Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto"

Transkriptio

1 Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN Päivitetty Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot - Luku 3 Ideksit - Luku 4 Yksikertaie korkolasku - Luku 5 Valuutat - Luku 6 Korokorkolasku - Luku 7 Jaksolliset suoritukset - Luku 8 Rahoitusmuodot - Luku 9 Ivestoitilaskelmat - Luku 10 Sijoittamie - Luku 11 Prosettilasku - Luku 12 Yhtälö Tehtävie ratkaisuihi liittyvät MS-Excel-tiedostot - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot - Luku 8 Rahoitusmuodot - Luku 9 Ivestoitilaskelmat - Luku 10 Sijoittamie Liike-elämä matematiikka -kirja (10., uudistettu paios 2014) tehtävie ratkaisut o laadittu opiskelija avuksi ja opettaja tueksi. Otamme mielellämme vastaa palautetta Liikeelämä matematiikka -kirjasta ja tehtävie ratkaisuista:

2 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 5/ Tapa 1: Yksikkökate o 20,00 7,50 = 12,50. 12,50 Katetuottoprosetti o 100 % = 62,5 %. 20,00 Kiiteät kustaukset ovat prosetteia (62,5 24) % = 38,5 %. Kiiteät kustaukset euroia ovat 0, = myytituotto = muuttuvat kustaukset 800 7,50 = katetuotto kiiteät kustaukset 0, = tulos Oletetaa, että myytimäärä ee muutoksia o 100 kpl. Tällöi myytituotto o = ja muuttuvat kustaukset ovat = Uusi myytihita o 0,9 100 /kpl = 90 /kpl. a) Jotta saavutetaa alu euro myytituotto, myytimäärä pitää olla ,1, jote myytimäärä tulee ousta prosetteia 11,1 % (= 111,1 100). 90 b) Tapa 1: Euromääräie katetuotto o ee muutoksia = ja uusi yksikkökate o = 10. Tällä yksikkökatteella pitää tuotteita myydä 2000 kpl = 200 kpl, jotta katetuotto olisi edellee Koska aluksi myytii 100 kpl ja myöhemmi 200 kpl, kasvu o oltava 100 % (= % ). 100 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

3 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 6/19 Merkitää uutta myytimäärää x:llä. Tällöi saadaa yhtälö 90x 80x = x = x = 2000 = Koska aluksi myytii 100 kpl ja myöhemmi 200 kpl, kasvu o oltava 100 %. 14. Muuttuvat yksikkökustaukset ovat 60 % eli 0,6 1,50 /kg = 0,90 /kg. Yksikkökate ( /kg) o 1,50 0,90 = 0,60. Ee muutoksia katetuotto o kg 0,60 /kg = 900. Muutoste jälkee uusi myytihita o 0,8 1,50 /kg = 1,20 /kg ja muuttuvat kustaukset eivät muutu, jote uusi yksikkökate ( /kg) o 1,20 0,90 = 0,30. a) Uusi katetuotto o (100 kg kg) 0,30 /kg = 750. Hiaaleus ei kaata, sillä katetuotto aleee = 150. b) Uusi katetuotto o kg 0,30 /kg = 900. Euromääräie katetuotto säilyy samaa. 15. Ku katetuotto o 66 /kpl, katetuottoprosetti o 25 %. Tällöi uusi myytihita o 66 /kpl 100 = 264 /kpl. 25 Muuttuvat kustaukset ovat 264 /kpl 66 /kpl = 198 /kpl. Koska muuttuvat kustaukset eivät muutu, alkuperäie katetuotto (30 %) o 198 /kpl 30 84,86 /kpl Tapa 1: Euromääräie katetuotto o ee muutoksia 500 kg (4 3) /kg = 500. Uusi uusi yksikkökate o 3,5 3 = 0,50. Tällä yksikkökatteella pitää tuotteita myydä 500 kg = kg, jotta katetuotto olisi edellee ,50 Koska aluksi myytii 500 kg ja myöhemmi kg, kasvu o oltava 100 % (= % ). 500 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

4 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 7/19 Merkitää uutta myytimäärää x:llä. Tällöi saadaa yhtälö 3,5x 3x = 500 0,5x = 500 x = 500 = ,5 Koska aluksi myytii 500 kg ja myöhemmi kg, kasvu o oltava 100 %. 17. Tapa 1: Urheiluosasto myytikate o 0, = Vapaa-aja osasto myytikate o 0, = Yhteesä myytikate o = Liikevaihto o = Keskimääräie myytikate prosetteia o % = 52,5 %. Suoraa paiotettua keskiarvoa: (0,6 0,7 + 0,35 0,3) 100 % = 52,5 %. Kriittie piste 18. % myytituotto % muuttuvat kustaukset = % = 58,3 % katetuotto = (100 58,3) % = 41,7 % kiiteät kustaukset ,7 % tulos 0 0 % Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

5 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 2 8/ % myytituotto = % 30 muuttuvat kustaukset = % katetuotto % kiiteät kustaukset % tulos 0 0 % 20. a) Yksikkökate o 0,40 0,12 = 0,28. Myytikate o ,28 = Tulos o = 525. b) Uusi myytikate o 0, ,28 = 840 Uusi tulos o = 35. Toimita ei ole kaattavaa. c) Tapa 1: Yksikkökate o 0,40 0,12 = 0,28. Tällä katteella o katettava kiiteät kustaukset 875, jote myytimäärä kriittisessä pisteessä o oltava 875 = kpl. 0,28 /kpl Merkitää kappalemäärää x:llä. Kriittisessä pisteessä tulos o olla, jote saadaa yhtälö 0,40x 0,12x 875 = 0 0,28x = 875 x = 875 = ,28 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

6 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Luku 9 1 Luku 9 Ivestoitilaskelmat Peruskäsitteet 1. WACC = OP T OP + OP VP VP OP VP T VP (1 YV) = 20 % + 12 % (1 0,26) = 11,66 % WACC = 0,25 10 % + 0,35 12 % + 0,40 6 % (1 0,26) = 8,476 % Takaisimaksuaika 3. C 4. Nettotuotto vuodessa o = a) koroto takaisimaksuaika = vuotta = 5,5 vuotta b) Tapa 1: Diskottaamalla kuki vuode ettotuotot ja laskemalla iide kumulatiiviset arvot: Vuodet Kassavirta Diskotattu kassavirta Kumulatiivie diskotattu kassavirta Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

7 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 2/21 Ivestoiti maksaa itsesä takaisi 9 + ( ) / ,5 vuodessa. Ratkaisemalla yhtälö 1, ,12 0,12 1,12 1 1,12 0, ,12. 0, = (1,12 1) ,12. 0, , = ,12. (0, ) = ,12. ( 6 800) = ,12 2, log1,12 log1, log log log log1,12 9,5 Tapa 3: Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : 5. a) koroto takaisimaksuaika = vuotta = 7,5 vuotta 1200 Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

8 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 3/21 b) Tapa 1: Ratkaisemalla yhtälö 1, ,12 0, , ,5 1,12 0, ,12. 0,12. 7,5 = 1,12 1 1,12. 0,12. 7,5 1,12 = 1 1,12. (0,12. 7,5 1) = 1 1,12. ( 0,1) = 1 1 1, ,1 log 1,12 = log 10. log 1,12 = log 10 log10 20, 3 log1,12 Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : 6. a) koroto takaisimaksuaika = vuotta = 5 vuotta Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

9 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 4/21 b) Tapa 1: Ratkaisemalla yhtälö 1, ,07 0,07 1,07 1,07 1 0, ,07. 0,07. 5 = 1,07 1 1,07. 0, ,07 = 1 1,07. (0, ) = 1 1,07. ( 0,65) = 1 1,07 log 1,07 log1,07 1 0,65 log log 1 0,65 1 0,65 1 0,65 1 log 0,65 6, 4 log1,07 Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : 7. Nettotuotto vuodessa o = Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

10 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 5/21 Tapa 1: Ratkaisemalla yhtälö 1, ,06 0,06 1,06 1,06 1 0, ,06. 0, = (1,06 1) ,06. 0, , = ,06. (0, ) = ,06. ( ) = ,06 1, log 1,06 = log 1,5. log 1,06 = log 1,5 log1,5 7 log1,06 Exceli fuktiolla NPER (suom. NJAKSO) : Nykyarvomeetelmä 8. Tapa 1: Nettotuotto / vuosi = = Nettotuottoje ja jääösarvo ykyarvoje summa o 8 1, ,1 0,1 1, Nettoykyarvo o = 969 eli ivestoiti ei ole kaattava. Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

11 Liike-elämä matematiikka Tehtävie ratkaisut Luku 9 6/21 Tuottoje ykyarvo Exceli fuktiolla PV (suom. NA) : Nettoykyarvo o = 969 eli ivestoiti ei ole kaattava. 9. Tapa 1: Nettotuottoje ja jääösarvo ykyarvoje summa o , ,1 1,1 1,1 1,1 1,1 Nettoykyarvo o , =7 119,05 eli ivestoiti o kaattava. Tuottoje ykyarvo Exceli fuktiolla NPV (suom. NNA) : Nettoykyarvo o , =7 119,05 eli ivestoiti o kaattava. Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

12 Liike-elämä matematiikka Ratkaisut Tehtävä 37 (s. 54) x T(x) = 7x K(x) = 3,2x Luku 2 T(x) = 7x K(x) = 3,2x kpl Kolttola, Pösö, Saarae, Edita Publishig Oy

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi. KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4 Liite 1.1 Tiivistelmä tunnusluvuista ; B-osasto Vakuutusmaksutulo/ Maksutulo, Maksetut eläkkeet ja muut korvaukset, ¹) Sijoitustoiminnan nettotuotto käyvin arvoin, Sijoitustoiminnan nettotuotto sitoutuneelle

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Oletus. Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO

Oletus. Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO Oletus 1, 8, 6, 4, 2,, Tammi Helmi Maalis Huhti Touko Kesä Heinä Elo Syys Kuluva vuosi - LIIKEVAIHTO Edellinen vuosi - LIIKEVAIHTO 913 KUM TOT. 912 KUM TOT. Ero ed. vuoteen 1212 KUM TOT. Ennuste ed. vuoden

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous

ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous Tampereen teknillinen yliopisto 1 (5) ENNAKKOTEHTÄVÄ 2016: Maisterivaiheen haku, tuotantotalous Yleiset valintaperusteet Tuotantotalouden hakukohteessa kaikkien hakijoiden tulee palauttaa ennakkotehtävä.

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Hankkeen valmistusaste on määritetty laskemalla hankkeen suoriteperusteella toteutuneiden menojen suhde hankkeen arvioituihin kokonaismenoihin.

Hankkeen valmistusaste on määritetty laskemalla hankkeen suoriteperusteella toteutuneiden menojen suhde hankkeen arvioituihin kokonaismenoihin. 1 (8) Liite 1 Esimerkit tulon kirjaamisesta tuotoksi valmistusasteen perusteella Esimerkki 1 Hankkeen valmistusaste on määritetty laskemalla hankkeen suoriteperusteella toteutuneiden menojen suhde hankkeen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia

Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3

Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3 Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 %

Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut Katetuottotavoite (%) 30 % Kiinteät kustannukset Vuokrat 1500 Palkat 4200 Poistot 400 Korot 300 Muut 200 6600 Katetuottotavoite (%) 30 % a) Kriittisessä pisteessä katetuottoa pitäisi kertyä kiinteiden kustannusten verran, joka on

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Algoritmien analyysi

811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Algoritmien analyysi 811312A Tietoraketeet ja algoritmit 2016-2017 II Algoritmie aalyysi Sisältö 1. Algoritmie oikeellisuus 2. Algoritmie suorituskyvy aalyysi 3. Master Theorem 811312A TRA, Algoritmie aalyysi 2 II.1. Algoritmie

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

TILINPÄÄTÖS 2011 7.6.2012

TILINPÄÄTÖS 2011 7.6.2012 TILINPÄÄTÖS 2011 7.6.2012 TULOSLASKELMAN TARKASTELU 1/7 2011 2010 Toimintatuotot 4.543.224 3.933.772 TA-toteutuma 108,32 % 104,8 % Muutos edell.vuodesta / % 609.453 / 15,5 % 639.183 / 19,4 % Toimintatuotot

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2011

Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2011 Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2011 Vakuutusliike Ajattelemme eteenpäin Vakuutusliike avainluvut 1-9/2011 1-9/2010 2010 Vakuutusmaksutulo, milj. 315,2 280,3 380,4 TyEL-palkkasumma, milj. 1 528,9

Lisätiedot

TAMMI-KESÄKUU 2013 OSAVUOSIKATSAUS

TAMMI-KESÄKUU 2013 OSAVUOSIKATSAUS TAMMI-KESÄKUU 213 OSAVUOSIKATSAUS 24.7.213 Alexis Fries, toimitusjohtaja Jukka Pahta, CFO ESITYKSEN PÄÄKOHDAT 213 Q1-Q2 lyhyesti Tammi-kesäkuu 213 Liitteet Alexis Fries Toimitusjohtaja Q2/213 PRESENTATION

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

0 C lämpötilaan antaa 836 kj. Lopputuloksena on siis vettä lämpötilassa, joka on suurempi kuin 0 0 C.

0 C lämpötilaan antaa 836 kj. Lopputuloksena on siis vettä lämpötilassa, joka on suurempi kuin 0 0 C. LH12-1 1 kg 2 C asteista vettä sekoitetaa yhde baari paieessa 2kg jäätä, joka lämpötila o -5 C Laske etropia muutos ja lämpötila, ku tasapaio o saavutettu 3 3 Vedelle c p 4,18 1 J/(kgK) jäälle c p 2, 9

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Oy Yritys Ab (TALGRAF ESITTELY) TP 5 Tilinpäätös - 5 vuotta - Tuloslaskelma ja tase - katteet

Oy Yritys Ab (TALGRAF ESITTELY) TP 5 Tilinpäätös - 5 vuotta - Tuloslaskelma ja tase - katteet Oy Yritys Ab 1.1.2009-31.12.2013 TP 5 Tilinpäätös - 5 vuotta - Tuloslaskelma ja tase - katteet 7000 7000 6000 6000 5000 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 1209 KUM TOT. 1210 KUM TOT. 1211 KUM

Lisätiedot

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4

201X 201X-1 201X-2 201X-3 201X-4 Liite 1.1 Tiivistelmä tunnusluvuista Vakuutusmaksutulo, Maksetut eläkkeet ja muut korvaukset, 1) Sijoitustoiminnan nettotuotto käyvin arvoin, Sijoitustoiminnan nettotuotto sitoutuneelle pääomalle, % Liikevaihto,

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

(EUR) Osasto TEK Osasto TKR Osasto PMT Osasto TMP Osasto TKK Osasto THY Osasto STS

(EUR) Osasto TEK Osasto TKR Osasto PMT Osasto TMP Osasto TKK Osasto THY Osasto STS Laskentakohteet - Yhteenveto - rinnakkain, 13.8.2009 8000 8000 7000 7000 6000 6000 5000 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 Osasto TEK (10) Osasto TKR (12) Osasto PMT (14) Osasto TMP (17) Osasto

Lisätiedot

ALVA ammattilaskennan valmiuksien kartoitus

ALVA ammattilaskennan valmiuksien kartoitus ALVA ammattilaskennan valmiuksien kartoitus Tulokset syksy 2015 Kokemuksen mukaan 80 % tehtävistä oikein saaneella on hyvät valmiudet jatkaa matematiikan opintoja ts. perustaidot hallussa Tulos-% PM15A

Lisätiedot

Kiljavan Sairaala Oy. Toiminta- ja taloustiedot, liite omistajakirjeeseen 18.3.2016

Kiljavan Sairaala Oy. Toiminta- ja taloustiedot, liite omistajakirjeeseen 18.3.2016 Kiljavan Sairaala Oy Toiminta- ja taloustiedot, liite omistajakirjeeseen 18.3.2016 Visio ja strategia 2017 Kiljava Sairaala on osa Keski-Uudenmaan alueen kattavaa sote-palvelujen tuottajaorganisaatiota

Lisätiedot

Helsingin Rudolf Steiner koulu, oppikirjat lukuvuodelle 2012 2013

Helsingin Rudolf Steiner koulu, oppikirjat lukuvuodelle 2012 2013 Helsingin Rudolf Steiner koulu, oppikirjat lukuvuodelle 2012 2013 A-Ruotsi 1-2 Dags 2. WSOY. 3-4 Ilmoitetaan myöhemmin. 5-6 Magnet 6. WSOY. 7 Materiaali opettajalta. 8-9 Magnet 7. WSOY. 10 Materiaali opettajalta.

Lisätiedot

Varsinainen yhtiökokous 2016 30.3.2016

Varsinainen yhtiökokous 2016 30.3.2016 Varsinainen yhtiökokous 2016 30.3.2016 Toimitusjohtajan katsaus Vuosi 2015 lyhyesti Liikevaihto kasvoi 5,5 %, käyttökate kasvoi 6,7 % Liikevaihto palveluista kasvoi 20,3% Taloudellinen vuokrausaste 94,6

Lisätiedot

Oy Yritys Ab 1.1.2006-31.12.2010 (TALGRAF ESITTELY) Tilinpäätös - 5 vuotta - Tuloslaskelma ja tase - katteet, 13.12.2011

Oy Yritys Ab 1.1.2006-31.12.2010 (TALGRAF ESITTELY) Tilinpäätös - 5 vuotta - Tuloslaskelma ja tase - katteet, 13.12.2011 Tilinpäätös - 5 vuotta - Tuloslaskelma ja tase - katteet, 13.12.2011 7000 7000 6000 6000 5000 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 1206 KUM TOT. 1207 KUM TOT. 1208 KUM TOT. 1209 KUM TOT. 1210 KUM

Lisätiedot

TULOSTIEDOT 2 LAPPEENRANNAN ENERGIA OY VUOSIKERTOMUS 2015

TULOSTIEDOT 2 LAPPEENRANNAN ENERGIA OY VUOSIKERTOMUS 2015 TULOSTIEDOT 2 LAPPEENRANNAN ENERGIA OY VUOSIKERTOMUS 2015 KONSERNI Tuloslaskelma (1 000 ) 1.1. 31.12.2015 1.1. 31.12.2014 LIIKEVAIHTO 124 532 128 967 Valmistus omaan käyttöön 4 647 4 869 Liiketoiminnan

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

SUOMINEN YHTYMÄ OYJ OSAVUOSIKATSAUS ESITYS

SUOMINEN YHTYMÄ OYJ OSAVUOSIKATSAUS ESITYS SUOMINEN YHTYMÄ OYJ OSAVUOSIKATSAUS 1.1. - 30.6.2005 ESITYS 25.7.2005 Liikevaihdon jakautuma 1-6/2005 Joustopakkaukset 35,0 milj. euroa 33 % Muut 5,5 milj. euroa 5 % Kosteuspyyhkeet 32 % Kuitukankaat 30

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

6. Viikkoharjoitus Investoinnin kannattavuus TU-A1100 Tuotantotalous 1

6. Viikkoharjoitus Investoinnin kannattavuus TU-A1100 Tuotantotalous 1 6. Viikkoharjoitus Investoinnin kannattavuus TU-A1100 Tuotantotalous 1 Harjoitusten sisältö 6. Analyysit ja tulevaisuus Harjoitust yö 5. Myynti, markkinointi ja asiakkaan kohtaaminen 4. Operaatiot II:

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Eteran osavuosiraportti 2011

Eteran osavuosiraportti 2011 Eteran osavuosiraportti 2011 Tiivistelmä tunnusluvuista 1.1. 30.6.2011 1.1. 30.6.2010 1.1. 31.12.2010 Vakuutusmaksutulot, milj. 276 249 570 Sijoitustoiminnan nettotuotot käyvin arvoin, milj. Sijoitustoiminnan

Lisätiedot

FINAVIA KONSERNI TASEKIRJA VÄLITILINPÄÄTÖS

FINAVIA KONSERNI TASEKIRJA VÄLITILINPÄÄTÖS FINAVIA KONSERNI TASEKIRJA VÄLITILINPÄÄTÖS 30.9.2010 Tulos ja tase, FAS (Toteuma) Finavia konserni TULOSLASKELMA, FAS EUR 1.1.-30.9.2010 1.1.-30.9.2009 LIIKEVAIHTO 231 834 836,24 241 094 465,00 Valmiiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Samuli Knüpfer Vesa Puttonen MODERNI RAHOITUS. Talentum Media Oy Helsinki

Samuli Knüpfer Vesa Puttonen MODERNI RAHOITUS. Talentum Media Oy Helsinki Samuli Knüpfer Vesa Puttonen MODERNI RAHOITUS Talentum Media Oy Helsinki 7., uudistettu painos Copyright 2014 Talentum Media Oy ja kirjoittajat Toimitus: Saara Palmberg Taitto: Marja-Leena Saari ISBN 978-952-14-2312-3

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

PUOLIVUOSIKATSAUS

PUOLIVUOSIKATSAUS PUOLIVUOSIKATSAUS 1.1. 30.6.2016 Avainluvut 4-6/2016 4-6/2015 Muutos% 1-6/2016 1-6/2015 Muutos% 1-12/2015 Liikevaihto, MEUR 192,4 182,5 5,4% 350,6 335,8 4,4% 755,3 Vertailukelpoisten myymälöiden 2,5 1,5-0,6

Lisätiedot

LASKUHARJOITUKSIA. 1. Myllyn ainetase ja kiertokuorman laskeminen. syöte F,f. A lite A,a MYLLY. tuote P,p LUO KITIN. Ylite Y,y. Tehtävä 1.

LASKUHARJOITUKSIA. 1. Myllyn ainetase ja kiertokuorman laskeminen. syöte F,f. A lite A,a MYLLY. tuote P,p LUO KITIN. Ylite Y,y. Tehtävä 1. LASKUHARJOITUKSIA. Mylly aietase ja kiertokuorma laskemie Tehtävä. Kuvassa o mylly suljetussa iirissä luokittime kassa. Mylly kiertokuorma o 00 % ja mylly rimäärisyötevirta F = t/h. Laske mylly tuotevirta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 7 12/2015 7 12/2014 1 12/2015 1 12/2014 Liikevaihto, 1000 EUR 10 223 9 751 27 442 20 427 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 1 266 1 959 6 471 3 876 Liikevoitto, % liikevaihdosta

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Miten kannattaa budjetoida? MITÄ OPIT? SBB - Solutions for Business and Brains Oy. Budjetoinnin käsitteitä. Perinteinen vuosibudjetointi

Miten kannattaa budjetoida? MITÄ OPIT? SBB - Solutions for Business and Brains Oy. Budjetoinnin käsitteitä. Perinteinen vuosibudjetointi Miten kannattaa budjetoida? MITÄ OPIT? Budjetoinnin käsitteitä Budjetointi pienyrityksessä Budjetointi keskisuuressa yrityksessä Perinteinen vuosibudjetointi PPA- Budjetointi Budjetointi projekteja toimittavassa

Lisätiedot

Vakuutusmarkkinoilla toimivien yhteisöjen tiedonkeruukartta

Vakuutusmarkkinoilla toimivien yhteisöjen tiedonkeruukartta 401 Työeläkevakuutusyhtiö Frekvenssi VD: Vakavaraisuus VA01a Tuloslaskelma työeläkevakuutusyhtiöille VA02 Tase - vastaavaa VA03 Tase - vastattavaa VB02a Työeläkevakuutusyhtiön tuloslaskelmaa koskevat liitetiedot

Lisätiedot

Metso Minerals. Lyhyt kuvaus projektista: Oppilaat työskentelevät neljän henkilön ryhmissä, joissa jokaisessa on

Metso Minerals. Lyhyt kuvaus projektista: Oppilaat työskentelevät neljän henkilön ryhmissä, joissa jokaisessa on Koostanut: Elina Viro, Kaisa Poikela, Metso Minerals Opettajalle Metso Minerals Kohderyhmä: 9. luokka Esitiedot: Prosenttilaskenta, taulukon tulkinta, koordinaatisto, trigonometria, ensimmäisen asteen

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu

Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu 29 29.4.29 Tammi maaliskuu 29 Tammi-maaliskuun liikevaihto oli 24, milj. euroa (36,1), jossa oli laskua 33,4 prosenttia. Liikevaihdon laskuun vaikuttavat osaltaan viime

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2016 1 6/2015 1 12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 10 370 17 218 27 442 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 647 5 205 6 471 Liikevoitto, % liikevaihdosta 6,2 % 30,2 % 23,6 %

Lisätiedot

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008 76P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Krtausthtäviä. välikoks, sl 8 Näitä laskuja i laskta laskupäivissä ikä äistä saa laskuharjoituspistitä. Laskut o tarkoitttu laskttaviksi alkutuutoroitiryhmissä, itsks, kavriporukalla

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

APPORTTIOMAISUUDEN LUOVUTUSKIRJA

APPORTTIOMAISUUDEN LUOVUTUSKIRJA APPORTTIOMAISUUDEN LUOVUTUSKIRJA ROVANIEMEN KOULUTUSKUNTAYHTYMÄN JA [SANTASPORT PALVELUT] OY:N VÄLILLÄ [pp.kk.2014] Luottamuksellinen 2 1 TAUSTA... 3 2 APPORTTIOMAISUUDEN LUOVUTUSHETKI... 3 3 APPORTTIOMAISUUS...

Lisätiedot

Suominen Oyj Tulos Q Helsinki, Nina Kopola, toimitusjohtaja Tapio Engström, talousjohtaja

Suominen Oyj Tulos Q Helsinki, Nina Kopola, toimitusjohtaja Tapio Engström, talousjohtaja Suominen Oyj Tulos Q1 2013 Helsinki, 19.4.2013 Nina Kopola, toimitusjohtaja Tapio Engström, talousjohtaja Suominen Oyj 19.4.2013 1 Sisältö Suomisen Q1 2013 lyhyesti Taloudellinen katsaus Q1 2013 Strategian

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Toivakan vesihuollon yhtiöittäminen taloudellinen mallinnus

Toivakan vesihuollon yhtiöittäminen taloudellinen mallinnus Toivakan vesihuollon yhtiöittäminen taloudellinen mallinnus 2.10.2015 2.10.2015 Page 1 Oman vesihuollon yhtiöittäminen 2.10.2015 Page 2 Taustatiedot Vesihuollon tuloslaskelma TP 2014 ja TA 2015, tase TP

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

MAANPUOLUSTUSKORKEAKOULU 1 (1) Opintoasiainosasto Liite 2 ERILLISHAUN (LENTOUPSEERIN KOULUTUSOHJELMA) VALINTAPISTEIDEN MÄÄRÄY- TYMINEN

MAANPUOLUSTUSKORKEAKOULU 1 (1) Opintoasiainosasto Liite 2 ERILLISHAUN (LENTOUPSEERIN KOULUTUSOHJELMA) VALINTAPISTEIDEN MÄÄRÄY- TYMINEN MNPUOLUSTUSKORKEKOULU 1 (1) L20852 ERILLISHUN (LENTOUPSEERIN KOULUTUSOHJELM) VLINTPISTEIDEN MÄÄRÄY- TYMINEN Lentoupseerin koulutusohjelman ohjaajaopintosuuntien erityisenä valintakriteerinä on, että hakija

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Kemira Tammi - kesäkuu Harri Kerminen, toimitusjohtaja

Kemira Tammi - kesäkuu Harri Kerminen, toimitusjohtaja Kemira Tammi - kesäkuu 2011 Harri Kerminen, toimitusjohtaja 28.7.2011 HUOMAUTUS Tämä esitys sisältää tai sen voidaan katsoa sisältävän tulevaisuutta koskevia lausumia. Nämä lausumat liittyvät tulevaisuuden

Lisätiedot

Helen tänään Jarmo Karjalainen. Helsingin Energia

Helen tänään Jarmo Karjalainen. Helsingin Energia 17.2.2010 Helen tänään Jarmo Karjalainen 1 EU:n tavoite sähkömarkkinoiden kehittymisestä Harmonisoitujen alueellisten markkinoiden kautta...... yhtenäiseen eurooppalaiseen markkina-alueeseen Pohjola Brittein

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot