Poincarén epäyhtälöstä

Transkriptio

1 Helsingin ylioisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Pro Gradu Poincarén eäyhtälöstä Tekijä: Anssi Tuovinen Ohjaaja: FT Ritva Hurri-Syrjänen Toinen tarkastaja: FT Antti Vähäkangas. toukokuuta 204

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution eartment Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Anssi Tuovinen Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos Poincarén eäyhtälöstä Oiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika atum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of ages Pro gradu -tutkielma Toukokuu s. Tiivistelmä Referat Abstract Tutkielmassa käsitellään klassisen Poincarén eäyhtälön ( u(y) u dy κ ( u(y) dy voimassaoloa euklidisen avaruuden rajoitetuissa alueissa. Eäyhtälön toteutuminen riiuu aitsi integrointialueesta myös eksonentista. Oleellista on, että eäyhtälössä esiintyvä vakio κ ei ole riiuvainen integroitavasta funktiosta. Eäyhtälössä esiintyy lisäksi funktion u integraalikeskiarvo yli alueen, jota merkitsemme u. Työssä käsiteltävät alueet ovat rajoitettuja sekä funktiot Lebesgue-integroituvia näissä alueissa. Luvussa 3 todistetaan Poincarén eäyhtälön voimassaolo konvekseissa alueissa eksonentilla < <. Työn neljännessä luvussa todistetaan Poincarén eäyhtälön voimassaolon isteen suhteen tähtimäisissä alueissa eksonentilla < <. Louksi luvussa 5 tutustumme Huoneita ja käytäviä -tyyiseen alueeseen, jossa Poincarén eäyhtälö ei ole voimassa eksonentin > ollessa kyllin ieni. Eäyhtälöä tutkitaan ja esitetyt tulokset ovat voimassa Sobolev avaruuksien funktioilla, vaikka tässä työssä tarkastellaan kerran jatkuvasti derivoituvia funktioita. Eäyhtälöllä on lukuisia sovelluksia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa. Avainsanat Nyckelord Keywords Poincarén eäyhtälö, konveksi alue, tähtimäinen alue, huoneita ja käytäviä Säilytysaikka Förvaringsställe Where deosited Kumulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga ugifter Additional information

3

4 Sisältö Johdanto 3 2 Määritelmiä ja merkintöjä 5 3 Poincarén eäyhtälö konveksissa alueessa 9 4 Poincarén eäyhtälö tähtimäisessä alueessa 9 5 Huoneita ja käytäviä 28 2

5 Luku Johdanto Tässä työssä käsittelemme klassisen Poincarén eäyhtälön (.) ( ( u(y) u dy κ u(y) dy voimassaoloa euklidisen avaruuden rajoitetuissa alueissa. Eäyhtälössä joukko on rajoitettu alue avaruudessa R n ja funktio u: R on jatkuvasti derivoituva sekä Lebesgueintegroituva. Eäyhtälössä esiintyy lisäksi funktion u integraalikeskiarvo alueen yli, mikä saadaan laskemalla u = u(x) dx. Eäyhtälön toteutuminen riiuu aitsi alueesta myös eksonentista. Oleellista on, että eäyhtälössä esiintyvä vakio κ ei ole riiuvainen funktiosta u. Todistamme ensin luvussa 3 Poincarén eäyhtälön (.) voimassaolon konvekseissa alueissa eksonentilla < <. Työn neljännessä luvussa todistamme Poincarén eäyhtälön voimassaolon isteen suhteen tähtimäisissä alueissa myös eksonentilla < <. Louksi luvussa 5 tutustumme Otto Nikodymin ideoiden, [2], ohjalta konstruoituun joukkoon, jossa Poincarén eäyhtälö ei ole voimassa eksonentin > ollessa kyllin ieni. Esitetty Huoneita ja käytäviä -tyyinen joukko on ensi kertaa kehitetty hieman toisessa muodossa Richard Courantin ja avid Hilbertin vuonna 937 julkaistussa kirjassa []. Eäyhtälö (.) on saanut nimensä ranskalaisen Henri Poincarén mukaan. Hän tutki yhtälön toteutumista eksonentilla = 2 tason sekä avaruuden R 3 suorakaiteissa 800-luvun loulla. Työtä jatkoi 900-luvun alussa italialainen Eugenio Levi tason isteen suhteen tähtimäisissä alueissa. Taausta 2 eäsäännöllisissä alueissa on enemmän tutkittu 980-luvulta lähtien. Eäyhtälöä tutkitaan ja esitetyt tulokset ovat voimassa Sobolev 3

6 avaruuksien funktioilla, vaikka tässä työssä tarkastellaan kerran jatkuvasti derivoituvia funktioita. Eäyhtälöllä on lukuisia sovelluksia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa. Esimerkkejä ja taustaa on julkaistu esimerkiksi Lawrence C. Evansin kirjassa [2]. 4

7 Luku 2 Määritelmiä ja merkintöjä Tässä luvussa käsittelemme joitain tarvittavia merkintöjä, määritelmiä ja erustuloksia. Kaikkia matematiikan aineoinnoista tuttuja merkintöjä sekä tuloksia emme käy läi. Kutsumme joukkoa alueeksi, mikäli se on avoin ja yhtenäinen. Kirjaimella merkitsemme rajoitettua aluetta euklidisessa avaruudessa R n sekä kirjaimella u reaaliarvoista funktiota. Merkitsemme n (x, r) avointa x-keskistä r-säteistä alloa avaruudessa R n, kun n 2. Vastaavan allon kuorta merkitsemme S n (x, r). Yksikköallon tilavuudelle käytämme merkintää ω n. Merkitsemme c(,..., ) vakiota, joka riiuu vain sulkeiden sisällä luetelluista termeistä. Gradientti Funktion u: R gradienttia isteessä x 0 merkitsemme u(x 0 ) = ( u(x 0 ),..., n u(x 0 )). Mikäli funktion u kaikki osittaisderivaatat j u, kullakin j =,..., n, ovat olemassa alueen jokaisessa isteessä ja ne ovat jatkuvia alueessa, sanomme, että u kuuluu kerran joukossa jatkuvasti derivoituvien funktioiden luokkaan C (). Tällöin merkitsemme u C (). Jos on voimassa u C (), niin funktio u on differentioituva alueen jokaisessa isteessä. Tulos on todistettu esimerkiksi oikirjan [0] sivuilla Mikäli muuta ei mainita, on läi tekstin voimassa u C (). 5

8 Integraalikeskiarvo Joukon A Lebesguen mitalle käytämme merkintää A. Joukossa A Lebesgue-integroituvan funktion u integraalikeskiarvo yli Lebesgue-mitallisen joukon A, kun 0 < A <, saadaan laskemalla u A = u(x) dx. A Konveksi joukko Alue on konveksi, jos kaikilla a, b on voimassa ta + ( t)b, kun t [0, ]. Geometrisesti tulkittuna konveksit joukot ovat kueria. A Kuva 2.: Konveksi joukko sekä ei-konveksi joukko. L -avaruudet Kun <, määritellään { L () = u: R u mitallinen ja } u(x) dx <. Kun avaruus L () varustetaan normilla osoittautuu se normiavaruudeksi. ( u L () = u(x) dx Seuraavat kaksi lausetta ovat L -avaruuksien erusominaisuuksia. Lauseiden todistukset löytyvät esimerkiksi kirjan [] sivuilta

9 Lause 2.. Hölderin eäyhtälö. Jos < <, < q <, / + /q =, f L () sekä g L q (), niin fg L () ja fg L () f L () g L q (), ts. ( ( f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) q q dx. Huomautus 2.2. Hölderin eäyhtälö on voimassa myös jonoille (a k ) ja (b k ), missä a k 0 ja b k 0 jokaisella k =,..., n. Jos < <, < q < sekä / + /q =, niin ( n n ( q n a k b k. k= k= a k Huomautus 2.3. Kun < <, toteuttavat luvut ja q = /( ) Hölderin eäyhtälön eksonenttien ehdon / + /q =. Lause 2.4. Minkowskin eäyhtälö eli kolmioeäyhtälö. Jos f, g L (), niin f + g L () ja f + g L () f L () + g L () eli auki kirjoitettuna ( f(x) + g(x) dx Fubinin lause ( k= b q k ( f(x) dx + g(x) dx. Muutamissa todistuksissa on tareen vaihtaa integrointijärjestystä. Fubinin lauseen eräs versio mahdollistaa sen. Käsittelyymme riittävä seuraavassa lauseessa esitetty versio on todistettu esimerkiksi luentomonisteen [6] sivuilla Käytämme lauseen tulosta todistuksissa erikseen mainitsematta. Lause 2.5. Olkoon u: R +q R,, q N \ {0}, mitallinen funktio siten, että ( ) u <, u(x, y) dm q (y) dm (x) < tai R +q R R q ( ) u(x, y) dm (x) dm q (y) <. R q R Tällöin integrointijärjestys voidaan vaihtaa eli ( ) ( ) u(x, y) dm q (y) dm (x) = u(x, y) dm (x) dm q (y). R R q R q R 7

10 Muuttujanvaihto allokoordinaatteihin Olkoot iste x = (x,..., x n ) R n, x 0, sekä kulmat ϕ = (ϕ,..., ϕ n ), missä ϕ,..., ϕ n 2 [0, π] ja ϕ n [0, 2π). Merkitsemme allokoordinaattimuunnoksen x (r, ϕ) Lebesgue-integroituvan funktion f(x) integraalille avaruudessa R n seuraavasti: f(x) dx = f(r, ϕ)r n dr dm n (ϕ). R n S n (0,) 0 8

11 Luku 3 Poincarén eäyhtälö konveksissa alueessa Tässä luvussa todistamme klassisen Poincarén eäyhtälön rajoitetussa konveksissa alueessa. Todistus ohjautuu kirjan [3] luvun 7 sivuilta löytyvään käsittelyyn. Määritelmä 3.. Olkoon µ (0, ) vakio sekä u: R +, missä R + = {x R x > 0}, mitallinen ositiivisia arvoja saava funktio sekä u L (). Määritellään oeraattori V µ kaavalla (V µ u) (x) = x y n(µ ) u(y) dy. Oeraattori V µ osoittautuu hyvin määritellyksi melkein kaikilla x seuraavan Lemman 3.2 nojalla. Lemma 3.2. Olkoon V µ edellä määritelty oeraattori. Jos u L (), < <, niin V µ u L () µ ω µ n µ u L (). Todistus. Olkoon x kiinnitetty. Tehdään aluksi auarvio oeraattorin V µ arvoille funktiolle u(x) = kaikilla x. Olkoon r > 0. Asetetaan x-keskinen r-säteinen allo n (x, r) niin, että = n (x, r) = ω n r n. Varmistamme seuraavaksi, että voimme tutkia integraalia allossa n (x, r). Seuraavassa esitetty arvion (3.4) erustelu on eräisin kirjan [9] Lemmasta.30. Integraali alueen yli voidaan jakaa alloon ja sen ulkouolelle, eli (3.3) x y n(µ ) dy = n (x,r) x y n(µ ) dy + 9 \ n (x,r) x y n(µ ) dy.

12 Kuva 3.: Hahmotelma alueesta ja allosta 2 (x, r) tasossa R 2. Nyt jokaisella isteellä z n (x, r) \ ja isteellä y \ n (x, r) on voimassa x z r x y. Lisäksi tiedämme, että n (x, r) \ + n (x, r) = n (x, r) = = \ n (x, r) + n (x, r), joten n (x, r) \ = \ n (x, r). Koska on voimassa n(µ ) < 0, saamme arvion x y n(µ ) dy \ n (x, r) r n(µ ) \ n (x,r) = n (x, r) \ r n(µ ) x z n(µ ) dz. n (x,r)\ Sijoittamalla edellinen arvio yhtälöön (3.3) saamme x y n(µ ) dy x y n(µ ) dy + x y n(µ ) dy n (x,r) n (x,r)\ = x y n(µ ) dy. n (x,r) Siten on voimassa (3.4) x y n(µ ) dy x y n(µ ) dy. n (x,r) Muuttujanvaihdolla allokoordinaatteihin saamme x y n(µ ) dy = y n(µ ) dy n (x,r) n (0,r) r = ρ n(µ ) ρ n dρ dm n (ϕ). S n (0,) 0 0

13 Koska ätee saamme laskemalla S n (0,) r 0 S n (0,) dm n (ϕ) = n ω n, r ρ n(µ ) ρ n dρ dm n (ϕ) = n ω n ρ nµ dρ Järjestelemällä termejä saamme esityksen muotoon Olemme saaneet arvion (3.5) = n ω n µ ω nr nµ = µ ω µ n ω n µ r nµ = µ ω µ n µ. x y n(µ ) dy µ ω µ n µ. 0 nµ rnµ = µ ω nr nµ. Merkitään nyt h(x, y) = x y n(µ ). Edellisen nojalla h(x, ) L () ja edellinen arvio (3.5) voidaan kirjoittaa muodossa (3.6) h(x, ) L () = h(, y) L () µ ω µ n µ kaikilla x, y. Tehdään seuraavaksi toinen auarvio funktioilla u L (). Viemällä itseisarvot sisään saamme V µ u(x) = x y n(µ ) u(y) dy x y n(µ ) u(y) dy = h(x, y) u(y) dy. Kun on voimassa >, voimme kirjoittaa h(x, y) u(y) = h(x, y h(x, y) u(y) = h(x, y) u(y) h(x, y). Nyt voimme käyttää Hölderin eäyhtälöä ja saamme h(x, y u(y) h(x, y) dy ( ( = ] [h(x, y ( u(y) dy ( h(x, y) u(y) dy h(x, y) dy [ ] h(x, y /( ). dy

14 Siis (3.7) ( V µ u(x) ( ) h(x, y) u(y) dy h(x, y) dy. Nyt olemme valmiit ureutumaan väitteeseen. Käyttämällä edellistä arviota (3.7) sekä viemällä itseisarvot sisään ja sieventämällä saamme V µ u L () = ( ( ( V µ u(x) dx ( ( ( h(x, y) u(y) dy h(x, y) dy ) ( h(x, y) u(y) dy h(x, y) dy) dx Käyttämällä kahdesti eräkkäin aiemmin saatua arviota (3.6) saamme dx. ( ( [ ] µ ω µ n µ [ ] µ ω µ n µ ) ( h(x, y) u(y) dy h(x, y) dy) dx ( h(x, y) u(y) dy dx [ ] ( µ ω µ n µ u(y) dy = µ ω µ n ja väite on näin todistettu. µ u L (), Lemma 3.8. Olkoot rajoitettu konveksi alue sekä alueessa integroituva funktio u C (). Tällöin on voimassa u(x) u dn x y n u(y) dy, n missä d = diam () on joukon halkaisija. 2

15 Todistus. Olkoon mielivaltaiset isteet x, y siten, että x y. Tällöin konveksisuuden ja analyysin eruslauseen nojalla saamme (3.9) u(x) u(y) = x y 0 r u(x + rθ) dr, missä θ = y x y x. Integroidaan yhtälön (3.9) molemmat uolet muuttujan y suhteen joukon yli. Tällöin sen vasen uoli saadaan muotoon (u(x) u(y)) dy = u(x) dy u(y) dy = u(x) u(y) dy ( = u(x) ) u(y) dy = (u(x) u ). Voimme näin ollen kirjoittaa yhtälön (3.9) muodossa (3.0) (u(x) u ) = x y 0 r u(x + rθ) dr dy. Merkitään suunnattua derivaattaa nyt { r u(x + rθ), kun x + rθ (3.) T (x + rθ) = 0, kun x + rθ /, jolloin itseisarvot lisäämällä ja jakamalla mitalla saamme edellisestä (3.0) arvion u(x) u T (x + rθ) dr dy. x y <d Vaihdetaan edellisestä integrointijärjestys sekä muuttujat allokoordinaatteihin, jolloin saamme d T (x + rθ) dy dr = T (x + rθ)ρ n dρ dm n (θ) dr. 0 x y <d 0 S n (0,) Nyt voimme integroida tekijän ρ suhteen saaden 0 S n (0,) d 0 T (x + rθ)ρ n dρ dθ dr = dn n S n (0,) T (x + rθ) dm n (θ) dr.

16 Merkinnän (3.) sekä tiedon r u(x + rθ) u(x + rθ) avulla saamme T (x + rθ) dm n (θ) dr = r u(x + rθ) dm n (θ) dr 0 S n (0,) 0 S n (0,) u(x + rθ) dm n (θ) dr. 0 S n (0,) Tehdään muuttujanvaihto takaisin, jolloin voimme kirjoittaa u(x + rθ) dm n (θ) dr = u(y) x y n dy. 0 S n (0,) Kokoamalla edelliset yhteen saamme halutun tuloksen u(x) u dn x y n u(y) dy, n ja todistus on valmis. Nyt olemme valmiit todistamaan luvun äätuloksen. Lause 3.2. Olkoot avaruuden R n rajoitettu konveksi alue, u C () integroituva alueessa sekä d = diam() alueen halkaisija. Tällöin kaikilla < < on voimassa vakiolla u u L κ() u L, κ() = ( ωn n d n. Todistus. Aluksi arvioimme Lemman 3.8 avulla sekä siirrämme vakion integraalin ulkouolelle, jolloin saamme u u L () = ( ( d n n ( = dn n u(x) u dx = dn n V /n u L (). x y n u(y) dy x y n u(y) dy dx. dx 4

17 Nyt Lemman 3.2 erusteella tiedämme, että d n n V /n u L () dn = n n n ω n ( ωn n u L () n dn u L (). Kokoamalla arviot yhteen saamme väitteen ( ωn n u u L () d n u L (). Luvun äätteeksi todistamme kaksi aulausetta, joita käytämme myöhemmin. Todistukset ohjautuvat väitöskirjan [5] Lemmojen 2.3 ja 5. todistuksiin. Lemma 3.3. Olkoot < <, rajoitettu alue Lebesgue-mitallinen, joukko A, A > 0, sen osajoukko sekä funktio u L (). Tällöin ätee ( kaikilla vakioilla c R. u(y) u A dy ( ( 2 u(y) c dy A Todistus. Ensin teemme auarvion. Koska u A c R on vakio, kun funktio u on kiinnitetty, saamme laskemalla ( ( u A c dy = u A c dy = ua c = u(y) dy c A. Tiedämme, että A A joten saamme u(y) dy c = A = A A A A A A u(y) dy A A c = u(y) dy A A A dy c A u(y) dy A c dy = (u(y) c) dy, A u(y) dy c = A 5 A A A (u(y) c) dy.

18 Viemällä itseisarvon integraalin sisään voimme kirjoittaa (u(y) c) dy A / u(y) c dy. A A Hölderin eäyhtälön avulla, järjestelemällä sekä tiedon A nojalla saamme / A A Siis on voimassa (3.4) u(y) c dy / A ( = / A ( = A ( A u A c dy ( ( A u(y) c dy A u(y) c dy A ( ( Minkowskin eäyhtälön erusteella tiedämme, että ( u(y) u A dy = u(y) c dy A ( A u(y) c dy. A ( ( u(y) c dy. A ( ( (u(y) c) + (c u A ) dy ja käyttämällä edelliseen arviota (3.4) voimme kirjoittaa = ( ( u(y) c dy + ( u(y) c dy [ ( ) ] ( + A ) dy ( u(y) c dy + u A c dy, + ( A u A c dy u(y) c dy (. u(y) c dy 6

19 Koska joukko A on joukon osajoukko, ätee / A. Saamme siten arvion [ ( ) ] ( + 2. A A Olemme saaneet halutun eäyhtälön ( u(y) u A dy ( ( 2 u(y) c dy. A Lemma 3.5. Olkoon ja 2 rajoitettuja avaruuden R n alueita siten, että 2. Jos Poincarén eäyhtälö (.), kun <, on voimassa alueissa ja 2 vakioin κ( i ), i =, 2, niin se on voimassa myös yhdisteessä 2 vakiolla 4 ( ) κ( 2 ) = 2 / κ( ) + 2 κ(2 ). Todistus. Lemman 3.3 erustella voimme arvioida ensin ( 2 u(y) u 2 dy ( ( 2 2 u(y) u 2 2 dy 2 ( = 2 u(y) u 2 dy. 2 Korottamalla nyt edellä lasketun arvion uolitain otenssiin saamme (3.6) u(y) u 2 dy 2 2 u(y) u 2 dy. 2 Voimme hajottaa integraalin kahteen osaan u(y) u 2 dy 2 u(y) u 2 dy + u(y) u 2 dy. 2 Arvioimalla kahta jälkimmäistä integraalia Lemman 3.3 avulla, saamme u(y) u 2 dy 2 u(y) u dy 2 ja 2 u(y) u 2 dy u(y) u 2 dy.

20 Sijoittamalla edelliset arvioon (3.6) ja ottamalla yhteisen tekijän, saamme u(y) u 2 dy ( 2 ) 2 2 u(y) u dy u(y) u 2 dy 2 2 ( 2 = (2 ) 2 ) 2 u(y) u dy + 2 u(y) u 2 dy = i u(y) u i dy. 2 i i= Korottamalla ensin edellä lasketun ja sievennetyn arvion uolittain otenssiin /, arvioimalla ( + 2 / / + 2 / ja käyttämällä Poincarén eäyhtälöä molemiin integraaleihin, saamme = ( mikä todistaa väitteen. 4 2 / 4 2 / u(y) u 2 dy 2 2 ( i u(y) u i dy i= i 2 ( i κ(i ) u(y) dy i 4 2 / i= 2 i= ( ) ( i κ(i ) u(y) dy, 2 8

21 Luku 4 Poincarén eäyhtälö tähtimäisessä alueessa Tässä luvussa todistamme Poincarén eäyhtälön (.) voimassaolon isteen suhteen tähtimäisissä alueissa eksonenteilla < <. Määritelmä 4.. Rajoitettua aluetta kutsutaan tähtimäiseksi isteen x 0 suhteen, mikäli jokainen isteestä x 0 lähtevä säde leikkaa alueen reunan täsmälleen yhdessä isteessä. Käytämme seuraavia merkintöjä tuloksen todistuksessa: l = min{ x 0 q q }, L = max{ x 0 x x } sekä = n (x 0, ). Käsittelyn helottamiseksi oletamme isteen x 0 origoksi, x 0 = 0. Aluksi todistamme tareellisen aulauseen. Lemma 4.2. Jos, niin jonolle (a j ), missä a j 0 jokaisella indeksillä j N \ {0}, ätee ( k ) k a j k a j. Todistus. Käyttämällä Hölderin eäyhtälöä jonoille saamme j= ( k k (a j ) j= = j= ( k j= a j a j 9 j= ( k j= k. )

22 Väitteen eäyhtälö seuraa korottomalla edellinen arvio uolittain otenssiin. Kuva 4.: Pisteen x 0 suhteen tähtimäinen alue. Seuraavan aulauseen todistuksen jätämme sen laajuuden vuoksi käsittelemättä. Todistus löytyy esimerkiksi kirjan [8] sivulta 36. Lemma 4.3. Olkoon = n (0, r) avaruuden R n allo, u: R, u C () sekä < <. Tällöin on olemassa luvuista n, ja r riiuva vakio c(n,, r) siten, että u L ( ) c(n,, r) ( u L () + u L ()). 20

23 Lause 4.4. Jos rajoitettu alue on isteen x 0 suhteen tähtimäinen, on Poincarén eäyhtälö (.) jokaisella < < siinä voimassa Poincarén vakiolla κ, joka riiuu vain luvuista n,, l ja L. Todistus. Meidän on osoitettava, että eäyhtälö (4.5) u(x) u dx κ u(x) dx on voimassa, kun vakio κ riiuu vain luvuista n,, l ja L. Aluksi muokkaamme eäyhtälön (4.5) vasemman uolen Minkowskin eäyhtälön ja Hölderin eäyhtälön avulla kolmeksi integraaliksi, joita saamme arvioitua laskemalla sekä edellisen luvun tuloksen avulla. Lemman 3.3 nojalla saamme (4.6) u(x) u dx 2 joten voimme tarkastella integraalia u(x) u dx. u(x) u dx, Ensiksi kirjoittamalla auki, järjestelemällä ja viemällä itseisarvomerkit integraalin sisään saamme u(x) u dx = u(x) u(y) dy dx = u(x) u(y) dy dx = u(x dy u(y) dy dx = u(x) dy u(y) dy dx = (u(x) u(y)) dy dx ( u(x) u(y) dy) dx. Siis ätee (4.7) u(x) u dx ( u(x) u(y) dy) dx. 2

24 Eäyhtälön (4.7) oikean uolen sisimmäistä integraalia voimme arvioida Hölderin eäyhtälöllä muotoon u(x) u(y) dy = ( ( ( u(x) u(y) dy u(x) u(y) dy. ) dy Sijoittamalla tämän eäyhtälöön (4.7) saamme u(x) u dx ( ( ) ) u(x) u(y) dy dx = u(x) u(y) dy dx (4.8) = u(x) u(y) dy dx = u(x) u(y) dy dx. Tämän kaksinkertaisen integraalin käsittelemme kahdessa osassa. Voimme ilkkoa viimeisen integraalin käsittelyn alloon sekä sen ulkouolelle joukkoon \ summaamalla u(x) u(y) dy dx (4.9) = u(x) u(y) dy dx + u(x) u(y) dy dx. Arvioidaan ensin integraalia allossa. Minkowskin eäyhtälön sekä Lemman 4.2 nojalla saamme kaikilla x, y arvion \ u(x) u(y) = u(x) u + u u(y) ( u(x) u + u u(y) ) 2 ( u(x) u + u(y) u ). 22

25 Edellisen arvion avulla sekä järjestelemällä termejä uudelleen saamme u(x) u(y) dy dx ( ) 2 u(x) u dy dx + u(y) u dy dx ( ) = 2 u(x) u dx dy + u(y) u dy dx ) = 2 ( u(x) u dx + u(y) u dy ) = 2 (2 u(y) u dy = 2 u(y) u dy. Edellisen luvun Lauseessa 3.2 todistimme, että Poincarén eäyhtälö ätee konvekseissa alueissa. Koska allo on konveksi, on voimassa 2 u(y) u dy c (n, )l u(y) dy, missä c (n, ) on luvuista n ja riiuva vakio. Merkitsemme jäljemänä vastaavasti muita vakioita c i (n, ) indeksillä i N. Siis olemme osoittaneet, että (4.0) u(x) u(y) dy dx c (n, )l u(y) dy. Seuraavaksi käsittelemme integraalin allon ulkouolella u(x) u(y) dy dx. \ Samalla tavalla kuin edellä, saamme Minkowskin eäyhtälön sekä Lemman 4.2 nojalla arvion ( ) ( ) u(x) u(y) = l l u(x) u 2 x x + u 2 x x u + u u(y) ( ( ) l ( ) 3 u(x) u 2 x x + l ) u 2 x x u + u(y) u. 23

26 Nyt vastaavasti voimme ilkkoa integraalin kolmeen osaan ja saamme ( ( ) u(x) u(y) dy dx 3 l u(x) u \ \ 2 x x dy dx ( ) + l u \ 2 x x u dy dx ) + u u(y) dy dx \ ( ) = 3 ( l u(x) u \ 2 x x dx ( ) + l u \ 2 x x u dx ) + \ u(y) u dy. Käsittelemme saadut kolme integraalia erikseen. Merkitsemme integraaleja ( ) I = l u(x) u \ 2 x x dx, ( ) I 2 = l u \ 2 x x u dx ja I 3 = u(y) u dy. Viimeisin integraali I 3 on heloin. Koska allo on konveksi, voimme edellisen luvun erusteella arvioida u(y) u dy c 2 (n, )l u(y) dy. Käsitellään seuraavaksi ensimmäinen integraali I. Käsittelyn mahdollistamiseksi tehdään muuttujanvaihto allokoordinaatteihin. Käymme ensin läi tarvittavia merkintöjä. Olkoot iste yksikköallon kuorella θ S n (0, ), z yksikäsitteinen iste säteen tθ, missä t 0, ja reunan leikkauksessa sekä R(θ) = z tämän leikkausisteen etäisyys origosta (x 0 = 0). Koska olemme allon ulkouolella integroimme etäisyyden suhteen välillä [, R(θ)]. Muunnoksen avulla voimme kirjoittaa ( ) l u(x) u \ 2 x x dx (4.) R(θ) ( ) = l u(r, θ) u 2, θ r n dr dm n (θ). S n (0,) 24

27 Analyysin eruslause antaa u(r, θ) u ( ) l r 2, θ = α u(α, θ) dα, ja edelleen Hölderin eäyhtälön avulla voimme arvioida r α u(α, θ) dα = ( r ( r α u(α, θ) dα α u(α, θ) dα ( r ( r l 2 ) ) dα. Edellisten avulla saamme (4.2) R(θ) R(θ) ( ) l u(r, θ) u 2, θ r n dr ( r l ) r 2 Määritelmistä seuraavat suoraan eäyhtälöt α u(α, θ) r n dα dr. l 2 r R(θ) L ja l 2 α r. Arvioidaan nyt (r ) r ja viedään termi integraalin sisään, jolloin saamme (4.3) R(θ) R(θ) r ( r l ) r 2 α u(α, θ) r n dα dr α u(α, θ) r +n dα dr. Arvioimalla ylösäin, vaihtamalla integrointijärjestystä sekä integroimalla muuttujan r suhteen saamme R(θ) r α u(α, θ) r +n dα dr = R(θ) R(θ) L+n + n R(θ) α u(α, θ) r +n dr dα α u(α, θ) dα, 25

28 ja edelleen sijoittamalla integroitavaan tulontekijäksi = α n /α n ja arvioimalla ( ) n α 2 n () = n l sekä α u(α, θ) u(α, θ) saamme (4.4) L +n + n L+n + n R(θ) ( 2 l α u(α, θ) dα ) n R(θ) u(α, θ) α n dα. Tehdään muuttujanvaihdos takaisin ja yhdistetään vakio, jolloin kokoamalla yhteen arviot (4.), (4.2), (4.3) ja (4.4) saamme tarvittavan eäyhtälön ( ) l u(x) u 2 x x dx c 3 (n,, l, L) u(x) dx. \ Arvioidaan louksi toinen integraali I 2. Aluksi merkitsemme alueen yli integroinnin allokuoren S n (0, r) sekä etäisyyden r suhteen integrointina sekä kasvatamme etäisyyden ylärajan suurimmaksi mahdolliseksi. Voimme siten kirjoittaa ( ) l L ( ) u 2 x x u dx l u 2 x x u dm n (x) dr. \ S n (0,r) Kun vaihdamme integrointimuuttujan, saamme L ( ) l u S n (0,r) 2 x x u dm n (x) dr L = u(z) u r n () dm n (z) dr. n S n (0,) Integroidaan jälkimmäinen termi muuttujan r suhteen, jolloin saamme L \ r n () n dr = 2n L n l n 2nl n. Voimme siten kirjoittaa integraalin muodossa L u(z) u r n S n (0,) () dm n (z) dr n = 2n L n l n u(z) u 2nl n dm n (z). S n (0,) 26

29 Lemman 4.3 erusteella sekä yhdistelemällä vakioita saamme 2 n L n l n u(z) u 2nl n dm n (z) S n (0,) c 4 (n,, l, L) u(y) u dy + l u(y) dy. l Ensimmäisen integraalin voimme arvioida edellisen luvun Lauseen 3.2 erusteella u(y) u dy c 5 (n, )l u(y) dy, l joten yhdistämällä vakiot saamme integraalille I 2 soivan arvion ( ) l u 2 x x u dx c 6 (n,, l, L) u(y) dy. \ Nyt yhdistämällä integraalien I, I 2 ja I 3 arviot sekä vakiot saamme u(x) u(y) dy dx 3 ( c 3 (n,, l, L) u(x) dx \ \ + c 6 (n,, l, L) u(x) dx (4.5) ) + \ c 2 (n, )l u(x) dx = c 7 (n,, l, L) u(x) dx. Edellä laskemiemme arvioiden (4.0) ja (4.5) avulla saamme integraalien summalle (4.9) arvion u(x) u(y) dy dx c 8 (n,, l, L) u(x) dx. Nyt sijoittamalla tämä arvioon (4.8) ja edelleen arvioon (4.6), saamme u(x) u dx κ u(x) dx, ja väite on näin todistettu. 27

30 Luku 5 Huoneita ja käytäviä Tässä luvussa esittelemme avaruuden R n alueen, joka muodostuu eräkkäisistä kuutioista ( huoneet ) ja niiden välisistä käytävistä. Tämän jälkeen konstruoimme esimerkkifunktion, jonka avulla osoitamme, että Poincarén (, )-eäyhtälö (5.) ( u(y) u dy κ u(y) dy ei ole voimassa esitellyssä alueessa, mikäli eksonentti > on kyllin ieni. Tästä saamme seurauksena, että klassinen Poincarén eäyhtälö (.) ei myöskään ole voimassa tässä alueessa. Luvussa esitetyt esimerkki sekä todistukset ohjautuvat artikkeliin [4]. Aloitamme konstruoimalla huoneita ja käytäviä -alueen. Määritelmä 5.2. Olkoot reaaliluvut M > ja a >. Asetetaan luku d k = k i= M i ja d 0 = 0. Määritellään n-kuutio joukkona 2i = (d 2i 2, d 2i ) ( 2 M (2i ), 2 ) n M (2i ) ja kahden kuution välinen käytävä joukkona P 2i = [d 2i, d 2i ] ( 2 M 2ai, 2 M 2ai ) n. Yhdistämällä n-kuutiot ja käytävät saamme halutun alueen G = ( 2i P 2i ). i= 28

31 Esimerkki 5.3. Hahmotellaan alue G tasossa R 2 taauksessa M = a = 2. Tällöin geometrisen summakaavan avulla luvulle d k saamme esityksen d k = Kuutiot ovat siis tason neliöitä ja käytävät tason suorakulmioita k i= 2 i = 2 k 2 = 2 k. 2i = ( 2 (2i 2), 2 (2i )) P 2i = [ 2 (2i ), 2 2i] ( ) 2, 2i 2 2i ( ) 2,. 4i+ 2 4i+ Kuutioita ja käytäviä muodostuu siis seuraavasti: ( = 0, ) ( 2 4, ) 4 [ P 2 = 2, 3 ] ( 4 32, ) 32 ( 3 3 = 4, 7 ) ( 8 6, ) 6 [ 7 P 4 = 8, 5 ] ( ) 6 52, 52 Taaus on esitetty Kuvassa 5.. Huomautus 5.4. Alue G ei ole konveksi joukko.. Lause 5.5. Poincarén (, )-eäyhtälö (5.) ei ole voimassa alueessa G, jos (a(n ) + ). n + Todistus. Laajennetaan aluetta G käsittelyä varten. Peilataan alue G tason x = 0 suhteen ja merkitään tätä aluetta G. Määritellään lisäksi joukko ( G 2 = 2 M, ) n 2 M. 29

32 Kuva 5.: Huoneita ja käytäviä. Kuva on muokattu versio julkaisun [4] kuvasta. Osoitetaan väite ensin oikeaksi laajennetussa alueessa G G G 2 muodostamalla esimerkkifunktio, joka ei toteuta (, )-eäyhtälöä eksonentille annetulla ehdolla. Tarkastellaan kiinnitettyä kuutiota k, k =, 3, 5,..., ja sen viereisiä käytäviä P k ja P k+. Määritellään funktiot u k kaavalla { M kn, kun x k u k (x) = 0, kun x G \ (P k k P k+ ). Funktiot u k määrittelevät jonon aloittain jatkuvia ja differentioituvia lineaarisia funktioita. Jatketaan funktiot u k muuttujan x suhteen arittomiksi funktioiksi, u k (x) = u k ( x), joukkoon G G G 2. Parittomuuden vuoksi on voimassa u G G G 2 = 0. Tiedämme, että (5.6) 2i dx = (d 2i d 2i 2 ) ( 2 M (2i ) ( 2 )) n M (2i ) = M (2i ) (M (2i )) n = M (2i )n. Tiedon 2i G, funktion u k määritelmän sekä laskun (5.6) erusteella saamme u 2i (x) dx 2 u 2i (x) dx G G G 2 (5.7) 2i = 2 M (2i )n dx = 2 M (2i )n M (2i )n = 2. 2i 30

33 Siis (, )-eäyhtälön (5.) vasen uoli on nyt vähintään 2, kun = G G G 2 kullakin u 2i (x), i =, 2, 3,.... Osoitetaan seuraavaksi, että samassa tilanteessa eäyhtälön (5.) oikea uoli ienenee mielivaltaisen ieneksi indeksin i kasvaessa. Funktio u 2i on vakio muualla kuin kiinnitetyn kuution 2i viereisissä käytävissä P 2i 2 ja P 2i sekä näiden eilikuvissa. Siksi kaikkialla muualla kuin näissä käytävissä on voimassa u 2i (x) = 0, joten myös laskettava integraali tuolloin on 0. Saamme eäyhtälön (5.) oikean uolen siten muotoon (5.8) u 2i (x) dx = 2 u 2i (x) dx + 2 u 2i (x) dx. G G G 2 P 2i 2 P 2i Käsittelemme integraalit erikseen. Funktion u k (x) lineaarisuuden nojalla tiedämme jokaiselle x P 2i, että u 2i (x) = M (2i )n M, (2i 2) ja siten ensimmäistä integraalia voimme arvioida ( ) M u 2i (x) (2i )n dx dx P 2i 2 P 2i 2 M (2i 2) ( ) M (2i )n = dx M (2i 2) P 2i 2 ( ) M (2i )n = M (2i 2) M (2i 2)a(n ), M (2i 2) jota edelleen sieventämällä saamme ( ) M (2i )n M (2i 2) M (2i 2)a(n ) M (2i 2) = M (2i )n+(2i 2) M (2i 2) (2i 2)a(n ) = M n+(2i 2)n+(2i 2) M (2i 2) (2i 2)a(n ) = M n M (2i 2)n+(2i 2) (2i 2) (2i 2)a(n ) = M n M (2i 2)[ n ++a(n )]. Vastaavasti saamme laskettua toisen käytävän P 2i integraalille ylärajan ( ) M u 2i (x) (2i )n dx M 2i M 2ia(n ) P 2i M 2i = M n M 2i[ n ++a(n )]. 3

34 Alkueräistä integraalia (5.8) saamme siis arvioitua (5.9) u 2i (x) P 2i 2 dx + u 2i (x) P 2i dx M n M (2i 2)[ n ++a(n )] + M n M 2i[ n ++a(n )]. Kun i ja n + + a(n ) > 0, eli kun < (a(n ) + ), n + arvion (5.9) yläraja ienenee mielivaltaisen ieneksi. Siis Poincarén (, )-eäyhtälön oikea uoli ienenee mielivaltaisen ieneksi indeksin i kasvaessa. Olemme nyt osoittaneet, että Poincarén (, )-eäyhtälö ei ole voimassa alueessa G G G 2, kun < (a(n ) + ). n + Tutkitaan vielä yhtäsuuruus. Olkoon Osoitetaan, että tällöin summafunktio = (a(n ) + ). n + v m (x) = m u 4k (x), k= kun m N, ei toteuta Poincarén (, )-eäyhtälöä alueessa G G G 2. Koska v m on ariton funktio, on sen integraalikeskiarvo nolla alueessa G G G 2. Havaitsemme, että funktiossa v m on m yhteenlaskettavaa funktiota u k. Siis tarkasteltavana on m kuutiota, joissa funktiot u k saavat nollasta oikkeavan arvon. Eäyhtälön (5.7) erusteella jokaisessa kuutiossa voimme arvioida integraalin arvoksi vähintään luvun yksi. Tällöin yhteensä m kuutiossa voimme arvioida v m (x) v G G G 2 dx v m (x) dx m. G G G 2 G Vastaavasti jokaisen kuution viereisissä käytävissä voimme arvioida funktion u 2i gragienttin integraalia eäyhtälön (5.9) avulla. Saamme siten integraalille arvion u 2i (x) dx c(, n). P 2i 2 P 2i 32

35 Kaikissa m eri kuution viereisissä käytävissä, ja siten koko joukossa G, saamme siten arvion v m (x) dx 2 v m (x) dx m c(, n). G G G 2 G Tällöin saamme osamääräälle alarajan G G G 2 v m (x) dx ( G G G2 v m(x) dx m c(, n), joka kasvaa rajatta, kun m. Siis Poincarén (, )-eäyhtälö ei ole voimassa. Olemme osoittaneet löytämällä esimerkkifunktiot, että Poincarén (, )-eäyhtälö (5.) ei ole voimassa alueessa G G G 2, kun (a(n ) + ). n + Koska eäyhtälö ei ole voimassa yhdisteessä G G G 2 ja eäyhtälö on voimassa kuutiossa G 2, niin Lemman 3.5 nojalla voimme äätellä, ettei se ole voimassa alueessa G eikä alueessa G, ja väite on näin todistettu. Korollaari 5.0. Poincarén eäyhtälö (.) ei ole voimassa alueessa G, kun (a(n ) + ). n + Todistus. Osoitamme, että Poincarén eäyhtälö (.) ei ole voimassa alueessa G, koska Poincarén (, )-eäyhtälö (5.) ei ole siinä voimassa. Vastaavalla tavalla kuin aiemmin, saamme Hölderin eäyhtälön avulla arvion josta väite seuraa. G u(y) u G dy G ( u(y) u G dy G, 33

36 Kirjallisuutta [] Richard Courant ja avid Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Vol. II, Sringer, erlin, 937. [2] Lawrence C. Evans: Partial ifferential Equations, American Mathematical Society, Providence RI, 998. [3] avid Gilbarg ja Neil Trudinger: Ellitic Partial ifferential Equations of Second Order, Sringer-Verlag erlin Heidelberg, 977. [4] Petteri Harjulehto ja Ritva Hurri-Syrjänen: On a (q, )-Poincaré inequality, J. Math. Anal. Al. (337), 2008, [5] Ritva Hurri: Poincaré domains in R n, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. Math. iss. (7), Helsinki, 988. [6] Ilkka Holoainen: Mitta ja integraali luentomuistiinanot, Helsingin ylioisto, [7] Ilkka Holoainen: Reaalianalyysi I luentomuistiinanot, Helsingin ylioisto, 202. [8] Alois Kufner, Oldřich John ja Svatoluk Fučík: Function Saces, Noordhoff International Publishing. A division of A. W. Sijthoff International Publishin Comany. V., Leyden. Academia, Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Prague, 977. [9] Jan Malý ja William P. Ziemer: Fine Regularity of Solutions of Ellitic Partial ifferential Equations, American Mathematical Society, Providence RI, 997. [0] Olli Martio: Vektorianalyysi, Limes, Helsinki, 2004 [] ragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities, Sringer-Verlag, erlin Heidelberg, 970. [2] Otto Nikodým: Sur une classe de fonctions considérées dans le robléme de irichlet, Fundam. Math. (2), 933,