Talousmatematiikka (3 op)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Talousmatematiikka (3 op)"

Transkriptio

1 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011

2 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu Työhuone M231 Kurssin kotisivu tvedenju/talousmatematiikka/ Luennot salissa L7 Laskariryhmät: ma 8-10 M101 ti KO143 pe BK122 2 / 117

3 Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 3 / 117

4 Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 2 Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. 4 / 117

5 Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 2 Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. 3 Laskuharjoituspisteitä saa seuraavan taulukon mukaisesti: Harjoituspisteet Tehdyt tehtävät Pisteet alle 25% 0 p. 25%-50% 1 p. 50%-75% 2 p. yli 75% 4 p. 5 / 117

6 Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosenttilaskua 2 Yksinkertainen korkolasku 3 Diskonttaus 4 Koronkorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Annuiteettiperiaate 9 Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta 10 Keskimaksuhetki ja Todellinen vuosikorko 11 Investointilaskelmia 6 / 117

7 Sisältö II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Indeksiluvun käsite 3 Kuluttajahintaindeksi 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 5 Indeksiluvun muodostaminen 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 8 Kokonaislukumallit 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 10 Fisherin indeksikriteerit 7 / 117

8 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. 8 / 117

9 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. 9 / 117

10 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! 10 / 117

11 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! d) Tee harjoitustehtäviä! 11 / 117

12 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? 12 / 117

13 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? 13 / 117

14 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? 14 / 117

15 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? 15 / 117

16 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? 16 / 117

17 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? f) Miten seurata erilaisten hyödykkeiden kulutuksen muutoksia? 17 / 117

18 KORKOLASKENTAA 18 / 117

19 Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. 19 / 117

20 Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. Jos luku a vähenee p%, niin uusi arvo on a p 100 a. 20 / 117

21 Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 21 / 117

22 Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 1500 e e = 1275 e (= 0, e) / 117

23 Prosenttilaskua Montako prosenttia luku a on luvusta b? p = a b 100% 23 / 117

24 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = / 117

25 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) % = 16, 7% (= 0, , 167) / 117

26 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) b) % = 16, 7% (= 0, , 167) % = 600% (= 6, 00) / 117

27 Prosenttilaskua Kuinka monta prosenttia p luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b? p = a b b 100% 27 / 117

28 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? 28 / 117

29 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 29 / 117

30 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% 30 / 117

31 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) = 0, / 117

32 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) = 0, 857 Vast. 85, 7% 32 / 117

33 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) = 0, 857 Vast. 85, 7% 33 / 117

34 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, / 117

35 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 35 / 117

36 Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? 36 / 117

37 Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = / 117

38 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) 38 / 117

39 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = / 117

40 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) 40 / 117

41 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 41 / 117

42 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 42 / 117

43 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = / 117

44 Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) 44 / 117

45 Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) x = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, / 117

46 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). 46 / 117

47 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. 47 / 117

48 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. Korkojakso Korkokanta 1 vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 48 / 117

49 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. 49 / 117

50 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 50 / 117

51 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Korko ajanhetkellä t on K t K 0 = K 0 it. 51 / 117

52 Yksinkertainen korkolasku Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, 52 / 117

53 Yksinkertainen korkolasku Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) 53 / 117

54 Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? 54 / 117

55 Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? Vastaus Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi kasvanut pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 55 / 117

56 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). 56 / 117

57 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. 57 / 117

58 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. 58 / 117

59 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) 59 / 117

60 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) = e (1 + 0, 06 1) = e 1, 06 = e 60 / 117

61 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 61 / 117

62 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = / 117

63 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) = e (1 + 0, 06 = e 8 12 ) 63 / 117

64 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: 64 / 117

65 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) = e 65 / 117

66 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) = e Realisoidaan korko pääomaan, jolloin K 2 = e (1 + 0, ) = e 66 / 117

67 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa t = ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) 67 / 117

68 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = K t = e (1 + 0, ) = e 68 / 117

69 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = K t = e (1 + 0, ) = e Huom. 30 e erotus c) kohtaan verrattuna. (Miksi?) 69 / 117

70 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? 70 / 117

71 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e 71 / 117

72 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) = e 72 / 117

73 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) = e 6 10 kk : K t = e(1 + 0, ) = e 73 / 117

74 Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan 74 / 117

75 Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e Huom. 30 e erotus b) kohtaan verrattuna. 75 / 117

76 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = / 117

77 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) 77 / 117

78 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K 0 78 / 117

79 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = / 117

80 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = i = = = 28% 80 / 117

81 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? 81 / 117

82 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 82 / 117

83 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 83 / 117

84 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, / 117

85 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 85 / 117

86 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika on 0, 8 12kk = 9, 6kk. 86 / 117

87 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. 87 / 117

88 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 88 / 117

89 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 89 / 117

90 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 90 / 117

91 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 91 / 117

92 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 92 / 117

93 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, / 117

94 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, / 117

95 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, / 117

96 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. 96 / 117

97 Diskonttaus Yksinkertaista korkolasku yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (2) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 97 / 117

98 Diskonttaus Yksinkertaista korkolasku yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Entä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? 98 / 117

99 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin 99 / 117

100 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 100 / 117

101 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. 101 / 117

102 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Diskonttaus on siis toimenpide, missä pääomaa siirretään ajassa taaksepäin. 102 / 117

103 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? 103 / 117

104 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) }{{} <0 104 / 117

105 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) }{{} <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t ( it ) 1 + it 105 / 117

106 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) }{{} <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. ( it ) 1 + it 106 / 117

107 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? 107 / 117

108 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. 108 / 117

109 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. 109 / 117

110 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. 110 / 117

111 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? 111 / 117

112 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = / 117

113 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten 113 / 117

114 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it 114 / 117

115 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, / 117

116 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, = e 1, 06 = e 116 / 117

117 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? 117 / 117

118 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. 118 / 117

119 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 119 / 117

120 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk 120 / 117

121 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, / 117

122 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, = e 1, 02 = 19607, 84 e 122 / 117

123 Diskonttaus 12kk 0kk 123 / 117

124 Diskonttaus 12kk 0kk K 0 = 19607, 84 e 1 + 0, / 117

125 Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e 125 / 117

126 Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Miten voit tarkistaa laskun?) 126 / 117

127 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. 127 / 117

128 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. 128 / 117

129 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. Diskontataan, jolloin K 0 = e 1 + 0, = e 129 / 117

130 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. 130 / 117

131 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 131 / 117

132 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Vekselidiskontto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) = K t it. 132 / 117

133 Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. 133 / 117

134 Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 ) = 9000 e 450 e = 8550 e / 117

135 Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. 135 / 117

136 Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. Käytetään virallista diskonttausta vekselidiskonttauksen sijaan. Tällöin 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e / 117

137 Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? 137 / 117

138 Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 138 / 117

139 Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? 139 / 117

140 Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 140 / 117

141 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). 141 / 117

142 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. 142 / 117

143 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. 143 / 117

144 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. 144 / 117

145 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. 145 / 117

146 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K / 117

147 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). 147 / 117

148 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) / 117

149 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. 149 / 117

150 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. Saadaan geometrinen jono (K j ) n j=1, missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 150 / 117

151 Koronkorko Koronkorko Pääoma n. korkojakson lopussa on K n = K 0 (1 + i) n, (5) missä K 0 on alkupääoma, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua.) 151 / 117

152 Koronkorko Jaksollinen diskonttaus Pääoman arvo alussa on K 0 = K n (1 + i) n, (6) missä K n on pääoman arvo lopussa, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Jaksojen lukumäärä Tästä voidaan selvittää myös jaksojen lukumäärä n: n = Kn ln K 0 ln(1 + i). (7) 152 / 117

153 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. 153 / 117

154 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. 154 / 117

155 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e 155 / 117

156 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. 156 / 117

157 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, = 1268 e 157 / 117

158 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. 158 / 117

159 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e 159 / 117

160 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. 160 / 117

161 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e 161 / 117

162 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? 162 / 117

163 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: 163 / 117

164 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 164 / 117

165 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 ) = 1290, 62 e / 117

166 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? 166 / 117

167 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. 167 / 117

168 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K / 117

169 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , / 117

170 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , 147 Haluttu korkokanta on siis 14, 7% pa. 170 / 117

171 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. 171 / 117

172 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , / 117

173 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , 071 Haluttu korkokanta on siis 7, 1% ps. 173 / 117

174 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? 174 / 117

175 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 175 / 117

176 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 176 / 117

177 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = / 117

178 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln / 117

179 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln / 117

180 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln , 024 ln 1, / 117

181 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln , 024 ln 1, 04 Tarvitaan siis vähintää 13 kokonaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Miten selvitetään tarkka aika? 181 / 117

182 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). 182 / 117

183 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) 183 / 117

184 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. 184 / 117

185 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. Relatiiviset korkokannat eivät anna siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 185 / 117

186 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). 186 / 117

187 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. 187 / 117

188 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) 188 / 117

189 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) Käyttäen jaksollista korkolaskua saadaan K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m j = (1 + i) q p 1 (10) 189 / 117

190 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. 190 / 117

191 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. 191 / 117

192 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivinen neljännesvuosikorkokanta on 3 0, 07 = 2, 10% / 117

193 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? 193 / 117

194 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. 194 / 117

195 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. Täten saadaan K 0 = K n (1 + i) n = e 1, = e. 195 / 117

196 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. 196 / 117

197 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 197 / 117

198 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) / 117

199 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% 199 / 117

200 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% Konforminen puolivuotiskorkokanta on siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivinen). 200 / 117

201 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? 201 / 117

202 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. 202 / 117

203 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Idea: lasketaan siis koronkorkoa mielivaltaisen pienellä korkojakson pituudella. 203 / 117

204 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 204 / 117

205 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 205 / 117

206 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 206 / 117

207 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 207 / 117

208 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaan (uusi korkojakso) = (aika) n = t (korkojakson pituus) n 208 / 117

209 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 209 / 117

210 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 210 / 117

211 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 211 / 117

212 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 4 Siis K (n) t = K 0 ( x ) x it. 212 / 117

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

Talousmatematiikka (4 op)

Talousmatematiikka (4 op) Talousmatematiikka (4 op) M. Nuortio, T. Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Talousmatematiikka 2012 Yhteystiedot: Matti Nuortio mnuortio@paju.oulu.fi Työhuone M225 Kurssin

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 9, syksy 2018 1. 1. Ratkaisutapa (Yksinkertainen korkolaskenta) Olkoon alkupääoma K 0 ja korkokanta i = 10% pa. Koska korkokanta on 10 % pa., niin pääoma kasvaa

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11

1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11 Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate........................

Lisätiedot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 5. harjoitus, viikko 7 11.02. 15.02.2019 R01 Ma 12 14 F453 R08 Ke 10 12 F453 R02 Ma 16 18 F453 L To 08 10 A202 R03 Ti 08 10 F425 R06 To 12 14 F140 R04

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 219 / orms.1 Talousmatematiikan perusteet 1. Laske integraalit a 6x 2 + 4x + dx, b 5. harjoitus, viikko 6 x + 1x 1dx, c xx 2 1 2 dx a termi kerrallaan kaavalla ax n dx a n+1 xn+1 +C. 6x 2 + 4x +

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT 9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 p% = b

Lisätiedot

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Kertausta Talousmatematiikan perusteista Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% =

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasan yliopisto, kevät 20 Talousmatematiikan perusteet, ORMS030 4. harjoitus, viikko 6 6.2. 0.2.20) R ma 2 4 F249 R5 ti 4 6 F453 R2 ma 4 6 F453 R6 to 2 4 F40 R3 ti 08 0 F425 R to 08 0 F425 R4 ti 2 4 F453

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Lukujonoista Miten jatkaisit seuraavia lukujonoja? 1, 3, 5, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8.1.2018 2

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 17.6.2015

YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 17.6.2015 1 YHTEENVETO LAINATARJOUKSISTA 17.6.2015 Danske Bank Oyj Kuntarahoitus Oyj Rantasalmen Osuuspankki Lainan määrä 1.000.000 euroa 1.000.000 euroa 1.000.000 euroa Laina-aika 10 vuotta 15 vuotta 15 vuotta

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Vuosi jaetaan

Lisätiedot

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA 4.12.2012 Sisällys Johdanto... 1 Aikaan liittyviä laskelmia... 1 Excelin rahoitusfunktioita... 2 Koronkorkolaskenta... 2 Jaksolliset suoritukset... 4 Luotot... 7

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 1 Kerrataan kaavoja s n;i = ((1 + i)n 1) i = prolongointitekijä a n;i = ((1 + i)n 1) i(1 + i) n = diskonttaustekijä c n;i = i(1 + i) n ((1 + i) n 1) = kuoletuskerroin

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Merkintöjä

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti

Lisätiedot

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä.

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä. Tämä Tili-ja kulutusluotot -aineisto on tarkoitettu täydentämään Liiketalouden matematiikka 2 kirjan sisältöä. 1 Sisällysluettelo TILI- JA KULUTUSLUOTOT...3 Esim. 1... 4 Esim. 2... 6 Esim. 3... 7 Esim.

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50

a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50 BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 1. välikoe tiistaina 29.1.2019 MALLIRATKAISUT Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukana laskin ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Kun teet tehtävän,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet Talousmatematiikan perusteet 1 Lukujonoista ja sarjoista, finanssimatematiikkaa 1.1 Suhteellinen muutos - kuinka moninkertainen jokin arvo on lähtöarvoon verrattuna Prosenttilaskennan kertausta 1. Yksi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Hank maksaa kunnallisveroa 22 % verotettavasta tulostaan eli 0,22 52 093,84 = 11 460,6448 11 460,64. Hank maksaa kunnallisveroa 11 460,64. Vastaus: 11 460,64 K2. Kimin maksaman

Lisätiedot

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2 BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa

Lisätiedot

INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO

INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO INVESTOINTILASKENTA JA PÄÄTÖKSENTEKO Investoinnin käsite Investointeina pidetään menoja, jotka ovat rahamäärältään suuria ja joissa tulon kertymisaika on pitkä (> 1 vuosi) Vaikutukset ulottuvat pitkälle

Lisätiedot

Korko Mela-laskelmissa

Korko Mela-laskelmissa juha.lappi.sjk@gmail.com Taksaattoriklubin kevätseminaari 9.4.09 Korko tule mukaan Mela-laskelmiin neljässä eri merkityksessä: Tavoitefunktion korkoprosentti Uudistamisen ja harvennusten läpimitta- ja

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa

Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa AB30A0101 Finanssi-investoinnit 4. harjoitukset 7.4.015 Tehtävä 4.1 45 päivän kuluttua erääntyvälle, nimellisarvoltaan 100 000 euron sijoitustodistukselle maksettava vuosikorko on 3,0 %. Jos viitekorko

Lisätiedot