3 Eksponentiaalinen malli
|
|
- Niilo Korpela
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06, 0,90 6,0 8,96 9,0 8 0,90 8 6,0,9, 0,90 6,0 6. a) 00 % + % 0 %,0, ,0 0,0 ( ) b) f ( ), a) 6 g (6),08,6,8..., (cm) b) Alkuperäinen korkeus on,6 cm. c),08 08 %. Suurennos on 08 % 00 % 8 %. 67. a) 00 % 9 % 9 % 0,9 f() 0, b) Vuodesta 970 vuoteen 980 on 0 vuotta. 0 f (0) 0, , Vuodesta 970 vuoteen 99 on vuotta. f () 0, , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 99
2 68. a) 00 % + 0, % 00, %,00 t f ( t),00 80 b) Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. f (), , c) Vuosi 000 oli vuotta ennen vuotta 00. Eksponentiksi tulee luku. f (), , a) 00 % % 99 % 0,99 t f ( t) 0,99 0 b), f (,) 0,99 0,8... (g) c), f (,) 0,99 0 6, (g) % + % 0 %,0 Merkitään liikevaihtoa alussa a:lla. a,0 8 a,77..., 77a Liikevaihto on kasvanut,77-kertaiseksi.,77 7,7 % Kasvua on 7,7 % 00 % 7,7 % 8 %. 7. a) 00 % % 8% 0, 8 Merkitään päästöjen määrää alussa a:lla. 0,8 a 0,70... a 0, a Päästöt muuttuvat 0,-kertaiseksi. 0 % % 6 %. b) : 0,8 a 0, a 6: 0,8 6 a 0, 77a 7: 0,8 7 a 0, a 8: 0,8 8 a 0, 7a 9: 0,8 9 a 0, a 9 vuodessa ollaan alle %:n tavoitteen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 00
3 7. a) f () e 0, , f ( ) e ( ) 0,8 0, ,0 b) g (8) e 0, , 07 g (,) e 0, (,),88...,8 7. Lähetyskierros Viestin saaneita ihmisiä lähetyskierroksella n n 7. a) f (), 90 68, b) f ( ), 90 0 c) 90 on bakteerien lukumäärä alussa ja niiden määrä puolitoistakertaistuu tunnissa. 7. a) 00 % + 8 % 08 %,08 f ( ), ( ) 0 b) f (0), , ( ), 76. a) f (,) 0,87 00,8... (mg) b) 00 mg c) 0,87 87, %, 00 % 87, %,9 % 77. a) 00 % +, % 0, %,0 f ( ), b) Vuodesta 006 vuoteen 0 on 9 vuotta 9 f (9),0,09,09..., (miljardia) c) Vuosi 99 oli vuotta ennen vuotta 006. f ( ),0,09 0, ,90 (miljardia) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
4 0,90 miljardia 90 miljoonaa % % 98 % 0,98 Merkitään energian kulutusta alussa a:lla. 0 0,98 a 0, a 0, 8a 00 % 8 % 8 % 79. a) 0, a 0,66... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. b) 0, a 0, a 0, 07a. Valosta pääsee läpi 7 %. c) 0, a 0,76... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. 80. a) 00 % +, % 0, %,0 Alkuperäinen talletus on a.,0 a,69... a, 69a. Talletus kasvaa korkoa 6,9 % 00 % 6,9 % viiden vuoden aikana. b) Talletus lopussa on,a. vuotta: a,0, 6a 0 vuotta: a,0 0, 7a vuotta: a,0, 99a vuotta: a,0, a vuotta: a,0, 87a vuotta: a,0, a Talletuksen arvo on kasvanut,-kertaiseksi vuoden kuluttua. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
5 Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälö 8. a) f(), b) g() 0,8 c) h() 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0 8. a) b) 8 c) a) 8 : b) : c) a) ( ) ( ) 6 Käytetään potenssin potenssin kaavaa 6 a a n m m n b) ( ) 8 8 8
7 c) 9 Vaihdetaan käänteisluku negatiiviseksi eksponentiksi a n n a 8. a) f () 6 b) f 86. a), b) 0,6 c) Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 87. a),,,8,6,6,,7,7,,6,6, Ratkaisu on välillä,6 < <,7, joten yhdendesimaalin tarkkuudella,7 b) , 7 0,,6 0,6 7 0,6, 0, 7 0,,9 Ratkaisu on välillä 0, < < 0,6, joten yhden desimaalin tarkkuudella 0,6. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 06 c),08,08,08 0,08 0, 9,08 9,99 9,,08 9,,0 9,0,08 9,0,006 9,0,08 9,0,00 Ratkaisu on välillä 9 < < 9,0, joten yhden desimaalin tarkkuudella 9, a) 9 tai ,, 9) ( ± ± ± c b a b) + tai,, ) ( ± ± ± + + c b a 89. a) :
9 b) 6 ( ) 90. a) f() 0,98 b) g(), Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 07
10 c) h(), 9. a) b) 6 c) ( ) a) 0,,6 b) 0, Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) 0, 0,, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 08
11 9. a) f() 6 0, ,009 b) 0, f() 6 0,,7 7, a) b) : c) : 9. a) b) 0 0, 0 0 c) ( 0 ) ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 09
12 96. Luvut väliltä, < <, pyöristyvät yhden desimaalin tarkkuudella luvuksi,., 9,0, 06,60 Yhtälön 00 ratkaisu on välillä, < <,. Ratkaisun yksidesimaalinen likiarvo on siis,. 97. a) 0, 0 0, 0, 0,, 0, 6, 0,,6, 0,, 9,88, 0,, 0, Koska ratkaisu on välillä, < <,, sen yksi desimaalinen likiarvo on,. b),,,,,8,,6,,,,8,,,,8,6,,6,97,7,,7,09,6,,6,0 98. a) Koska ratkaisu on välillä,6 < <,6, sen yksi desimaalinen likiarvo on, ( ) ± ( ) 0 ± 6 ± + 0 tai a, b, c 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
13 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut b) tai ) ( 6,, ± ± ± + + c b a
14 Logaritmi ja eksponenttiyhtälö 99. a) b) c) a) lg koska b) lg 0 koska 0 0 c) lg 0,00 koska 0 0,00 0. a) lg,0, b) lg 700,, c) lg,87 0,78 0,7 0. a) lg,..., lg b) lg, 0,... 0 lg,0 c) lg 0,7 6,9... 7, 0 lg 0,9 0. a) 0 6 lg 6 0,778 0,778 b) lg 800,68,68 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
15 c) 0 0 lg ( 0) Negatiivisella luvulla ei ole logaritmia. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) lg 00, b) lg 0,7 0. a) ph lg 0,0006 (,87 ), b) ph lg 0,00000 (,0),0 c) poh lg 0,00 (,979 ),979, ph +, ph,,6 d) poh lg 0,0000 (,0),0 ph +,0 ph,0 0,0 06. a) [H O + ] 0,9 0,008 0,00 (mol/l) b) [H O + ] 0, 0,000006, 0 6 (mol/l) c) [H O + ] 0 9,7,99 0 0,0 0 0 (mol/l) d) [OH ] 0,0 0,0 (mol/l) 07. a) 8 0 lg 8 lg,06 b),06 0 c) Negatiivista lukua ei voida kirjoittaa luvun 0 potenssina. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
16 08. a) 00 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b), lg, lg 0 0 ( ) lg, lg 0 0 lg, lg lg lg, 6, ,6 7,7... 7,7 : lg : lg, 09. a), : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg lg lg,0,78..., b) 0, : 000 lg 0,98 lg 0,6 0 0 ( ) lg 0,98 lg 0,6 0 0 lg 0,98 lg 0,6 lg 0,6 lg 0,98,8..., : lg,0 : lg 0,98 0. a) 00 % + % %,, 0 b), c), : 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
17 , lg, ( 0 ) 0 lg 0 0 lg, lg lg, lg 0 : lg, lg 0 9, lg, Kanien määrä on kasvanut tuhanteen kymmenessä vuodessa.. 00 % + 0, % 00, %,00,00,8,,00 lg,00 ( 0 ),,8 lg 0,,8 :,8, lg lg,00,8 0 0, lg,00 lg : lg,00,8, lg,8 0,... 0, lg, , 07, Väkiluku ylittää, miljoonaa vuoden 07 aikana.. 00 % % 9 % 0,9 0,9,0 0, 0, 0,9,0 lg 0,9 ( 0 ) 0, lg,0 0 :,0 0, lg lg 0,9, , lg 0,9 lg : lg 0,9,0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
18 0, lg,0 7,8... 7, lg 0, , 0, Ilkka pääsee tavoitteeseensa vuoden 0 aikana.. Merkitään liikevaihtoa alussa kirjaimella a. 00 % + 0 % 0 %,, a a : a lg, ( 0 ), lg 0 lg, lg 0 0 lg, lg : lg, lg,6..., lg, Liikevaihto on kolminkertaistunut vuodessa.. Merkitään isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a. Määrä lopuksi on 0,a. 00 % 7, % 8,7 % 0,87 0,87 a 0,a : a 0,87 0, lg 0,87 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,87 lg 0, 0 0 lg 0,87 lg 0, : lg 0,87 lg 0,,690...,6 lg 0,87 Puoliintumisaika on,6 vuorokautta.. Kara Mellin talletus vuoden kuluttua:,06 00 Kauko Putken talletus vuoden kuluttua:,0 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
19 ,06 00,0 0,0 0,06 00,06 0,0 00,06 0,9,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0 : 00 :,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0,06,06 lg lg 0,9 : lg,0,0 lg 0,9,6...,6,06 lg,0 Kaukon talletus kasvaa Karan talletusta suuremmaksi vuodessa. 6. Kirjoitetaan molemmat kymmenen pontenssina lg 800 ( 0 ) lg lg 900 ( 0 ) lg Koska molemmilla luvuilla on sama kantaluku, suurempi on se, jonka eksponentti on suurempi. lg 800, 9 lg 900 8,6 Luku 800 on suurempi. 7. a) lg 0 000,77,8 b) lg,08 0,0 0,0 c) lg0, 8,6967 8,79 lg0,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
20 8. a) 0 lg,00,0 (db) 0 b) Huutosakin koko kasvaa 0 kertaiseksi. 0 lg 0 0 (db) c) Varisten määrä kasvaa, kertaiseksi. 0 lg,,7609,8 (db) 9. a) 000 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg : lg,988...,98 lg b) 0,99 0, lg 0,99 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,99 lg 0, 0 0 lg 0,99 lg 0, : lg 0,99 lg 0, 68, ,0 lg 0,99 0. a),0 0 0 : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg : lg,0 lg, ,99 lg,0 b) 0,9 8 :8 0,9 8 lg lg 0, ( ) lg lg 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
21 lg 0,9 lg : lg 0,9 8 lg 8,76...,6 lg 0,9. 00 % +,80 % 0,8 %,08, ,08 lg,08 ( 0 ), lg, 0 : 00 lg,08 lg, 0 0 lg,08 lg, : lg,08 lg,,68...,7 lg,08 Rahamäärä 00 ylittyy vuoden kuluttua.. 00 % +, % 0, %,0,0,09,,0 lg,0 ( 0 ),,09 lg 0,,09, lg lg,0,09 0 0, lg,0 lg : lg,0,09, lg,09,..., lg, , 08, Väkiluku ylittää, miljardin rajan vuonna 08. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
22 . 00 % 7, % 9,6 % 0,96 0, ,96 0, lg 0,96 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,96 lg 0, 0 0 lg 0,96 lg0, : lg 0,96 lg 0, 9, ,9 lg 0, ,9 99,9 Tiikerikannan suuruus laski alle vuonna 90.. Merkitään alkuperäisen kuvan suuruutta kirjaimella a. 0,9 a a : a lg lg 0,9 0 0 ( ) lg lg 0,9 0 0 lg 0,9 lg : lg 0,9 lg,7..., lg 0,9 Pienenee alle kolmasosaan kopioinnin jälkeen.. Merkitään :llä C hiilen määrän puoliutumiskertoja. Merkitään aineen määrää alussa a:lla.. 0,, 0 0,0a, 0 0,, 0, 0, 0,, lg 0, ( 0 ) 0 0, lg, 0, lg, 0,0a lg 0, 0 0 0, lg 0, lg : lg 0, : 0,0a:0 :, 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
23 0, lg,8...,8 lg 0, Fossiilin ikä on,8-kertainen puoliintumisaikaan verrattuna., , Kirjoitetaan molemmat luvut kymmenen potenssina lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 Luvuista se, jonka eksponentti on suurempi, on suurempi. 00 lg, lg, on suurempi. 7. 0, 80 0, 0 : 80 0, 0 0, 80 0, 0 0, 80 : 0, 0, 0, 0, 0,6 0, lg 0,6 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,6 lg 0, 0 0 lg 0,6 lg 0, : lg 0,6 lg 0,,78...,7 lg 0,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
24 Potenssiyhtälö 8. a) 8, koska 8 b), koska c) 0 0, koska a) 0, koska eksponentti on parillinen. b) 6 7 0, koska parillisen potenssin vastaukseksi ei voi tulla negatiivista lukua. c) k, koska eksponentti on pariton. 0. a) 7 b) 6 ± 6 ± tai c). a) ± 70 ±,000...,0 tai,0 b) 7,... 7, c) 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska parillisen potenssin arvo ei voi olla negatiivinen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
25 . a) 0 : ± ±,879...,87 tai,87 b) 9 0 : 9 9,98...,0 c) k + 0 k : k 8 k 8,7...,. a) k b) k c) k : k k 7 8,09...,0 d),0 0, % 0, % 00 %, %. Merkitään korkoa vastaavaa kasvukerrointa k:lla. k , : , k,87 00 k ± 6,87 k, ,090,090 0,90 % 0,90 % 00 %,90 % Tilin korko on,90 %. Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. 00 % 0 % 70 % 0,7 Merkitään päästöjä alussa kirjaimella a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
26 k a 0,7a k 0,7 : a k 0,7 0,9... 0,9 Jos tavoitteeseen päästään, päästöjen määrä muuttuu 0,9-kertaiseksi vuosittain. Vähennystä on silloin vuosittain 00 % 9 % 7 %. 6. a),0 0,8... 8,%,7 00% 8,%,6% 6% Kurssi laski 6 %. b) Merkitään kerrointa k:lla. k.,7,0 :,7,0 k,7 k,0,7 0, ,9 0,9,7,070...,07 ( ) 7. a) Merkitään väkiluvun vuotuista kasvukerrointa k:lla. k : k k ,00 0,0 %,00 % 00 %,0 %,006...,00 Keskimääräinen vuotuinen väestönkasvu oli,0 % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
27 b), , 00 : 06, 00,006 06, lg,006 ( 0 ) 00 lg 0 06, 00 lg lg, , 00 lg,006 lg 06, 00 lg 06, 8, ,7 lg, , + 8,7 09, Indonesian väkiluku ylittää 00 miljoonaa vuoden 09 aikana. 8. a) + 0 ( + ) 0 0 tai + 0 b) 8 0 ( 8) 0 0 tai ± 8 ± 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) c) 6 : 0. a),96...,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
28 b) ± 0 ±,68... ±,7,7 tai,7 c) 6 lg lg6 0 0 ( ) lg lg6 0 0 lg lg6 lg6,69..., lg. Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k ,7 : ,7 k ,7 k, , ,8 % 00 %,8 % Korko oli,8 %. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k k ± 0 99 k 0, ,87 00 % 87 % % Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. Auton arvo aleni vuosittain %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
29 . Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k. 8, 0 : 8, k k ± 0 8, 0 8, k,0...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.,0 0, % 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun pitää olla, %.. a) Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k k ± 0 0 k 0, ,97 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 00 % 9,7 %, % Norsujen määrä laski vuosittain keskimäärin, %. b) 0, , a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k k k ± k,000...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa., , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
30 b) Vuotta kohti kasvua on ,. 907, , a) 6 0 ( ) 0 0 tai 0 0 ± ± b) ( 8) 0 0 tai Merkitään lämpötilaeron muuttumista kuvaavaa kerrointa k:lla. k. ( ) (8 ) ero alussa ero lopussa k ( ) (8 ) k 9 k 9 k lg 0,9 ( 0 ) 9 7 0,9 9 7 lg lg lg 0, , ,9 ero ero lopussa alussa ,9 ( ) (0 ) : 9 7 lg 0,9 lg 9 7 lg 9 8, ,9 lg 0,9 Kahvi olisi jäähtynyt alle 0-asteiseksi 9 minuutissa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
31 Kertaustehtäviä 8. a) 0 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b) lg lg 0 0 ( ) lg lg 0 0 lg lg : lg,9..., : lg lg,69...,6 lg c) 7,8... 7,6 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) 6 c) : 6 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) 00 % +, % 0, % 0, %,0 f(),0 00 b) f(9), ,00 9,00 ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
32 c), : 00,0, lg,0 ( 0 ) lg, 0 lg,0 lg, 0 0 lg,0 lg, lg, lg,0 : lg,0 7,... 7, Tilillä on yli vuoden kuluttua.. a) 00 %,8 % 98, % 98, % 0,98 0, ,7 860 b) 0, ,7 0 lg800 lg 00. a),900..., 9 lg,0 6 vuotta lg000 lg 00 b),9..., lg,0 vuotta. Merkitään alkuperäistä liikevaihtoa a:lla ja vuotuista kasvukerrointa k:lla. Tavoitteen mukainen liikevaihto kymmenen vuoden kuluttua on,a. 0 k a,a 0 k, k ± 0, Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. k,07...,0 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun on oltava, %.. a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
33 k : k 7 k 7 0,8 % 00 %,8 %,070...,08 Vuotuinen kasvu on keskimäärin,8 %. b), : , lg lg, ( ) , 09, Vuonna lg lg, lg,08 lg 7 00 lg 7 9,... 9, lg,08., Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
34 6. 0, 0, 0, 0, : 0, 0, 0, 0, 0, 0, lg 0, ( 0 ) lg 0 lg 0, lg 0 0 lg0, lg lg lg 0,, ,9 7. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k : k ,897 8 k , ,897 97, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
35 Harjoituskokeet Koe. a) Suora leikkaa -akselin, kun y 0. 0 b) (a ) + a. a 6a + a 7a c) + 6b 6b : b Vastaus a) Suora y leikkaa -akselin pisteessä,0. b) 7a c) b. a) 70 70,..., b) ± 00 ±,... ±, c) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi.,0, (0 lg,0 ) lg, 0 0 lg,0 lg, 0. lg,0 lg, : lg,0 lg, 0,7... 0, lg,0 Vastaus a),; b), tai,; c) 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
36 . a) Ensimmäinen alennuksen jälkeen hinnasta jää jäljelle 00 % % 8 %. 0,8. 9, ( ) Tätä hintaa lasketaan edelleen 0 %, eli uusi hinta on 00 % 0 % 80 % edellisestä. 0,80., 6, ( ) b) Yhden korotuksen jälkeen palkka on 00 % +, % 0, % eli,0- kertainen verrattuna tilanteeseen ennen korotusta. Merkitään alkuperäistä palkkaa a:lla. Palkka ensimmäisen korotuksen jälkeen:,0 a,0a. Palkka toisen korotuksen jälkeen:,0,0a,0 a,090a Palkka on korotusten jälkeen,090-kertainen alkutilanteeseen verrattuna. Kokonaiskorotus on 09,0 % 00 % 9,0 % 9, %. Vastaus a) 6,, b) 9, %. Muodostetaan suoran yhtälö kaavalla y y 0 k( 0 ). Sijoitetaan kaavaan k ja ( 0, y 0 ) (, ). y ( ) ( ) y + ( ) y + 6 y Sijoitetaan pisteen (0, 9) -koordinaatti yhtälön oikeaan puoleen Vastaus on sama kuin pisteen y-koordinaatti, joten piste on suoralla Vastaus Suoran yhtälö on y ja piste (0, 9) on suoralla.. Lääkkeen määrä vähenee tunnissa,6 %, joten siitä on jäljellä tunnin kuluttua 00 %,6 % 9, %. 9, % 0,9 Merkitään lääkkeen alkuperäistä määrää a:lla. Tunnin kuluttua lääkkeen ottamisestasta lääkkeen määrä elimistössä on 0,9a, kahden tunnin kuluttua 0,9 a ja tunnin kuluttua 0,9 a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
37 Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lääkkeen määrä on puolet alkuperäisestä. 0,9. a 0,a : a 0,9 0, (0 lg 0,9 ) lg 0, 0 0 lg 0,9 lg 0, 0 lg 0,9 lg 0, : lg 0,9 lg 0,,07..., 0 lg 0,9 Vastaus Puoliintumisaika on tuntia. 6. Koska riippuvuus on lineaarinen, sitä kuvaa suora. Suoralta tunnetaan kaksi pistettä (, y ) (, ) ja (, y ) (6, 0). Lasketaan näiden pisteiden avulla suoran kulmakerroin. k y y 0 6 0, Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (6, 0) suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälöä. y 0 0,( 6) y 0, 7, + 0 y 0, +,8 Ratkaistaan, kun y 8,. 8, 0, +,8 0, 8,,8 0,,7 : 0, 8, Vastaus Suoran yhtälö on y 0,,8 ja arvosanaan 8½ vaaditaan 8, pistettä 7. Merkitään väkiluvun vuosittaista kasvukerrointa k:lla Neljässä vuodessa väkiluku on tulee k -kertaseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k : 98 k k ± Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 98 k,00676,00677 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
38 Väkiluku on noin,007-kertainen edellisen vuoden väkilukuun verrattuna. Väkiluku kasvaa siis 00,7 % 00 % 0,7 % vuodessa. Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. Arvio väkiluvulle vuonna 00 on 6, , Vastaus Väkiluku kasvoi keskimäärin 0,7 % vuodessa. Arvio Lahden väkiluvulle on 0 00 vuonna Piirretään tilanteesta kuva. Muokataan piirtämistä varten suoran + y 9 0 yhtälöä. + y 9 0 y + 9 : y, +, Kolmion yksi kärkipiste on (0, 0). Selvitetään kahden muun kärkipisteen koordinaatit. Suoran y, +, ja y-akselin leikkauspisteen (0;,) näkee suoran yhtälöstä. Suoran y, +, ja -akselin leikkauspisteessä y 0. Ratkaistaan., +, 0,, : (,),8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
39 Leikkauspiste on (,8; 0). Kolmion kannaksi ja korkeudeksi voidaan valita koordinaattiakseleilla sijaisevat sivut. Kolmion kanta on,8 00 m 80 m ja korkeus, 00 m 0 m. Lasketaan kolmion pinta-ala. A 80 m 0 m 0 00 m,0 ha,ha Vastaus Palstan pinta-ala on, ha. 9. Merkitään yhden tuotteen alkuperäistä hintaa a:lla. Myynti tarkoittaa myytyjen tuotteiden lukumäärää. Merkitään alkuperäistä myyntiä b:llä. Taulukoidaan annetut tiedot ennen ja jälkeen hinnankorotuksen. Merkitään myynnin muutosta kuvaavaa kerrointa :llä. Hinta Myynti Tuotto Ennen korotusta a b ab Korotuksen jälkeen,00a b,00a b,00. ab Selvitetään yhtälön avulla, millä luvulla alkuperäinen myynti on kerrottava, jotta tuotto nousisi,0 %.,00. ab,00ab : ab,00,00 :,00 0,0 0, , 98 0,0 Myynti on tällöin pienentynyt 00 % 98, %,9 %. Vastaus Myynti saa pienentyä enintään,9 %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
40 Koe. a) : 6 6 b) s ( ) s s s s s 6 s c) Vastaus a), b) s, 6 6 s c). a) Valitaan (, y ) (9, 7) ja (, y ) (, 9). Suoran kulmakerroin on y y k. 9 b) Sijoitetaan funktion f() + lausekkeeseen. f( ) +. ( ) c) Molempien pisteiden (, ) ja (, ) -koordinaatti on. Kyseessä on pystysuora, jonka yhtälö on. Vastaus a), b), c). a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi. 0, (0 lg ) lg 0, 0 0 lg lg 0, 0. lg lg 0, : lg lg 0,,7..., 7 lg b) 00 ± 00 ±,67... ±, 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
41 c) ,786..., 79 Vastaus a),7; b),6 tai,6; c),79. a) Ensimmäinen korotus oli %, joten korotettu hinta on 00 % + % % alkuperäisestä.,.,90,6 ( ) Tätä hintaa lasketaan %, eli uusi hinta on 00 % % 7 % edellisestä. 0,7.,6,787,7 ( ) b) Kun talletuksen arvo tulee vuodessa k-kertaiseksi, se tulee kolmessa vuodessa k k k k -kertaiseksi. Ratkaistaan kerroin k yhtälön avulla. k ,9 : 600 k,08 k,08, , 07 Saldo kasvaa siis,07-kertaiseksi vuodessa. Lasketaan korko. 0,7 % 00 %,7 % Vastaus a),7 ; b),7 %. Sijoitetaan pisteet (, y ) (, 9) ja (, y ) (, ) kulmakertoimen kaavaan. k y y ( ) 9 ( ) 6 Sijoitetaan saatu kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (, 9), suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälö totuttuun muotoon. y 9 ( ( )) y 9 y + 9 y + Suoran ja y-akselin leikkauspiste nähdään suoran yhtälöstä. Se on (0, ). Vastaus y + ; suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
42 6. Tehtävänannossa ei kirjan. painoksessa sanota selvästi, mistä ajankohdasta tuntien laskeminen aloitetaan. Samoin kaikkien matkapuhelinten tavoittaminen on tällä kurssilla tulkittava tapahtuvan samalla lähetyskierroksella. Jos aloitushetki on tunti ennen Lumin ensimmäisiä viestejä, yhden tunnin kuluttua viestejä lähtee, kahden tunnin kuluttua, kolmen tunnin kuluttua ja tunnin kulutua. Siis f(). Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lähtevien viestien määrä ylittää (0 lg ) lg lg lg lg lg : lg lg ,7..., lg Viestien määrä ylittää. lähetyskierroksella Jos tuntien laskeminen aloitetaan Lumin lähettämistä ensmmäisestä kolmesta viestistä, kysytty funktio on f() + ja ylitys tapahtuu tunnin kuluttua. Vastaus f() ; tunnin kuluttua 7. Eksponentiaalisessa vähenemisessä gepardien määrä vähenee joka vuosi yhtä monella prosentilla. Merkitään k:lla vuotuista muutoskerrointa. 80-vuoden aikana gepardien määrä muuttuu k 80 -kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k : k k ± 80 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa k 0,9860 0,986 Gepardien määrä vuoden kuluttua vuodesta 900 oli mallin mukaan 0, Selvitetään, minä vuonna määrä oli , : , Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
43 0,986 0, Sovellustehtävässä voi käyttää likiarvoa. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0,986 ) lg 0, 0 0 lg 0,986 lg 0, 0. lg 0,986 lg 0, : lg 0,986 lg 0,,7...,6 lg 0,986 Määrä alitti joko vuonna 9 tai 9 riippuen siitä, ovatko annetut tiedot vuosien alusta vai lopusta. Vastaus Määrä alitti vuosien 9 9 paikkeilla. 8. Merkitään särmiön alkuperäistä pituutta a:lla, leveyttä b:llä ja korkeutta c:llä. Kootaan arvot taulukkoon. Särmiö alussa Särmiö muutoksen jälkeen Pituus Leveys Korkeus Tilavuus a b c abc,a,6b 0,c,a.,6b. 0,c 0,76abc Muuttunut tilavuus on 7,6 % alkuperäisestä. Tilavuuden muutos on 7,6 % 00 % 8, % 9 %. Vastaus Särmiön tilavuus pienenee 9 %. 9. a) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, a, b ja c. ± ± 6 ± ± tai Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
44 b) Muokataan yhtälöä niin, että muuttujan sisältävät potenssit ovat vasemmalla puolella : 80 6 : a a Käytetään laskusääntöä. n 80 b b , 0,6 Desimaalimuotoja voi käyttää, koska ne ovat tarkkoja. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0, ) lg 0,6 0 0 lg 0, lg 0,6 0 lg 0, lg 0,6 : lg 0,6 lg 0,6 lg 0, n n Yhtälön voi ratkaista myös ilman logaritmia supistamalla murtoluvut muodosta ja käyttämällä potenssien laskusääntöjä. Yhtälön molemmille 6 80 puolille saadaan tällä menetelmällä kantaluvuksi. Vastaus a) tai, b) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4
Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
3Eksponentiaalinen malli
3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
Kertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto
Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 =
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = 4 226. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = 1 000 000 c) 10
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ
3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Säännön mukaan äänenvoimakkuus kaksinkertaistuu, kun äänilähteiden määrä 10-kertaistuu. Saksofonisteja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 saksofonistia 2.
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4
4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys
4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b
ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora
Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.
PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3
1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI MAB3 Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB3 Matemaattisia malleja I Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi (MAB3-kurssin työtila on nähtävillä
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
PERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Eksponentti- ja logaritmifunktiot
Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.
MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?
HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan