla o hyödyllisiä omiaisuuksia, joita ei välttämättä ole sellaisilla fuktioilla, jotka ovat pelkästää harmoisia. Tästä syystä aalyyttiste fuktioide teoria tutkimie ja kehittämie o merkityksellistä. Eräs tällaie omiaisuus o se, että aalyyttisillä fuktioilla o voimassa Cauchy itegraalikaava, joka saa Clifford-aalyyttiste fuktioide tapauksessa yllättävä samakaltaise muodo kui taso tapauksessa. Cauchy itegraalikaava o tärkeässä roolissa tutkittaessa Hardy avaruuksia. Clifford-aalyyttie fuktio kuuluu Hardy avaruutee H p, mikäli se eräälaie H p -ormi o äärellie (määritelmä 6.4). Tämä tutkielma lopullie tavoite o tarkastella ylemmässä puoliavaruudessa R + = {(x, t) R : x R, t > 0} aalyyttiste fuktioide muodostamaa Hardy avaruutta. Osoittautuu (lause 6.0), että Hardy avaruude fuktio F voidaa esittää Cauchyitegraalia fuktiosta f, joka o ei-tagetiaalie raja-arvo fuktio F lähestyessä avaruutta R. Tämä o tutkielma päätulos. Esimmäisessä kappaleessa määritellää Cliffordi algebrat ja esitetää iihi liittyviä perustuloksia. Kappalee ei ole tarkoitus olla tyhjetävä esitys aiheesta, vaa paiotus o iissä asioissa, joita tarvitaa jatkossa. Lähteiä tähä kappaleesee o käytetty sekä Gilberti ja Murray kirjaa [GM9] että Louesto kirjaa [Lou97]. Gilberti ja Murray kirjaa voidaa oikeastaa pitää tämä tutkielma päälähteeä: se kattaa koko tutkielma aihealuee ja sitä o hyödyetty jokaisessa kappalees-
5 sa. Toie paljo hyödyetty, mota asiaa kattava lähde o Evasi kirja [Eva98], ja erityisesti se Appedix. Toisessa kappaleessa kerrataa aalyyttisyyde määritelmä kompleksitaso tapauksessa. Tämä jälkee määritellää Diraci operaattori, joka avulla taas määritellää Clifford-aalyyttiset fuktiot. Kolmaessa kappaleessa esitetää Cauchy itegraalikaava kompleksitasossa, mikä jälkee se johdetaa -ulotteisessa tapauksessa. Kompleksitaso tuloste lähteeä o käytetty Greee ja Kratzi kirjaa [GK06]. Lisäksi kolmae kappalee viimeise lausee todistuksessa tärkeä lähde o Walter Rudii Fuctioal Aalysis -kirja [Rud9]. Neljäessä kappaleessa syveetää harmoiste ja subharmoiste fuktioide tietoja. Jos esimerkiksi F o aalyyttie fuktio, ii fuktio F p osoittautuu subharmoiseksi tietyillä p. Aikaisemmi maiittuje lähteide lisäksi subharmoisista fuktioista löytää tietoa Rudii Real ad Complex Aalysis -kirjasta [Rud66]. Viides kappale o tutkielma laaji ja siiä määritellää Poisso-ydi ja -itegraali. Näille todistetaa moia kovergessi- ja muita tuloksia, jotka ovat tärkeässä roolissa viimeisessä kappaleessa. Kappalee tärkei lähde o Elias Steii ja Guido Weissi kirja [SW7], jota täydetävät Steii muut kirjat [Ste70] ja [Ste93]. Lisäksi o käytetty kirjaa Axler, Bourde & Ramey [ABR0], sekä Frak Joesi reaaliaalyysi kirjaa [Jo0]. Kuudee eli viimeise kappalee alussa käydää läpi, mistä Hardy avaruuksie tutkimie kompleksitasossa alkoi, ja esitetää muutamia perustuloksia. Tämä jälkee siirrytää ylempää puoliavaruutee ja kohti aiemmi maiittua päätulosta. Kappalee aioa uusi asia o Fourier-muuokse ja muutama siihe liittyvä perustulokse kertaus (lisätietoja esimerkiksi Steii ja Shakarchi kirjassa [SS03]), ämäki oikeastaa vai laskuja helpottavia työkaluia. Loppu seuraa soveltamalla edelliste kappaleide tuloksia ja tekemällä sopivat johtopäätökset. Esitiedoiksi tämä tutkielma lukijalle riittää varsi maltilliset perustiedot reaali- ja kompleksiaalyysista. Suuri osa käsitteistä ja tuloksista pyritää aia vähitääki kertaamaa ee iide käyttämistä. Kiitä ohjaajaai Petri Olaa mielekiitoisesta aiheesta sekä raketavista kommeteista erityisesti koskie sitä, mikä o aihee kaalta oleaista ja mikä ei. Lisäksi kiitä työi toista tarkastajaa Has-Olav Tylliä tarkoista parausehdotuksista. Viimeiseä kiitokset Joille ja Vesalle matematiikkaa sivuavista louaskeskusteluista. 2
6 Cliffordi algebrat Määritelmä.. Avaruude R ortoormaalia kataa {e,..., e } vastaava Cliffordi algebra Cl toteuttaa ehdot (i) e j e k + e k e j = 2δ jk, ku j, k, ja (ii) redusoidut tulot e α = e α e α2 e αk, missä α < < α k, ja alkio e = muodostavat kaa Cl :lle. Tässä tulolla tarkoitetaa s. geometrista tuloa, ja laskutoimitukse tuloksea saadaa multivektori. Esimerkiksi kahde vektori tulo o bivektori. Tulo täsmällisee määritelmää tai multivektoreide tulkitaa ei tässä kuitekaa syveytä vaa viitataa lähteesee [Lou97], jossa aihe käsitellää tarkasti ja tyhjetävästi. Määritelmä esimmäisessä kohdassa δ jk o Kroeckeri delta, joka saa arvo mikäli j = k ja arvo 0 ku j = k. Ehto voidaa kirjoittaa myös eksplisiittisesti muodossa { ej e k = e k e j, ku j = k, e 2 j = kaikilla j. Cliffordi algebra ei siis ole vaihdaaie, ja määritelmä toie ehto takaa se, ettei kataa kuulu yhtäkää kaa jäsee vasta-alkiota. Site esimerkiksi alkio e 2 e = e e 2 ei kuulu tähä kataa mutta e e 2 kuuluu. Toie ehto kertoo myös Cliffordi algebra Cl dimesio: avaruude R jokaise katavektori e j kohdalla voidaa valita, otetaako se tuloo mukaa vaiko ei, mistä seuraa dim Cl = 2. Tarkastellaa Cliffordi algebra rakeetta vielä tarkemmi. Olkoo Cl (k) = spa R {e α = e α e α2 e αk : α <... < α k } joukko, joka virittää kaikki k: katavektori tulot. Tällöi o voimassa Cl = Cl (0) Cl () Cl (), eli Cl o suora summa joukoista Cl (k). Näillä merkiöillä o voimassa erityisesti Cl (0) = R, Cl () = R ja Cl (0) Cl () = R +. Edellä maiittu suora summa määritellää ii, että jokaisella alkiolla a Cl o yksikäsitteie esitys a = a 0 + a + + a, missä jokaie a k Cl (k). 3
7 Lause.2. Cliffordi algebra o yksikäsitteie riippumatta kaa valiasta. Todistus. Olkoot {e,..., e } ja {ε,..., ε } avaruude R ortoormaaleja katoja. Lieaarialgebrasta o tuttua, että o olemassa sellaie kaavaihtomatriisi A = [a ij ] R, että pätee ε j = Ae j kaikilla j =,...,. Lasketaa ε j ε k = ( a jr e j )( a ks e k ) = a jr a ks e j e k r= s= r,s= = a jr a ks e r e s a jr a js r =s j= = a jr a ks e r e s. r =s Viimeie yhtäsuuruus seuraa siitä, että kaavaihtomatriisi o ortogoaalie eli se sarakkeet ovat ortogoaaliset pistetulo suhtee. Tällöi erityisesti summa j a jr a js eli sarakkeide r ja s pistetulo o olla. Havaitaa, että kahde vektori tulo kaassa {ε j } o bivektori myös toisessa kaassa, eikä tuloksea saada esimerkiksi skalaareja. Useamma kui kahde vektori tulo todistetaa samoi. Esimmäie tuttu esimerkki Cliffordi algebrasta o kompleksiluvut C. Reaaliluvuille R määritelty Cliffordi algebra o edeltävä esitykse mukaa suora summa Cl = Cl (0) Cl (), missä Cl(0) = R ja avaruude Cl () virittää e, jolle pätee e 2 =. Tavallisesti merkitää e = i, jolloi jokaie z Cl = C voidaa esittää muodossa z = x + y i = x + iy, missä x, y R. Toie tuettu Cliffordi algebra o kvateriot eli Hamiltoi kuta H, ja se o oikeastaa kompleksilukuje jälkee seuraava Cliffordi algebra Cl 2. Jos {e, e 2 } o avaruude R 2 kata, ii Cl 2 : kata o määritelmä mukaa {, e, e 2, e e 2 }. Yleesä o tapaa merkitä e = i, e 2 = j ja e e 2 = k, jolloi Cl 2 : alkio o kvaterio muotoa x = a 0 + a i + a 2 j + a 3 k, ja a 0,..., a 3 ovat reaalilukuja. Kompleksiluvuille määritelty keskeie käsite o kompleksikojugaatti. Jos z o kompleksiluku muotoa z = x + iy, ii se kompleksikojugaatti o z = x iy. Kompleksikojugaatilla o tärkeitä ja keskeisiä omiaisuuksia, kute z z = z 2, z = z ja z = z = z z 2. (.3) 4
8 Määritelmä.4. Olkoo a Cliffordi algebra Cl alkio, jolloi a voidaa esittää muodossa a = a 0 + a + + a, missä a k Cl (k) o k-vektori. Tällöi kuki kompoeti a k kojugaatti o ā k = ( ) k(k+)/2 a k, ja a: kojugaatti saadaa summaa ā = ā 0 + ā + + ā. Jos tarvitsee kojugoida esimerkiksi pitempiä kaavoja, käytetää merkitää ā = (a). Todetaa heti, että kaikilla k pätee ē k = e k. Lisäksi määritelmä yhtyy aiemmi tuttuu, kompleksiluvuille määriteltyy kojugaattii. Jos imittäi z C, z = x + iy, ii x Cl (0) ja iy Cl (). Siis x = ( )0 x = x ja iy = ( ) ( 2)/2 iy = iy eli z = x iy ii kui pitääki. Seuraavaksi herää kysymys, toteuttaako yleisempi kojugaatti mitää kohda.3 omiaisuuksista. Olkoo k 0 kokoaisluku ja u k Cl (k). Määritelmä mukaa pätee ū k = ( ) 2 k(k+) ū k = ( ) 2 k(k+) ( ) 2 k(k+) u k = ( ) k(k+) u k = u k, koska k(k + ) o aia parillie. Siis kaikilla u Cl pätee aiaki keskimmäie omiaisuus ū = u. Todettakoo lisäksi, että jos u, v Cl, ii pätee uv = vū. Avaruude R sisätulo yleistyy Cliffordi algebraa luoollisella tavalla. Alkioille x, y Cl voidaa määritellä sisätulo tutulla kaavalla (x, y) = ( α x α e α, β y β e β ) = x α y α. (.5) α Tällöi Cliffordi algebra Cl o Hilberti avaruus, ja sisätulo idusoima ormi saa myös tutu muodo x Cl = α x α e α Cl = (x, x) /2 = ( x α 2 ) /2. (.6) α Korostetaa vielä, että kaikki ormi ehdot ovat siis voimassa, eli pätee (i) x Cl 0 kaikilla x Cl, (ii) x Cl = 0 jos ja vai jos x = 0, (iii) ax Cl = a x Cl kaikilla x Cl, a R ja (iv) x + y Cl x Cl + y Cl. 5
9 Jatkossa merkitää lyhyesti x Cl = x. Normi avulla voidaa äyttää, että yleie kojugaatti ei toteuta muita kohda.3 omiaisuuksista. Olkoo z = + e e 2 e 3 Cl 3, jolloi siis e e 2 e 3 Cl (3) 3. Määritelmä.4 mukaa pätee e e 2 e 3 = ( ) 3 (3+)/2 e e 2 e 3 = e e 2 e 3, jote kojugaatti o z = + e e 2 e 3. Sisätulo atama ormi alkiolle z o z = 2. Toisaalta pätee z z = 2 + 2e e 2 e 3 = 2 = z 2, jote kumpikaa jäljellä olevista kaavoista kohdassa.3 ei voi olla voimassa yleisesti Cliffordi algebroissa, vaikka e toimivatki kompleksiluvuilla ja kvaterioilla. 6
10 2 Diraci operaattorit ja aalyyttiset fuktiot Kompleksitasossa C voidaa määritellä Cauchy-Riemai operaattorit asettamalla = 2 ( x i y ) ja = 2 ( x + i y ). Näide operaattoreide avulla voidaa taas määritellä aalyyttiset fuktiot vaatimalla ehdo f = 0 toteutumista. Joskus käytetää myös merkitöjä = / z ja = / z. Määritelmä 2.. Olkoo Ω C avoi joukko ja fuktio f : Ω C jatkuvasti derivoituva eli f C (Ω). Tällöi fuktio f o aalyyttie (tai holomorfie) joukossa Ω mikäli pätee f = 0 kaikissa jouko Ω pisteissä. Joukossa Ω aalyyttiste fuktioide luokkaa voidaa merkitä H(Ω). Kompleksiarvoie fuktio f voidaa kirjoittaa reaali- ja imagiaariosasa avulla f = u + iv, missä u = Re f ja v = Im f ovat reaaliarvoisia fuktioita Ω R. Aalyyttisilla fuktioilla reaali- ja imagiaariosat toteuttavat Cauchy-Riemai yhtälöt u x = v y ja u y + v x = 0. (2.2) Kirjoittamalla auki f : lauseke saadaa 2 f = f x + i f y = u x + i v x + i u y v y = ( u x v y ) + i( v x + u y ), mistä ähdää, että fuktiolla f = u + iv pätee f = 0 täsmällee silloi, ku se toteuttaa Cauchy-Riemai yhtälöt. Jokaie aalyyttie fuktio voidaa esittää (aiaki lokaalisti) suppeevaa potessisarjaa. Tästä seuraus o se, että aalyyttiset fuktiot ovat mielivaltaise mota kertaa derivoituvia (tai sileitä) eli kuuluvat luokkaa C. Osoittautuu, että aalyyttise fuktio reaali- ja imagiaariosat ovat harmoisia fuktioita. Aetaa seuraava määritelmä jo yleisesti avaruudessa R. 7
11 Määritelmä 2.3. Olkoo Ω R avoi joukko ja u C 2 (Ω). Tällöi fuktio u o harmoie joukossa Ω, mikäli pätee u = j= 2 x 2 j u = 0 kaikissa jouko Ω pisteissä. Operaattoria kutsutaa Laplace-operaattoriksi. Yhtälöä u = 0 kutsutaa Laplace yhtälöksi, ja se toteuttavat siis täsmällee harmoiset fuktiot. Olkoo f = u + iv aalyyttie fuktio avoimessa joukossa Ω C. Edelliste havaitoje ojalla pätee u, v C 2 (Ω) jote derivoitijärjestystä voidaa vaihtaa. Soveltamalla lisäksi Cauchy-Riemai yhtälöitä saadaa 2 u x 2 = x ( u x ) = x ( v y ) = y ( v x ) = y ( u y ) = u 2 y 2 eli u = 0 ja samalaisella laskulla myös v = 0. Siis aalyyttise fuktio reaali- ja imagiaariosat ovat harmoisia. Laplace-operaattori voidaa kirjoittaa myös Cauchy-Riemai operaattoreide avulla: jos u C 2, ii pätee 4 u = ( x i y )( x + i )u = u (2.4) y ja vastaavasti 4 u = u. Tästä voidaa päätellä, että jos u : Ω C o harmoie fuktio eli pätee u = 0, ii u o aalyyttie, koska tällöi o u = u/4 = 0. Siirrytää tarkasteluissa kohti avaruudessa R määriteltyjä aalyyttisiä fuktioita. Taso tapauksessa aalyyttiset fuktiot voidaa määritellä moella tapaa (kompleksie derivoituvuus, Cauchy-Riemai yhtälöt, suppeevat potessisarjat) ja jokaisessa tapauksessa päädytää samaa fuktioluokkaa. Avaruudessa R ei äi ole, ja oki valittava tarkasti, mikälaie määritelmä aalyyttisyydelle otetaa. Osoittautuu, että kaattaa määritellä aalyyttiset fuktiot kute edellä määritelmässä 2.. 8
12 Määritelmä 2.5. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie joukko ja olkoo f : Ω Cl fuktio, joka kuuluu luokkaa C (Ω). Määritellää Diraci operaattori D ja se adjugaatti D asettamalla D = j= e j ja D = x j j= ē j. x j Fuktio f o Clifford-aalyyttie joukossa Ω, mikäli pätee D f = 0 kaikissa jouko Ω pisteissä. Diraci operaattoreide määritelmä o asetettu ii, että yhtälö 2.4 yleistyy kompleksitaso tapauksesta avaruutee R. Siis myös Cliffordaalyyttiset fuktiot liittyvät läheisesti harmoisii fuktioihi. Lause 2.6. Diraci operaattoreille D ja D pätee DD =. Todistus. Käytetää osittaisderivaatalle lyheysmerkitää / x j = j. Diraci operaattorit määriteltii sileille fuktioille, jote derivoitijärjestystä voidaa vaihtaa. Lisäksi muistetaa, että pätee e j e k = ē k ē j. Voidaa siis laskea DD = ( j= = j=k = e j j )( k= ē k k ) e j ē k j k + e j ē k j k + e j ē k j k j<k k<j j 2 + e j ē k j k + e j ē k j k j= j<k k<j = + e j ē k j k e k ē j k j j<k k<j =. Tarkastellaa Cliffordi algebra -arvoista (tai lyhyesti Clifford-arvoista) fuktiota f. Merkitää Cliffordi algebra Cl kataa {e α }, missä alkiot e α ovat redusoituja tuloja avaruude R katavektoreista kute määritelmä. kohdassa (ii). Tällöi merkitää f = α f α e α missä jokaie f α o reaaliarvoie. Lausee 2.6 ojalla Clifford-aalyyttise fuktio kompoetit f α ovat harmoisia. Toisaalta jos u o reaaliarvoie harmoie fuktio joukossa Ω R, ii Du o Clifford-aalyyttie. 9
13 Jos f o sileä fuktio, ii samoi o myös jokaie kompoetti f α. Operoitaessa Clifford-arvoista fuktiota Diraci operaattorilla, saadaa summa D f = α,j f α (x) x j e j e α. (2.7) Jokaisessa tulossa e j e α o joko α + tai α tekijää riippue siitä, kuuluuko j joukkoo α vaiko ei. Esitys 2.7 voidaa kirjoittaa myös muodossa missä jokaie F β o muotoa D f = β F β = F β e β, ± f α, (2.8) x j= j ja merkit ± valitaa riippue tapauksesta. Jokaisella β o valittu α ii, että pätee α {j} = β jos o j β, ja toisaalta jos o j / β, ii pätee α = β {j}. Siis pätee D f = 0 jos ja vai jos 2 kappaletta differetiaaliyhtälöitä F β = 0 o voimassa. Tämä ehdo voi ajatella oleva Cauchy-Riemai yhtälöide 2.2 yleistys. Kompleksitaso aalyyttiste fuktioide tulo o aia aalyyttie. Clifford-aalyyttiste fuktioide tulo taas ei välttämättä ole aia Cliffordaalyyttie. Näytetää tästä helppo esimerkki. Tarkastellaa avaruutta R 3 vastaavaa Cliffordi algebraa Cl 3. Määritellää fuktiot f (x) = x e x 2 e 2 ja g(x) = x e x 3 e 3 kaikilla pisteillä x = (x, x 2, x 3 ) R 3. Tällöi pätee D f (x) = (e + e e 3 3 )(x e x 2 e 2 ) = e 2 e2 2 = 0 ja vastaavasti Dg(x) = 0. Siis f ja g ovat Clifford-aalyyttisia koko avaruudessa ja iide tulo o f (x)g(x) = x 2 x x 3 e e 3 + x x 2 e e 2 + x 2 x 3 e 2 e 3. Kuiteki saadaa D( f (x)g(x)) = 2x e, jote pätee D( f (x)g(x)) = 0 aioastaa tapauksessa x = 0. Siis Clifford-aalyyttiste fuktioide f ja g tulo ei ole Clifford-aalyyttie koko avaruudessa. Seuraavaksi tutustutaa Laplace-operaattori perusratkaisuu. Yleisesti mikä tahasa vakiokertoimise lieaarise differetiaalioperaattori P( ) = k a k k perusratkaisu u voidaa johtaa ratkaisemalla yhtälö 0
14 P( )u = δ 0, missä δ 0 o Diraci delta-distribuutio pisteessä olla. Tällöi u o myös mahdollisesti distribuutio. Laplace-operaattori tapauksessa otetaa perusratkaisu Γ tuettua ja todetaa laskemalla, että se todella toteuttaa Laplace-yhtälö. Lause 2.9. Olkoo Γ : R \ {0} R fuktio, jolle pätee ja Γ (x) = Γ 2 (x) = log x 2π ω (2 ) x ( 2), > 2, missä ω o -ulotteise yksikköpallo pita-ala. Tällöi Γ toteuttaa Laplaceyhtälö eli pätee Γ = 0 ku 2. Todistus. Lasketaa esi tapaus = 2. Olkoo x = x e + x 2 e 2 R 2 jolloi saadaa Siispä pätee Γ 2 (x) = log x = 2π 2π log (x2 + x2 2 )/2 = 4π log (x2 + x2 2 ). Γ 2 = log (x 2 x 4π x + x2 2 ) = x 2π x 2 + x2 2 (2.0) ja edellee 2 Γ 2 x 2 = x 2π x x 2 + x2 2 = 2π x 2 2 x2 (x 2 + x2 2 )2. Derivoiti o idettie myös toise muuttuja suhtee eli saadaa 2 Γ 2 x 2 2 = 2π x 2 x2 2 (x 2 + = (x2 2 x2 ) x2 2 )2 2π (x 2 + x2 2 )2 = 2 Γ 2 x 2, mistä seuraa Γ 2 = 0. Ku > 2, merkitää x = j= x je j jolloi ormi saadaa tutulla kaavalla x = ( j= x je j ) /2. Pätee j x = x j / x ja j x = x j x 2. Lasketaa Γ(x) x j = Γ(x) x x x j = ω (2 ) ( x x ( 2) ) x j x = ω x j x (2.)
15 ja edellee 2 Γ(x) x 2 j = x x 2 j x 2 ω x 2 = ( ω x 2 x2 j ). x +2 Saadaa Γ(x) = 2 Γ(x) j= x 2 j = j= ( ω x 2 = ( ω x x 2 ) = 0, x +2 mikä todistaa väittee. x2 j x +2 ) = ω ( x j x 2 j x +2 ) Lausee 2.9 todistuksessa olevie yhtälöide 2.0 ja 2. perusteella o voimassa DΓ (x) = j= ē j Γ (x) = x j ē j ω j= x j x = ω x x kaikilla 2 koska ω 2 = 2π. Tämä o tärkeä fuktio jatko kaalta, merkitää φ(x) = x ω x. (2.2) Kute jo esimmäisessä kappaleessa todettii, Cliffordi algebra ei ole vaihdaaie. Tähä liittye voidaa määritellä oikeapuoleie Diraci operaattori kaavalla D R = j= x j e j. Yhtälö D R f = 0 ratkaisevat fuktiot ovat oikealta Clifford-aalyyttisia. Jos f = α f α e α o Clifford-arvoie fuktio, ii operoitaessa sitä oikeapuoleisella Diraci operaattorilla saadaa summa D R f = α,j f α (x) x j e α e j. Tämä eroaa kohda 2.7 vastaavasta summasta vai tulo e α e j järjestykse osalta. Määritelmä 2.5 operaattoreita o syytä merkitä D L ja kutsua yhtälö D L f = 0 ratkaisuja vastaavasti vasemmalta Clifford-aalyyttisiksi 2
16 fuktioiksi. Soveltamalla kojugaatiosäätöä uv = vū vasemmapuoleisee Diraci operaattorii saadaa (D L f ) = j,α f α f α f α e x j e α = j ē α ē x j = α,j j ē α e x j = D R f, α,j j missä fuktio kojugaatti o määritelty pisteittäi eli pätee f (x) = f (x). Siis fuktio f o vasemmalta Clifford-aalyyttie täsmällee silloi ku kojugoitu fuktio f o oikealta Clifford-aalyyttie. Esimerkiksi kohdassa 2.2 esitelty fuktio φ o sekä vasemmalta että oikealta Cliffordaalyyttie, koska pätee φ = φ. Jatkossa käytetää pääsäätöisesti vasemmalta Clifford-aalyyttisyyttä ja jätetää etuliite vasemmalta pois ellei ole syytä toimia toisi. 3
17 3 Cauchy itegraalikaava Tavoitteea o yleistää Cauchy itegraalikaava avaruutee R. Palautetaa aluksi mielee taso tapauksessa tutuimpia tuloksia. Lause 3.. Olkoo Ω C avoi ja yhteäie joukko ja f : Ω C aalyyttie fuktio. Olkoo lisäksi γ : [a, b] C positiivisesti suuistettu ja paloittai jatkuvasti derivoituva polku, jolle pätee γ(a) = γ(b) ja γ Ω. Tällöi pätee esiäki (Cauchy itegraalilause) γ f (z)dz = 0, ja lisäksi, jos z o polu sisällä, ii (Cauchy itegraalikaava) f (z) = f (ξ) dξ. (3.2) 2πi γ ξ z Cauchy itegraalilausee ja -kaava todistukset sivuutetaa, ja e löytyvät varmasti mistä tahasa fuktioteoria perusteita käsittelevästä oppikirjasta kute esimerkiksi [GK06] tai [Rud66]. Cauchy itegraalikaava helppo seuraus o Gaussi keskiarvolause. Lause 3.3. Olkoo z 0 C, r > 0 ja oletetaa, että fuktio f o aalyyttie suljetu kieko D(z 0, r) ympäristössä. Tällöi pätee f (z 0 ) = π 2π π f (z 0 + re iθ )dθ. Todistus. Merkitää γ(θ) = z 0 + re iθ, θ [ π, π]. Tällöi Cauchy itegraalikaava ojalla pätee f (z 0 ) = 2πi γ f (z) dz = z z 0 2πi = 2π π π π π f (z 0 + re iθ )ire iθ z 0 + re iθ z 0 f (z 0 + re iθ ) dθ. dθ Siirrytää tarkastelemaa avaruude R tapausta. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko, ja oletetaa, että jouko reua Ω o tarpeeksi siisti, esimerkiksi vähitää jatkuvasti derivoituva. Tällöi jokaisessa reua pisteessä x Ω o määritelty yksikköulkoormaali, joka o 4
18 kohtisuorassa reua tagettia vastaa ja joka suuta o pois joukosta Ω. Merkitää yksikköulkoormaalia ν(x) = j ν j (x)e j. Muotoillaa seuraavaksi divergessiteoreema, jossa tarvitaa yksikköulkoormaalia. Merkitä dσ(x) tarkoittaa pitaitegraalia, jossa itegroitimuuttujaa o x. Lause 3.4. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko, joka reua o sileä eli Ω C. Fuktiolle f : Ω Cl, joka kuuluu luokkaa C (Ω) C(Ω), o voimassa f dx = ν f dσ(x). Ω Reaaliarvoisella fuktiolla g : Ω R kaava saa muodo Ω Ω g(x) dx = ν x j (x)g(x)dσ(x). (3.5) j Ω Olkoot φ, f : Ω Cl fuktioita, jotka kuuluvat luokkaa C (Ω). Merkitää f = α f α e α ja φ = β φ β e β. Tällöi iide kompoettifuktiot f α ja φ β ovat reaaliarvoisia ja myös sileitä. Tulo derivoitisääö (φ x β (x) f α (x)) = φ β (x)( f α (x)) + ( φ j x j x β (x)) f α (x) j ja edellise kaava 3.5 mukaa pätee Ω (φ β (x) f α(x) x j + φ β(x) x j f α (x))dx = = Ω Ω x j (φ β (x) f α (x))dx φ β (x)ν j (x) f α (x)dσ(x). Ku yt summataa fuktioide f ja φ kaikki kompoetit yhtee saa- 5
19 daa Cauchy itegraalikaavaa varte hyödyllie tulos. Lasketaa φ(x)ν(x) f (x)dσ(x) eli pätee = Ω = ( Ω β ( β, j, α Ω ( = β, j, α = = = β, j, α Ω Ω = ( Ω φ β (x)e β )( Ω ( j= ν j (x)e j )( α f α (x)e α )dσ(x) ) φ β (x)ν j (x) f α (x)dσ(x) e β e j e α ( φ(x)( φ β (x) f α(x) x j φ β (x)e β f α (x) x j j= f e j ) + ( x j + φ β(x) x j f α (x) ) dx ) e β e j e α e j e α + φ β(x) e x β e j f α (x)e α j ) j= φ(x) e x j ) f (x) j (φ(x)d L f (x) + (D R φ(x)) f (x)) dx, Ω Ω ( φ(x)( j= f e j ) + ( x j φ(x)ν(x) f (x)dσ(x). j= dx ) φ(x) e x j ) f (x) dx j ) dx (3.6) Tässä huomioarvoista o fuktioide oikea järjestys itegraali alla, koska, kute aiemmiki maiittii, Cliffordi algebra ei ole vaihdaaie. Lauseessa 2.9 o maiittu, että -ulotteise yksikköpallo pita-alaa merkitää ω. Ee seuraavaa lausetta o syytä maiita, että jos pallo säde oki mielivaltaie r > 0, ii pita-ala o tällöi ω r. Lisäksi myöhemmi o tarpee tietää r-säteise pallo tilavuus ω r /. Lause 3.7. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie joukko, joka reua Ω o sileä eli kuuluu luokkaa C (R ). Tällöi kaikilla fuktioilla f : Ω Cl, f C (Ω) pätee: (i) jos z R \ Ω, ii Ω x z x z ν(x) f (x)dσ(x) = Ω 6 x z x z D f (x)dx,
20 (ii) jos z Ω, ii f (z) = ω Ω x z x z ν(x) f (x)dσ(x) x z ω Ω x z D f (x)dx. Todistus. (i) Olkoo z R \ Ω, jolloi kaikilla x Ω o x z > 0. Kohdassa 2.2 esitelty fuktio x φ(x z) = DΓ (x z) = ω x z x z o siis (sekä vasemmalta että oikealta) Clifford-aalyyttie joukossa Ω eli pätee erityisesti D R φ = 0. Nyt väite seuraa suoraa yhtälöstä 3.6 laskemalla φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) Ω = (φ(x z)d L f (x) + (D R φ(x z)) f (x))dx Ω = φ(x z)d L f (x)dx. Ω (ii) Olkoo sitte z Ω ja olkoo ε > 0 sellaie, että B = B(z, ε) Ω. Merkitää joukko Ω ε = Ω \ B(z, ε). Tällöi fuktio φ(x z) o Cliffordaalyyttie joukossa Ω ε. Käytetää yhtälöä 3.6 joukkoo Ω ε ja valittuihi fuktioihi f ja φ, jolloi saadaa φ(x z)d L f (x)dx = φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) Ω ε Ω ε = φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) Ω φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x). B(z,ε) Nyt jos x B(z, ε), ii ν(x) = (x z)/ x z, jote pätee x z ω φ(x z)ν(x) = ( x z )( x z x z 2 ) = x z x z + = x z, ja site B(z,ε) φ(x z)ν(x) f (x)dσ(x) = ω = ω = B(z,ε) B(z,ε) ω ε 7 x z ν(x) f (x)dσ(x) x z f (x)dσ(x) x z B(z,ε) f (x)dσ(x). ( )
21 Nyt väite o, että ( ) meee kohti arvoa f (z) ku ε 0. Todetaa esi, että pätee ω ε dσ(x) =, B(z,ε) jote saadaa ω ε f (x)dσ(x) f (z) = B(z,ε) ω ε ( f (x) f (z))dσ(x). B(z,ε) Merkitää f = α f α e α jolloi jokaie kompoettifuktio f α C (Ω) o reaaliarvoie. Käyttämällä väliarvolausetta alueessa B(z, ε) jokaiselle kompoettifuktiolle saadaa arvio f α (x) f α (z) C α ε. Voidaa valita C = max α C α < koska vakioita C α o eitää 2 kappaletta. Siis pätee ω ε = ω ε = ω ε ω ε α ω ε α 2 Cε 0, B(z,ε) B(z,ε) B(z,ε) α B(z,ε) C α ε ku ε 0, mikä todistaa väittee. f (x)dσ(x) f (z) ( f (x) f (z))dσ(x) ( f α (x) f α (z))e α dσ(x) f α (x) f α (z) dσ(x) B(z,ε) dσ(x) Seuraus 3.8 (Cauchy itegraalikaava). Olkoo Ω R kute edellä ja olkoo fuktio f : Ω Cl Clifford-aalyyttie joukossa Ω. Tällöi kaikilla z Ω pätee f (z) = x z ν(x) f (x)dσ(x). ω x z Ω Todistus. Väite seuraa suoraa lauseesta 3.7, koska Clifford-aalyyttiselle fuktiolle pätee määritelmä mukaa D f = 0. 8
22 Seuraavat tulokset saavat sama muodo kui yhde kompleksimuuttuja fuktioteoriassa, ja o siksi mielekiitoista käydä e tässä läpi. Esimmäie tulos o helppo seuraus Cauchy itegraalikaavasta. Lause 3.9. Olkoo Ω R sellaie avoi ja yhteäie osajoukko, että reua Ω o kompakti ja kuuluu luokkaa C. Tällöi kaikilla Clifford-aalyyttisilla fuktioilla f : Ω Cl pätee Ω ν(x) f (x)dσ(x) = 0. Todistus. Fuktio f o Clifford-aalyyttie jote D f = 0. Samoi, jos valitaa tulokse 3.6 hyödytämistä ajatelle fuktio φ =, ii pätee Tällöi saadaa ν(x) f (x)dσ(x) = Ω Ω Dφ = e j = 0. x j= j φ(x)ν(x) f (x)dσ(x) = Ω (φd f + f Dφ)dx = 0. Lause 3.0 (Keskiarvolause). Olkoo Ω R avoi joukko, z 0 jouko Ω piste ja r > 0 sellaie, että B(z 0, r) Ω. Oletetaa lisäksi, että fuktio f : Ω Cl o Clifford-aalyyttie joukossa Ω. Tällöi pätee missä B(z 0, r) = ω r Todistus. Lasketaa f (z 0 ) () = ω (2) = (3) = (4) = f (z 0 ) = r ω r ω r ω f (x)dx, B(z 0, r) B(z 0,r) o -ulotteise r-säteise pallo tilavuus. B(z 0,r) B(z 0,r) B(z 0,r) B(z 0,r) x z 0 x z 0 f (x)ν(x)dσ(x) ( x z 0 ) f (x)ν(x)dσ(x) (( x z 0 )D f (x) + (D( x z 0 )) f (x))dx f (x)dx. 9
23 Yhtälössä () käytetää Cauchy itegraalikaavaa, yhtälössä (2) pallo pialla oleva piste x o etäisyydellä r pisteestä z 0, yhtälössä (3) käytetää tulosta 3.6, yhtälössä (4) o D f = 0 koska f o Clifford-aalyyttie ja lisäksi D( x z 0 ) = D x = j= e j x j x x k ē k = k e x j ē k =. k= j, k= j Seuraavassa lauseessa osoitetaa, että Clifford-aalyyttiste fuktioide muodostama avaruus o täydellie, ku se varustetaa kompakteissa joukoissa tasaise suppeemise topologialla. Tämä omiaisuus takaa myöhemmi se, että myös Hardy H p -avaruudet ovat täydellisiä, koska e koostuvat tietyt ehdot täyttävistä Clifford-aalyyttisistä fuktioista. Lause 3.. Olkoo Ω R avoi joukko. Fuktiot f : Ω Cl, jotka ovat Clifford-aalyyttisia, muodostavat avaruude A(Ω). Varustetaa A(Ω) topologialla, joka määrittelee tasaie suppeemie kompakteissa joukoissa. Tällöi A(Ω) o täydellie. Todistus. Valitaa sellaie perhe {K k } kompakteja osajoukkoja K k Ω, että (i) jokaie K k o yhteäie ja sileäreuaie, ja lisäksi (ii) k K k = Ω. Heie-Boreli lausee ojalla jokaie joukko K k R o myös suljettu ja rajoitettu. Olkoo ( f m ) m= avaruude A(Ω) fuktioide muodostama joo, joka suppeee jokaisessa joukossa K k. Siis kaikilla x K k pätee lim f m(x) = f (x), m kaikilla joukoilla K k. Toisaalta edellise ehdo (i) ojalla Cauchy itegraalikaava o käytössä, jote pätee f m (z) = ω K k x z x z ν(x) f m(x)dσ(x) kaikilla jouko K k sisäpisteillä z, kaikilla m ja kaikilla k. Itegraali lasketaa reua yli, jolloi siis x K k ja erityisesti pätee x z > 0, koska 20
24 joukko K k o suljettu. Käytetää Cauchy itegraalikaava ytimelle kohda 2.2 merkitää φ(x) = x/(ω x ). Tällöi jos x K k, ii fuktio φ(x z) o sileä kaikilla jouko K k sisäpisteillä z. Site kaikki derivaatat (muuttuja z suhtee) β φ(x z) ovat rajoitettuja. Voidaa siis derivoida itegraali alla ja käyttää domioidu kovergessi lausetta koordiaateittai (fuktioide f m arvojoukko o Cl ), jolloi saadaa lim m β f m (z) = lim β m K k φ(x z)ν(x) f m (x)dσ(x) = lim ( β φ(x z))ν(x) f m (x)dσ(x) m K k = ( β φ(x z))ν(x) f (x)dσ(x) = β f (z). K k Siis joo ( β f m ) m= suppeee kaikilla multi-idekseillä β, β 0, kaikissa jouko Ω kompakteissa osajoukoissa K k. Tästä voidaa päätellä, että joo ( f m ) m= suppeee myös avaruudessa C (Ω). Avaruus C (Ω) o täydellie (todistettu esim. Rudii kirjassa [Rud9] sivulla 35) eli löytyy sellaie fuktio F C (Ω), että pätee lim m β f m (x) = β F(x) (3.2) kaikilla x Ω ja multi-idekseillä β. Tällöi fuktio F o aalyyttie, mikä ähdää esimerkiksi valitsemalla kaavassa 3.2 derivaataksi Diraci operaattori: koska jokaie f m o aalyyttie eli pätee D f m (x) = 0 kaikilla m ja x Ω, ii pätee myös DF(x) = 0. Lisäksi o oltava F = f, ja site f C (Ω) ja D f (x) = 0 kaikilla x Ω. Siis f o Cliffordaalyyttie joukossa Ω, mikä päättää todistukse. 2
25 4 Harmoiset ja subharmoiset fuktiot Kappaleessa 2 määriteltii (määritelmä 2.3), että fuktio u o harmoie, mikäli se toteuttaa Laplace yhtälö u = 0. Harmoisille fuktioille pätee keskiarvolause samalla tavalla, kui todettii pätevä aalyyttisille fuktioille (lauseet 3.3 ja 3.0). Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko ja u : Ω R harmoie fuktio. Jos z 0 o jouko Ω piste ja r > 0 o sellaie, että pätee B(z 0, r) Ω, ii keskiarvolause pätee sekä tilavuus- että pitaitegraali muodossa, eli ja toisaalta u(z 0 ) = u(z 0 ) = ω r u(x)dσ(x) B(z 0,r) ω r u(x)dx. B(z 0,r) Myös kääteie pätee, eli mikäli edellä olevat kaavat pätevät jolleki kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvalle fuktiolle, o tämä fuktio tällöi harmoie. Nämä tulokset todistetaa esimerkiksi lähteessä [Eva98]. Eräs tärkeä harmoiste fuktioide omiaisuus o maksimiperiaate. Hyvä todistus tälle löytyy lähteestä [ABR0]. Lause 4. (Maksimiperiaate). Olkoo Ω yhteäie joukko ja u siiä määritelty reaaliarvoie harmoie fuktio. Jos fuktiolla u o maksimi tai miimi joukossa Ω, ii u o vakiofuktio. Subharmoiset fuktiot määritellää yleesä keskiarvolausee kaltaisella epäyhtälöllä. Määritelmä 4.2. Joukossa Ω R määritelty ja jatkuva reaaliarvoie fuktio s o subharmoie, mikäli pätee s(z 0 ) ω r s(x)dσ(x) B(z 0,r) aia ku kuula B(z 0, r) sisältyy joukkoo Ω. Subharmoisuus tarkoittaa siis, että fuktio arvo jossai pisteessä o eitää tämä pistee kuulaympäristö pia itegraalikeskiarvo. Selvästi jokaie harmoie fuktio o myös subharmoie. 22
26 Lause 4.3. Olkoo Ω R avoi ja yhteäie osajoukko ja s siiä määritelty reaaliarvoie fuktio. Merkitää Ω = {x Ω : s(x) > 0} ja oletetaa, että s C 2 (Ω ). Mikäli pätee s 0 joukossa Ω, o fuktio s tällöi subharmoie joukossa Ω. Lausee 4.3 todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [SW7], ja itseasiassa lähteessä [GM9] se otetaa subharmoisuude määritelmäksi. Lauseessa fuktio reaaliarvoisuus ei ole rajoitus jatkoa ajatelle, vaikka lopullie tavoite oki tutkia Clifford-arvoisia fuktioita. H p -avaruuksie tapauksessa ollaa kiiostueita fuktio ormi (määritelty kohdassa.6) p:e potessi itegroimisesta. Osoittautuu, että jos f o aalyyttie fuktio, ii fuktio f p o tietyissä tapauksissa subharmoie. Se, millä p: arvoilla f p o subharmoie, riippuu määrittelyjouko dimesiosta. Seuraava lause kertoo, että jos dimesio o 2, ii kaikki positiiviset p: arvot kelpaavat. Lause 4.4. Olkoo Ω kompleksitaso C avoi ja yhteäie osajoukko. Jos f o aalyyttie fuktio joukossa Ω, ii f p o subharmoie kaikilla p > 0. Todistus. Muistutetaa mielee Cauchy-Riemai operaattorit = z = 2 ( x i y ) ja = z = 2 ( x + i y ) ja se, että pätee = =. Nyt f o aalyyttie eli pätee f = 0, mistä seuraa myös f = 0. Merkitää φ = f, jolloi selvästi pätee myös φ = f = f = 0 ja f = φ. Oletetaa f = 0, jolloi pätee ( f 2 p f 2 p ) = ( f 2 p ) f 2 p + f 2 p ( f 2 p ) Tällöi saadaa = ( f 2 p )( f f z ) f 2 p + f 2 p ( f f 2 p )( f z ) = 2 p f 2 p ( f )( f 2 p ) + f 2 p ( 2 p f 2 p )( f ) = 2 p f 2 (p 2) φ f 2 p. f p = ( f 2 p f 2 p ) = 2 p ( f 2 (p 2) φ f 2 p ) = ) (( 2 p f 2 (p 2) )φ f 2 p + f 2 (p 2) ( φ) f 2 p + f 2 (p 2) φ( f 2 p ) = 2 p(d + D 2 + D 3 ). 23
27 Nyt f 2 (p 2) = f 2 (p 2) z = ( f 2 (p 2) )( f f z ) = 0, koska f = 0, ja site o D = 0. Lisäksi aiemmi todettii, että φ = 0, jote pätee myös D 2 = 0. Lasketaa vielä jolloi saadaa f 2 p = ( f 2 p Siis f p o subharmoie. f )( f z ) = 2 p f 2 (p 2) φ, f p = 2 pd 3 = 2 p f 2 (p 2) φ( f 2 p ) = 2 p f 2 (p 2) φ( 2 p f 2 (p 2) φ) = 4 p2 f p 2 φ 2 0. Ee kui esitetää, mite Clifford-aalyyttiste fuktioide f tapauksessa fuktioide f p subharmoisuus riippuu dimesiosta, muotoillaa subharmoisuudelle kätevä karakterisaatio, s. Kato-tyypi epäyhtälö. Lause 4.5. Olkoo p < ja f : Ω Cl Clifford-aalyyttie fuktio joukossa Ω. Tällöi kuvaus x f (x) p o subharmoie joukossa Ω mikäli arvio f 2 ν j (x) f 2 x j 2 p (x) (4.6) x j j= o voimassa kaikilla pisteillä x Ω Tämä lausee todistus, jossa käytetää lausetta 4.3, sivuutetaa tässä. Se löytyy laskettua Gilberti ja Murray kirjasta [GM9]. Lausee arviota käytetää seuraava lausee todistamisessa. Lause 4.7. Olkoo 2 ja Ω R avoi osajoukko. Tällöi (i) jos p ( 2)/( ) ja f : Ω Cl o Clifford-aalyyttie fuktio, ii kuvaus x f (x) p o subharmoie joukossa Ω, ja j= 24
28 (ii) jos o ( 2)/( ) > p > 0, ii löydetää sellaie Cliffordaalyyttie fuktio f : Ω Cl, että kuvaus x f (x) p ei ole subharmoie kaikkialla määrittelyjoukossaa. Todistus. Osoitetaa esi kohta (i). Kuvaus p /(2 p) o kasvava, ja lisäksi pätee 2 2 =. Siispä käytettäessä subharmoisuudelle ehtoa 4.6 riittää todistaa arvio j= ν j f (x) x j 2 ( ) j= f (x) x j 2, (4.8) ku x B(0, r) ja ν o mikä tahasa piste yksikköpallo pialla. Riittää olettaa, että f o Clifford-aalyyttie origokeskisessä r-säteisessä kuulassa B(0, r), koska tällöi yllä oleva arvio pätee koko avoimessa joukossa Ω. Kiiitetää pallo pialta piste ν ja määritellää se avulla uusi kata {ε,..., ε } valitsemalla ε = ν e + + ν e. Tällöi Diracoperaattorit saavat muodo δ = k= ν k, δ x j = k k= a jk (j > ), x k missä ν ja jokaie a j ovat keskeää ortogoaalisia yksikköpallo pialla B(0, ). Näide avulla arvio 4.8 saa muodo ( ) δ f (x) δ j f (x) 2, x B(0, r). j= Kaoista riippumatta yleistetyt Cauchy-Riemai yhtälöt 2.8 ovat edellee sellaisiaa voimassa. Jos yt kirjoitetaa Clifford-arvoie ja aalyyttie fuktio f muodossa f = α f α e α, ii pätee ± f α(x) = 0. (4.9) x j= j Voidaa kiiittää esimerkiksi ν = (, 0,..., 0), ja itse asiassa riittää todistaa väite tällä valialla. Epäyhtälö 4.8 saa tällöi muodo f (x) 2 ( f (x) 2 x. (4.0) x j 25 ) j=
29 Tarkastellaa yleisesti summaa c + + c = 0, missä jokaie c j o joko reaali- tai kompleksiluku. Tällöi o c = (c c ), jote Cauchy-Schwarzi epäyhtälö (cs) ataa c 2 = c j 2 = j=2 j=2 ( c j ) 2 (cs) ( ) c j 2. j=2 Summataa molemmille puolille termi ( ) c 2, jolloi saadaa c 2 ( ) ( ) c j 2 eli c 2 c j 2. j= j= Käytetää saatua arviota yhtälöö 4.9 valitsemalla aia c j = j f α, jolloi saadaa f α 2 ( f 2 α x. x j ) j= Lopulta summaamalla yli kaikkie ideksie α tästä seuraa arvio 4.0 ja edellee kohda (i) väite. Kohtaa (ii) varte merkitää f (x) = x/ x kaikilla x = 0. Tällöi siis pätee f (x) = x ( ). Lasketaa j f (x) p = j x ( )p = ( )p x ( )p j x = ( )px j x ( )p 2 2 j f (x) p = ( )p j (x j x ( )p 2 ) ( = ( )p = ( )p Tällöi saadaa f (x) p = 2 j f (x) p j= = ( )p j= x ( )p 2 + x j ( ( )p 2) x ( )p 3 x j x ( x ( )p 2 + x 2 j ( ( )p 2) x ( )p 4). ( x ( )p 2 + x 2 j ( ( )p 2) x ( )p 4) = ( )p ( x ( )p 2 + x 2 ( ( )p 2) x ( )p 4) = ( )p (( )p + 2) 26 x ( )p+2. )
30 Oletus o 2 ja p > 0, jote ( )p > 0 ja x ( )p 2 > 0 o voimassa kaikilla x, ja p. Voidaa siis päätellä, että f p o egatiivie mikäli pätee (( )p + 2) < 0 eli p < ( 2)/( ). 27
31 5 Poisso-ydi ja -itegraali Tästä eteepäi ollaa kiiostueita fuktioista, jotka määritellää ylemmässä puoliavaruudessa R + = {z = (x, t) : x R, t > 0}. Samaistetaa avaruudet R ja R {0} R, jolloi voidaa ajatella, että avaruus R o ylemmä puoliavaruude reua eli R + = R. Määritelmä 5.. Poisso-ydi määritellää kaavalla P t (x) = 2 ω t (t 2 + x 2 ) /2 ja se o harmoie ylemmässä puoliavaruudessa R +. Joskus edellä määritellystä käytetää myös imitystä ylemmä puoliavaruude Poisso-ydi, jos halutaa tehdä ero jossai muussa avaruudessa määriteltyy Poisso-ytimee. Harmoisuus voidaa äyttää Lausee 2.9 todistukse kaltaisella suoralla laskulla. Poisso-ytime itegraali o, siis pätee R P t(x)dx = 2 ω R t (t 2 + x 2 dx = (5.2) ) /2 kaikilla t > 0. Tämä o laskettu esimerkiksi lähteessä [SW7]. Lisäksi todettakoo, että Poisso-ydi o positiivie kaikilla t > 0, jote myös se L -ormi o eli erityisesti rajoitettu. Edellee, jos kiiitetää δ > 0, ii pätee raja-arvo δ x P t (x)dx = ω t δ x ω δ x t (t 2 + x 2 dx ) /2 (5.3) x dx 0, ku t 0 (huom. x R ). Edellä lueteltuje omiaisuuksie ojalla voidaa saoa, että Poisso-ytimet {P t } t>0 ovat hyviä ytimiä (eglaiksi approximatio to the idetity). 28
32 Poisso-ytime avulla määritellää siihe liittyvä Poisso-itegraali kovoluutioa. Ee määritelmää kerrataa muutama asia kovoluutiosta. Esiäki itegroituvie fuktioide f ja g kovoluutio pisteessä x määritellää kaavalla ( f g)(x) = f (y)g(x y)dx = f (x y)g(y)dy. Selvästi siis pätee f g = g f, kuha f ja g ovat reaaliarvoisia. Lisäksi jos myös h o itegroituva, ii pätee f (g h) = ( f g) h ja ( f g)(x) + ( f h)(x) = f (x y)g(y)dy + f (x y)h(y)dy = f (x y)(g(y) + h(y))dy = ( f (g + h))(x), missä fuktioide yhteelasku o määritelty pisteittäi. Määritelmä 5.4. Fuktio f L p (R ) Poisso-itegraali o u(x, t) = ( f P t )(x) = f (y)p t(x y)dy. R Poisso-itegraali o harmoie, mikä seuraa Poisso-ytime harmoisuudesta. Seuraava lausee todistuksessa käytetää apakoordiaattiesitystä yleisessä tapauksessa (löytyy esimerkiksi lähteestä [SS03]). Mikä tahasa avaruude R \ {0} piste voidaa esittää muodossa x = ry, missä r > 0 ja y o piste yksikköpallo B(0, ) pialla eli y =. Tämä saadaa valitsemalla r = x ja y = x/ x. Nyt voidaa itegroida esimerkiksi fuktiota f avaruude R yli kaavalla R f (x)dx = f (ry)r dr dσ(y). B(0,) Kerrataa lisäksi muutamia reaaliaalyysi tietoja. Olkoo f L loc (R ), jolloi määritelmä mukaa pätee f (x) dx < K kaikilla kompakteilla joukoilla K R. Tällöi Lebesgue differetioituvuuslause saoo, että raja-arvo lim r 0 ω r f (y) f (x) dy = 0 (5.5) B(x,r) 0 29
33 pätee melkei kaikilla x R. Edellee voidaa määritellä fuktio Lebesgue joukko seuraavasti: piste x R kuuluu fuktio f Lebesgue joukkoo, mikäli o olemassa luku A = A(x) R, jolla pätee lim r 0 ω r f (y) A dy = 0. B(x,r) Osoittautuu, että luku A o oikeastaa f (x) melkei kaikilla x. Voidaa siis muuttaa fuktio arvoja ollamittaisessa joukossa ii, että raja-arvo 5.5 o voimassa kaikilla fuktio f Lebesgue jouko pisteillä. Lause 5.6. Olkoo f L p (R ), p ja u = f P t fuktio f Poisso-itegraali. Tällöi raja-arvo lim t 0 u(x, t) = f (x) o voimassa melkei kaikilla x R. Todistus. Valitaa δ > 0 ja olkoo x R piste, joka kuuluu fuktio f Lebesgue joukkoo. Raja-arvo 5.5 ojalla voidaa kiiittää ρ > 0, jolla kaikilla r ρ pätee r y <r f (x y) f (x) dy < δ. (5.7) Koska Poisso-ytime itegraali o kaikilla t > 0, saadaa u(x, t) f (x) = f (x y)p t(y)dy f (x) R = f (x y)p t(y)dy f (x) P t(y)dy R R = R ( f (x y) f (x))p t(y)dy ( f (x y) f (x))p t (y)dy y <ρ + ( f (x y) f (x))p t (y)dy = I + I 2. y ρ Arvioidaa esi itegraalia I. Poisso-ydi P t o radiaalie eli riippuu aioastaa argumeti etäisyydestä origoo. Määritellää uusi fuktio (P t ) 0 kaavalla (P t ) 0 (r) = P t (x), ku x = r. Tällöi (P t ) 0 o väheevä muuttuja r suhtee. Avaruude R r-säteise pallo tilavuus o ai- 30
34 emmi todettu oleva ω r /( ), jote pätee ω (r ( r 2 ) )(P t ) 0 (r) = ω (2 ) ( )2 r (P t ) 0 (r) P t (x)dx 0, r/2 x r ku r lähestyy joko ollaa tai kasvaa rajatta, koska molemmissa rajakäyeissä itegroitiväli häviää. Siis pätee myös lim r 0 r (P t ) 0 (r) = lim r (P t ) 0 (r) = 0. (5.8) r Tästä ja Poisso-ytime jatkuvuudesta seuraa, että löytyy vakio A > 0, jolla pätee r (P t ) 0 (r) A kaikilla 0 < r <. Merkitää avaruude R yksikköpallo pitaa B(0, ) = {x R : x = }, ja määritellää fuktio g kaavalla g(r) = B(0,) Nyt arvio 5.7 voidaa esittää muodossa f (x ry) f (x) dσ(y). G(r) = = r s 2 0 r 0 B(0,) s 2 g(s)ds δr f (x sy) f (x) dσ(y)ds 3
35 kaikilla r ρ. Näide merkitöje avulla voidaa arvioida I = = () = (2) (3) = y <ρ y ρ ρ 0 / ρ 0 / ρ 0 / tρ 0 ( f (x y) f (x))p t (y)dy f (x y) f (x) t P (y/t)dy r 2 g(r)t (P ) 0 (r/t)dr G(r)t (P ) 0 (r/t) δr t (P ) 0 (r/t) ρ 0 ρ δ(tr) t (P ) 0 (r) δ(tρ) (P ) 0 (tρ) δa ρ/t 0 ρ/t 0 0 G(r)t d dr ((P ) 0 (r/t))dr G(r)t d((p ) 0 (r/t)) ρ/t 0 G(tr)t d((p ) 0 (r)) δ(tr) t d((p ) 0 (r)) δr d((p ) 0 (r)) δa δ 0 r d((p ) 0 (r))). Yhtälössä () itegroidaa osittai, arvio (2) o sama kui 5.7 ja kohdassa (3) tehdää muuttujavaihto r tr. Viimeistä itegraalia varte tehdää merkitä B = ( )/ω. Tällöi pätee B = ω (4) = (5) = (6) = ω 0 / 0 = R P (y)dy r 2 (P ) 0 (r)dr r (P ) 0 (r) 0 0 r d((p ) 0 (r)), r d((p ) 0 (r)) 32
36 koska kohdassa (4) jokaise Poisso-ytime itegraali o, kohdassa (5) siirrytää apakoordiaatteihi ja kohdassa (6) itegroidaa osittai. Siis pätee I δ(a + B). Tutkitaa sitte itegraalia I 2. Olkoo χ ρ karakteristie fuktio joukolle {x R : x ρ}. Olkoot lisäksi p ja q sellaisia reaalilukuja, että pätee /p + /q =. Kolmioepäyhtälö ja Hölderi epäyhtälö ojalla pätee I 2 = ( f (x y) f (x))p t (y)dy y ρ f (x y)p t (y) dy + f (x) P t (y)dy y ρ y ρ f L p χ ρ P t L q + f (x) P (y)dy. y ρ t Jälkimmäise termi itegroitialuee mitta meee ollaa, ku t 0. Esimmäistä termiä varte huomataa, että pätee q = + q/p, jolloi saadaa ( /q ( ) /q χ ρ P t L q = P t (y) dy) q = P t (y)p t (y) q/p dy ( y ρ sup P t (y) y ρ y ρ y ρ Aiemmi todetu tulokse 5.8 perusteella saadaa ) /q P t (y) q/p dy = χ ρ P t /q L P p t L q. χ ρ P t L = sup P t (y) = ρ ( ρ y ρ t ) (P ) 0 ( ρ t ) 0, ku t 0. Voidaa siis löytää vakio C > 0, jolla pätee arvio I 2 Cδ, kuha t o kylli piei. Tämä päättää todistukse, koska δ > 0 oli mielivaltaie. Seuraavia lauseita varte todetaa, että jos fuktio f kuuluu avaruutee L p (R ), ii pätee raja-arvo lim f (x + h) f h 0 (x) p dx = 0. (5.9) R Lisäksi tarvitaa Mikowski epäyhtälöä itegraaleille, joka todistetaa esimerkiksi lähteessä [HLP52]: ( f (x, y)dy p dx) /p ( f (x, y) p dx) /p dy. (5.0) 33
37 Lause 5.. Olkoo f L p (R ), p <, ja u = f P t fuktio f Poisso-itegraali. Tällöi pätee raja-arvo ku t 0. u f L p = ( u(x, t) f (x) p dx) /p 0, R Todistus. Oletetaa siis, että p < ja f L p (R ). Kute aiemmiki o todettu, kaikilla t > 0 pätee P t (y) = t P (y/t) ja P t =. Edellisessä lauseessa laskettii ( f P t )(x) f (x) = R ( f (x y) f (x))p t(y)dy jote käyttämällä Mikowski epäyhtälöä itegraaleille 5.0 ja muuttujavaihtoa saadaa f P t f L p = = ( R R R ) /p R ( f (x y) f (x))p t(y)dy p dx ( ) /p f (x y) f (x) p dx P t (y)dy R ( ) /p f (x ty) f (x) p dx P (y)dy. R Itegradi o ylhäältä rajoitettu ( ) /p f (x ty) f (x) p dx P (y) 2 f L p P = 2 f L p <, R jote raja-arvo 5.9 ja Lebesgue domioidu kovergessi lausee ojalla saadaa ( ) /p lim f P t f L p lim f (x ty) f (x) p dx P (y)dy t 0 t 0 R R ( ) /p = lim f (x ty) f R t 0 (x) p dx P (y)dy R = 0 P (y)dy = 0. R 34
38 Lause 5.2. Olkoo f L p (R ), p, ja u = f P t fuktio f Poisso-itegraali. Tällöi pätee arvio ( ) /p u L p = ( f P t)(x) p dx f L p R kaikilla t > 0. Lisäksi jos p <, ii pätee yhtälö sup u L p = f L p. (5.3) t>0 Todistus. Käyttämällä Mikowski epäyhtälöä itegraaleille 5.0 ja Poissoytime omiaisuuksia saadaa esimmäie väite u L p = ( ( f P t)(x) p dx) /p R R = ( f (x y)p t(y)dy p dx) /p R ( R f (x y)p t(y) p dx) /p dy R ( R = f (x y) p dx) /p P t (y)dy R f L p P t(y)dy = f L p. R Tästä seuraa myös sup u L p f L p. t>0 Lauseessa 5.6 o todistettu raja-arvo lim( f P t )(x) = f (x), t 0 joka pätee melkei kaikilla x R. Tämä ja Fatou lemma avulla saadaa f (x) p dx = lim if ( f P t )(x) p dx R R t 0 lim if t 0 ( f P t)(x) p dx R u(x, t) p dx, R sup t>0 mistä seuraa f L p sup u L p. t>0 Epäyhtälö molempii suutii ataa yhtälö
39 Lause 5.4. Olkoo f C 0 L (R ) fuktio, joka o siis rajoitettu, jatkuva ja kompaktikatajaie. Tällöi fuktio f Poisso-itegraali u = f P t suppeee tasaisesti, eli pätee raja-arvo ku t 0. u f = sup u(x, t) f (x) 0, x R Todistus. Fuktio f o jatkuva ja määritelty kompaktissa joukossa, jote se o tasaisesti jatkuva. Siis kaikilla ε > 0 o olemassa sellaie δ > 0, että pätee f (x y) f (x) < ε kaikilla x R, kuha y < δ. Lasketaa u(x, t) f (x) = f (x y)p t(y)dy f (x) R = R ( f (x y) f (x))p t(y)dy f (x y) f (x) P t (y)dy y <δ + f (x y) f (x) P t (y)dy y >δ ε P t (y)dy + 2 f P t (y)dy y <δ y >δ t ε + 2 f ω ( ) t ω = ε + 2 f ω δ y >δ, y dy ja viimeie yhtälö ( ) saadaa laskemalla apakoordiaattie avulla y >δ y B(0,) dy = dr δ r r 2 dr dσ = ω δ r 2 = ω. δ Merkitää C = (2 f ω )/(ω δ), jolloi C o siis vakio. Ottamalla supremum kaikkie pisteide x R yli saadaa sup u(x, t) f (x) ε + Ct ε, x R ku t 0. Luku ε > 0 oli mielivaltaie, jote väite seuraa. 36
40 Lause 5.5. Jos u o harmoie fuktio avaruudessa R + ja o olemassa vakio C > 0 ja luku p (, ), joilla pätee u L p = ( u(x, t) p dx) /p C < R kaikilla t > 0, ii o olemassa sellaie vakio A = A(, p) > 0, että pätee arvio u = sup u(x, t) ACt ( )/p. x R Todistus. Olkoo z 0 = (x 0, t 0 ) R +. Merkitää B = B(z 0, t 0 /2) = {z R + : z z 0 t 0 /2}, jolloi siis B o avaruude R + osajoukko. Lisäksi, kute aiemmiki o todettu, pallo B tilavuus o m(b) = ω (t 0 /2) /. Koska u o harmoie, pätee keskiarvolause u(x 0, t 0 ) p = 2 ω t 0 B u p dz. (5.6) Jos lisäksi merkitää Ω = {(x, t) R + : t 0/2 < t < 3t 0 /2}, ii voidaa arvioida 3t0 u p dz u p /2 dz = u(x, t) p dxdt t 0 C p. (5.7) B Ω t 0 /2 R Pätee siis u(x 0, t 0 ) p 2 C p t ω 0, mistä korottamalla potessii /p ja ottamalla supremum yli kaikkie x 0 R saadaa väite vakio arvolla A(, p) = (2 /ω ) /p. Edellise todistukse arviosta 5.7 voidaa päätellä, että fuktio, joka toteuttaa edellise lausee oletukset, o rajoitettu kaikissa ylemmä puoliavaruude osa-avaruuksissa R +[t 0 ] = {(x, t) R + : t t 0 > 0}. Lause 5.8. Avaruudessa R + harmoiselle rajoitetulle fuktiolle u pätee u(x, t + s) = u(y, t)p s(x y)dy = (u(, t) P s )(x) R kaikilla t, s > 0. 37
41 Tälle lauseelle löytyy lähteestä [Ste70] kattava ja yksityiskohtaie todistus, jote tässä se sivuutetaa. Edelliste lauseide avulla voidaa todistaa jatko kaalta tärkeä tulos: jokaie harmoie fuktio voidaa esittää Poisso-itegraalia. Lause 5.9. Jos u o harmoie fuktio avaruudessa R + ja löytyy sellaiset C > 0 ja p (, ), että kaikilla t > 0 pätee u(x, t) p L p = u(x, t) p dx C p <, R ii tällöi u o joki fuktio f L p (R ) Poisso-itegraali u = f P t. Todistus. Koska kaikilla t > 0 pätee u(x, t) L p C <, o olemassa sellaie joo positiivisia reaalilukuja t k, joilla o raja-arvo lim k t k = 0, ja sellaie fuktio f L p (R ), että u(x, t k ) suppeee heikosti kohti fuktiota f ku k. Tämä taas tarkoittaa, että kaikilla fuktioilla g L q (R ), /p + /q =, pätee raja-arvo lim u(y, t k)g(y)dy = f (y)g(y)dy. k R R Poisso-ydi P t kuuluu L q -avaruutee kaikilla q [, ] ja t > 0, jote saadaa lim u(y, t k)p t (x y)dy = f (y)p t(x y)dy = v(x, t), k R R eli v = f P t. Nyt lausee 5.8 avulla saadaa v(x, t) = lim u(y, t k)p t (x y)dy = lim u(x, t + t k ) = u(x, t), k R k mistä seuraa u = f P t. Lauseide 5.8 ja 5.9 seurauksea saadaa Poisso-ydite tärkeä omiaisuus: jos f o joki L p -fuktio ja s, t > 0, ii pätee ( f P t ) P s = f P t+s. (5.20) Seuraavassa määritelmässä ja sitä seuraavassa lauseessa käytetää edellisestä esityksestä poikete avaruude L p (R ) fuktioita (siis dimesio o eikä kute edellä) merkitöje yksikertaistamiseksi. 38
42 Määritelmä 5.2. Fuktio f L p (R ) Hardy-Littlewoodi maksimaalifuktio m f pisteessä x R o m f (x) = sup r>0 = sup r>0 ω r x r m(b(x, r)) f (y)dy B(x,r) f (y)dy. Jos f o oleellisesti rajoitettu fuktio, ii pätee arvio m f f L. Hardy-Littlewoodi maksimaalifuktio o aalyysissä hyödyllie fuktio, koska se majoroi moia tärkeitä operaattoreita. Esimerkiksi seuraavassa lauseessa todistetaa, että Poisso-itegraalia voidaa arvioida ylöspäi maksimaalifuktio avulla. Ee lausetta tarkastellaa kuiteki fuktiota ϕ, joka o yksikköpallo B = {x R : x } karakteristie fuktio jaettua pallo tilavuudella ω /. Tällöi siis pätee ϕ(x)dx =. R Olkoo ε > 0 ja merkitää Nyt karakteristie fuktio saa muodo ϕ ε (x) = ε ϕ(x/ε). (5.22) χ B (x/ε) = = {, x/ε 0, muutoi {, x ε 0, muutoi. Tällöi, jos f L p (R ), p ja f 0, ii pätee ( f ϕ ε )(x) = f (x y)ϕ ε(y)dy R = ω ε f (x y)dy y ε ja site pätee m f (x) = sup ε>0 ( f ϕ ε )(x). Herää tieteki kysymys, voidaako samaa päästä yleisemmillä fuktioilla ϕ. Lause Jos u o fuktio f L p (R ), p, Poisso-itegraali, ii pätee u(x, y) m f (x). 39
2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.
0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotSeuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi
Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotIsoperimetrisestä epäyhtälöstä
Isoperimetrisestä epäyhtälöstä Jukka Koivistoie Pro gradu -tutkielma Matematiika ja tilastotietee laitos Kesä 29 Sisältö 1. Johdato 2 2. Isoperimetrie epäyhtälö tasossa 4 2.1. Todistus kompleksitasossa
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotFourier n sarjan suppeneminen
Fourier sarja suppeemie Leevi Aala Matematiika pro gradu -tutkielma Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos 7 Tiivistelmä: Leevi Aala, Fourier sarja suppeemie, matematiika pro gradu -tutkielma,
LisätiedotÄärettömistä tuloista ja gammafunktiosta kompleksitasossa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jemia Laukkae Äärettömistä tuloista ja gammafuktiosta kompleksitasossa Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Elokuu 202 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotEsimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotLaaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005
7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotSobolevin epäyhtälön parhaasta vakiosta
Sobolevi eäyhtälö arhaasta vakiosta Markus Helé Matematiika ro gradu -tutkielma Kevät 22 Sisältö Sivu Johdato Esitietoja 2 Perusmerkitöjä 2 2 Kovekseista fuktioista 3 3 L -avaruudet 4 4 Sobolev-avaruudet
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotExcursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006
Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta 2006 1 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotPoissonin yhtälö ja Greenin funktio
Poissonin yhtälö ja Greenin funktio Ipa Puustinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 209 Tiivistelmä: Ipa Puustinen, Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Lisätiedot5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla
Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotSuurten poikkeamien teoriasta sovelluksena satunnaiskulku satunnaisessa ympäristössä. Kirjoittanut: Juha-Antti Isojärvi Ohjaaja: Jaakko Lehtomaa
Suurte poikkeamie teoriasta sovelluksea satuaiskulku satuaisessa ympäristössä Kirjoittaut: Juha-Atti Isojärvi Ohjaaja: Jaakko Lehtomaa 20. lokakuuta 204 Tiivistelmä Pitkissä kolikoheittosarjoissa kruuie
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotKokonaisvahinkomäärän normaaliapproksimointi vinoille jakaumille
Tiedekuta/Osasto Fakultet/Sektio Faculty Matemaattis-luootieteellie Tekijä Författare Author Ja-Erik Lausala Työ imi Arbetets titel Title Oppiaie Läroäme Subject Työ laji Arbetets art Level Tiivistelmä
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotSuppenemistestejä sarjoille
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma Karoliia Alajoki Suppeemistestejä sarjoille Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Huhtikuu 03 Tamperee Yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö ALAJOKI, KAROLIINA:
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotPro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg
Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA Karoliina Ljungberg 16.04.2009 Ohjaajat: Ari Venäläinen, Jouni Räisänen
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotBM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot1 Analyyttiset funktiot
Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
Lisätiedot