1.4 Suhteellinen liike
|
|
- Raimo Nieminen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan taaksepäin nopeudella, joka on lentokoneen suhteen sama, mutta siis vastakkaissuuntainen kuin lentokoneen nopeus maan suhteen? Ratkaisu Tämän kuten niin monen muunkin fysiikan probleeman ratkaiseminen alkaa koordinaatiston valinnalla. Tarkastellaan asiaa ensin lentokoneen matkustajan kannalta. Hänen näkökulmastaan tässä yhdistyvät kaksi asiaa: luodin liike suoraan koneesta ja hänestä poispäin ja vetovoiman vaikutus luodin lentorataan. Matkustaja näkee luodin piirtävän juuri sen paraabelin kaaren kuin minkä sen luulisikin piirtävän: vaakasuorassa suunnassa luoti etääntyy nopeudella, joka vähenee hitaasti. Pystysuunnassa luoti putoaa kiihtyvällä vauhdilla kohti maata. Asiaan liittyviä yhtälöitä tutkitaan myöhemmin. Maassa olevan tarkkailijan kannalta luodin lähtönopeus kumoaa tarkasti lentokoneen nopeuden eli v v = 0 ja luoti siis putoaa kiihtyvällä vauhdilla suoraan alas. Tässä suhteessa tilanne on sama kuin se, minkä itse koet noustuasi linja-autoon. Kun kävelet kohti auton takaosaa, auto kulkee eteenpäin hetken samalla vauhdilla, jolla itse kuljet kohti auton takaosaa: pysyt hetken paikallasi pysäkin suhteen, jona hetkenä sinun kävelyvauhtisi kumoaa auton liikkeen. Huomataan siis, että ei siinä mitään kompaa ollut! Fysiikassa yleensäkin ja erityisesti myös liikkumiseen liittyvät laskut saadaan vektoreitten avulla yksinkertaisempaan muotoon kuin muilla keinoilla. Vektorissa on aina yhtä monta komponenttia kuin tarkasteltavassa koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Äärimmäisessä, mutta ei kovin harvinaisessa tilanteessa, jollainen oli vaikkapa Esimerkki 4, niitä on vain yksi. Tarkastellaan seuraavaa tilannetta. Olet veneinesi puoli kilometriä leveän joen rannassa. Koska kyseessä on vesialue, tilanne on olennaisesti kaksiulotteinen. Jos tässä tilanteessa käytetään vektoreita vauhdin tai paikan ilmaisemiseen, ne ovat kaksiulotteiset. 1(8)
2 Oletetaan, että vesi virtaa joessa nopeudella 10 km/h. Sinulla on moottorivene, jonka mukava matkanopeus on niinkin kova kuin 20 solmua. Suuntaat sen kohtisuoraan rannasta, kun lähdet joen toiselle puolelle. Koska ja missä saavutat vastarannan? Kuinka suuri on keskinopeutesi matkan aikana? Kuinka pitkän matkan kuljit? Voit ratkaista tämän kahdella tavalla, jotka ovat kovasti toistensa näköiset. Ensiksikin voi laskea niin, että koska nopeutesi on 20 solmua eli noin 37 km/h, joen ylittäminen kestää 49 sekuntia, missä ajassa virta vie venettä 135 metriä alajuoksulle. Matkaa kertyy Pythagoraan lauseen mukaan noin 517 metriä ja keskinopeutesi on siis 518 m 49 s 21 solmua. Toinen mahdollisuus on käyttää vektoreita. Valitaan koordinaatiston origoksi sinun lähtöpisteesi ja positiivisen y akselin suunnaksi joen vastavirran suunta sekä positiivisen x akselin suunnaksi vastavirtaan katsottuna suunta vasemmalta oikealle. Veneen rata veden suhteen on 37 km h i 0 j t=37 km h i t ja veden rata rannan suhteen on 0 i 10 km h j t= 10 km h j t ja nämä ovat yhteensä eli veneen rata rannan suhteen on s t =37 km h t i 10 km h t j. Ehdot antavat yhtälön 37 km h t=500m, josta t = 49 s. Tällöin s 49 s =37 km h 49 s i 10 km h 49s j=500 m i 135m j. Tämän vektorin pituus on 517 metriä, joten veneen nopeus rannan suhteen on 517 m 49 s =11 m s =.... 2(8)
3 Siltä varalta, että tämä ei vakuuttanut sinua vektorien etevyydestä kovin selvästi, niin otetaan avuksi seuraava esimerkki. Esimerkki 6 Ajat autoa tihkusateessa. Pisarat putoavat tasaisella nopeudella 7,8 m/s ja sinun ajonopeutesi on 60 km/h. Missä kulmassa ja millä nopeudella pisarat törmäävät autoon? Ratkaisu Valitaan ensin koordinaatisto. Otetaan osumiskulman nollakulmaksi auton suhteen pystysuora suunta alaspäin. Kulma kasvaa vastapäivään kuten tavallista. Jos siis hiutaleet putoaisivat autonkin suhteen pystysuoraan, niin osumiskulma olisi nolla ja jos ne tulisivat suoraan kohti, niin osumiskulma olisi 90 astetta. Katsellaan autoa sen oikealta puolelta ja valitaan positiiviseksi kulkusuunnaksi suunta vasemmalta oikealle. Koordinaattiakselien suunta on siis se tavallinen. Tällöin auton vauhtivektori maan suhteen on v A =60 km h i ja pisaroitten vauhtivektori jälleen maan suhteen on v L = 7,8 m s j. Koska maan vauhtivektori auton suhteen on v A = 60 km h i 17 m s i, niin pisaran 3(8)
4 nopeusvektori auton suhteen on v L v A = 17 m s i 7,8 m s j. Pisaran vauhdin suuruus ja suunta auton suhteen ovat täten 18 m/s eli 66 km/h ja 65 astetta. Vastaus: Pisarat törmäävät autoon nopeudella 18 m/s, auton koordinaatiston mukaan suuntakulmassa 155 astetta. Maan suhteen: v A =60 km h i v L = 7,8 m s j Auton suhteen: v A = 0 v L =18 m s 4(8)
5 Huomaa Esimerkin 6 suoritusjärjestys. Määrittelin tehtävän ensin maan suhteen paikallaan olevan koordinaatiston suhteen eli tehtävä annettiin tässä koordinaatistossa. Sitten muunsin vektorit auton koordinaatistoon: vesipisaroitten liike auton suhteen ja maan liike auton suhteen! Nämä vektorit laskin sitten yhteen. Esimerkki 7 Kuvittele kuorma-auto, jonka nopeus on 50 km/h ja joka kulkee pystysuoraan putoavassa sateessa. Auton hytin taakse jää kuivaksi 280 sentin kaistale lavaa. Hytin katon ja lavan välinen korkeusero on 160 cm. Laske veden pystysuora putoamisnopeus sekä vauhti auton suhteen. Ratkaisu v S v A Kuvion v S = sateen pystysuora nopeus ja v A = auton nopeus. Piirretään kuva tilanteesta vielä auton lavalla, hytin takan kyyristelevän matkustajan kannalta. 1,6m α 2,8m 5(8)
6 Koska hytin korkeus on 160 cm ja kuivan alan koko on 280 cm, niin sade osuu vaakasuoraan lavaan tulokulmassa α, missä tan α = 2,8 m 1,6 m =1,75. Sama kulma α esiintyy myös pystysuoran suunnan ja matkustajan kokeman vesipisaroiden suunnan välillä. Piirränpä kuvan! Merkitään matkustajan näkemää sateen nopeusvektoria kirjaimella v. α v v S Koska v= v S x, niin x= v v S, joten vektorien x ja v S pituuksien suhde x x v on α:n sini eli sin = x v. Vektori x on määritelmänsä mukaan maiseman nopeus auton matkustajan näkökulmasta eli auton nopeusvektorin vastavektori: matkustaja kulkee auton mukana. Sen pituus on siis 50 km/h, koska se on vauhti, jolla auto liikkuu. Tästä saadaan v = x 50 km/h sin 0,87 16 m s. Sateen nopeus lavan suhteen on siis 16 metriä sekunnissa. Sateen pystysuora nopeus saadaan samasta kuvasta: josta tan = x v S, v S = x tan 8 m s. Sateen pystysuora nopeus on siis noin 8 metriä sekunnissa. 6(8)
7 Esimerkki 8 Tervahöyry hinaa tukkilauttaa järvenselällä, Suomen suvessa. Yhdistelmän nopeus on 3 solmua norpan näkökulmasta, joka lepäilee luodolla, mutta on tarkkana. Tukkilainen etenee lautalla vinosti kohti keulaa nopeudella, jonka suuruus on 7 km/h ja suuntakulma 60 astetta koordinaatistossa, jonka x koordinaatti kasvaa yhdistelmän kulkusuunnassa ja on levossa lautan suhteen. Laske tukkilaisen vauhti norpan suhteen. Ratkaisu Nyt aloitan kuvalla, joka keskittyy lähinnä tukkilaisen nopeusvektoriin. Tätä vektoria esittää kuvan oranssi nuoli. Tarkastelen mainittua vektoria ensin koordinaatistossa, joka on levossa lautan suhteen, koska haluan tietää vektorin koordinaattiakselien suuntaiset komponentit. α y 0 x 0 Kuvan oranssin vektorin pituus on 1,9, koska 7 km/h on noin 1,9 m/s. Merkitään mainittua oranssia 7(8)
8 vektoria vaikkapa v 1 :llä. Tervahöyryn nopeus norpan suhteen olkoon v 0. Merkitsen 60 asteen suuntakulmaa α -kirjaimella. Piirrän kuvaan sellaiset koordinaattiakselien suuntaiset suoranpätkät, jotka kulkevat nopeusvektorin kärjen kautta, kun vektori ajatellaan kiinnitetyksi alkamaan origosta. Käytän sinistä väriä. Näin saan aikaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden yhteinen hypotenuusa on oranssi vektorimme (tai suuntajanamme). Trigonometrian eli kosinifunktion määritelmän nojalla ja cos = x 0 v 1 joten sin = y 0 v 1, x 0 =cos v 1 0,97 m s ja y 0 =sin v 1 1,7 m s. Tästä saadaan v 1 =0,97 m s i 1,7 m s j. Norpan koordinaatiston valitsen niin, että tervahöyry kulkee sen kasvavan x akselin suuntaan. Silloin tervahöyryn nopeusvektori norpan suhteen on v 0 =1,5 m s i, koska yksi solmu on 1,852 kilometriä tunnissa. Tukkilaisen nopeusvektori norpan koordinaatistossa on nyt v 0 v 1 =2,47 m s i 1,7 m s j. Vastaus: Kysytty nopeusvektori on 2,47 m s i 1,7 m s j. 8(8)
2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotVektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.
Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotE 3.15: Maan pinnalla levossa olevassa avaruusaluksessa pallo vierii pois pöydän vaakasuoralta pinnalta ja osuu lattiaan D:n etäisyydellä pöydän
HARJOITUS 2 E 3.9: Fysiikan kirja luisuu pois pöydän vaakasuoralta pinnalta nopeudella 1,10 m/s. Kirja osuu lattiaan 0,350 sekunnin kuluttua. Jätä ilmanvastus huomiotta. Laske a) pöydän pinnan etäisyys
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotVektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)
Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotKolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä
Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö.
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotTämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
Lisätiedot2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki
Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedot2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?
2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotHARJOITUS 4 1. (E 5.29):
HARJOITUS 4 1. (E 5.29): Työkalulaatikko, jonka massa on 45,0 kg, on levossa vaakasuoralla lattialla. Kohdistat laatikkoon asteittain kasvavan vaakasuoran työntövoiman ja havaitset, että laatikko alkaa
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48
Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotLiikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotOpetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely
Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotTrigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotKinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike
Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin
Lisätiedot2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2
Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotPL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898
OPS M2-1, Liite 1 21.12.2007 PL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898 www.ilmailuhallinto.fi LENTOKONEEN VALOT Huom. Katso luku 6 1. MÄÄRITELMIÄ Kun tässä luvussa
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedota) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
LisätiedotTarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m
MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
Lisätiedot