3 Eksponentiaalinen malli

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Eksponentiaalinen malli"

Transkriptio

1 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06, 0,90 6,0 8,96 9,0 8 0,90 8 6,0,9, 0,90 6,0 6. a) 00 % + % 0 %,0, ,0 0,0 ( ) b) f ( ), a) 6 g (6),08,6,8..., (cm) b) Alkuperäinen korkeus on,6 cm. c),08 08 %. Suurennos on 08 % 00 % 8 %. 67. a) 00 % 9 % 9 % 0,9 f() 0, b) Vuodesta 970 vuoteen 980 on 0 vuotta. 0 f (0) 0, , Vuodesta 970 vuoteen 99 on vuotta. f () 0, , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 99

2 68. a) 00 % + 0, % 00, %,00 t f ( t),00 80 b) Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. f (), , c) Vuosi 000 oli vuotta ennen vuotta 00. Eksponentiksi tulee luku. f (), , a) 00 % % 99 % 0,99 t f ( t) 0,99 0 b), f (,) 0,99 0,8... (g) c), f (,) 0,99 0 6, (g) % + % 0 %,0 Merkitään liikevaihtoa alussa a:lla. a,0 8 a,77..., 77a Liikevaihto on kasvanut,77-kertaiseksi.,77 7,7 % Kasvua on 7,7 % 00 % 7,7 % 8 %. 7. a) 00 % % 8% 0, 8 Merkitään päästöjen määrää alussa a:lla. 0,8 a 0,70... a 0, a Päästöt muuttuvat 0,-kertaiseksi. 0 % % 6 %. b) : 0,8 a 0, a 6: 0,8 6 a 0, 77a 7: 0,8 7 a 0, a 8: 0,8 8 a 0, 7a 9: 0,8 9 a 0, a 9 vuodessa ollaan alle %:n tavoitteen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 00

3 7. a) f () e 0, , f ( ) e ( ) 0,8 0, ,0 b) g (8) e 0, , 07 g (,) e 0, (,),88...,8 7. Lähetyskierros Viestin saaneita ihmisiä lähetyskierroksella n n 7. a) f (), 90 68, b) f ( ), 90 0 c) 90 on bakteerien lukumäärä alussa ja niiden määrä puolitoistakertaistuu tunnissa. 7. a) 00 % + 8 % 08 %,08 f ( ), ( ) 0 b) f (0), , ( ), 76. a) f (,) 0,87 00,8... (mg) b) 00 mg c) 0,87 87, %, 00 % 87, %,9 % 77. a) 00 % +, % 0, %,0 f ( ), b) Vuodesta 006 vuoteen 0 on 9 vuotta 9 f (9),0,09,09..., (miljardia) c) Vuosi 99 oli vuotta ennen vuotta 006. f ( ),0,09 0, ,90 (miljardia) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

4 0,90 miljardia 90 miljoonaa % % 98 % 0,98 Merkitään energian kulutusta alussa a:lla. 0 0,98 a 0, a 0, 8a 00 % 8 % 8 % 79. a) 0, a 0,66... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. b) 0, a 0, a 0, 07a. Valosta pääsee läpi 7 %. c) 0, a 0,76... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. 80. a) 00 % +, % 0, %,0 Alkuperäinen talletus on a.,0 a,69... a, 69a. Talletus kasvaa korkoa 6,9 % 00 % 6,9 % viiden vuoden aikana. b) Talletus lopussa on,a. vuotta: a,0, 6a 0 vuotta: a,0 0, 7a vuotta: a,0, 99a vuotta: a,0, a vuotta: a,0, 87a vuotta: a,0, a Talletuksen arvo on kasvanut,-kertaiseksi vuoden kuluttua. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

5 Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälö 8. a) f(), b) g() 0,8 c) h() 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0 8. a) b) 8 c) a) 8 : b) : c) a) ( ) ( ) 6 Käytetään potenssin potenssin kaavaa 6 a a n m m n b) ( ) 8 8 8

7 c) 9 Vaihdetaan käänteisluku negatiiviseksi eksponentiksi a n n a 8. a) f () 6 b) f 86. a), b) 0,6 c) Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 87. a),,,8,6,6,,7,7,,6,6, Ratkaisu on välillä,6 < <,7, joten yhdendesimaalin tarkkuudella,7 b) , 7 0,,6 0,6 7 0,6, 0, 7 0,,9 Ratkaisu on välillä 0, < < 0,6, joten yhden desimaalin tarkkuudella 0,6. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 06 c),08,08,08 0,08 0, 9,08 9,99 9,,08 9,,0 9,0,08 9,0,006 9,0,08 9,0,00 Ratkaisu on välillä 9 < < 9,0, joten yhden desimaalin tarkkuudella 9, a) 9 tai ,, 9) ( ± ± ± c b a b) + tai,, ) ( ± ± ± + + c b a 89. a) :

9 b) 6 ( ) 90. a) f() 0,98 b) g(), Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 07

10 c) h(), 9. a) b) 6 c) ( ) a) 0,,6 b) 0, Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) 0, 0,, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 08

11 9. a) f() 6 0, ,009 b) 0, f() 6 0,,7 7, a) b) : c) : 9. a) b) 0 0, 0 0 c) ( 0 ) ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 09

12 96. Luvut väliltä, < <, pyöristyvät yhden desimaalin tarkkuudella luvuksi,., 9,0, 06,60 Yhtälön 00 ratkaisu on välillä, < <,. Ratkaisun yksidesimaalinen likiarvo on siis,. 97. a) 0, 0 0, 0, 0,, 0, 6, 0,,6, 0,, 9,88, 0,, 0, Koska ratkaisu on välillä, < <,, sen yksi desimaalinen likiarvo on,. b),,,,,8,,6,,,,8,,,,8,6,,6,97,7,,7,09,6,,6,0 98. a) Koska ratkaisu on välillä,6 < <,6, sen yksi desimaalinen likiarvo on, ( ) ± ( ) 0 ± 6 ± + 0 tai a, b, c 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

13 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut b) tai ) ( 6,, ± ± ± + + c b a

14 Logaritmi ja eksponenttiyhtälö 99. a) b) c) a) lg koska b) lg 0 koska 0 0 c) lg 0,00 koska 0 0,00 0. a) lg,0, b) lg 700,, c) lg,87 0,78 0,7 0. a) lg,..., lg b) lg, 0,... 0 lg,0 c) lg 0,7 6,9... 7, 0 lg 0,9 0. a) 0 6 lg 6 0,778 0,778 b) lg 800,68,68 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

15 c) 0 0 lg ( 0) Negatiivisella luvulla ei ole logaritmia. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) lg 00, b) lg 0,7 0. a) ph lg 0,0006 (,87 ), b) ph lg 0,00000 (,0),0 c) poh lg 0,00 (,979 ),979, ph +, ph,,6 d) poh lg 0,0000 (,0),0 ph +,0 ph,0 0,0 06. a) [H O + ] 0,9 0,008 0,00 (mol/l) b) [H O + ] 0, 0,000006, 0 6 (mol/l) c) [H O + ] 0 9,7,99 0 0,0 0 0 (mol/l) d) [OH ] 0,0 0,0 (mol/l) 07. a) 8 0 lg 8 lg,06 b),06 0 c) Negatiivista lukua ei voida kirjoittaa luvun 0 potenssina. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

16 08. a) 00 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b), lg, lg 0 0 ( ) lg, lg 0 0 lg, lg lg lg, 6, ,6 7,7... 7,7 : lg : lg, 09. a), : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg lg lg,0,78..., b) 0, : 000 lg 0,98 lg 0,6 0 0 ( ) lg 0,98 lg 0,6 0 0 lg 0,98 lg 0,6 lg 0,6 lg 0,98,8..., : lg,0 : lg 0,98 0. a) 00 % + % %,, 0 b), c), : 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

17 , lg, ( 0 ) 0 lg 0 0 lg, lg lg, lg 0 : lg, lg 0 9, lg, Kanien määrä on kasvanut tuhanteen kymmenessä vuodessa.. 00 % + 0, % 00, %,00,00,8,,00 lg,00 ( 0 ),,8 lg 0,,8 :,8, lg lg,00,8 0 0, lg,00 lg : lg,00,8, lg,8 0,... 0, lg, , 07, Väkiluku ylittää, miljoonaa vuoden 07 aikana.. 00 % % 9 % 0,9 0,9,0 0, 0, 0,9,0 lg 0,9 ( 0 ) 0, lg,0 0 :,0 0, lg lg 0,9, , lg 0,9 lg : lg 0,9,0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

18 0, lg,0 7,8... 7, lg 0, , 0, Ilkka pääsee tavoitteeseensa vuoden 0 aikana.. Merkitään liikevaihtoa alussa kirjaimella a. 00 % + 0 % 0 %,, a a : a lg, ( 0 ), lg 0 lg, lg 0 0 lg, lg : lg, lg,6..., lg, Liikevaihto on kolminkertaistunut vuodessa.. Merkitään isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a. Määrä lopuksi on 0,a. 00 % 7, % 8,7 % 0,87 0,87 a 0,a : a 0,87 0, lg 0,87 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,87 lg 0, 0 0 lg 0,87 lg 0, : lg 0,87 lg 0,,690...,6 lg 0,87 Puoliintumisaika on,6 vuorokautta.. Kara Mellin talletus vuoden kuluttua:,06 00 Kauko Putken talletus vuoden kuluttua:,0 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

19 ,06 00,0 0,0 0,06 00,06 0,0 00,06 0,9,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0 : 00 :,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0,06,06 lg lg 0,9 : lg,0,0 lg 0,9,6...,6,06 lg,0 Kaukon talletus kasvaa Karan talletusta suuremmaksi vuodessa. 6. Kirjoitetaan molemmat kymmenen pontenssina lg 800 ( 0 ) lg lg 900 ( 0 ) lg Koska molemmilla luvuilla on sama kantaluku, suurempi on se, jonka eksponentti on suurempi. lg 800, 9 lg 900 8,6 Luku 800 on suurempi. 7. a) lg 0 000,77,8 b) lg,08 0,0 0,0 c) lg0, 8,6967 8,79 lg0,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

20 8. a) 0 lg,00,0 (db) 0 b) Huutosakin koko kasvaa 0 kertaiseksi. 0 lg 0 0 (db) c) Varisten määrä kasvaa, kertaiseksi. 0 lg,,7609,8 (db) 9. a) 000 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg : lg,988...,98 lg b) 0,99 0, lg 0,99 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,99 lg 0, 0 0 lg 0,99 lg 0, : lg 0,99 lg 0, 68, ,0 lg 0,99 0. a),0 0 0 : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg : lg,0 lg, ,99 lg,0 b) 0,9 8 :8 0,9 8 lg lg 0, ( ) lg lg 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

21 lg 0,9 lg : lg 0,9 8 lg 8,76...,6 lg 0,9. 00 % +,80 % 0,8 %,08, ,08 lg,08 ( 0 ), lg, 0 : 00 lg,08 lg, 0 0 lg,08 lg, : lg,08 lg,,68...,7 lg,08 Rahamäärä 00 ylittyy vuoden kuluttua.. 00 % +, % 0, %,0,0,09,,0 lg,0 ( 0 ),,09 lg 0,,09, lg lg,0,09 0 0, lg,0 lg : lg,0,09, lg,09,..., lg, , 08, Väkiluku ylittää, miljardin rajan vuonna 08. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

22 . 00 % 7, % 9,6 % 0,96 0, ,96 0, lg 0,96 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,96 lg 0, 0 0 lg 0,96 lg0, : lg 0,96 lg 0, 9, ,9 lg 0, ,9 99,9 Tiikerikannan suuruus laski alle vuonna 90.. Merkitään alkuperäisen kuvan suuruutta kirjaimella a. 0,9 a a : a lg lg 0,9 0 0 ( ) lg lg 0,9 0 0 lg 0,9 lg : lg 0,9 lg,7..., lg 0,9 Pienenee alle kolmasosaan kopioinnin jälkeen.. Merkitään :llä C hiilen määrän puoliutumiskertoja. Merkitään aineen määrää alussa a:lla.. 0,, 0 0,0a, 0 0,, 0, 0, 0,, lg 0, ( 0 ) 0 0, lg, 0, lg, 0,0a lg 0, 0 0 0, lg 0, lg : lg 0, : 0,0a:0 :, 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

23 0, lg,8...,8 lg 0, Fossiilin ikä on,8-kertainen puoliintumisaikaan verrattuna., , Kirjoitetaan molemmat luvut kymmenen potenssina lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 Luvuista se, jonka eksponentti on suurempi, on suurempi. 00 lg, lg, on suurempi. 7. 0, 80 0, 0 : 80 0, 0 0, 80 0, 0 0, 80 : 0, 0, 0, 0, 0,6 0, lg 0,6 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,6 lg 0, 0 0 lg 0,6 lg 0, : lg 0,6 lg 0,,78...,7 lg 0,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

24 Potenssiyhtälö 8. a) 8, koska 8 b), koska c) 0 0, koska a) 0, koska eksponentti on parillinen. b) 6 7 0, koska parillisen potenssin vastaukseksi ei voi tulla negatiivista lukua. c) k, koska eksponentti on pariton. 0. a) 7 b) 6 ± 6 ± tai c). a) ± 70 ±,000...,0 tai,0 b) 7,... 7, c) 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska parillisen potenssin arvo ei voi olla negatiivinen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

25 . a) 0 : ± ±,879...,87 tai,87 b) 9 0 : 9 9,98...,0 c) k + 0 k : k 8 k 8,7...,. a) k b) k c) k : k k 7 8,09...,0 d),0 0, % 0, % 00 %, %. Merkitään korkoa vastaavaa kasvukerrointa k:lla. k , : , k,87 00 k ± 6,87 k, ,090,090 0,90 % 0,90 % 00 %,90 % Tilin korko on,90 %. Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. 00 % 0 % 70 % 0,7 Merkitään päästöjä alussa kirjaimella a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

26 k a 0,7a k 0,7 : a k 0,7 0,9... 0,9 Jos tavoitteeseen päästään, päästöjen määrä muuttuu 0,9-kertaiseksi vuosittain. Vähennystä on silloin vuosittain 00 % 9 % 7 %. 6. a),0 0,8... 8,%,7 00% 8,%,6% 6% Kurssi laski 6 %. b) Merkitään kerrointa k:lla. k.,7,0 :,7,0 k,7 k,0,7 0, ,9 0,9,7,070...,07 ( ) 7. a) Merkitään väkiluvun vuotuista kasvukerrointa k:lla. k : k k ,00 0,0 %,00 % 00 %,0 %,006...,00 Keskimääräinen vuotuinen väestönkasvu oli,0 % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

27 b), , 00 : 06, 00,006 06, lg,006 ( 0 ) 00 lg 0 06, 00 lg lg, , 00 lg,006 lg 06, 00 lg 06, 8, ,7 lg, , + 8,7 09, Indonesian väkiluku ylittää 00 miljoonaa vuoden 09 aikana. 8. a) + 0 ( + ) 0 0 tai + 0 b) 8 0 ( 8) 0 0 tai ± 8 ± 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) c) 6 : 0. a),96...,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

28 b) ± 0 ±,68... ±,7,7 tai,7 c) 6 lg lg6 0 0 ( ) lg lg6 0 0 lg lg6 lg6,69..., lg. Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k ,7 : ,7 k ,7 k, , ,8 % 00 %,8 % Korko oli,8 %. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k k ± 0 99 k 0, ,87 00 % 87 % % Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. Auton arvo aleni vuosittain %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

29 . Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k. 8, 0 : 8, k k ± 0 8, 0 8, k,0...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.,0 0, % 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun pitää olla, %.. a) Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k k ± 0 0 k 0, ,97 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 00 % 9,7 %, % Norsujen määrä laski vuosittain keskimäärin, %. b) 0, , a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k k k ± k,000...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa., , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

30 b) Vuotta kohti kasvua on ,. 907, , a) 6 0 ( ) 0 0 tai 0 0 ± ± b) ( 8) 0 0 tai Merkitään lämpötilaeron muuttumista kuvaavaa kerrointa k:lla. k. ( ) (8 ) ero alussa ero lopussa k ( ) (8 ) k 9 k 9 k lg 0,9 ( 0 ) 9 7 0,9 9 7 lg lg lg 0, , ,9 ero ero lopussa alussa ,9 ( ) (0 ) : 9 7 lg 0,9 lg 9 7 lg 9 8, ,9 lg 0,9 Kahvi olisi jäähtynyt alle 0-asteiseksi 9 minuutissa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

31 Kertaustehtäviä 8. a) 0 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b) lg lg 0 0 ( ) lg lg 0 0 lg lg : lg,9..., : lg lg,69...,6 lg c) 7,8... 7,6 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) 6 c) : 6 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) 00 % +, % 0, % 0, %,0 f(),0 00 b) f(9), ,00 9,00 ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

32 c), : 00,0, lg,0 ( 0 ) lg, 0 lg,0 lg, 0 0 lg,0 lg, lg, lg,0 : lg,0 7,... 7, Tilillä on yli vuoden kuluttua.. a) 00 %,8 % 98, % 98, % 0,98 0, ,7 860 b) 0, ,7 0 lg800 lg 00. a),900..., 9 lg,0 6 vuotta lg000 lg 00 b),9..., lg,0 vuotta. Merkitään alkuperäistä liikevaihtoa a:lla ja vuotuista kasvukerrointa k:lla. Tavoitteen mukainen liikevaihto kymmenen vuoden kuluttua on,a. 0 k a,a 0 k, k ± 0, Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. k,07...,0 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun on oltava, %.. a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

33 k : k 7 k 7 0,8 % 00 %,8 %,070...,08 Vuotuinen kasvu on keskimäärin,8 %. b), : , lg lg, ( ) , 09, Vuonna lg lg, lg,08 lg 7 00 lg 7 9,... 9, lg,08., Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

34 6. 0, 0, 0, 0, : 0, 0, 0, 0, 0, 0, lg 0, ( 0 ) lg 0 lg 0, lg 0 0 lg0, lg lg lg 0,, ,9 7. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k ,897 8 k , ,897 97, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

35 Harjoituskokeet Koe. a) Suora leikkaa -akselin, kun y 0. 0 b) (a ) + a. a 6a + a 7a c) + 6b 6b : b Vastaus a) Suora y leikkaa -akselin pisteessä,0. b) 7a c) b. a) 70 70,..., b) ± 00 ±,... ±, c) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi.,0, (0 lg,0 ) lg, 0 0 lg,0 lg, 0. lg,0 lg, : lg,0 lg, 0,7... 0, lg,0 Vastaus a),; b), tai,; c) 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

36 . a) Ensimmäinen alennuksen jälkeen hinnasta jää jäljelle 00 % % 8 %. 0,8. 9, ( ) Tätä hintaa lasketaan edelleen 0 %, eli uusi hinta on 00 % 0 % 80 % edellisestä. 0,80., 6, ( ) b) Yhden korotuksen jälkeen palkka on 00 % +, % 0, % eli,0- kertainen verrattuna tilanteeseen ennen korotusta. Merkitään alkuperäistä palkkaa a:lla. Palkka ensimmäisen korotuksen jälkeen:,0 a,0a. Palkka toisen korotuksen jälkeen:,0,0a,0 a,090a Palkka on korotusten jälkeen,090-kertainen alkutilanteeseen verrattuna. Kokonaiskorotus on 09,0 % 00 % 9,0 % 9, %. Vastaus a) 6,, b) 9, %. Muodostetaan suoran yhtälö kaavalla y y 0 k( 0 ). Sijoitetaan kaavaan k ja ( 0, y 0 ) (, ). y ( ) ( ) y + ( ) y + 6 y Sijoitetaan pisteen (0, 9) -koordinaatti yhtälön oikeaan puoleen Vastaus on sama kuin pisteen y-koordinaatti, joten piste on suoralla Vastaus Suoran yhtälö on y ja piste (0, 9) on suoralla.. Lääkkeen määrä vähenee tunnissa,6 %, joten siitä on jäljellä tunnin kuluttua 00 %,6 % 9, %. 9, % 0,9 Merkitään lääkkeen alkuperäistä määrää a:lla. Tunnin kuluttua lääkkeen ottamisestasta lääkkeen määrä elimistössä on 0,9a, kahden tunnin kuluttua 0,9 a ja tunnin kuluttua 0,9 a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

37 Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lääkkeen määrä on puolet alkuperäisestä. 0,9. a 0,a : a 0,9 0, (0 lg 0,9 ) lg 0, 0 0 lg 0,9 lg 0, 0 lg 0,9 lg 0, : lg 0,9 lg 0,,07..., 0 lg 0,9 Vastaus Puoliintumisaika on tuntia. 6. Koska riippuvuus on lineaarinen, sitä kuvaa suora. Suoralta tunnetaan kaksi pistettä (, y ) (, ) ja (, y ) (6, 0). Lasketaan näiden pisteiden avulla suoran kulmakerroin. k y y 0 6 0, Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (6, 0) suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälöä. y 0 0,( 6) y 0, 7, + 0 y 0, +,8 Ratkaistaan, kun y 8,. 8, 0, +,8 0, 8,,8 0,,7 : 0, 8, Vastaus Suoran yhtälö on y 0,,8 ja arvosanaan 8½ vaaditaan 8, pistettä 7. Merkitään väkiluvun vuosittaista kasvukerrointa k:lla Neljässä vuodessa väkiluku on tulee k -kertaseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k : 98 k k ± Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 98 k,00676,00677 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

38 Väkiluku on noin,007-kertainen edellisen vuoden väkilukuun verrattuna. Väkiluku kasvaa siis 00,7 % 00 % 0,7 % vuodessa. Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. Arvio väkiluvulle vuonna 00 on 6, , Vastaus Väkiluku kasvoi keskimäärin 0,7 % vuodessa. Arvio Lahden väkiluvulle on 0 00 vuonna Piirretään tilanteesta kuva. Muokataan piirtämistä varten suoran + y 9 0 yhtälöä. + y 9 0 y + 9 : y, +, Kolmion yksi kärkipiste on (0, 0). Selvitetään kahden muun kärkipisteen koordinaatit. Suoran y, +, ja y-akselin leikkauspisteen (0;,) näkee suoran yhtälöstä. Suoran y, +, ja -akselin leikkauspisteessä y 0. Ratkaistaan., +, 0,, : (,),8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

39 Leikkauspiste on (,8; 0). Kolmion kannaksi ja korkeudeksi voidaan valita koordinaattiakseleilla sijaisevat sivut. Kolmion kanta on,8 00 m 80 m ja korkeus, 00 m 0 m. Lasketaan kolmion pinta-ala. A 80 m 0 m 0 00 m,0 ha,ha Vastaus Palstan pinta-ala on, ha. 9. Merkitään yhden tuotteen alkuperäistä hintaa a:lla. Myynti tarkoittaa myytyjen tuotteiden lukumäärää. Merkitään alkuperäistä myyntiä b:llä. Taulukoidaan annetut tiedot ennen ja jälkeen hinnankorotuksen. Merkitään myynnin muutosta kuvaavaa kerrointa :llä. Hinta Myynti Tuotto Ennen korotusta a b ab Korotuksen jälkeen,00a b,00a b,00. ab Selvitetään yhtälön avulla, millä luvulla alkuperäinen myynti on kerrottava, jotta tuotto nousisi,0 %.,00. ab,00ab : ab,00,00 :,00 0,0 0, , 98 0,0 Myynti on tällöin pienentynyt 00 % 98, %,9 %. Vastaus Myynti saa pienentyä enintään,9 %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

40 Koe. a) : 6 6 b) s ( ) s s s s s 6 s c) Vastaus a), b) s, 6 6 s c). a) Valitaan (, y ) (9, 7) ja (, y ) (, 9). Suoran kulmakerroin on y y k. 9 b) Sijoitetaan funktion f() + lausekkeeseen. f( ) +. ( ) c) Molempien pisteiden (, ) ja (, ) -koordinaatti on. Kyseessä on pystysuora, jonka yhtälö on. Vastaus a), b), c). a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi. 0, (0 lg ) lg 0, 0 0 lg lg 0, 0. lg lg 0, : lg lg 0,,7..., 7 lg b) 00 ± 00 ±,67... ±, 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

41 c) ,786..., 79 Vastaus a),7; b),6 tai,6; c),79. a) Ensimmäinen korotus oli %, joten korotettu hinta on 00 % + % % alkuperäisestä.,.,90,6 ( ) Tätä hintaa lasketaan %, eli uusi hinta on 00 % % 7 % edellisestä. 0,7.,6,787,7 ( ) b) Kun talletuksen arvo tulee vuodessa k-kertaiseksi, se tulee kolmessa vuodessa k k k k -kertaiseksi. Ratkaistaan kerroin k yhtälön avulla. k ,9 : 600 k,08 k,08, , 07 Saldo kasvaa siis,07-kertaiseksi vuodessa. Lasketaan korko. 0,7 % 00 %,7 % Vastaus a),7 ; b),7 %. Sijoitetaan pisteet (, y ) (, 9) ja (, y ) (, ) kulmakertoimen kaavaan. k y y ( ) 9 ( ) 6 Sijoitetaan saatu kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (, 9), suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälö totuttuun muotoon. y 9 ( ( )) y 9 y + 9 y + Suoran ja y-akselin leikkauspiste nähdään suoran yhtälöstä. Se on (0, ). Vastaus y + ; suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

42 6. Tehtävänannossa ei kirjan. painoksessa sanota selvästi, mistä ajankohdasta tuntien laskeminen aloitetaan. Samoin kaikkien matkapuhelinten tavoittaminen on tällä kurssilla tulkittava tapahtuvan samalla lähetyskierroksella. Jos aloitushetki on tunti ennen Lumin ensimmäisiä viestejä, yhden tunnin kuluttua viestejä lähtee, kahden tunnin kuluttua, kolmen tunnin kuluttua ja tunnin kulutua. Siis f(). Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lähtevien viestien määrä ylittää (0 lg ) lg lg lg lg lg : lg lg ,7..., lg Viestien määrä ylittää. lähetyskierroksella Jos tuntien laskeminen aloitetaan Lumin lähettämistä ensmmäisestä kolmesta viestistä, kysytty funktio on f() + ja ylitys tapahtuu tunnin kuluttua. Vastaus f() ; tunnin kuluttua 7. Eksponentiaalisessa vähenemisessä gepardien määrä vähenee joka vuosi yhtä monella prosentilla. Merkitään k:lla vuotuista muutoskerrointa. 80-vuoden aikana gepardien määrä muuttuu k 80 -kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k : k k ± 80 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa k 0,9860 0,986 Gepardien määrä vuoden kuluttua vuodesta 900 oli mallin mukaan 0, Selvitetään, minä vuonna määrä oli , : , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

43 0,986 0, Sovellustehtävässä voi käyttää likiarvoa. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0,986 ) lg 0, 0 0 lg 0,986 lg 0, 0. lg 0,986 lg 0, : lg 0,986 lg 0,,7...,6 lg 0,986 Määrä alitti joko vuonna 9 tai 9 riippuen siitä, ovatko annetut tiedot vuosien alusta vai lopusta. Vastaus Määrä alitti vuosien 9 9 paikkeilla. 8. Merkitään särmiön alkuperäistä pituutta a:lla, leveyttä b:llä ja korkeutta c:llä. Kootaan arvot taulukkoon. Särmiö alussa Särmiö muutoksen jälkeen Pituus Leveys Korkeus Tilavuus a b c abc,a,6b 0,c,a.,6b. 0,c 0,76abc Muuttunut tilavuus on 7,6 % alkuperäisestä. Tilavuuden muutos on 7,6 % 00 % 8, % 9 %. Vastaus Särmiön tilavuus pienenee 9 %. 9. a) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, a, b ja c. ± ± 6 ± ± tai Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

44 b) Muokataan yhtälöä niin, että muuttujan sisältävät potenssit ovat vasemmalla puolella : 80 6 : a a Käytetään laskusääntöä. n 80 b b , 0,6 Desimaalimuotoja voi käyttää, koska ne ovat tarkkoja. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0, ) lg 0,6 0 0 lg 0, lg 0,6 0 lg 0, lg 0,6 : lg 0,6 lg 0,6 lg 0, n n Yhtälön voi ratkaista myös ilman logaritmia supistamalla murtoluvut muodosta ja käyttämällä potenssien laskusääntöjä. Yhtälön molemmille 6 80 puolille saadaan tällä menetelmällä kantaluvuksi. Vastaus a) tai, b) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.

A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17

1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET Pisteytys on pyritty tekemään pelkistetyksi, jotta kaikki korjaajat päätyisivät samaan arvosteluun.

Lisätiedot

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 KOE 2: Ympäristöekonomia KANSANTALOUSTIEDE JA MATEMATIIKKA Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Matemaattista mallintamista

Matemaattista mallintamista Johdatus GeoGebraan Matemaattista mallintamista Harjoitus 2A. Tutkitaan eksponentiaalista kasvua ja eksponenttifunktioita Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4 ALGEBRA I Antti Majaniemi x y A x y x y x x y y x x y y 05 ISBN 978-95-9-5799-4 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? 1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2010 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe.6.009 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Koeaika on tuntia (klo 1.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan klo 1.0..

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT TEHTÄVÄT 1.a) Oheisessa kuviossa janat ja janoihin liittyvät luvut kuvaavat pisteiden välisiä reittejä

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti Tehtävä 1. Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti a) 1 4 b) 1 4 a) - kuvio, annetaan 1,5 p - ympyrä täyttyy neljänneksen kerrallaan, annetaan 1,5 p b) -

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot