Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto"

Transkriptio

1 Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN Päivitetty Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot - Luku 3 Ideksit - Luku 4 Yksikertaie korkolasku - Luku 5 Valuutat - Luku 6 Korokorkolasku - Luku 7 Jaksolliset suoritukset - Luku 8 Rahoitusmuodot - Luku 9 Ivestoitilaskelmat - Luku 10 Sijoittamie - Luku 11 Prosettilasku - Luku 12 Yhtälö Tehtävie ratkaisuihi liittyvät MS-Excel-tiedostot - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot - Luku 8 Rahoitusmuodot - Luku 9 Ivestoitilaskelmat - Luku 10 Sijoittamie Liike-elämä matematiikka -kirja (10., uudistettu paios 2014) tehtävie ratkaisut o laadittu opiskelija avuksi ja opettaja tueksi. Otamme mielellämme vastaa palautetta Liikeelämä matematiikka -kirjasta ja tehtävie ratkaisuista:

2 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 5/ Tapa 1: Yksikkökate o 20,00 7,50 = 12,50. 12,50 Katetuottoprosetti o 100 % = 62,5 %. 20,00 Kiiteät kustaukset ovat prosetteia (62,5 24) % = 38,5 %. Kiiteät kustaukset euroia ovat 0, = myytituotto = muuttuvat kustaukset 800 7,50 = katetuotto kiiteät kustaukset 0, = tulos Oletetaa, että myytimäärä ee muutoksia o 100 kpl. Tällöi myytituotto o = ja muuttuvat kustaukset ovat = Uusi myytihita o 0,9 100 /kpl = 90 /kpl. a) Jotta saavutetaa alu euro myytituotto, myytimäärä pitää olla ,1, jote myytimäärä tulee ousta prosetteia 11,1 % (= 111,1 100). 90 b) Tapa 1: Euromääräie katetuotto o ee muutoksia = ja uusi yksikkökate o = 10. Tällä yksikkökatteella pitää tuotteita myydä 2000 kpl = 200 kpl, jotta katetuotto olisi edellee Koska aluksi myytii 100 kpl ja myöhemmi 200 kpl, kasvu o oltava 100 % (= % ). 100 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

3 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 6/19 Merkitää uutta myytimäärää x:llä. Tällöi saadaa yhtälö 90x 80x = x = x = 2000 = Koska aluksi myytii 100 kpl ja myöhemmi 200 kpl, kasvu o oltava 100 %. 14. Muuttuvat yksikkökustaukset ovat 60 % eli 0,6 1,50 /kg = 0,90 /kg. Yksikkökate ( /kg) o 1,50 0,90 = 0,60. Ee muutoksia katetuotto o kg 0,60 /kg = 900. Muutoste jälkee uusi myytihita o 0,8 1,50 /kg = 1,20 /kg ja muuttuvat kustaukset eivät muutu, jote uusi yksikkökate ( /kg) o 1,20 0,90 = 0,30. a) Uusi katetuotto o (100 kg kg) 0,30 /kg = 750. Hiaaleus ei kaata, sillä katetuotto aleee = 150. b) Uusi katetuotto o kg 0,30 /kg = 900. Euromääräie katetuotto säilyy samaa. 15. Ku katetuotto o 66 /kpl, katetuottoprosetti o 25 %. Tällöi uusi myytihita o 66 /kpl 100 = 264 /kpl. 25 Muuttuvat kustaukset ovat 264 /kpl 66 /kpl = 198 /kpl. Koska muuttuvat kustaukset eivät muutu, alkuperäie katetuotto (30 %) o 198 /kpl 30 84,86 /kpl Tapa 1: Euromääräie katetuotto o ee muutoksia 500 kg (4 3) /kg = 500. Uusi uusi yksikkökate o 3,5 3 = 0,50. Tällä yksikkökatteella pitää tuotteita myydä 500 kg = kg, jotta katetuotto olisi edellee ,50 Koska aluksi myytii 500 kg ja myöhemmi kg, kasvu o oltava 100 % (= % ). 500 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

4 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 7/19 Merkitää uutta myytimäärää x:llä. Tällöi saadaa yhtälö 3,5x 3x = 500 0,5x = 500 x = 500 = ,5 Koska aluksi myytii 500 kg ja myöhemmi kg, kasvu o oltava 100 %. 17. Tapa 1: Urheiluosasto myytikate o 0, = Vapaa-aja osasto myytikate o 0, = Yhteesä myytikate o = Liikevaihto o = Keskimääräie myytikate prosetteia o % = 52,5 %. Suoraa paiotettua keskiarvoa: (0,6 0,7 + 0,35 0,3) 100 % = 52,5 %. Kriittie piste 18. % myytituotto % muuttuvat kustaukset = % = 58,3 % katetuotto = (100 58,3) % = 41,7 % kiiteät kustaukset ,7 % tulos 0 0 % Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

5 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 8/ % myytituotto = % 30 muuttuvat kustaukset = % katetuotto % kiiteät kustaukset % tulos 0 0 % 20. a) Yksikkökate o 0,40 0,12 = 0,28. Myytikate o ,28 = Tulos o = 525. b) Uusi myytikate o 0, ,28 = 840 Uusi tulos o = 35. Toimita ei ole kaattavaa. c) Tapa 1: Yksikkökate o 0,40 0,12 = 0,28. Tällä katteella o katettava kiiteät kustaukset 875, jote myytimäärä kriittisessä pisteessä o oltava 875 = kpl. 0,28 /kpl Merkitää kappalemäärää x:llä. Kriittisessä pisteessä tulos o olla, jote saadaa yhtälö 0,40x 0,12x 875 = 0 0,28x = 875 x = 875 = ,28 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

6 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 9 1 Luku 9 Ivestoitilaskelmat Peruskäsitteet 1. WACC = OP T OP + OP VP VP OP VP T VP (1 YV) = 20 % + 12 % (1 0,26) = 11,66 % WACC = 0,25 10 % + 0,35 12 % + 0,40 6 % (1 0,26) = 8,476 % Takaisimaksuaika 3. C 4. Nettotuotto vuodessa o = a) koroto takaisimaksuaika = vuotta = 5,5 vuotta b) Tapa 1: Diskottaamalla kuki vuode ettotuotot ja laskemalla iide kumulatiiviset arvot: Vuodet Kassavirta Diskotattu kassavirta Kumulatiivie diskotattu kassavirta Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

7 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 2/21 Ivestoiti maksaa itsesä takaisi 9 + ( ) / ,5 vuodessa. Ratkaisemalla yhtälö 1, ,12 0,12 1,12 1 1,12 0, ,12. 0, = (1,12 1) ,12. 0, , = ,12. (0, ) = ,12. ( 6 800) = ,12 2, log1,12 log1, log log log log1,12 9,5 Tapa 3: Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : 5. a) koroto takaisimaksuaika = vuotta = 7,5 vuotta 1200 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

8 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 3/21 b) Tapa 1: Ratkaisemalla yhtälö 1, ,12 0, , ,5 1,12 0, ,12. 0,12. 7,5 = 1,12 1 1,12. 0,12. 7,5 1,12 = 1 1,12. (0,12. 7,5 1) = 1 1,12. ( 0,1) = 1 1 1, ,1 log 1,12 = log 10. log 1,12 = log 10 log10 20, 3 log1,12 Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : 6. a) koroto takaisimaksuaika = vuotta = 5 vuotta Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

9 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 4/21 b) Tapa 1: Ratkaisemalla yhtälö 1, ,07 0,07 1,07 1,07 1 0, ,07. 0,07. 5 = 1,07 1 1,07. 0, ,07 = 1 1,07. (0, ) = 1 1,07. ( 0,65) = 1 1,07 log 1,07 log1,07 1 0,65 log log 1 0,65 1 0,65 1 0,65 1 log 0,65 6, 4 log1,07 Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : 7. Nettotuotto vuodessa o = Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

10 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 5/21 Tapa 1: Ratkaisemalla yhtälö 1, ,06 0,06 1,06 1,06 1 0, ,06. 0, = (1,06 1) ,06. 0, , = ,06. (0, ) = ,06. ( ) = ,06 1, log 1,06 = log 1,5. log 1,06 = log 1,5 log1,5 7 log1,06 Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : Nykyarvomeetelmä 8. Tapa 1: Nettotuotto / vuosi = = Nettotuottoje ja jääösarvo ykyarvoje summa o 8 1, ,1 0,1 1, Nettoykyarvo o = 969 eli ivestoiti ei ole kaattava. Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

11 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 6/21 Tuottoje ykyarvo Exceli fuktiolla PV (suom. NA) : Nettoykyarvo o = 969 eli ivestoiti ei ole kaattava. 9. Tapa 1: Nettotuottoje ja jääösarvo ykyarvoje summa o , ,1 1,1 1,1 1,1 1,1 Nettoykyarvo o , =7 119,05 eli ivestoiti o kaattava. Tuottoje ykyarvo Exceli fuktiolla NPV (suom. NNA) : Nettoykyarvo o , =7 119,05 eli ivestoiti o kaattava. Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

12 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Tehtävä 37 (s. 54) x T(x) = 7x K(x) = 3,2x Luku 2 T(x) = 7x K(x) = 3,2x kpl Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi. KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

Investoinnin takaisinmaksuaika

Investoinnin takaisinmaksuaika Investoinnin takaisinmaksuaika Takaisinmaksuaika on aika, jona investointi maksaa hintansa takaisin eli nettotuottoja kertyy perushankintamenon verran Investointi voidaan tehdä, jos takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA

Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA Aki Taanila EXCELIN RAHOITUSFUNKTIOITA 4.12.2012 Sisällys Johdanto... 1 Aikaan liittyviä laskelmia... 1 Excelin rahoitusfunktioita... 2 Koronkorkolaskenta... 2 Jaksolliset suoritukset... 4 Luotot... 7

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Investointilaskentamenetelmiä

Investointilaskentamenetelmiä Investointilaskentamenetelmiä Laskentakorkokannan käyttöön perustuvat menetelmät (netto)nykyarvomenetelmä suhteellisen nykyarvon menetelmä eli nykyarvoindeksi annuiteettimenetelmä likimääräinen annuiteettimenetelmä

Lisätiedot

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4 Liite 1.1 Tiivistelmä tunnusluvuista ; B-osasto Vakuutusmaksutulo/ Maksutulo, Maksetut eläkkeet ja muut korvaukset, ¹) Sijoitustoiminnan nettotuotto käyvin arvoin, Sijoitustoiminnan nettotuotto sitoutuneelle

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous

ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous Tampereen teknillinen yliopisto 1 (5) ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous Yleiset valintaperusteet Tuotantotalouden hakukohteessa kaikkien hakijoiden tulee palauttaa ennakkotehtävä.

Lisätiedot

Oletus. Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO

Oletus. Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO Oletus 1, 8, 6, 4, 2,, Tammi Helmi Maalis Huhti Touko Kesä Heinä Elo Syys Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO 913 KUM TOT. 912 KUM TOT. Ero ed. vuoteen 1212 KUM TOT. Ennuste ed. vuoden

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

Testaa tietosi. 1 c, d 2 a 3 a, c 4 d 5 d

Testaa tietosi. 1 c, d 2 a 3 a, c 4 d 5 d Testaa tietosi 1 c, d 2 a 3 a, c 4 d 5 d Tehtävä 1 En ole. Taseen vastattavaa-puolen tilien ns. normaalisaldot ovat aina tilin kredit-puolella. Esimerkiksi oma pääoma kasvaa kredit-puolella ja oman pääoma

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Ajatuksia hinnoittelusta. Hinta on silloin oikea, kun asiakas itkee ja ostaa, mutta ostaa kuitenkin.

Ajatuksia hinnoittelusta. Hinta on silloin oikea, kun asiakas itkee ja ostaa, mutta ostaa kuitenkin. Ajatuksia hinnoittelusta Hinta on silloin oikea, kun asiakas itkee ja ostaa, mutta ostaa kuitenkin. Hinnoittelu Yritystoiminnan tavoitteena on aina kannattava liiketoiminta ja asiakastyytyväisyys. Hinta

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Indeksit

Talousmatematiikan verkkokurssi. Indeksit Sivu 1/8 ja niiden käyttö Indeksi on jono lukuja, joilla seurataan jonkin hyödykkeen tai palvelun hinnan muuttumista ajan kuluessa. Indekseillä kuvataan hintatason tai määrien muuttumista. Eri maita koskevissa

Lisätiedot

Systemteoriförrochnu systemi en föränderlig värld Brändö, Åland 13-14 maj 2013

Systemteoriförrochnu systemi en föränderlig värld Brändö, Åland 13-14 maj 2013 Systemteoriförrochu systemi e föräderlig värld Brädö, Ålad 13-14 maj 2013 Pohjoismaide sähkömarkkioide ja sähkötuotao malli VTT-EMM Stokastie dyaamie ohjelmoiti Eero Tammie Veikko Kekkoe Göra Koreeff Tiia

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

TULOSKATSAUS 1.1.-31.12.2005. Veritas-ryhmä. Ennakkotiedot

TULOSKATSAUS 1.1.-31.12.2005. Veritas-ryhmä. Ennakkotiedot TULOSKATSAUS 1.1.-31.12.2005 Veritas-ryhmä Ennakkotiedot Veritas-ryhmä AVAINLUVUT 2005 2004 % Vakuutusmaksutulo, milj. 427,8 397,2 7,7 Sijoitustoiminnan nettotuotot, käyvin arvoin, milj. 219,2 155,8 40,7

Lisätiedot

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 %

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 % Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut 200 6600 Katetuottotavoite (%) 30 % a) Kriittisessä pisteessä katetuottoa pitäisi kertyä kiinteiden kustannusten verran, joka on

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

Hankkeen valmistusaste on määritetty laskemalla hankkeen suoriteperusteella toteutuneiden menojen suhde hankkeen arvioituihin kokonaismenoihin.

Hankkeen valmistusaste on määritetty laskemalla hankkeen suoriteperusteella toteutuneiden menojen suhde hankkeen arvioituihin kokonaismenoihin. 1 (8) Liite 1 Esimerkit tulon kirjaamisesta tuotoksi valmistusasteen perusteella Esimerkki 1 Hankkeen valmistusaste on määritetty laskemalla hankkeen suoriteperusteella toteutuneiden menojen suhde hankkeen

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Veritas Eläkevakuutuksen osavuositulos 1 6/2011

Veritas Eläkevakuutuksen osavuositulos 1 6/2011 Veritas Eläkevakuutuksen osavuositulos 1 6/2011 Vakuutusliike Ajattelemme eteenpäin Vakuutusliike - avainluvut 1 6/2011 1 6/2010 2010 Vakuutusmaksutulo, milj. 207,4 187,5 380,4 TyEL-palkkasumma, milj.

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

Tuottajan tietopankki. Koulutuspäivät broilerinkasvattajille 30.11.2012

Tuottajan tietopankki. Koulutuspäivät broilerinkasvattajille 30.11.2012 Tuottajan tietopankki Koulutuspäivät broilerinkasvattajille 30.11.2012 Tuottajan tietopankki Tuotantodataa: Olosuhdetiedot Tuotantotiedot Teurastulokset Taloudelliset tunnusluvut Huomiot HH 11/12 2 Tuottajan

Lisätiedot

VESIHUOLLON TASEYKSIKKÖ Investoinnit ja poistot 2006 alkaen

VESIHUOLLON TASEYKSIKKÖ Investoinnit ja poistot 2006 alkaen 1 EUROA VESIHUOLLON TASEYKSIKKÖ Investoinnit ja poistot 26 alkaen 3 5 3 2 5 1 5 1 5 26 27 28 29 21 211 212 213 TA214 INVESTOINNIT / V POISTOT / V (itseisarvo) 1 EUROA VESIHUOLLON TASEYKSIKKÖ Investoinnit

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2015 1 6/2014 1 12/2014 Liikevaihto, 1000 EUR 17 218 10 676 20 427 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 5 205 1 916 3 876 Liikevoitto, % liikevaihdosta 30,2 % 17,9 % 19,0

Lisätiedot

Arvonkasvuohjelma. Knowledge Investor Comset www.comset.fi www.comset.se www.comset.dk

Arvonkasvuohjelma. Knowledge Investor Comset www.comset.fi www.comset.se www.comset.dk Arvonkasvuohjelma Yritysarvo on kattava toiminnan tuloksellisuuden mittari riippumatta omistajatavoitteesta. Yritysarvo heijastaa kaikkien tulevien rahavirtojen summaa. Kasvava yritysarvo = kasvava kassavirta

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

6. Viikkoharjoitus Investoinnin kannattavuus TU-A1100 Tuotantotalous 1

6. Viikkoharjoitus Investoinnin kannattavuus TU-A1100 Tuotantotalous 1 6. Viikkoharjoitus Investoinnin kannattavuus TU-A1100 Tuotantotalous 1 Harjoitusten sisältö 6. Analyysit ja tulevaisuus Harjoitust yö 5. Myynti, markkinointi ja asiakkaan kohtaaminen 4. Operaatiot II:

Lisätiedot

Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2011

Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2011 Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2011 Vakuutusliike Ajattelemme eteenpäin Vakuutusliike avainluvut 1-9/2011 1-9/2010 2010 Vakuutusmaksutulo, milj. 315,2 280,3 380,4 TyEL-palkkasumma, milj. 1 528,9

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

(EUR) 800 000 800 000 -400 000-400 000 -800 000-800 000 -1 200 000-1 200 000. Pylväs = kuluva tilikausi; viiva = edellinen tilikausi TALGRAF

(EUR) 800 000 800 000 -400 000-400 000 -800 000-800 000 -1 200 000-1 200 000. Pylväs = kuluva tilikausi; viiva = edellinen tilikausi TALGRAF YHD - Tuloslaskelma, 4.2.2013 8000 8000 4000 4000 01121314151617181910 1010 1110 1210 KUM KUM KUM KUM KUM KUM KUM KUM Ennu Ennu Ennu Ennu -4000-4000 -8000-8000 -1 2000-1 2000 VARSINAISEN TOIMINNAN TUOTTO-/KULUJÄÄMÄ

Lisätiedot

MATEMATIIKAN TASOTESTI / EKAMK / 9.9.2003

MATEMATIIKAN TASOTESTI / EKAMK / 9.9.2003 MATEMATIIKAN TASOTESTI / EKAMK / 9.9.2003 Etelä-Karjalan ammattikorkeakoulun johdon toimeksiannosta järjestettiin aloittaville opiskelijoille matematiikan tasotesti. Mukana olivat kaikki koulutusalat,

Lisätiedot

3154 TaINPMTOSSUUNNITfELU Tent ti 4.10.2000 klo 16.15-19.15

3154 TaINPMTOSSUUNNITfELU Tent ti 4.10.2000 klo 16.15-19.15 LTKK/TUTA Lehtori Osmo Hauta-aho 1(3) + liitteet 1-2 3154 TaINPMTOSSUUNNITfELU Tent ti 4.10.2000 klo 16.15-19.15 (Tentissii ei saa olla mukana kirjallisuutta) Tehtava 1 Oheisena on annettu SyysTek Oy:n

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Suppenemistestejä sarjoille

Suppenemistestejä sarjoille TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma Karoliia Alajoki Suppeemistestejä sarjoille Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Huhtikuu 03 Tamperee Yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö ALAJOKI, KAROLIINA:

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Talentum. Osavuosikatsaus Q3/2013 22.10.2013

Talentum. Osavuosikatsaus Q3/2013 22.10.2013 Talentum Osavuosikatsaus Q3/2013 22.10.2013 Sisältö 1. Talentumin Q3/2013 2. Taloudellinen katsaus 3. Näkymät 1. Talentumin Q3/2013 Talentumin Q3/2013 Talentumin liikevaihto oli lähes samalla tasolla kolmannella

Lisätiedot

LASKUHARJOITUKSIA. 1. Myllyn ainetase ja kiertokuorman laskeminen. syöte F,f. A lite A,a MYLLY. tuote P,p LUO KITIN. Ylite Y,y. Tehtävä 1.

LASKUHARJOITUKSIA. 1. Myllyn ainetase ja kiertokuorman laskeminen. syöte F,f. A lite A,a MYLLY. tuote P,p LUO KITIN. Ylite Y,y. Tehtävä 1. LASKUHARJOITUKSIA. Mylly aietase ja kiertokuorma laskemie Tehtävä. Kuvassa o mylly suljetussa iirissä luokittime kassa. Mylly kiertokuorma o 00 % ja mylly rimäärisyötevirta F = t/h. Laske mylly tuotevirta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

omenaraaka-ainetta (KATE) ostetaan omenoita (OMENATAS)

omenaraaka-ainetta (KATE) ostetaan omenoita (OMENATAS) ALKOHOLITEHDAS Aktiviteettianalyysi mallia varten Raaka-ainelohko 1. Ostetaan omenoita x 1 kg (muuttujana mallissa OMENAT) kulutetaan tuotetaan rahaa omenaraaka-ainetta (KATE) ostetaan omenoita (OMENATAS)

Lisätiedot

TULOSTIEDOT 2 LAPPEENRANNAN ENERGIA OY VUOSIKERTOMUS 2015

TULOSTIEDOT 2 LAPPEENRANNAN ENERGIA OY VUOSIKERTOMUS 2015 TULOSTIEDOT 2 LAPPEENRANNAN ENERGIA OY VUOSIKERTOMUS 2015 KONSERNI Tuloslaskelma (1 000 ) 1.1. 31.12.2015 1.1. 31.12.2014 LIIKEVAIHTO 124 532 128 967 Valmistus omaan käyttöön 4 647 4 869 Liiketoiminnan

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

N:o 294 2641. Liite 1. Staattisen magneettikentän (0 Hz) vuontiheyden suositusarvo.

N:o 294 2641. Liite 1. Staattisen magneettikentän (0 Hz) vuontiheyden suositusarvo. N:o 94 641 Liite 1. Staattise mageettiketä (0 Hz) vuotiheyde suositusarvo. Altistumie Koko keho (jatkuva) Mageettivuo tiheys 40 mt Tauluko selityksiä Suositusarvoa pieemmätki mageettivuo tiheydet saattavat

Lisätiedot

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4 Liite 1.1 Tiivistelmä tunnusluvuista Vakuutusmaksutulo, Maksetut eläkkeet ja muut korvaukset, 1) Sijoitustoiminnan nettotuotto käyvin arvoin, Sijoitustoiminnan nettotuotto sitoutuneelle pääomalle, % Liikevaihto,

Lisätiedot

TILINPÄÄTÖS 2011 7.6.2012

TILINPÄÄTÖS 2011 7.6.2012 TILINPÄÄTÖS 2011 7.6.2012 TULOSLASKELMAN TARKASTELU 1/7 2011 2010 Toimintatuotot 4.543.224 3.933.772 TA-toteutuma 108,32 % 104,8 % Muutos edell.vuodesta / % 609.453 / 15,5 % 639.183 / 19,4 % Toimintatuotot

Lisätiedot

15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves)

15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves) 3 15 MEKAANISET AALLOT (Mechaical Waves) Luoto o täyä aaltoja. Aaltoliikettä voi sytyä systeemeissä, jotka poikkeutettua tasapaiotilastaa pyrkivät palaamaa siihe takaisi. Aalto eteee, ku poikkeama (häiriö)

Lisätiedot