11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä

Transkriptio

1 . Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja u = g reunalla, Dirichlet n Poissonin tehtäväksi. Tässä R n on alue ja f : R, g : R ovat annettuja funktioita. Vastaavasti, reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja n u = g reunalla, kutsutaan Neumannin Poissonin tehtäväksi. 7 Harjoituksissa on nähty, että alueessa = R n \ {} Laplace-yhtälöllä on radiaalinen ratkaisu.) Γx) := log x, 2π kun n = 2, ja, kun n > 2. n 2) α n x n 2 Tätä ratkaisua kutsutaan Laplace-yhtälön perusratkaisuksi tai Newtonin potentiaaliksi). Tässä α n on pallonkuoren S n pinta-ala, α n = nω n, kun ω n on R n :n yksikköpallon tilavuus. Suoralla laskulla saadaan.2) Γ x j x) = α n x j x n, 2 Γ x j x k x) = α n x 2 δ j,k nx j x k ) x n 2. Näistä saadaan seuraavat arviot Γ x) x n, x j α n.3) 2 Γ x) x n. x j x k ω n Koska Γ on harmoninen alueessa R n \{}, niin kaikille y R n funktio x Γx y) on harmoninen alueessa R n \ {y}. Tästä voisi päätyä ajatukseen, että myös tällaisten 6 Viimeksi muutettu Robinin Poissonin tehtäväksi kutsutaan Laplace yhtälöön liittyvää reuna-arvotehtävää, missä reunaehtona on n u + ku = gx). Tässä k on positiivinen vakio. Yleisempi ongelma on ns. kolmas reuna-arvotehtävä, missä reunaehtona on ax) n u + bx)u = gx). Tässä a ja b ovat reunalla annettuna funktiota. Vielä yleisempi on ns. vino reuna-arvotehtävä, missä reunaehtona on ax) u + bx)u = gx). Tässä a ja b ovat reunalla annettuna funktiota. Huomaa, että suuntaisderivaattana on nyt ax) u, eikä normaalin suuntainen n u = nx) u. 78

2 funktioiden lineaarikombinaatio.4) ux) := Γx y)fy) dy R n. POISSONIN YHTÄLÖ 79 olisi harmoninen R n :ssä, kun f : R n R on annettu funktio. Näin ei kuitenkaan ole. Olkoon R n alue. Kun f : R on jatkuva funktio, niin merkitään supp f = {x fx) }. Joukko supp f on funktion f kantaja. Funktion kantaja on siis suppein :n suljettu osajoukko, jonka ulkopuolella funktio häviää. Merkitään C k c ) = {f C k ) supp f on :n kompakti osajoukko.} Lause.. Olkoot f Cc 2 R n ) ja u: R n R, ux) = Γx y)fy) dy. R n Tällöin u C 2 R n ) ja u = f R n :ssä. Todistus. On helppo nähdä, että u on hyvinmääritelty, t.s. että integraali suppenee itseisesti kaikille x R n funktio f häviää kompaktin joukon ulkopuolella, ja Γ:n singulariteetit ovat helppoja ; tämän voi todeta esim. x-keskisten pallokoordinaattien avulla). Muuttujanvaihdolla saadaan ux) = Γx y)fy) dy = Γy)fx y) dy. R n R n Merkitään lyhyesti B, r) =: B r, kun r >. Oletuksen mukaan f:n osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja kompaktikantajaisia, joten u:n integraali lasketaan vain kompaktin joukon yli. Derivointilemman perusteella u:n osoittaisderivaatat voidaan laskea integraalin sisällä. Tarkemmin: Olkoot K = supp f ja R > sekä x B R. Koska kuvaus x, z) x z on jatkuva ja K B R kompakti, on sen kuvajoukko K B =: K R kompakti. Kun x B R, on fx y) = kaikille y K R. Siis ux) = Γy)fx y) dy. K R Koska Γ on integroituva joukossa K R ja sekä fx y) että f x j x y) ovat jatkuvia ja rajoitettuja joukossa K R, voidaan derivointi- ja jatkuvuuslemmoja soveltaa. Niiden perusteella u x) = Γy) f x y) dy x j K R x j kaikille x B R, ja kyseinen derivaatta on jatkuva pallossa B R. Toisten derivaattojen olemassaolo ja jatkuvuus seuraa vastaavasti.

3 . POISSONIN YHTÄLÖ 8 Olkoon x R n. Lasketaan ux) seuraavasti: Olkoon ε >. Jaetaan u:n määrittelevä integraali osiin ux) = Γy)fx y) dy + Γy)fx y) dy. R n \ Edellisen nojalla ux) = Γy) fx y) dy + Γy) fx y) dy =: I ε + J ε. R n \ Integraalille I ε on I ε max fz) Γy) dy. z R n Jos n = 2, saadaan napakoordinaattien avulla kun < ε < ) Γy) dy = 2π ε Jos n > 2, saadaan pallokoordinaattien avulla Siis Γy) dy = nα n ε 2π log r) r dr = 4 ε2 2 ε2 log ε. n 2)α n r 2 n r n dr = I ε, kun ε. n 2n 2) ε2. Valitaan R niin suureksi, että fx y) = kaikille y B R. Tällöin J ε = Γy) fx y) dy = Γy) y fx y)) dy. B R \ B R \ Osittaisintegroinnilla eli divergenssilauseen avulla) saadaan J ε = Γy) y fx y)) dy + Γy) ν fx y)) dsy) =: K ε + L ε. B R \ Huomaa, että reunaintegraali B R... =, ja että divergenssilauseen mukaan reunainteraaliin jää funktion y fx y) derivaatta ν fx y)) = νy) y fx y)) ulkonormaalin ν = νy) suuntaan. Pallonkuorten väliin jäävän alueen ulkonormaali pallonkuoren pisteissä on pallonkuoren sisänormaali νy) = y/ y = y/ε. Reunaintegraalille saadaan L ε sup fz) Γy) dsy). z R n Jos n = 2, on ja jos n > 2, on Γy) dsy) = 2πε 2π log ε = ε log ε, Γy) dsy) = α n ε n n 2)α n ε 2 n = n 2 ε.

4 . POISSONIN YHTÄLÖ 8 Siis L ε = Γy) ν fx y)) dsy), kun ε. Seuraavaksi käytetään osittaisintegrointia tässäkin reunaintegraali B R... = ) K ε = Γy) y fx y)) dy B R \B ε = Γy)fx y) dy ν Γy) fx y) dsy). B R \ Tässä Γy) = kaikille y B R \, joten ensimmäinen integraali häviää. Jälkimmäisessä integraalissa on νy) = y/ y = y/ε renkaan ulkonormaali!), joten kaavojen.2) nojalla ν Γy) = y α n y y y = n α n y = n α n ε. n Integraalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa y siten, että ν Γy) fx y) dsy) = fx y) dsy) = fx y ). α n ε n Kun ε, on fx y ) fx), joten K ε = n Γy) fx y) dsy) fx). Koska ux) = I ε + J ε = I ε + K ε + L ε fx), seuraa väite. Huomautus.2. Edellisen lauseen todistuksesta, kohdasta ux) = =: I ε + J ε eteenpäin, voidaan lukea seuraava tulos aseta x = ja f y) = ϕy)): kaikille ϕ Cc 2 R n ) on voimassa Γy) ϕy) dy = ϕ). R n Distribuutioteoriassa lokaalisti integroituva funktio g L loc Rn ) samastetaan lineaarikuvauksen ϕ g, ϕ := gy)ϕy) dy, Cc R n ) R, R n kanssa, ja g:n distribuutioderivaataksi D j g määritellään lineaarikuvaus Cc R n ) R, ϕ D j g, ϕ := gy) ϕ y) dy. R x n j Erityisesti, distribuutiomielessä g on lineaarikuvaus Cc R n ) R, ϕ g, ϕ := gy) ϕy) dy. R n Lineaarikuvaus ϕ ϕ) voidaan tulkita pisteeseen x = keskittyneeksi Diracin mitaksi δ, koska ϕy) dδ = ϕ). Siis R n Γy) ϕy) dy = ϕ) = ϕy) dδ =: δ, ϕ, R n R n

5 . POISSONIN YHTÄLÖ 82 eli Γ, ϕ = δ, ϕ kaikille ϕ Cc R n ). Distribuutioina eli lineaarikuvauksina Cc R n ) R) on siis Γ = δ..2. Stokesin kaava. Lauseen. todistusta mukaillen saadaan esitys harmoniselle funktiolle sen reuna-arvojen ja normaaliderivaatan avulla. Olkoon R n niin sileä alue, että divergenssilause pätee: Kun F j C D), j =,..., n, ja F = F,..., F n ), niin.) div F dx = F ν ds, missä ν = νx) on reunan yksikköulkonormaali pisteessä x. Divergenssilauseen seurauksena saatiin Greenin ensimmäinen kaava.2) f g dx = f ν g ds f g dx, f C D), g C 2 D), D ja toinen kaava.3) D D f g g f ) dx = D D f ν g g ν f ) ds, f, g C 2 D). Olkoot u C 2 ), x ja ε > niin pieni, että pallon = Bx, ε) sulkeuma sisältyy joukkoon. Sovelletaan Greenin toista kaavaa alueeseen D = \ ja funktioihin fy) = uy) ja gy) = Γy x). Koska y Γy x) on harmoninen alueessa \ {x}, on g =. Siis Γy x) uy) dy = uy) ν Γy x) Γy x) ν uy) ) dsy). D D Kuten lauseen. todistuksessa Γy x) uy) dy sup uy) Γx y) dy, y missä Γy x) dy = 4 ε2 2 ε2 log ε, kun n = 2, ja Γy x) dy = n 2n 2) ε2, kun n > 2. Jaetaan reunaintegraali osiin = + D, ja arvioidaan jälkimmäistä. Tässä Γy x) ν uy) dsy) sup uy) Γy x) dsy), y missä Γy x) dsy) = ε log ε, kun n = 2, ja B ε Γy x) dsy) = ε, kun n > 2. n 2

6 Integraalissa ν Γy x) uy) dsy) on νy) = y x)/ y x ja joten. POISSONIN YHTÄLÖ 83 ν Γy x) = α n y x n = α n ε n, ν Γy x) uy) dsy) = α n ε n uy) dsy) ux), kun ε. Kun kaikki termit sijoitetaan paikoilleen kaavaan.3), saadaan Γy x) uy) dy + Γy x) uy) dy B ε = uy) ν Γy x) Γy x) ν uy) ) dsy) + ν Γy x) uy) dsy) Γy x) ν uy) dsy) Kun ε, päädytään Stokesin kaavaan tai Greenin esityskaavaan).5) ux) = uy) ν Γy x) ν uy) Γy x) ) dsy) + Γy x) uy) dy. Jos funktio u on kompaktikantajainen, saa Stokesin kaava muodon ux) = Γy x) uy) dy. Jos taas funktio u on harmoninen, saadaan Stokesin kaavasta funktiolle u esitys sen reuna-arvojen ja normaalliderivaatan arvojen avulla: ux) = uy) ν Γy x) ν uy) Γy x) ) dsy). Tässä yhteydessä on hyvä muistaa, että maksimiperiaatteiden seurauksena ainakin rajoitetussa alueessa) harmoninen funktio määräytyy yksikäsitteisesti jo reunaarvoistaan, joten tämä Stokesin kaavan mukainen esitys on ylimäärätty..3. Greenin funktio. Tarkastellaan yksiulotteista Dirichlet n Poissonin tehtävää { v x) = fx) välillä π, π), ja v) = vπ) =. Homogeenisen yhtälön v = yleinen ratkaisu on vx) = c + c 2 x, joten yhtälön perusjärjestelmäksi käy v x) =, v 2 x) = x. Vakion varioinnilla voidaan yhtälölle v x) = fx) löytää erikoisratkaisu v x) = x s x)fs) ds. Epäomogeenisen yhtälön v = f yleinen ratkaisu on siis vx) = c + c 2 x + x s x)fs) ds.

7 Reunaehtot toteuttavalle ratkaisulle on Siis vx) = = = π x π. POISSONIN YHTÄLÖ 84 c = ja c 2 = π x π π s)fs) ds. xπ s) fs) ds + s x)fs) ds π xπ s) ) π + s x) fs) ds + π Gs, x)fs) ds, missä sπ x) kun s x, ja Gs, x) = π xπ s) kun s x. π Funktiota G kutsutaan välin, π) Greenin funktioksi. x xπ s) fs) ds π Olkoon R n niin sileä, rajoitettu alue, että divergenssilause pätee. Olkoot u, h C 2 ). Oletetaan, että h on harmoninen :ssa. Greenin toisen kaavan.3) nojalla hy) uy) dy = hy) ν uy) uy) ν hy) ) dsy). Kiinnitetään x, ja esitetään u Stokesin kaavan.5) mukaisesti. Tällöin ux) = uy) ν Γy x) ν uy) Γy x) ) dsy) + Γy x) uy) dy + hy) ν uy) + uy) ν hy) ) dsy) + hy) uy) dy = uy) ν Γy x) + ν hy)) ν uy) Γy x) + hy)) ) dsy) + Γy x) + hy)) uy) dy = uy) ν Gy, x) ν uy) Gy, x) ) dsy) + Gy, x) uy) dy, missä Gy, x) = Γy x) + hy). Jos lisäksi on Gy, x) = kaikille y, niin ux) = uy) ν Gy, x) dsy) + Gy, x) uy) dy. Erityisesti, jos u on Dirichlet n Poissonin tehtävän { u = f :ssa, ja ratkaisu, niin.6) ux) = u = g reunalla, gy) ν Gy, x) dsy) + Gy, x) fy) dy.

8 . POISSONIN YHTÄLÖ 85 Tässä esiintyvää funktiota G kutsutaan alueen Greenin funktioksi. 8 Maksimiperiaatteen perusteella Greenin funktio määräytyy yksikäsitteisesti seuraavista ehdoista: a) Gy, x) on määritelty joukon osajoukossa y x; b) jokaiselle x funktio y Gy, x) Γy x) on harmoninen :ssa ja jatkuva :ssa; c) kaikille x ja y on Gy, x) =. Alueen Greenin funktio löydetään siis ratkaisemalla jokaiselle x seuraava Dirichlet n tehtävä { u = :ssa, ja u = g reunalla, missä gy) = Γy, x). Greenin funktio on tällöin uy) + Γy, x). Kaikille rajoitetuille alueille Greenin funktiota ei ole olemassa. Jos alueen reuna on riittävän sileä, niin Greenin funktio on olemassa. Ks. esim. [7, 4.9] n = 2; todistus Hahnin ja Banachin lauseen avulla!), tai [4], missä käydään ensin läpi Sobolevin avaruuksien teoriaa ja elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaoloja säännöllisyysteoriaa varsin laajasti. Esimerkki.3. Tarkastellaan origokeskistä R-säteistä palloa B R = B, R) R n. Asetetaan jokaiselle x R n \ {} x = R2 x 2 x. Kuvaus x x on peilaus tai inversio) pallonkuoren B R suhteen. Peilaukselle on voimassa x = R 2 / x, joten x B R \ {} x R n \ B R. Suoralla laskulla nähdään, että kun x B R \ {} ja y B R, niin.7) y x = R x y x. Kun x, on x. On helppo todeta, että kun x, kaavan.7) molemmat puolet lähestyvät arvoa R. Funktio y Γy x ) on harmoninen joukossa R n \ {x }. Siis, kaikille x B R, x, funktio y Φy, x) on harmoninen pallossa B R, kun Φy, x) := 2π log x R n 2) α n x ) R y x, kun n = 2, ja ) n 2, kun n > 2. y x n 2 8 Greenin funktio on peräisin George Greeniltä. Vielä keväällä 26 Greenin vuoden 828 artikkeli An Essay on the Applications of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism vrt. kuva 7) oli saatavana verkko-osoitteesta mutta ei enää marraskuussa 26. Green kustansi julkaisemisen itse... because he thought it would be presumptuous for a person like himself, with no formal education in mathematics, to submit the paper to an established journal. Julkaisulle oli hankittu 5 ennakkotilaajaa, joiden nimet on listattu esipuheen jälkeisellä sivulla, piirikunnan herttuan lisäksi, His Grace Henry Duke of Newcastle, K. G. Wikipediassa

9 . POISSONIN YHTÄLÖ 86 Kuva 7

10 . POISSONIN YHTÄLÖ 87 Asetetaan lisäksi Φy, ) := ΓR). Kaavan.7) nojalla on kaikille y B R ja x R n \ {} on Φy, x) = Γy, x). Edellä olleen perusteella pallon B R Greenin funktio on siis Gy, x) = Φy, x) + Γy x), eli.8) Gy, x) = x log y x log 2π n 2) α n )) R y x, kun n = 2, ja R y x + n 2 x ) n 2 y x n 2 ), kun n > 2. Pienen laskemisen jälkeen Greenin funktion normaaliderivaatalle P y, x) := νy) Gy, x) = y Gy, x) νy) saadaan.9) P y, x) = R2 x 2 α n R y x n. Kun tämä yhdistetään kaavaan.6), päädytään funktion u Poissonin integraaliin.