3 Eksponentiaalinen malli

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Eksponentiaalinen malli"

Transkriptio

1 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06, 0,90 6,0 8,96 9,0 8 0,90 8 6,0,9, 0,90 6,0 6. a) 00 % + % 0 %,0, ,0 0,0 ( ) b) f ( ), a) 6 g (6),08,6,8..., (cm) b) Alkuperäinen korkeus on,6 cm. c),08 08 %. Suurennos on 08 % 00 % 8 %. 67. a) 00 % 9 % 9 % 0,9 f() 0, b) Vuodesta 970 vuoteen 980 on 0 vuotta. 0 f (0) 0, , Vuodesta 970 vuoteen 99 on vuotta. f () 0, , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 99

2 68. a) 00 % + 0, % 00, %,00 t f ( t),00 80 b) Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. f (), , c) Vuosi 000 oli vuotta ennen vuotta 00. Eksponentiksi tulee luku. f (), , a) 00 % % 99 % 0,99 t f ( t) 0,99 0 b), f (,) 0,99 0,8... (g) c), f (,) 0,99 0 6, (g) % + % 0 %,0 Merkitään liikevaihtoa alussa a:lla. a,0 8 a,77..., 77a Liikevaihto on kasvanut,77-kertaiseksi.,77 7,7 % Kasvua on 7,7 % 00 % 7,7 % 8 %. 7. a) 00 % % 8% 0, 8 Merkitään päästöjen määrää alussa a:lla. 0,8 a 0,70... a 0, a Päästöt muuttuvat 0,-kertaiseksi. 0 % % 6 %. b) : 0,8 a 0, a 6: 0,8 6 a 0, 77a 7: 0,8 7 a 0, a 8: 0,8 8 a 0, 7a 9: 0,8 9 a 0, a 9 vuodessa ollaan alle %:n tavoitteen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 00

3 7. a) f () e 0, , f ( ) e ( ) 0,8 0, ,0 b) g (8) e 0, , 07 g (,) e 0, (,),88...,8 7. Lähetyskierros Viestin saaneita ihmisiä lähetyskierroksella n n 7. a) f (), 90 68, b) f ( ), 90 0 c) 90 on bakteerien lukumäärä alussa ja niiden määrä puolitoistakertaistuu tunnissa. 7. a) 00 % + 8 % 08 %,08 f ( ), ( ) 0 b) f (0), , ( ), 76. a) f (,) 0,87 00,8... (mg) b) 00 mg c) 0,87 87, %, 00 % 87, %,9 % 77. a) 00 % +, % 0, %,0 f ( ), b) Vuodesta 006 vuoteen 0 on 9 vuotta 9 f (9),0,09,09..., (miljardia) c) Vuosi 99 oli vuotta ennen vuotta 006. f ( ),0,09 0, ,90 (miljardia) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

4 0,90 miljardia 90 miljoonaa % % 98 % 0,98 Merkitään energian kulutusta alussa a:lla. 0 0,98 a 0, a 0, 8a 00 % 8 % 8 % 79. a) 0, a 0,66... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. b) 0, a 0, a 0, 07a. Valosta pääsee läpi 7 %. c) 0, a 0,76... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. 80. a) 00 % +, % 0, %,0 Alkuperäinen talletus on a.,0 a,69... a, 69a. Talletus kasvaa korkoa 6,9 % 00 % 6,9 % viiden vuoden aikana. b) Talletus lopussa on,a. vuotta: a,0, 6a 0 vuotta: a,0 0, 7a vuotta: a,0, 99a vuotta: a,0, a vuotta: a,0, 87a vuotta: a,0, a Talletuksen arvo on kasvanut,-kertaiseksi vuoden kuluttua. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

5 Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälö 8. a) f(), b) g() 0,8 c) h() 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0 8. a) b) 8 c) a) 8 : b) : c) a) ( ) ( ) 6 Käytetään potenssin potenssin kaavaa 6 a a n m m n b) ( ) 8 8 8

7 c) 9 Vaihdetaan käänteisluku negatiiviseksi eksponentiksi a n n a 8. a) f () 6 b) f 86. a), b) 0,6 c) Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 87. a),,,8,6,6,,7,7,,6,6, Ratkaisu on välillä,6 < <,7, joten yhdendesimaalin tarkkuudella,7 b) , 7 0,,6 0,6 7 0,6, 0, 7 0,,9 Ratkaisu on välillä 0, < < 0,6, joten yhden desimaalin tarkkuudella 0,6. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 06 c),08,08,08 0,08 0, 9,08 9,99 9,,08 9,,0 9,0,08 9,0,006 9,0,08 9,0,00 Ratkaisu on välillä 9 < < 9,0, joten yhden desimaalin tarkkuudella 9, a) 9 tai ,, 9) ( ± ± ± c b a b) + tai,, ) ( ± ± ± + + c b a 89. a) :

9 b) 6 ( ) 90. a) f() 0,98 b) g(), Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 07

10 c) h(), 9. a) b) 6 c) ( ) a) 0,,6 b) 0, Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) 0, 0,, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 08

11 9. a) f() 6 0, ,009 b) 0, f() 6 0,,7 7, a) b) : c) : 9. a) b) 0 0, 0 0 c) ( 0 ) ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 09

12 96. Luvut väliltä, < <, pyöristyvät yhden desimaalin tarkkuudella luvuksi,., 9,0, 06,60 Yhtälön 00 ratkaisu on välillä, < <,. Ratkaisun yksidesimaalinen likiarvo on siis,. 97. a) 0, 0 0, 0, 0,, 0, 6, 0,,6, 0,, 9,88, 0,, 0, Koska ratkaisu on välillä, < <,, sen yksi desimaalinen likiarvo on,. b),,,,,8,,6,,,,8,,,,8,6,,6,97,7,,7,09,6,,6,0 98. a) Koska ratkaisu on välillä,6 < <,6, sen yksi desimaalinen likiarvo on, ( ) ± ( ) 0 ± 6 ± + 0 tai a, b, c 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

13 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut b) tai ) ( 6,, ± ± ± + + c b a

14 Logaritmi ja eksponenttiyhtälö 99. a) b) c) a) lg koska b) lg 0 koska 0 0 c) lg 0,00 koska 0 0,00 0. a) lg,0, b) lg 700,, c) lg,87 0,78 0,7 0. a) lg,..., lg b) lg, 0,... 0 lg,0 c) lg 0,7 6,9... 7, 0 lg 0,9 0. a) 0 6 lg 6 0,778 0,778 b) lg 800,68,68 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

15 c) 0 0 lg ( 0) Negatiivisella luvulla ei ole logaritmia. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) lg 00, b) lg 0,7 0. a) ph lg 0,0006 (,87 ), b) ph lg 0,00000 (,0),0 c) poh lg 0,00 (,979 ),979, ph +, ph,,6 d) poh lg 0,0000 (,0),0 ph +,0 ph,0 0,0 06. a) [H O + ] 0,9 0,008 0,00 (mol/l) b) [H O + ] 0, 0,000006, 0 6 (mol/l) c) [H O + ] 0 9,7,99 0 0,0 0 0 (mol/l) d) [OH ] 0,0 0,0 (mol/l) 07. a) 8 0 lg 8 lg,06 b),06 0 c) Negatiivista lukua ei voida kirjoittaa luvun 0 potenssina. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

16 08. a) 00 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b), lg, lg 0 0 ( ) lg, lg 0 0 lg, lg lg lg, 6, ,6 7,7... 7,7 : lg : lg, 09. a), : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg lg lg,0,78..., b) 0, : 000 lg 0,98 lg 0,6 0 0 ( ) lg 0,98 lg 0,6 0 0 lg 0,98 lg 0,6 lg 0,6 lg 0,98,8..., : lg,0 : lg 0,98 0. a) 00 % + % %,, 0 b), c), : 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

17 , lg, ( 0 ) 0 lg 0 0 lg, lg lg, lg 0 : lg, lg 0 9, lg, Kanien määrä on kasvanut tuhanteen kymmenessä vuodessa.. 00 % + 0, % 00, %,00,00,8,,00 lg,00 ( 0 ),,8 lg 0,,8 :,8, lg lg,00,8 0 0, lg,00 lg : lg,00,8, lg,8 0,... 0, lg, , 07, Väkiluku ylittää, miljoonaa vuoden 07 aikana.. 00 % % 9 % 0,9 0,9,0 0, 0, 0,9,0 lg 0,9 ( 0 ) 0, lg,0 0 :,0 0, lg lg 0,9, , lg 0,9 lg : lg 0,9,0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

18 0, lg,0 7,8... 7, lg 0, , 0, Ilkka pääsee tavoitteeseensa vuoden 0 aikana.. Merkitään liikevaihtoa alussa kirjaimella a. 00 % + 0 % 0 %,, a a : a lg, ( 0 ), lg 0 lg, lg 0 0 lg, lg : lg, lg,6..., lg, Liikevaihto on kolminkertaistunut vuodessa.. Merkitään isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a. Määrä lopuksi on 0,a. 00 % 7, % 8,7 % 0,87 0,87 a 0,a : a 0,87 0, lg 0,87 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,87 lg 0, 0 0 lg 0,87 lg 0, : lg 0,87 lg 0,,690...,6 lg 0,87 Puoliintumisaika on,6 vuorokautta.. Kara Mellin talletus vuoden kuluttua:,06 00 Kauko Putken talletus vuoden kuluttua:,0 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

19 ,06 00,0 0,0 0,06 00,06 0,0 00,06 0,9,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0 : 00 :,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0,06,06 lg lg 0,9 : lg,0,0 lg 0,9,6...,6,06 lg,0 Kaukon talletus kasvaa Karan talletusta suuremmaksi vuodessa. 6. Kirjoitetaan molemmat kymmenen pontenssina lg 800 ( 0 ) lg lg 900 ( 0 ) lg Koska molemmilla luvuilla on sama kantaluku, suurempi on se, jonka eksponentti on suurempi. lg 800, 9 lg 900 8,6 Luku 800 on suurempi. 7. a) lg 0 000,77,8 b) lg,08 0,0 0,0 c) lg0, 8,6967 8,79 lg0,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

20 8. a) 0 lg,00,0 (db) 0 b) Huutosakin koko kasvaa 0 kertaiseksi. 0 lg 0 0 (db) c) Varisten määrä kasvaa, kertaiseksi. 0 lg,,7609,8 (db) 9. a) 000 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg : lg,988...,98 lg b) 0,99 0, lg 0,99 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,99 lg 0, 0 0 lg 0,99 lg 0, : lg 0,99 lg 0, 68, ,0 lg 0,99 0. a),0 0 0 : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg : lg,0 lg, ,99 lg,0 b) 0,9 8 :8 0,9 8 lg lg 0, ( ) lg lg 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

21 lg 0,9 lg : lg 0,9 8 lg 8,76...,6 lg 0,9. 00 % +,80 % 0,8 %,08, ,08 lg,08 ( 0 ), lg, 0 : 00 lg,08 lg, 0 0 lg,08 lg, : lg,08 lg,,68...,7 lg,08 Rahamäärä 00 ylittyy vuoden kuluttua.. 00 % +, % 0, %,0,0,09,,0 lg,0 ( 0 ),,09 lg 0,,09, lg lg,0,09 0 0, lg,0 lg : lg,0,09, lg,09,..., lg, , 08, Väkiluku ylittää, miljardin rajan vuonna 08. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

22 . 00 % 7, % 9,6 % 0,96 0, ,96 0, lg 0,96 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,96 lg 0, 0 0 lg 0,96 lg0, : lg 0,96 lg 0, 9, ,9 lg 0, ,9 99,9 Tiikerikannan suuruus laski alle vuonna 90.. Merkitään alkuperäisen kuvan suuruutta kirjaimella a. 0,9 a a : a lg lg 0,9 0 0 ( ) lg lg 0,9 0 0 lg 0,9 lg : lg 0,9 lg,7..., lg 0,9 Pienenee alle kolmasosaan kopioinnin jälkeen.. Merkitään :llä C hiilen määrän puoliutumiskertoja. Merkitään aineen määrää alussa a:lla.. 0,, 0 0,0a, 0 0,, 0, 0, 0,, lg 0, ( 0 ) 0 0, lg, 0, lg, 0,0a lg 0, 0 0 0, lg 0, lg : lg 0, : 0,0a:0 :, 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

23 0, lg,8...,8 lg 0, Fossiilin ikä on,8-kertainen puoliintumisaikaan verrattuna., , Kirjoitetaan molemmat luvut kymmenen potenssina lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 Luvuista se, jonka eksponentti on suurempi, on suurempi. 00 lg, lg, on suurempi. 7. 0, 80 0, 0 : 80 0, 0 0, 80 0, 0 0, 80 : 0, 0, 0, 0, 0,6 0, lg 0,6 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,6 lg 0, 0 0 lg 0,6 lg 0, : lg 0,6 lg 0,,78...,7 lg 0,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

24 Potenssiyhtälö 8. a) 8, koska 8 b), koska c) 0 0, koska a) 0, koska eksponentti on parillinen. b) 6 7 0, koska parillisen potenssin vastaukseksi ei voi tulla negatiivista lukua. c) k, koska eksponentti on pariton. 0. a) 7 b) 6 ± 6 ± tai c). a) ± 70 ±,000...,0 tai,0 b) 7,... 7, c) 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska parillisen potenssin arvo ei voi olla negatiivinen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

25 . a) 0 : ± ±,879...,87 tai,87 b) 9 0 : 9 9,98...,0 c) k + 0 k : k 8 k 8,7...,. a) k b) k c) k : k k 7 8,09...,0 d),0 0, % 0, % 00 %, %. Merkitään korkoa vastaavaa kasvukerrointa k:lla. k , : , k,87 00 k ± 6,87 k, ,090,090 0,90 % 0,90 % 00 %,90 % Tilin korko on,90 %. Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. 00 % 0 % 70 % 0,7 Merkitään päästöjä alussa kirjaimella a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

26 k a 0,7a k 0,7 : a k 0,7 0,9... 0,9 Jos tavoitteeseen päästään, päästöjen määrä muuttuu 0,9-kertaiseksi vuosittain. Vähennystä on silloin vuosittain 00 % 9 % 7 %. 6. a),0 0,8... 8,%,7 00% 8,%,6% 6% Kurssi laski 6 %. b) Merkitään kerrointa k:lla. k.,7,0 :,7,0 k,7 k,0,7 0, ,9 0,9,7,070...,07 ( ) 7. a) Merkitään väkiluvun vuotuista kasvukerrointa k:lla. k : k k ,00 0,0 %,00 % 00 %,0 %,006...,00 Keskimääräinen vuotuinen väestönkasvu oli,0 % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

27 b), , 00 : 06, 00,006 06, lg,006 ( 0 ) 00 lg 0 06, 00 lg lg, , 00 lg,006 lg 06, 00 lg 06, 8, ,7 lg, , + 8,7 09, Indonesian väkiluku ylittää 00 miljoonaa vuoden 09 aikana. 8. a) + 0 ( + ) 0 0 tai + 0 b) 8 0 ( 8) 0 0 tai ± 8 ± 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) c) 6 : 0. a),96...,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

28 b) ± 0 ±,68... ±,7,7 tai,7 c) 6 lg lg6 0 0 ( ) lg lg6 0 0 lg lg6 lg6,69..., lg. Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k ,7 : ,7 k ,7 k, , ,8 % 00 %,8 % Korko oli,8 %. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k k ± 0 99 k 0, ,87 00 % 87 % % Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. Auton arvo aleni vuosittain %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

29 . Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k. 8, 0 : 8, k k ± 0 8, 0 8, k,0...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.,0 0, % 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun pitää olla, %.. a) Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k k ± 0 0 k 0, ,97 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 00 % 9,7 %, % Norsujen määrä laski vuosittain keskimäärin, %. b) 0, , a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k k k ± k,000...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa., , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

30 b) Vuotta kohti kasvua on ,. 907, , a) 6 0 ( ) 0 0 tai 0 0 ± ± b) ( 8) 0 0 tai Merkitään lämpötilaeron muuttumista kuvaavaa kerrointa k:lla. k. ( ) (8 ) ero alussa ero lopussa k ( ) (8 ) k 9 k 9 k lg 0,9 ( 0 ) 9 7 0,9 9 7 lg lg lg 0, , ,9 ero ero lopussa alussa ,9 ( ) (0 ) : 9 7 lg 0,9 lg 9 7 lg 9 8, ,9 lg 0,9 Kahvi olisi jäähtynyt alle 0-asteiseksi 9 minuutissa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

31 Kertaustehtäviä 8. a) 0 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b) lg lg 0 0 ( ) lg lg 0 0 lg lg : lg,9..., : lg lg,69...,6 lg c) 7,8... 7,6 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) 6 c) : 6 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) 00 % +, % 0, % 0, %,0 f(),0 00 b) f(9), ,00 9,00 ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

32 c), : 00,0, lg,0 ( 0 ) lg, 0 lg,0 lg, 0 0 lg,0 lg, lg, lg,0 : lg,0 7,... 7, Tilillä on yli vuoden kuluttua.. a) 00 %,8 % 98, % 98, % 0,98 0, ,7 860 b) 0, ,7 0 lg800 lg 00. a),900..., 9 lg,0 6 vuotta lg000 lg 00 b),9..., lg,0 vuotta. Merkitään alkuperäistä liikevaihtoa a:lla ja vuotuista kasvukerrointa k:lla. Tavoitteen mukainen liikevaihto kymmenen vuoden kuluttua on,a. 0 k a,a 0 k, k ± 0, Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. k,07...,0 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun on oltava, %.. a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

33 k : k 7 k 7 0,8 % 00 %,8 %,070...,08 Vuotuinen kasvu on keskimäärin,8 %. b), : , lg lg, ( ) , 09, Vuonna lg lg, lg,08 lg 7 00 lg 7 9,... 9, lg,08., Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

34 6. 0, 0, 0, 0, : 0, 0, 0, 0, 0, 0, lg 0, ( 0 ) lg 0 lg 0, lg 0 0 lg0, lg lg lg 0,, ,9 7. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k ,897 8 k , ,897 97, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

35 Harjoituskokeet Koe. a) Suora leikkaa -akselin, kun y 0. 0 b) (a ) + a. a 6a + a 7a c) + 6b 6b : b Vastaus a) Suora y leikkaa -akselin pisteessä,0. b) 7a c) b. a) 70 70,..., b) ± 00 ±,... ±, c) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi.,0, (0 lg,0 ) lg, 0 0 lg,0 lg, 0. lg,0 lg, : lg,0 lg, 0,7... 0, lg,0 Vastaus a),; b), tai,; c) 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

36 . a) Ensimmäinen alennuksen jälkeen hinnasta jää jäljelle 00 % % 8 %. 0,8. 9, ( ) Tätä hintaa lasketaan edelleen 0 %, eli uusi hinta on 00 % 0 % 80 % edellisestä. 0,80., 6, ( ) b) Yhden korotuksen jälkeen palkka on 00 % +, % 0, % eli,0- kertainen verrattuna tilanteeseen ennen korotusta. Merkitään alkuperäistä palkkaa a:lla. Palkka ensimmäisen korotuksen jälkeen:,0 a,0a. Palkka toisen korotuksen jälkeen:,0,0a,0 a,090a Palkka on korotusten jälkeen,090-kertainen alkutilanteeseen verrattuna. Kokonaiskorotus on 09,0 % 00 % 9,0 % 9, %. Vastaus a) 6,, b) 9, %. Muodostetaan suoran yhtälö kaavalla y y 0 k( 0 ). Sijoitetaan kaavaan k ja ( 0, y 0 ) (, ). y ( ) ( ) y + ( ) y + 6 y Sijoitetaan pisteen (0, 9) -koordinaatti yhtälön oikeaan puoleen Vastaus on sama kuin pisteen y-koordinaatti, joten piste on suoralla Vastaus Suoran yhtälö on y ja piste (0, 9) on suoralla.. Lääkkeen määrä vähenee tunnissa,6 %, joten siitä on jäljellä tunnin kuluttua 00 %,6 % 9, %. 9, % 0,9 Merkitään lääkkeen alkuperäistä määrää a:lla. Tunnin kuluttua lääkkeen ottamisestasta lääkkeen määrä elimistössä on 0,9a, kahden tunnin kuluttua 0,9 a ja tunnin kuluttua 0,9 a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

37 Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lääkkeen määrä on puolet alkuperäisestä. 0,9. a 0,a : a 0,9 0, (0 lg 0,9 ) lg 0, 0 0 lg 0,9 lg 0, 0 lg 0,9 lg 0, : lg 0,9 lg 0,,07..., 0 lg 0,9 Vastaus Puoliintumisaika on tuntia. 6. Koska riippuvuus on lineaarinen, sitä kuvaa suora. Suoralta tunnetaan kaksi pistettä (, y ) (, ) ja (, y ) (6, 0). Lasketaan näiden pisteiden avulla suoran kulmakerroin. k y y 0 6 0, Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (6, 0) suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälöä. y 0 0,( 6) y 0, 7, + 0 y 0, +,8 Ratkaistaan, kun y 8,. 8, 0, +,8 0, 8,,8 0,,7 : 0, 8, Vastaus Suoran yhtälö on y 0,,8 ja arvosanaan 8½ vaaditaan 8, pistettä 7. Merkitään väkiluvun vuosittaista kasvukerrointa k:lla Neljässä vuodessa väkiluku on tulee k -kertaseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k : 98 k k ± Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 98 k,00676,00677 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

38 Väkiluku on noin,007-kertainen edellisen vuoden väkilukuun verrattuna. Väkiluku kasvaa siis 00,7 % 00 % 0,7 % vuodessa. Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. Arvio väkiluvulle vuonna 00 on 6, , Vastaus Väkiluku kasvoi keskimäärin 0,7 % vuodessa. Arvio Lahden väkiluvulle on 0 00 vuonna Piirretään tilanteesta kuva. Muokataan piirtämistä varten suoran + y 9 0 yhtälöä. + y 9 0 y + 9 : y, +, Kolmion yksi kärkipiste on (0, 0). Selvitetään kahden muun kärkipisteen koordinaatit. Suoran y, +, ja y-akselin leikkauspisteen (0;,) näkee suoran yhtälöstä. Suoran y, +, ja -akselin leikkauspisteessä y 0. Ratkaistaan., +, 0,, : (,),8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

39 Leikkauspiste on (,8; 0). Kolmion kannaksi ja korkeudeksi voidaan valita koordinaattiakseleilla sijaisevat sivut. Kolmion kanta on,8 00 m 80 m ja korkeus, 00 m 0 m. Lasketaan kolmion pinta-ala. A 80 m 0 m 0 00 m,0 ha,ha Vastaus Palstan pinta-ala on, ha. 9. Merkitään yhden tuotteen alkuperäistä hintaa a:lla. Myynti tarkoittaa myytyjen tuotteiden lukumäärää. Merkitään alkuperäistä myyntiä b:llä. Taulukoidaan annetut tiedot ennen ja jälkeen hinnankorotuksen. Merkitään myynnin muutosta kuvaavaa kerrointa :llä. Hinta Myynti Tuotto Ennen korotusta a b ab Korotuksen jälkeen,00a b,00a b,00. ab Selvitetään yhtälön avulla, millä luvulla alkuperäinen myynti on kerrottava, jotta tuotto nousisi,0 %.,00. ab,00ab : ab,00,00 :,00 0,0 0, , 98 0,0 Myynti on tällöin pienentynyt 00 % 98, %,9 %. Vastaus Myynti saa pienentyä enintään,9 %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

40 Koe. a) : 6 6 b) s ( ) s s s s s 6 s c) Vastaus a), b) s, 6 6 s c). a) Valitaan (, y ) (9, 7) ja (, y ) (, 9). Suoran kulmakerroin on y y k. 9 b) Sijoitetaan funktion f() + lausekkeeseen. f( ) +. ( ) c) Molempien pisteiden (, ) ja (, ) -koordinaatti on. Kyseessä on pystysuora, jonka yhtälö on. Vastaus a), b), c). a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi. 0, (0 lg ) lg 0, 0 0 lg lg 0, 0. lg lg 0, : lg lg 0,,7..., 7 lg b) 00 ± 00 ±,67... ±, 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

41 c) ,786..., 79 Vastaus a),7; b),6 tai,6; c),79. a) Ensimmäinen korotus oli %, joten korotettu hinta on 00 % + % % alkuperäisestä.,.,90,6 ( ) Tätä hintaa lasketaan %, eli uusi hinta on 00 % % 7 % edellisestä. 0,7.,6,787,7 ( ) b) Kun talletuksen arvo tulee vuodessa k-kertaiseksi, se tulee kolmessa vuodessa k k k k -kertaiseksi. Ratkaistaan kerroin k yhtälön avulla. k ,9 : 600 k,08 k,08, , 07 Saldo kasvaa siis,07-kertaiseksi vuodessa. Lasketaan korko. 0,7 % 00 %,7 % Vastaus a),7 ; b),7 %. Sijoitetaan pisteet (, y ) (, 9) ja (, y ) (, ) kulmakertoimen kaavaan. k y y ( ) 9 ( ) 6 Sijoitetaan saatu kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (, 9), suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälö totuttuun muotoon. y 9 ( ( )) y 9 y + 9 y + Suoran ja y-akselin leikkauspiste nähdään suoran yhtälöstä. Se on (0, ). Vastaus y + ; suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

42 6. Tehtävänannossa ei kirjan. painoksessa sanota selvästi, mistä ajankohdasta tuntien laskeminen aloitetaan. Samoin kaikkien matkapuhelinten tavoittaminen on tällä kurssilla tulkittava tapahtuvan samalla lähetyskierroksella. Jos aloitushetki on tunti ennen Lumin ensimmäisiä viestejä, yhden tunnin kuluttua viestejä lähtee, kahden tunnin kuluttua, kolmen tunnin kuluttua ja tunnin kulutua. Siis f(). Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lähtevien viestien määrä ylittää (0 lg ) lg lg lg lg lg : lg lg ,7..., lg Viestien määrä ylittää. lähetyskierroksella Jos tuntien laskeminen aloitetaan Lumin lähettämistä ensmmäisestä kolmesta viestistä, kysytty funktio on f() + ja ylitys tapahtuu tunnin kuluttua. Vastaus f() ; tunnin kuluttua 7. Eksponentiaalisessa vähenemisessä gepardien määrä vähenee joka vuosi yhtä monella prosentilla. Merkitään k:lla vuotuista muutoskerrointa. 80-vuoden aikana gepardien määrä muuttuu k 80 -kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k : k k ± 80 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa k 0,9860 0,986 Gepardien määrä vuoden kuluttua vuodesta 900 oli mallin mukaan 0, Selvitetään, minä vuonna määrä oli , : , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

43 0,986 0, Sovellustehtävässä voi käyttää likiarvoa. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0,986 ) lg 0, 0 0 lg 0,986 lg 0, 0. lg 0,986 lg 0, : lg 0,986 lg 0,,7...,6 lg 0,986 Määrä alitti joko vuonna 9 tai 9 riippuen siitä, ovatko annetut tiedot vuosien alusta vai lopusta. Vastaus Määrä alitti vuosien 9 9 paikkeilla. 8. Merkitään särmiön alkuperäistä pituutta a:lla, leveyttä b:llä ja korkeutta c:llä. Kootaan arvot taulukkoon. Särmiö alussa Särmiö muutoksen jälkeen Pituus Leveys Korkeus Tilavuus a b c abc,a,6b 0,c,a.,6b. 0,c 0,76abc Muuttunut tilavuus on 7,6 % alkuperäisestä. Tilavuuden muutos on 7,6 % 00 % 8, % 9 %. Vastaus Särmiön tilavuus pienenee 9 %. 9. a) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, a, b ja c. ± ± 6 ± ± tai Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

44 b) Muokataan yhtälöä niin, että muuttujan sisältävät potenssit ovat vasemmalla puolella : 80 6 : a a Käytetään laskusääntöä. n 80 b b , 0,6 Desimaalimuotoja voi käyttää, koska ne ovat tarkkoja. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0, ) lg 0,6 0 0 lg 0, lg 0,6 0 lg 0, lg 0,6 : lg 0,6 lg 0,6 lg 0, n n Yhtälön voi ratkaista myös ilman logaritmia supistamalla murtoluvut muodosta ja käyttämällä potenssien laskusääntöjä. Yhtälön molemmille 6 80 puolille saadaan tällä menetelmällä kantaluvuksi. Vastaus a) tai, b) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ

3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ 3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Säännön mukaan äänenvoimakkuus kaksinkertaistuu, kun äänilähteiden määrä 10-kertaistuu. Saksofonisteja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 saksofonistia 2.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4 4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI MAB3 Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB3 Matemaattisia malleja I Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi (MAB3-kurssin työtila on nähtävillä

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot